Значимость f в регрессии excel что значит

  • Авторы
  • Резюме
  • Файлы
  • Ключевые слова
  • Литература


Курзаева Л.В.

1

1 ФГБОУ ВО «Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова»

Аналитическая статистика – одиниз самых сложных разделов анализа данных в плане изучения, при этом регрессионный анализ является одним из самых информативных. Такой анализ производится при решения следующих задач: установление и оценка взаимосвязи признаков; прогнозирование и предсказание; управление процессами. Существует два вида анализа двумерных данных, представленных переменными: корреляционный и регрессионныйанализ, последнийпозволяет определить форму взаимосвязи между признаками. В статье описывается простой способ проведения регрессионного анализа в MicrosoftExcel. Материалы данной статьи представляют методическую и практическую ценность для преподавателей, занимающихся вопросами повышения эффективности обучения в области основ анализа данных с информационных технологий, и осуществляющие реализацию образовательного процесса в вузах и на курсах повышения квалификаций.

Ключевыеслова: анализ данных

электронные таблицы

1. Овчинникова И.Г., Варфоломеева Т.Н., Гусева Е.Н. Учебно-методическое пособие для подготовки к вступительным экзаменам по информатике. -Магнитогорск, 2002. -С. 119

2. Овчинникова И.Г., Варфоломеева Т.Н., Корнещук Н.Г. Учебное пособие для подготовки к централизованному тестированию по информатике. -Магнитогорск, 2002. -С.205

3. Курзаева Л.В. Дистанционный курс «Основы математической обработки информации»: электронный учебно-методический комплекс // Хроники объединенного фонда электронных ресурсов Наука и образование. — 2014. -Т. 1. — № 12 (67). — С. 117

4. Курзаева Л.В. Введение в теорию систем и системный анализ: учеб. пособие/Л.В. Курзаева. -Магнитогорск: МаГУ, 2015. -211 с.

5. Курзаева Л.В. Введение в методы и средства получения и обработки информации для задач управления социальными и экономическими системами: учеб. пособие/Л.В. Курзаева, И.Г. Овчинникова, Г.Н. Чусавитина. -Магнитогорск:Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2016. -118 с.

Для реализации процедуры Регрессия необходимо: выбрать в меню Сервис команду Анализ данных. В появившемся диалоговом окне Анализ данных в списке Инструменты анализа выбрать строку Регрессия.

Рис.1. Окно «Регрессия»

1_2.png

В появившемся диалоговом окне (рис.1) задать:

Входной интервал Y– диапазон (столбец), содержащий данные со значениями объясняемой переменной;

Входной интервал Х– диапазон (столбцы), содержащий данные с заголовками.

Метки – флажок, который указывает, содержат ли первые элементы отмеченных диапазонов названия переменных (столбцов) или нет;

Константа-ноль– флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении (а);

Уровень надежности– уровень значимости, (например, 0,05);

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона, в котором будет сохранен отчет по построению модели;

Новый рабочий лист– поставить значок и задать имя нового листа (Отчет – регрессия), в котором будет сохранен отчет.

Если необходимо получить значения и график остатков, а также график подбора (чтобы визуально проверить отличие экспериментальных точек от предсказанных по регрессионной модели), установите соответствующие флажки в диалоговом окне.

Рассмотрим результаты регрессионного анализа (рис. 2, 3).

2_3.png

Рис. 2. Вывод итогов регрессионного анализа

3_2.png

Рис. 3. Вывод остатков и вероятности по результатам регрессионного анализа

Множественный R – коэффициент корреляции

R-квадрат – это коэффициент линейной детерминации. Коэффициент является одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной R2модели, мерой качества уравнения регрессии в целом (или, как говорят, мерой качества подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям.

Если R-квадрат > 0,95, говорят о высокой точности аппроксимации (модель хорошо описывает явление). Если R-квадрат лежит в диапазоне от 0,8 до 0,95, говорят об удовлетворительной аппроксимации (модель в целом адекватна описываемому явлению). Если R-квадрат < 0,6, принято считать, что точность аппроксимации недостаточна и модель требует улучшения (введения новых независимых переменных, учета нелинейностей и т. д.).

Нормированный R-квадрат – скорректированный (адаптированный, поправленный) коэффициент детерминации.

Недостатком коэффициента детерминации R-квадратявляется то, что он увеличивается при добавлении новых объясняющих переменных, хотя это и не обязательно означает улучшение качества регрессионной модели. В этом смысле предпочтительнее использовать нормированный, который в отличие от R-квадрат может уменьшаться при введении в модель новых объясняющих переменных, не оказывающих существенное влияние на зависимую переменную.

Наблюдения – число наблюдений (в нашем случае 10 стран).

Df– число степеней свободы связано с числом единиц совокупности и с числом определяемых по ней констант.

F и Значимость F позволяют проверить значимость уравнения регрессии, т.е. установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

SS – Сумма квадратов отклонений значений признака Y.

MS – Дисперсия на одну степень свободы.

F – Наблюдаемое (эмпирическое) значение статистики F, по которой проверяется гипотеза равенства нулю одновременно всех коэффициентов модели. Значимость F – теоретическая вероятность того, что при гипотезе равенства нулю одновременно всех коэффициентов модели F-статистика больше эмпирического значения F.

На уровне значимости α=0,05 гипотеза H0:b1=0отвергается, если Значимость F<0.05, и принимается, если Значимость F

Значения коэффициентов регрессии находятся в столбце Коэффициенты и соответствуют:

У-пересечение – a;

переменная XI – b1;

переменная Х2 – b2 и т. Д.

Таким образом, получена следующая модель регрессии:

Y=1.2247X1+0.00108X2+19.9776

t-статистика соответствующего коэффициента.

P-Значение – вероятность, позволяющая определить значимость коэффициента регрессии. В случаях, когда Р-Значение>0,05, коэффициент может считаться нулевым, что означает, что соответствующая независимая переменная практически не влияет на зависимую переменную.

В нашем случае оба коэффициента оказались «нулевыми», а значит обе независимые переменные не влияют на модель.

Нижние 95% – Верхние 95% – доверительный интервал для параметра , т.е. с надежностью 0.95 этот коэффициент лежит в данном интервале. Поскольку коэффициент регрессии в исследованиях имеют четкую интерпретацию, то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов. Так, например, «Доля городского населения, в %» не может лежать в интервале -0,25≥b1≥2,7. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Предсказанное Y — теоретические (расчетные) значения результативного признака.

Остатки – остатки по модели регрессии.

На основе данных об остатках модели регрессии был построен график остатков (рис. 4) и график подбора – поле корреляции фактических и теоретических (расчетных) значений результативной переменной (рис.5).

Рис. 4. График остатков по значениям признака «Доля городского населения, %»

Рис. 5. График подбора для признаков «Доля городского населения, %» и «Число мобильных телефонов на 100 жителей»

Рассмотрение графиков подбора позволяет предположить, что, возможно, качество модели можно усовершенствовать, исключив данные по Белоруссии как аномальные значения.

Библиографическая ссылка

Курзаева Л.В. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. – 2016. – № 12-7.
– С. 1234-1238;

URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=11019 (дата обращения: 15.04.2023).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

Источник

В таблице Дисперсионный анализ оценивается общее качество полученной модели:
ее достоверность по уровню значимости критерия Фишера — р, который должен быть
меньше, чем 0,05 (строка Регрессия, столбец Значимость F).

Значение R-квадрат описывает степень точности описания моделью процесса
(вторая строка сверху в таблице Регрессионная статистика).

