Word problem for the system

The halting problem can serve as the origin for a chain of provably undecidable problems. A standard and in fact the by far most common way for proving that a problem is undecidable, is to show that the halting problem can be reduced to it in the sense that any algorithmic solution of the considered problem would imply a solution for the halting problem. In many  cases there is in fact a longer chain of reductions through intermediate problems.

In this lecture we will provide a first (and second) link in such chains by proving a reduction of the halting problem to the word problem for semi-Thue systems (and finally for Thue systems). Here and in the following lectures (until we say something different) undecidable will always mean algorithmically undecidable by recursive means. Having in mind the Church-Turing thesis we will drop ‘by recursive means’ and since we haven’t talked about axiomatic undecidability yet, we will be even more sloppy and also omit ‘algorithmically’ …

Terminology and notation

In principle we could talk about sets, their elements, ordered pairs and sequences, but in this business a different terminology is commonly used: we consider a finite set which we call alphabet, the elements of which are called symbols. A finite sequence of symbols is called a word over the alphabet, and the set of all words of length will be denoted by . It is convenient to use an extra symbol, say , for the word of zero length and to include this into the set of all words .

Furthermore, we will write for a pair of words iff there is a substitution rule and words (possibly of zero length) so that and (hence, the name substitution rule). Note that here we make use of the natural operation on words, namely concatenation which is, needless to say, associative.

In a similar vein, we will write iff there is a finite sequence of words so that which for means . Keep in mind that all this is always w.r.t. a given semi-Thue system. The word problem for a fixed semi-Thue system is then the problem of deciding whether or not for given words . The following specifies in which sense the word problem is undecidable:

The construction in the proof is such that an -state TM with binary tape alphabet gives rise to a semi-Thue system with substitution rules and an alphabet with symbols. While the latter number can easily always be reduced to 2, the size of is more tricky – the current record is .

It follows dirctly from the definition of a Thue system that the relation becomes an equivalence relation since it is reflexive, symmetric and transitive. We will thus write in this case.

From Wikipedia, the free encyclopedia

This article is about algorithmic word problems in mathematics and computer science. For other uses, see Word problem.

In computational mathematics, a word problem is the problem of deciding whether two given expressions are equivalent with respect to a set of rewriting identities. A prototypical example is the word problem for groups, but there are many other instances as well. A deep result of computational theory is that answering this question is in many important cases undecidable.^[1]

Background and motivation[edit]

In computer algebra one often wishes to encode mathematical expressions using an expression tree. But there are often multiple equivalent expression trees. The question naturally arises of whether there is an algorithm which, given as input two expressions, decides whether they represent the same element. Such an algorithm is called a solution to the word problem. For example, imagine that are symbols representing real numbers — then a relevant solution to the word problem would, given the input , produce the output EQUAL, and similarly produce NOT_EQUAL from .

The most direct solution to a word problem takes the form of a normal form theorem and algorithm which maps every element in an equivalence class of expressions to a single encoding known as the normal form — the word problem is then solved by comparing these normal forms via syntactic equality.^[1] For example one might decide that is the normal form of , , and , and devise a transformation system to rewrite those expressions to that form, in the process proving that all equivalent expressions will be rewritten to the same normal form.^[2] But not all solutions to the word problem use a normal form theorem — there are algebraic properties which indirectly imply the existence of an algorithm.^[1]

While the word problem asks whether two terms containing constants are equal, a proper extension of the word problem known as the unification problem asks whether two terms containing variables have instances that are equal, or in other words whether the equation has any solutions. As a common example, is a word problem in the integer group ℤ,
while is a unification problem in the same group; since the former terms happen to be equal in ℤ, the latter problem has the substitution as a solution.

History[edit]

One of the most deeply studied cases of the word problem is in the theory of semigroups and groups. A timeline of papers relevant to the Novikov-Boone theorem is as follows:^[3][4]

