What is anova test in excel

How to use one-way ANOVA in Excel

1. Click the Data tab.
2. Click Data Analysis.
3. Select Anova: Single Factor and click OK.
4. Next to Input Range click the up arrow.
5. Select the data and click the down arrow.
6. Click OK to run the analysis.

What is Anova in Excel?

ANOVA (Analysis of Variance) in Excel is the single and two-factor method used to perform the null hypothesis test, which says if the test will be PASSED for Null Hypothesis if all the population values are exactly equal to each other.

How do you use a Anova?

Steps

1. Find the mean for each of the groups.
2. Find the overall mean (the mean of the groups combined).
3. Find the Within Group Variation; the total deviation of each member’s score from the Group Mean.
4. Find the Between Group Variation: the deviation of each Group Mean from the Overall Mean.

What is an example of ANOVA?

ANOVA tells you if the dependent variable changes according to the level of the independent variable. For example: Your independent variable is social media use, and you assign groups to low, medium, and high levels of social media use to find out if there is a difference in hours of sleep per night.

How do you do an ANOVA table?

How to Perform a One-Way ANOVA by Hand

1. Step 1: Calculate the group means and the overall mean. First, we will calculate the mean for all three groups along with the overall mean:
2. Step 2: Calculate SSR.
3. Step 3: Calculate SSE.
4. Step 4: Calculate SST.
5. Step 5: Fill in the ANOVA table.
6. Step 6: Interpret the results.

Why do we use ANOVA?

You would use ANOVA to help you understand how your different groups respond, with a null hypothesis for the test that the means of the different groups are equal. If there is a statistically significant result, then it means that the two populations are unequal (or different).

What is two way Anova used for?

A two-way ANOVA test is a statistical test used to determine the effect of two nominal predictor variables on a continuous outcome variable. A two-way ANOVA tests the effect of two independent variables on a dependent variable.

What is ANOVA used for in statistics?

ANOVA stands for Analysis of Variance. It’s a statistical test that was developed by Ronald Fisher in 1918 and has been in use ever since. Put simply, ANOVA tells you if there are any statistical differences between the means of three or more independent groups. One-way ANOVA is the most basic form.

What are the 3 types of ANOVA?

A recap of 2-way ANOVA basics
Three different methodologies for splitting variation exist: Type I, Type II and Type III Sums of Squares. They do not give the same result in case of unbalanced data. Type I, Type II and Type III ANOVA have different outcomes!

What is ANOVA in simple words?

Analysis of variance, or ANOVA, is a statistical method that separates observed variance data into different components to use for additional tests. A one-way ANOVA is used for three or more groups of data, to gain information about the relationship between the dependent and independent variables.

What is p value in ANOVA?

The p-value is the area to the right of the F statistic, F0, obtained from ANOVA table. It is the probability of observing a result (Fcritical) as big as the one which is obtained in the experiment (F0), assuming the null hypothesis is true.

How do you write ANOVA results?

When reporting the results of a one-way ANOVA, we always use the following general structure:

1. A brief description of the independent and dependent variable.
2. The overall F-value of the ANOVA and the corresponding p-value.
3. The results of the post-hoc comparisons (if the p-value was statistically significant).

What is the difference between one-way and two-way ANOVA?

A one-way ANOVA only involves one factor or independent variable, whereas there are two independent variables in a two-way ANOVA. 3. In a one-way ANOVA, the one factor or independent variable analyzed has three or more categorical groups. A two-way ANOVA instead compares multiple groups of two factors.

When would you use a two-way ANOVA example?

You should use a two-way ANOVA when you‘d like to know how two factors affect a response variable and whether or not there is an interaction effect between the two factors on the response variable. For example, suppose a botanist wants to explore how sunlight exposure and watering frequency affect plant growth.

Can ANOVA be used for 2 groups?

Typically, a one-way ANOVA is used when you have three or more categorical, independent groups, but it can be used for just two groups (but an independent-samples t-test is more commonly used for two groups).

Can Anova be used for continuous data?

An analysis of variance (ANOVA) is an appropriate statistical analysis when assessing for differences between groups on a continuous measurement (Tabachnick & Fidell, 2013).This type of analysis is applied when examining for differences between independent groups on a continuous level variable.

