Задачи на оптимизационное моделирование в excel

Практическая
работа: Поиск решения.

Большинство задач, решаемых с помощью электронной таблицы,
предполагают нахождение искомого результата по известным исходным данным. Но в
Excel есть инструменты, позволяющие решить и обратную задачу: подобрать
исходные данные для получения желаемого результата.

Одним из таких инструментов является Поиск решения,
который особенно удобен для решения так называемых «задач
оптимизации».

Если Вы раньше не использовали Поиск решения, то Вам
потребуется установить соответствующую надстройку.

Сделать это можно  через диалоговое
окно Параметры Excel

Начиная с версии Excel 2007 кнопка для запуска Поиска
решения появится на вкладке Данные.

Задание
1. Распределение премии

Предположим, что Вы начальник
производственного отдела и Вам предстоит по-честному распределить премию в
сумме 100 000 руб. между сотрудниками отдела пропорционально их должностным
окладам. Другими словами Вам требуется подобрать коэффициент пропорциональности
для вычисления размера премии по окладу.

 Первым делом создаём таблицу с
исходными данными и формулами, с помощью которых должен быть получен результат.
В нашем случае результат — это суммарная величина премии. Очень важно, чтобы
целевая ячейка (С8) посредством формул была связана с искомой изменяемой
ячейкой (Е2). В примере они связаны через промежуточные формулы, вычисляющие
размер премии для каждого сотрудника (С2:С7).

Теперь запускаем Поиск решения и в открывшемся
диалоговом окне устанавливаем необходимые параметры. Внешний вид диалоговых
окон в разных версиях несколько различается:

 Начиная с Excel 2010

1.       Целевая
ячейка, в которой должен получиться желаемый результат. Целевая ячейка может
быть только одна

2.       Варианты
оптимизации:  максимальное возможное значение, минимальное возможное
значение или конкретное значение. Если требуется получить
конкретное значение, то его следует указать в поле ввода

3.       Изменяемых
ячеек может быть несколько: отдельные ячейки или диапазоны. Собственно, именно
в них Excel перебирает варианты с тем, чтобы получить в целевой ячейке заданное
значение

4.      

Ограничения задаются с помощью кнопки Добавить.
Задание ограничений, пожалуй, не менее важный и сложный этап, чем построение
формул. Именно ограничения обеспечивают получение правильного результата.
Ограничения можно задавать как для отдельных ячеек, так и для диапазонов.
Помимо всем понятных знаков =, >=, <=, при задании ограничений можно
использовать варианты цел (целое), бин (бинарное
или двоичное, т.е. 0 или 1), раз (все разные — только начиная
с версии Excel 2010).

В данном примере ограничение только одно: коэффициент должен быть
положительным. Это ограничение можно задать по-разному: либо установить явно,
воспользовавшись кнопкой Добавить, либо поставить флажок Сделать
переменные без ограничений неотрицательными.

5.    
Кнопка, включающая итеративные вычисления с заданными параметрами.

 После нажатия кнопки Найти решение (Выполнить) Вы
уже можете видеть в таблице полученный результат. При этом на экране появляется
диалоговое окно Результаты поиска решения. 

 Начиная с Excel 2010

Если результат, который Вы видите в таблице Вас устраивает, то в
диалоговом окне Результаты поиска решения нажимаете ОК и
фиксируете результат в таблице. Если же результат Вас не устроил, то нажимаете Отмена и
возвращаетесь к предыдущему состоянию таблицы.

Решение данной задачи выглядит так

Важно: при любых изменениях исходных данных
для получения нового результата Поиск решения придется
запускать снова.

Разберём еще одну задачу оптимизации (получение максимальной
прибыли)

Задание
2. Мебельное производство (максимизация прибыли)

Фирма производит две модели А и В сборных
книжных полок.

Их производство ограничено наличием сырья
(высококачественных досок) и временем машинной обработки.

Для каждого изделия модели А требуется 3
м² досок, а для изделия модели В — 4 м². Фирма может получить от своих
поставщиков до 1700 м² досок в неделю.

Для каждого изделия модели А требуется 12
мин машинного времени, а для изделия модели В — 30 мин. в неделю можно
использовать 160 ч машинного времени.

Сколько изделий каждой модели следует
выпускать фирме в неделю для достижения максимальной прибыли, если
каждое изделие модели А приносит 60 руб. прибыли, а каждое изделие модели В —
120 руб. прибыли?

Порядок действий:

1.    
Сначала создаем таблицы с исходными данными и формулами.
Расположение ячеек на листе может быть абсолютно произвольным, таким как удобно
автору. Например, как на рисунке

2.    
Запускаем Поиск решения и в диалоговом окне
устанавливаем необходимые параметры

1.    
Целевая ячейка B12 содержит формулу для расчёта прибыли

2.    
Параметр оптимизации — максимум

3.    
Изменяемые ячейки B9:C9

4.    
Ограничения: найденные значения должны быть целыми,
неотрицательными; общее количество машинного времени не должно превышать 160 ч
(ссылка на ячейку D16); общее количество сырья не должно превышать 1700 м²
(ссылка на ячейку D15). Здесь вместо ссылок на ячейки D15 и D16 можно было
указать числа, но при использовании ссылок какие-либо изменения ограничений
можно производить прямо в таблице

5.    
Нажимаем кнопку Найти решение (Выполнить) и после
подтверждения получаем результат

Но даже если Вы правильно создали формулы
и задали ограничения, результат может оказаться неожиданным. Например, при
решении данной задачи Вы можете увидеть такой результат:

 И это несмотря на то, что было задано ограничение целое.
В таких случаях можно попробовать настроить параметры Поиска решения.
Для этого в окне Поиск решения нажимаем кнопку Параметры и
попадаем в одноимённое диалоговое окно

Первый из выделенных параметров отвечает
за точность вычислений. Уменьшая его, можно добиться более точного результата,
в нашем случае — целых значений. Второй из выделенных параметров (доступен,
начиная с версии Excel 2010) даёт ответ на вопрос: как вообще могли получиться
дробные результаты при ограничении целое? Оказывается Поиск
решения это ограничение просто проигнорировал в соответствии с
установленным флажком.

Задание 3. Транспортная задача
(минимизация затрат)

На заказ строительной компании песок
перевозиться от трех поставщиков (карьеров) пяти потребителям (строительным
площадкам). Стоимость на доставку включается в себестоимость объекта, 
поэтому строительная компания заинтересована обеспечить потребности своих
стройплощадок в песке самым дешевым способом.

Дано: запасы песка на карьерах;
потребности в песке стройплощадок; затраты на транспортировку между каждой
парой «поставщик-потребитель».

Нужно найти схему оптимальных перевозок
для удовлетворения нужд (откуда и куда), при которой общие затраты на
транспортировку были бы минимальными.

Пример расположения ячеек с исходными
данными и ограничениями, искомых ячеек и целевой ячейки показан на рисунке

В серых ячейках формулы суммы по строкам и
столбцам, а в целевой ячейке формула для подсчёта общих затрат на
транспортировку.

Запускаем Поиск решения и устанавливаем необходимые параметры (см.
рисунок)

Нажимаем Найти решение (Выполнить) и
получаем результат, изображенный ниже

Иногда транспортные задачи усложняются с
помощью дополнительных ограничений. Например, по каким-то причинам невозможно
возить песок с карьера 2 на стройплощадку №3. Добавляем ещё одно
ограничение $D$13=0. И после запуска Поиска решения получаем другой
результат

И последнее, на что следует обратить внимание, это выбор метода
решения. Если задача достаточно сложная, то для достижения результата может
потребоваться подобрать метод решения

Начиная с Excel 2010

Задача для самостоятельного решения.