• 1910: Axel Thue poses a general problem of term rewriting on tree-like structures. He states «A solution of this problem in the most general case may perhaps be connected with unsurmountable difficulties».^[5][6]
• 1911: Max Dehn poses the word problem for finitely presented groups.^[7]
• 1912: Dehn presents Dehn’s algorithm, and proves it solves the word problem for the fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds of genus greater than or equal to 2.^[8] Subsequent authors have greatly extended it to a wide range of group-theoretic decision problems.^[9][10][11]
• 1914: Axel Thue poses the word problem for finitely presented semigroups.^[12]
• 1930 – 1938: The Church-Turing thesis emerges, defining formal notions of computability and undecidability.^[13]
• 1947: Emil Post and Andrey Markov Jr. independently construct finitely presented semigroups with unsolvable word problem.^[14][15] Post’s construction is built on Turing machines while Markov’s uses Post’s normal systems.^[3]
• 1950: Alan Turing shows the word problem for cancellation semigroups is unsolvable,^[16] by furthering Post’s construction. The proof is difficult to follow but marks a turning point in the word problem for groups.^[3]: 342
• 1955: Pyotr Novikov gives the first published proof that the word problem for groups is unsolvable, using Turing’s cancellation semigroup result.^{[17][3]: 354} The proof contains a «Principal Lemma» equivalent to Britton’s Lemma.^[3]: 355
• 1954 – 1957: William Boone independently shows the word problem for groups is unsolvable, using Post’s semigroup construction.^[18][19]
• 1957 – 1958: John Britton gives another proof that the word problem for groups is unsolvable, based on Turing’s cancellation semigroups result and some of Britton’s earlier work.^[20] An early version of Britton’s Lemma appears.^[3]: 355
• 1958 – 1959: Boone publishes a simplified version of his construction.^[21][22]
• 1961: Graham Higman characterises the subgroups of finitely presented groups with Higman’s embedding theorem,^[23] connecting recursion theory with group theory in an unexpected way and giving a very different proof of the unsolvability of the word problem.^[3]
• 1961 – 1963: Britton presents a greatly simplified version of Boone’s 1959 proof that the word problem for groups is unsolvable.^[24] It uses a group-theoretic approach, in particular Britton’s Lemma. This proof has been used in a graduate course, although more modern and condensed proofs exist.^[25]
• 1977: Gennady Makanin proves that the existential theory of equations over free monoids is solvable.^[26]

The word problem for semi-Thue systems[edit]

The accessibility problem for string rewriting systems (semi-Thue systems or semigroups) can be stated as follows: Given a semi-Thue system and two words (strings) , can be transformed into by applying rules from ? Note that the rewriting here is one-way. The word problem is the accessibility problem for symmetric rewrite relations, i.e. Thue systems.^[27]

The accessibility and word problems are undecidable, i.e. there is no general algorithm for solving this problem.^[28] This even holds if we limit the systems to have finite presentations, i.e. a finite set of symbols and a finite set of relations on those symbols.^[27] Even the word problem restricted to ground terms is not decidable for certain finitely presented semigroups.^[29][30]

The word problem for groups[edit]

Given a presentation for a group G, the word problem is the algorithmic problem of deciding, given as input two words in S, whether they represent the same element of G. The word problem is one of three algorithmic problems for groups proposed by Max Dehn in 1911. It was shown by Pyotr Novikov in 1955 that there exists a finitely presented group G such that the word problem for G is undecidable.^[31]

The word problem in combinatorial calculus and lambda calculus[edit]

One of the earliest proofs that a word problem is undecidable was for combinatory logic: when are two strings of combinators equivalent? Because combinators encode all possible Turing machines, and the equivalence of two Turing machines is undecidable, it follows that the equivalence of two strings of combinators is undecidable. Alonzo Church observed this in 1936.^[32]

Likewise, one has essentially the same problem in (untyped) lambda calculus: given two distinct lambda expressions, there is no algorithm which can discern whether they are equivalent or not; equivalence is undecidable. For several typed variants of the lambda calculus, equivalence is decidable by comparison of normal forms.

The word problem for abstract rewriting systems[edit]

The word problem for an abstract rewriting system (ARS) is quite succinct: given objects x and y are they equivalent under ?^[29] The word problem for an ARS is undecidable in general. However, there is a computable solution for the word problem in the specific case where every object reduces to a unique normal form in a finite number of steps (i.e. the system is convergent): two objects are equivalent under if and only if they reduce to the same normal form.^[33]
The Knuth-Bendix completion algorithm can be used to transform a set of equations into a convergent term rewriting system.

The word problem in universal algebra[edit]

In universal algebra one studies algebraic structures consisting of a generating set A, a collection of operations on A of finite arity, and a finite set of identities that these operations must satisfy. The word problem for an algebra is then to determine, given two expressions (words) involving the generators and operations, whether they represent the same element of the algebra modulo the identities. The word problems for groups and semigroups can be phrased as word problems for algebras.^[1]

The word problem on free Heyting algebras is difficult.^[34]
The only known results are that the free Heyting algebra on one generator is infinite, and that the free complete Heyting algebra on one generator exists (and has one more element than the free Heyting algebra).

The word problem for free lattices[edit]

Example computation of x∧z ~ x∧z∧(x∨y)

x∧z∧(x∨y) ≤~ x∧z by 5. since x∧z ≤~ x∧z by 1. since x∧z = x∧z

x∧z ≤~ x∧z∧(x∨y) by 7. since x∧z ≤~ x∧z and x∧z ≤~ x∨y by 1. since x∧z = x∧z by 6. since x∧z ≤~ x by 5. since x ≤~ x by 1. since x = x

The word problem on free lattices and more generally free bounded lattices has a decidable solution. Bounded lattices are algebraic structures with the two binary operations ∨ and ∧ and the two constants (nullary operations) 0 and 1. The set of all well-formed expressions that can be formulated using these operations on elements from a given set of generators X will be called W(X). This set of words contains many expressions that turn out to denote equal values in every lattice. For example, if a is some element of X, then a ∨ 1 = 1 and a ∧ 1 = a. The word problem for free bounded lattices is the problem of determining which of these elements of W(X) denote the same element in the free bounded lattice FX, and hence in every bounded lattice.