What variables are in an Anova?

THE VARIABLES IN THE ONE-WAY ANOVA In an ANOVA, there are two kinds of variables: independent and dependent. The independent variable is controlled or manipulated by the researcher. It is a categorical (discrete) variable used to form the groupings of observations.

What are the limitations of Anova?

What are some limitations to consider? One-way ANOVA can only be used when investigating a single factor and a single dependent variable. When comparing the means of three or more groups, it can tell us if at least one pair of means is significantly different, but it can’t tell us which pair.

What does P value of 0.05 mean?

A statistically significant test result (P ≤ 0.05) means that the test hypothesis is false or should be rejected. A P value greater than 0.05 means that no effect was observed.

What does F crit mean in ANOVA?

Your F crit or alpha value is the risk that you are willing to be wrong in rejecting the null. The higher the F value, the smaller the remaining area to the right and thus the p value.

An important part of being ready for a successful six sigma project is being familiar with the analyses that you’ll use to measure improvement in your processes.

One of the more useful analyses in your toolbelt can be the Analysis of Variance, commonly abbreviated ANOVA.

ANOVA covers a range of common analyses. Some analyses have names related to the number of factors, such as one-way ANOVA and two-way ANOVA. When the levels of a factor are selected at random from a wide number of possibilities, you might use a random-effects model or a mixed-effects model.

And luckily, Microsoft Excel makes it easy to perform these analyses. So we’re going to go through how to use ANOVA in Excel.

What is ANOVA?

While ANOVA has many varieties, the essential purpose of this family of analyses is to determine whether factors have an association with an outcome variable.

Factors are the variables that you will use to categorize your outcome variable into groups. For example, if you want to know whether tapes from three different suppliers have the same peel strength, the suppliers are your factor. All the strength measurements for the same supplier’s tape form a group of measurements.

ANOVA is an inferential statistical analysis.

Inferential analysis is the formal way of saying that we want to look at a sample of measurements and make an educated guess about what all of the possible measurements might be like if we could take them.

Let’s return to the tape example. If you could tape 1 million boxes from a batch of tape, those million might represent the entire population that we want to know about. But if we taped those million boxes and measured the peel strength, we would have used up all of the tape. Instead, we’ll measure the strength from a sample of taped boxes and use those measurements to guess what the numbers would look like if we taped a million boxes.

What does ANOVA do?

An important point is that we won’t expect all the measurements in a group to be the same.

Consider the tape example again. The differences in strength measurements from the same supplier’s tape give us within-group variation. Another important point is that we won’t expect the average strength of our sample to be the same as the average strength if we taped a million boxes. This variation between the sample average and the overall average we’ll call bias.

Because of within-group variation and bias, comparisons among groups become harder. We’ll know that our sample average is not the same as the real average, there’s no easy way to know when our guess is too high or too low. If we guess too high for one group and too low for another group, we might easily reach an incorrect conclusion, such as predicting that the supplier with the strongest tape on average has the weakest tape.

ANOVA gives us mathematical sets of rules, that hold certain given assumptions, to decide when we can have confidence that the real average of one group is different from the real average of one or more other groups. ANOVA sets up these rules by asking how sure we are that the means are the same, a concept that we refer to as the null hypothesis. Remember that the null hypothesis is a useful concept for helping us make comparisons, even though we already know that for real group averages to all be the same would be a remarkable coincidence.

Most of the time, a key result of an ANOVA analysis is a p-value. The p-value has meaning only with respect to the null hypothesis of the ANOVA analysis. For one-way ANOVA, the null hypothesis is that the means for each level of your factor are the same.

A rough interpretation would be that the p-value reflects how much confidence you can have that the null hypothesis is a reasonable model. Small p-values make you think that the null hypothesis is not a reasonable model. Large p-values might lead you to act like the null hypothesis is true, even though you know that it’s not really true, just a reasonable model.

To learn more check out this glossary of Lean Six Sigma terms

Let’s work through a practical example in Excel. We’ll begin with one-way ANOVA, which looks at the effect of a single factor.

