Вычислить цепную дробь в excel

6

Задание 1

Задано разложение числа

в непрерывную периодическую дробь с
периодом 3:

(1)

Приведем правую часть этого уравнения
к виду обычной дроби:

(2)

Приводя обе части к общему знаменателю,
получим квадратное уравнение для
:

,

где

Заметим, что дискриминант квадратного
уравнения:

.

Поэтому уравнение имеет один положительный
и один отрицательный корень. Искомое
значение

положительно и, следовательно:

Откроем чистый лист Excel
и введем в соседние ячейки какой-нибудь
строки наименования переменных, например:
a_1, a_2, a_3,
см. рис. 1.

Пишем так, чтобы избежать совпадений с
встроенной адресацией ячеек листа –
a1, a2 и т.д. Под каждым именем
вводим значение переменной, в нашем
случае числа 2, 7, 9.

Ниже располагаем столбиком имена
коэффициентов квадратного уравнения,
его дискриминанта и корня
,
а правее каждого имени формулу для его
вычисления, причем формулу можно писать,
ссылаясь на ячейки листа непосредственно,
либо используя имена переменных,
предварительно присвоив эти имена
ячейкам, где находятся их значения.

Соответствующие записи формулы для
коэффициента A будут иметь
вид:

=A4*B4+1

=a_1*a_2+1

Запись во второй редакции приближена
к обычной математической форме. Имена
переменных играют роль абсолютных
ссылок.

После того, как все формулы будут введены,
в ячейке с формулой для x
появится его значение, в нашем случае:
0,467129607.

Введем в ячейку правее x1
формулу =1/($A$4+1/($B$4+1/($C$4+1/B10))), вычисляющую
значение x1 по найденному
значению x. Данная формула
реализует в Excel написанную
выше формулу (1) для цепной дроби. Найденное
значение x1 = 0,467060885
отличается от предыдущего. Используя
формулу (1) вычислим x2 по
x1, x3 по x2
и т.д. Формулы для вычисления x2,
x3 ,… получим перетаскиванием
формулы для x1. Начиная со
значения x3, каждое новое
значение не отличается от предыдущего.
Это значит, что мы нашли значение корня
с заданной точностью.

Описанным методом итераций мы можем не
только уточнить значение корня, найденное
решением квадратного уравнения, но и
вычислить его независимо, начиная с
какого-нибудь (любого) положительного
значения x.

Обоснуем данное утверждение.

Для этого обозначим правую часть
уравнения (2) через

и выполним некоторые преобразования,
чтобы уточнить некоторые свойства этой
функции.

Рис. 1

Именно, выполним тождественные
преобразования:

Заметим, что
,
так как
.

Поэтому
,

причем

и

При этом

монотонно убывает при изменении

от 0 до
.

Обозначим через
точку
пересечения кривой

и прямой
,
т.е. решение нашего уравнения. Проведем
через точку

прямую
,
где
.

Расположение названных трех линий
показано на рис. 2.

Рис. 2

Видим, что линия

расположена между линиями

и
.

Рассмотрим последовательные итерации
на рис. 3.

Возьмем начальное приближение
.
Пусть
,
тогда
.
Из геометрических соображений ясно,
что
,
.

Продолжая далее, получим:
.
Таким образом, итерационный процесс
сходится со скоростью не меньшей, чем
геометрическая прогрессия со знаменателем
.

Рис. 3

Для цепных дробей вида (1) линия

по существу представляет собой прямую
линию, параллельную оси Ох (рис. 4). Поэтому
сходимость итерационного процесса
очень велика и составляет считанное
число итераций.

Рис. 4

Задание 2

Дано целое число
.
Требуется построить разложение в цепную
дробь числа
:

Из теории цепных дробей известно, что
такая дробь является периодической:

,

так что нашей задачей является найти
повторяющуюся последовательность целых
чисел
.

Откроем чистый лист Excel
и введем в первом столбце наименования
A и A^1/2 для
значений заданного целого числа и корня
из него соответственно, рис. 5. Условимся,
что это будут имена ячеек, расположенных
справа от них. Введем в ячейку A
произвольное целое число, например, 3.
В ячейку A^1/2 введем формулу
=КОРЕНЬ(B1).

Рис.
5.