Далее определяем значения коэффициентов модели.
Они определяютя из таблицы в столбце Коэффициенты — в строке Y-пересечение — свободный член,
в строках соответствующих переменных — значения коэффициентов при этих переменных.

В столбце р-значение приводится достоверность отличия соответствующих коэффициентов от нуля.

В случае, когда р>0,05, коэффициент может считаться нулевым.
Это означает, что соответствующая независимая переменная практически не влияет на зависимую
переменную и коэффициент может быть убран из уравнения.


Именно поэтому в данной задаче дается такая интерпретация:

Достоверность по уровню значимости критерия Фишера (Значимость F) значительно меньше 0,05, значит модель значима.
Степень точности описания моделью процесса R-квадрат равен 0,75, что говорит о высокой точности аппроксимации (модель хорошо описывает процесс).
p-значение для коэффициента х1 больше 0,05, значит этот коэффициент может считаться нулевым.
p-значение для коэффициента х2 меньше 0,05, значит этот коэффициент может считаться не нулевым.
Значение свободного члена (Y-пересечение) 79,19.

Отсюда уравнение для расчета выхода телят на 100 коров (y) от среднегодового потребления кормовых единиц (x2) и среднего возраста стада (x1) будет иметь вид y=0,0097x2+79,19 с достоверностью R2=75%.

Hosted by uCoz

Источник

В статистике регрессия — это метод, который можно использовать для анализа взаимосвязи между переменными-предикторами и переменной-откликом.

Когда вы используете программное обеспечение (например, R, SAS, SPSS и т. д.) для выполнения регрессионного анализа, вы получите в качестве выходных данных таблицу регрессии, в которой суммируются результаты регрессии. Важно уметь читать эту таблицу, чтобы понимать результаты регрессионного анализа.

В этом руководстве рассматривается пример регрессионного анализа и дается подробное объяснение того, как читать и интерпретировать выходные данные таблицы регрессии.

Пример регрессии

Предположим, у нас есть следующий набор данных, который показывает общее количество часов обучения, общее количество сданных подготовительных экзаменов и итоговый балл за экзамен, полученный для 12 разных студентов:

Пример данных регрессионного анализа

Чтобы проанализировать взаимосвязь между учебными часами и сданными подготовительными экзаменами и окончательным экзаменационным баллом, который получает студент, мы запускаем множественную линейную регрессию, используя отработанные часы и подготовительные экзамены, взятые в качестве переменных-предикторов, и итоговый экзаменационный балл в качестве переменной ответа.

Мы получаем следующий вывод:

Вывод таблицы регрессии

Проверка соответствия модели

В первом разделе показано несколько различных чисел, которые измеряют соответствие регрессионной модели, т. е. насколько хорошо регрессионная модель способна «соответствовать» набору данных.

Вот как интерпретировать каждое из чисел в этом разделе:

Несколько R

Это коэффициент корреляции.Он измеряет силу линейной зависимости между переменными-предикторами и переменной отклика. R, кратный 1, указывает на идеальную линейную зависимость, тогда как R, кратный 0, указывает на отсутствие какой-либо линейной зависимости. Кратный R — это квадратный корень из R-квадрата (см. ниже).

В этом примере множитель R равен 0,72855 , что указывает на довольно сильную линейную зависимость между предикторами часов обучения и подготовительных экзаменов и итоговой оценкой экзаменационной переменной ответа.

R-квадрат

Его часто записывают как r 2 , а также называют коэффициентом детерминации.Это доля дисперсии переменной отклика, которая может быть объяснена предикторной переменной.

Значение для R-квадрата может варьироваться от 0 до 1. Значение 0 указывает, что переменная отклика вообще не может быть объяснена предикторной переменной. Значение 1 указывает, что переменная отклика может быть полностью объяснена без ошибок с помощью переменной-предиктора.

В этом примере R-квадрат равен 0,5307 , что указывает на то, что 53,07% дисперсии итоговых экзаменационных баллов можно объяснить количеством часов обучения и количеством сданных подготовительных экзаменов.

Связанный: Что такое хорошее значение R-квадрата?

Скорректированный R-квадрат

Это модифицированная версия R-квадрата, которая была скорректирована с учетом количества предикторов в модели. Он всегда ниже R-квадрата. Скорректированный R-квадрат может быть полезен для сравнения соответствия различных моделей регрессии друг другу.

В этом примере скорректированный R-квадрат равен 0,4265.

Стандартная ошибка регрессии

Стандартная ошибка регрессии — это среднее расстояние, на которое наблюдаемые значения отклоняются от линии регрессии. В этом примере наблюдаемые значения отклоняются от линии регрессии в среднем на 7,3267 единиц.

Связанный: Понимание стандартной ошибки регрессии

Наблюдения

Это просто количество наблюдений в нашем наборе данных. В этом примере общее количество наблюдений равно 12 .

Тестирование общей значимости регрессионной модели

В следующем разделе показаны степени свободы, сумма квадратов, средние квадраты, F-статистика и общая значимость регрессионной модели.

F-тест в выходной таблице регрессионного анализа

Вот как интерпретировать каждое из чисел в этом разделе:

Степени свободы регрессии

Это число равно: количеству коэффициентов регрессии — 1. В этом примере у нас есть член пересечения и две переменные-предикторы, поэтому у нас всего три коэффициента регрессии, что означает, что степени свободы регрессии равны 3 — 1 = 2 .

Всего степеней свободы

Это число равно: количество наблюдений – 1. В данном примере у нас 12 наблюдений, поэтому общее количество степеней свободы 12 – 1 = 11 .

Остаточные степени свободы

Это число равно: общая df – регрессионная df.В этом примере остаточные степени свободы 11 – 2 = 9 .

Средние квадраты

Средние квадраты регрессии рассчитываются как регрессия SS / регрессия df.В этом примере регрессия MS = 546,53308/2 = 273,2665 .

Остаточные средние квадраты вычисляются как остаточный SS / остаточный df.В этом примере остаточная MS = 483,1335/9 = 53,68151 .

F Статистика

Статистика f рассчитывается как регрессия MS/остаточная MS. Эта статистика показывает, обеспечивает ли регрессионная модель лучшее соответствие данным, чем модель, которая не содержит независимых переменных.

По сути, он проверяет, полезна ли регрессионная модель в целом. Как правило, если ни одна из переменных-предикторов в модели не является статистически значимой, общая F-статистика также не является статистически значимой.

В этом примере статистика F равна 273,2665/53,68151 = 5,09 .

Значение F (P-значение)

Последнее значение в таблице — это p-значение, связанное со статистикой F. Чтобы увидеть, значима ли общая модель регрессии, вы можете сравнить p-значение с уровнем значимости; распространенные варианты: 0,01, 0,05 и 0,10.

Если p-значение меньше уровня значимости, имеется достаточно доказательств, чтобы сделать вывод о том, что регрессионная модель лучше соответствует данным, чем модель без переменных-предикторов. Этот вывод хорош, потому что он означает, что переменные-предикторы в модели действительно улучшают соответствие модели.

В этом примере p-значение равно 0,033 , что меньше обычного уровня значимости 0,05. Это указывает на то, что регрессионная модель в целом статистически значима, т. е. модель лучше соответствует данным, чем модель без переменных-предикторов.

Тестирование общей значимости регрессионной модели

В последнем разделе показаны оценки коэффициентов, стандартная ошибка оценок, t-stat, p-значения и доверительные интервалы для каждого термина в регрессионной модели.