Крестьянин на базаре за 100 рублей купил
100 голов скота. Бык стоит 10 рублей, корова 5 рублей, телёнок 50 копеек.
Сколько быков, коров и телят купил крестьянин?

КГАПОУ «ПТПИТ»

Разработка урока

Тема урока:

«Задачи оптимизационного моделирования в MS Excel»

Категория обучаемых: 2 курс

Группа 15ПГ1

Требуемый объем часов: 1 урока — 45 минут

Разработчик Болотова О.Г.

г.Пермь, 2016

Пояснительная записка

Данная разработка урока имеет большое значение в курсе «Информатики и ИКТ», так как она не только демонстрирует возможности информационных технологий – электронных таблиц, но и иллюстрирует моделирование экономических процессов.

При решении задачи, предложенном на этом уроке, осуществляется поиск наиболее оптимальных решений. Критерием оптимальности в задачах являются различные параметры: максимальное количество выпускаемой продукции, максимальная прибыль предприятия, минимальные затраты производства.

Разработанный урок содержит элементы развивающегося обучения, на последующем уроке отрабатываются элементы проблемного обучения (дополнительные задания), что способствует самостоятельной деятельности учащихся, развитию их мышления.

После данного урока учащимся для закрепления навыков предлагается самостоятельно выполнить ряд практических работ с оптимизационными задачами разного уровня сложности. Тем, кто недостаточно хорошо усвоил решение данного типа задач, предлагается задача, в которой рассматривается математическая модель этой задачи, остается только решить ее на компьютере. Для решения других задач учащимся необходимо самостоятельно разработать математическую модель и решить задачу на компьютере.

При изучении данной темы развиваются общие и профессиональные компетенции.

Общие компетенции:

ОК 1.Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, исходя из целей и способов ее достижения, определенных руководителем.

ОК 4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

Профессиональные компетенции:

ПК 2. Выполнять ввод цифровой и аналоговой информации в персональный компьютер с различных носителей.

В заключении урока учащиеся знакомятся с новым понятием из раздела математики – линейным программированием.

Изучаемые понятия:

• Оптимизационное моделирование;

• Алгоритм решения задач на оптимизацию;

• Надстройка «Поиск решения» в Excel.

План урока

• Организационный момент (2 мин)

• Актуализация знаний (12 мин)

• Работа на компьютере (27 мин)

• Подведение итогов урока (4 мин)

Цели  урока:

• Научиться моделировать и строить задачи в среде MS Excel

• Составлять алгоритм решения задач на оптимизацию в среде MS Excel

Задачи:

Обучающие:

• Получение представления о решении задач на оптимизацию,

• Получение навыков работы с надстройкой «Поиск решения» в Excel,

• Выработка навыков работы с оптимизационными задачами в Excel.

Развивающие:

• научить использовать знания, полученные на уроках информатики, в профессиональной деятельности;

• развивать логическое мышление, умение обобщать, сопоставлять и применять полученные знания на практике;

• развивать познавательную деятельность учащихся, развивать умение анализировать происходящие изменения в решении задач;

• развивать познавательный интерес, творческую активность, интеллект;

• стимулирование познавательного интереса учащихся к данной теме и предмету “Информатика и ИКТ” в целом.

Воспитательные:

• профессиональная ориентация и подготовка к трудовой деятельности;

• подвести обучающихся к пониманию того, что от знаний, полученных на теории, зависит качество выполняемых работ на практике;

• развивать культуру общения, воспитывать внимание, сообразительность, находчивость.

Форма урока:

• Комбинированный (лекция и практическая работа за компьютером).

Материалы:

• Презентация на тему: «Задачи оптимизационного моделирования в MS Excel»

• Приложение 1. Текст конспекта.

Ход урока:

1. Актуализация знаний (повторение пройденного материала в форме диалога):

• Назначение MS Excel;

• Адресация ячеек;

• Диапазон ячеек;

• Ввод данных.

1. Введение в новый материал:

Табличный процессор MS Excel предоставляет пользователю большие возможности при решении различных расчетных задач. В нем имеется надстройка «Поиск решения», которая позволяет решать задачи отыскания наибольших и наименьших значений (наилучших) при заданных ограничениях.

1. Лекционная подача материала с конспектированием основных понятий (см. Приложение 1 и презентация).

2. Совместное решение задачи на компьютере (электронный документ Задача .xls и Приложение 2).

3. Закрепление пройденного материала (в форме общего обсуждения):

• Что мы понимаем под оптимизацией при решении определенного типа задач?

• Какую возможность табличного процессора MS Excel мы использовали при решении задачи на оптимизацию?

• Что необходимо задать, чтобы решить задачу с использованием надстройки «Поиск решения»?

• Можно ли добиться улучшения целевой функции, если – да, то как?

1. Заключение.

Достаточно часто при решении экономических задач требуется найти такие значения переменных, при которых целевая функция достигает максимального или минимального значения при заданных ограничениях. Решение таких задач удобно производить в MS Excel с использованием надстройки «Поиск решения». При решении данного типа задач строится математическая модель. Математическая дисциплина, которая посвящена решению таких задач, называется математическим программированием. А поскольку в целевую функцию переменные входят линейно, то данные задачи относятся к разделу этой науки, который называется линейным программированием.

Приложение 1

Решение оптимизационных задач в MS Excel

Оптимизационное моделирование – это поиск оптимального, т.е. наилучшего решения конкретной задачи при выполнении некоторых заданных условий.

Критерием оптимальности могут быть различные параметры, например, максимальное количество выпускаемой продукции, максимальная прибыль фирмы, минимальные затраты производства.

При решении задач оптимизационного моделирования на компьютере рекомендуется руководствоваться следующим алгоритмом:

1. Разобрать условие задачи.

2. На основе исходных данных построить математическую модель задачи:

• определить изменяемые (поисковые) переменные;

• задать ограничения;

• выбрать целевую функцию (критерий оптимизации). Целевая функция – это вещественная или целочисленная функция нескольких переменных, подлежащая оптимизации (минимизации или максимизации) в целях решения некоторой оптимизационной задачи.

1. Решить задачу на компьютере с помощью программы MS Excel.

2. Проанализировать полученные данные.

Перед началом работы в MS Excel необходимо убедиться, что надстройка «Поиск решения» установлена.

В Excel 2003: в меню «Сервис» имеется пункт «Поиск решения». Если его нет, нужно установить эту надстройку: в меню «Сервис» – «Надстройки» – устанавливаем флажок «Поиск решения».

В Excel 2007: «Данные» — «Анализ» — «Поиск решения». Если его нет, нужно установить. Чтобы активизировать ее в Excel 2007, щелкните значок Кнопка Microsoft Office , щелкните Параметры Excel, а затем выберите категорию Надстройки. В поле Управление выберите значение Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти. В поле Доступные надстройки установите флажок рядом с пунктом Поиск решения и нажмите кнопку ОК.

Рассмотрим решение задачи на оптимизацию на конкретном примере.

Задача.

Фирма «Компьютер-сервис» поставляет компьютеры под ключ четырех базовых комплектаций: «домашний», «игровой», «офисный» и «экстрим».
Известны средние затраты времени на сборку, проверку и подключение компьютеров. Каждый компьютер приносит определенный уровень прибыли, но спрос ограничен. Кроме того, в плановом периоде ограничен ресурс человеко-часов, отведенных на выполнение каждой производственной операции.
Определить, сколько компьютеров каждого типа необходимо произвести в плановом периоде, имея целью максимизировать прибыль.