Ниже будет располагаться таблица
вычислений чисел
,
которая состоит из двух столбов r
и a, слева от которых
указаны номера последовательных
итераций: 0,1,2,…

Условимся при описании ссылаться на
ячейки таблицы вычислений, называя имя
столбца и номер итерации.

В ячейку r0 введем ссылку
на ячейку A^1/2: =B3. В ячейку
a0 введем функцию, вычисляющую
целую часть значения r0 и
выдающую значение END, если
r0 уже есть целое число:
=ЕСЛИ(ЦЕЛОЕ(B6)=B6;»END»;ЦЕЛОЕ(B6)). Значение
END означает конец вычислений.

В ячейку r1 вводим формулу,
вычисляющую число 1/(r0-a0),
а в ячейку a1 формулу для
целой части из этого числа, копируя
функцию для a0. Формулы
для ячеек ri и ai
получаем перетаскиванием формул для
r1 и a1.

Количество строк в таблице вычислений
делаем порядка 30. Этого достаточно,
чтобы выявить период цепной дроби.
Большее число строк бесполезно, так как
из-за накапливающихся погрешностей
вычислений, связанных с делением на
малые числа, цикл начинает разваливаться,
и периодическая закономерность исчезает.

Справа от столбца a
построена таблица для вычисления
подходящих дробей. Номера столбцов этой
таблицы соответствуют порядку подходящей
дроби. Строится эта таблица следующим
образом. В первую ячейку столбца 1 вводим
формулу: =$C6+1/C7, что означает
.
Знак $ перед индексом столбца C
означает, что при копировании этой
формулы значение индекса столбца
останется неизменным. Далее эту формулу
копируем перетаскиванием вниз по столбцу
1. Затем формулу из первой ячейки столбца
1 копируем (перетаскиванием) в первую
ячейку столбца 2. Далее первую формулу
столбца 2 копируем перетаскиванием вниз
по столбцу 2, не доходя на одну ячейку
до конца столбца 1. И так далее для
остальных столбцов таблицы. В первой
строке получаем значения подходящих
дробей соответствующих порядков.
Наблюдаем сходимость. Она невысокая и
совпадение с числом A^1/2
с точностью до 15 знаков после запятой
получаем лишь на 25 итерации.

На уровне формулы A^1/2 над
соответствующими столбцами введены
формулы, вычисляющие погрешность
подходящих дробей.

Соседние файлы в папке 2

• #
• #
• #
• #

  09.02.2015312.83 Кб10ContFrac2.xls

• #
• #

Отображение чисел в качестве дробей

Используйте формат «Дроб», чтобы отображать или ввести числа как фактические дроби, а не в десятичных числах.

Выделите ячейки, которые нужно отформатировать.

На вкладке Главная нажмите кнопку вызова диалогового окна рядом с именем группы Число.

В списке Категория выберите дроби.

В списке Тип выберите нужный тип формата дроби.

В этом формате 123,456 отображается как

Дробная часть с одной цифрой

123 1/2, округление до ближайшего однозначного значения дроби

123 26/57, округлизация до ближайшего двузначного значения дроби

Трижды значок дроби

123 57/125, округлизация до ближайшего трехзначного значения дроби

Дробный в качестве дробей

Дробный по кварталам

Дробный в качестве частиц

Дробные части в качестве шестнадцатых

Дробный в качестве десятых

Дробные части в качестве сотых

Число в активной ячейке выбранного на этом сайте отображается в поле Образец, чтобы можно было просмотреть выбранные параметры форматирования.

Советы для отображения дробей

После применения формата дроби к ячейке дробные числа, а также фактические дроби, которые вы в нее введите, будут отображаться как дроби. Например, если ввести 0,5 или 1/2, то при формате ячейки с типом дроби до одной цифры будет 1/2.

Если к ячейке не применен формат дроби и вы введите дробную часть, например 1/2,она будет отформатирована как дата. Чтобы отобразить дробную часть, применив формат дроби, а затем впечатаем ее еще раз.

Если вам не нужно выполнять вычисления с дробями, перед тем как ввести в нее дробную часть, можно отформать ячейку как текст, щелкнув Текст в списке Категория. В этом случае дробные части не будут уменьшаться или преобразовываться в десятичных. Однако математические вычисления с дробями, которые отображаются как текст, выполнять нельзя.

Чтобы сбросить числовом формате, в диалоговом окне Категория (диалоговое окно Формат ячеек) или Числовом формате (вкладка Главная, группа Число) нажмите кнопку Общий. В ячейках с форматом Общий форматирование к числам не применяется.