Как интерпретировать коэффициенты вывода таблицы регрессии

Вот как интерпретировать каждое из чисел в этом разделе:

Коэффициенты

Коэффициенты дают нам числа, необходимые для записи оценочного уравнения регрессии:

у шляпа знак равно б 0 + б 1 Икс 1 + б 2 Икс 2 .

В этом примере расчетное уравнение регрессии имеет вид:

итоговый балл за экзамен = 66,99 + 1,299 (часы обучения) + 1,117 (подготовительные экзамены)

Каждый отдельный коэффициент интерпретируется как среднее увеличение переменной отклика на каждую единицу увеличения данной переменной-предиктора при условии, что все остальные переменные-предикторы остаются постоянными. Например, для каждого дополнительного часа обучения среднее ожидаемое увеличение итогового экзаменационного балла составляет 1,299 балла при условии, что количество сданных подготовительных экзаменов остается постоянным.

Перехват интерпретируется как ожидаемый средний итоговый балл за экзамен для студента, который учится ноль часов и не сдает подготовительных экзаменов. В этом примере ожидается, что учащийся наберет 66,99 балла, если он будет заниматься ноль часов и не сдавать подготовительных экзаменов. Однако будьте осторожны при интерпретации перехвата выходных данных регрессии, потому что это не всегда имеет смысл.

Например, в некоторых случаях точка пересечения может оказаться отрицательным числом, что часто не имеет очевидной интерпретации. Это не означает, что модель неверна, это просто означает, что перехват сам по себе не должен интерпретироваться как означающий что-либо.

Стандартная ошибка, t-статистика и p-значения

Стандартная ошибка — это мера неопределенности оценки коэффициента для каждой переменной.

t-stat — это просто коэффициент, деленный на стандартную ошибку. Например, t-stat для часов обучения составляет 1,299 / 0,417 = 3,117.

В следующем столбце показано значение p, связанное с t-stat. Это число говорит нам, является ли данная переменная отклика значимой в модели. В этом примере мы видим, что значение p для часов обучения равно 0,012, а значение p для подготовительных экзаменов равно 0,304. Это указывает на то, что количество учебных часов является важным предиктором итогового экзаменационного балла, а количество подготовительных экзаменов — нет.

Доверительный интервал для оценок коэффициентов

В последних двух столбцах таблицы представлены нижняя и верхняя границы 95% доверительного интервала для оценок коэффициентов.

Например, оценка коэффициента для часов обучения составляет 1,299, но вокруг этой оценки есть некоторая неопределенность. Мы никогда не можем знать наверняка, является ли это точным коэффициентом. Таким образом, 95-процентный доверительный интервал дает нам диапазон вероятных значений истинного коэффициента.

В этом случае 95% доверительный интервал для часов обучения составляет (0,356, 2,24). Обратите внимание, что этот доверительный интервал не содержит числа «0», что означает, что мы вполне уверены, что истинное значение коэффициента часов обучения не равно нулю, т. е. является положительным числом.

Напротив, 95% доверительный интервал для Prep Exams составляет (-1,201, 3,436). Обратите внимание, что этот доверительный интервал действительно содержит число «0», что означает, что истинное значение коэффициента подготовительных экзаменов может быть равно нулю, т. е. несущественно для прогнозирования результатов итоговых экзаменов.

Дополнительные ресурсы

Понимание нулевой гипотезы для линейной регрессии
Понимание F-теста общей значимости в регрессии
Как сообщить о результатах регрессии

Источник

Для
оценки существенности, значимости
коэффициента корреляции используется
t-критерий
Стьюдента.

Находится средняя
ошибка коэффициента корреляции по
формуле:

На
основе ошибки рассчитываетсяt-критерий:

Рассчитанное
значение t-критерия
сравнивают с табличным, найденным в
таблице распределения Стьюдента при
уровне значимости 0,05 или 0,01 и числе
степеней свободы n-1.
Если расчетное значение t-критерия
больше табличного, то коэффициент
корреляции признается значимым.

При
криволинейной связи для оценки значимости
корреляционного отношения и уравнения
регрессии применяется F-критерий.
Он вычисляется по формуле:

или

где
η – корреляционное отношение; n
– число наблюдений; m
– число параметров в уравнении регрессии.

Рассчитанное
значение F
сравнивается с табличным для принятого
уровня значимости α (0,05 или 0,01) и чисел
степеней свободы к1=m-1
и k2=n-m.
Если расчетное значение F
превышает табличное, связь признается
существенной.

Значимость
коэффициента регрессии устанавливается
с помощью t-критерия Стьюдента,
который вычисляется по формуле:

где
σ2аi
— дисперсия коэффициента регрессии.

Она
вычисляется по формуле:

где
к – число факторных признаков в уравнении
регрессии.

Коэффициент
регрессии признается значимым, если
ta1≥tкр.
tкр
отыскивается в таблице критических
точек распределения Стьюдента при
принятом уровне значимости и числе
степеней свободы k=n-1.

4.3.Корреляционно-регрессионный анализ в Excel

Проведём
корреляционно-регрессионный анализ
взаимосвязи урожайности и затрат труда
на 1 ц зерна. Для этого открываем лист
Excel,
в ячейки А1:А30 вводим значения факторного
признака –
урожайности зерновых культур, в ячейки
В1:В30 значения результативного признака
– затрат труда
на 1 ц зерна. В меню Сервис выберем опцию
Анализ данных. Щелкнув левой кнопкой
мыши по этому пункту, откроем инструмент
Регрессия. Щелкаем по кнопке OK,
на экране появляется диалоговое окно
Регрессия. В поле Входной интервал У
вводим значения результативного признака
(выделяя ячейки В1:В30), в поле Входной
интервал Х вводим значения факторного
признака (выделяя ячейки А1:А30). Отмечаем
уровень вероятности 95%, выбираем Новый
рабочий лист. Щелкаем по кнопке OK.
На рабочем листе появляется таблица
«ВЫВОД ИТОГОВ», в которой даны результаты
вычисления параметров уравнения
регрессии, коэффициента корреляции и
другие показатели, позволяющие определить
значимость коэффициента корреляции и
параметров уравнения регрессии.

ВЫВОД
ИТОГОВ

Регрессионная
статистика

Множественный
R

0,853301

R-квадрат

0,728123

Нормированный
R-квадрат

0,718413

Стандартная
ошибка

0,112121

Наблюдения

30

Дисперсионный
анализ

df

SS

MS

F

Значимость
F

Регрессия

1

0,942676

0,942676

74,9876

2,09E-09

Остаток

28

0,351991

0,012571

Итого

29

1,294667

Коэффициенты

Стандартная
ошибка

t-статистика

P-Значение

Нижние
95%

Верхние
95%

Нижние
95,0%

Верхние
95,0%

Y-пересечение

2,836242

0,200011

14,18042

2,64E-14

2,426538

3,245947

2,426538

3,245947

Переменная
X 1

-0,06654

0,007684

-8,65954

2,09E-09

-0,08228

-0,0508

-0,08228

-0,0508

В
данной таблице «Множественный R»
— это коэффициент корреляции, «R-квадрат»
— коэффициент детерминации. «Коэффициенты:
Y-пересечение»
— свободный член уравнения регрессии
2,836242; «Переменная Х1» – коэффициент
регрессии -0,06654. Здесь имеются также
значения F-критерия
Фишера 74,9876, t-критерия
Стьюдента 14,18042, «Стандартная ошибка
0,112121», которые необходимы для оценки
значимости коэффициента корреляции,
параметров уравнения регрессии и всего
уравнения.