Построим математическую модель решения данной задачи.

1 шаг. Количество компьютеров – это изменяемые переменные.

Пусть количество компьютеров каждого вида будут соответственно x1,x2,x3,x4

Тогда общая прибыль = сумма(Прибыль за 1 ед.*количество модели)

Прибыль = 33*x1+67*x2+110*x3+45*x4- Эта и будет целевой функцией.

Прибыль должна быть максимальной.

2 шаг. Задаем ограничения

1. Затраты на подключение 0,9×1+1.1×2+0.7×3+1.3×4

2. Затраты на сборку 1,2×1+1.5×2+0.9×3+1.1×4

3. Затраты на проверку 1,3×1+1.5×2+0.9×3+1.2×4

Получаем систему линейных неравенств

3 шаг. Переходим в MS EXCEL

F:ОбщиеДокументыБолотоваРПКExcelзадачи оптимизации Задача Компьютер-сервис.xls

Приложение 2

Решение задачи на компьютере.

1. Запустите MS Excel.

2. В новой рабочей книге на листе 1 заполните таблицу в соответствии с рисунком 1

Рисунок 1

В описанной модели необходимо максимизировать значение в ячейке D23. В качестве начальных значений принимаются количества информации и обозначаются x1,x2,x3,x4.

Ограничения задачи представлены в таблице 1:

Таблица 1

Дальнейшее решение задачи будем осуществлять с помощью надстройки «Поиск решения».

1. Выделите ячейку с оптимизируемым значением G6.

2. Выберите надстройку Поиск решения. Загрузится надстройка и появляется диалоговое окно «Поиск решения» (рис.2)

Рисунок 2

1. В поле «Установить целевую ячейку» уже находится ссылка на выделенную на предыдущем шаге ячейку (при необходимости эту ссылку можно изменить).

2. Установить переключатель «Равной» максимальному значению (ищется максимальное значение целевой ячейки G6).

3. В параметрах указываем линейность задачи и неотрицательность переменных.

4. Перейдите в поле «Изменяя ячейки:» и укажите диапазон ячеек, которые должны изменяться в процессе поиска наилучшего решения. В данном примере это ячейки $G$3:$G$4.

5. Щелкните по кнопке «Добавить», чтобы ввести первое ограничение задачи. Откроется диалоговое окно «Добавление ограничения» (рис.3).

Рисунок 3

1. Введите первое ограничение $D$18:$D$21=0

2. Щелкните по кнопке «Добавить», введите следующее ограничение и т.д. из таблицы на предыдущей странице.

Примечание: для задания целочисленности значений ячеек в диапазоне $D$18:$D$21из второго раскрывающегося списка выберите «цел», при этом в поле «Ограничение» автоматически появится «целое». Какие еще ограничения присутствуют? Запишете их.

1. После ввода последнего ограничения нажмите ОК.

Окно поиск решения примет вид (рис.4)

Рисунок 4

Нажав на кнопку «Параметры можно проверить, и при необходимости, изменить условия и варианты поиска решения, что в нашей задаче не требуется.

1. Нажмите кнопку «Выполнить». По окончании поиска решения появится диалоговое окно результатов (рис.5).

Рисунок 5

1. Установите переключатель «Сохранить найденное решение», чтобы сохранить предложенные значения. С помощью этого диалогового окна можно также сформировать отчет.

2. Нажмите ОК. Получится решение

3. Напишите вывод.

1. Сохраните решение задачи в своей папке под именем Задача оптимазации.xls

8

На этой странице вы найдете примеры решений различных оптимизационных задач с использованием пакета электронных таблиц MS Excel (используется как надстройка Поиск решения, так и ручные вычисления).

Задачи оптимизации и Excel

Задачи оптимизации имеют огромное прикладное значение и возникают в самых разных разделах экономики, техники, военного дела и т.п. В таких задачах нас интересуют поиск некоторого оптимального решения (минимизующего или максимизирующего целевую функцию: прибыль, затраты, калорийность и т.п.) в условиях ограничений (наличия ресурсов, дорог, времени, продуктов и т.п.).

Вот некоторые примеры экономических задач: минимизация расходов при формировании состава сырья (например, на текстильных предприятиях), оптимизация раскроя (например, на швейных производствах), минимизация расходов при формировании штатного расписания, оптимизация калорийности и стоимости рациона (как для людей, так и для животных), минимизация расходов на перевозку грузов по маршрутам, оптимизация расходов на изготовление при выборе ассортимента продукции, максимизация прибыли при формировании инвестиционной программы и др.

Часто эти задачи (даже учебные, даже в случае линейности) содержат более десяти переменных(а в случае, например, транспортных задач, и вовсе десятки), что делает ручные расчеты нерациональными. В то же время привычная для всех программа Excel прекрасно подходит для поиска решения.

Алгоритм решения с помощью надстройки «Поиск решения» следующий:

• составить математическую модель задачи: выделить и обозначить переменные, ограничения на них в виде равенств и неравенств (естественные, например, неотрицательность количества, и дополнительные, например, «запасов железной руды не более 10 т»), целевую функцию (то, что нужно оптимизировать) выразить через переменные.
• выделить место под переменные задачи; внести ограничения (левые части — в виде формул от переменных, правые — в виде констант) в файл электронной таблицы Excel,
• внести в ячейку формулу для целевой функции,
• запустить надстройку Поиск решения,
• установить нужные параметры решения (ограничения в листе, ограничения неотрицательности, условие линейности при необходимости и т.п.) и запустить выполнение.

Excel вычислит оптимальные значения переменных и покажет их в ячейках, а также значение целевой функции. Дополнительно можно построить отчеты для анализа решения задачи.

Некоторые задачи оптимизации решаются не с помощью надстройки Поиск решения, а путем подбора параметра или ручных расчетов. Ниже вы найдете примеры разных задач, а также ссылки на другие разделы со сходными заданиями.

Задачи оптимизации: примеры в Excel

Задача 1. Намечается крупномасштабное производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля $R_j$. Определена экономическая эффективность $К$ — каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечении трех сроков $S_i$ рассматриваются как некоторые состояния среды (природы). Значения экономической эффективности для различных проектов и состояний природы приведены в следующей таблице (д. е.):


Выберите оптимальное решение в соответствии с критериями Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (при $а = 0,5$).

Задача 2. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода каждого вида сырья на изготовление единицы продукции данного вида в таблице 6. В ней же указаны прибыль от реализации единицы изделия каждого вида и общее количество сырья данного, которое может быть использовано предприятием.
Требуется такой составить такой план производства изделий А и В, при котором прибыль от реализации будет максимальной?

Задача 3. Фирма N, имеющая филиалы (k), производит продукцию. Каждый филиал фирмы выпускает четыре вида продукции из пяти (i=1-5). Данные, характеризующие производство филиалов $b_{ki}$, приведены в табл.1.
Филиалы фирмы закупают сырье, из которого производят продукцию, у семи АО (j =1-7). Выход готового продукта из 1 тонны сырья $a_{ij}$ показан в табл.2.
Прибыль филиалов фирмы при закупке 1тн сырья у разных АО, $С_{kj}$ , показана в табл.3.
В разделе 1 работы требуется:
1.1.Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, ($x_j$), максимизируя прибыль филиала. Далее, студент формулирует экономико-математическую модель общей задачи линейного программирования (ОЗЛП).
1.2.С помощью полученных в результате реализации модели отчетов сделать рекомендации филиалу фирмы по расширению программы выпуска ассортимента продукции.