Как считать уравнения с дробями в экселе

Если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на эту же самую ячейку (может быть и не напрямую, а опосредованно — через цепочку других ссылок), то говорят, что имеет место циклическая ссылка (цикл). На практике к циклическим ссылкам прибегают, когда речь идет о реализации итерационного процесса, вычислениях по рекуррентным соотношениям. В обычном режиме Excel обнаруживает цикл и выдает сообщение о возникшей ситуации, требуя ее устранения. Excel не может провести вычисления, так как циклические ссылки порождают бесконечное количество вычислений. Есть два выхода из этой ситуации: устранить циклические ссылки или допустить вычисления по формулам с циклическими ссылками (в последнем случае число повторений цикла должно быть конечным).

Рассмотрим задачу нахождения корня уравнения методом Ньютона с использованием циклических ссылок. Возьмем для примера квадратное уравнение: х 2 — 5х + 6=0, графическое представление которого приведено на рис. 8. Найти корень этого (и любого другого) уравнения можно, используя всего одну ячейку Excel.

Для включения режима циклических вычислений в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления включаем флажок Итерации, при необходимости изменяем число повторений цикла в поле Предельное число итераций и точность вычислений в поле Относительная погрешность (по умолчанию их значения равны 100 и 0,0001 соответственно). Кроме этих установок выбираем вариант ведения вычислений: автоматически или вручную. При автоматическом вычислении Excel выдает сразу конечный результат, при вычислениях, производимых вручную, можно наблюдать результат каждой итерации.

Рис. 8. График функции

Выберем произвольную ячейку, присвоим ей новое имя, скажем — Х, и введем в нее рекуррентную формулу, задающую вычисления по методу Ньютона:

где F и F1 задают соответственно выражения для вычисления значений функции и ее производной. Для нашего квадратного уравнения после ввода формулы в ячейке появится значение 2, соответствующее одному из корней уравнения (рис. 8). В нашем случае начальное приближение не задавалось, итерационный вычислительный процесс начинался со значения, по умолчанию хранимого в ячейке Х и равного нулю. А как получить второй корень? Обычно это можно сделать изменением начального приближения. Решать проблему задания начальных установок в каждом случае можно по-разному. Мы продемонстрируем один прием, основанный на использовании функции ЕСЛИ. С целью повышения наглядности вычислений ячейкам были присвоены содержательные имена (рис. 9).

• В ячейку Хнач (В4) заносим начальное приближение — 5.
• В ячейку Хтекущ (С4) записываем формулу:
  =ЕСЛИ(Хтекущ=0;Хнач; Хтекущ-(Хтекущ^2-5*Хтекущ+6)/(2*Хтекущ-5)).
• В ячейку D4 помещаем формулу, задающую вычисление значения функции в точке Хтекущ, что позволит следить за процессом решения.
• Заметьте, что на первом шаге вычислений в ячейку Хтекущ будет помещено начальное значение, а затем уже начнется счет по формуле на последующих шагах.
• Чтобы сменить начальное приближение, недостаточно изменить содержимое ячейки Хнач и запустить процесс вычислений. В этом случае вычисления будут продолжены, начиная с последнего вычисленного
  

  Рис. 9. Определение начальных установок

  значения. Чтобы обнулить значение, хранящееся в ячейке Хтекущ, нужно заново записать туда формулу. Для этого достаточно для редактирования выбрать ячейку, содержащую формулу, дважды щелкнув мышью на ней (при этом содержимое ячейки отобразится в строке формул). Щелчок по кнопке (нажатие клавиши) Enter запустит вычисления с новым начальным приближением.

2.2. Подбор параметра

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен, но неизвестны значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться средством Подбор параметра, выбрав команду Подбор параметра в меню Сервис. При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Возьмем в качестве примера все то же квадратное уравнение х 2 -5х+6=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

• В ячейку С3 (рис. 10) введем формулу для вычисления значения функции,
  

  Рис. 10. Окно диалога Подбор параметра

  стоящей в уравнении слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на ячейку С2, т.е. =С2^2-5*C2+6.

