Вычисление обратных матриц в excel

Содержание

• Выполнение расчетов
  • Расчет определителя
  • Расчет обратной матрицы
• Вопросы и ответы

Приложение Excel выполняет целый ряд вычислений, связанных с матричными данными. Программа обрабатывает их, как диапазон ячеек, применяя к ним формулы массива. Одно из таких действий – это нахождение обратной матрицы. Давайте выясним, что представляет собой алгоритм данной процедуры.

Выполнение расчетов

Вычисление обратной матрицы в Excel возможно только в том случае, если первичная матрица является квадратной, то есть количество строк и столбцов в ней совпадает. Кроме того, её определитель не должен быть равен нулю. Для вычисления применяется функция массива МОБР. Давайте на простейшем примере рассмотрим подобное вычисление.

Расчет определителя

Прежде всего, вычислим определитель, чтобы понять, имеет первичный диапазон обратную матрицу или нет. Это значение рассчитывается при помощи функции МОПРЕД.

1. Выделяем любую пустую ячейку на листе, куда будут выводиться результаты вычислений. Жмем на кнопку «Вставить функцию», размещенную около строки формул.



2. Запускается Мастер функций. В перечне записей, который он представляет, ищем «МОПРЕД», выделяем этот элемент и жмем на кнопку «OK».



3. Открывается окно аргументов. Ставим курсор в поле «Массив». Выделяем весь диапазон ячеек, в котором расположена матрица. После того, как его адрес появился в поле, жмем на кнопку «OK».



4. Программа производит расчет определителя. Как видим, для нашего конкретного случая он равен – 59, то есть не тождественен нулю. Это позволяет сказать, что у данной матрицы существует обратная.

Расчет обратной матрицы

Теперь можно преступить к непосредственному расчету обратной матрицы.

1. Выделяем ячейку, которая должна стать верхней левой ячейкой обратной матрицы. Переходим в Мастер функций, кликнув по значку слева от строки формул.



2. В открывшемся списке выбираем функцию МОБР. Жмем на кнопку «OK».



3. В поле «Массив», открывшегося окна аргументов функции, устанавливаем курсор. Выделяем весь первичный диапазон. После появления его адреса в поле, жмем на кнопку «OK».



4. Как видим, появилось значение только в одной ячейке, в которой была формула. Но нам нужна полноценная обратная функция, поэтому следует скопировать формулу в другие ячейки. Выделяем диапазон, равнозначный по горизонтали и вертикали исходному массиву данных. Жмем на функциональную клавишу F2, а затем набираем комбинацию Ctrl+Shift+Enter. Именно последняя комбинация предназначена для обработки массивов.



5. Как видим, после этих действий обратная матрица вычислена в выделенных ячейках.

На этом расчет можно считать завершенным.

Если вы производите расчет определителя и обратной матрицы только при помощи ручки и бумаги, то над этим вычислением, в случае работы над сложным примером, можно ломать голову очень долго. Но, как видим, в программе Эксель данные вычисления производятся очень быстро, независимо от сложности поставленной задачи. Для человека, который знаком с алгоритмом подобных расчетов в этом приложении, все вычисление сводится к чисто механическим действиям.

Еще статьи по данной теме:

Помогла ли Вам статья?

Функция МОБР возвращает обратную матрицу для матрицы, храняной в массиве.

Примечание: Если у вас установлена текущая версия Microsoft 365, можно просто ввести формулу в верхней левой ячейке диапазона вывода и нажать клавишу ВВОД, чтобы подтвердить использование формулы динамического массива. Иначе формулу необходимо вводить с использованием прежней версии массива, выбрав диапазон вывода, введя формулу в левой верхней ячейке диапазона и нажав клавиши CTRL+SHIFT+ВВОД для подтверждения. Excel автоматически вставляет фигурные скобки в начале и конце формулы. Дополнительные сведения о формулах массива см. в статье Использование формул массива: рекомендации и примеры.

Синтаксис

МОБР(массив)

Аргументы функции МОБР описаны ниже.

• Массива    Обязательный. Числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

Замечания

• Массив может быть задан как диапазон ячеек, например A1:C3 как массив констант, например {1;2;3: 4;5;6: 7;8;9} или как имя диапазона или массива.

• Если какие-либо ячейки в массиве пустые или содержат текст, функции МОБР возвращают #VALUE! ошибку «#ВЫЧИС!».

• МоБР также возвращает #VALUE! если массив не имеет равного числа строк и столбцов.

• Обратные матрицы, такие как определители, обычно используются для решения систем математических уравнений с несколькими переменными. Произведением матрицы и обратной является матрица удостоверений — квадратный массив, в котором диагональные значения равны 1, а все остальные — 0.

• В качестве примера вычисления обратной матрицы, рассмотрим массив из двух строк и двух столбцов A1:B2, который содержит буквы a, b, c и d, представляющие любые четыре числа. В таблице приведена обратная матрица для массива A1:B2.

	Столбец A	Столбец B
Строка 1	d/(a*d-b*c)	b/(b*c-a*d)
Строка 2	c/(b*c-a*d)	a/(a*d-b*c)

• Функция МОБР производит вычисления с точностью до 16 значащих цифр, что может привести к незначительным ошибкам округления.

• Некоторые квадратные матрицы невозможно инвертировать и возвращают #NUM! в функции МОБР. Определител непревратимой матрицы 0.

Примеры

Чтобы указанные выше формулы вычислялись правильно, нужно вводить их в виде формул массивов. После ввода формулы нажмите ввод, если у вас есть текущая Microsoft 365 подписка. в противном случае нажмите CTRL+SHIFT+ВВОД. Если формула не будет введена как формула массива, возвращается единственный результат.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

Для вычисления обратной матрицы в MS EXCEL существует специальная функция

МОБР()

или англ.

