Задача по теории игр в excel

Решение задач теории игр в MS
Exsel на примере задания ЕГЭ по информатики 19, 20, 21

Задача Два игрока
Петя и Ваня играют в следующую игру- перед ними лежит 2 кучи камней, игроки
ходят по очереди, первым ходит Петя, вторым Ваня. За один ход игрок может
добавить в любую кучу 1 камень или увеличить кол-во камней в 2 р . Игра
заканчивается, когда камней в обеих кучах становится не менее 53. Победителем
считается тот кто последним сделал ход. На начальном этапе игры в одной куче 9
камней, а во второй куче S камней

1 ≤ S≤43

Задача 19

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом
после неудачного ход Пети

Укажите минимальное кол-во камней  S при такой ситуации

1.В ячейку в3 ввести 1 куча. В ячейку с3
ввести 2 куча В ячейку с4 ввести S. В ячейку в5 ввести 9. В
ячейку с5 ввести 5.

2. Построить таблицу от ячнйки d4 до  g8

3. Ячейки d4 e4 объединить в них напечатать Петя, а в ячейки  f4 
Ваня, в ячейки  g4 итог

ТО общий вид таблицы будет иметь вид

	D	E	F	G
3
4	ПЕТЯ	ВАНЯ	ИТОГ
5
6
7
8

4. Необходимо разобрать все возможные ходя
Пети для этого в ячейку D5 ввести B5+1,
первый возможный слабый ход, в ячейку E5 *с5

5. В ячейку D6 ввести в5,
те кол-во камней без изменения. В ячейку Е6 ввести с5+1, те кол-во камней без
изменения.

6. В ячейку D7 ввести
в5*2, в ячейку е7 ввести с5, в ячейку D8 ввести в5, в
ячейку е8 ввести с5*2,

ТО 1 чсть таблицы заполняется всевозможными
ходами Пети выделить их цветом.

Самая важная часть в таблице в комбинации D8 и  е8 – это сильные ходы Пети.

7. В ячейку F5 ввести
МАКС (D5:Е5)*2+МИН(D5:Е5) растягиваем
значение формулы на все область ячеек F.

8. В ячейках столбца итог необходимо выяснить
какой из вариантов даст победу , для этого в ячейку g5
ввести фор-лу ЕСЛИ (F5>=53; ‘’+’’; ‘’-’’) растягиваем знач-е фор-лы на все ячейки от g5 до g8

Если в таблице не появится плюс, то меняется
значение С5.

Задача 20

Найдите 2 значения S при
которых у Пети есть выигрышная стратегия , но должны выполняться два условия

— Петя может выиграть за один ход

— Петя может выиграть за 2-м  ходом независимо
отходов Вани.

Найденные значения записать в порядке
возрастания.

1.       Таблицу из первой части копируем в область ячеек I3
—N8

2.       Добавим в таблицу допол. поля

Там где столбец Ваня , чтоб
их стало два

,
верхнюю строку объединить , а также столбец Безопасность перед столбцом Итог.

ТО общий вид таблицы будет иметь вид:

	K	L	M	N	O	P	Q
3
4	ПЕТЯ	ВАНЯ	Петя	Безоп-ть	Итог
5
6
7
8

3.       В ячейку I3 ввести 1 куча, в ячейку J3 ввести 2
куча,в ячейку  J4 — S  , I5 ввести 9,
J5 -11 .

4.     
Удалить значения из столбцов ходов Пети. В ячейку
к5 ввести I5+1,  L5 ввести J5, тогда
в ячейках ходов Вани вводятся формулы всех возможных его ходов В ячейку М5
ввести к5+1 , N5 ввести J5,  М6
ввести к5, N6 ввести L5+1, ,  М7
ввести  к5*2, N7 ввести L5, ,  М8
ввести  к5, N8 ввести L5*2

ТО 
будут перебраны все возможные варианты ходов Вани, тогда ходы Пети должны быть
все сильные.

Для
этого в  столбец О5  вводится фор-ла МАКС (м5: N 5)*2+МИН(м5:
N 5), растягиваем знач-е этой фор-лы на область всех ячеек
в низ.

5.       Т.к надо оценить игру Пети в столбце Итог вводят фор-лу ЕСЛИ (О5>=53; ‘’+’’; ‘’-’’) растягиваем знач-е этой
фор-лы на область всех ячеек в низ.

6.       Т.к надо , чтоб выиграл Петя проконтролировать чтобы не выиграл Ваня
первым ходом именно для этой цели нужен столбец безопасность. В ячейку Р5
ввести фор-лу

 ЕСЛИ
(м5+ N 5 >=53;
‘’+’’; ‘’-’’) растягиваем знач-е этой фор-лы на область всех ячеек в низ.