• В окне диалога Подбор параметра (рис. 10) в поле Установить в ячейке введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение — ожидаемый результат, в поле Изменяя значения ячейки — ссылку на ячейку, в которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).
• После нажатия на кнопку Ok Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на Оk, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки. Для восстановления значения, которое было в ячейке С2 до использования команды Подбор параметра, нажмите кнопку Отмена.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка Продолжить — для возврата в обычный режим подбора параметра.

Вернемся к примеру. Опять возникает вопрос: как получить второй корень? Как и в предыдущем случае необходимо задать начальное приближение. Это можно сделать следующим образом (рис. 11,а):

• В ячейку Х (С2) вводим начальное приближение.
• В ячейку Х_i (С3) вводим формулу для вычисления очередного приближения к корню, т.е.
  =X-(X^2-5*X+6)/(2*X-5).
• В ячейку С4 поместим формулу, задающую вычисление значения функции, стоящей в левой части исходного уравнения, в точке Х_i.
• После этого выбираем команду Подбор параметра, где в качестве изменяемой ячейки принимаем ячейку С2. Результат вычислений изображен на рис. 11,б (в ячейке С2 — конечное значение, а в ячейке С3 — предыдущее).

Однако все это можно сделать и несколько проще. Для того чтобы найти второй корень, достаточно в качестве начального приближения (рис. 10) в ячейку C2 поместить константу 5 и после этого запустить процесс Подбор параметра.

2.3. Поиск решения

Команда Подбор параметра является удобной для решения задач поиска определенного целевого значения, зависящего от одного неизвестного параметра. Для более сложных задач следует использовать команду Поиск решения (Решатель), доступ к которой реализован через пункт меню Сервис/Поиск решения.

Задачи, которые можно решать с помощью Поиска решения, в общей постановке формулируются так:

Искомые переменные — ячейки рабочего листа Excel — называются регулируемыми ячейками. Целевая функция F(х₁, х₂, … , х_n), называемая иногда просто целью, должна задаваться в виде формулы в ячейке рабочего листа. Эта формула может содержать функции, определенные пользователем, и должна зависеть (ссылаться) от регулируемых ячеек. В момент постановки задачи определяется, что делать с целевой функцией. Возможен выбор одного из вариантов:

• найти максимум целевой функции F(х₁, х₂, … , х_n);
• найти минимум целевой функции F(х₁, х₂, … , х_n);
• добиться того, чтобы целевая функция F(х₁, х₂, … , х_n) имела фиксированное значение: F(х₁, х₂, … , х_n) = a.

Функции G(х₁, х₂, … , х_n) называются ограничениями. Их можно задать как в виде равенств, так и неравенств. На регулируемые ячейки можно наложить дополнительные ограничения: неотрицательности и/или целочисленности, тогда искомое решение ищется в области положительных и/или целых чисел.

Под эту постановку попадает самый широкий круг задач оптимизации, в том числе решение различных уравнений и систем уравнений, задачи линейного и нелинейного программирования. Такие задачи обычно проще сформулировать, чем решать. И тогда для решения конкретной оптимизационной задачи требуется специально для нее сконструированный метод. Решатель имеет в своем арсенале мощные средства решения подобных задач: метод обобщенного градиента, симплекс-метод, метод ветвей и границ.

Выше для нахождения корней квадратного уравнения был применен метод Ньютона (п. 1.4) с использованием циклических ссылок (п. 2.1) и средство Подбор параметра (п. 2.2). Рассмотрим, как воспользоваться Поиском решения на примере того же квадратного уравнения.

Рис. 12. Окно диалога Поиск решения

После открытия диалога Поиск решения (рис. 12) необходимо выполнить следующие действия:

1. в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу для вычисления значений оптимизируемой функции, в нашем примере целевая ячейка — это С4, а формула в ней имеет вид: = C3^2 — 5*C3 + 6;
2. для максимизации значения целевой ячейки, установить переключатель максимальному значению в положение 8 , для минимизации используется переключатель минимальному значению, в нашем случае устанавливаем переключатель в положение значению и вводим значение 0;
3. в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргументов целевой функции (С3), разделяя их знаком «;» (или щелкая мышью при нажатой клавише Сtrl на соответствующих ячейках), для автоматического поиска всех влияющих на решение ячеек используется кнопка Предположить;
4. в поле Ограничения с помощью кнопки Добавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска: для нашего примера ограничений задавать не нужно;
5. для запуска процесса поиска решения нажать кнопку Выполнить.