MINVERSE

.

Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля.

СОВЕТ

: О нахождении определителя матрицы читайте статью

Вычисление определителя матрицы в MS EXCEL

Матрица А

^-1

называется обратной для исходной матрицы А порядка n, если

справедливы равенства

А

^-1

*А=Е и А*А

^-1

=Е, где Е единичная матрица порядка n.

Для вычисления обратной матрицы в MS EXCEL существует специальная функция

МОБР()

.

Если элементы исходной матрицы 2 х 2 расположены в диапазоне

А8:В9

, то для получения

транспонированной матрицы

нужно (см.

файл примера

):

• выделить диапазон 2 х 2, который не пересекается с исходным диапазоном
  
  А8:В9
  
  ,
  
  например,
  
  Е8:F9
  
• в

  Cтроке формул

  ввести формулу
  
  =
  
  МОБР
  
  (A8:B9)
  
  и нажать комбинацию клавиш
  
  CTRL+SHIFT+ENTER
  
  , т.е. нужно ввести ее как

  формулу массива

  (формулу можно ввести прямо в ячейку, предварительно нажав клавишу
  
  F2
  
  )

Если матрица большей размерности, то перед вводом формулы нужно выделить соответственно больший диапазон ячеек.

Массив может быть задан не только как интервал ячеек, например

A8:B9

, но и как

массив констант

, например

=МОБР({5;4: 3;2})

. Запись с использованием массива констант позволяет не указывать элементы в отдельных ячейках, а разместить их в ячейке вместе с функцией. Массив в этом случае указывается по строкам: например, сначала первая строка 5;4, затем через двоеточие записывается следующая строка 3;2. Элементы отделяются точкой с запятой.

Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на

именованный диапазон

.

Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены: в таких случаях функция

МОБР()

возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Матрицы не могут быть обращены, у которых определитель равен 0.

Если функция

МОБР()

вернула значение ошибки #ЗНАЧ!, то либо число строк в массиве не равно числу столбцов, либо какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст. Т.е. функция

МОБР()

пустую ячейку воспринимает не как содержащую 0 (как например, это делает

СУММ()

), а как ошибочное значение.

Вычисление обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений

СОВЕТ

: Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция

МОБР()

.

В

файле примера

приведен расчет обратной матрицы 3-го порядка через матрицу алгебраических дополнений.

Порядок действий при вычислении обратной матрицы:

• Вычисляем определитель

  матрицы
  
  А
  
  (далее — Det(A)) и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица
  
  А
  
  необратима)

• Строим матрицу из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы
• Транспонируем матрицу

  из алгебраических дополнений

• Умножаем каждый элемент транспонированной матрицы

  из алгебраических дополнений на 1/Det(A) и получаем обратную матрицу

В качестве проверки можно

перемножить исходную и обратную матрицы

. В результате должна получиться единичная матрица.

На чтение 4 мин Опубликовано 28.12.2020

Обратная матрица – это сложное математическое понятие, для нахождения которой необходимо выполнить множество непростых действий на бумаге. Однако программа Excel решает данную задачу в более короткие сроки и без особых усилий со стороны исполнителя. Давайте разберемся, каким образом можно найти обратную матрицу в несколько этапов на одном из примеров.

Замечание эксперта! Обязательным условием для нахождения обратной матрицы, является соответствие исходных данных квадратной матрице, а определителя нулю.

Содержание

1. Находим значение определителя
2. Определяем значение обратной матрицы
3. Сферы использования расчетов с обратной матрицей
4. Заключение

Находим значение определителя

Чтобы выполнить это действие, необходимо воспользоваться функцией МОПРЕД. Как именно это делается, рассмотрим на примере:

1. Записываем квадратную матрицу в любом свободном месте.
2. Выбираем свободную ячейку, после чего находим напротив строки формул кнопку «fx» («Вставить функцию») и кликаем по ней ЛКМ.

1. Должно открыться окно, где в строке «Категория:» останавливаемся на «Математические», а ниже выбираем функцию МОПРЕД. Соглашаемся с выполненными действиями кликнув по кнопке «ОК».
2. Далее в открывшемся окне заполняем координаты массива.

Совет! Заполнить адресацию можно одним из двух способов: вручную или кликнув кнопкой мыши в месте ввода информации о массиве и, определив выделением зоны место расположения квадратной матрицы, получить адрес массива автоматически.

1. После проверки введенных ручным или автоматическим образом данных жмите «ОК».

1. После всех проведенных манипуляций свободная ячейка должна отобразить определитель матрицы, значение которого понадобится для нахождения обратной матрицы. Как видно по скриншоту, после вычислений получилось число 338, а, следовательно, потому как определитель не равен 0, то обратная матрица существует.

Определяем значение обратной матрицы

Как только вычисление определителя закончено, можно переходить к определению обратной матрицы:

1. Выбираем место расположения верхнего элемента обратной матрицы, открываем окно «Вставка функции».
2. Выбираем категорию «Математические».
3. В расположившихся снизу функциях пролистываем список и останавливаем выбор на МОБР. Кликаем по кнопке «ОК».

1. Аналогично ранее выполняемым действиям при нахождении значений определителя вписываем координаты массива с квадратной матрицей.
2. Убеждаемся в правильности выполненных действий и жмем «ОК».
3. В выбранной верхней левой ячейке будущей обратной матрицы появится результат.
4. Для копирования формулы для нахождения значений в других ячейках используем свободное выделение. Для этого, зажав ЛКМ, растягиваем на всю область будущей обратной матрицы.

1. Жмем на клавиатуре кнопку F2 и переходим к набору комбинации «Ctrl+Shift+Enter». Готово!