Задача 4. Для изготовления одного пирожка требуется 0,8 ед. начинки и 4 ед. теста, одного пирожного 4 ед. начинки и 0,5 ед. теста, одного рулета 2 ед. начинки и 2,5 ед. теста. Сколько пирожков, пирожных и рулетов нужно сделать кондитерской, если в наличии имеется 120 ед. теста и 300 ед. начинки?
Определите доход от реализации кондитерских изделий, если доход от продажи одного пирожка составляет 3 рубля, одного пирожного 2 рубля, одного рулета 1,5.
Для решения задачи используется ППП Excel.

Задача 5. Менеджер проекта по строительству нового торгового гипермаркета компании Наше дело надеется завершить проект за пару недель до Рождества.
После обзора оценок времени выполнения отдельных стадий выяснилось, что потребуются дополнительные инвестиции, чтобы сократить длительность проекта так, чтобы он действительно завершился вовремя. В таблице приведены оценки длительностей стадий и стоимость их сокращения на 1 и на 2 недели.
a. Нарисуйте сетевую диаграмму проекта и найдите критический путь.
b. Определите минимальную стоимость сокращения проекта на 5 недель.

Полезные ссылки

Методички

• Решение оптимизационных задач в среде MS Excel 2013 Методические указания небольшого объема. Разобраны стандартные задачи: ЛП, транспортная, нелинейная, приведены скриншоты решения и пояснения.
• Решение задач оптимизации в Microsoft Excel 2010 Учебное пособие ТОГУ, 101 страница, более увесистый и подробный документ. Разбирается надстройка Поиск решения, решение задач линейного и нелинейного программирования и СЛАУ.

Пусть предприятие (например, мебельная
фабрика) производит столы и стулья.
Расход ресурсов на их производство и
прибыль от их реализации представлены
ниже:

Кроме
того, на производство 80 столов заключен
контракт с муниципалитетом, который,
безусловно, должен быть выполнен.
Необходимо найти такую оптимальную
производственную программу, чтобы
прибыль от реализации продукции была
максимальной.

Пусть x₁ – количество
столов;

х₂ – количество
стульев.

Тогда система ограничений и целевая
функция запишутся следующим образом:

1
80x₁
+ 20х₂
max (целевая функция );

0.5x₁ + 0.04х₂

200 (ограничения по древесине);

12x₁ + 0.6х₂

1800 (ограничения по труду);

x₁
80
(контракт с муниципалитетом);

x₁

0; х₂

0;

x₁, х_2
– целые числа.

Для решения задачи в Excel запишем ее виде,
представленном на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Запись исходных данных для
решения задачи линейной оптимизации

Для решения задачи вызовем меню
Сервис-Поиск решения (Tools-Solver).

В открывшемся диалоговом окне Поиск
решения (рис. 3.5.) укажем:

адрес целевой ячейки (в нашем примере
D5);

диапазон искомых ячеек (А2:A3);

ограничения: А2>=80

A2:A3=целое

A2:A3>=0

В2<=D2

B3<=D3 .

Добавления, изменения и удаления
ограничений производятся с помощью
кнопок Добавить, Изменить, Удалить (Add,
Change, Delete).

Для нахождения оптимального решения
нажмем кнопку Выполнить (Solve). В результате
в таблице получим значение целевой
функции – 42400 млн руб. при x₁
= 80 и x₂ = 1400.

Рис. 3.5. Диалоговое окно Поиск решения

Диалоговое окно Результаты поиска
решения позволяет (рис. 3.6.):

• сохранить на текущем рабочем листе
  найденное оптимальное решение;

• восстановить первоначальные значения;

• сохранить сценарий;

• выдать отчеты по результатам, устойчивости,
  пределам, необходимые для анализа
  найденного решения.

Рис.3.6. Рабочий лист с найденным оптимальным
решением

Рис. 3.7. Диалоговое окно Результаты
поиска решения

Если щелкнуть по кнопке ОК, то на
месте исходной таблицы получим таблицу
с найденными оптимальными значениями
(см. рис. 3.7).

Как видно из результатов решения,
предприятию производить столы не очень
выгодно. Поэтому оно ограничило объем
их выпуска в количестве, необходимом
для выполнения контракта. Остальные
ресурсы направлены на производство
стульев.

Двойственная задача линейного програмирования

Двойственная задача линейного
програмирования может быть
сформулирована следующим образом:

Найти переменные y_i
(i=1,2,…m), при
которых целевая функция была бы
минимальной

,

не нарушая ограничений

Данная задача называется двойственной
(симметричной) по отношению к прямой
задаче, сформулированной во втором
параграфе данной главы. Однако, правильным
будет и обратное утверждение, т.к. обе
задачи равноправны. Переменные
двойственной задачи называются объективно
обусловленными оценками.

Прямая и обратная задачи линейного
програмирования связаны между собой
теоремами двойственности.

Первая теорема двойственности.
Если обе задачи имеют допустимые решения,
то они имеют и оптимальное решение,
причем значение целевых функций у них
будет одинаково:

F(x)=Z(y)
или

.

Если же хотя бы одна из задач не имеет
допустимого решения, то ни одна из них
не имеет оптимального решения.

Вторая теорема двойственности
(теорема о дополняющей нежесткости).
Для того чтобы векторы

были оптимальными решениями соответственно
прямой и двойственной задачи, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись следующие
условия:

Следствие1. Пусть
оптимальное значение некоторой переменной
двойственной задачи строго положительно

.

Тогда из условия (1) получим:

или

Экономический смысл данных выражений
можно интерпретировать в следующей
редакции. Если объективно обусловленная
оценка некоторого ресурса больше нуля
(строго положительна), то этот ресурс
полностью (без остатка) расходуется в
процессе выполнения оптимального плана.

Следствие2. Пусть для
оптимального значения некоторой
переменной x_i
прямой задачи выполняется условие
строгого неравенства

.

Тогда основываясь на том же первом
условии (1) можно заключить, что y_i=0.

Экономически это означает, что если в
оптимальном плане какой-то ресурс
используется не полностью, то его
объективно обусловленная оценка
обязательно равна нулю.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Пользователи Excel давно и успешно применяют программу для решения различных типов задач в разных областях.

Excel – это самая популярная программа в каждом офисе во всем мире. Ее возможности позволяют быстро находить эффективные решения в самых разных сферах деятельности. Программа способна решать различного рода задачи: финансовые, экономические, математические, логические, оптимизационные и многие другие. Для наглядности мы каждое из выше описанных решение задач в Excel и примеры его выполнения.

Решение задач оптимизации в Excel

Оптимизационные модели применяются в экономической и технической сфере. Их цель – подобрать сбалансированное решение, оптимальное в конкретных условиях (количество продаж для получения определенной выручки, лучшее меню, число рейсов и т.п.).

В Excel для решения задач оптимизации используются следующие команды:

Для решения простейших задач применяется команда «Подбор параметра». Самых сложных – «Диспетчер сценариев». Рассмотрим пример решения оптимизационной задачи с помощью надстройки «Поиск решения».