Рис. 13. Результаты поиска

Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения. После чего рабочий лист примет вид, представленный на рис. 13. Полученное решение зависит от выбора начального приближения, которое задается в ячейке С4 (аргумент функции). Если в качестве начального приближения в ячейку С4 ввести значение, равное 1,0, то с помощью Поиска решения найдем второй корень, равный 2,0.

Опции, управляющие работой Поиска решения, задаваемые в окне Параметры (окно появляется, если нажать на кнопку Параметры окна Поиск решения), следующие (рис. 14):

Рис. 14. Настройка параметров Решателя

• Максимальное время — ограничивает время, отведенное на процесс поиска решения (по умолчанию задано 100 секунд, что достаточно для задач, имеющих около 10 ограничений, если задача большой размерности, то время необходимо увеличить).
• Предельное число итераций — еще один способ ограничения времени поиска путем задания максимального числа итераций. По умолчанию задано 100, и, чаще всего, если решение не получено за 100 итераций, то при увеличении их количества (в поле можно ввести время, не превышающее 32767 секунд) вероятность получить результат мала. Лучше попытаться изменить начальное приближение и запустить процесс поиска заново.
• Относительная погрешность — задает точность, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным ограничениям (десятичная дробь от 0 до 1).
• Допустимое отклонение — задается в % только для задач с целочисленными ограничениями. Поиск решения в таких задачах сначала находит оптимальное нецелочисленное решение, а потом пытается найти ближайшую целочисленную точку, решение в которой отличалось бы от оптимального не более, чем на указанное данным параметром количество процентов.
• Сходимость — когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа (дробь из интервала от 0 до 1), указанного в данном параметре, поиск прекращается.
• Линейная модель — этот флажок следует включать, когда целевая функция и ограничения — линейные функции. Это ускоряет процесс поиска решения.
• Неотрицательные значения — этим флажком можно задать ограничения на переменные, что позволит искать решения в положительной области значений, не задавая специальных ограничений на их нижнюю границу.
• Автоматическое масштабирование — этот флажок следует включать, когда масштаб значений входных переменных и целевой функции и ограничений отличается, возможно, на порядки. Например, переменные задаются в штуках, а целевая функция, определяющая максимальную прибыль, измеряется в миллиардах рублей.
• Показывать результаты итераций — этот флажок позволяет включить пошаговый процесс поиска, показывая на экране результаты каждой итерации.
• Оценки — эта группа служит для указания метода экстраполяции — линейная или квадратичная, — используемого для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске. Линейная служит для использования линейной экстраполяции вдоль касательного вектора. Квадратичная служит для использования квадратичной экстраполяции, которая дает лучшие результаты при решении нелинейных задач.
• Разности (производные) — эта группа служит для указания метода численного дифференцирования, который используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающих функций. Параметр Прямые используется в большинстве задач, где скорость изменения ограничений относительно невысока. Параметр Центральные используется для функций, имеющих разрывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным, если выдается сообщение о том, что получить более точное решение не удается.
• Метод поиска — служит для выбора алгоритма оптимизации. Метод Ньютона был рассмотрен ранее. В Методе сопряженных градиентов запрашивается меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно велика и необходимо экономить память, а также если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.

Сохранить модель поиска решения можно следующими способами:

1. при сохранении книги Excel после поиска решения все значения, введенные в окнах диалога Поиск решения, сохраняются вместе с данными рабочего листа. С каждым рабочим листом в рабочей книге можно сохранить один набор значений параметров Поиска решения;
2. если в пределах одного рабочего листа Excel необходимо рассмотреть несколько моделей оптимизации (например найти максимум и минимум одной функции, или максимальные значения нескольких функций), то удобнее сохранить эти модели, используя кнопку Параметры/Сохранить модель окна Поиск решения. Диапазон для сохраняемой модели содержит информацию о целевой ячейке, об изменяемых ячейках, о каждом из ограничений и все значения диалога Параметры. Выбор модели для решения конкретной оптимизационной задачи осуществляется с помощью кнопки Параметры/Загрузить модель диалога Поиск решения;
3. еще один способ сохранения параметров поиска — сохранение их в виде именованных сценариев. Для этого необходимо нажать на кнопку Сохранить сценарий диалогового окна Результаты поиска решений.