Рекомендация эксперта! Для удобства выполнения действий по нахождению обратной матрицы в таблице Excel расположение массива с квадратной матрицей и выбранная область для ячеек с обратной матрицей должны располагаться на одном уровне по отношению к столбцам. Таким образом будет проще определить границы адресации второго массива. Пример указан на иллюстрации ниже.

Сферы использования расчетов с обратной матрицей

Экономика – это область, которая требует проведения постоянных и очень сложных расчетов. Для облегчения используется матричная система расчетов. Нахождение обратной матрицы – это быстрый способ обработки большого объема информации за максимально короткие сроки, конечный результат которого будет представлен в наиболее удобном для восприятия виде.

Другая область применения – это 3D моделирование изображений. Всевозможные программы имеют встроенные инструменты для проведения подобного рода расчетов, что в значительной степени облегчает работу конструкторам при производстве расчетов. Наиболее популярной программой среди 3D моделистов считается Компас-3D.

Существуют и другие сферы деятельности, где можно применить систему расчетов обратной матрицы, но все же основной программой для проведения матричных расчетов можно считать Excel.

Заключение

Нахождение обратной матрицы нельзя назвать такой же распространенной математической задачей, как вычитание, сложение или деление, но если появилась необходимость в ее решении, то все действия могут произведены в табличном процессоре Excel. Если человеческий фактор склонен допускать ошибки, то компьютерная программа выдаст 100% точный результат.

Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:

Функция МОБР – это вычислительное определение матрицы. Она возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве. Обратные матрицы, как и определители, обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными. Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены: в таких случаях функция МОБР возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Определитель такой матрицы равен = 0.

Описание использования функции МОБР в Excel

Как использовать функцию МОБР в Excel рассмотрим ниже на примерах. Но сначала ознакомимся как устроена данная функции.

Аргумент функции МОБР – это массив. Он может быть задан как диапазон ячеек, например A1:C3 как массив констант, например {1;2;3:4;5;6:7;8;9} или как имя диапазона или массива. В случае, если хотя бы одна из ячеек массива пуста или содержит текст, функция возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!

Массив должен иметь равное количество строк и столбцов. В случае, если они не равны, то функция МОБР также возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!

Формулы, которые возвращают массивы, должны быть введены как формулы массива.

Для вывода обратного массива необходимо после выбора диапазона для данной функции нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter, а не просто Enter.

Функция МОБР производит вычисления с точностью до 16 значащих цифр, что может привести к незначительным ошибкам округления. Рассмотрим применение данной функции на конкретных примерах.



Поиск обратной матрицы в Excel с помощью функции МОБР

Пример 1. Используя пакет Excel, найти обратную матрицу для матрицы, приведенной в таблице 1.

Таблица 1:

Для решения данной задачи открывает пакет Excel, в произвольной ячейке вводим исходные данные, дальше выбираем функцию МОБР. В качестве массива выбираем диапазон с введенными данными и контролируем полученный результат. В Excel общий вид функции выглядит следующим образом:

Рисунок 1 – Результат расчета.

Как найти валовый показатель по матрице взаимосвязей?

Пример 2. Связь между тремя отраслями представлена матрицей прямых затрат А. Спрос (конечный продукт) задан вектором X. Найти валовой выпуск продукции отраслей Х. Описать используемые формулы, представить распечатку со значениями и с формулами.

Исходные данные приведены на рисунке 2:

Рисунок 2 – Исходные данные.

Данная задача связана с определением объема производства каждой из N отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли. При этом каждая отрасль выступает и как производитель некоторой продукции и как потребитель своей и произведенной другими отраслями продукции. Задача межотраслевого баланса – отыскание такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Матричное решение данной задачи:

X = ( E — A )^-1 Y

где Е – единична матрица.

Для решения задачи в примере используем следующие 4 функции для работы с матрицами в Excel:

1. МОБР – нахождение обратной матрицы.
2. МУМНОЖ – умножение матриц.
3. МОПРЕД – нахождение определителя матрицы.
4. МЕДИН – нахождение единичной матрицы.

Результаты приведены на рисунке 3:

Рисунок 3 – Результат вычислений.

Функция МОБР возвращает ошибку #ЧИСЛО!

Пример 3. Найти обратную матрицу для матрицы, приведенной в таблице 2.

Таблица 2:

Исходные данные
1	2	4
2	4	8
4	8	16

Результат решения приведен на рисунке 4. Видно, что определитель данной матрицы равен 0, поэтому функция МОБР выводит в результате значение #ЧИСЛО!.

Рисунок 4 – Окончательный результат.

history 7 декабря 2015 г.

Группы статей
• Матрицы

Для вычисления обратной матрицы в MS EXCEL существует специальная функция МОБР() или англ. MINVERSE .

Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля.

СОВЕТ : О нахождении определителя матрицы читайте статью Вычисление определителя матрицы в MS EXCEL

Матрица А -1 называется обратной для исходной матрицы А порядка n, если справедливы равенства А -1 *А=Е и А*А -1 =Е, где Е единичная матрица порядка n.

Для вычисления обратной матрицы в MS EXCEL существует специальная функция МОБР() .

Если элементы исходной матрицы 2 х 2 расположены в диапазоне А8:В9 , то для получения транспонированной матрицы нужно (см. файл примера ):

• выделить диапазон 2 х 2, который не пересекается с исходным диапазоном А8:В9 , например, Е8:F9
• в Cтроке формул ввести формулу = МОБР (A8:B9) и нажать комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER , т.е. нужно ввести ее как формулу массива (формулу можно ввести прямо в ячейку, предварительно нажав клавишу F2 )

Если матрица большей размерности, то перед вводом формулы нужно выделить соответственно больший диапазон ячеек.