The word problem may be resolved as follows. A relation ≤_~ on W(X) may be defined inductively by setting w ≤_~ v if and only if one of the following holds:

1.   w = v (this can be restricted to the case where w and v are elements of X),
2.   w = 0,
3.   v = 1,
4.   w = w₁ ∨ w₂ and both w₁ ≤_~ v and w₂ ≤_~ v hold,
5.   w = w₁ ∧ w₂ and either w₁ ≤_~ v or w₂ ≤_~ v holds,
6.   v = v₁ ∨ v₂ and either w ≤_~ v₁ or w ≤_~ v₂ holds,
7.   v = v₁ ∧ v₂ and both w ≤_~ v₁ and w ≤_~ v₂ hold.

This defines a preorder ≤_~ on W(X), so an equivalence relation can be defined by w ~ v when w ≤_~ v and v ≤_~ w. One may then show that the partially ordered quotient set W(X)/~ is the free bounded lattice FX.^[35][36] The equivalence classes of W(X)/~ are the sets of all words w and v with w ≤_~ v and v ≤_~ w. Two well-formed words v and w in W(X) denote the same value in every bounded lattice if and only if w ≤_~ v and v ≤_~ w; the latter conditions can be effectively decided using the above inductive definition. The table shows an example computation to show that the words x∧z and x∧z∧(x∨y) denote the same value in every bounded lattice. The case of lattices that are not bounded is treated similarly, omitting rules 2 and 3 in the above construction of ≤_~.

Example: A term rewriting system to decide the word problem in the free group[edit]

Bläsius and Bürckert
^[37]
demonstrate the Knuth–Bendix algorithm on an axiom set for groups.
The algorithm yields a confluent and noetherian term rewrite system that transforms every term into a unique normal form.^[38]
The rewrite rules are numbered incontiguous since some rules became redundant and were deleted during the algorithm run.
The equality of two terms follows from the axioms if and only if both terms are transformed into literally the same normal form term. For example, the terms

, and

share the same normal form, viz. ; therefore both terms are equal in every group.
As another example, the term and has the normal form and , respectively. Since the normal forms are literally different, the original terms cannot be equal in every group. In fact, they are usually different in non-abelian groups.

Group axioms used in Knuth–Bendix completion

A1
A2
A3

Term rewrite system obtained from Knuth–Bendix completion

R1
R2
R3
R4
R8
R11
R12
R13
R14
R17

See also[edit]

• Conjugacy problem
• Group isomorphism problem

References[edit]

Word problems for systems of linear equations are troublesome for most of the students in understanding the situations and bringing the word problem into equations. We tried to explain the trick of solving word problems for equations with two variables with an example.

Example:

2000 tickets were sold in an exhibition on Saturday. The cost of a ticket for an adult is $4 and for a child is $2. The total amount collected on Saturday was $6400. Find the number of adult tickets and child tickets sold on Saturday.

Solution:

Step 1:

Total number of tickets sold = 2000

Cost of ticket for an adult = $4

Cost of ticket for a child = $2

Total amount collected = $6400

We are asked to find the number of adult tickets and children tickets sold.

Let x be the number of adult tickets sold and y the number of child tickets sold on Saturday.

Step 2:

Total number of tickets sold = 2000

Number of adults tickets sold + Number of child tickets sold = 2000

x + y = 2000 ————— (1)

Total amount collected = Amount collected from adult tickets + Amount collected from child tickets

Since there are x adults and the adult ticket cost is $4 per, the amount collected from adult tickets is 4x and since there are y children and the child ticket costs $2 per child, the amount collected from child tickets is 2y.

6400 = 4x + 2y

 It can be written as 4x + 2y = 6400 —————- (2)

Now, we got a system of two linear equations in two variables.

x + y = 2000 ————— (1)

4x + 2y = 6400 —————- (2)

Step 3:

Solve the above two linear equations to find the value of x and y.

Multiply equation (1) with -2 and add the resulting equation and equation (2) to eliminate the variable y.

     -2x — 2y = -4000

(+) 4x + 2y = 6400

———————————

       2x = 2400                                    

Divide by 2 on both the sides and simplify.

x = 1200

Step 4:

Now, substitute the value of x = 1200 in either of the two equations.

Let us substitute in equation (1). So, it becomes

1200 + y = 2000

Subtract 1200 from both sides of the equation and simplify.

1200 + y — 1200 = 2000 — 1200

y = 800

Step 5:

So, the solution for the given system of equations is (1200, 800), which means 1200 adult tickets and 800 child tickets were sold on Saturday. 

Note: The above problem can be also solved using substitution method since the coefficients of x and y in the first equation is 1.

 Practice Problems:

1. James bought 5 apples and 10 oranges for $4. Donald bought 3 apples and 9 oranges for $3. The shop keeper strictly told that there will not be any discounts. What is the cost of an apple and an orange?