The Data Analysis Toolpak in Excel

If you’re analyzing data in Excel, then it’s natural to make use of the tools that Microsoft provides for you. One of the less obvious features in Excel is the Data Analysis Toolpak. The Toolpak is an Excel add-in from Microsoft that’s included with Excel, but isn’t turned on.

Here’s how to turn it on in the Microsoft Windows operating system.

1. Choose File, then Options
2. In the Excel Options Window, choose Add-ins
3. Next to Manage, select Excel Add-ins and click Go
4. In the Add-ins window, select Analysis ToolPak and click OK

A new button on your Data ribbon will appear.

Example  of one-way ANOVA in Excel’s Data Analysis Toolpak

While it can sometimes seem like a simple analysis will have the fewest applications, it’s easy to find practical ways to use one-way ANOVA. Essentially, you can use it anytime you have only one set of groups to compare.

Let’s keep going with our tape example. You’ve invested in an automatic taping machine that applies heat to tape to create strong bonds. You’ve decided that you’re going to measure the strengths of tape samples from different suppliers yourself so that you can see whether there’s any practical difference in the strengths of the bonds using your machine and your boxes.

Data arrangement for one-way ANOVA in Excel

If you’ve been using Excel for a long time, you’ve gotten used to the idea that the spreadsheet is cell-based. That is, there’s very little difference between putting numbers in the spreadsheet in rows or in columns.

Data in rows:

Data in columns:

Microsoft’s been nice enough to make it so that their one-way ANOVA feature can work either way, but I’ll recommend that you start putting your data in columns. The data arrangement will matter when you want to use some of the other offerings in the Data Analysis Toolpak or a software package for data analysis, like Minitab Statistical Software.

If you’d like to follow along with data that’s already prearranged, you can use the following Excel file:

How to use one-way ANOVA in Excel

With the Data Analysis Toolpak installed and your data in columns, you can perform the following steps in Excel to get the results of the one-way ANOVA analysis.

1. Click the Data tab

2. Click Data Analysis

3. Select   Anova: Single Factor  and click OK

4. Next to   Input Range  click the up arrow

5. Select the data and click the   down arrow

6. Click   OK   to run the analysis

Results for one-way ANOVA in Excel: Summary statistics

The results will look like this

First, let’s take a minute to look at the summary statistics of each group.

In particular, the averages, in ascending order, are about 9.67, 9.77, and 9.84. That is, each of the tapes holds almost 10 kg before breaking. The difference between the largest mean and the smallest mean is about 0.17 kg. If kilograms aren’t very familiar to you, you can think of the tape with the lowest average being strong enough to hold about 60 apples and the tape with the highest average being strong enough to hold about 62 apples.

That should be enough for us to start to think about what we expect about the null hypothesis for the ANOVA. If you think that the means are similar, then you’ll expect to see a larger p-value for the hypothesis test.

Results for one-way ANOVA in Excel: Hypothesis tests

Remember that small p-values give us low confidence in the null hypothesis.

The value of about 0.27 is higher than the level where people traditionally agree that there is strong evidence against the null hypothesis. While most people learn 0.05 as a traditional cutoff, that value is mutable depending on the consequences of making an error either by deciding to act as if the means are the same or by acting like the means are not all the same.

Even so, 0.27 is such a large p-value that a lot of uncertainty remains about whether any of the averages are different. By extension, there’s a lot of uncertainty about whether any one average is larger than another.

If those 2 apples worth of strength are so much that you would make a different decision about the tape suppliers because of that difference, then you’ll need more data.

On the other hand, if those 2 apples don’t sound like a big deal, this is a good place to decide that you can choose the supplier with other criteria. For example, you might consider price or your confidence that the supplier can fill your orders on time.

What if you have more factors?

Let’s suppose that you’re considering not only the tape supplier, but also choosing among some different boxes.

You know that the roughness and absorbency of the box might affect how strong the tape holds to it. Instead of doing the test only on the factor of tape supplier, you want to make sure that you have the right tape for the right box.

One approach could be to do a one-way ANOVA where you use more than one factor to define the groups. For example, one of the groups might be the first tape supplier on the first box type. Another group might be the second tape supplier on a second box type.