Условие. Фирма производит несколько сортов йогурта. Условно – «1», «2» и «3». Реализовав 100 баночек йогурта «1», предприятие получает 200 рублей. «2» — 250 рублей. «3» — 300 рублей. Сбыт, налажен, но количество имеющегося сырья ограничено. Нужно найти, какой йогурт и в каком объеме необходимо делать, чтобы получить максимальный доход от продаж.

Известные данные (в т.ч. нормы расхода сырья) занесем в таблицу:

На основании этих данных составим рабочую таблицу:

1. Количество изделий нам пока неизвестно. Это переменные.
2. В столбец «Прибыль» внесены формулы: =200*B11, =250*В12, =300*В13.
3. Расход сырья ограничен (это ограничения). В ячейки внесены формулы: =16*B11+13*B12+10*B13 («молоко»); =3*B11+3*B12+3*B13 («закваска»); =0*B11+5*B12+3*B13 («амортизатор») и =0*B11+8*B12+6*B13 («сахар»). То есть мы норму расхода умножили на количество.
4. Цель – найти максимально возможную прибыль. Это ячейка С14.

Активизируем команду «Поиск решения» и вносим параметры.

После нажатия кнопки «Выполнить» программа выдает свое решение.

Оптимальный вариант – сконцентрироваться на выпуске йогурта «3» и «1». Йогурт «2» производить не стоит.



Решение финансовых задач в Excel

Чаще всего для этой цели применяются финансовые функции. Рассмотрим пример.

Условие. Рассчитать, какую сумму положить на вклад, чтобы через четыре года образовалось 400 000 рублей. Процентная ставка – 20% годовых. Проценты начисляются ежеквартально.

Оформим исходные данные в виде таблицы:

Так как процентная ставка не меняется в течение всего периода, используем функцию ПС (СТАВКА, КПЕР, ПЛТ, БС, ТИП).

Заполнение аргументов:

1. Ставка – 20%/4, т.к. проценты начисляются ежеквартально.
2. Кпер – 4*4 (общий срок вклада * число периодов начисления в год).
3. Плт – 0. Ничего не пишем, т.к. депозит пополняться не будет.
4. Тип – 0.
5. БС – сумма, которую мы хотим получить в конце срока вклада.

Вкладчику необходимо вложить эти деньги, поэтому результат отрицательный.

Для проверки правильности решения воспользуемся формулой: ПС = БС / (1 + ставка)^кпер. Подставим значения: ПС = 400 000 / (1 + 0,05)¹⁶ = 183245.

Решение эконометрики в Excel

Для установления количественных и качественных взаимосвязей применяются математические и статистические методы и модели.

Дано 2 диапазона значений:

Значения Х будут играть роль факторного признака, Y – результативного. Задача – найти коэффициент корреляции.

Для решения этой задачи предусмотрена функция КОРРЕЛ (массив 1; массив 2).

Решение логических задач в Excel

В табличном процессоре есть встроенные логические функции. Любая из них должна содержать хотя бы один оператор сравнения, который определит отношение между элементами (=, >, <, >=, <=). Результат логического выражения – логическое значение ИСТИНА или логическое значение ЛОЖЬ.

Пример задачи. Ученики сдавали зачет. Каждый из них получил отметку. Если больше 4 баллов – зачет сдан. Менее – не сдан.

1. Ставим курсор в ячейку С1. Нажимаем значок функций. Выбираем «ЕСЛИ».
2. Заполняем аргументы. Логическое выражение – B1>=4. Это условие, при котором логическое значение – ИСТИНА.
3. Если ИСТИНА – «Зачет сдал». ЛОЖЬ – «Зачет не сдал».

Решение математических задач в Excel

Средствами программы можно решать как простейшие математические задачки, так и более сложные (операции с функциями, матрицами, линейными уравнениями и т.п.).

Условие учебной задачи. Найти обратную матрицу В для матрицы А.

1. Делаем таблицу со значениями матрицы А.
2. Выделяем на этом же листе область для обратной матрицы.
3. Нажимаем кнопку «Вставить функцию». Категория – «Математические». Тип – «МОБР».
4. В поле аргумента «Массив» вписываем диапазон матрицы А.
5. Нажимаем одновременно Shift+Ctrl+Enter — это обязательное условие для ввода массивов.

Скачать примеры

Возможности Excel не безграничны. Но множество задач программе «под силу». Тем более здесь не описаны возможности которые можно расширить с помощью макросов и пользовательских настроек.

Задача №1

«Число 10 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была наибольшей»

Решение:

1) Пусть х – первое число, тогда (10-х) – второе число. Тогда сумма кубов этих чисел равна  Таким образом, мы задачу свели к следующей: найти наибольшее значение функции , где .

2) Найдем наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0;10], исследовав функцию на экстремумы. Для этого  найдем производную :

  Найдем точки экстремума функции S(x). Для этого решим уравнение

Значит, уравнение имеет единственный корень х=5. Вычислим значения функции в критической точке х=5  и на концах отрезка, а      затем из полученных чисел выберем наибольшее.

; ; .  

S(-0,5)=-0,5+=-0,5+0,25=-0,25.

Итак, делаем вывод, что своего наибольшего значения на отрезке [0;10] функция достигает при х=0, т. е. .

3) Число 10  надо представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых 0 и 10 так, чтобы сумма кубов этих чисел была наибольшей.

Ответ: 0; 10

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К классу задач линейного программирования (ЛП) относятся такие задачи однокритериальной оптимизации, в которых переменные являются непрерывными и неотрицательными, целевая функция является линейной функцией своих аргументов, а ограничения могут быть представлены в форме линейных неравенств и равенств.

Задача линейного программирования в общем случае формулируется следующим образом:

Определить максимум (минимум) целевой функции F_max(min) при заданной системе ограничений (2) и граничных условий (3):

Надстройка Поиск решения является инструментом оптимизации. С помощью этой надстройки можно найти оптимальное или заданное значение некоторой ячейки путем подбора значений нескольких ячеек, удовлетворив нескольким граничным условиям.

Целевая ячейка – это ячейка, для которой нужно найти максимальное, минимальное или заданное значения.

Изменяемые ячейки – это ячейки, от которых зависит значение целевой ячейки. Целевая ячейка должна содержать формулу, прямо или косвенно зависящую от изменяемых ячеек. Поиск решения подбирает значения изменяемых ячеек до тех пор, пока не будет найдено решение.

Ограничение – это условие, накладываемое на некоторую ячейку. Ограничения могут быть наложены на любые ячейки таблицы, включая целевую ячейку и изменяемые ячейки.

Чтобы запустить процедуру поиска решения, надо:

1. В меню Данные выбрать команду Поиск решения. Откроется диалоговое окно Поиск решения (рис. 12.
   рис.
   12.11).

1. В поле Установить целевую ячейку ввести ссылку на ячейку, в которой нужно получить максимальное, минимальное или заданное значения.
2. В поле Изменяя ячейки ввести ссылки на изменяемые ячейки. (Если щелкнуть по кнопке Предположить, то Поиск решения самостоятельно определит изменяемые ячейки).
3. Для задания ограничений щелкнуть по кнопке Добавить.
4. В открывшемся диалоговом окне следует: (рис. 12.2
   рис.
   12.2)

• в поле Ссылка на ячейку ввести ссылку на ячейку, содержащую формулу, которая определяет ограничение; формула должна прямо или косвенно зависеть от одной или нескольких изменяемых ячеек;
• во втором поле выбрать оператор ограничения (>,<,= и т.д.);
• в поле Ограничение ввести значение ограничения.