Show Answer

2. Ana writes test to upgrade her level. The test has 25 questions for a total score of 150 points. Among the 25 questions, each multiple choice questions carries 3 points and the descriptive type questions carries 8 points. How many multiple choice questions and descriptive type questions are there in the test?

Show Answer

3. The sum of the digits of a two digit number is 7. When the digits are reversed, then number is decreased by 9. Find the number.

Show Answer

4. The perimeter of a rectangle is 12 meters. The length is 3 more than twice its width. Find the dimensions of the rectangle.(This can also be solved just with one variable)

Show Answer

5. The sum of two numbers is 12. When three times the first number is added to 5 times the second number, the resultant number is 44. Find the two numbers.

Show Answer

Having problem in solving any of these questions? Post your doubt in comment. We will help you how to solve this.

Related Articles:

Если вы столкнулись с тем, что текстовый редактор Microsoft Word работает с ошибками или вообще не запускается на Windows 10, не стоит беспокоиться, эти проблемы вполне реально решить. В данной статье мы рассмотрим наиболее вероятные причины подобных сбоев в работе этого популярного приложения и подскажем способы их устранения.

Вы можете столкнуться с ситуацией, когда Word отказывается запускаться по причине отсутствия у вас прав администратора. См. также: как получить права администратора в Windows 10.

1. Найдите ярлык Word в меню «Пуск», щелкните на него правой кнопкой мыши и в контекстном меню выберите команду «Дополнительно», а после — «Запуск от имени администратора».

   

   Запускаем Word от имени администратора

2. Если приложение запустилось, считайте, что причина неработоспособности Word найдена. Чтобы не проделывать вышеописанные действия каждый раз, изменим свойства ярлыка программы. Для этого снова кликаем ярлык Word в меню «Пуск» правой кнопкой мыши и в подменю «Дополнительно» выбираем команду «Перейти к расположению файла».

   

   Переходим к расположению файла

3. Откроется окно папки, содержащей файлы ярлыков из меню «Пуск». С помощью правой кнопки мыши открываем контекстное меню ярлыка Word и выбираем команду «Свойства».

   

   Открываем свойства ярлыка Word

4. В появившемся окне на вкладке «Ярлык» нажимаем кнопку «Дополнительно».

   

   Переходим к дополнительным параметрам ярлыка
5. В окне «Дополнительные свойства» ставим флажок «Запуск от имени администратора» и нажимаем кнопку «ОК» в этом и в предыдущем окне, а затем кнопку «Продолжить» в окне предупреждения для завершения операции.
6. Теперь Word каждый раз будет запускаться с правами администратора.

 Загрузка …

Восстанавливаем Word через «Параметры Windows»

Проблемы в работе текстового редактора Word могут быть вызваны повреждением, изменением либо удалением отдельных компонентов Microsoft Office. Это может касаться как версии 2007 года, так и 2013 или даже 365. Для восстановления офисного пакета проделаем следующие шаги:

1. Кликаем на кнопку «Пуск» правой кнопкой мыши и в контекстном меню выбираем пункт «Приложения и возможности».

   

   Открываем «Приложения и возможности» из контекстного меню кнопки «Пуск»

2. В появившемся окне «Параметры» мы увидим перечень всех установленных на компьютере программ. Находим в списке Microsoft Office. Для этого можно воспользоваться поисковой строкой «Искать в этом списке»: вводим в нее слово «office» и, когда офисный пакет будет найден, выбираем его, а затем нажимаем на кнопку «Изменить».

   

   Находим Microsoft Office и жмем на кнопку «Изменить»

3. Появится окно, в котором нужно указать способ восстановления и нажать кнопку «Восстановить». Вначале попробуйте воспользоваться быстрым восстановлением, а если оно не решит проблему, выберите восстановление по сети. Так или иначе, данная операция восстановит оригинальные файлы офисного пакета Microsoft и, скорее всего, решит проблему с запуском Word.

   

   Запускаем восстановление Microsoft Office

 Загрузка …

Исправляем работу Word с помощью утилиты от разработчика

На официальном сайте поддержки пользователей продуктов Microsoft при получении сообщения «Прекращена работа программы Microsoft Word» рекомендуется скачать специальную утилиту «Средство простого исправления».

1. Перейдите по ссылке https://support.office.com/ru-ru/article/Я-получаю-сообщение-об-ошибке-Прекращена-работа-при-запуске-приложений-office-на-моем-компьютере-52bd7985-4e99-4a35-84c8-2d9b8301a2fa, кликните на пункт «1. Отключение надстроек с помощью средства простого исправления» и нажмите кнопку «Загрузить».

   

   Скачиваем средство простого исправления с сайта Microsoft

2. После окончания загрузки запустите скачанный файл CSSEmerg6619.diagcab и нажмите кнопку «Далее».

   

   Запускаем утилиту для исправления Microsoft Office

3. Программа проведет диагностику и исправит найденные ошибки, после чего средство устранения неполадок можно закрыть.