The disadvantage of this approach is that it doesn’t let you distinguish the effect of different factors. If the one-way ANOVA said that there was a difference between those two groups, then you still wouldn’t know how much of the difference was from the change in tape, the change in box, or a change that depended on both simultaneously.

An analysis to get this type of information when you have two factors is two-way ANOVA.

Data Arrangement for Two-Way ANOVA in Excel

Excel can be flexible with your data arrangement for one-way ANOVA, but is strict about the data arrangement when you do a two-way ANOVA with replication through the Data Analysis Toolpak. Data for one factor need to be in different columns.

Data for the second factor need to be in consecutive rows.

For Excel to work, you’ll need to have the same number of measurements for all of your groups.

You don’t necessarily have to provide the factor label for the rows, but it’s good practice, especially if you might want to graph your data in Excel later. This data arrangement, called a two-way table, would look like this:

If you’d like to follow along with data that’s already prearranged, you can use the following

How to use two-way ANOVA in Excel

With the Data Analysis Toolpak installed and your data in columns, you can perform the following steps in Excel to get the results of the two-way ANOVA analysis. You’ll begin as you did for one-way ANOVA.

Follow along with the two-way ANOVA steps

1. Click the Data tab

2. Click Data Analysis

3. Select   Anova: Two  Factor with Replication  and click    OK

4. Next to   Input Range,  click the   up arrow

5. Select the data and click the    down arrow

6. In   Rows per sample, enter the number of measurements in the group, then click   OK  to run

In this data, you can see that rows 2 to 15 have the measurements for the first box type. Those rows have 15 data points. Since the groups all have to have the same amount of data for the analysis to work in Excel, we know that the second box type must also have 15 rows.

Results for two-way ANOVA in Excel: Summary statistics

As with one-way ANOVA, your results will come in two parts. The first part will be summary statistics about your groups. I’ve added the highlighting.

The blue highlighting shows the overall averages for the two different box types in the data. The difference is about 0.67 kilograms. The gray highlighting shows the averages for the 3 different tape suppliers. The averages for tape supplier 3 is closest to 10, while the averages for tape suppliers 1 and 2 are closer to 9.

The averages for the individual groups have gold highlighting. If the tapes from the different suppliers all work the same on both types of boxes, then the averages for the individual groups should follow the same patterns: The average for box type 1 should be higher and the average for tape supplier 3 should be higher.

The group averages show a different pattern than the overall averages for the two factors. Tape supplier 3’s average is higher than the other two because there is a larger difference between the suppliers for the second box type.

This comparison of the averages should prepare us for what to expect about the null hypothesis for two-way ANOVA that the factors do not affect the response variable.

Results for two-way ANOVA in Excel: Hypothesis tests

For our one-way ANOVA analysis, the p-value was relatively large. That value led us to conclude that we couldn’t be certain whether there was any difference between the tape suppliers.

For the two-way ANOVA, our largest p-value is about 0.002. That is much smaller than the traditional cutoff value for statistical significance of 0.05.

Because the p-value for the interaction is small, we cannot make a simple statement that one supplier or box type leads to a higher peel strength.

The hypothesis test confirms what we might have expected from the examination of the averages: The effect of the different tapes depends on the box type. (We could equivalently say that the effect of the different box types depends on the tape.)

From the default results in Excel, you can conclude that not all of the groups have the same peel strength. To make a more precise statement about the relationships among the groups, you should proceed to a multiple comparisons analysis.

Bonus tutorial:  Selecting which hypothesis test to use

If you want to learn about the various types of hypothesis tests, then check out this video tutorial on hypothesis testing:

Conclusion

While the examination of the averages for the two-way ANOVA analysis suggests that the choice of tape matters only if you’re going to use the second box type, you’ll want to consider your decisions carefully from both a statistical and a practical perspective.

If you need the tape to have a peel strength of only 5 kilograms, then the peel strengths are probably all adequate. If a difference of 0.4 kilograms might lead you to choose one group over another, then more analysis of the data is in order.

You can learn more techniques for analyzing ANOVA data in this course on hypothesis testing. If you’ve already acquired the basics, then you’re ready to proceed to more advanced considerations in this design of experiments course. Either way, the knowledge that you gain will help you prepare to ensure that your projects exceed your expectations.