7.                 
Построенная таблица — это только один вариант
поведения Пети при игре, поэтому копируем таблицу ниже 4 раза не пропуская ни
одной строки, те вплотную. По следующему принципу:

ё

8.       Внесем следующие изменения в скопированную часть

В К10 ввести I5, L 10 ввести J5 +1 (это будет второй возможный
выигрышный ход); в К15 ввести I5*2, L 15 ввести  J5(это будет 3 возможный выигрышный ход);в К20- I5, в L 20 — J5*2(это будет 4 возможный выигрышный ход);.

Остальные
столбцы заполнятся автоматически благодаря относительной адресации.

      
9.Теперь необходимо просмотреть и проанализировать значения  ячейки J5. Изменяя в ней значения по возрастанию до тех пор пока плюсы не
появятся в столбце Итога причем плюсы должны быть во всех четырех строках каждого
из 4 вариантов ходов а столбец безопасность должен быть отрицательным во всех 4
строках.

Задача 21

    Сколько существует значений   S которых одновременно выполняются два условия                         
—     у Вани есть выигрышная стратегия при которой он выиграет 1 или 2 ходом
при любой игре Пети.                                                                                                                                                                                 — 
у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть 1
ходом.                                    С учетом полученного в задачи 20
можно уверенно утверждать, что выигрышные ходы Вани (9;16) и (9; 21) это
возможно при ходах Пети (9;15) и (9; 20). Решение этой задачи электронным
способом возможно только посте решения 19 и 20 зад на одной предметной
области.                                                            1. Для решения
этой задачи скопируем таблицу из задания задачи 20 в область ячеек от U  до AA в соответствии изображения

Внести изменения в значение столбцов S  И  T.

2.Очищаем значение столбцов игры Пети U И   V.

Добавляем дополнительные столбцы в таблицу у 
Пети будет два варианта ходов , поскольку в задании выигрыш может наступит и 
на 1 и на 2 ходе.

ТО общий вид таблицы будет иметь вид:

Причем протяженность таблицы будет от столбцов
от U до АС, и от строк от 4 до 23 .

3. В ячейку U 5 ввести S5+1, а в ячейку V5 ввести Т5.

Ваня на подобный ход может ответить 4 разными
вариантами. Для х реализации очищаем все значения столбцов w и  x.

В ячейки вводим фор-лы: w5=
U5+1; х2= V5; w10=
U5;х10= V5+1; w15=U5*2;х15=V5; w20= U5;х20= V5*2.

4. Для оценки возможных вариантов ходов Пети
скопировать данные из ячеек М5- N8 в ячейки y5-z8 из таблицы предыдущего задания. Формулы при
копировании изменятся в виду относительной адресации, хотя при копировании это
должно быть проконтролировано. Копируем эти значения и во все остальные ячейки y, z.

5. Второй ход Вани должен быть обязательно сильным, поэтому в ячейку
АА5 вводится фор-ла МАКС (y5: z5)*2+МИН(y5:
z5) ), растягиваем знач-е этой фор-лы на область всех
ячеек в низ.

Далее необходимо внести изменения в столбец Безопасность В ячейку АВ5
ввести фор-лу:

ЕСЛИ (y5+ z5>=53; ‘’+’’; ‘’-’’) , растягиваем знач-е этой
фор-лы на область всех ячеек в низ.

6. Для изменения столбца ИТОГ в ячейку АС5 вводится фор-ла: ЕСЛИ (АА5>=53; ‘’+’’; ‘’-’’) , растягиваем знач-е этой
фор-лы на область всех ячеек в низ.

7. Нельзя не учесть вариант при котором Ваня выигрывает первым ходом
для этого  в ячейку х7 вводится фор-ла: ЕСЛИ (w5+ x5>=53; ‘’+’’; ‘’-’’) копировать
эту фор-лу в ячейки х12, х17, х22.

На основе предыдущего задания был сделан вывод что оптимальные s
либо 20, либо 15, поэтому рекомендуется проверку начать именно с
этих значений.

В ячейку s9 ввести 15, а в s10
ввести 20.

8.Полученная таблица отражает только 1 ход, а
их более, поэтому копируем эту таблицу ниже 4 раза в сплошную, тогда таблица
получится протяженностью до 64 строки. Внесем изменения в скопированную
таблицу: U25= s5+1; V25=Т5+1; U45= s5*2; V45=Т5; U65= s5; V65=Т5*2.

Для анализа заполненной таблицы введем в т5
значение 15 . Первым делом просматриваются ячейки х7, х12, х17,  х22, если там
появится + , что Ваня выигрывает первым ходом и второй уже не нужен. Затем там
где в ячейках х плюсы не найдены просматривается столбец ИТОГ, там должны
встретится плюсы в 4-х подряд идущих строках , а безопасность должна идти с -.