На
основе данных таблицы построим уравнение
регрессии: ух=2,836-0,067х.
Коэффициент регрессии а1=-0,067
означает, что с повышением урожайности
зерновых на 1 ц/га затраты труда на 1 ц
зерна уменьшаются на 0,067 чел.-ч.

Коэффициент
корреляции r=0,85>0,7,
следовательно, связь между изучаемыми
признаками в данной совокупности тесная.
Коэффициент детерминации r2=0,73
показывает, что 73% вариации результативного
признака (затрат труда на 1 ц зерна)
вызвано действием факторного признака
(урожайности зерновых).

В
таблице критических точек распределения
Фишера — Снедекора найдём критическое
значение F-критерия
при уровне значимости 0,05 и числе степеней
свободы к1=m-1=2-1=1
и k2=n-m=30-2=28,
оно равно 4,21. Так как рассчитанное
значение критерия больше табличного
(F=74.9896>4,21),
то уравнение регрессии признаётся
значимым.

Для
оценки значимости коэффициента корреляции
рассчитаем t-критерий
Стьюдента:

Втаблице критических точек распределения
Стьюдента найдём критическое значениеt-критерия
при уровне значимости 0,05 и числе степеней
свободы n-1=30-1=29,
оно равно 2,0452. Так как расчётное значение
больше табличного, то коэффициент
корреляции является значимым.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник


Проведем проверку значимости простой линейной регрессии с помощью процедуры

F

-тест.


Disclaimer

: Данную статью не стоит рассматривать, как пересказ главы из учебника по статистике. Статья не обладает ни полнотой, ни строгостью изложения положений статистической науки. Эта статья – о применении MS EXCEL для целей

Регрессионного анализа.

Теоретические отступления приведены лишь из соображения логики изложения. Использование данной статьи для изучения

Регрессии

– плохая идея.

Проверку значимости взаимосвязи переменных в рамках модели

простой линейной регрессии

можно провести разными, но эквивалентными между собой, способами:

Проверку значимости взаимосвязи переменных в рамках модели простой линейной регрессии можно провести разными, но эквивалентными между собой, способами:

  • проверка гипотезы о равенстве 0 коэффициента регрессии

    , т.е. наклона;

  • проверка статистической значимости коэффициента корреляции

    ;

  • с использованием дисперсионного анализа (процедура

    F

    -тест

    ).

Процедуру

F

-теста

рассмотрим на примере

простой линейной регрессии

, когда прогнозируемая переменная Y зависит только от одной переменной Х.

Чтобы определить может ли предложенная модель

линейной регрессии

быть использована для адекватного описания значений переменной Y,

дисперсию

наблюдаемых данных анализируют методом

Дисперсионного анализа (ANOVA for Simple Regression)

.

Дисперсия

данных разбивается на компоненты, которые затем используются в

F

-тесте

для определения значимости регрессии.


F

-тест для проверки значимости регрессии

НЕ относится к простым и интуитивно понятным процедурам. Вероятно, это связано с тем, что для проведения

F

-теста

требуется быть знакомым с определенным количеством статистических понятий и нужно неплохо разбираться в связанных с ними статистических методах. Нам потребуются понятия из следующих разделов статистики:

  • регрессионный анализ

    ;

  • процедура проверки гипотез

    ;

  • статистики и выборочные распределения

    ;

  • распределение Фишера

    ;

  • уровень значимости

    .

Можно, конечно, рассмотреть

F

-тест

формально:

  • вычислить на основании выборки значение

    тестовой

    F

    статистики;
  • сравнить полученное значение со значением, соответствующему заданному

    уровню значимости

    ;
  • в зависимости от соотношения этих величин принять решение о значимости вычисленной

    линейной регрессии

В этой статье ставится более амбициозная задача – разобраться в самом подходе, на котором основан

F

-тест

. Сначала введем несколько определений, которые используются в процедуре

F

-теста

, затем рассмотрим саму процедуру.


Примечание

: Для тех, кому некогда, незачем или просто не хочется разбираться в теоретических выкладках предлагается сразу перейти к

вычислительной части

.


Определения, необходимые для

F

-теста

Согласно

определению дисперсии

,

дисперсия выборки

прогнозируемой переменной Y определяется формулой:

В формуле используется ряд сокращений:

  • SST (Total Sum of Squares) – это просто компактное обозначение Суммы Квадратов отклонений от среднего (такое сокращение часто используется в зарубежной литературе).
  • MST (Total Mean Square) – Среднее Суммы Квадратов отклонений (еще одно общеупотребительное сокращение).


Примечание

: Необходимо иметь в виду, что с одной стороны величины MST и SST являются случайными величинами, вычисленными на основании выборки, т.е.

статистиками

. Однако с другой стороны, при проведении

регрессионного анализа

по данным имеющейся выборки вычисляются их конкретные значения. В этом случае величины MST и SST являются просто числами.

Значение n-1 в вышеуказанной формуле равно

числу степеней свободы (

DF

)

, которое относится к

дисперсии выборки

(одна

степень свободы

у

n

величин yi потеряна в результате наличия ограничения

, связывающего все значения выборки). Число

степеней свободы

у величины SST также имеет специальное обозначение: DFT (DF Total).

Как видно из формулы, отношение величин SST и DFT обозначается как MST. Эти 3 величины обычно выдаются в таблице результатов

дисперсионного анализа

в различных прикладных статистических программах (в том числе и в

надстройке Пакет анализа, инструмент Регрессия

).

Значение SST, характеризующую

общую

изменчивость переменной

Y, можно разбить на 2 компоненты:


  • Изменчивость объясненную моделью

    (Explained variation), обозначается SSR


  • Необъясненную изменчивость

    (Unexplained variation), обозначается SSЕ

Известно

, что справедливо равенство:


SST

=

SSR

+

SSE

Величинам

SSR

и

SSE

также сопоставлены

степени свободы

. У

SSR

одна

степень свободы

, т.к. она однозначно определяется одним параметром – наклоном

линии регрессии

a

(напомним, что мы рассматриваем

простую линейную регрессию

). Это очевидно из формулы:


Примечание:

Очевидность наличия только одной

степени свободы

проистекает из факта, что переменная Х – контролируемая (не является случайной величиной).


Число степеней свободы

величины

SSR

имеет специальное обозначение:

DFR

(для простой регрессии DFR=1, т.к. число независимых переменных Х равно 1)

.

По аналогии с MST, отношение этих величин также часто обозначают

MSR

=

SSR

/

DFR

.

У

SSE

число степеней свободы

равно

n

-2

, которое обозначается как

DFE

(или

DFRES

— residual degrees of freedom).

Двойка вычитается, т.к. изменчивость переменной yi имеет 2 ограничения, связанные с оценкой 2-х параметров линейной модели (

а

и

b

): ŷi=a*xi+b

Отношение этих величин также часто обозначают

MSE

=

SSE

/

DFE

.

MSR и MSE имеют размерность дисперсий, хотя корректней их называть средними значениями квадратов отклонений. Тем не менее, ниже мы их будем «дисперсиями», т.к. они отображают меру разброса: MSE – меру разброса точек наблюдений относительно линии регрессии, MSR показывает насколько линия регрессии совпадает с горизонтальной линией среднего значения Y.


Примечание

: Напомним, что MSE (Mean Square of Errors) является оценкой

дисперсии

s

2

ошибки, подробнее см. статью про

линейную регрессию

, раздел

Стандартная ошибка регрессии

.