Пусть имеется случайная переменная

Y

, значения которой мы можем измерять. Исследователь предполагает, что эта переменная зависит от фактора, значения которого мы можем контролировать, т.е. задавать с требуемой точностью. Покажем как методом дисперсионного анализа (

ANOVA

) проверить гипотезу о наличии или отсутствии влияния указанного фактора на зависимую переменную

Y

.

Disclaimer

: Эта статья – о применении MS EXCEL для целей

Дисперсионного анализа, поэтому

данную статью не стоит рассматривать, как пересказ главы из учебника по статистике. Статья не обладает ни полнотой, ни строгостью изложения положений статистической науки. Теоретические отступления приведены лишь из соображения логики изложения. Использование данной статьи для изучения теории

Дисперсионного анализа

– плохая идея. Хорошая идея — найти в этой статье формулы MS EXCEL для проведения

Дисперсионного анализа.

Перед прочтением этой статьи рекомендуется освежить в памяти следующие понятия статистики:

• Проверка статистических гипотез

  ;

• Дисперсия

  и

  среднее значение

  ;

• Распределение Фишера

  и

  квантили

  этот распределения;

• F-тест

  ;

• Блочные диаграммы

  .

Дисперсионный анализ

(ANOVA, ANalysis Of VAriance) позволяет

проверить гипотезу

о равенстве нескольких

средних значений

выборок (взяты ли выборки из одного распределения или из разных распределений).

Примечание

: В статье

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями

решалась подобная задача о сравнении

средних значений

2-х распределений. Здесь рассмотрим более общую задачу – будем одновременно сравнивать несколько

средних значений

выборок (более 2-х).

Чтобы пояснить суть

дисперсионного анализа

приведем пример.

Сгенерируем

2 выборки: первую возьмем из

нормального распределения

со средним значением равно 4, вторую со средним — 5 (

стандартные отклонения

одинаковые). Сказать, сильно ли они различаются или нет, невозможно, пока мы не знаем разброс (стандартное отклонение) значений в каждой выборке относительно среднего. Если зададим в распределениях небольшой разброс, скажем 0,1, то в каждой выборке получим близкое к нему значение. В этом случае, очевидно, что наблюдаемое различие между

средними

равное 1 (5-4=1) – значительное и можно говорить, что выборки взяты из разных распределений (см. картинку ниже).

Если же разброс в выборках составляет около 2, то наблюжаемое различие средних значений выборок равное 1 уже не кажется таким значительным.

В дисперсионном анализе эти значения выборок представляют собой значения зависимой переменной Y, а выборки берутся при различных уровнях фактора Х. В первом случае для того дать ответ о зависимости Y от фактора Х, даже не нужно проводить

дисперсионный анализ

: из диаграммы итак очевидно, что отличие между средними значениями выборок (5-4=1), гораздо больше разброса внутри выборки (0,1). Следовательно, очевидно, что выборки взяты из различных генеральных совокупностей (с различными распределениями), которые соответствуют разным значениям Х.

Во втором случае без

дисперсионного анализа

не обойтись. Различие между

средними значениями

может быть обусловлено просто случайностью выборок, взятых из одного распределения.

В конце статьи мы определим математически точно условие «значимости» различия

средних выборок

.

Немного теории

Примечание

: Пользователи, уверенно владеющие методом

дисперсионного анализа

, могут перейти непосредственно к

формулам MS EXCEL

.

Пусть необходимо исследовать зависимость некой

количественной

случайной величины Y от одной переменной, которую мы можем контролировать (устанавливать их значения с требуемой точностью). В теории

дисперсионного анализа

переменная Y называется

зависимой переменной

(

dependent

или

response

variable

), а переменные, от которых исследуется зависимость переменной Y, называются факторами или зависимыми переменными (

factors

или

dependent

variables

).

Для целей этой статьи будем предполагать, что Y зависит только от одного фактора.

Примечание

: Случай зависимости от 2-х факторов рассмотрен в статье

Двухфакторный дисперсионный анализ

.

Отдельные, заданные значения фактора называются уровнями (

levels

) или испытаниями (

treatments

).

Так как мы можем контролировать значения, которые принимает

фактор

, то данные (набор значений Y), которые получены в результате испытаний, мы назовем

экспериментальными

, а сам процесс получения этих данных —

экспериментом

.

Целью эксперимента является исследование влияния различных уровней фактора на переменную Y. В самом деле, так как фактор нами контролируется, то у нас есть возможность сделать несколько наблюдений (измерений) величины Y при определенном заданном уровне фактора. Зачем их делать несколько, ведь значения Y должны получиться одинаковыми? Нет. Так как мы предполагаем, что на переменную Y может влиять множество неконтролируемых нами факторов, то мы будем получать в ходе каждого измерения несколько отличающиеся значения Y. Единственное, что мы можем сделать, это обеспечить одинаковые условия проведения эксперимента для всех измерений.

Например, измеряя расход бензина на 100 км/ч одной и той же марки бензина на одном и том же автомобиле, мы будем получать несколько различные значения. Может непредсказуемо измениться направление ветра, состояние дороги или автомобиля, что в свою очередь повлияет на расход.

Уровни фактора (treatments) будем обозначать буквой j (j изменяется от 1 до

a

). Каждому уровню фактора соответствует одна выборка (состоит из нескольких измерений). Предполагается, что

дисперсии

всех выборок σ

²

неизвестны, но равны между собой.

Непосредственно измеренные значения Y при заданном уровне фактора j будем обозначать y

_ij

. Количество наблюдений для разных уровней факторов может быть одинаковым или отличаться.

Примечание

: Чем больше количество измерений/наблюдений (т.е. размер выборки) мы сделаем, тем более обоснованным будет наш статистический вывод о равенстве

средних значений

этих выборок.

В тексте статьи будем рассматривать только равные выборки, их размер обозначим n. В Этом случае общее количество измерений N=n*a.

Примечание

: В

файле примера

выполнены вычисления для обоих случаев (равные и неравные по размеру выборки).

Если фактор действительно оказывает влияние на зависимую переменную Y, то при различных уровнях фактора мы должны в среднем получать различные значения Y. Другими словами, мы должны получить «заметно различающиеся»

средние выборок

при различных уровнях фактора:

Остается выяснить, что значит средние выборок «заметно отличаются».

Стандартные обозначения дисперсионного анализа

Общий подход при проведении Дисперсионного анализа: проверить значимость различия средних значений выборок, сравнив один источник разброса (проверяемый фактор) с другим источником разброса (обоснованный лишь случайностью выборок/ случайным воздействием неконтролируемых факторов):

Введя нижеуказанные обозначения, выражение можно записать в компактной форме:

SST=SSA+SSE

Эти общеупотребительные обозначения расшифровываются следующим образом: SS – это сокращение английского выражения Sum of Squares (сумма квадратов отклонений от среднего), T – это сокращение от Total (Общее среднее), А – это фактор А, E – это сокращение от Error (ошибка).

На основании данных определений, вышеуказанное выражение может быть преобразовано в вычислительную форму:

где,

– общее среднее:

Обратите внимание, что квадраты отклонений имеют размерность

дисперсии

, т.е. меры изменчивости. Теперь очевидно, что левая часть выражения представляет собой общую изменчивость (разброс) каждого из наблюдений относительно общего среднего. Эта общая изменчивость (SST) состоит из двух частей: SSA — изменчивость, объясненная нашей моделью (междувыборочная изменчивость, основанная на различиях в уровнях фактора) и из SSE — ошибка модели (внутривыборочная изменчивость, сумма разбросов наблюдений внутри каждой выборки).

Также в

дисперсионном анализе

используется понятие

среднего квадрата отклонений

(Mean Square), т.е. MS. Соответственно для SST имеем MST=SST/(N-1), для SSA имеем MSA=SSA/(n-1), для ошибки модели SSE имеем MSE=SSE/(a(n-1)).

MS имеет смысл средней изменчивости на 1 наблюдение (с некоторой поправкой). Эта поправка отражает тот факт, что MS должна вычисляться не делением SS на соответствующее количество наблюдений, а на число

степеней свободы

(degrees of freedom, DF). Например, чтобы вычислить MST, мы из N (общего количества наблюдений) должны вычесть 1, т.к. в выражении SST присутствует одно

среднее значение

(аналогично тому, как мы делали при вычислении

дисперсии выборки

). Одна степень свободы теряется при вычислении среднего – это видно в формуле выражения для SST.

В SSA мы имеем уже

а

средних значений (равно количеству уровней фактора, т.е. количеству выборок). Поэтому, из общего количества наблюдений

a

*n необходимо вычесть

а

– количество вычисленных средний значений выборок (an-a=a(n-1)).

Напомним, что в

дисперсионном анализе

проверяется гипотеза о равенстве

средних значений

этих выборок. Т.е. формулируется нулевая гипотеза Н

₀

, которая утверждает, что Y не зависит от фактора и все выборки, измеренные при различных уровнях фактора, на самом деле взяты из одного распределения с общим средним.

Идем дальше. Оказывается,

если нулевая справедлива

, то:

• случайная величина MSА представляет собой оценку σ
  
  ²
  
• отношение MSА/MSE имеет

  распределение Фишера

  с
  
  а-1
  
  и
  
  a
  
  (
  
  n
  
  -1)
  
  степенями свободы.

MSА/MSE обозначают как F

₀

(

тестовая статистика

для

однофакторного дисперсионного анализа

).

Примечание

: Можно показать, что MSE также представляет собой оценку σ

²

дисперсии выборок (

математическое ожидание

случайной величины MSE равно σ

²

). Но, в отличие от MSА, MSE представляет собой оценку σ

²

вне зависимости от того, справедлива ли нулевая справедлива или нет.

Теперь, введя основные понятия, рассмотрим вычислительную часть

дисперсионного анализа

на примере решения задачи.

Задача

В качестве задачи рассмотрим технологический процесс изготовления нити в химическом реакторе.

Пусть предполагается, что инженер исследует влияние некой добавки на

прочность нити

Y. Он решает провести эксперимент:

• Использовать 4 различных концентраций добавки (1%; 5%; 7% и 10%).
  
  Прим
  
  .:
  
  эти значения концентраций не участвуют в расчетах.
  
• Провести по 6 (n) измерений прочности нити для каждой концентрации добавки.

Таким образом, имеется только 1 фактор (концентрация добавки). Фактор имеет 4 (а=4) различные уровня (j=1; 2; 3; 4). Всего у нас имеется 24 (N=4*6) измерения.

Вроде бы эксперимент полностью описан, теперь инженеру требуется только провести измерения. Однако, есть еще одна сложность: на разброс результатов при различных уровнях фактора может повлиять то,

как

мы проводим эксперимент.

О рандомизированном эксперименте

Представим, что у нас есть только 1 реактор. Инженер включает реактор, делает 6 измерений для первого уровня, затем, для 2-го и т.д. В итоге, может случиться так, что первые 6 измерений у нас будут выполнены в реакторе, который только начал прогреваться, а последние 6, когда он полностью вышел в рабочий режим. Понятно, что такой подход не годится: на разброс выборок может влиять не только концентрация добавки, но и порядок, в котором проводились измерения.

Также не годится подход, когда используются 4 одинаковых, но отдельных реактора для каждого эксперимента: первый реактор для концентрации 1%, второй — для 5% и т.д. Однако, индивидуальные особенности каждого реактора (период эксплуатации, воздействие ремонтов, незначительное различие конструкции допущенное при изготовлении) могут сказаться на разбросе выборки.

То есть для постановки правильного эксперимента требуется исключить влияние конкретного устройства (experimental unit) на значение переменной Y.

Обычно используют

полностью рандомизированный эксперимент

(completely randomized experimental design) – это когда для каждого испытания (

treatment

) выбираются образцы экспериментального устройства выбираются случайным способом.

Например, для нашего случая можно предложить следующую схему

полностью рандомизированного эксперимента

: мы случайным образом выбираем из большого количества

одинаковых

ректоров (например, из 1000) 6 ректоров для наблюдений первого уровня фактора (для каждого наблюдения 1 реактор), 6 – для второго и т.д. Всего 24 ректора из 1000.