   

   Утилита обнаружила и исправила проблему

 Загрузка …

Отключаем надстройки Word в безопасном режиме

При установке различных приложений в текстовый редактор Word могут быть добавлены надстройки, расширяющие возможности программы, однако нередко они являются причиной нестабильной работы и невозможности запуска Word в обычном режиме.

1. Запустим Word в безопасном режиме. Для этого в контекстном меню кнопки «Пуск» выберем команду «Выполнить».

   

   Открываем окно «Выполнить» из контекстного меню кнопки «Пуск»

2. В появившемся окне вводим команду winword /safe и нажимаем кнопку «ОК».

   

   Запускаем Word в безопасном режиме

3. После запуска Word открываем меню «Файл» и выбираем команду «Параметры».

   

   Открываем меню «Файл»

   

   Кликаем команду «Параметры»

4. В левой части окна «Параметры Word» находим раздел «Надстройки», затем в раскрывающемся списке «Управление» справа выбираем «Надстройки Word» и нажимаем кнопку «Перейти».

   

   Переходим к надстройкам Word

5. В окне «Шаблоны и надстройки» снимаем галочки со всех элементов и нажимаем кнопку «ОК».

   

   Отключаем надстройки Word

6. Вернемся в окно «Параметры Word» и перейдем к управлению «Надстройками COM».

   

   Переходим к надстройкам COM

7. В открывшемся окне также можно отключить доступные надстройки. Чтобы выяснить, какая именно надстройка вызывает ошибку в работе Word, их следует отключать поочередно, после чего выходить из безопасного режима и запускать Word в обычном режиме, пока виновница сбоя не будет найдена.

   

   Отключаем надстройки COM

 Загрузка …

Кроме перечисленных выше причин неработоспособности Word, могут возникнуть проблемы с активацией Microsoft Office. После установки пакета офисных приложений пользователю доступен тридцатидневный пробный бесплатный период использования, по окончании которого офисные программы прекращают работать. Чтобы продолжить пользоваться ими, необходимо приобрести лицензию на официальном сайте Microsoft. Если вы оплатили лицензию, но столкнулись с проблемами в работе Word, обратитесь в службу поддержки продуктов Microsoft Office https://support.office.com/.

 Загрузка …

Post Views: 20 824

After you finish this lesson, view all of our Pre-Algebra lessons and practice problems. After you finish this lesson, view all of our Algebra 1 lessons and practice problems.

Solving Word Problems

To solve a word problem using a system of equations, it is important to;
– Identify what we don’t know
– Declare variables
– Use sentences to create equations

An example on how to do this:

Mary and Jose each bought plants from the same store. Mary spent $188 on 7 cherry trees and 11 rose bushes. Jose spent $236 on 13 cherry trees and 11 rose bushes. Find the cost of one cherry tree and the cost of one rose bush.

Cost of a cherry tree:
Cost of a rose bush:
7 cherry trees and 11 rose bushes = $188

The y-values cancel each other out, so now you are left with only x-values and real numbers.

Then, you plug in your x-value into an original equation in order to find the y-value.

Cost of a cherry tree: $8
Cost of a rose bush: $12

Example 1

Three coffees and a cupcake cost a total of dollars. Two coffees and four cupcake cost a total of dollars. What is the individual price for a single coffee and a single cupcake?

Let’s solve this by following steps.

1. What we don’t know:

Cost of a single coffee

Cost of single cupcake

2. Declare variables:

Cost of a single coffee=

Cost of single cupcake=

3. Use sentences to create equations.

Three coffees and a cupcake cost a total of dollars.

Two coffees and four cupcake cost a total of dollars.

Now, we have a system of equations:

Let’s solve for one of the variables in one of the equations and then use that to substitute into the other.

Now, solve for the value of using the first equation.

Let’s solve the value of by substituting the value of to the bottom equation.

Distribute to each terms inside the parenthesis

Combine like terms

Now, let’s isolate the by subtracting on both sides.

Then divide both sides by ,

And we’ll have

Then, let’s plug the value of into one equation to get the value of .

Cost of a single coffee=

Cost of single cupcake=

Example 2

The senior class at High School A rented and filled vans and buses with students. High School B rented and filled vans and bus with students. Every van had the same number of students in it as did the buses. Find the number of students in each van and in each bus.

Let’s solve this by following steps.

1. What we don’t know:

Students in each van

Students in each bus

2. Declare variables:

Students in each van=

Students in each bus=

3. Use sentences to create equations.

High School A rented and filled 8 vans and 8 buses with 240 students.

High School B rented and filled 4 vans and 1 bus with 54 students.

Now, we have a system of equations:

Let’s solve for one of the variables in one of the equations and then use that to substitute into the other.

Now, solve for the value of using the second equation.

Let’s solve the value of by substituting the value of to the bottom equation.

Distribute to each terms inside the parenthesis

Combine like terms

Now, let’s isolate the by subtracting on both sides.

Then divide both sides by ,

And we’ll have

Then, let’s plug the value of into one equation to get the value of .