1. Для задания следующего ограничения щелкнуть по кнопке Добавить и повторить операции пункта 5.
2. Когда все ограничения будут заданы, щелкнуть по кнопке ОК, чтобы вернуться в диалоговое окно Поиск решения.

1. Изменять и удалять ограничения можно с помощью кнопок Изменить и Удалить.
2. С помощью кнопки Параметры можно задать: максимальное время решения; предельное число итераций; относительную погрешность; допустимое отклонение; сходимость; метод поиска.

Если известно, что решаемая задача линейная (т.е. зависимости между переменными линейны), то следует включить режим Линейная модель: процесс решения значительно ускорится.

Для возврата в диалоговое окно Поиск решения щелкнуть по кнопке ОК.

Для инициализации процедуры поиска решения щелкнуть по кнопке Выполнить. Полученные результаты будут выведены на рабочий лист.

После завершения процедуры решения в диалоговом окне Результаты поиска решения можно выполнить один из следующих вариантов:

• сохранить найденное решение или восстановить исходные значения на рабочем листе;
• сохранить параметры поиска решения в виде модели;
• сохранить решение в виде сценария;
• просмотреть любой из встроенных отчетов.

Текущие установочные параметры для поиска решения можно сохранить в виде модели. Для этого надо в диалоговом окне Параметры поиска решения щелкнуть по кнопке Сохранить модель и указать на рабочем листе область для сохранения модели (можно указать только верхнюю ячейку области).

При сохранении модели запоминаются целевая ячейка, изменяемые ячейки, ограничения и параметры поиска решения.

Чтобы впоследствии загрузить модель, надо щелкнуть по кнопке Загрузить модель в диалоговом окне Параметры поиска решения. (Диалоговое окно Параметры поиска решения открывается при щелчке по кнопке Параметры в диалоговом окне команды Сервис > Поиск решения).

Найденные решения (значения изменяемых ячеек) можно сохранить в качестве сценария. Для этого нужно:

1. В диалоговом окне Результаты поиска решения выбрать Сохранить сценарий.
2. В поле Название сценария ввести имя сценария. Просмотреть сценарии можно с помощью команды Данные > Работа с данными > Анализ что-если > Диспетчер сценариев > Сценарии.

С помощью программы Поиск решения можно создать три типа отчетов по результатам, полученным при успешном завершении процедуры решения.

Каждый отчет создается на отдельном листе текущей рабочей книги.

Для создания отчета надо в диалоговом окне Результаты поиска решения выбрать нужный тип отчета в поле Тип отчета. Можно выбрать сразу несколько типов (при выделении нескольких строк используется клавиша <Ctrl>).

Типы отчетов:

• Результаты – отчет содержит целевую ячейку, список изменяемых ячеек, их исходные и конечные значения, ограничения и сведения о них.
• Устойчивость – отчет содержит сведения о степени зависимости модели от изменений величин, входящих в формулы, применяемые в задаче (формулы модели и формулы ограничений).
• Пределы – выводится целевая ячейка и ее значение, а также список изменяемых ячеек, их значений, нижних и верхних пределов и целевых результатов.

Рассмотрим применение процессора Excel для решения ЗЛП на примерах.

Задача 1. Планирование производства

Модель линейного программирования дает возможность определить наиболее выгодную производственную программу выпуска нескольких видов продукции при заданных ограничениях на ресурсы.

МП выпускает товары х₁,х₂,х₃,х₄, получая от реализации каждого прибыль в 60,70,120,130 руб. соответственно. Затраты на производство приведены в таблице.

Определить:

1. Максимум прибыли в зависимости от оптимального распределения затрат.
2. Минимум ресурсов, необходимых для получения максимальной прибыли.

Решение задачи средствами Excel состоит из 4 этапов:

1. Создание математической модели задачи ЛП.
2. Создание формы для ввода условий задачи, ввод в неё исходных данных и зависимостей из математической модели.
3. Ввод данных из формы в окно Excel Поиск решения из меню Данные.
4. Задание параметров поиска и решение задачи.

Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

— целевая функция прибыли.

Ограничения модели:

— граничные условия модели, так как количество производимых товаров не может быть отрицательной величиной.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее первого рабочего листа на Задача о производстве.

Создание формы

• Составление формы в виде:

• Запись в ячейки В3:Е3 коэффициентов целевой функции F (1), в В4:Е6 коэффициентов из системы ограничений (2) и в ячейки Н4:Н6 – свободных членов из системы (2).
• Ввод формул с помощью f_x – Мастера функций.

Для ввода формулы в целевую ячейку (целевой функции): щелкнуть левой клавишей мыши по ячейке F3, затем по значку Мастера функций f_x на панели инструментов, в появившемся окне «Мастер функций, Шаг 1» выбрать категорию «Математические», далее выбрать функцию СУММПРОИЗВ, нажать клавишу ОК, в окне «Мастер функций Шаг 2» в поле Массив 1 ввести с клавиатуры В2:Е2 (ячейки, в которых будут варьироваться х₁..х₄), в поле Массив 2 ввести В3:Е3 (коэффициенты целевой функции ЦФ).

Примечание. Можно вводить В2:Е2 не с клавиатуры, а поставить курсор в окно Массив 1, а затем протащить курсор при нажатой левой клавише мыши по ячейкам В2:Е2, имена ячеек сами запишутся в окно. Аналогично поступить с полем Массив 2.

Нажать клавишу ОК, в ячейку F3 запишется формула 60х₁+70х₂+120х₃+ 130х₄ в виде СУММПРОИЗВ(В2:Е2;В3:Е3).

Чтобы не вводить формулы в другие ячейки, необходимо изменить тип адресации для ячеек В2:Е2 с относительной на абсолютную $B$2:$E$2, установив курсор перед нужным адресом B2 и нажав функциональную клавишу F4, затем повторить эти действия для адреса E2. Формула примет следующий вид:

СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В3:Е3)

После внесенных изменений необходимо скопировать формулу в ячейки F4:F6 c помощью маркера заполнения. Для этого необходимо выделить ячейку F3, содержащую нужную формулу, установить указатель мыши на черный квадратик в правом нижнем углу ячейки (он примет форму черного крестика) и протащить с помощью левой кнопки мыши на весь требуемый диапазон.

В результате копирования мы увидим следующие формулы:

• в ячейке F4 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В4:Е4),
• в ячейке F5 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В5:Е5),
• в ячейке F6 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В6:Е6).

Заполнение окна Поиск решения

Выбрать в пункте меню Данные команду Поиск решения, поставить курсор в поле целевой функции, выделить ячейку F3 в форме (или ввести F3 с клавиатуры), поставить переключатель в положение «Максимальному значению» (см. рис. 12.1
рис.
12.1). В поле «Изменяя ячейки» ввести $В$2:$Е$2(с клавиатуры или протащив мышью).

Нажать клавишу «Добавить», в окне «Добавление ограничения» в поле «Ссылка на ячейку» ввести F4, выбрать через «стрелка вниз» знак ««, в поле справа ввести Н4 (рис. 12.
рис.
12.2).

Аналогично через «Добавить» ввести , для системы ограничений (2), а также , , и .

Также необходимо добавить ограничения для получения целочисленных величин по количеству товаров: B2=цел, C2=цел, D2=цел и Е2=цел.

После ввода последнего граничного условия вместо «Добавить» нажать клавишу ОК, появится окно «Поиск решения».

Для изменения или удаления ограничений и граничных условий используются клавиши Изменить, Удалить.