Массив может быть задан не только как интервал ячеек, например A8:B9 , но и как массив констант , например =МОБР(<5;4: 3;2>) . Запись с использованием массива констант позволяет не указывать элементы в отдельных ячейках, а разместить их в ячейке вместе с функцией. Массив в этом случае указывается по строкам: например, сначала первая строка 5;4, затем через двоеточие записывается следующая строка 3;2. Элементы отделяются точкой с запятой.

Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на именованный диапазон .

Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены: в таких случаях функция МОБР() возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!. Матрицы не могут быть обращены, у которых определитель равен 0.

Если функция МОБР() вернула значение ошибки #ЗНАЧ!, то либо число строк в массиве не равно числу столбцов, либо какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст. Т.е. функция МОБР() пустую ячейку воспринимает не как содержащую 0 (как например, это делает СУММ() ), а как ошибочное значение.

Вычисление обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений

СОВЕТ : Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция МОБР() .

В файле примера приведен расчет обратной матрицы 3-го порядка через матрицу алгебраических дополнений.

Порядок действий при вычислении обратной матрицы:

• Вычисляем определитель матрицы А (далее — Det(A)) и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима)
• Строим матрицу из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы
• Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений
• Умножаем каждый элемент транспонированной матрицы из алгебраических дополнений на 1/Det(A) и получаем обратную матрицу

В качестве проверки можно перемножить исходную и обратную матрицы . В результате должна получиться единичная матрица.

Обратная матрица в Excel. Как найти обратную матрицу в Эксель в 2 этапа

Обратная матрица – это сложное математическое понятие, для нахождения которой необходимо выполнить множество непростых действий на бумаге. Однако программа Excel решает данную задачу в более короткие сроки и без особых усилий со стороны исполнителя. Давайте разберемся, каким образом можно найти обратную матрицу в несколько этапов на одном из примеров.

Замечание эксперта! Обязательным условием для нахождения обратной матрицы, является соответствие исходных данных квадратной матрице, а определителя нулю.

Находим значение определителя

Чтобы выполнить это действие, необходимо воспользоваться функцией МОПРЕД. Как именно это делается, рассмотрим на примере:

1. Записываем квадратную матрицу в любом свободном месте.
2. Выбираем свободную ячейку, после чего находим напротив строки формул кнопку «fx» («Вставить функцию») и кликаем по ней ЛКМ.

1

1. Должно открыться окно, где в строке «Категория:» останавливаемся на «Математические», а ниже выбираем функцию МОПРЕД. Соглашаемся с выполненными действиями кликнув по кнопке «ОК».
2. Далее в открывшемся окне заполняем координаты массива.

Совет! Заполнить адресацию можно одним из двух способов: вручную или кликнув кнопкой мыши в месте ввода информации о массиве и, определив выделением зоны место расположения квадратной матрицы, получить адрес массива автоматически.

1. После проверки введенных ручным или автоматическим образом данных жмите «ОК».

2

1. После всех проведенных манипуляций свободная ячейка должна отобразить определитель матрицы, значение которого понадобится для нахождения обратной матрицы. Как видно по скриншоту, после вычислений получилось число 338, а, следовательно, потому как определитель не равен 0, то обратная матрица существует.

3

Определяем значение обратной матрицы

Как только вычисление определителя закончено, можно переходить к определению обратной матрицы:

1. Выбираем место расположения верхнего элемента обратной матрицы, открываем окно «Вставка функции».
2. Выбираем категорию «Математические».
3. В расположившихся снизу функциях пролистываем список и останавливаем выбор на МОБР. Кликаем по кнопке «ОК».

4

1. Аналогично ранее выполняемым действиям при нахождении значений определителя вписываем координаты массива с квадратной матрицей.
2. Убеждаемся в правильности выполненных действий и жмем «ОК».
3. В выбранной верхней левой ячейке будущей обратной матрицы появится результат.
4. Для копирования формулы для нахождения значений в других ячейках используем свободное выделение. Для этого, зажав ЛКМ, растягиваем на всю область будущей обратной матрицы.

5

1. Жмем на клавиатуре кнопку F2 и переходим к набору комбинации «Ctrl+Shift+Enter». Готово!

6

Рекомендация эксперта! Для удобства выполнения действий по нахождению обратной матрицы в таблице Excel расположение массива с квадратной матрицей и выбранная область для ячеек с обратной матрицей должны располагаться на одном уровне по отношению к столбцам. Таким образом будет проще определить границы адресации второго массива. Пример указан на иллюстрации ниже.

7

Сферы использования расчетов с обратной матрицей

Экономика – это область, которая требует проведения постоянных и очень сложных расчетов. Для облегчения используется матричная система расчетов. Нахождение обратной матрицы – это быстрый способ обработки большого объема информации за максимально короткие сроки, конечный результат которого будет представлен в наиболее удобном для восприятия виде.

Другая область применения – это 3D моделирование изображений. Всевозможные программы имеют встроенные инструменты для проведения подобного рода расчетов, что в значительной степени облегчает работу конструкторам при производстве расчетов. Наиболее популярной программой среди 3D моделистов считается Компас-3D.

Существуют и другие сферы деятельности, где можно применить систему расчетов обратной матрицы, но все же основной программой для проведения матричных расчетов можно считать Excel.

Заключение

Нахождение обратной матрицы нельзя назвать такой же распространенной математической задачей, как вычитание, сложение или деление, но если появилась необходимость в ее решении, то все действия могут произведены в табличном процессоре Excel. Если человеческий фактор склонен допускать ошибки, то компьютерная программа выдаст 100% точный результат.