Проделывается тоже самое для значения т5=20.

Рассмотрим
общий случай игровой задачи m
x
n
с нулевой суммой, когда модель задачи не имеет седловой точки. Такую
модель можно представить в виде матрицы (табл.1):

Таблица 1. Общая таблица стратегий

Стратегии	В1	В2	…	Вn
A1	a11	a12		a1n
A2	a21	a22		a2n
….
Am	am1	am2		amn

Оптимальное
решение необходимо искать в области смешанных стратегий. Обозначим
вероятности применения стратегий первого игрока (игрока А) через
,
а цену игры — через v.
Оптимальная смешанная стратегия игрока А определяется из условия

Пусть

Поскольку при
оптимальной стратегии средний выигрыш не меньше v
при любой стратегии противника, то справедлива система n
неравенств:

Или

(1)

Тогда задача отыскания
оптимальной смешанной стратегии игрока А может быть сформулирована в
виде задачи линейного программирования.

Для этого
необходимо максимизировать целевую функцию F
=v
при ограничениях

(2)

Введем новые
неизвестные:

Поскольку

Разделим левую и
правую части неравенств (1) и (2) на v, получим:

(3)

В силу того что

max
v
= min
1/v
= min{x₁+x₂+…+x_m}.

задача принимает вид

F=
x₁+x₂+…+x_m
→
min


(4)

при ограничениях

(5)

Для
второго игрока (игрока В) оптимальная стратегия определяется из
условия:

при условии

q₁+q₂+…+q_n
= 1

Эта задача
записывается как симметричная двойственная задача линейного
программирования к задаче игрока A
(4), (5):

L=
y₁
+y₂+…
+y_n
→
max



(6)

при ограничениях

(7)

Задачи игроков A
и В решают симплекс-методом.

Использование
возможностей Microsoft
Excel
позволяет существенно облегчить и ускорить решение этой задачи.

Сначала нужно создать исходную таблицу:

Затем, на основе этой таблицы записать
формулы для нахождения решения:

Для нахождения
решения используется надстройка Поиск решения. Нужно выделить ячейку,
в которой вычисляется значение функции F
и вызвать надстройку Поиск решения. Заполнить окно поиска решения:

В поле Ограничения
нужно задать формулы для всех ограничений. Затем нажать кнопку
Параметры и отметить поля Линейная модель и Неотрицательные значения.
Нажать кнопку ОК, затем Выполнить.

Чтобы найти значения вероятностей и цену
игры нужно записать формулы:

Решение задачи для
игрока В выполняется по аналогичной схеме согласно формулам (6), (7).

Рассмотрим пример
решения задачи. Найдем
решение игры, заданной матрицей
.

Проверим наличие седловой точки.

В режиме отображения
формул эта запись имеет вид:

Поскольку нижняя цена
игры (минимальный выигрыш игрока А) и верхняя цена игры (максимальный
проигрыш игрока В) не равны, то модель данной задачи не имеет
седловой точки. Поэтому решение следует искать в смешанных
стратегиях. Составим задачи линейного программирования для нахождения
решений игроков А (согласно формулам (4), (5)) и В(согласно формулам
(6), (7)):

для игрока А и

для игрока В.

Для решения этих систем используем
надстройку «Поиск решения». Сначала оформим задачу для
поиска решения игрока А:

В режиме отображения формул:

Затем нужно активировать ячейку В7 и
запустить надстройку Поиск решения. Далее заполнить окно Поиска
решения:

Затем нажать кнопку Параметры и отметить
поля Линейная модель и Неотрицательные значения. Нажать кнопку ОК,
затем Выполнить.

Получим результат:

Вероятности применения смешанных
стратегий и цену игры найдем по формулам: p_i=x_i/F,
v=1/F.

В режиме отображения формул:

Аналогично найдем решение для игрока В:

В режиме отображения формул:

Литература:

1. Акулич И.Л. Математическое
программирование в примерах и задачах. М. «Высшая школа»,
1993г.

2. Агальцов В.П., Волдайская И.В.
Математические методы в программировании М. ИД «Форум» —
ИНФРА-М, 2006г.

3. Бережная Е.В., Бережной В.И.
Математические методы моделирования экономических систем М. «Финансы
и статистика», 2003г.

4. Партыка Т.Л., Попов И.И.
Математические методы М. ИД «Форум» — ИНФРА-М, 2007г.

Основные термины (генерируются автоматически): игрок А, Поиск решения, режим отображения формул, игрок В, линейное программирование, цена игры, кнопка ОК, Линейная модель, оптимальная смешанная стратегия, оптимальная стратегия.