Число степеней свободы

обладает свойством аддитивности:

DFT

=

DFR

+

DFE

.

В этом можно убедиться, составив соответствующее равенство

n

-1=1+(

n

-2)

Наконец, определившись с определениями, переходим к рассмотрению самой процедуры

F

-тест

.


Процедура

F

-теста

Сущность

F

-теста

при проверке значимости регрессии заключается в том, чтобы сравнить 2

дисперсии

:

объясненную

моделью (MSR) и

необъясненную

(MSE). Если эти

дисперсии

«примерно равны», то

регрессия незначима

(построенная модель не позволяет объяснить поведение прогнозируемой Y в зависимости от значений переменной Х). Если

дисперсия,

объясненная

моделью (MSR) «существенно больше», чем необъясненная, то

регрессия значимая

.


Примечание

: Чтобы быстрее разобраться с процедурой

F

-теста

рекомендуется вспомнить процедуру проверки статистических гипотез о равенстве дисперсий 2-х

нормальных распределений

(т.е.

двухвыборочный F-тест для дисперсий

).

Чтобы пояснить вышесказанное изобразим на

диаграммах рассеяния

2 случая:

  1. регрессия значима (в этом случае имеем значительный наклон прямой) и
  2. регрессия незначима (линия регрессии близка к горизонтальной прямой).

На первой диаграмме показан случай, когда регрессия значима:

  • Зеленым цветом выделены расстояния от среднего значения до линии регрессии , вычисленные для каждого хi. Сумма квадратов этих расстояний равна SSR;
  • Красным цветом выделены расстояния от линии регрессии до соответствующих точек наблюдений . Сумма квадратов этих расстояний равна SSЕ.

Из диаграммы видно, что в случае значимой регрессии, сумма квадратов «зеленых» расстояний, гораздо больше суммы квадратов «красных». Понятно, что их отношение будет гораздо больше 1. Следовательно, и отношение дисперсий MSR и MSE будет гораздо больше 1 (не забываем, что SSE нужно разделить еще на соответствующее количество степеней свободы n-2).

В случае значимой регрессии точки наблюдений будут находиться вдоль линии регрессии. Их разброс вокруг этой линии описываются ошибками регрессии, которые были минимизированы посредством

процедуры МНК

. Очевидно, что разброс точек относительно линии регрессии значительно меньше, чем относительно горизонтальной линии, соответствующей среднему значению Y.

Совершенно другую картину мы можем наблюдать в случае незначимой регрессии.

Очевидно, что в этом случае, сумма квадратов «зеленых» расстояний, примерно соответствует сумме квадратов «красных». Это означает, что объясненная дисперсия примерно соответствует величине необъясненной дисперсии (MSR/MSE будет близко к 1).

Если ответ о значимости регрессии практически очевиден для 2-х вышеуказанных крайних ситуаций, то как сделать правильное заключение для промежуточных углов наклона линии регрессии?

Понятно, что если вычисленное на основании выборки значение MSR/MSE будет существенно больше некоторого критического значения, то регрессия значима, если нет, то не значима. Очевидно, что это значение должно быть больше 1, но

как определить это критическое значение статистически обоснованным методом

?

Вспомним, что для формулирования статистического вывода (т.е. значима регрессия или нет) используют

проверку гипотез

. Для этого формулируют 2 гипотезы: нулевую

Н

0

и альтернативную

Н

1

. Для проверки значимости регрессии в качестве

нулевой гипотезы

Н

0

принимают, что связи нет, т.е. наклон прямой a=0. В качестве альтернативной гипотезы

Н

1

принимают, что a <>0.


Примечание

: Даже если связи между переменными нет (a=0), то вычисленная на основании данных выборки оценка

наклона

— величина

а

, из-за случайности выборки будет близка, но все же отлична от 0.

По умолчанию принимается, что нулевая гипотеза верна – связи между переменными нет. Если это так, то:

  • MSR/MSE будет близко к 1;
  • Случайная величина F = MSR/MSE будет иметь

    F-распределение

    со степенями свободы

    1 (в числителе) и n-2 (знаменателе). F является

    тестовой статистикой

    для проверки значимости регрессии.


Примечание

: MSR и MSE являются случайными величинами (т.к. они получены на основе случайной выборки). Соответственно, выражение F=MSR/MSE, также является случайной величиной, которая имеет свое распределение,

среднее значение

и

дисперсию

.

Ниже приведен

график плотности вероятности F-распределения

со степенями свободы

1 (в числителе) и 59 (знаменателе). 59=61-2, 61 наблюдение минус 2 степени свободы.

Если нулевая гипотеза верна, то значение F

0

=MSR/MSE, вычисленное на основании выборки, должно быть около ее

среднего значения

(т.е. около 1,04). Если F

0

будет существенно больше 1 (чем больше F0 отклоняется в сторону больших значений, тем это маловероятней), то это будет означать, что F не имеет

F-распределение

, а, следовательно, нулевую гипотезу нужно отклонить и принять альтернативную, утверждающую, что связь между переменными есть (значима).

Обычно предполагают, что если вероятность, того что

F

-статистика

приняла значение F0 составляет менее 5%, то это событие маловероятно и нулевую гипотезу необходимо отклонить. 5% — это

заданный

исследователем

уровень значимости

, который может быть, например, 1% или 10%.

Значение статистики F0 может быть вычислено на основании выборки:


Вычисления в

MS

EXCEL

В MS EXCEL критическое значение для заданного

уровня значимости

F1-альфа, 1, n-2 можно вычислить по формуле =

F.ОБР(1- альфа;1; n-2)

или =

F.ОБР.ПХ(альфа;1; n-2)

. Другими словами требуется вычислить

верхний альфа-квантиль F-распределения

с соответствующими

степенями свободы

.

Таким образом, при значении статистики F0> F1-альфа, 1, n-2 мы имеем основание для отклонения нулевой гипотезы.

Значение F

0

можно вычислить на основании значений выборки по вышеуказанной формуле или с

помощью функции

ЛИНЕЙН()

:

=

ИНДЕКС(ЛИНЕЙН($C$23:$C$83;$B$23:$B$83;;ИСТИНА);4;1)

В случае простой регрессии значение F0 также равно квадрату t-статистики, которую мы использовали при проверке двусторонней гипотезе

о равенстве 0 коэффициента регрессии

.

Проверку значимости регрессии можно также осуществить через вычисление p-значения. В этом случае вычисляют вероятность того, что случайная величина F примет значение F0 (это и есть p-значение), затем сравнивают p-значение с заданным

уровнем значимости

. Если p-значение больше

уровня значимости,

то нулевую гипотезу нет оснований отклонить, и регрессия незначима.

В MS EXCEL для проверки гипотезы используя

p

-значение

используйте формулу =

F.РАСП.ПХ(F0;1;n-2)
< альфа

Если формула вернет ИСТИНА, то регрессия значима. Если формула вернет ЛОЖЬ, то у нас нет оснований отклонить нулевую гипотезу, т.е. «скорее всего» параметр модели a равен 0 (см.

файл примера

, где показано эквивалентность всех подходов проверки значимости регрессии).

В программах статистики результаты процедуры

F

-теста

выводят с помощью стандартной таблицы

дисперсионного анализа

. В

файле примера

такая таблица приведена на листе Таблица, которая построена на основе результатов, возвращаемых

инструментом Регрессия надстройки Пакета анализа MS EXCEL

.