Обратная матрица в Excel

• Введение в обратную матрицу в Excel

Обратная матрица Excel (оглавление)

• Введение в обратную матрицу в Excel
• Примеры обратной матрицы в Excel

Введение в обратную матрицу в Excel

Матрица, для которой вы хотите вычислить обратное значение, должна быть квадратной матрицей. Это означает, что матрица должна иметь одинаковое количество строк и столбцов. Определитель для матрицы не должен быть нулевым. Если оно равно нулю, вы можете найти обратную матрицу. Теоретическая формула для вычисления обратной матрицы A выглядит следующим образом:

| | = Определитель матрицы А.

(прил. A) = присоединенный к матрице A.

Если мы поместим оба эти значения в приведенную выше формулу, мы сможем получить инверсию любой матрицы A. Иногда становится очень утомительно вычислять обратную матрицу. Математики будут рады узнать, есть ли какая-либо функция, которая может работать для них, и вычислить обратную матрицу для них.

Функция MINVERSE для вычисления обратной матрицы

Функция Excel MINVERSE позволяет пользователю вычислять инверсию любой квадратной матрицы, которая имеет ненулевой определитель. Обращенная матрица имеет размер, равный размеру исходной матрицы. Рассчитанная обратная матрица имеет такой же размер, как и исходная матрица.

Синтаксис:

Аргумент:

массив — это массив значений, представляющих матрицу.

В этой статье мы увидим, как вычислить обратную квадратную матрицу.

Примеры обратной матрицы в Excel

Давайте разберемся, как создать обратную матрицу в Excel, на нескольких примерах.

Вы можете скачать этот шаблон обратной матрицы Excel здесь — шаблон обратной матрицы Excel

Пример # 1 — Вычислить инверсию матрицы 2X2

Матрица 2X2 имеет две строки и два столбца. Предположим, у нас есть квадратная матрица 2X2, как показано на рисунке ниже.

Шаг 1: Определите диапазон из 4 ячеек (поскольку у нас есть матрица 2X2) в том же листе Excel, который будет содержать обратную матрицу A. Здесь я выбрал ячейки A1: C5 в качестве диапазона для обратной матрицы A.

Это диапазоны, в которых будет вычисляться обратная матрица А.

Шаг 2: В ячейке B4 начните вводить формулу для обратной матрицы = MINV . Вы увидите диапазон формул, связанных с ключевым словом. Дважды щелкните мышью, чтобы выбрать МИНВЕРС из них, чтобы можно было вычислить инверсию матрицы А. Обязательно выбрать все ячейки, в которых будет вычисляться ваша инверсия.

Шаг 3: Укажите аргумент массива для функции MINVERSE как B1: C2 и закройте скобки, чтобы завершить формулу. Обратите внимание, что массив, который мы предоставляем в качестве аргумента функции MINVERSE, состоит из ячеек, которые имеют значения для исходной матрицы A.

Шаг 4: Чтобы увидеть результат формулы каждый раз, когда нам нужно нажать клавишу Enter. Но в этом случае вам нужно нажать клавиши Ctrl + Shift + Enter, чтобы формула была преобразована в формулу массива, которая выглядит следующим образом (= MINVERSE (B1: C2)) и работает вместе со всеми ячейками, связанными с инверсией A.

Вы можете видеть по ячейкам B1: C2 матрица, обратная к исходной матрице A.

Мы также можем проверить, правильно ли перехвачено обратное, полученное через функцию MINVERSE, или нет. Способ проверить это — умножить матрицы A и A -1 . Умножение должно привести к единичной матрице.

Мы можем добиться умножения матриц с помощью функции MMULT в Excel. Это умножает матрицы. Смотрите вывод в массиве ячеек B1: C5.

Пример № 2 — Вычислить инверсию матрицы 4X4

Шаг 1: Введите матрицу 4X4 в ячейки A1: E4, как показано на скриншоте ниже. Это матрица, для которой нам нужно вычислить обратную матрицу.

Шаг 2: Выберите ячейки от A6 до E9. Это ячейки, в которых мы будем вычислять обратную матрицу 4X4 с именем A.

Шаг 3: Сохраняя все выбранные ячейки, в ячейке B6 начните вводить формулу для обратной матрицы как = MINV . В списке формул, связанных с ключевым словом, дважды щелкните мышью, чтобы выбрать MINVERSE.

Шаг 4: Используйте ссылку на массив B1: E4 в качестве аргумента массива для этой функции и закройте скобки, чтобы завершить формулу.

Шаг 5: Вместо того чтобы нажимать клавишу Enter, как обычно, одновременно нажмите клавиши Ctrl + Shift + Enter, чтобы вычислить обратные значения для всех ячеек в B1: E4. Если вы этого не сделаете, формула не будет преобразована в формулу массива и будет применена только к текущей ячейке, и если вы попытаетесь перетащить ее для других ячеек, это приведет к ошибке.

Вот как мы можем вычислить обратную матрицу в Excel, используя функцию MINVERSE. Мы также можем проверить с помощью функции MMLUT, правильно ли вычислено обратное или нет.

Выберите диапазоны от B1 до E9, где мы можем проверить, является ли умножение этих двух матриц одинаковой или нет.

Это идет как идентичная матрица. Поэтому мы можем сказать, что обратное, которое мы захватили, правильно захвачено. Это из этой статьи. Давайте завернем вещи с некоторыми пунктами, которые будут помнить.

То, что нужно запомнить

• Если в данной матрице есть пустая ячейка или нечисловое значение, MINVERSE выдаст вам #VALUE! ошибка.
• В полученной матрице, если вы выберете несколько дополнительных ячеек, вы получите # N / A error.
• Если данная матрица является особой матрицей (для которой не существует обратной), вы получите #NUM! ошибка.
• Рекомендуется использовать MINVERSE в качестве формулы массива. В противном случае вы можете получить странные результаты по всем клеткам. Например, получение ошибок значений при перетаскивании формулы по строкам.
• Если вы не хотите, чтобы она использовалась в качестве формулы массива, вам нужно ввести одну и ту же формулу во все ячейки, чтобы получить результат.

Рекомендуемые статьи

Это руководство по обратной матрице в Excel. Здесь мы обсуждаем Как создать Обратную Матрицу в Excel вместе с практическими примерами и загружаемым шаблоном Excel. Вы также можете просмотреть наши другие предлагаемые статьи —

1. Как использовать Excel IF и функцию?
2. Примеры контрольного списка в Excel
3. Вставка символа Delta в Excel
4. Введение в модель данных в Excel

Нахождение обратной матрицы в Excel

Excel обладает мощным инструментарием, позволяющим выполнять множество математических, статистических, логических и прочих задач. В программе также можно выполнить такое действие, как нахождение обратной матрицы. Ниже мы на практическом примере рассмотрим, как именно это сделать.

Примечание: Найти обратную матрицу можно только при условии, что исходная является квадратной (количество столбцов и строк одинаковое). К тому же, ее определитель не должен равняться цифре 0.

Этап 1. Вычисляем определитель

В программе данное действие выполняется с помощью функции МОПРЕД.

1. Переходим в свободную ячейку, в которой планируем производить расчеты, после чего кликаем по кнопке “Вставить функцию” (fx) слева от строки формул.

В открывшемся окне вставки функций выбираем категорию “Математические”, в которой кликаем по оператору “МОПРЕД”, затем – по кнопке OK.

В следующем окне нужно заполнить единственный аргумент функции – “Массив”, в значении которого указываем координаты нашей матрицы. Сделать это можно вручную, прописав адреса ячеек, используя клавиши клавиатуры. Либо можно сначала кликнуть внутри области ввода информации, затем зажав левую кнопку мыши выделить диапазон ячеек непосредственно в самой таблице. Когда все готово, нажимаем кнопку OK.

В выбранной ячейке отобразился результат, а именно, определитель матрицы. С учетом наших данных получилось число 157894, что значит, что у нашей матрицы обратная матрица существует, так как определитель не равен нулю.

Этап 2. Находим обратную матрицу

Итак, после того, как мы вычислили, что определитель матрицы не равен нулю, можно приступить к нахождению обратной.

1. Встаем в ячейку, которая станет самым верхним левым элементом новой обратной матрицы. Заходим в окно Вставки функции, нажав на соответствующую кнопку.
2. В категории “Математические” выбираем функцию “МОБР”, после чего щелкаем по кнопке OK.
3. Аналогично заполнению значения аргумента “Массив” для функции МОПРЕД, рассмотренной в первом разделе, указываем координаты первичной матрицы, после чего нажимаем OK.

Получаем требуемый результат в выбранной ячейке.

Чтобы скопировать функцию в другие ячейки, выделяем область, которая совпадает по количеству столбцов и строк с начальной матрицей. Затем нажимаем клавишу F2 на клавиатуре, после чего жмем комбинацию Ctrl+Shift+Enter.

Все готово. В результате выполненных действий нам удалось найти обратную матрицу.

Заключение

Нахождение обратной матрицы – не такая распространенная математическая задача, как, например, сложение, вычитание, умножение, деление, расчеты с процентами и т.д. Но, если все же возникнет такая потребность, вовсе необязательно делать это вручную на листке бумаги, ведь Эксель позволяет быстро и безошибочно справиться с этой задачей.

Как сделать проверку обратной матрицы в excel?

Приложение Excel выполняет целый ряд вычислений, связанных с матричными данными. Программа обрабатывает их, как диапазон ячеек, применяя к ним формулы массива. Одно из таких действий – это нахождение обратной матрицы. Давайте выясним, что представляет собой алгоритм данной процедуры.

Выполнение расчетов

Вычисление обратной матрицы в Excel возможно только в том случае, если первичная матрица является квадратной, то есть количество строк и столбцов в ней совпадает. Кроме того, её определитель не должен быть равен нулю. Для вычисления применяется функция массива МОБР. Давайте на простейшем примере рассмотрим подобное вычисление.

Расчет определителя

Прежде всего, вычислим определитель, чтобы понять, имеет первичный диапазон обратную матрицу или нет. Это значение рассчитывается при помощи функции МОПРЕД.

1. Выделяем любую пустую ячейку на листе, куда будут выводиться результаты вычислений. Жмем на кнопку «Вставить функцию», размещенную около строки формул.
2. Запускается Мастер функций. В перечне записей, который он представляет, ищем «МОПРЕД», выделяем этот элемент и жмем на кнопку «OK».
3. Открывается окно аргументов. Ставим курсор в поле «Массив». Выделяем весь диапазон ячеек, в котором расположена матрица. После того, как его адрес появился в поле, жмем на кнопку «OK».
4. Программа производит расчет определителя. Как видим, для нашего конкретного случая он равен – 59, то есть не тождественен нулю. Это позволяет сказать, что у данной матрицы существует обратная.

Расчет обратной матрицы

Теперь можно преступить к непосредственному расчету обратной матрицы.

1. Выделяем ячейку, которая должна стать верхней левой ячейкой обратной матрицы. Переходим в Мастер функций, кликнув по значку слева от строки формул.
2. В открывшемся списке выбираем функцию МОБР. Жмем на кнопку «OK».
3. В поле «Массив», открывшегося окна аргументов функции, устанавливаем курсор. Выделяем весь первичный диапазон. После появления его адреса в поле, жмем на кнопку «OK».
4. Как видим, появилось значение только в одной ячейке, в которой была формула. Но нам нужна полноценная обратная функция, поэтому следует скопировать формулу в другие ячейки. Выделяем диапазон, равнозначный по горизонтали и вертикали исходному массиву данных. Жмем на функциональную клавишу F2, а затем набираем комбинацию Ctrl+Shift+Enter. Именно последняя комбинация предназначена для обработки массивов.
5. Как видим, после этих действий обратная матрица вычислена в выделенных ячейках.

На этом расчет можно считать завершенным.

Если вы производите расчет определителя и обратной матрицы только при помощи ручки и бумаги, то над этим вычислением, в случае работы над сложным примером, можно ломать голову очень долго. Но, как видим, в программе Эксель данные вычисления производятся очень быстро, независимо от сложности поставленной задачи. Для человека, который знаком с алгоритмом подобных расчетов в этом приложении, все вычисление сводится к чисто механическим действиям.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.

Задайте свой вопрос в комментариях, подробно расписав суть проблемы. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?

8 июня 2013 Автор: Бакытжан

Нахождение обратной матрицы всегда вызывало большие затруднения у учащихся, так как это был очень трудоемкий процесс. И вот такое задание вполне по силам EXCEL.

Прежде всего, уясним одно правило: Матрица имеет обратную только тогда, когда ее определитель не равен нулю. А вот и задание: найдите матрицу, обратную к матрице А, где

Вычислять определитель этой матрицы мы умеем. Я его уже вычислил.

Он оказался равен -4, а это значит, что у нашей матрицы есть обратная (если бы определитель оказался равен нулю, то мы сказали бы что матрица не имеет обратную и немедленно прекратили все вычисления). Теперь отметим ячейку, с которой начнем записывать ответ. Я отметил ячейку E1. Нажимаем Формулы, затем Математические и в появившемся окне находим МОБР

После нажатия появляется вот такое окно, в котором надо вписать адреса ячеек, в которых находятся элементы матрицы в Массив

У нас элементы записаны в ячейки начиная с А1 и заканчивая в С3 , поэтому так и записываем (смотрите картинку)

Если все сделали правильно, то автоматически заполнится место, обведенное красным и запишется ответ, который обведен черным. В таком виде ответ трудно переваривать и поэтому нажимаем ОК. В ячейке, которую мы застолбили под ответ, появилось число 3, Это только первый элемент полученной обратной матрицы.

Чтобы виден был весь ответ, выполняем следующие действия: Начиная с ячейки Е1 выделяем три строчки и три столбца (именно столько было у исходной матрицы и столько же будет у обратной)

нажимаем клавишу F2, а затем на одновременно на три клавиши Ctrl+Shift+Enter.

В выделенном месте появляются, теперь уже все, элементы обратной матрицы. Если Вы сохраните этот документ, то в следующий раз можете воспользоваться плодами своего труда. Так, меняя элементы исходной матрицы, Вы автоматически получаете для нее же обратную матрицу.

На этом все. Крепких вам знаний.

Рубрика: EXCEL в помощь, Статьи.
Метки: EXCEL, ИКТ, матрица, обратная матрица

Навигация по записям

Как вычислить определитель при помощи MS EXCEL

В программе Excel с матрицей можно работать как с диапазоном. То есть совокупностью смежных ячеек, занимающих прямоугольную область.

Адрес матрицы – левая верхняя и правая нижняя ячейка диапазона, указанные черед двоеточие.

Формулы массива

Построение матрицы средствами Excel в большинстве случаев требует использование формулы массива. Основное их отличие – результатом становится не одно значение, а массив данных (диапазон чисел).

Порядок применения формулы массива:

1. Выделить диапазон, где должен появиться результат действия формулы.
2. Ввести формулу (как и положено, со знака «=»).
3. Нажать сочетание кнопок Ctrl + Shift + Ввод.

В строке формул отобразится формула массива в фигурных скобках.

Чтобы изменить или удалить формулу массива, нужно выделить весь диапазон и выполнить соответствующие действия. Для введения изменений применяется та же комбинация (Ctrl + Shift + Enter). Часть массива изменить невозможно.

Решение матриц в Excel

С матрицами в Excel выполняются такие операции, как: транспонирование, сложение, умножение на число / матрицу; нахождение обратной матрицы и ее определителя.

Транспонирование

Транспонировать матрицу – поменять строки и столбцы местами.

Сначала отметим пустой диапазон, куда будем транспонировать матрицу. В исходной матрице 4 строки – в диапазоне для транспонирования должно быть 4 столбца. 5 колонок – это пять строк в пустой области.

• 1 способ. Выделить исходную матрицу. Нажать «копировать». Выделить пустой диапазон. «Развернуть» клавишу «Вставить». Открыть меню «Специальной вставки». Отметить операцию «Транспонировать». Закрыть диалоговое окно нажатием кнопки ОК.
• 2 способ. Выделить ячейку в левом верхнем углу пустого диапазона. Вызвать «Мастер функций». Функция ТРАНСП. Аргумент – диапазон с исходной матрицей.

Нажимаем ОК. Пока функция выдает ошибку. Выделяем весь диапазон, куда нужно транспонировать матрицу. Нажимаем кнопку F2 (переходим в режим редактирования формулы). Нажимаем сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Преимущество второго способа: при внесении изменений в исходную матрицу автоматически меняется транспонированная матрица.

Сложение

Складывать можно матрицы с одинаковым количеством элементов. Число строк и столбцов первого диапазона должно равняться числу строк и столбцов второго диапазона.

В первой ячейке результирующей матрицы нужно ввести формулу вида: = первый элемент первой матрицы + первый элемент второй: (=B2+H2). Нажать Enter и растянуть формулу на весь диапазон.

Умножение матриц в Excel

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число. Формула в Excel: =A1*$E$3 (ссылка на ячейку с числом должна быть абсолютной).