Похожие статьи

Как
уже отмечалось, любая парная игра с
нулевой суммой может быть сведена к
решению задачи линейной оптимизации.
Используя значение функции и неизвестных
взаимно двойственных задач линейной
оптимизации, легко найти цену игры и
вероятности применения стратегий каждым
из игроков.[5.c.89]

 Пример
1

 В
качестве примера применения информационных
технологий Excel найдем решение парной
игры с платежной матрицей

II I

 Решение

Для
данной задачи (седловая
точка отсутствует). Запишем пару
двойственных задач линейной оптимизации
для решения игры.

 

Решим
исходную и двойственную задачи с помощью
Excel.

Внесем
данные на рабочий лист в соответствии
с Ри.1.

матричный
игра решение линейный

Рис.1.14лист
в соответствии с
Рис.
Данные для решения исходной задачи
примера 1

 В
ячейки E3:E6 введем формулы для расчета
функций – ограничений, ячейки B9:D9 отведем
для переменных ,
ячейку B15 – для расчетного значения
цены игры,
диапазон ячеек F12:H12 – для расчетных
значений вероятностей применения
стратегий игроком I, и, наконец, ячейку
F9 – для расчета целевой функции. Введем
все необходимые формулы в соответствующие
ячейки. Установим все необходимые
ограничения исходной задачи перед
запуском Поиска решения. С помощью
Поиска решения получим следующий ответ 

x1 x2 x3 ЦФ 0,020182 0,02474 0,003255 0,048177 P1 P2 P3 0,4189 0,5135 0,0676 g 20,75676

Таким
образом, оптимальная смешанная стратегия
игрока I:

 

 Решим
двойственную задачу. Во избежание
возможных ошибок расположим данные для
ее решения на отдельном рабочем листе
Excel (Рис.2.).

Рис
2 Данные для решения двойственной задачи
примера 1

Ввод
данных и формул производится аналогично
предыдущему случаю. Поиск решения дает
ответ:

U	0,0026		Q1=U1*	0,0541	ЦФ
U	0,0195		Q2=U2*	0,4054	0,048177
U	0,0000		Q3=U3*	0,0000	
U	0,0260		Q4=U4*	0,5405	20,75676

Таким
образом, оптимальная смешанная стратегия
игрока II есть

 .
[7]

Заключение

В
условиях альтернативы (выбора) очень
часто нелегко принять решение и выбрать
ту или иную стратегию. Исследование
операций позволяет с помощью использования
соответствующих математических методов
принять обоснованное решение о
целесообразности той или иной стратегии.
Таким образом, теория игр, имеющая в
запасе арсенал методов решения матричных
игр, позволяет эффективно решать
указанные задачи несколькими методами
и из их множества выбрать наиболее
эффективные, а также упрощать исходные
матрицы игр.

В
теории игр страте́гия игрока в игре или
деловой ситуации — это полный план
действий при всевозможных ситуациях,
способных возникнуть. Стратегия
определяет действие игрока в любой
момент игры и для каждого возможного
течения игры, способного привести к
каждой ситуации .Вданной работе были
изучены понятия стратегий ,и выявлены
их решения,т.ж было проведенно ознакомление
решений стратегий с помощью программы
Excel.

К
тому же с помощью теории игр можно
выработать такую оптимальную стратегию,
при которой система не будет существенно
изменяться под управлением каких-то
внешних воздействий, да и потери будут
не столь существенными.

Список
используемой литературы

		Следующая >>

1. Вентцель
   Е. С. «Элементы теории игр» 2-ое изд. М.:
   Физматгиз,2001. — 68 с.

2. Дуплякин
   В.М. Теория игр: учеб. пособие / В.М.Дуплякин
   — Самара : Изд-во Самар. гос. аэрокосм.
   ун-та, 2011. – 191 с.

3. Олейник
   А.Н.. Институциональная экономика:
   Учебное пособие. — М.: ИНФРА-М,2002. — 416 с.
   — (Серия «Высшее образование»)., 2002.

4. Писарук,
   Н. Н.Введение в теорию игр .Учебник .М.:—
   Минск : БГУ, 2015. —256 c.

5. Холявин
   И.И. Математическое программирование
   и экономико-математические методы.
   Учебное пособие для студентов
   экономических вузов Часть 2. Гатчина
   2009.

6. Экономико-
   математический энциклопедический
   словарь(под ред. В.И.Данилова-Данильяца),М.:Изд.Дом
   «ИНФРА-М»,2003.

7. Электронный
   ресурс [Режим доступа]:
   http://studopedia.org/5-41115.htm

22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #