Вычислительный эксперимент 1 границы с постоянной температурой excel

Другие материалы

Слайд 1Моделирование распределения температуры
11 класс
Задача теплопроводности
§3.3.
Подготовил учитель информатик
МОУ «Школа-лицей №1»

г.Алушты
Успаленко Игорь Николаевич

Слайд 2Определение
Теплопроводность
(один из способов теплопередачи) процесс распространения тепла в сплошной среде: твердом

теле, жидкости или газе.

Слайд 3Постановка задачи
Рассматривается некоторая ограниченная область, содержащая теплопроводный материал.

Слайд 4Математическая модель задачи
Изменение температуры во времени, задается одномерным уравнением в частных

Слайд 5Границы с постоянными значениями температур называются изотермическими границами.
Простая задача — простое

Слайд 6Начиная с момента включения нагревателя, будет происходить прогревание стержня.
По истечении некоторого

Слайд 7Определения
изолинии — линии постоянного значения функции
Изолинии температуры называются изотермами.

Слайд 8Вариант точного решения простой задачи
Уравнение, из решения которого находится функция Т(х,

Слайд 9Численный расчет в
Microsoft Excel
теплоизолятор
холодильник
нагреватель
(100+20)/2
Устоявшаяся температура

Слайд 10Численный расчет в
Microsoft Excel
теплоизолятор
холодильник
нагреватель
Устоявшаяся температура
=(B1+B3)/2

Слайд 11Численный расчет в
Microsoft Excel
Копируем {=(B1+B3)/2}

Слайд 12Акцентуация
Что такое теплопередача?
Какие виды теплопередачи вы знаете?
Что называют теплопроводностью?
Сформулируйте постановку задачи

Слайд 13Возможные проблемы
Предупреждение о циклической ссылки!
Изменение числа итераций при

расчете формул в Excel для активизации циклической ссылки

Слайд 14Вычисление     — это процесс расчета по формулам и последующего отображения значений

Слайд 16Итерация (лат. iteratio — повторяю) — повторение какого-либо действия.
Что такое – итерация?
Один шаг цикла.
Итерация в программировании — организация

обработки данных, при которой действия повторяются многократно, не приводя при этом к вызовам самих себя (в отличие от рекурсии).

Слайд 17Пересчет продолжается до тех пор, пока в данных ячейках не установятся

Слайд 18Сколько итераций нужно делать?
Предельное число итераций?
Циклические ссылки могут пересчитываться до

Слайд 19Вычислительные эксперименты в электронной таблице по расчету распределения температуры
Сложные граничные условия
§

Слайд 20Что делать если..
расчетная область имеет сложную форму?
граничные условия не

Слайд 21Вычислительный эксперимент 1
границы с постоянной температурой

=(B1+B3+C2+A2)/4
скопировать эту формулу во все ячейки

диапазона

Слайд 22Вычислительный эксперимент 1
границы с постоянной температурой

Дальше его можно (нужно) анализировать.
Постройте

графики изменения температур в сечениях (2-3 шт) по осям X и Y.

Слайд 23Вычислительный эксперимент 2
расчет с теплоизолированной границей
Как задать условие для температуры на

Слайд 24Вычислительный эксперимент 2
Результаты расчета поля температур с теплоизолированной правой границей

Слайд 25Вычислительный эксперимент 3
расчет с внутренним источником тепла

Постройте поверхностную диаграмму

Слайд 26Форма границы произвольная
Вычислительный эксперимент 4

Слайд 27Домашнее задание
§3.3.2 -3.3.3 Ответить на вопросы

И. Г. Семакин, Е. К. Хеннер,

Л. В.
Шестакова

ИНФОРМАТИКА

УГЛУБЛЕННЫЙ УРОВЕНЬ

Учебник для 1 1 класса

в 2-х частях

Часть 2

Рекомендовано

Министерством образования и науки
Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в имеющих
государственную аккредитацию и реализующих образовательные программы общего
образования образовательных учреждениях

Москва

БИНОМ.
Лаборатория знаний

2014

удк 004.9 ББК 32.97 сзо

Семакин И. Г.

СЗО Информатика. Углубленный
уровень учебник для 11 класса : в 2 ч. Ч. 2 / И. Г. Семакин, Е. К. Хеннер, Л.
В. Шестакова. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. —216 с. : ил.

ISBN 978-5-9963-1688-5 (Ч. 2)

ISBN 978-5-9963-1689-2

Учебник предназначен для изучения
курса информатики на углубленном уровне в 11 классах общеобразовательных
учреждений. Содержание учебника опирается на изученный в 7—9 классах курс
информатики для основной школы и разработано в соответствии с Федеральным
государственным образовательным стандартом для среднего (полного) образования
2012 г. Рассматриваются теоретические основы информатики, аппаратное и
программное обеспечение компьютера, современные информационные и
коммуникационные технологии.

Учебник входит в учебно-методический
комплект, включающий также учебник для 10 класса, практикум и методическое
пособие для учителя.

удк 004.9 ББК 32.97

Учебное
изДание

Семакин Игорь Геннадьевич Хеннер
Евгений Карлович

Шестакова
Лидия Валентиновна

ИНФОРМАТИКА.

УГЛУБЛЕННЫЙ
УРОВЕНЬ

Учебник для
11 класса

В двух частях

Часть вторая

Ведущий
редактор О. А. Полежаева

Ведущие
методисты: И. Л. Сретенская, И. Ю. Хлобыстова

Художники: Н.
А. Новак, Я. В. Соловцова, Ю. С. Белаш

Технический редактор Е. В. Денюкова
Корректор Е. Н. Клитина

Компьютерная
верстка: В. А. Носенко

Подписано в
печать 20.03.14. Формат 70х 100/16.

Усл. печ. л.
17,55. Тираж 15 ООО эКЗ. Заказ № 35586.

Издательство
«БИНОМ. Лаборатория знаний»

125167,
Москва, проезд Аэропорта, д. З

Телефон: (499) 157-5272 e-mail: binom@Lbz.ru
http://www.Lbz.ru, http://e-umk.Lbz.ru, http://metodist.Lbz.ru

При участии ООО Агентство печати
«Столица» www.apstolica.ru; e-mail: apstolica@bk.ru

Отпечатано в соответствии с качеством
предоставленных издательством электронных носителей в ОАО «Саратовский
полиграфкомбинат».

410004, г.
Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru

IsBN 978-5-9963-16886 (Ч. 2) rsBN 978-5-9963-1689-2 (ё)
БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014

Навигационные значки

Обратите внимание на символы навигационной
полосы, имеющейся в учебниках. Они означают следующее:

•                
важное утверждение или определение;

•                
вопросы и
задания;

•                
материал для подготовки к итоговой аттестации;

•                
дополнительный материал;  практические работы на
компьютере; интернет-ресурсы; проектные или исследовательские задания;

•                

практикум»

1) Семакин И. Г., Хеннер Е. К., Шеина
Т. Ю., Шестакова Л. В. Информатика. Углубленный уровень: практикум для 10—11
классов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.

Глава З

КОМПЬЮТЕРНОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ

3.1 . Методика математического
моделирования на компьютере

З. 1 . 1 . Моделирование и его разновидности

Моделирование с помощью компьютеров
открывает огромные возможности для исследования явлений и процессов в природе и
обществе. Моделирование, будучи мощным средством познания мира, стало в наше
время ведущей информационной технологией для многих наук и областей
практической деятельности.

Из курса информатики 8 класса вы уже знакомы с понятиями «модель»,
«моделирование», познакомились с некоторыми примерами реализации моделей на
компьютере. В данной главе вам предстоит глубже изучить методы и технологии моделирования.
Но сначала повторим основные понятия.

Модель это упрощенное подобие объекта моделирования. В
качестве объекта моделирования может выступать любой объект или процесс
реального мира (реальная система). Модель отражает лишь некоторые свойства объекта
моделирования, существенные с точки зрения поставленной цели. Модель
используется как заменитель реальной системы для воспроизведения ее отдельных
функций. Все разнообразие моделей можно разделить на два больших класса:
натурные модели и информационные модели.

Приведем простой пример. Вспомним классическую задачу
из школьной математики: через трубу А в бассейн вода втекает, а из трубы Б
вытекает. Расходы жидкости в трубах разные, требуется найти количество воды,
которое останется в бассейне через определенный промежуток времени. Решить эту
задачу можно несколькими способами, рассмотрим три из них.

1.   
Арендуем настоящий бассейн, наймем рабочих, перекроем все трубы,
кроме двух, научимся управлять расходом воды и произведем замеры. Если у вас
много лишних средств и недостаточно фантазии, то можно пойти по этому пути.

2.   
Построим маленький «бассейн» из простейших подручных материалов
(например, используем небольшой домашний аквариум), подведем к нему две трубки,
присоединим одну к крану, а другую выведем в раковину. Уменьшим в одинаковое
число раз расход втекающей в «бассейн» и вытекающей из него воды (по отношению
к реальному бассейну) и измерим, сколько ее осталось через указанное в условии
задачи время.

З. Не будем ничего арендовать и
строить. Составим несложное математическое выражение, определяющее разность
между объемом втекающей в бассейн воды и вытекающей из него, подставим заданные
значения параметров (расходы воды и время) и вычислим ответ.

Второй и третий подходы являются модельными. Модель из
аквариума называется натурной, она выполнена из физических материалов, ее можно
«потрогать руками». Вторая модель информационная, она представляет собой
описание объекта моделирования. В данном примере информационная модель является
математической моделью, поскольку описывает исследуемый процесс в виде
математических формул.

Оба приема, и натурное, и информационное моделирование, реально используются в
научных исследованиях и в практических приложениях. Натурное моделирование
является весьма эффективным способом исследования, поскольку на уменьшенной и
упрощенной копии сложного объекта экспериментировать гораздо проще, дешевле и
безопаснее, чем на реальном объекте. Так, при проектировании плотины ГЭС ее
обязательно моделируют в специальном бассейне, строя многократно уменьшенную,
но подобную копию с целью изучения прочностных и других характеристик плотины.
При создании нового самолета его модель испытывают в аэродинамической трубе;
подобных примеров в науке и технике существует множество. Однако больше
возвращаться к натурному моделированию мы не будем, поскольку предметом
изучения в нашем курсе является компьютерное информационное моделирование.

В 9 классе вы узнали, что существуют разные виды
информационных моделей: графические (карты, чертежи, схемы, графики),
табличные, математические, имитационные и др. Предметом изучения информатики
являются методы и технологии информационного моделирования с помощью компьютера
компьютерного моделирования.

Основное внимание в данной главе будет уделено
математическим и имитационным моделям. Эти виды моделей широко используются в
научных и прикладных исследованиях.

Математическая модель это описание объекта
моделирования на языке математики, а компьютерная математическая модель — это
программа, реализующая расчеты состояния моделируемой системы по ее
математической модели.

Виды математических моделей

Для системного описания большого
разнообразия математических моделей требуется их классификация. Удачная
классификация способствует лучшему пониманию объекта изучения. Возможны различные
подходы к классификации математических моделей: 1) по отраслям наук —
математические модели в физике, биологии, социологии и т. д.; это естественная
классификация с точки зрения специалистов- « прикладников » ;

2) по применяемому
математическому аппарату — модели, основанные на применении уравнений различных
классов, статистических методов, алгебраических структур и преобразований и т.
д. — это естественная классификация для математика, занимающегося аппаратом
математического моделирования;

З) по основной функции, реализуемой в моделировании, общим закономерностям
моделирования в разных видах человеческой деятельности безотносительно к
математическому аппарату; это естественная классификация при изучении общих
закономерностей и приемов математического моделирования.

Первые два подхода достаточно очевидны и не нуждаются в
комментариях. Поскольку в данной главе изучается в основном компьютерное
моделирование, для нас представляет наибольший интерес третий
(функциональный) подход. Обсудим его более детально.

При функциональном подходе к классификации математических
моделей чаще всего выделяются:

•   
дескриптивные модели;

•   
оптимизационные модели;

•   
многокритериальные модели.

Дескриптивная модель описывает состояние объекта или
процесса. Поясним на примерах. Модель движения кометы, вторгшейся в Солнечную
систему, описывает (предсказывает) траекторию ее полета, расстояние, на котором
она пройдет от Земли, и т. д. Исследователь не может повлиять на движение
кометы, что-то в нем изменить. Основным достоинством данной модели являются ее
прогностические возможности, характерные для большинства дескриптивных моделей.

Приведем еще несколько примеров моделируемых систем,
для описания которых применяются дескриптивные математические модели:

 описание развития
некоторой популяции экивотных или растений в зависимости от значений параметров
внешней среды;  описание протекания химической реакции в
зависимости от концентрации реагирующих компонентов;  описание движения
воздушных масс в атмосфере, связанное с прогнозированием погоды;  предсказание
солнечных и лунных затмений;  описание эффективности проведения
определенного класса вычислений в зависимости от конфигурации компьютера.

Такой список практически неограничен и может пополняться
из любой области знаний и практической деятельности.

Оптимизационные модели. Если исследуемая система допускает внешние воздействия,
которые могут изменить ее состояние или поведение, то ею можно управлять для
достижения определенных целей. В таких случаях используются оптимизационные
модели. В оптимизационную математическую модель входит один или несколько
параметров, доступных внешнему влиянию. Например, нужно установить такой
тепловой режим в зернохранилище, управляя системой отопления и вентиляции, при
котором будет обеспечена максимальная сохранность зерна, т. е. нужно
оптимизировать процесс хранения. Этот процесс можно математически описать,
получив оптимизационную математическую модель, использование которой позволит
решить поставленную задачу. В противоположность этому, например, модель
описания движения кометы нельзя превратить в оптимизационную, поскольку мы не
располагаем возможностями вмешательства в этот процесс.

Многокритериальные модели. Часто приходится
оптимизировать процесс по нескольким критериям одновременно, причем эти
критерии могут быть противоречивыми. В этом случае строятся многокритериальные
модели. Например, стоит задача: зная цены на продукты и потребность человека в
пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем детском лагере
и др.) с удовлетворением всех потребностей организма, но, по возможности,
дешево. Ясно, что эти цели противоречат друг другу, т. е. при моделировании
будет учитываться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Система основных понятий

Модель — упрощенное подобие объекта
моделирования, отражающее его свойства, существенные с точки зрения цели
моделирования

Основные классы моделей: натурные и информационные

Математические модели — разновидность
информационных моделей. Математическая модель — описание объекта моделирования
на языке математики

Классификация математических моделей по функциональному

подходу

Вопросы и задания

1.            
Что такое модель?
В чем отличие натурной модели от информацион-

ной?

2.            
Охарактеризуйте
основные виды информационных моделей. З. Что такое математическая модель?

4.   
Какие существуют
подходы к классификации математических моделей?

5.   
В чем состоит
основная функция:

а) дескриптивной модели;

б) оптимизационной модели;

в) многокритериальной модели?

6.   
Приведите примеры
задач, решаемых с помощью математического моделирования.

З. 1 -2. Процесс разработки математической модели

В процессе разработки математической модели
можно выделить четыре этапа.

Первый этап — определение целей моделирования. В
зависимости от выбора целей для одного и того же объекта моделирования могут
быть получены совершенно разные модели. Например, расчет режима запуска
космического корабля к международной космической станции может исходить из
таких разных целей, как доставка данным кораблем максимально возможного груза
безотносительно стоимости запуска или согласие на разумное ограничение массы
груза для достижения значительного снижения стоимости запуска. Во втором случае
кроме физических факторов появляются экономические, и модели будут разными.

При моделировании могут определяться три
вида целей:

1)   модель
нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его
структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим
миром; основная цель понимание;

2)   модель
нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить
наилучшие способы управления при заданных целях и критериях; основная цель —
управление; З) модель нужна для того, чтобы прогнозировать дальнейшее поведение
объекта или последствия реализации воздействия на объект; основная цель —
прогнозирование.

Примеры

1.   

Пусть объект исследования —
сосуществующие популяции животных разных видов с общей кормовой базой. Простая
математическая модель процесса межвидовой конкуренции помогает понять основные
закономерности сосуществования животных. Однако человек часто берет на себя
функции управления численностью популяций (в сельскохозяйственном производстве,
в охотничьих хозяйствах и т. д.), и для моделирования процесса управления надо
ввести в модель управляющие параметры, варьирование которыми позволит
добиваться нужных целей. Кроме того, в этой же ситуации возможно поставить
задачу долгосрочного прогнозирования судьбы популяций.

2.   
Объект исследования — состояние атмосферы (распределение
температуры, влажности, давления, скорости ветра). Понимание того, как влияет
изменение факторов на погоду, может быть задачей исследования. Управление
погодой на больших территориях пока не во власти человека, но предсказание ее
мы ждем каждый день; в наше время такие предсказания часто основаны на
математическом моделировании процессов, происходящих в атмосфере.

З. Объект исследования — процесс
завоза материалов и оборудования на крупную стройку. Нередко нарушение графиков
завоза останавливает строительство, ведет к экономическим потерям. Учитывая,
что возможности транспортников, пропускные способности дорог и иные ресурсы
ограничены, составление оптимального графика завоза — дело вовсе не простое, и
оно может быть объектом математического моделирования. В таком моделировании
есть и цели управления, и цели предсказания (например, предсказание экономических
потерь при том или ином срыве графика).

Второй этап — составление списка параметров
модели, подразделение их на входные и выходные параметры, и расстановка
параметров по уровню значимости с точки зрения достижения поставленных на
первом этапе целей.

Обозначим множество входных параметров через Х = {Xi} п).
Среди них могут быть как постоянные величины по отношению к исследуемому
процессу, так и переменные. Примеры постоянных величин: мировые константы
(например, гравитационная постоянная); не изменяющиеся в данном процессе
свойства материала (теплопроводность, плотность) и т. п. Для каждой из
переменных величин Xi надо указать возможный диапазон изменения значений: ај S
Xi S bi (очевидно, что для констант ai = bi).

Исходя из цели моделирования определяется список
выходных параметров результатов моделирования. Обозначим множество выходных
параметров через У = {уј} О = 1, 2 К).

Важнейшим условием,
часто залогом успеха моделирования, является правильное разделение входных
параметров по степени важности влияния их изменений на выходные параметры, а
также выбор первоочередных (с точки зрения достижения поставленной цели)
выходных параметров. Такой процесс называется ранжированием (от слова «ранг»,
т. е. степень отличия). Чаще всего невозможно, да и не нужно, учитывать все
факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин уј.
Выделить более важные (или, как говорят, значимые) факторы и отсеять менее
важные может лишь человек, хорошо разбирающийся в той предметной области, к
которой относится модель. Не следует стремиться учесть все факторы сразу,
помня, что модель — упрощенное отражение реальности, а не сама реальность.
Отбрасывание менее значимых факторов упрощает описание объекта моделирования и
тем самым способствует лучшему пониманию его главных свойств и закономерностей.

Третий этап — математическая формализация.
Определив наборы входных и выходных параметров, надо установить взаимосвязь
между ними с помощью математических соотношений. Запишем указанную взаимосвязь
в виде

                                     R(Y1,
             ук•, х1, Ч, … , ха).                        (1)

7.

Данное выражение обозначает любую форму отношений
между входными и выходными параметрами, выраженную в математическом виде. R
может быть формулой, уравнением или системой уравнений, неравенством или
системой неравенств и др. Отношение (1) является математическим выражением
принципов и законов, действующих в исследуемой области: законов физики,
экономики и пр.

Четвертый этап реализация математической
модели. Этот этап заключается в нахождении способа вычисления неизвестных
(выходных) параметров, исходя из соотношения (1). Для этого используют как
аналитические, так и численные методы. Аналитические методы позволяют выразить
неизвестные величины через входные параметры в явном функциональном виде:

рдхт, хи …,

После этого по данным формулам можно выполнить любые
вычисления для интересующих нас значений входных параметров, т. е. решить
задачу моделирования. Если функция F достаточно сложная и требуется произвести
большой перебор значений входных параметров, используется вычислительная
техника.

В тех случаях, когда не удается получить аналитическое решение, применяются
численные метоДы решения. Для их реализации с требуемой (обычно высокой)
точностью необходимо применение компьютера. В компьютерном математическом
моделировании численные методы преобладают. Причина заключается в более широких
возможностях численных методов в решении математических задач по сравнению с
аналитическими методами. Приведем примеры:

     алгебраические
уравнения поддаются (в общем случае) аналитическому решению при степени не
больше четвертой, а численному в любом случае;  трансцендентные
уравнения, кроме простейших случаев, решаются лишь численно;

     задачи
оптимизации, связанные с совместным решением большого числа уравнений и
неравенств, в реальных ситуациях решаются только численно.

И все же, если существует возможность получить
аналитическое решение задачи, исследователи обязательно ею воспользуются.
Аналитическое решение обладает той общностью, которая, как правило, отсутствует
у численного решения. Численное решение является частным решением задачи для
заданного варианта значений входных параметров. Если требуется выявить общий
характер зависимости результатов от изменения некоторых входных параметров,
приходится производить многократные пересчеты решения задачи для разных
значений хр Впрочем, высокое быстродействие современных компьютеров (и
суперкомпьютеров!) позволяет производить такой анализ.

Система основных понятий

Процесс разработки математической модели

Этапы математического моделирования

1.  
Перечислите и
кратко опишите этапы математического моделирова- ния.

2.  
В чем основное
различие входных и выходных параметров модели? Проиллюстрируйте на конкретных
примерах.

З. Чем различаются аналитический и
численный методы реализации математической модели?

З. 1 .З. Математическое моделирование и компьютеры

Первые компьютеры были созданы в
середине ХХ века именно для решения задач математического моделирования, и на
протяжении длительного периода эти задачи оставались основной областью
применения компьютеров. К моменту создания компьютеров физика, механика,
инженерное дело накопили большое количество математических моделей. Однако
практически невозможным было их исследование методом «ручного» счета или
применением примитивных вычислительных механизмов типа арифмометра. Создалась
парадоксальная ситуация, когда потенциальные знания, выраженные в
математических моделях, часто было невозможно реализовать на уровне числовых и
графических результатов. Компьютеры в такой ситуации оказались бесценными
помощниками.

Тем не менее математическое моделирование некоторого
процесса или явления начинается, разумеется, не с компьютеров. Рассмотренные в
предыдущем параграфе этапы: определение целей, выбор и ранжирование параметров,
математическая формализация, выбор метода решения задачи и программирование для
компьютера осуществляет человек. На этапе анализа и оценки полученных
результатов моделирования вновь лишь человек (прежде всего постановщик задачи)
является главным (часто единственным) участником процесса.
Основное преимущество компьютера перед человеком высокая скорость вычислений.
Именно это качество делает компьютер незаменимым инструментом в информационном
моделировании на этапе численного решения задачи и представления результатов.

Как уже отмечалось, в компьютерном математическом
моделировании доминируют численные методы. Тем не менее понятия «аналитическое
решение» и «численное решение» отнюдь не противостоят друг другу, так как:

а) все чаще компьютеры при математическом
моделировании используются не только для численных расчетов, но и для
аналитических преобразований путем применения компьютерных систем аналитических
вычислений;

б) аналитическое представление математической
модели часто выражается столь сложными формулами, что при взгляде на них не
складывается понимание описываемого процесса. Эти формулы надо протабулировать,
представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.
е. проделать то, что называется «визуализацией абстракций». Для этих целей
компьютер универсальный инструмент.

Компьютерная реализация моделирования сопровождается
разработкой алгоритма и составлением программы для компьютера. Если же
существует готовая и сертифицированная программа нужного типа, то можно ею
воспользоваться. Для этого в Информационно-библиотечном фонде Российской
Федерации существуют отраслевые фонды алгоритмов и программ.

Еще одним средством компьютерного
моделирования являются пакеты приклаДных программ (ППП). ППП — это специальным
образом организованные программные комплексы, рассчитанные на применение в
определенной преДметной области и Дополненные соответствующей технической
документацией. В зависимости от содержания решаемых задач различают: пакеты для
решения типовых инженерных, планово-экономических, общенаучных задач; пакеты
системных программ; пакеты для обеспечения систем автоматизированного

14

проектирования и систем автоматизации
научных исследований и др. Пакеты прикладных программ ориентированы на
непрограммирующего пользователя и поддерживают понятный для специалиста
интерфейс.

Для графической обработки результатов моделирования
используются специальные графические средства пакеты научной и инженерной
графики, реализующие в том числе и анимацию, и трехмерное (3D) представление.

Для компьютерной реализации не очень
сложных математических моделей годятся и такие универсальные прикладные
средства выполнения вычислений, как электронные таблицы (например, Microsoft
Excel, 0penOffice.org Са1с), универсальные математические пакеты (например,
Mathcad, Maple), которые объединяют средства вычислений и графической обработки
результатов.

И все-таки самым универсальным
и «гибким» способом реализации на компьютере математического моделирования
является программирование на универсальных языках. Такой подход позволяет
исследователю вносить любые изменения в математическую модель, численный метод
ее реализации, управлять точностью получаемых результатов, оптимизировать время
вычислений.

Заметим, что большинство профессионалов, занимающихся
моделированием в физике и инженерном деле, предпочитают современные версии
Фортрана исторически первого языка программирования высокого уровня,
пережившего множество других языков. Причины — богатство библиотек прикладных
программ и непревзойденная эффективность трансляторов при решении
математических задач.

Программирование заключается в построении алгоритма, составлении
программы на используемом языке и отлаДке программы. На этапе составления
программы программисту помогает избавиться от ошибок, связанных с нарушением
грамматики языка программирования, раздел транслятора, который называется
синтаксическим анализатором. На этапе отладки программы выявляются содержащиеся
в ней алгоритмические ошибки. Для того чтобы быть уверенным, что алгоритм и
построенная на его основе программа не содержат ошибок, программу надо
проверить на простейших тестовых задачах (желательно, с заранее известным
ответом). Такие тестовые задачи формулируются на базе исходной модели при
некоторых частных наборах значений параметров, для которых существует
аналитическое решение, путем сопоставления результатов расчета и результатов,
следующих из аналитического решения.

Затем следует собственно вычислительный эксперимент и
выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель
адекватна реальному процессу, если характеристики процесса, полученные на
компьютере, с заданной степенью точности совпадают с результатами наблюдений за
объектом моделирования. В случае несоответствия модели реальному процессу
следует уточнять модель.

Анализ адекватности модели — сложная проблема, требующая
участия прежде всего постановщика задачи и специалистов из той предметной области,
к которой относится модель. Если опытный специалист, не вникая в математическую
и компьютерную процедуры, анализируя результаты, делает вывод, что «такого не
может быть в принципе», то в 99 ⁰/0 случаев это означает ошибку на
каком-то этапе моделирования. Однако в 1 % случаев такое обстоятельство может
означать открытие преодоление уровня существующих знаний.

Моделирование динамических процессов (общая методика)

Динамический процесс изменение состояния системы со временем. Например, это
может быть изменение координат движущегося тела в пространстве, изменение
температуры тела, изменение численности вида каких-нибудь живых организмов и
пр.

Обозначим через F рассматриваемую характеристику системы
(координату, температуру, численность…). Зависимость этой характеристики от
времени — F(t). Чаще всего эта зависимость носит непрерывный характер, а на
графике представляется гладкой кривой (рис. 3.1, а).

Функция F(t) является непрерывной математической моделью
исследуемого процесса. Такую модель можно назвать функциона.льной
математической моделью. Если эту функцию можно представить формулой, содержащей
некоторый набор «привычных» функций (на школьном уровне «привычные» это
элементарные функции и их суперпозиции), то модель можно назвать аналитической.
Примеры аналитических функциональных моделей:

линейная функциональная модель;

F(t) = at² + bt + с —
квадратичная функциональная модель; b(t)    экспоненциальная
функциональная модель.

Аналитическая функциональная зависимость удобна тем, что по
соответствующей формуле для любого значения t из области определения функции
можно вычислить значение функции.

В тех случаях, когда при изучении динамического
процесса не удается получить аналитически выраженную функциональ-

ную зависимость, применяют численные
методы математического моделирования. При использовании численных методов
искомые зависимости получают в виде числовых
таблиц, связывающих конечное множество дискретных значений аргумента t и
функции Е:

Рис. 3.1. Графики непрерывной (а) и дискретной (б)
моделей

Численное моделирование динамических процессов происходит
следующим образом.

1.   
Производится дискретизация времени: исследуемый промежуток
времени разбивается на конечное число отрезков (интервалов времени) точками на
оси t: to, t1, t2, …, tn (рис. 3.1, б). Расстояние между двумя точками
называется шагом дискретизации по времени:

Lti

В общем случае шаги могут быть
различными, т. е. изменяться с изменением номера i. Если используется
постоянный шаг М, то будут справедливыми равенства:  to + iAt,

2.   
Принимается допущение, что в пределах временного шага значение
величины 1′ не изменяется: F(t) Fi при t Е [tt, ti+1]. В момент времени ti+1
значение величины меняется скачком с Fi на Fi+1 (см. рис. 3.1, б). Это
допущение, не являясь единственно возможным, является самым простым, и мы будем
его придер-

живаться.

З. Скорость
изменения величины F оценивается отношением (Fi+1          Fi)/At.

Отсюда следует равенство:

                                                                                      (3.1)

Если есть какие-то физические или другие способы
определения скорости V на каждом временном шаге (в зависимости от предметной
области решаемой задачи), то, используя полученную формулу, можно шаг за шагом
вычислять значения величины Е. Такие формулы, согласно которым следующие
значения последовательности вычисляются по предыдущим, называются рекуррентными.
Мы уже с ними встречались в параграфе 2.2.7.

Рекомендации для разработчиков моделирующих программ

Использование готовых программ.
Ранее уже говорилось о существовании фондов алгоритмов и программ. Прежде чем
приступать к реализации проекта, полезно произвести поиск готовой программы в
таких фондах. Это может значительно сэкономить время разработки проекта. Кроме
того, следует внимательно изучить стандартные библиотеки и модули, прилагаемые
к используемой системе программирования. Там можно найти уже реализованные
процедуры для интересующих вас численных методов.

Наглядность пользовательского
интерфейса. Работа пользователя с программой должна поддерживаться наглядным и
понятным интерфейсом. Запрос исходных данных, вывод сообщений в процессе
решения задачи должны происходить в диалоговом режиме. Для этих целей наиболее
удобным является использование графического интерфейса, разработку которого
упрощают средства визуального программирования, дополняющие универсальные языки
программирования (Delphi, Visual Basic, Visual Fortran и др.). Однако если
использование визуальных сред программирования существенно увеличивает время
исполнения программы, то при расчетах в режиме реального времени, возможно,
придется отказаться от «красивого» интерфейса.

Обеспечение требуемой точности результатов. Результаты
математического моделирования теряют смысл, если нельзя оценить их погрешность.
При использовании численных методов погрешность результата зависит от шага
дискретизации переменных величин (времени, координаты и др.). С уменьшением
шага уменьшается погрешность вычислений, поэтому расчеты обычно производятся не
для единственного значения шага, а для последовательности уменьшающихся шагов.
Например, при вычислении величины с разным шагом по времени (М) получены
следующие результаты:

= 0,1) = 5,321467;= 0,01) — 5,3425671;

F(At = 0,001) — 5,3425392;= 0,0001) — 5,3425396.

По двум последним результатам видно, что произошло
установление семи значащих цифр. Отсюда есть основание считать, что значение 1′
= 5,342539 содержит только верные цифры.

Использование внешней памяти. Для хранения больших массивов данных следует
использовать файлы. Например, пусть при расчете распределения температуры в
некоторой области на сетке размером 100 х 100 ячеек получается 10 ООО чисел.
Нет смысла выводить их на экран. Для сохранения и дальнейшей обработки
(например, графической) их следует записать в файл на диск. На экран можно
вывести либо какую-то часть из этих значений, либо интегральные характеристики:
среднее значение, наибольшее и наименьшее значения и т. п.

Графическая иллюстрация результатов моделирования.
Человеческое восприятие так устроено, что графически представленная информация,
как правило, воспринимается значительно эффективнее, больше говорит о качестве
процесса, чем числовая. При исследовании зависимостей между величинами графики,
разного рода диаграммы (столбчатые и круговые) чрезвычайно полезны. Графическая
обработка результатов расчетов может осуществляться как штатными графическими
средствами используемой системы программирования (см. параграф 2.4.5), так и
специализированными программами научной графики. Примером такой программы
является Grapher.

Для наглядного представления
пространственного распределения величин удобно использовать картину изолиний
линий постоянного значения величины. Такой прием вам знаком по картам погоды,
где изображаются линии постоянной температуры изотермы (рис. 3.2) или линии
постоянного давления изобары.

Рис. 3.1. Изотермы
среднегодовой температуры в Европе (из «Википедии»)

Система основных понятий

Рекомендации по разработке моделирующих программ

Вопросы и задания

1.  
Почему
использование компьютеров критически важно для решения большинства задач
математического моделирования?

2.  
Какие
разновидности программного обеспечения используются в компьютерном
математическом моделировании?

З. Что такое тестовая задача? Как
создаются тестовые задачи при компьютерном математическом моделировании?

4.   
Что такое
динамический процесс? Какие существуют методы моделирования динамических
процессов?

5.   
Как можно
увеличить точность результата моделирования, полученного по численному методу?

б. Как рекомендуется поступать с
результатами расчетов, представляющих собой очень большие числовые массивы?

7. Придумайте примеры возможного
использования научной графики, отличные от приведенных в тексте данного
параграфа.

3.2. Моделирование движения в поле силы тяжести

За всю историю науки
наибольший опыт в математическом моделировании имеет физика. Одним из самых
выдающихся ученых в мировой истории был Исаак Ньютон. В 1687 году вышел его
труд «Математические начала натуральной философии». В современном понимании
«натуральная философия» это физика. В этой работе были описаны открытые ученым
законы механики (три закона Ньютона) и закон всемирного тяготения. Законы
описывались в математической форме, т. е.

ции. В этот же период Ньютон создает
основы математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисление. В
работах Ньютона и его последователей этот математический аппарат находит
широкое применение в физике. Помимо аналитических методов, Ньютон разрабатывает
численные методы решения многих математических задач.

И после Ньютона развитие математической науки происходило
во многом под влиянием физики. Новые физические проблемы порождали новые
математические теории и методы, новые математические модели.

3.2.1.
Математическая модель

свободного падения тела

Рассмотрим одну из традиционных задач
классической механики: движение тела в поле силы тяжести. Эта задача имеет
множество приложений: от расчета свободного падения тела на Землю до запуска
баллистической ракеты или космического корабля.

Изучение даже, казалось бы, простейшего варианта задачи свободного
вертикального падения на Землю позволяет получить ответы на множество
интересных и важных вопросов: с какой скоростью падают на землю капли дождя;
какой скорости и температуры достигает метеорит, падающий на Землю; каким
должен быть размер парашюта для безопасного приземления парашютиста и др.
Ответить на все эти вопросы позволяет адекватная математическая модель
свободного падения тела в поле силы тяжести в атмосфере Земли.

Определяющими факторами, влияющими на механическое движение
тела, являются действующие на него силы. Согласно второму закону Ньютона:

m6=F ,

где т масса тела, а — его ускорение, F —
равнодействующая всех сил, действующих на тело. При моделировании механического
движения в первую очередь решается вопрос о том, какие силы действуют на тело,
какие из них необходимо учитывать в модели, а какими можно пренебречь.

На свободно движущееся в поле силы тяжести тело в газовой
или жидкой среде действуют три силы: сила тяжести ( ), направленная вертикально
вниз; архимедова сила (Л) , направленная вертикально вверх; сила сопротивления
движению ( , направленная в противоположную сторону относительно направления
движения. При вертикальном свободном падении направление сил показано на рис.
3.3.

22

Какие из этих сил
следует учесть в модели, а какими можно пренебречь, зависит от физических
условий процесса. Основной из этих трех сил является сила тяжести. Ею
пренебрегать нельзя. Возможность пренебречь другими силами зависит от того,
насколько они меньше силы тяжести.

Архимедова сила во столько раз меньше силы тяжести,
во сколько раз плотность среды (газа или жидкости) меньше средней плотности
тела. Например, если тело — сплошной стальной шар с плотностью 7800 кг/м^з ,
который падает в атмосферном воздухе, средняя плотность которого вблизи Земли
равна 1,29 кг/м³ , то архимедова сила примерно в

довой силой может заметно сказаться на
точности результата.

Сила сопротивления среды не является постоянной величиной. Она зависит от
скорости движения тела: чем скорость выше, тем больше сопротивление. Кроме
того, сила сопротивления зависит от плотности среды и ее вязкости. Качественно
можно рассуждать так: если движение происходит в газе, плотность которого много
меньше плотности тела, вязкость невелика и высота падения небольшая (тело не
успеет набрать большую скорость), то силой сопротивления можно пренебречь.
Противоположный пример: падение метеорита на Землю, который оплавляется или
полностью сгорает в атмосфере из-за большой силы трения о воздух.

Для расчета вертикального падения тела направим ось У так, как
показано на рис. 3.3. Движение происходит вдоль этой оси. Запишем уравнение
второго закона Ньютона:

                                                                                  (3.2)

Проектируя данное векторное уравнение на ось
У и выраэкая ускорение, получим:

                                                                                   (3.3)

Формула (3.3) это математическое выражение закона движения.
Теперь сформулируем условие задачи.

Условие задачи: на высоте Н над поверхностью Земли находится
тело массой т. В момент времени t = О начинается свободное падение тела на
Землю. Требуется определить время падения и скорость, которую будет иметь тело
в момент удара о Землю.

Первоначальная координата тела: у = Н. Согласно описанной

ранее методике математического
моделирования, определим параметры исследуемого процесса. Неизменными входными
параметрами являются:

 масса тела; н высота,
с которой начинается падение тела;  ускорение свободного падения.

Переменными параметрами являются время t, координата у и
скорость и.

Кроме того, существуют параметры, влияющие на архимедову
силу и силу сопротивления. Это плотность среды (газа или жидкости), параметр
вязкости среды, размер и форма падающего тела.

Свободное падение без учета сил противодействия

Рассмотрим сначала простейшее приближение задачи: сила сопротивления и
архимедова сила пренебрежимо малы по сравнению с силой тяжести. Такое
предположение можно принять, если плотность тела много больше плотности среды,
а размер тела мал и падение происходит с небольшой высоты. Пример: падение в
воздухе свинцового шарика.

В уравнении (3.3) принимаем FA = О, = О. Выразив ускорение,
получаем:

а

Движение
равноускоренное, величина ускорения равна ускорению свободного падения. Знак
«минус» связан с тем, что направление оси У выбрано вверх, а вектор g направлен
вниз. Из формул кинематики равноускоренного движения следует: at2 2

                                                       vo + at.                                         (3.5)

             Здесь s — путь, пройденный за время е,                  начальная
ско-

рость.

Учитывая, что—g и у = Н при t = О, из формул

(3.4) и (3.5) получаем:

                                                                                                    (3.6)

                                                              -gt.                                              (3.7)

Формулы (3.6 )—(3.7) представляют собой математическую
моДель, описывающую процесс свободного паДения тела без учета сил
противоДействия. Они представлены в аналитическом виде: зависимость y(t)
квадратичная функция, зависимость v(t) — линейная функция. Их графики показаны
на рис. 3.4 (для скорости представлено значение абсолютной величины).

Рис. 3.4. Изменение со временем абсолютной величины
скорости и координаты в случае падения тела без сопротивления среды

Исходя из этой модели можно получить ответы на любые вопросы, связанные с
данным движением, например какую скорость и координату (высоту над землей)
будет иметь тело через 1 секунду после начала падения. Можно получить ответ и
на вопрос, поставленный в условии задачи: через сколько времени и с какой
скоростью тело упадет на землю? Для этого сначала нужно вычислить время падения
из уравнения (3.6) при условии у = О. Обозначим это время буквой Т. Получим:

Абсолютная величина скорости в момент падения будет равна

 = gT. Например, если Н = 10 м, то

                                -1,43 с,              14,01 м/с.

Вопросы и задания

1.  
Какие силы
действуют на свободно падающее тело? Какими из них и в каких ситуациях можно
пренебречь?

2.  
Запишите формулы,
составляющие математическую модель свободного падения.

З. Влияют ли размер, форма и масса
тела на его движение при свободном падении в пустоте? Объясните ответ.

4.  
Запишите
математическую модель движения тела, если в начальный момент времени оно было
брошено в вертикальном направлении со скоростью v. Рассмотрите два варианта:
скорость направлена вверх; скорость направлена вниз.

5.  
Получите формулу
для вычисления времени движения до падения на Землю при условии предыдущей
задачи.

3.2.2.
Свободное падение

с учетом сопротивления среды

Получим математическую модель свободного
падения тела с учетом сопротивления среды. Силой Архимеда будем пренебрегать,
допуская, что средняя плотность тела много больше плотности среды.

При движениях тел в газовой или жидкостной среде
сопротивление среды оказывает сильное влияние на характер движения. Очевидно,
что предмет, падающий с большой высоты (например, парашютист, прыгнувший с
самолета), вовсе не движется равноускоренно, так как по мере роста скорости
возрастает и сила сопротивления воздуха. После того как сила сопротивления
сравняется с силой тяжести, движение становится равномерным, согласно первому
закону Ньютона.

Закономерности, связывающие силу сопротивления со скоростью движения тела,
носят эмпирический характер. Есть два механизма сопротивления среды: «лобовое»
сопротивление и вязкое трение. При малых скоростях преобладает вязкое трение
жидкости или газа о поверхность тела. С ростом скорости возрастает влияние
лобового сопротивления, которое зависит от поперечного сечения тела (парусный
эффект). Исследования показывают, что при малых скоростях величина силы
сопротивления пропорциональна скорости, а далее с ростом скорости возрастает
пропорционально ее квадрату.

Сформулированная закономерность представляется следующей
формулой:

          где
К1 и К2                 коэффициенты пропорциональности, имеющие

2

соответственно размерности  Заметим,
что эти размерности различны, т. е. значения К1 и К2 бессмысленно сравнивать
между собой по величине. Указанная эмпирическая зависимость силы сопротивления
от скорости выполняется до скоростей, не превышающих скорости звука в данной
среде.

26

С учетом силы сопротивления из уравнения второго
закона Ньютона в проекции на ось У выразим ускорение (см. формулу (3.3) в
параграфе 3.2.1):

                                            (3.8)

Ускорение зависит от времени, поэтому (как уже было сказано
выше) движение не равноускоренное.

Для решения полученной задачи используем численный
подход к моделированию динамического процесса, о котором говорилось в параграфе
З. 1.2.

Пусть М — малый шаг изменения времени. Получим
формуЛУ, по которой будем вычислять величину скорости. Допускаем, что скорость
и ускорение движения на каждом шаге по времени не изменяются, а при переходе к
следующему шагу изменяются скачком. Поскольку ускорение есть скорость изменения
скорости, имеем:

Здесь Vi И соответственно скорость и ускорение на i-M шаге по времени. Отсюда:

                                                                                                Vi+1                         E.’i
+ ад.

Ускорение выразим из формулы (3.8). Поскольку щ —
a(ti), получим: k1Vi + — mg

(3.9)

За время М на i-M шаге тело перемещается на расстояние vnt.
Следовательно, координата у тела будет принимать значения:

                            Yi+1
— + vAt,                           (3.10)

По условию задачи, падение происходит с высоты Н с
нулевой начальной скоростью, поэтому при t = О выполняются условия, которые
называются начальными условиями:

                                    vo       о;                        (3.11)

Рекуррентные формулы (3.9), (3.10) и начальные
значения (З. 11) составляют математическую модель свободного падения тела с
учетом сопротивления среды. В отличие от аналитической модели (3.6)—(3.7) для
свободного падения в пустоте, формулы (3.9)—(3.11) представляют численную
(дискретную) модель.

Предельная скорость свободного падения

Заметим, что качественно описать
характер зависимости скорости от времени можно и не прибегая к расчетам по
математической модели (3.9)—(3.11). Как уже говорилось выше, по мере нарастания
скорости падения возрастает сила сопротивления, что будет вести к уменьшению
разницы между ней и силой тяжести. Когда эти силы сравняются (Fc = mg),
скорость движения выйдет на постоянное предельное значение. Сказанное
качественно проиллюстрировано на рис. 3.5. Предельное значение скорости
несложно найти, решив квадратное уравнение k1V + k2V ² mg = О:

2h2 •

Рис. 3.5. Качественная иллюстрация зависимости
скорости от времени при свободном падении с наличием сопротивления среды

Для нахождения численной зависимости y(t), для определения
времени, когда установится предельная скорость, и для выяснения, произойдет ли
это установление до столкновения с Землей, требуется произвести расчеты по
математической модели (3.9)— (3.11).

Параметры модели с учетом сопротивления среды

Для получения полного списка входных
параметров модели рассмотрим величины К1 и К2, входящие в формулу (3.8).
Выясним, как определяются их численные значения в конкретных ситуациях. В
учебниках механики можно найти следующие данные.

Величина пропорциональна так называемой динамической
вязкости среды (обозначаемой Н) и размеру тела. В общем виде формула для имеет
следующий вид: К1 — стџЬ, где безразмерная константа с1 определяется формой
тела, Ь характерный размер тела в направлении, перпендикулярном потоку обтекаю-

щего газа или жидкости. Для тела
сферической формы (шарика радиуса r) используется следующая формула: бпщ•.

О величине известно следующее: она пропорциональна
площади поперечного по отношению к потоку сечения тела б, плотности среды р, и
зависит от формы тела. Обычно представ-

1

ляют К2  где безразмерный
коэффициент лобового 2 сопротивления, зависящий от формы тела; в частности, для
шара  — 0,4, для диска, плоскость которого
перпендикулярна потоку,

1,1, для полусферы, обращенной сферической
стороной к потоку, с2 0,55 (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Коэффициент лобового сопротивления (стрелки
— направление потока обтекающего газа или жидкости)

Таким образом, полный набор входных параметров модели
включает следующие величины:

массу тела т;  начальную высоту Н;  динамическую
вязкость среды щ,  плотность среды р;  начальную скорость
движения тела vo•,  характерный размер тела Ь в направлении,
перпендикулярном потоку (он определяет величину б, входящую в К2);  параметры
ст и ст отражающие форму тела.

Результатом моделирования являются зависимости v(t)
и y(t), получаемые в дискретном (табличном) виде согласно математической модели
(3.9)—(3.11).

О Система основных понятий

Вопросы и задания

1.   Из каких составляющих складывается
сила сопротивления движению в сплошной среде?

2.   Определите, при какой скорости падения
в воздухе железного шара радиусом 10 см сравняются силы вязкого трения и
лобового сопротивления.

З. Определите максимальную скорость
падения железного шара радиусом 10 см в воде (џ = 1,002 р 1 • 103 кг/м³)
и в глицерине (џ = 1480 р 1,26 • 10³ кг/м³ ).

4.   
Постройте
численную модель падения твердого шара в воде с учетом архимедовой силы.

5.   
Постройте модель
падения тела в атмосфере с учетом изменения плотности воздуха с высотой.

6.   
Постройте модель
падения кометы (лед плавится — комета тает).

3.2.3. Компьютерное моделирование свободного падения

Из курса физики вы знаете, что такое
физический эксперимент. Физический эксперимент может проводиться либо в
естественных (природных) условиях, либо в физической лаборатории. В
лабораторном эксперименте создается установка, на которой

зо

воспроизводится
изучаемый процесс. Измерения проводятся с помощью приборов. Например, для
сравнения свободного падения тела в пустоте, в воздухе и в воде можно собрать
экспериментальную установку, показанную на рис. 3.7. Берутся три вертикальных
цилиндра одинаковой высоты из прозрачного материала. В первом с помощью насосов
создается вакуум, второй наполнен воздухом при нормальном атмосферном давлении,
в
третьем — вода. Во всех трех цилиндрах одновременно начинают падать три
одинаковых металлических шара. Эксперимент можно снимать с помощью видеокамеры.
Затем в замедленном

Для изучения того же процесса
можно использовать и другой метод, который называется вычислительным
экспериментом. Для этого нужно иметь математическую модель процесса свободного
падения и компьютер. Математическая модель нами была получена раньше, а компьютер
всегда в нашем распоряжении. Сформулируем постановку задачи для вычислительного
эксперимента.

Задача 1. Сопоставить процессы падения твердого шара
радиуса r с одной и той же высоты в разных средах: в пустоте (без
сопротивления), в атмосферном воздухе и в воде.

С учетом сферической формы тела имеем (см. параграф 3.2.2):

блџ
r;

К = 11ре; т= 7 ³ ржел•

22з

В физическом справочнике находим значения параметров
для всех участвующих в расчете веществ (все величины представлены в системе
СИ):

Перепишем еще раз математическую модель свободного падения
тела: k1Vi + k2Vi² —mg

Vi+1 = Vi + (3.12)

(3.13)

Расчеты изменения скорости и координаты со временем можно
производить по формулам (З.  используя электронные таблицы или языки
программирования. В таблице 3.1 показаны результаты вычислительного
эксперимента, проведенного с помощью электронной таблицы. Обратите внимание на
то, что все физические параметры задачи размещены в ячейках таблицы. В
расчетных формулах указываются абсолютные ссылки на эти ячейки. Например,
формула в ячейке Е2О, где вычисляется значение в воздухе, выглядит
так:

Здесь $G$10 — адрес Щ, $G$11 — адрес К2 и т. д. В ячейке F20
находится формула для вычисления ут Здесь $D$15 — адрес
М.

Проанализируем полученные результаты. Рассчитывалось падение с высоты 10
метров. Вычисления производились с шагом по времени М = 0,1. Расчеты скорости и
координаты в пустоте (без сопротивления) выполнялись по точным формулам (3.6),
(З. 7). Выполняя вычисления с дискретным шагом по времени, нельзя точно
зафиксировать момент падения на Землю. Определить его можно с точностью
величины шага. Отрицательные значения координаты в таблице обозначают, что на
последнем временнбм интервале произошло приземление.

Приземление в пустоте и в воздухе произошло в интервале
времени от 1,4 до 1,5 с. Более точное значение без учета сопротивления было
вычислено раньше: Т = 1,43 с. Нам также известно более точное значение конечной
скорости: 14,01 м/с. График движения в воздухе мало отличается от движения в
пустоте. Следует иметь в виду, что разница результатов связана не только с
учетом сопротивления воздуха, которое здесь невелико, но и с погрешностью
приближенного численного метода расчета движения в воздухе. Уменьшить эту погрешность
можно путем уменьшения шага по времени М.

Гораздо более заметно отличие процесса падения тела в воде
от падения в пустоте или воздухе. На рисунке 3.8 показаны графики изменения
высоты тела со временем. Жирная линия соответствует движению в воде, а более
тонкая линия движению в воздухе. Приземление в воде произошло примерно на 0,8 с
позже, чем в воздухе.

Изменение
высоты со временем

12,000

10,000

8,000

6,000

4,000

2,000

0,000

                                 о          0,5         1          1,5         2          2,5

Время, сек

Рис. 3.8. Зависимость высоты тела от
времени при падении в воде и в воздухе (жирная линия в воде, тонкая — в
воздухе)

На рисунке 3.9 приведены графики зависимости величины
скорости падения от времени. Скорость падения в воздухе остается практически
линейной. А скорость падения в воде примерно через 1 секунду выходит на
постоянное значение. Это значение приблизительно равно 5,36 м/с.

Изменение
скорости со временем

                                     о        0,5        1        1,5       2        2,5

Время, сек

Рис. 3.9. Изменение величины скорости
падения со временем (жирная линия       в воде, тонкая — в воздухе)

Здесь мы опять имеем возможность сравнить численный
результат с более точным значением. В параграфе 3.2.2 аналитическим способом
была получена формула для предельной скорости падения. Подставим в нее все
параметры, соответствующие движению в воде. Получим:

2k2

Это значение хорошо согласуется с результатом, полученным в
электронной таблице.

Задача 2. Рассчитать время падения шара в воде с
точностью до 0,01 секунды.

Для решения поставленной задачи будем производить
вычисления по модели (3.12)—(3.13) с шагом по времени 0,001 с и полученный
результат (время падения на Землю) округлим до 0,01. В этом случае неудобно
работать с электронными таблицами. Пришлось бы выполнить более двух тысяч шагов
по времени, и значит, построить таблицу более чем из 2000 строк!

Для решения задачи составим программу на Паскале. Текст
программы приведен ниже. Переменная Dt — шаг по времени. Переменная п — число
шагов между двумя выводами результатов на экран. Например, если задать Т =
0,001, п = 100, то шаг вывода результатов на экран будет равен 0,1 как в
электронной таблице.

Program Sharik;

       /
/ физические параметры      константы

Const Ro shar=7800; Ro sreda=1000 ;
Мји=1. 002;

                 Н=1О;     vo=o;         r=O.05; g=9. 8;

Var 1, п: integer;

Е, у, Dt, т, V, КШ, К2: rea1; begin

/ / Вычисляемые параметры

6*Pi*Mju*r; К2 •.=О sreda; shar;

/ / вводимые данные

Write ( » Шаг по времени: ‘ ) ; read1n (Dt)
;

Write ( ‘ Число шагов между выводами:
) ; read1n (п) ; / / Пошаговые вычисления

           whi1e
            do / / цикл закончится при достижении

/ / поверхности Земли

Begin

t:=t+Dt;

V:=V+ (К 1 *V+k2 /m*Dt; / / Подсчет
скорости

/ / Вывод через п шагов по времени
if i mod then abs (У) : 7 : 4, у: 7:4) ; / / Подсчет координаты
end;

/ / Вывод окончательного результата

Write1n ( Ттах—’ ,   Vmax= ‘ , abs
(V) : 7 : 4) end.

Выполненные по этой программе расчеты падения шарика в
воде с шагом М 10-3 дали следующее значение для времени столкновения с Землей:
Ттах = 2,23 секунды. Скорость в момент падения равна Утах = 5,355 м/с.

О погрешности результата моделирования. Подтверждением
правильности результатов вычислительного эксперимента является их совпадение с
результатами физического эксперимента. И если расхождение этих результатов
превышает допустимые пределы, то надо вносить изменения в математическую
модель.

Расхождение между результатами вычислительного и
физического эксперимента зависит еще от погрешности, содержащейся в исходных
данных — физических параметрах задачи. В нашем примере — это плотность,
вязкость и др. Даже величина ускорения свободного падения, принятая равной 9,8
м/с² , не является точным значением, поскольку это значение зависит
от географических координат места эксперимента.

Основное правило гласит: точность результата расчетов не может быть выше
точности исходных данных. Точность определяется величиной, которая называется
относительной погрешностью. Приближенное значение величины Х принято
представлять в интервальной форме: Х :Е АХ. Здесь ЛХ — абсолютная погрешность.
Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к самой
величине: бХ = ЛХ/Х. Она измеряется в долях единицы или в процентах. Отсюда
следует: ДХ = Х • бХ.

Приведем пример оценки относительной погрешности
результата. Допустим, что самую большую абсолютную погрешность среди параметров
задачи имеет величина g = 9,8 ± 0,01. Ее ОТносительная погрешность равна
приблизительно 0,01/9,8 0,001 = 0,1 ⁰/0 . Тогда можно считать, что
относительная погрешность результата составляет примерно такую же величину.
Определим абсолютные погрешности для Тптах и Уптах:

ДТтах = 2,23 • 0,001 0,003 (погрешности всегда
округляются в сторону увеличения);

ЛУтах = 5,355 • 0,001 0,006.

Следовательно, окончательные результаты в интервальной
форме нужно записать так: Ттах 2,230 ± 0,003; Утах = 5,355 :Е 0,006. Нет смысла
записывать в результатах 4-ю, 5-ю и более младшие цифры после запятой, так как
они заведомо неверные,

Вопросы и задания

1.  
Что такое
вычислительный эксперимент?

2.  
Какие цели
ставились при выполнении вычислительного эксперимента, описанного в параграфе?

З. Какие преимущества дает
использование электронных таблиц при выполнении вычислительного эксперимента?

4.   
Какие возможны
причины расхождения между результатами физического и вычислительного
экспериментов?

5.   
Влияет ли реально
на рассмотренное движение составляющая силы сопротивления, пропорциональная
квадрату скорости? (Для ответа на этот вопрос надо провести тот же численный
эксперимент, положив К2 равным нулю.)

Практикум. Раздел «Моделирование»

3.2.4. Математическая модель задачи
баллистики

Термин «баллистика» происходит от
греческого слова, обозначаЮЩеГО «бросать». Баллистикой называется раздел
классической механики, изучающий движение тел, брошенных в пространстве.
Баллистика занимается главным образом исследованием движения снарядов, выпущенных
из огнестрельного оружия, и баллистических ракет. Специалисты по артиллерии
различают внутреннюю баллистику движение снаряда внутри ствола оружия и внешнюю
баллистику движение вне орудийного ствола. Далее мы будем иметь в виду только
внешнюю баллистику.

Постановка задачи: из ствола пушки, направленного под
углом ао к горизонту, со скоростью вылетает снаряд. Требуется рассчитать
траекторию движения снаряда.

Будем рассматривать движение снаряда в двумерном
пространстве. Построим математическую модель процесса. Оси координат направим
так, как показано на рис. 3.10. Движение происходит в атмосферном воздухе.
Будем учитывать действие на движение снаряда двух сил: силы тяжести и силы
сопротивления воздуха Fc. Сила сопротивления в любой точке траектории движения
направлена противоположно направлению вектора скорости, как показано на рис.
3.11.

Уравнение второго закона Ньютона в векторной форме имеет
вид:

md=FT+Fc

Запишем проекции этого уравнения на оси Х и
У:

38

Рис. З. 10.
Задача баллистики                   Рис. З. 11. Векторы сил и скорости

Ранее рассказывалось о том, что сила сопротивления
вычисляется по следующей формуле:

                                                 Fc k1•v +
k2•v² ,                                    (3.16)

где К1 коэффициент вязкого трения, К2
коэффициент лобового сопротивления, — величина скорости. Из рисунка 3.11 и
теоремы Пифагора следует:

Тригонометрические функции угла можно также выразить через
проекции скорости:

                     cosa=—   sin       (3.17)

Подставив в формулы (3.14) и (3.15) выражения из
формул (3.16) и (3.17), выполнив тождественные преобразования и выразив
проекции ускорения, получим:

(К1+К2 +vy² )vy+mg

ау(3.19)

Движения в направлении осей Х и У происходят с
ускорениями, выражаемыми формулами (З. 18) и (3.19). Это переменные величины,
следовательно, движение не будет равноускоренным, поэтому использовать формулы
кинематики равноускоренного движения здесь нельзя. В отличие от задачи о
свободном вертикальном падении тела, где рассчитывалась одна величина скорости
и одна координата, теперь нужно рассчитывать две составляющие скорости uх и vy
и две координаты х и у.

Для выполнения расчетов траектории движения снаряда используем
метоДику численного (Дискретного) моделирования (см. параграф З. 1.2). Задаем М
малый шаг изменения времени. Допускаем, что скорость и ускорение движения на
каждом шаге по времени не изменяются, а при переходе к следующему шагу
изменяются скачком. Отсюда следует:

                                                                              0+1) — _ v(xⁱ )                   ;                                          (3.20)

                                                                                         (3.21)

Здесь номер шага по времени записывается верхним индексом в
скобках. Подставив сюда формулы для ускорения (3.18) и (3.19), получим:

                                                     (3.22)

 (3.23)

Координаты вычисляются по формулам:

(3.24)

(3.25)

Начальные значения:

                            хо
=О; уо —0; v( ⁰ ) — —vo cosao; (0) sinao. (3.26)

Формулы (3.22)—(3.26) представляют собой дискретную
математическую модель задачи баллистики.

Задача баллистики при отсутствии силы
сопротивления

Вспомним один из принципов математического
моделирования: если есть возможность получить точное аналитическое решение
задачи для какого-нибудь частного случая, то нужно использовать его для отладки
программы численного моделирования.

Для задачи баллистики таким частным случаем является
полет снаряда в пустоте, когда сопротивление среды не принимается в расчет.
Тогда движение можно рассматривать как совокупность двух независимых
перемещений равномерного в горизонтальном направлении (так как в этом
направлении никакие силы не действуют) и равноускоренного в вертикальном (под
действием постоянной силы тяжести). Указанные движения описываются следующими
формулами:

2

Используя формулы (3.28), выразим t через х и
подставим полученное выражение в формулу для у. Получим траекторию движения:

у = tgao •х (3.29) 2v; cos ² (10

Формула (3.29) — это уравнение параболы. Ветви этой
параболы направлены вниз и симметричны относительно верхней точки траектории,
как показано на рис. 3.10.

Обозначим через В максимальную высоту подъема
снаряда, через А — максимальную дальность полета по горизонтали и через Т —
полное время движения от выстрела до падения на Землю. При отсутствии
сопротивления среды ветви траектории полета на участках подъема и спуска
симметричны относительно верхней точки траектории. В этой точке вертикальная
составляю-

щая скорости равна нулю: О = vo sin —gЩ ,
откуда находим Т.

2

После этого, воспользовавшись формулами
(3.28), последовательно находим В и А.

                2vo sinao       vo
sin2ao А 200 sina о cosao

(3.30)

2g

О Система основных понятий

Вопросы и задания

1.  
Что такое
баллистика?

2.  

Сформулируйте постановку задачи
о полете снаряда, вылетающего из пушки.

З. Какие силы учитываются при
математическом моделировании полета снаряда?

4.   
Как моэкно
рассчитать максимальную высоту и дальность полета снаряда при движении в
пустоте?

5.   
Какие величины и
в какой последовательности надо вычислять на каждом шаге по времени при
численном моделировании полета снаряда с учетом сопротивления воздуха?

6.   
Постройте
блок-схему алгоритма расчета баллистической траектории полета снаряда в
воздухе.

3.2.5. Численный расчет
баллистической траектории

Проведем расчеты полета снаряда, используя
математическую модель (3.22)—(3.26). Параметры плотности и динамической
вязкости атмосферного воздуха примем такими же, как в задаче о свободном
падении (параграф 3.2.3). Снаряд — сплошной железный шар диаметром 20 см.

В таблице 3.2 приведены результаты расчетов с помощью
электронной таблицы проекций скорости на оси Х и У и координат снаряда в
зависимости от времени. Начальная скорость равна 200 м/с, начальный угол выстрела
по отношению к оси Х равен 30⁰ .

Отметим следующее важное обстоятельство. Принятая
нами модель Движения снаряда справедлива только при Дозвуковых скоростях. С
превышением звукового барьера скорости (330 м/с) изменяется формула для расчета
силы сопротивления.

В этой же таблице для сравнения реализован расчет
движения снаряда в пустоте, т. е. без сопротивления воздуха. В этом расчете
используются формулы (3.27), (3.28). Вычисления прекращаются, как только
значение координаты у становится меньшим или равным нулю.

В предположении, что полет снаряда происходит в
пустоте, получился следующий результат: снаряд упал на землю между 20-й и 21-й
секундами на расстоянии приблизительно 3500 метров от пушки. Учет сопротивления
воздуха дал следующий результат: снаряд упал на землю между 18-й и 19-й
секундами на расстоянии от пушки приблизительно 2300 метров. Если цель
находится на расстоянии 3500 метров, то снаряд упадет ближе от нее на 800
метров. Это серьезный промах!

На рисунке 3.12 показаны графики траекторий, построенные по данным из табл.
3.2. Хорошо видно, как строгая, параболическая форма траектории движения в
пустоте искажается при наличии сопротивления среды. Уменьшилась не только
дальность полета по оси Х, но и максимальная высота подъема снаряда над Землей.

Рис. З. 12. Траектории полета снаряда в пустоте и в
воздухе

А теперь вспомним, что результат содержит
погрешность численного метода из-за конечной величины шага по времени. Проведем
уточняющие расчеты. Для этого используем программу на Паскале. Структура
программы аналогична программе из параг-

рафа З. 2.3, где рассчитывалось одномерное
вертикальное движение. В программе, приведенной ниже, рассчитывается движение в
направлении осей Х и У.