Students in each van=

Students in each bus=

Video-Lesson Transcript

To solve a word problem using system of equations, it is important to:
1. Identify what we don’t know
2. Declare variables.
3. Use sentences to create equations.

Let’s have an example:

Mary and Jose each bought plants from the same store. Mary spent on cherry trees and rose bushes. Jose spent on cherry trees and rose bushes. Find the cost of one cherry tree and the cost of one rose bush.

Let’s solve this by following steps above.

1. What we don’t know:
cost of a cherry tree
cost of a rose bush

2. Declare variables:
cost of a cherry tree :
cost of a rose bush :

3. Use sentences to create equations.

For Mary:
cherry trees and rose bushes

For Jose:
cherry trees and rose bushes

Now, we have a system of equations

We can solve this by process of substitution, elimination or fraction.

Since the value of is the same for both equations, let’s do the process of elimination.

First, let’s multiply the first equation by

Here we’ll have a negated equation

Let’s do the process of elimination now

We’ll have

Then, let’s isolate by dividing both sides by

Now, we have

Remember, our declared variable?

cost of a cherry tree :

Since

Now we can say that

cost of a cherry tree :

Now, let’s solve for the value of by getting one equation and plugging the value of .

Let’s use the first equation to plug in

Let’s isolate by subtracting on both sides of the equation

Then divide by

And we get

Now, we know that cost of a rose bush is .

Word – самый популярный текстовый редактор, который по умолчанию устанавливается на все компьютеры под управлением Windows 10 в рамках пакета Microsoft Office. 

Им пользуются десятки миллионов людей, а потому проблемы, когда не открывается Ворд в операционной системе Виндовс 10, возникают нередко. К счастью, любые неполадки можно устранить, но только при полном соблюдении требований инструкции.

Чтобы сэкономить время, сначала рекомендуется установить причину возникновения проблемы.

Для этого стоит обратить внимание на следующие факторы, которые чаще всего блокируют запуск Microsoft Word:

• отсутствие лицензии;
• недостаточное количество пользовательских прав;
• использование некорректной сборки приложения;
• повреждение файлов Word;
• воздействие вирусов.

Понять, что именно послужило причиной, бывает очень сложно. Но даже в таком случае не стоит отчаиваться, поскольку проблему, рано или поздно, все равно удастся решить. Главное – не закрывать глаза даже на мельчайшие ошибки в работе текстового редактора. Это может быть косвенным свидетельством появления неполадок.

Как восстановить работоспособность Word в Windows 10

Определив причину возникновения проблемы, вы сэкономите время на ее устранении. Однако не каждый пользователь способен с точностью выявить вредителя. В таком случае рекомендуется действовать по инструкции, рассматривая наиболее вероятные факторы, которые привели к сбою в работе приложения.

Проверка лицензии

Некоторые люди ошибочно полагают, что Word – это бесплатный софт. Но, на самом деле, текстовый редактор распространяется по модели подписки. Получить доступ к одному лишь Ворду не получится. Придется оформлять подписку на все сервисы Microsoft Office, в число которых входят PowerPoint, Excel и другие программы.

При первом запуске Word владельцу компьютера дается 30 дней на бесплатное использование сервиса. Если по истечении этого срока он не оформит подписку, то доступ к редактору будет заблокирован, и совершенно не удивительно, что Ворд не работает. Вне зависимости от того, являетесь вы владельцем лицензионной версии ПО, или только что исчерпали 30-дневный лимит, стоит проверить состояние подписки:

• Щелкните ПКМ по иконке «Пуск».

• Через контекстное меню откройте Командную строку с правами Администратора.

• Введите запрос «cd “C:Program FilesMicrosoft OfficeOffice16”» для 64-битной Windows или «cd “C:Program Files (x86)Microsoft OfficeOffice16”» для 32-битной. Обратите внимание, что название пакета может отличаться, так как Office 2016 – далеко не самая актуальная версия пакета.

• Нажмите на клавишу «Enter».

• Предыдущей командой мы указали терминалу, какое приложение нуждается в проверке. Далее нужно вбить запрос «cscript ospp.vbs /dstatus» и подтвердить его нажатием на «Enter».
• Изучите информацию, представленную в пункте «LICENSE STATUS». Если продукт активирован, то будет установлено значение «LICENSED».

На заметку. Людям, которые не хотят пользоваться платной версией офиса, рекомендуется обратить внимание на Microsoft Office Online. Это онлайн-сервис с аналогичным функционалом, который работает бесплатно, но только через браузер в интернете.

Отсутствие статуса «LICENSED» может свидетельствовать о том, что ранее вам не удалось корректно активировать продукт. Придется повторить операцию на сайте Microsoft или обратиться в службу поддержки для выяснения обстоятельств.