Параметры поиска

В окне «Поиск решения» нажать клавишу «Параметры», выбрать по умолчанию Максимальное время – 100 с, число итераций – 100 (для большинства задач это количество просчётов подходит с большим запасом), установить флажок в строке «Линейная модель», нажать ОК, в появившемся окне Поиск Решения нажать Выполнить (рис. 12.
рис.
12.3).

Результаты поиска решения с таблицей результатов:

Таким образом оптимальный план Х(Х₁,Х₂,Х₃,Х₄)=(10,0,6,0) при минимальном использовании ресурсов

• Трудовые – 16 (У₁)
• Сырьевые – 84 (У₂)
• Финансы – 100 (У₃)

даёт максимум прибыли F в 1320 руб.

_Вывод: Максимальная прибыль F в 1320 руб. получается при выпуске только товаров Х₁ и Х₃ в количестве 10 и 6 штук соответственно, товары Х₃ и Х₄ выпускать не нужно (это приведёт к снижению прибыли). Трудовые (У₁) и финансовые (У₃) ресурсы используются полностью, по сырьевым ресурсам (У₂) есть запас в 110-84=26 ед.

Кроме того, это означает, что изменение трудовых (y₁) и финансовых (y₃) ресурсов приведёт к изменению прибыли F, а изменение сырьевых ресурсов (y₂) – нет.

Разности между плановыми ресурсами и использованными являются двойственными переменными y₁, y₂ и y₃ сопряжённой задачи линейного программирования. В данном случае y₁=y₃=0, а y₂=26 ед. Таким образом, ресурс y₂ можно уменьшить на 26 ед., тогда план по сырью тоже будет оптимальным.

Задача 2. Задача об оптимальной диете

Имеется n видов продуктов питания, в которых содержится m типов питательных веществ (белки, жиры, углеводы). В одной весовой единице продукта i-го типа содержится а_i единиц питательного вещества j-го вида . Известна минимальная суточная потребность b _j (j in {1,2,…, т}) человека в каждом из видов питательных веществ. Задана калорийность с_i одной весовой единицы i-го продукта (i принадлежит {1, 2, …, n}).

Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Ведем в рассмотрение следующие переменные: х – весовое количество продукта питания i-го типа в суточном рационе.

Тогда в общем случае математическая постановка задачи об оптимальной диете может быть сформулирована следующим образом:

где множество допустимых альтернатив формируется следующей системой ограничений типа неравенств:

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи.

Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград (n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы (m = 3).

Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая:с₁ = 2060,с₂= 2430,с₃= 3600,с₄= 890,с₅= 140,с₆= 230, с₇ = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме нижеприведенной таблицы.

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 100, в жирах b ₂= 70, в углеводах b3 = 400.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее второго рабочего листа на Задача о диете.

Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

– целевая функция (суммарная калорийность продуктов).

Ограничения модели:

– граничные условия

Создание формы

Для решения поставленной задачи выполним следующие подготовительные действия:

1. Внесем необходимые надписи в ячейки A1:I1, A2:A7, B4, I4, J4.
2. В ячейки ВЗ:НЗ введем значения коэффициентов целевой функции: с₁ = 2060, с₂ = 2430, с₃ = 3600, с₄ = 890, с₅ = 140, с₆ = 230, с₇ = 650.
3. В ячейку I2 введем формулу: =СУММПРОИЗВ( b₂:Н2;B3:H3), которая представляет целевую функцию (4).
4. В ячейки В5:Н7 введем значения коэффициентов ограничений, взятых из таблицы.

1. В ячейки J5:J7 введем значения правых частей ограничений, соответствующих минимальной суточной потребности в питательных веществах: в белках b ₁=100, жирах b ₂= 70 и углеводах b3 = 400.
2. В ячейку I5 введем формулу: =СУММПРОИЗВ($B$2:$H$2;В5:Н5), которая представляет левую часть первого ограничения (5).
3. Скопируем формулу, введенную в ячейку I5, в ячейки I6 и I7.
4. Внешний вид рабочего листа MS Office Excel с исходными данными для решения задачи об оптимальном рационе питания имеет следующий вид (pиc. 12.4).

Для отображения формул в ячейках рабочего листа необходимо выполнить команду меню: Формулы и на панели инструментов в группе Зависимости формул выбрать Показать формулы.

Заполнение окна Поиск решения

Для дальнейшего решения задачи следует вызвать мастер поиска решения, для чего необходимо выполнить операцию: Данные > Поиск решения…

После появления диалогового окна Поиск решения следует выполнить следующие действия:

1. В поле с именем Установить целевую ячейку: ввести абсолютный адрес ячейки $I$2.
2. Для группы Равной: выбрать вариант поиска решения – минимальному значению.
3. В поле с именем Изменяя ячейки: ввести абсолютный адрес ячеек $B$2:$H$2.
4. Добавить 3 ограничения, представляющие минимальные суточные потребности в питательных веществах. С этой целью выполнить следующие действия:
   • для задания первого ограничения в исходном диалоговом окне Поиск решения нажать кнопку с надписью Добавить (рис. 12.5
     рис.
     12.5, а);
   • в появившемся дополнительном окне выбрать ячейку $I$5, которая должна отобразиться в поле с именем Ссылка на ячейку;
   • в качестве знака ограничения из выпадающего списка выбрать нестрогое неравенство » «;
   • в качестве значения правой части ограничения выбрать ячейку $J$5;
   • для добавления первого ограничения в дополнительном окне нажать кнопку с надписью Добавить;
   • аналогичным образом задать оставшиеся два ограничения (рис. 12.5
     рис.
     12.5, б).
5. Добавить ограничение на допустимые значения переменных. С этой целью выполнить следующие действия:
   • в исходном диалоговом окне Поиск решения нажать кнопку с надписью Добавить;
   • в появившемся дополнительном окне выбрать диапазон ячеек $В$2:$Н$2, который должен отобразиться в поле с именем Ссылка на ячейку;
   • в качестве знака ограничения из выпадающего списка выбрать нестрогое неравенство ««;
   • в качестве значения правой части ограничения в поле с именем Ограничение: ввести значение 0;
   • для добавления ограничения в дополнительном окне нажать кнопку с надписью Добавить (рис. 12.6
     рис.
     12.6, а).

Параметры

В окне «Поиск решения» нажать клавишу «Параметры», выбрать «Поиск решения Линейных задач симплекс-методом», нажать ОК, затем нажать Найти Решение (рис. 12.6
рис.
12.6, б).

После задания ограничений и целевой функции можно приступить к поиску численного решения, для чего следует нажать кнопку Выполнить. После выполнения расчетов программой MS Excel будет получено количественное решение, которое имеет вид, представленный на рис. 12.
рис.
12.7.

Результатом решения задачи об оптимальной диете являются найденные оптимальные значения переменных: х₁ = 0, х₂ = 0,211, 3 = 0,109, х₄= 1,887, х₅ = 0, х₆ = 0, х₇ = 0, которым соответствует значение целевой функции: f_опт= 2587,140. При выполнении расчетов для ячеек В2:I2 был выбран числовой формат с 3 знаками после запятой.

Анализ найденного решения показывает, что для удовлетворения суточной потребности в питательных веществах (белки, жиры, углеводы) следует использовать 211 г мяса баранины, 109 г сыра и 1887 г бананов, совсем отказавшись от хлеба, огурцов, помидоров и винограда. При этом общая калорийность найденной оптимальной диеты будет приближенно равна 2590 ккал, что вполне соответствует малоактивному образу жизни без серьезных физических нагрузок. Напомним, что согласно медицинским данным, энергетические затраты работников интеллектуального труда (юристы, бухгалтера, врачи, педагоги) лежат в пределах 3000 ккал.