Кроме вставки оптимальных значений в изменяемые ячейки Поиск решения позволяет представлять результаты в виде трех отчетов: Результаты, Устойчивость и Пределы. Для генерации одного или нескольких отчетов необходимо выделить их названия в окне диалога Результаты поиска решения. Рассмотрим более подробно каждый из них.

Рис. 15. Отчет по устойчивости

Отчет по устойчивости (рис.15) содержит информацию о том, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений и переменных. Этот отчет имеет два раздела: один для изменяемых ячеек, а второй для ограничений. Правый столбец в каждом разделе содержит информацию о чувствительности. Каждая изменяемая ячейка и ограничения приводятся в отдельной строке. Раздел для изменяемых ячеек содержит значение нормированного градиента, которое показывает, как целая ячейка реагирует на увеличение значения в соответствующей изменяемой ячейке на одну единицу. Подобным образом, множитель Лагранжа в разделе для ограничений показывает, как целевая ячейка реагирует на увеличение соответствующего значения ограничения на одну единицу. При использовании целочисленных ограничений Excel выводит сообщение Отчеты устойчивость и Пределы не применимы для задач с целочисленными ограничениями. Если в окне диалога Параметры поиска решения установлен флажок Линейная модель, то отчет по устойчивости содержит несколько дополнительных столбцов информации.

Рис. 16. Отчет по результатам

Отчет по результатам (рис.16) содержит три таблицы: в первой приведены сведения о целевой функции до начала вычисления, во второй — значения искомых переменных, полученные в результате решения задачи, в третьей — результаты оптимального решения для ограничений. Этот отчет также содержит информацию о таких параметрах каждого ограничения, как статус и разница. Статус может принимать три состояния: связанное, несвязанное или невыполненное. Значение разницы — это разность между значением, выводимым в ячейке ограничения при получении решения, и числом, заданным в правой части формулы ограничения. Связанное ограничение — это ограничение, для которого значение разницы равно нулю. Несвязанное ограничение — это ограничение, которое было выполнено с ненулевым значением разницы.

Отчет по пределам содержит информацию о том, в каких пределах значения изменяемых ячеек могут быть увеличены или уменьшены без нарушения ограничений задачи. Для каждой изменяемой ячейки этот отчет содержит оптимальное значение, а также наименьшие значения, которые ячейка может принимать без нарушения ограничений.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Решение уравнений в excel — примеры решений

Microsoft Office Excel может здорово помогать студентам и магистрантам в решении различных задач из высшей математики. Не многие пользователи знают, что базовые математические методы поиска неизвестных значений в системе уравнений реализованы в редакторе. Сегодня рассмотрим, как происходит решение уравнений в excel.

Первый метод

Суть этого способа заключается в использовании специального инструмента программы – подбор параметра. Найти его можно во вкладке Данные на Панели управления в выпадающем списке кнопки Анализ «что-если».

1. Зададимся простым квадратичным уравнением и найдем решение при х=0.

2. Переходите к инструменту и заполняете все необходимые поля

3. После проведения вычислений программа выдаст результат в ячейке с иксом.

4. Подставив полученное значение в исходное уравнение можно проверить правильность решения.

Второй метод

Используем графическое решение этого же уравнения. Суть заключается в том, что создается массив переменных и массив значений, полученных при решении выражения. Основываясь на этих данных, строится график. Место пересечения кривой с горизонтальной осью и будет неизвестной переменной.

1. Создаете два диапазона.

На заметку! Смена знака результата говорит о том, что решение находится в промежутке между этими двумя переменными.

2. Переходите во вкладку Вставка и выбираете обычный график.

3. Выбираете данные из столбца f (x), а в качестве подписи горизонтальной оси – значения иксов.

Важно! В настройках оси поставьте положение по делениям.

4. Теперь на графике четко видно, что решение находится между семеркой и восьмеркой ближе к семи. Чтобы узнать более точное значение, необходимо изменять масштаб оси и уточнять цифры в исходных массивах.

Такая исследовательская методика в первом приближении является достаточно грубой, однако позволяет увидеть поведение кривой при изменении неизвестных.

Третий метод

Решение систем уравнений можно проводить матричным методом. Для этого в редакторе есть отдельная функция МОБР. Суть заключается в том, что создаются два диапазона: в один выписываются аргументы при неизвестных, а во второй – значения в правой стороне выражения. Массив аргументов трансформируется в обратную матрицу, которая потом умножается на цифры после знака равно. Рассмотрим подробнее.