Program Pushka ;

Const Ro_shar=7800; Ro sreda=1.29;
Мји=0.0182;

               VO=200; A1f 0=30;                 . 1; g=9. 8;

Var 1, п: integer;

Е, х, у, Dt, т, Vx, Чу, Vx1, К1, К2:
rea1; begin

6*Pi*Mju*r; К2 sreda; m:=4/3*Pi*r*r*r*Ro shar;

      Write
( ‘ Шаг по времени:         read1n (Dt) ;

Write ( ‘ Число шагов между выводами: ) ; readln (п) ;

(A1f
0*Pi/180) ;

whi1e begin

Е : =t+Dt; vx1 : =vx- (К1+К2* sqrt

Vy:=Vy— ( (k1+k2*sqrt
/m*Dt;

mod п — О then

Write1n (t.• 8:2, x:=x+Vx*Dt; end;

Write1n ( Ттах=’ ,  Хтах=’ , х: 7:4) end.

Для тех же физических параметров задачи, что и раньше, был
проведен расчет полета снаряда с шагом по времени Dt = 0,01. Число шагов между
выводами на экран удобно принять равным 100. Тогда результаты будут выводиться
в те же моменты времени, что и в электронной таблице. Окончательный результат
получился следующим: время полета до падения на землю Т тах = 17,89 секунды;
расстояние до места падения от пушки Хтах = 2248,8 метра. Это приблизительно на
50 метров отличается от прежнего результата.

Мы рассмотрели упрощенную модель полета снаряда. Возможность
уточнения модели связана с многими обстоятельствами. Как уже говорилось, с
превышением звукового барьера скорости меняется формула расчета силы
сопротивления. В современной пушке скорость вылета снаряда в 2—3 раза превышает
скорость звука. Следующий важный фактор — форма снаряда. Круглыми чугунными
ядрами стреляли на заре артиллерии. Форма современного артиллерийского снаряда
минимизирует силу сопротивления. При расчетах для дальнобойной артиллерии
учитываются неоднородность плотности воздуха на разных высотах, кривизна и
вращение Земли и другие факторы. А при запуске баллистической ракеты
учитывается уменьшение массы ракеты в результате сгорания топлива.

Вопросы и задания

1.  
В таблице 3.2
показана электронная таблица в режиме отображения значений. Запишите формулы
для расчета при движении в пустоте скоростей uх и vy, занесенные в ячейки (318,
D18, и формулы для расчета координат х, у, занесенные в ячейки Е18, F18.

2.  
Запишите формулы
для расчета скоростей vx и vy при движении в воздухе, занесенные в ячейки G18,
Н 18, и формулы для расчета координат х, у, занесенные в ячейки 118, Ј18.

З. Используя данные из таблицы 3.2,
сопоставьте время достижения высшей точки траектории и высоту этой точки для
расчета в пустоте и воздухе.

4. Какими преимуществами для
организации вычислений обладает приведенная программа на Паскале по сравнению с
моделью в электронной таблице?

Практикум. Раздел «Моделирование»

3.2.6. Расчет стрельбы по цели в
пустоте

Рассмотрим решение следующей задачи.
Имеется цель, в которую нужно попасть снарядом, выпущенным из пушки. Пусть цель
имеет форму шара (в сечении плоскостью ХОУ — форму круга) с диаметром d.
Координаты центра цели: х = L, у = Н. Известна также величина начальной
скорости снаряда. Требуется определить (10 — угол вектора начальной скорости к
оси Х. Назовем его углом прицела.

Данную задачу можно назвать обратной задачей по отношению к
той, что решалась в предыдущем параграфе. Там были заданы начальные условия (при
t = О): начальная скорость и угол прицела, а результатом была траектория
движения. Это прямая задача. В обратной задаче, при данной величине начальной
скорости, известна одна точка, лежащая на траектории, положение цели, а
вычислить надо второе начальное условие — угол прицела.

Математическая модель

В параграфе 3.2.4 было получено уравнение
траектории движения снаряда (3.29) для модели без учета сопротивления воздуха.
Теперь получим ответ на вопрос: при каких условиях можно поразить снарядом,
выпущенным с начальной скоростью под углом ссо к горизонту, мишень, находящуюся
в точке с координатами х = L, у = Н? И какая для этого должна быть связь между
величинами vo и по? В приближении без учета сопротивления воздуха поставленную
задачу можно решить точно, используя полученную ранее аналитическую модель.

Поскольку траектория полета снаряда должна проходить через
указанную мишень (рис. 3.13), из формулы (3.29) получаем:

                                                            2vo
cos ² а о                                   (3.31)

х

Рис. 3.13. Стрельба по цели

Это и есть искомое соотношение между значениями и ао,
заданное в неявной форме. Из него можно получить формулу для вычисления
значения начальной скорости при заданном угле прицела, решая квадратное
уравнение относительно (отрицательный корень отбрасываем):

                                           cosao
2(L• tgao — Н)                           (3.32)

Из (3.32) вытекает важное ограничение на угол прицела: L.tgao
— иначе задача не имеет решения ни при каком сочетании vo и Ч. Отсюда
минимальное значение угла прицела равно:

(10 min =arctg

Из рисунка 3.14 становится понятным геометрический смысл этой
величины.

Система координат нами выбрана так, что цель находится в
первой четверти координатной плоскости. Значит, угол прицела должен быть меньше
90⁰ . Следовательно, величина угла прицела должна удовлетворять
условию:

                                        arctg< 90 ⁰                                                                       (3.33)

Рис. З. 14. Минимальный угол прицеливания

Теперь выразим из (3.31) величину со. Для этого нужно
воспользоваться следующей тригонометрической формулой: cos² x 1/(1 +
tg²x). После выполнения тождественных преобразований получим
квадратное уравнение для tgao. Решая это уравнение, получим формулу:

tgao =(3.34)

Отсюда, в
частности, следует, что задача имеет решение лишь 2и;н

при выполнении условия— и что при этом для

gL2

попадания в мишень можно стрелять под двумя
разными углами: получаем навесную и настильную стрельбу (рис. 3.15). Большее
значение угла (навесная стрельба) равно:

001 = arctg(3.35)

Рис. З. 15. Настильная стрельба (а) и навесная
стрельба (б)

Меньшее значение угла (настильная стрельба)
равно:

=arctg(3.36)

Вычислительный эксперимент

Задача 1. Пусть = 700 м, Н = 200 м.
Ограничение на угол прицела приводит к условию tga > 0,2857, или сх > 15⁰
56′. При стрельбе под любым углом, 66.льшим этого (но меньшим 90⁰),
можно подобрать начальную скорость (см. соотношение (3.31)), при которой цель
будет поражена. Выполним расчет начальной скорости для угла прицела, используя
формулу (3.32). Вычисления производились в электронной таблице.

В результате получили: vo —
125,23 м/с.

Задача 2. Как и в предыдущей задаче, положим L = 700
м, Н = 200 м. Пусть начальная скорость равна 125,23 м/с. Определим, под какими
углами прицела можно попасть в цель. Для вычислений используются формулы
(3.34), (3.35).

Помимо известного из предыдущей задачи результата а = 30⁰
, получили еще одно значение угла прицела, при котором цель будет
поражена: (1 = 75,95⁰ .

На рисунке 3.16 показано изображение в окне учебной программы
«Полет снаряда, выпущенного из пушки». Пунктиром отображены две траектории:
настильной стрельбы и навесной стрельбы, приводящие к попаданию в цель.
Параметры соответствуют проведенным выше расчетам. В программе производится
расчет времени от момента выстрела до попадания в цель. При

Рис. З. 16. Эксперимент в учебной программе. Стрельба
по цели в пустоте

навесной стрельбе это время равно 23
секунды, при настильной стрельбе 6,5 секунды. Это обстоятельство может
оказаться важным в реальных условиях.

Вопросы и задания

1.  
Что такое
настильная стрельба и навесная стрельба?

2.  

Воспроизведите вывод формул
(3.32) для начальной скорости и (3.34) для угла прицела.

З. Воспроизведите в электронной
таблице вычислительные эксперименты из задач 1 и 2.

4. С помощью электронной таблицы
вычислите углы для настильной и навесной стрельбы в пустоте для попадания в
цель на расстоянии L = 1000 м на высоте Н = 100 при начальной скорости снаряда
200 м/с. Проверьте полученные результаты в учебной программе «Полет снаряда,
выпущенного из пушки». Радиус цели — 2 метра.

3.2.7. Расчет стрельбы по цели в
атмосфере

Составим программу на Паскале для вычисления
угла прицела при заданной начальной скорости снаряда с использованием модели, учитывающей
сопротивление воздуха. Как вам уже известно, если в цель можно попасть, то для
этого существуют два угла прицела: угол для настильной стрельбы и угол для
навесной стрельбы. Составим программу вычисления угла для настильной стрельбы,
поскольку это наиболее быстрый способ попадания в цель.

Обсудим основные идеи, реализованные в алгоритме. Во-первых,
возможна ситуация, когда при заданной начальной скорости (Ио) и расположении
цели (L, Н) попасть в цель невозможно. Для модели полета в пустоте имеется
такой критерий, который был получен раньше. Перепишем его еще раз:

2и;н

(3.37) gL2

Если это неравенство не выполняется в
пустоте, то попасть в цель нельзя ни при каком угле прицела. Очевидно, что если
это условие выполняется в пустоте, то при движении в атмосфере, где из-за
сопротивления воздуха скорость движения меньше, чем в пустоте, это условие тоже
выполняется. В программе оно будет проверяться как первый (но не единственный)
признак попада-

ния в цель.

Угол прицела будет рассчитываться методом последовательных приближений. Начиная
с некоторого минимального значения, угол прицела увеличивается с постоянным
шагом, пока не произойдет перелет через цель. После этого на последнем шаге
угол будет уточняться методом половинного деления.

Какое значение принять за минимальный угол? И снова нам
поможет результат анализа модели движения в пустоте. Для минимального значения
угла прицела там была получена формула:

CLOrnin =
arctg

Очевидно, что ее можно применить и для расчета угла прицела в
атмосфере, поскольку при меньшем значении угла попасть в цель нельзя ни в
пустоте, ни в атмосфере.

Ниже приведена программа расчета. В ней используется
процедура P01et (A1f: rea1 ; Var У ‘ rea1) , вычисляющая траекторию полета снаряда.
В процедуре реализован тот же алгоритм расчета траектории полета в атмосфере,
который использовался в программе Pushka в параграфе 3.2.5. В тексте программы
для расчета траектории задан шаг по времени, равный 0,001 секунды. Для
достижимой в данной модели точности это достаточное значение. Впрочем, путем
редактирования программы можно этот шаг изменить.

Физические константы в программе заданы для железного снаряда
шаровой формы радиуса г. Также заданы константами плотность и динамическая
вязкость воздуха при давлении 1 атм. и температуре 20 ^ос.

Program
Stre1ba;

/ / Расчет угла прицела при настильной
стрельбе в атмосфере

Const  Ro_sreda=1.29;
Мји=0.О182; g=9.8; r=O.08;

Var Ъ, Н, RC, VO, х, у, е, у1, Dt, A1f,
A1f1, A1f2, dA1f, т, К1, К2: real;

Procedure P01et (A1f: rea1; Var у, Ё: real) ;

/ / процедура расчета траектории
полета снаряда до x=L Var Ух, Vy, 17х1: real; begin

(A1f) ;

whi1e (x<=L) do begin

ух 1 :=Vx— (k1+k2*sqrt ) *Vx/m*Dt; Vy : =Vy— ( (k1+k2*sqrt
(Vx*Vx+Vy*Vy) ) *Vy+m*g) /m*Dt; vx : =vx1 ;

У :  x:=x+Vx*Dt; end; end;

begin

6*Pi*Mju*r; К2 sreda; shar;

Dt      .
001; / / Шаг по времени в секундах

/ / шаг изменения угла в градусах

Write ( ‘ Х—координата цели: L=’ ) ;
Readln (Ы ;

Write ( У—координата цели; Н=’ ) ;
Readln (Н) ;

Write ( ‘ Радиус цели: RC=’ ) ;
Readln (РС) ;

Write ( Начальная скорость снаряда:
VO=’ ) ; Read1n (VO) ;

/ / Проверка условия (З . 37) ;

/ /exit — прерывание работы
программы if sqr (VO*VO/g/L)  then begin writeln ( ‘ В цель не попасть
‘ ) ; exit end; / / пошаговое прицеливание

A1f:=arctan (H/L) ;

repeat

 / / Сохранение предыдущего
результата

P01et (A1f, у, €) ; unti1
(у>=Н) or (у<у1) ; if у<у1 then begin

Write1n(‘B цель не попасть ‘ ) ;
exit end;

A1f2 : =A1f; / / верхняя граница вилки
прицела

A1f1 :  / / Нижняя граница вилки прицела / /
уточнение прицела методом половинного деления while abs (у—Н) >r+RC do begin

A1f (A1f1+A1f2)
[2; P01et (A1f, у, Е) ; if (у—Н) then A1f1 :=A1f e1se A1f2 end;

/ / вывод угла прицела и времени полета
снаряда

Write1n(‘ Alf=’ , (Alf1+A1f2)  ‘
градусов ,  t= ‘ ,  секунд ‘ )

End.