Запуск от имени Администратора

Если предыдущий метод подтвердил отсутствие проблем с лицензией, но редактор все равно не запускается, то причина возникновения проблемы кроется в другом факторе. Возможно, для приложения случайно или намеренно было выставлено ограничение по запуску, когда пользоваться приложением может только человек с правами Администратора. Исправляется ошибка следующим образом:

• Найдите исполняемый файл приложения (например, в меню «Пуск»).
• Щелкните по нему ПКМ.
• Выберите опцию «Запуск с правами Администратора».

Успешный запуск подтвердит, что проблема заключалась в недостаточном количестве прав. Для корректного использования программы без принудительной активации профиля Администратора действуйте по алгоритму:

• Щелкните ПКМ по иконке Word в меню «Пуск».
• Выберите «Дополнительно», а затем – «Перейти к расположению файла».

• В корневой папке найдите исполняемый файл редактора и откройте его свойства из контекстного меню, которое вызывается щелчком ПКМ.

• Во вкладке «Ярлык» обратитесь к пункту «Объект». Здесь нужно дописать значение «/r».

• Нажмите на кнопку «Применить» для сохранения настроек.

После выполнения изменений Ворд будет автоматически запускаться с правами Администратора. Следовательно, проблема больше не побеспокоит вас. Если ничего не изменилось – рассмотрите еще несколько вариантов устранения неполадок.

Восстановление через «Параметры»

Далее стоит рассмотреть вариант, при котором программа отказывается работать из-за повреждения собственных файлов. Это могло произойти как по неосторожности пользователя, так и вследствие вмешательства вредоносного ПО. Решение заключается в восстановлении параметров Word и всего офисного пакета:

• Щелкните ПКМ по иконке «Пуск».

• Выберите пункт «Приложения и возможности», чтобы сразу запустить необходимый раздел «Параметров».

• Найдите в списке офисный пакет и кликните по нему ЛКМ.

• Нажмите на кнопку «Изменить».
• Подтвердите восстановление софта.

По завершении не забудьте перезагрузить компьютер. После повторного запуска ПК попробуйте снова открыть текстовый редактор.

Исправляем работу Word с помощью утилиты от разработчика

В ситуации, когда не запускается Ворд или другая офисная программа Microsoft, разработчики рекомендуют обращаться к помощи утилиты «Средство простого исправления». Ее можно скачать через официальный сайт американской компании.

Утилита поможет отключить надстройки, которые нередко вызывают сбои в работе программного обеспечения. С высокой долей вероятности вам удастся решить проблему. В крайнем случае, обратитесь к последнему варианту.

Отключение надстроек в безопасном режиме

Так или иначе, проблема связана с надстройками. Если они не отключаются средствами ПО разработчика, то выполнить операцию придется вручную:

• Перезагрузите компьютер в безопасном режиме.

• Запустите Word (в безопасном режиме он должен работать без нареканий).
• Щелкните ЛКМ по вкладке «Файл».

• Перейдите в «Параметры».

• Опуститесь в раздел «Надстройки» и нажмите на кнопку «Перейти».
• Снимите галочки со всех надстроек, которые отображаются в меню параметров. Сохраните изменения.

То, что Word функционирует в безопасном режиме – не показатель. Вам нужно покинуть профиль, переведя устройство в обычное состояние. Только так можно быть уверенным в устранении неполадок. Если положительных изменений не произойдет, то попробуйте еще раз повторить все рекомендации из материала. Заключительный вариант решения проблемы – обращение в службу поддержки Microsoft.

Word, несмотря на множество аналогов, в том числе и бесплатных, все еще является неоспоримым лидером среди текстовых редакторов. Эта программа содержит в себе множество полезных инструментов и функций для создания и редактирования документов, но, к сожалению, не всегда стабильно работает, особенно, если используется она в среде Windows 10. В нашей сегодняшней статье расскажем, как устранить возможные ошибки и сбои, нарушающие работоспособность одного из главных продуктов Microsoft.

Читайте также: Установка Microsoft Office

Причин, из-за которых Microsoft Word может не работать в Windows 10, не очень много, и каждая из них имеет свой вариант решения. Так как на нашем сайте есть довольно много статей, рассказывающих в целом об использовании этого текстового редактора и конкретно об устранении проблем в его работе, этот материал мы разделим на две части – общую и дополнительную. В первой рассмотрим ситуации, в которых программа именно не работает, не запускается, а во второй кратко пройдемся по наиболее распространенным ошибкам и сбоям.

Читайте также: Инструкции по работе с Microsoft Word на Lumpics.ru

Способ 1: Проверка лицензии

Ни для кого не секрет, что приложения из пакета Майкрософт Офис являются платными и распространяются по подписке. Но, зная это, многие пользователи продолжают пользоваться пиратскими версиями программы, степень стабильности которых напрямую зависит от прямоты рук автора дистрибутива. Мы не будем рассматривать возможные причины того, почему не работает взломанный Word, но если вы, будучи добросовестным обладателем лицензии, столкнулись с проблемами, используя приложения из оплаченного пакета, первым делом следует проверить их активацию.

Примечание: Microsoft предоставляют возможность бесплатного использования Office в течение месяца, и если этот срок истек, офисные программы не будут работать.