1. Записываете произвольную систему уравнений.

2. Отдельно выписываете аргументы при неизвестных в каждую ячейку. Если нет какого-то из иксов – ставите ноль. Аналогично поступаете с цифрами после знака равно.

3. Выделяете в свободной зоне диапазон ячеек равный размеру матрицы. В строке формул пишете МОБР и выбираете массив аргументов. Чтобы функция сработала корректно нажимаете одновременно Ctrl+Shift+Enter.

4. Теперь находите решение при помощи функции МУМНОЖ. Также предварительно выделяете диапазон размером с матрицу результатов и нажимаете уже известное сочетание клавиш.

Четвертый метод

Методом Гаусса можно решить практически любую систему уравнений. Суть в том, чтобы пошагово отнять одно уравнение из другого умножив их на отношение первых коэффициентов. Это прямая последовательность. Для полного решения необходимо еще провести обратное вычисление до тех пор, пока диагональ матрицы не станет единичной, а остальные элементы – нулевыми. Полученные значения в последнем столбце и являются искомыми неизвестными. Рассмотрим на примере.

Важно! Если первый аргумент является нулевым, то необходимо поменять строки местами.

1. Зададимся произвольной системой уравнений и выпишем все коэффициенты в отдельный массив.

2. Копируете первую строку в другое место, а ниже записываете формулу следующего вида: =C67:F67-$C$66:$F$66*(C67/$C$66).

Поскольку работа идет с массивами, нажимайте Ctrl+Shift+Enter, вместо Enter.

3. Маркером автозаполнения копируете формулу в нижнюю строку.

4. Выделяете две первые строчки нового массива и копируете их в другое место, вставив только значения.

5. Повторяете операцию для третьей строки, используя формулу

=C73:F73-$C$72:$F$72*(D73/$D$72). На этом прямая последовательность решения закончена.

6. Теперь необходимо пройти систему в обратном порядке. Используйте формулу для третьей строчки следующего вида =(C78:F78)/E78

7. Для следующей строки используйте формулу =(C77:F77-C84:F84*E77)/D77

8. В конце записываете вот такое выражение =(C76:F76-C83:F83*D76-C84:F84*E76)/C76

9. При получении матрицы с единичной диагональю, правая часть дает искомые неизвестные. После подстановки полученных цифр в любое из уравнений значения по обе стороны от знака равно являются идентичными, что говорит о правильном решении.

Метод Гаусса является одним из самых трудоемких среди прочих вариантов, однако позволяет пошагово просмотреть процесс поиска неизвестных.

Как видите, существует несколько методов решения уравнений в редакторе. Однако каждый из них требует определенных знаний в математике и четкого понимания последовательности действий. Однако для упрощения можно воспользоваться онлайн калькулятором, в который заложен определенный метод решения системы уравнений. Более продвинутые сайты предоставляют несколько способов поиска неизвестных.

Жми «Нравится» и получай только лучшие посты в Facebook ↓

Доброго всем времени суток, мои дорогие друзья и гости моего блога. Как всегда и как обычно с вами я, Дмитрий Костин. И сегодня я бы хотел продолжить наше общение с Экселем, потому что это действительно нужная вещь и в хозяйстве всегда пригодится. Я, например, себе уже не представляю жизнь без этого табличного редактора.

Я на данный момент веду несколько таблиц для разных целей, это не считая тех, которые мы ведем совместно с ребятами из отдела с помощью сервиса Google Docs. У меня есть табличка, которая суммирует мои доходы по сравнению с расходами для блога, также я веду финансовый учет планирования расходов и семейного бюджета, и кучу других документов.

Да, конечно для таких целей есть специальные программы, но если честно, то они меня далеко не во всем устраивают в плане функционала, а в excel я могу настроить всё под себя, как я этого пожелаю. Просторы для этого просто громадные. Тем более сами документы можно защитить паролем, что делает работу в этом редакторе еще надежнее, проще и удобнее. В общем не буду вас томить, а как раз расскажу, как в экселе посчитать сумму ячеек

Простое сложение

Начем с легенько разминки. Если вам нужно посчитать сyмму каких-то чиcел, то самое простое — это сделать обычный пример. Для этого встаньте на любую ячейку и напишите знак равенства (=), после чего начинайте складывать нужные цифры (=15+6+94+3-10+2). Последним штрихом вам нужно будет жмахнуть клавишу Enter, тогда весь этот математический пример молниеносно преобразуется в решенный ответ.