Пояснение к программе

Поясним алгоритм, реализованный в
программе. Задается начальное значение угла прицела A1f : =arctan (H/L) . С
помощью процедуры P01et рассчитывается траектория движения снаряда до
пересечения им координаты х = L. В результате получается координата у такого
пересечения (она может быть и отрицательной). Затем увеличивается угол прицела
на величину dAlf = 2 градуса и снова рассчитывается траектория. Этот процесс
продолэкается циклически до тех пор, пока снаряд не пролетит выше цели или пока
не попадет в цель, т. е. пока не выполнится условие у Н. Впрочем, вероятность
получения точного равенства у Н очень мала. Последнее значение угла прицела
заносится в переменную Alf2 (перелет), предпоследнее значение в переменную Alf1
(недолет). Найдена «вилка» прицела, в пределах которой находится цель.

Однако «вилка» может быть не найдена, если с увеличением угла
прицела координата у пересечения траектории с линией х = L сначала будет расти,
но, не дойдя до значения Н, начнет уменьшаться. Это признак того, что при
данной начальной скорости в цель попасть нельзя. Вычисления прекратятся.

Если же найдена «вилка» прицела, то далее угол уточняется
методом половинного деления. Вычисляется среднее значение углов Alf1 и Alf2:
A1f:= (A1f1+A1f2) / 2. Для этого значения угла прицела с помощью процедуры
P01et вычисляется траектория, находится у при х L. В зависимости от того, ниже
или выше цели пролетел снаряд, «вилка» уменьшается в 2 раза путем присваивания
A1f1 : =A1f или A1f2 : =A1f. Деление пополам продолэкается до тех пор, пока
центр снаряда не приблизится к центру цели на расстояние, не большее суммы
радиусов цели и снаряда: abs (у-Н) <=r+RC. В качестве результата выводятся
рассчитанный угол прицела и время полета снаряда от момента выстрела до
попадания в цель.

Выполнение расчетов

Сначала протестируем программу для частного
случая расчета прицела в пустоте. В предыдущем параграфе у нас имеются такие
результаты. Для этого путем редактирования изменим значения в программе для
плотности и динамической вязкости воздуха: Ro_sreda=O; Мј и=0.

После запуска программы на исполнение на экране отразится следующий диалог:
Х—координата цели: L=700 У—координата цели: Н=200 Радиус цели: RC=2

Начальная скорость снаряда: VO=125.23

A1f=30.01 градусов t=6.46 секунд

В параграфе 3.2.6, где использовалась точная аналитическая
модель, для той же начальной скорости были получены результаты: а = 30 ⁰ ,
t = 6,5 с. Эти значения хорошо согласуются с полученными результатами по
численной модели. Расхождения объясняются погрешностью численного метода.

Теперь проведем численный эксперимент при учете силы
сопротивления атмосферного воздуха. Восстановим в программе значения констант
внешней среды: Ro_sreda=1.29; Мји=0.0182. Все вводимые параметры зададим такими
же, как в предыдущем расчете:

Х—координата цели: L=700 У—координата
цели: Н=200

Радиус цели: RC=2

Начальная скорость снаряда: V0=125.23

A1f=33.2
градусов              . 61 секунд

Как и следовало ожидать, увеличился угол прицела и возросло
время полета снаряда до цели. Проверка рассчитанных параметров выстрела в
учебной программе (рис. 3.17) дала близкие результаты.

Рис. З. 17. Эксперимент в
учебной программе. Стрельба по цели в воздухе

о Система основных понятий

Вопросы и задания

1.  
В чем суть метода
последовательных приближений при вычислении угла прицела для попадания в цель
при использовании модели с учетом сопротивления среды?

2.  
По каким
признакам в приведенной в параграфе программе решается вопрос о невозможности
попадания в цель?

З. Предложите свой вариант алгоритма
расчета угла прицела для навесной стрельбы.

Практикум. Раздел «Моделирование»

3.3. Моделирование распределения температуры

3.3.1 . Задача теплопроводности

Постановка задачи

ТеплопровоДностью называется процесс
распространения тепла в сплошной среде: твердом теле, жидкости или газе. Решать
задачи, связанные с теплопроводностью, часто приходится инженерам, ученым,
конструкторам. Эта задача заключается в следующем: рассматривается некоторая
ограниченная область, содержащая теплопроводный материал. Имеются источники
тепла на границе или внутри области. На границах области
поддерживается определенный тепловой режим. Требуется рассчитать распределение
температуры внутри этой области.

Задача теплопроводности имеет массу практических приложениЙ в
производстве и в быту. Это, например, расчет распределения температуры воздуха
в жилом помещении, или внутри турбины самолета во время полета, или в кристалле
микропроцессора при работе компьютера и т. д. В полной постановке для объемных
областей такая задача достаточно сложная. Здесь мы рассмотрим ее простой
вариант, построим компьютерную модель и проведем численные эксперименты.

Рассмотрим теплопроводный (например, металлический) стержень
с прямоугольной формой поперечного сечения (рис. 3.18). Форму такого стержня
может иметь строительная балка или элемент какой-то другой сложной конструкции.
Поверхность тела контактирует с внешней средой, которая имеет определенную
температуру. Поверхность может контактировать с другими телами (например,
нагревателями) и вступать с ними в теплообмен.

Возможно также использование
теплоизоляционных материалов, защищающих либо всю поверхность, либо ее части от
теплообмена с внешней средой. Требуется выполнить расчет распределения
температуры внутри стержня при заданных значениях его геометрических и
физических параметров, а также при заданных тепловых условиях на поверхности.

Оси координат расположим так, как показано на рис. 3.18. Ось Z проходит по
вертикальному ребру стержня. Сделаем упрощающее задачу предположение: размер
стержня вдоль оси 7, много больше его поперечных размеров. Внешние условия и
физические (тепловые) свойства материала не меняются в направлении оси 74. В
таком приближении можно перейти к решению задачи в двумерной области: в
плоскости поперечного сечения стержня, расположенного вдали от его концов.
Будем искать распределение температуры, зависящее только от координат Х, У.
Область решения задачи представляет собой прямоугольник размером а х Ь (рис.
3.19).

п

о

Рис. 3.18. Теплопроводный стер- Рис. З. 19. Поперечное
сечение жень       стержня

Поперечное сечение стержня имеет четыре прямолинейных
граничных участка, которые будем нумеровать так, как показано на рис. 3.19,
римскими цифрами. Будем называть их: 1-я граница, 2-я граница и т. д. На
границах поддерживаются определенные тепловые режимы, которые называются
граничными условиями для температуры.

От граничных условий зависит распределение температуры внутри
стержня, которое требуется узнать. Это распределение будем представлять
функцией зависимости значения температуры Т от двух переменных — координат х и
у: Т(х, у) для О S х S а,

Вариант точного решения задачи

Рассмотрим один частный вариант решения этой задачи (рис. 3.20). Предположим,
что О ^ос — это температура внешней среды и первоначальная
температура всего стержня. Затем к верхней (3-й) границе подвели нагреватель,
который будет поддерживать на ней постоянную температуру, равную 100 ^ос.
Температура на нижней (1-й) границе все время будет оставаться равной О ^ОС
— температуре внешней среды. 1-ю и 3-ю границы с постоянными значениями
температур называются изотермическими границами.

о

Рис. 3.20. Вариант точного решения

А что происходит при этом на боковых границах — 2-й и 4-й?
Они могут быть, например, теплоизолированными. Это обознача-

ет, что данные границы контактируют с
каким-то теплоизоляционным материалом, который препятствует теплообмену через
эти границы между стержнем и внешней средой. Начиная с момента включения
нагревателя, будет происходить прогревание стержня. По истечении некоторого
времени, внутри стержня установится постоянное распределение температуры и
далее (если на границах ничего не будет меняться) это распределение будет
сохраняться. Требуется получить установившееся распределение температуры внутри
стержня в виде функции Т(х, у) для О х S а, О S у Ь.

Уравнение, из решения которого находится функция Т(х, у),
называется уравнением Лапласа. Мы его здесь приводить не будем, поскольку это
Дифференциальное уравнение, а в школьном курсе математики такие уравнения не
изучаются. Однако решение этого уравнения с описанными граничными условиями
является достаточно очевидным. Оно имеет следующий вид:

Следовательно, функция Т не зависит от х, а зависимость от у
имеет линейный характер. Условия на нижней и верхней границах выполняются,
поскольку из (3.38) следует:

                                                        О, Т(х, Ь)        100.

Для графического изображения распределения некоторой функции
в области решения задачи используются изолинии линии постоянного значения
функции. Изолинии температуры называются изотермами. На рисунке 3.20 показана
картина изотерм внутри стержня, соответствующая распределению температуры по
формуле (3.38). Это равноотстоящие прямые линии, параллельные оси Х, которые
соответствуют значениям температуры от 0 ⁰ до 100 ⁰ с
шагом 20⁰ . Количество нарисованных изолиний может быть любым, и оно
зависит от выбранного шага изменения температуры. Картина изотерм дает
наглядное изображение поля температур в расчетной области. Изотермы
используются, например, на картах погоды для отображения поля температур в
определенном географическом регионе.

Вопросы и задания

1.  
Сформулируйте
постановку задачи теплопроводности.

2.  

Что означают термины
«изотермическая граница», «теплоизолированная граница» ?

З. Внесите изменения в формулу (3.38)
для точного решения задачи теплопроводности, если температура нижней границы
будет равна 10⁰ . Все остальные условия остаются неизменными.

4. Запишите точное решение задачи
теплопроводности в прямоугольной области (см. рис. 3.19) при следующих
граничных условиях: границы I и Ш теплоизолированы, температура границы П равна
20⁰ , температура границы IV равна 80 ⁰ . Нарисуйте
изолинии с шагом изменения температуры 10 ⁰

3.3.2. Численная модель решения задачи теплопроводности

Далеко не всегда удается получить точное
решение задачи о распределении температур в виде функции Т(х, у). Проблемы
возникают, когда расчетная область имеет сложную форму или граничные условия не
такие простые, как в рассмотренном выше примере. Для решения таких задач
применяются приближенные методы решения. Если приближенный метод позволяет
получить решение в дискретном числовом виде, то такой метод называется
численным метоДом. Рассмотрим численный метод реше-

                 11                         11,3             11,4 11,5 11,10

                                 10,0                                                                                                                                                                              10,11

9,0

8,0

                                   7,0                                                                                                                                                                             

5,05,11

3,0

2,02,11

                       1,0                                                                                                                       

то 8 т 0,9
т0,10

9 м = 10 11 Ј

Рис. 3.21. Область решения задачи. Дискретное сеточное
представление решения

ния задачи о распределении температуры,
который называется метоДом сеток.

По-прежнему будем рассматривать прямоугольное сечение стержня
размером а х Ь. На область решения задачи накладывается прямоугольная сетка,
как показано на рис. 3.21. Шаги сетки по осям Х и У могут быть разными. Мы
рассмотрим вариант, при котором шаги по осям Х и У одинаковы. Обозначим
величину шага буквой П. Число шагов по оси Х на отрезке от х = О до х = а
обозначим буквой д^т , а число шагов по У от у = О до у = Ь — буквой
М. Отсюда следует, что

Клетки в полученной сетке будем называть ячейками.
Каждая ячейка идентифицируется двумя числами: номером шага по оси У, который
обозначим буквой i, и номером шага по оси Х, который обозначим ј. Пара этих
номеров называется инДексами ячейки, которые будем записывать в квадратных
скобках через запятую: [i,j]. Ячейка в нижнем левом углу имеет индексы [1,1],
ячейка в правом верхнем углу — индексы [M,N]. На рисунке 3.21 изображена
область квадратной формы (а = Ь) и наложенная на нее сетка с параметрами М = лг
= 10. Значение температуры в ячейке [i,j] обозначается 1’i ј.

Следовательно, численное решение задачи преДставляет собой
кваДратную матрицу, содержащую значения температуры

ячеек:

                                        1,        N.

На рисунке 3.21 серой заливкой отмечены дополнительные
ячейки, примыкающие снаружи к границам расчетной области. Они нужны нам будут в
дальнейшем для учета граничных условий. Ячейки, примыкающие к границам, имеют
следующие индексы:

на 1-й границе:  кол,
на 2-й границе:10; на 3-й границе:           [11,ј], 10; на 4-й границе:       [i,11],10.

Определим граничные значения для температур. Пусть на 1-й
границе поддерживается постоянная температура 0⁰ , а на трех других
границах — температура 100⁰ . Следовательно, будем считать, что:

                                                                   100,        для
Ј       1,         10;

                                                              100,
для i — 1,            10.

А теперь сформулируем основное моделирующее предположение!
Будем считать, что в пределах кажДой ячейки установившаяся температура является
постоянной величиной. Это означает, что температура между соседними ячейками
меняется скачками. На самом деле с изменением координат температура изменяется
непрерывным образом. Сделанное нами моделирующее предположение будет тем ближе
к реальной физической ситуации, чем меньше размер ячейки, т. е. чем гуще сетка,
накладываемая на область решения задачи.