Или можно предложить схему попроще. Всего имеется 24

одинаковых

реакторов. Для

каждого

наблюдения выбираем случайным образом свой реактор.

Или еще проще: каждому из 24 измерений случайным образом (вне зависимости от уровня фактора) назначаем один из 4

одинаковых

реакторов. Каждый реактор участвует в 6 измерениях.

Примечание

: Т.к. не всегда представляется возможным иметь в распоряжении множество одинаковых экспериментальных устройств для проведения

полностью рандомизированного эксперимента

, то в статистике часто используются и другие формы проведения экспериментов, например,

блочный рандомизированный эксперимент

(

randomized block design

).

Вычисления в MS EXCEL

Итак, предположим, что все измерения проведены в соответствии со схемой

полностью рандомизированного эксперимент

а. Результаты измерений представлены в таблице ниже (см.

файл примера на листе Модель

).

Сначала изучим статистические характеристики набора данных, построив

блочную диаграмму

.

Из блочной диаграммы видно, что концентрация добавки влияет на

прочность нити

Y (чем выше концентрация, тем в среднем прочнее нить). Однако, мы пока не можем сделать статистически обоснованный вывод, о том что

концентрация добавки

влияет на

прочность нити

. Возможно, различие в

средних значениях

выборок обусловлено лишь случайностью выборок.

Примечание

: Из

блочной диаграммы

видно, что разброс данных (его отражает дисперсия выборки) имеет примерно одинаковую величину для всех 4-х выборок, что является обязательным условием для корректности применения метода

дисперсионного анализа

.

Сделаем вспомогательные вычисления по формулам из предыдущего раздела статьи: вычислим средние значения каждой выборки, общее среднее, суммы квадратов SS, степени свободы, MSE, MSA.

Тестовая статистика

вычисляется по формуле:

Т.к.

тестовая статистика

имеет

F

-распределение (

распределение Фишера

)

, то ее значение, вычисленное на основании наблюдений, должно лежать около

среднего значения

F

-распределения

с соответствующими

степенями свободы

.

В нашем случае среднее значение

F

-распределения

с

3

и

20

степенями свободы

равно 1,11. Если вычисленное нами значение F

₀

«значительно» превосходит это значение, то это является маловероятным событием и у нас есть основания для отклонения

нулевой гипотезы

.

В нашей задаче F

₀

равно 5,3358. «Значительно» это или нет? Для ответа на этот вопрос вычислим вероятность этого события (т.е. вероятность события, что случайная величина F, имеющая

распределение Фишера

с указанными степенями свободы, примет значение 5,3358 или более). Эта вероятность не высока =0,0072. Этого и следовало ожидать, т.к. 5,3358 значительно больше среднего значения 1,11. В MS EXCEL эту вероятность можно вычислить по формуле:

=

F.РАСП.ПХ((F

₀

;a-1;a(n-1))=F.РАСП.ПХ((5,3358;3;20)

0,0072 – это так называемое

p

-значение

, т.е. вероятность, что статистика F

₀

примет вычисленное значение.

Примечание

: Обычно под F

₀

понимается как сама случайная величина —

тестовая статистика

F

₀

, так и ее конкретное значение F

₀

, вычисленное из условий задачи (исходных данных).

Теперь сравним

p

-значение

с

уровнем значимости

(обычно 0,05 или 0,01). Если

p

-значение

меньше

уровня значимости

, то нулевую гипотезу отклоняют.

В начале статьи мы задались вопросом о том, как математически точно определить «значимое» отличие

средних значений выборок

(чтобы мы могли сделать вывод, что уровни фактора влияют на значение переменной Y). Теперь мы можем утверждать, что

средние выборок

статистически значимо отличаются, если вычисленное

p

-значение

меньше заданного

уровня значимости

.

Таким образом, наша модель является полезной и наше предположение о зависимости Y (прочности нити) от фактора (концентрации добавки) является статистически обоснованным.

Примечание

: Однофакторный дисперсионный анализ можно также выполнить с помощью

надстройки Пакет анализа

. Об этом см.

в статье здесь

.