Сложение каждой ячейки

Для начала мы с вами научимся складывать просто несколько чисел, которые могут находиться в разных местах

1. Откройте документ excel, где у вас записаны какие-либо значения.
2. Теперь выберите какое-нибудь свободное место и поставьте туда знак «Равно» (=). В этот момент у вас активировалась функция решения примеров, и неважно каких, сложения или вычитания.
3. Теперь нажмите на ячeйку, где у вас записано первое число, которое вы хотите использовать для сложения. В том месте, где мы ставили знак «=», должна появится координата этой цифры, т.е. C6 или D2, и т.д. Отлично. Это то, что нам нужно.
4. Теперь поставьте знак «+» и нажмите на следующую ячейкy с данными, которое вы хотите использовать для сложения. Видите, как меняется значение в том месте, где мы ставили «=»? Да. Теперь там стоят уже две координаты, объединенные плюсом. 
5. Таким же образом продолжайте искать оставшиеся цифры и когда они закончатся, вам останется нажать Enter и значения, которые вы выбрали суммируются, а сама сумма покажется в ячейке, в которой мы изначально ставили знак равенства. 

Суммирование столбца

Теперь перейдем к самому простому и вкусному. Да, сейчас вы узнаете как суммировать столбец.

Выделите столбeц или его часть, после чего переходите во вкладку «Формулы» и выбирайте там пункт «Автосумма». После этой несложной манипуляции вы увидите сумму всех выделенных вами чисел. Она автоматически встанет в ближайшую свободную ячейку в вашем столбце.

На самом деле даже необязательно, чтобы это был столбец. Это может быть как и строка, так и отдельные ячейки (можно выделить с помощью зажатой клавиши CTRL). Только место появление результата будет другое.

Использование формулы с помощью параметра «СУММ»

Этот способ особенно хорош тогда, когда вам нужно занести результат в определенную ячейку. По крайней мере я пользуюсь этим именно так и доволен как слон. Давайте покажу.

1. Поставьте курсор в то место, где вы хотите, чтобы отображался ваш результат и поставьте туда уже знакомый нам знак равенства.
2. Теперь нам нужно выполнить функцию «СУММ». Ее вы можете выбрать в левом верхнем углу листа, нажав на него. Либо вы можете увидеть ее во вкладке «Формулы», а затем выбрать «Математические», и уже там, среди множества других функций, искать заветную СУММ. В общем жмахайте. 
3. Вам откроется окно с аргументами функции. Здесь вы должны будете выбрать диапазон чисел, которые будете складывать. Например я хочу сложить столбик от А1 до А7. Тогда поставьте курсор в графу «Число 1», а затем выделите нужные ячейки. 
4. Теперь нажмите Enter и вы увидите, что всё у вас отлично посчиталось. 

Кстати этим же способом вы можете воспользоваться, чтобы посчитать сумму ячеек с разных листов. Давайте расскажу чуть подробнее.

Суммирование с разных листов

1. Откройте (создайте) новую таблицу, где разные значения будут находиться на разных листах. Сделали: Молодцы. И тогда сразу же поставьте в любую ячейку на любом лиcте знакомый значок «=» и снова выберите функцию «СУММ», как я рассказывал выше.
2. Теперь, когда у вас открылось окно «Аргументы функции», поставьте курсор в строку «Число 1», после чего выделите нужные значения на первом листe. 
3. Теперь ставьте курсор в строку «Число 2», переходите на другой лист, и выделяйте все числа там. После этого нажмите ОК. 

Всё, теперь несмотря на то, что числа находятся разных местах, сумма посчитана. Эта функция делает данный табличный редактор еще удобнее.

Чем мне особенно нравится excel, так это тем, что можно менять параметры формулы на лету. Например, если нам надо одно из участвующих числе уменьшить на две единицы, то соответственно уменьшится на два и вся сумма. Такую штуку  частенько использую в повседневной жизни.

Ну на этом у меня вроде бы всё. Если остались какие-либо непонятки, то спрашивайте. С удовольствием отвечу на интересующие вас вопросы. Так же рекомендую вам подписаться на обновления моего блога, чтобы всегда быть в курсе обо всем новом и интересном. Увидимся с вами в других статьях. Пока-пока!

С уважением, Дмитрий Костин.