Получим формулу для расчета 1’i,j исходя из закона
сохранения энергии. Рассмотрим отдельную ячейку, как показано на рис. 3.22.
Температура в ячейке равна 7’i,j. Данная ячейка имеет общие границы с четырьмя
соседними ячейками, температуры которых равны: Т

Рис. 3.22. Температура в соседних ячейках

Между соседними ячейками происходит теплообмен, мерой
которого является теплопоток количество теплоты, переносимое через границу за
единицу времени. По закону теплофизики величина теплопотока пропорциональна
разности температур яче-

ек, поэтому величина теплопотока, протекающего через границу от ячейки [i—1,j]
к ячейке [i,j], равна: К • (Тi—1,j Т[ ј). Здесь К — коэффициент
пропорциональности, который зависит от теплопроводных свойств материала и
размера (площади) границы, разделяющей ячейки. Для всех границ ячеек значение К
будет одинаковым благодаря тому, что ячейки квадратные.

Если 1’i_1 > Ты, то теплопогок положительный (тепло
втекает в ячейку [i,j]). Если 7’i_1 . 7’i,j, то теплопоток отрицательный,

т. е. тепло вытекает из ячейки [i,j]. Если
температуры равны, то теплопоток равен нулю.

 Поскольку температура ячейки не
изменяется, значит, ее тепловая энергия остается постоянной. Закон сохранения
энергии для ячейки можно сформулировать так: сколько теплоты втекает в ячейку,
столько и вытекает. Отсюда следует, что суммарное количество теплоты,
передаваемое через границы ячейки, равно нулю. Просуммируем теплопотоки к
ячейке [i,j] через ее четыре границы и приравняем эту сумму к нулю:

Это уравнение справедливо для всех ячеек
сетки:

                            1,                       1,

Если разделить уравнение на К и привести подобные члены, то
получим:

Отсюда следует:

1

             71,, =             +Ti+1,j +          + Ti,j+1), (i  1,           У). (3.39)

Смысл полученной формулы следующий: значение установившейся
температуры в каждой ячейке равно среднему арифметическому значений температур
в четырех пограничных с ней ячейках.

Формула (3.39) представляет собой систему, состоящую из М х
лт линейных алгебраических уравнений. Запишем одно уравнение из этой системы,
соответствующее значениям i =

т. е. нижней левой ячейке.

1

т1,1 = Тод +
т2,1 + Т1,о + ^Т1,2).

Здесь два слагаемых Тод и Т относятся к граничным ячейкам,
значения которых известны из граничных условий. Для описанных выше граничных
условий получим:

1

4

Следовательно, в этом уравнении остаются только три неизвестных: 1’1,1, Т2,1 ,
7’1,2. Во всех уравнениях, относящихся к приграничным ячейкам, имеются
слагаемые с известными (граничными) значениями. Система уравнений (3.39)
содержит М х уравнений и столько же неизвестных. Такая
система называется полной, и у нее имеется единственное решение.

Метод итераций

Перепишем еще раз систему уравнений для
решения задачи теплопроводности в квадратной области на сетке, размером М = 10,
Л^Т = 10.

10);

10);

10);

10);

1

                    Ti,j
4         ј +Ti+1,j +Ti,j-1 + Ti,j+1) (i = 1         10; Ј = 1         10). (3.40)

Это система из 100 линейных алгебраических уравнений,
содержащая 100 неизвестных величин: {Ti А, i — 1 10, Ј

10. Существуют разнообразные методы
решения таких систем. Мы здесь воспользуемся методом, который называется
методом итераций.

Слово «итерации» означает «последовательные приближения».
Алгоритм итераций следующий. Задается некоторое начальное приближение к
искомому решению. Будем называть его нулевым приближением и записывать так: . Здесь
и далее число вверху в круглых скобках будет обозначать номер приближения. На
основании нулевого приближения по некоторой итерационной формуле вычисляется
первое приближение: {T(²)} . Затем вычисляется второе приближение: и
т. д. С увеличением номера итерации получаемые решения должны все больше
приближаться к точному решению задачи. Если это происходит, то говорят, что
итерационный процесс сходится. В таком случае вычисление последовательных
приближений можно продолжать до тех пор, пока не будет достигнута требуемая
точность.

Для сходимости итерационного процесса система уравнений
(3.40) должна удовлетворять определенным условиям. Мы не будем здесь разбирать
вопрос об условии сходимости метода итераций. Скажем только, что система
уравнений (3.40) таким условиям удовлетворяет.

Теперь запишем итерационную формулу. Для каждого уравнения из системы
(3.40) эта формула выглядит следующим образом: ТОГ) i-1,j +T(h-1) i+1,j
+T(k-1) i,j-1 +T(k-1)) (К 1, 2, (3.41)

      здесь
К          номер итерации (приближения).

Для того чтобы начать итерационные вычисления, нужно задать
начальное (нулевое) приближение. Существует доказательство того факта, что
если выполняется условие сходимости метода итераций, то вычислительный процесс
сойДется к решению системы от любого начального приближения. Например, в
качестве начального приближения можно задать нулевые значения температуры во
всех внутренних ячейках сетки:

                                                           (3.42)

Далее последовательно по формуле (3.41) для всех ячеек сетки
производится вычисление первого приближения, затем второго и т. д. Итерационный
процесс завершается, когда для каждой ячейки разность между значениями
температуры, полученными на последней и предпоследней итерациях, станет по
абсолютной величине меньше заданной малой величины г. Это условие запишем так:

Например, если мы хотим, чтобы в процессе итерации во всех
ячейках сетки в вычисленных значениях температуры установились 4 цифры после
запятой, то достаточно принять г = 10—4.

О Система основных понятий

Вопросы и задания

О 1. В каком виде ищется решение
задачи теплопроводности при использовании метода сеток?

2. Как идентифицируются ячейки сетки?

З. Какой физический закон
используется при построении числовой модели для расчета распределения
температуры?

4. Математическая модель, полученная
для задачи теплопроводности, представляет собой систему линейных алгебраических
уравнений. Какое количество уравнений и неизвестных она содержит?

О 5. Какой метод применяется для
решения полученной системы уравне-

ний?

6.  
Что такое
итерации? Каким можно задать начальное приближение для температуры?

7.  
Когда следует
закончить итерационные вычисления?

8.  
Получите
численную модель решения задачи теплопроводности для случая неквадратной сетки
(отношение шагов не равно единице).

3.3.3.
Вычислительные эксперименты в электронной

таблице по расчету распределения температуры

Итерации в электронных таблицах

Уже не однажды вы убеждались в том, что
электронные таблицы — это мощное вычислительное средство! Сейчас вы откроете
для себя еще одну возможность электронных таблиц: их применение для решения
задачи теплопроводности методом итераций.

В современных табличных процессорах, таких как Microsoft
Excel, заложена возможность автоматической реализации итераций. Суть ее в
следующем: имеются две ячейки электронной таблицы, назовем их 1-я и 2-я ячейки.
Если в 1-й ячейке записана формула, содержащая ссылку на 2-ю ячейку, а формула
во 2-й ячейке содержит ссылку на 1-ю ячейку, то такая ситуация называется
циклической ссылкой. Наличие циклической ссылки табличный процессор
воспринимает как указание к выполнению итераций. Значения формул в этих ячейках
начинают многократно по очереди пересчитываться. Пересчет продолжается до тех
пор, пока в данных ячейках не установятся значения с заданной точностью. Эта
точность определяется относительной погрешноспью итераций.

Обозначим относительную погрешность итераций символом 6итер
значение формулы в 1-й ячейке на К-й итерации обозначим 1 , во второй ячейке  Значения
формул в тех же

ячейках на предыдущем шаге итераций,
соответственно: F1(^k—¹) и

Е (^к—¹) Относительные
погрешности итераций на К-м шаге в этих ячейках равны:

61 —

Относительная погрешность итерации оценивает долю, которую
составляет разность между значениями 16′ на двух последовательных приближениях
в самой величине Е. Относительная погрешность выражается как в долях единицы,
так и в процентах. Например: б = 0,01 — 1 % . Табличный процессор завершит
автоматические итерации при выполнении условий: 51 < битер, 62 битер.

Кроме относительной погрешности итераций есть еще и другой
параметр, управляющий итерационными вычислениями. Он называется максимальным
числом итераций. Назовем его МАХи_ тер • Если заданная относительная
погрешность еще не достигнута, но число итераций достигло заданной величины
МАХитер, то итерационный пересчет формул прекращается. Данное условие
предотвращает зацикливание вычислений. Возможна такая ситуация, когда
относительная погрешность итерации задана слишком малой величиной, а из-за
погрешности машинных вычислений, которая для вещественных чисел всегда имеет место
(о чем рассказывалось в параграфе 2.4.2 учебника для 10 класса), требуемая
точность не может быть достигнута. Тогда итерационный пересчет будет
продолжаться бесконечно, если его не ограничить по числу итераций.

В табличном процессоре Microsoft Excel настройка параметров итераций
производится через команды меню: Сервис Параметры — вкладка Вычисления (рис.
3.23).

Рис. 3.23. Настройка параметров интераций

В открывшемся окне нужно включить флажок итерации и установить
значения предельного числа итераций и относительной погрешности. Согласно рис.
3.23, МАХитер = 100, битер = 0,001 = 0,1 ⁰/0.

Вычислительный эксперимент 1: границы
с постоянной температурой

Как уже говорилось раньше, распределение
температур определяется тепловыми условиями на границе. Проведем первый
вычислительный эксперимент при заданных значениях температур на всех четырех
границах области, как это было описано в предыдущем параграфе: на верхней,
левой и правой границах поддерживается температура 100 ^ос, на нижней
границе — о ^о с.

Рассмотрим последовательность действий с электронной таблицей
для реализации итерационного решения задачи теплопроводности.

1. В приграничные ячейки занесем граничные значения, как
показано на рис. 3.24.

1 2 11 з 10 4 9

8

5

7

6

 7

5

8

4

9 з 10

2

11

1

12

         13                      2                                       6
7 8 9 10 11

Рис. 3.24. Установка граничных значений

Следующим шагом в ячейки электронной таблицы,
сООТВетС’Гвующие внутренним ячейкам стержня, нужно занести начальные нулевые
значения. Однако специально делать это не требуется, поскольку по умолчанию
табличный процессор автоматически заносит во все ячейки нули. Это общее
правило, выполняемое всеми табличными процессорами.

2. Теперь следует занести в ячейки таблицы расчетные формулы
согласно (3.41). Для этого нужно:

1)  записать
в ячейку СЗ следующую формулу:

2)  скопировать
эту формулу во все ячейки диапазона C3:L12.

Если режим итераций настроен, то через короткий промежуток
времени в ячейках сетки установятся расчетные значения температуры, как
показано на рис. 3.25.

               А в       с       D              Ен                      Ј       к                м

1 2 11 з 10 4 9

5 8

 7

7        
6

8        
5

9        
4

10    

з

11    
2

12    
1

13

                     о      1        2        з        4        5        6       7        8        9      10
11

Рис. 3.25. Результаты расчета поля температур

Таблица на рис. 3.25 это и есть искомое решение задачи!
Дальше его можно анализировать. Например, используя мастер диаграмм табличного
процессора, можно строить графики изменения температур в любых сечениях по осям
Х и У.

На рисунке 3.26 показаны графики распределения температур по
оси Х в горизонтальных сечениях (при постоянных значениях у), соответствующих
рядам сетки при ј 1 (рис. 3.26, а) и ј = 6 (рис. 3.26, б). На рис. 3.26, в приведена
поверхностная диаграмма, которую также можно построить с помощью мастера
диаграмм. Здесь функция Т(х, у) представлена в виде поверхности, построенной по
рассчитанным в таблице (см. рис. 3.25) точкам. Оси Х и У лежат в горизонтальной
плоскости, ось температуры Т направлена вертикально вверх. Интерпретация такой
диаграммы достаточно очевидна: чем выше точка на поверхности, тем более

а

В

Рис. 3.26. Графическая обработка
результатов вычислительного эксперимента 1

высокой температуре она соответствует. Мастер
диаграмм табличного процессора не имеет средств построения картины изолиний для
рассчитанного поля температур.

Вычислительный эксперимент 2:

расчет с теплоизолированной границей

В предыдущем варианте вычислений на всех
четырех границах были заданы значения температур. Теперь выполним расчеты для
другого варианта граничных условий. Пусть температуры на нижней, левой и
верхней границах остаются такими же, как в первом варианте, а правую границу
сделаем теплоизолированной. Как же задать условие для температуры на
теплоизолированной границе?

Теплоизоляция означает, что через границу нет потока тепла. А
это возможно только тогда, когда температуры ячеек с обеих сторон границы
одинаковые (см. предыдущий параграф). Следовательно, должны выполняться
равенства:

                                               1,11′ 10,10                  10,11•

Электронную таблицу с решением предыдущей задачи легко перестроить на вариант с
теплоизолированной правой границей. Для этого во внешние ячейки у правой
границы нужно внес-

              А в с        D     Е     F           н              Ј  к              м

1 2 11 з 10

4        
9

5        
8

 7

7        
6

8        
5

9        
4