ЗАДАНИЕ

1. Составить математическую модель задачи линейного программирования.
2. Решить задачу линейного программирования в Excel с помощью Поиска решения.
3. Сохранить в виде модели установочные параметры.

Вариант 1.

Предприятие легкой промышленности выпускает две модели машин, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 80 изделий, второй линии – 85 изделий. На машину первой модели расходуются 12 однотипных элементов электронных схем, на машину второй модели – 6 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одной машины первой и второй моделей равна $30 и $40 соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

Вариант 2.

Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех приборах. Время использования этих приборов для производства данных изделий ограничено 10 ч. в сутки. Найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.

Вариант 3.

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукции, используя местные радио- и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены $1000 в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в $5, а минута телерекламы – в $100. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.

Вариант 4.

Фирма производит два вида продукции – А и B. Объем сбыта продукции вида A составляет не менее 70% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 120 кг. Расход сырья на единицу продукции A составляет 3 кг, а на единицу продукции В – 5 кг. Цены продукции А и В равны $20 и $60 соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

Вариант 5.

Фирма выпускает женские шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 60 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 50 до 100 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна $6, а фасона 2 – $7. Определить какое количество шляп каждого фасона следует изготавливать, чтобы максимизировать прибыль.

Вариант 6.

Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков:

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $10 и $15 для станка 1 и 2 соответственно. Допустимое время для использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1,2,3 и 4 равны $65, $70, $55 и $45 соответственно. Составить план производства, максимизирующий чистую прибыль.

Вариант 7.

Завод выпускает изделия трех моделей (I, II III) Для их изготовления используется два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют – 5000 и 6000 единиц. Расходы ресурсов на одно изделие каждой модели:

Трудоемкость изготовления модели I вдвое больше, чем изделия модели II, и втрое больше, чем изделие модели III. Численность рабочих завода позволяет выпускать 1500 изделий I. Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей I,II и III соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей I,II и III должно быть равно 3:2:5. Удельная прибыль от реализации изделий моделей I,II и III составляет $30, $20 и $50 соответственно. Определить выпуск изделий, максимизирующий прибыль.

Вариант 8.

Требуется распределить имеющиеся денежные средства по четырем альтернативным вариантам. Игра имеет три исхода. Ниже приведены размеры выигрыша (или проигрыша) на каждый доллар, вложенный в соответствующий альтернативный вариант, для любого из трех исходов. У игрока имеется $500, причем, использовать в игре их можно только один раз. Точный исход игры заранее неизвестен, и, учитывая эту неопределенность, игрок решил распределить деньги так, чтобы максимизировать максимальную отдачу от этой суммы.

Вариант 9.

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 80000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный рацион цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт.

Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов или ингредиентов. Ограничим наше рассмотрение только тремя ингредиентами: известняком, зерном и соевыми бобами. Ниже приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента.

Смесь должна содержать:

• не менее 0.8%, но не более 1.2% кальция;
• не менее 22% белка;
• не более 5% клетчатки.

Необходимо определить количество каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

Вариант 10.

Имеется n видов продуктов питания, в которых содержится m типов питательных веществ (белки, жиры, углеводы). В одной весовой единице продукта i-го типа содержится а_i единиц питательного вещества j-го вида . Известна минимальная суточная потребность b _j человека в каждом из видов питательных веществ. Задана калорийность сi одной весовой единицы i-го продукта (i принадлежит {1, 2, …, n}). Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи. Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград (n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы (m = 3). Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая:с₁ = 2060,с₂= 2430,с₃= 3600,с₄= 890,с₅= 140,с₆= 230, с₇ = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме следующей таблицы (см. табл.).

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 105, в жирах b ₂ = 75, в углеводах b ₃ = 405.

Определить суточную потребности в питательных веществах (белки, жиры, углеводы) и общую калорийность оптимальной диеты.

Вариант 11.

Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуются 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна $30 и $20 соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

Вариант 12.

Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено 10 ч. в сутки. Найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.

Вариант 13.

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукции, используя местные радио- и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены $1000 в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в $5, а минута телерекламы – в $100. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.

Вариант 14.

Фирма производит два вида продукции – A и B. Объем сбыта продукции вида A составляет не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 100 кг. Расход сырья на единицу продукции A составляет 2 кг, а на единицу продукции В – 4 кг. Цены продукции А и В равны $20 и $40 соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

Вариант 15.

Фирма выпускает ковбойские шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 60 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 50 до 100 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна $8, а фасона 2 – $5. Определить какое количество шляп каждого фасона следует изготавливать, чтобы максимизировать прибыль.

Вариант 16.

Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков:

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $10 и $15 для станка 1 и 2 соответственно. Допустимое время для использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1,2,3 и 4 равны $65, $70, $55 и $45 соответственно. Составить план производства максимизирующий чистую прибыль.

Вариант 17.

Завод выпускает изделия трех моделей (I, II III). Для их изготовления используется два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют – 4000 и 6000 единиц. Расходы ресурсов на одно изделие каждой модели:

Трудоемкость изготовления модели I вдвое больше, чем изделия модели II, и втрое больше, чем изделие модели III. Численность рабочих завода позволяет выпускать 1500 изделий I. Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей I,II и III соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей I,II и III должно быть равно 3:2:5. Удельная прибыль от реализации изделий моделей I,II и III составляет $30, $20 и $50 соответственно. Определить выпуск изделий, максимизирующий прибыль.

Вариант 18.

Некоторое производственное предприятие выпускает три вида клея. Для производства клея используется 4 типа химических веществ: крахмал, желатин, квасцы и мел. Расход этих веществ в кг для получения 1 кг каждого вида клея и их запас на складе предприятия представлены в таблице.

Стоимость каждого вида клея для оптовых покупателей следующая:с₁ = 380 руб/кг,с₂ =430 руб/кг,с₃ = 460 руб/кг. Требуется определить оптимальный объем выпуска клея каждого вида, обеспечивающий максимум общей стоимости готовой продукции.

Вариант 19.

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный рацион цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт.

Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов или ингредиентов. Ограничим наше рассмотрение только тремя ингредиентами: известняком, зерном и соевыми бобами. Ниже приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента.

Смесь должна содержать:

• не менее 0.8%, но не более 1.2% кальция;
• не менее 22% белка;
• не более 5% клетчатки.

Необходимо определить количество каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

Вариант 20.

Имеется конечное число видов продуктов питания: ананас, арбуз, грейпфрут, язык говяжий, сардельки говяжьи, хлеб «Бородинский», картофель (n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы (m = 3). Калорийность 1 кг каждого из продуктов следующая:с₁ = 470,с₂= 380,с₃ = 350,с₄ = 1460,с₅ = 2150,с₆ = 2070, с₇ = 800. Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 100, в жирах b ₂ = 70, в углеводах b3 = 400. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме нижеприведенной таблицы (табл.).

Требуется определить такой рацион питания, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулировать основную задачу линейного программирования. Записать математическую модель ЗЛП.
2. Для чего предназначена надстройка Поиск решения?
3. Что понимают под целевой ячейкой, изменяемыми ячейками?
4. Основные этапы решения ЗЛП с помощью процессора Excel.
5. Как сохранить установочные параметры для поиска решения в виде модели?
6. Какие существуют виды отчетов и как их создать? Продемонстрировать на примере.