Лицензия Офис может распространяться в разном виде, но проверить ее состояние можно через «Командную строку». Для этого:

Читайте также: Как запустить «Командную строку» от имени администратора в Windows 10

1. Запустите «Командную строку» от имени администратора. Сделать это можно путем вызова меню дополнительных действия (клавиши «WIN+X») и выбора соответствующего пункта. Другие возможные варианты описаны в представленной по ссылке выше статье.



2. Введите в нее команду, обозначающую путь установки Microsoft Office на системном диске, точнее, переход по нему.

   Для приложений из пакета Офис 365 и 2016 в 64-битных версиях этот адрес выглядит следующим образом:

   cd “C:Program FilesMicrosoft OfficeOffice16”
   
   Путь к папке 32-битного пакета:

   cd “C:Program Files (x86)Microsoft OfficeOffice16”

   Примечание: Для Офис 2010 конечная папка будет иметь название «Office14», а для 2012 – «Office15».

3. Нажмите клавишу «ENTER» для подтверждения ввода, а затем введите представленную ниже команду:

   cscript ospp.vbs /dstatus





Будет начата проверка лицензии, которая займет буквально несколько секунд. После вывода результатов обратите внимание на строку «LICENSE STATUS» — если напротив нее указано «LICENSED», значит, лицензия активна и проблема не в ней, следовательно, можете переходить к следующему способу.


Но если там указано иное значение, активация по какой-то причине слетала, а значит, ее нужно произвести повторно. О том, как это делается, мы ранее рассказывали в отдельной статье:

Подробнее: Активация, скачивание и установка Microsoft Office

В случае возникновения проблем с повторным получением лицензии вы всегда можете обратиться в службу поддержки продуктов Майкрософт Офис, ссылка на страницу которой представлена ниже.

Страница поддержки пользователей Microsoft Office

Способ 2: Запуск от имени администратора

Возможно и такое, что работать, а точнее запускаться Ворд отказывается по более простой и банальной причине – у вас нет прав администратора. Да, это не обязательное требование для использования текстового редактора, но в среде Windows 10 это нередко помогает устранить аналогичные проблемы с другими программами. Вот что нужно сделать для запуска программы с административными полномочиями:

1. Отыщите ярлык Word в меню «Пуск», кликните по нему правой кнопкой мышки (ПКМ), выберите пункт «Дополнительно», а затем – «Запуск от имени администратора».



2. Если программа запустится, значит, проблема заключалась именно в ограниченности ваших прав в системе. Но, так как у вас наверняка нет желания каждый раз открывать Ворд таким способом, необходимо изменить свойства его ярлыка, чтобы запуск всегда происходил с административными полномочиями.



3. Для этого снова найдите ярлык программы в «Пуске», нажмите по нему ПКМ, затем «Дополнительно», но в этот раз выберите в контекстном меню пункт «Перейти к расположению файла».



4. Оказавшись в папке с ярлыками программ из стартового меню, найдите в их перечне Word и снова кликните по нему ПКМ. В контекстном меню выберите пункт «Свойства».



5. Кликните по адресу, указанному в поле «Объект», перейдите в его конец, и допишите туда следующее значение:

   /r
   
   Нажмите расположенные внизу диалогового окна кнопки «Применить» и «ОК».


С этого момента Ворд всегда будет запускаться с правами администратора, а значит, вы больше не столкнетесь с проблемами в его работе.

Читайте также: Обновление Microsoft Office до последней версии

Способ 3: Исправление ошибок в работе программы

Если же после выполнения предложенных выше рекомендаций Microsoft Word так и не запустился, следует попробовать выполнить восстановление всего пакета Office. О том, как это делается, мы ранее рассказывали в одной из наших статей, посвященной другой проблеме – внезапному прекращению работы программы. Алгоритм действий в данном случае будет точно таким же, для ознакомления с ним просто перейдите по представленной ниже ссылке.

Подробнее: Восстановление работоспособности приложений Microsoft Office

Дополнительно: Распространенные ошибки и их решение

Выше мы рассказали о том, что делать есть Ворд в принципе отказывается работать на компьютере или ноутбуке с Виндовс 10, то есть попросту не запускается. Остальные же, более конкретные ошибки, которые могут возникнуть в процессе использования этого текстового редактора, как и действенные способы их устранения, нами были рассмотрены ранее. Если вы столкнулись с одной из представленных в списке ниже проблем, просто перейдите по ссылке на подробный материал и воспользуйтесь предложенными там рекомендациями.

Подробнее:
Исправление ошибки «Прекращена работа программы…»
Решение проблем с открытием текстовых файлов
Что делать, если документ не редактируется
Отключение режима ограниченной функциональности
Устранение ошибки при направлении команды
Недостаточно памяти, чтобы закончить операцию

Заключение

Теперь вы знаете, как заставить работать Microsoft Word, даже если он отказывается запускаться, а также о том, как исправить ошибки в его работе и устранить возможные проблемы.