Источник

Функция FПАСПОБР в Excel используется для проверки значимости модели регрессии с применением F-критерия (критерий Фишера), и возвращает числовое значение, соответствующее обратному значению для F-распределения вероятностей (верхнему квантилю). Например, если в качестве вероятности (первый аргумент функции) было введено значение уровня значимости, к примеру, 0,08, то FПАСПОБР вычислит значение случайной величины x, для которой выполняется следующее условие – P(X>x) = 0,08.

Функция FРАСПОБР для оценки значимости параметров модели регрессии

Критическое значения F может быть определено в случае, если в качестве первого аргумента рассматриваемой функции будет введено значение уровня значимости.

Для расчета F используется следующая формула:

оценки значимости параметров модели.

Функция оперирует двумя дополнительными критериями:

  1. Числитель степеней свободы: n1 = k.
  2. Знаменатель степеней свободы: n2 = (n – k – 1).

Через переменную k обозначают число факторов, которые были включены в исследуемую модель регрессии.

В Excel предусмотрена функция для расчета вероятности для распределения Фишера – FРАСП. Между данной и рассматриваемой функциями существует следующая взаимосвязь: =FРАСПОБР(FРАСП(x;n1;n2);n1;n2)=x.

Примечание:

В MS Office 2007 и более поздних версиях была введена функция F.ОБР.ПХ, которая заменила рассматриваемую функцию. FПАСПОБР была оставлена для обеспечения совместимости с документами, созданными в более старых версиях Excel.



Определение верхнего квартиля F-распределения Фишера в Excel

Пример 1. В таблице указаны вероятность, связанная с распределением Фишера, а также числитель и знаменатель степеней свободы соответственно. Определить верхний квантиль данного F-распределения.

Вид таблицы данных:

Пример 1.

Вычислим искомое значение с помощью функции:

=FРАСПОБР(B1;B2;B3)

Полученное число:

FРАСПОБР.

Оценка в Excel эффективности использования технологий на производстве

Пример 2. На заводе есть несколько цехов по производству одного типа продукции. Существует 3 различные технологии изготовления данной продукции. Для оценки были записаны данные о количестве часов, необходимых для производства одной партии продукции каждым цехом с использованием каждой из трех технологий. Оценить эффективность использования технологий, проанализировать полученные значения.

Вид таблицы данных:

Пример 2.

Проведем однофакторный дисперсионный анализ для данных, находящихся в диапазоне ячеек B3:D7, используя соответствующую надстройку Excel. Полученная таблица результатов:

однофакторный дисперсионный анализ данных.

По условия поставленной задачи нас интересует выделенное значение. Поскольку оно <0,05, между данными существует линейная зависимость. В результате анализа уже было определено значение, возвращаемое функцией FРАСПОБР (F критическое). Для расчета можно было использовать функцию:

Здесь СЧЁТЗ(B3:D3) определяет число полей данных, а СЧЁТЗ(B3:D7) – количество исследуемых числовых значений.

Полученное число:

Оценка эффективности технологий.

Особенности использования функции FРАСПОБР в Excel

Функция имеет следующую синтаксическую запись:

=FРАСПОБР(вероятность;степени_свободы1;степени_свободы2)

Описание аргументов:

  • вероятность – обязательный, принимает числовое значение, характеризующее вероятность, которая связана с распределением Фишера;
  • степени_свободы1 – обязательный, принимает числовое значение, соответствующее числителю степеней свободы (равно числу факторов исследуемой регрессии);
  • степени_свободы2 – обязательный, принимает числовое значение, соответствующее знаменателю степеней свободы.

Примечания:

  1. Рассматриваемая функция принимает в качестве любого из аргументов только числовые значения и данные, которые могут быть преобразованы к числам. Если любой из аргументов принимает данные недопустимого типа, будет сгенерирован код ошибки #ЗНАЧ!
  2. Первый аргумент должен быть задан числом из диапазона от 0 до 1. В противном случае функция FПАСПОБР вернет код ошибки #ЧИСЛО!
  3. Второй и третий аргумент функции должны быть заданы числами из диапазона от 1 до 10^10. При вводе значений, находящихся вне допустимого диапазона, будет сгенерирован код ошибки #ЧИСЛО!
  4. Рассматриваемая функция использует итеративный подход к вычислениям (последовательный подбор приближенного значения в циклах). Если спустя 100 итераций решение не было найдено, результатом выполнения функции FПАСПОБР будет код ошибки #Н/Д.
Источник

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции LINEST в Microsoft Excel. Ссылки на дополнительные сведения о диаграммах и выполнении регрессионного анализа можно найти в разделе См. также.

Описание

Функция ЛИНЕЙН рассчитывает статистику для ряда с применением метода наименьших квадратов, чтобы вычислить прямую линию, которая наилучшим образом аппроксимирует имеющиеся данные и затем возвращает массив, который описывает полученную прямую. Функцию ЛИНЕЙН также можно объединять с другими функциями для вычисления других видов моделей, являющихся линейными по неизвестным параметрам, включая полиномиальные, логарифмические, экспоненциальные и степенные ряды. Поскольку возвращается массив значений, функция должна задаваться в виде формулы массива. Инструкции приведены в данной статье после примеров.

Уравнение для прямой линии имеет следующий вид:

y = mx + b

или

y = m1x1 + m2x2 +… + b

если существует несколько диапазонов значений x, где зависимые значения y — функции независимых значений x. Значения m — коэффициенты, соответствующие каждому значению x, а b — постоянная. Обратите внимание, что y, x и m могут быть векторами. Функция ЛИНЕЙН возвращает массив {mn;mn-1;…;m1;b}. Функция ЛИНЕЙН может также возвращать дополнительную регрессионную статистику.

Синтаксис

ЛИНЕЙН(известные_значения_y; [известные_значения_x]; [конст]; [статистика])

Аргументы функции ЛИНЕЙН описаны ниже.

Синтаксис

  • Известные_значения_y.    Обязательный аргумент. Множество значений y, которые уже известны для соотношения y = mx + b.

    • Если массив известные_значения_y имеет один столбец, то каждый столбец массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная.

    • Если массив известные_значения_y имеет одну строку, то каждая строка массива известные_значения_x интерпретируется как отдельная переменная.

  • Известные_значения_x.    Необязательный аргумент. Множество значений x, которые уже известны для соотношения y = mx + b.

    • Массив известные_значения_x может содержать одно или несколько множеств переменных. Если используется только одна переменная, то массивы известные_значения_y и известные_значения_x могут иметь любую форму — при условии, что они имеют одинаковую размерность. Если используется более одной переменной, то известные_значения_y должны быть вектором (т. е. интервалом высотой в одну строку или шириной в один столбец).

    • Если массив известные_значения_x опущен, то предполагается, что это массив {1;2;3;…}, имеющий такой же размер, что и массив известные_значения_y.

  • Конст.    Необязательный аргумент. Логическое значение, которое указывает, требуется ли, чтобы константа b была равна 0.

    • Если аргумент конст имеет значение ИСТИНА или опущен, то константа b вычисляется обычным образом.

    • Если аргумент конст имеет значение ЛОЖЬ, то значение b полагается равным 0 и значения m подбираются таким образом, чтобы выполнялось соотношение y = mx.

  • Статистика.    Необязательный аргумент. Логическое значение, которое указывает, требуется ли вернуть дополнительную регрессионную статистику.

    • Если статистика имеет true, то LINEST возвращает дополнительную регрессию; в результате возвращается массив {mn;mn-1,…,m1;b;sen,sen-1,…,se1;seb;r2;sey; F,df;ssreg,ssresid}.

    • Если аргумент статистика имеет значение ЛОЖЬ или опущен, функция ЛИНЕЙН возвращает только коэффициенты m и постоянную b.

      Дополнительная регрессионная статистика.

Величина

Описание

se1,se2,…,sen

Стандартные значения ошибок для коэффициентов m1,m2,…,mn.

seb

Стандартное значение ошибки для постоянной b (seb = #Н/Д, если аргумент конст имеет значение ЛОЖЬ).

r2

Коэффициент определения. Сравнивает предполагаемые и фактические значения y и диапазоны значений от 0 до 1. Если значение 1, то в выборке будет отличная корреляция— разница между предполагаемым значением y и фактическим значением y не существует. С другой стороны, если коэффициент определения — 0, уравнение регрессии не помогает предсказать значение y. Сведения о том, каквычисляется 2, см. в разделе «Замечания» далее в этой теме.

sey

Стандартная ошибка для оценки y.

F

F-статистика или F-наблюдаемое значение. F-статистика используется для определения того, является ли случайной наблюдаемая взаимосвязь между зависимой и независимой переменными.

df

Степени свободы. Степени свободы используются для нахождения F-критических значений в статистической таблице. Для определения уровня надежности модели необходимо сравнить значения в таблице с F-статистикой, возвращаемой функцией ЛИНЕЙН. Дополнительные сведения о вычислении величины df см. ниже в разделе «Замечания». Далее в примере 4 показано использование величин F и df.

ssreg

Регрессионная сумма квадратов.

ssresid

Остаточная сумма квадратов. Дополнительные сведения о расчете величин ssreg и ssresid см. в подразделе «Замечания» в конце данного раздела.

На приведенном ниже рисунке показано, в каком порядке возвращается дополнительная регрессионная статистика.

Лист

Замечания

  • Любую прямую можно описать ее наклоном и пересечением с осью y:

    Наклон (m):
    Чтобы найти наклон линии, обычно записанной как m, возьмите две точки на строке (x1;y1) и (x2;y2); наклон равен (y2 — y1)/(x2 — x1).

    Y-перехват (b):
    Y-пересечение строки, обычно записанное как b, — это значение y в точке, в которой линия пересекает ось y.

    Уравнение прямой имеет вид y = mx + b. Если известны значения m и b, то можно вычислить любую точку на прямой, подставляя значения y или x в уравнение. Можно также воспользоваться функцией ТЕНДЕНЦИЯ.

  • Если имеется только одна независимая переменная x, можно получить наклон и y-пересечение непосредственно, воспользовавшись следующими формулами:

    Наклон:
    =ИНДЕКС( LINEST(known_y,known_x’s);1)

    Y-перехват:
    =ИНДЕКС( LINEST(known_y,known_x),2)

  • Точность аппроксимации с помощью прямой, вычисленной функцией ЛИНЕЙН, зависит от степени разброса данных. Чем ближе данные к прямой, тем более точной является модель ЛИНЕЙН. Функция ЛИНЕЙН использует для определения наилучшей аппроксимации данных метод наименьших квадратов. Когда имеется только одна независимая переменная x, значения m и b вычисляются по следующим формулам:

    Уравнение

    Уравнение

    где x и y — выборочные средние значения, например x = СРЗНАЧ(известные_значения_x), а y = СРЗНАЧ(известные_значения_y).

  • Функции ЛИННЕСТРОЙ и ЛОГЪЕСТ могут вычислять наилучшие прямые или экспоненциальное кривой, которые подходят для ваших данных. Однако необходимо решить, какой из двух результатов лучше всего подходит для ваших данных. Вы можетевычислить known_y(known_x) для прямой линии или РОСТ(known_y, known_x в) для экспоненциальной кривой. Эти функции без аргумента new_x возвращают массив значений y, спрогнозируемых вдоль этой линии или кривой в фактических точках данных. Затем можно сравнить спрогнозируемые значения с фактическими значениями. Для наглядного сравнения можно отобразить оба этих диаграммы.

  • Проводя регрессионный анализ, Microsoft Excel вычисляет для каждой точки квадрат разности между прогнозируемым значением y и фактическим значением y. Сумма этих квадратов разностей называется остаточной суммой квадратов (ssresid). Затем Microsoft Excel подсчитывает общую сумму квадратов (sstotal). Если конст = ИСТИНА или значение этого аргумента не указано, общая сумма квадратов будет равна сумме квадратов разностей действительных значений y и средних значений y. При конст = ЛОЖЬ общая сумма квадратов будет равна сумме квадратов действительных значений y (без вычитания среднего значения y из частного значения y). После этого регрессионную сумму квадратов можно вычислить следующим образом: ssreg = sstotal — ssresid. Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента определения r2— индикатор того, насколько хорошо уравнение, выданное в результате регрессионного анализа, объясняет связь между переменными. Значение r2 равно ssreg/sstotal.

  • В некоторых случаях один или несколько столбцов X (предполагается, что значения Y и X — в столбцах) могут не иметь дополнительного прогнозируемого значения при наличии других столбцов X. Другими словами, удаление одного или более столбцов X может привести к одинаковой точности предсказания значений Y. В этом случае эти избыточные столбцы X следует не использовать в модели регрессии. Этот вариант называется «коллинеарность», так как любой избыточный X-столбец может быть выражен как сумма многих не избыточных X-столбцов. Функция ЛИНЕЙН проверяет коллинеарность и удаляет все избыточные X-столбцы из модели регрессии при их идентификации. Удалены столбцы X распознаются в результатах LINEST как имеющие коэффициенты 0 в дополнение к значениям 0 se. Если один или несколько столбцов будут удалены как избыточные, это влияет на df, поскольку df зависит от числа X столбцов, фактически используемых для прогнозирования. Подробные сведения о вычислении df см. в примере 4. Если значение df изменилось из-за удаления избыточных X-столбцов, это также влияет на значения Sey и F. Коллинеарность должна быть относительно редкой на практике. Однако чаще всего возникают ситуации, когда некоторые столбцы X содержат только значения 0 и 1 в качестве индикаторов того, является ли тема в эксперименте участником определенной группы или не является ее участником. Если конст = ИСТИНА или опущен, функция LYST фактически вставляет дополнительный столбец X из всех 1 значений для моделирования перехвата. Если у вас есть столбец с значением 1 для каждой темы, если мальчик, или 0, а также столбец с 1 для каждой темы, если она является женщиной, или 0, последний столбец является избыточным, так как записи в нем могут быть получены из вычитания записи в столбце «самец» из записи в дополнительном столбце всех 1 значений, добавленных функцией LINEST.

  • Вычисление значения df для случаев, когда столбцы X удаляются из модели вследствие коллинеарности происходит следующим образом: если существует k столбцов известных_значений_x и значение конст = ИСТИНА или не указано, то df = n – k – 1. Если конст = ЛОЖЬ, то df = n — k. В обоих случаях удаление столбцов X вследствие коллинеарности увеличивает значение df на 1.

  • При вводе константы массива (например, в качестве аргумента известные_значения_x) следует использовать точку с запятой для разделения значений в одной строке и двоеточие для разделения строк. Знаки-разделители могут быть другими в зависимости от региональных параметров.

  • Следует отметить, что значения y, предсказанные с помощью уравнения регрессии, возможно, не будут правильными, если они располагаются вне интервала значений y, которые использовались для определения уравнения.

  • Основной алгоритм, используемый в функции ЛИНЕЙН, отличается от основного алгоритма функций НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Разница между алгоритмами может привести к различным результатам при неопределенных и коллинеарных данных. Например, если точки данных аргумента известные_значения_y равны 0, а точки данных аргумента известные_значения_x равны 1, то:

    • Функция ЛИНЕЙН возвращает значение, равное 0. Алгоритм функции ЛИНЕЙН используется для возвращения подходящих значений для коллинеарных данных, и в данном случае может быть найден по меньшей мере один ответ.

    • Наклон и ОТОКП возвращают #DIV/0! ошибка «#ЗНАЧ!». Алгоритм функций НАКЛОН и ОТОКП предназначен для поиска только одного ответа, и в этом случае может быть несколько ответов.

  • Помимо вычисления статистики для других типов регрессии с помощью функции ЛГРФПРИБЛ, для вычисления диапазонов некоторых других типов регрессий можно использовать функцию ЛИНЕЙН, вводя функции переменных x и y как ряды переменных х и у для ЛИНЕЙН. Например, следующая формула:

    =ЛИНЕЙН(значения_y, значения_x^СТОЛБЕЦ($A:$C))

    работает при наличии одного столбца значений Y и одного столбца значений Х для вычисления аппроксимации куба (многочлен 3-й степени) следующей формы:

    y = m1*x + m2*x^2 + m3*x^3 + b

    Формула может быть изменена для расчетов других типов регрессии, но в отдельных случаях требуется корректировка выходных значений и других статистических данных.

  • Значение F-теста, возвращаемое функцией ЛИНЕЙН, отличается от значения, возвращаемого функцией ФТЕСТ. Функция ЛИНЕЙН возвращает F-статистику, в то время как ФТЕСТ возвращает вероятность.

Примеры

Пример 1. Наклон и Y-пересечение

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Известные значения y

Известные значения x

1

0

9

4

5

2

7

3

Результат (наклон)

Результат (y-пересечение)

2

1

Формула (формула массива в ячейках A7:B7)

=ЛИНЕЙН(A2:A5;B2:B5;;ЛОЖЬ)

Пример 2. Простая линейная регрессия

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Месяц

Продажи

1

3 100 ₽

2

4 500 ₽

3

4 400 ₽

4

5 400 ₽

5

7 500 ₽

6

8 100 ₽

Формула

Результат

=СУММ(ЛИНЕЙН(B1:B6; A2:A7)*{9;1})

11 000 ₽

Вычисляет предполагаемый объем продаж в девятом месяце на основе данных о продажах за период с первого по шестой месяцы.

Пример 3. Множественная линейная регрессия

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Общая площадь (x1)

Количество офисов (x2)

Количество входов (x3)

Время эксплуатации (x4)

Оценочная цена (y)

2310

2

2

20

142 000 ₽

2333

2

2

12

144 000 ₽

2356

3

1,5

33

151 000 ₽

2379

3

2

43

150 000 ₽

2402

2

3

53

139 000 ₽

2425

4

2

23

169 000 ₽

2448

2

1,5

99

126 000 ₽

2471

2

2

34

142 900 ₽

2494

3

3

23

163 000 ₽

2517

4

4

55

169 000 ₽

2540

2

3

22

149 000 ₽

-234,2371645

13,26801148

0,996747993

459,7536742

1732393319

Формула (формула динамического массива, введенная в A19)

=ЛИНЕЙН(E2:E12; A2:D12; ИСТИНА; ИСТИНА)

Пример 4. Использование статистики F и r2

В предыдущем примере коэффициент определения (r2)составляет 0,99675 (см. ячейку A17 в результатах для ЛИТН), что указывает на крепкая связь между независимыми переменными и ценой продажи. F-статистику можно использовать для определения случайности этих результатов с таким высоким значением r2.

Предположим, что на самом деле взаимосвязи между переменными не существует, просто статистический анализ вывел сильную взаимозависимость по взятой равномерной выборке 11 зданий. Величина «Альфа» используется для обозначения вероятности ошибочного вывода о существовании сильная взаимозависимости.

Значения F и df в результатах функции LINEST можно использовать для оценки вероятности возникновения более высокого F-значения. F можно сравнивать с критическими значениями в опубликованных F-таблицах или с помощью функции FРАСП в Excel для вычисления вероятности случайного возникновения большего F-значения. Соответствующее F-распределение имеет v1 и v2 степени свободы. Если n — количество точек данных и конст = ИСТИНА или опущен, то v1 = n – df – 1 и v2 = df. (Если конст = ЛОЖЬ, то v1 = n – df и v2 = df.) Функция FIST с синтаксисом FDIST(F;v1;v2) возвращает вероятность возникновения более высокого F-значения, случайного. В этом примере df = 6 (ячейка B18) и F = 459,753674 (ячейка A18).

Предположим, что альфа имеет значение 0,05, v1 = 11 – 6 – 1 = 4, а v2 = 6, критический уровень F составляет 4,53. Поскольку F = 459,753674 значительно больше 4,53, вероятность того, что F-значение этого высокой случайности превышает 4,53, крайне маловероятно. (Если значение «Альфа» = 0,05, гипотеза о том, что между known_y и known_x нет связи, отклоняется при превышении F критического уровня (4,53).) Функцию FDIST в Excel можно использовать для получения вероятности случайного возникновения F-значения. Например, FIST(459,753674, 4, 6) = 1,37E-7, очень небольшая вероятность. Можно сделать вывод о том, что формула регрессии полезна для предсказания оценочного значения офисных зданий в этой области, найдя критический уровень F в таблице или с помощью функции FDIST. Помните, что крайне важно использовать правильные значения 1 и 2, вычисленные в предыдущем абзаце.

Пример 5. Вычисление t-статистики

Другой тест позволяет определить, подходит ли каждый коэффициент наклона для оценки стоимости здания под офис в примере 3. Например, чтобы проверить, имеет ли срок эксплуатации здания статистическую значимость, разделим -234,24 (коэффициент наклона для срока эксплуатации здания) на 13,268 (оценка стандартной ошибки для коэффициента времени эксплуатации из ячейки A15). Ниже приводится наблюдаемое t-значение:

t = m4 ÷ se4 = –234,24 ÷ 13,268 = –17,7

Если абсолютное значение t достаточно велико, можно сделать вывод, что коэффициент наклона можно использовать для оценки стоимости здания под офис в примере 3. В таблице ниже приведены абсолютные значения четырех наблюдаемых t-значений.

Если обратиться к справочнику по математической статистике, то окажется, что t-критическое двустороннее с 6 степенями свободы равно 2,447 при Альфа = 0,05. Критическое значение также можно также найти с помощью функции Microsoft Excel СТЬЮДРАСПОБР. СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 6) = 2,447. Поскольку абсолютная величина t, равная 17,7, больше, чем 2,447, срок эксплуатации — это важная переменная для оценки стоимости здания под офис. Аналогичным образом можно протестировать все другие переменные на статистическую значимость. Ниже приводятся наблюдаемые t-значения для каждой из независимых переменных.

Переменная

t-наблюдаемое значение

Общая площадь

5,1

Количество офисов

31,3

Количество входов

4,8

Возраст

17,7

Абсолютная величина всех этих значений больше, чем 2,447. Следовательно, все переменные, использованные в уравнении регрессии, полезны для предсказания оценочной стоимости здания под офис в данном районе.

Источник

Like this post? Please share to your friends:
  • Значимо автоматически в excel
  • Значения ячеек чтобы получить ссылку в excel
  • Значения ячеек которые без формул excel
  • Значения элементов матрицы excel
  • Значения целевой функции не сходятся excel