Умножим матрицу на матрицу разных диапазонов. Найти произведение матриц можно только в том случае, если число столбцов первой матрицы равняется числу строк второй.

В результирующей матрице количество строк равняется числу строк первой матрицы, а количество колонок – числу столбцов второй.

Для удобства выделяем диапазон, куда будут помещены результаты умножения. Делаем активной первую ячейку результирующего поля. Вводим формулу: =МУМНОЖ(A9:C13;E9:H11). Вводим как формулу массива.

Обратная матрица в Excel

Ее имеет смысл находить, если мы имеем дело с квадратной матрицей (количество строк и столбцов одинаковое).

Размерность обратной матрицы соответствует размеру исходной. Функция Excel – МОБР.

Выделяем первую ячейку пока пустого диапазона для обратной матрицы. Вводим формулу «=МОБР(A1:D4)» как функцию массива. Единственный аргумент – диапазон с исходной матрицей. Мы получили обратную матрицу в Excel:

Нахождение определителя матрицы

Это одно единственное число, которое находится для квадратной матрицы. Используемая функция – МОПРЕД.

Ставим курсор в любой ячейке открытого листа. Вводим формулу: =МОПРЕД(A1:D4).

Таким образом, мы произвели действия с матрицами с помощью встроенных возможностей Excel.

Подробно рассмотрим особенности вычисления обратной матрицы в Excel и примеры использования функции МОБР.

В первую очередь освежим в памяти, что обратная матрица — это матрица (записывается как A-1), при умножении которой на исходную матрицу (A) дает единичную матрицу (E), другими словами выполняется формула:

Из определения следует важное свойство, что обратная матрица определена только для квадратных (т.е. число строк и столбцов совпадает) и невырожденных матриц (т.е. определитель отличен от нуля).

Как найти обратную матрицу в Excel?

В отличие от транспонированной матрицы, вычислить обратную матрицу технически несколько сложнее.
Посчитать обратную матрицу можно через построение матриц алгебраических дополнений и определителя исходной матрицы.
Однако сложность вычисления по данному алгоритму имеет квадратичную зависимость от порядка матрицы.
К примеру, для обращения квадратной матрицы 3-го порядка нам необходимо будет дополнительно сделать 9 матриц алгебраических дополнений, транспонировать итоговую созданную матрицу и поэлементно разделить на определитель начальной матрицы, что затрудняет возможность подобного расчета в Excel.
Поэтому воспользуемся стандартной функцией МОБР, которая позволит найти обратную матрицу:

Функция МОБР

Синтаксис и описание функции МОБР в Excel:

МОБР(массив)
Возвращает обратную матрицу (матрица хранится в массиве).

• Массив (обязательный аргумент) — числовой массив, содержащий матрицу с одинаковым числом столбцов и строк.

Рассмотрим расчет обратной матрицы посредством функции МОБР на конкретном примере.
Предположим у нас имеется следующая квадратная матрица 3-го порядка:

Выделяем диапазон пустых ячеек E2:G4, куда мы в дальнейшем поместим обратную матрицу.
Не снимая выделения ячеек вводим формулу =МОБР(A2:C4) и нажимаем комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Ввод для расчета формулы массива по данному диапазону:

При работе с функцией МОБР могут возникнуть следующие ошибки:

• В том случае, когда исходная матрица является вырожденной (определитель равен нулю), то функция вернет ошибку #ЧИСЛО!;
• Если число строк и столбцов в матрице не совпадает, то функция возвратит ошибку #ЗНАЧ!;
• Функция также вернет ошибку #ЗНАЧ!, если хотя бы один из элементов матрицы является пустым или записан в текстовом виде.

Практическая работа 4. Определитель. Обратная матрица.

Вычисление определителя с помощью Excel

В Excel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД. Функция имеет вид
МОПРЕД(массив).
Здесь массив – это числовой массив, в котором хранится квадратная матрица. При этом массив может быть задан как интервал ячеек, например, A1:C3, или как массив констант, например, {1;2;3: 4;5;6: 7;8;9}.

Нахождение обратной матрицы с помощью Excel

В Excel для нахождения обратной матрицы используется функция МОБР, которая вычисляет обратную матрицу для матрицы, хранящейся в таблице в виде массива.
Функция имеет вид
МОБР(массив).
Здесь массив – это числовой массив, в котором хранится квадратная матрица. При этом массив может быть задан как интервал ячеек, например, A1:C3, или как массив констант, например, {1;2;3: 4;5;6: 7;8;9}.

Уровень 1

Задание 1. Найти определитель матрицы .

Ход решения:

1. Введите матрицу (рис.1)

Рисунок 1. Матрица А

1. Курсор поставьте в ячейку, в которой необходимо получить значение определителя, например в A4.
2. Вызовите Мастер функции и в категории «Полный алфавитный перечень» найдите функцию МОПРЕД. После этого щелкните ОК.
3. В появившемся окне укажите диапазон (A1:C3), в котором находится матрица, и нажмите ОК.
4. В результате в ячейке появится значение определителя матрицы = 6.

Задание 2. Пусть дана матрица А в диапазоне A1:C3. Необходимо получить обратную матрицу.
.
Ход решения:

1. Выделите блок ячеек A5:C7 (здесь будет обратная матрица).
2. Вызовите Мастер функций и в категории «Полный алфавитный перечень» найдите функцию МОБР. После этого щелкните ОК.
3. В появившемся окне укажите диапазон A1:C3 (исходная матрица) и нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.
4. В результате в диапазоне A5:C7 появится обратная матрица (рис.1):

Рисунок 1

Уровень 2

Задание 3:  вычислить с помощью Excel определитель матрицы В.

Задание 4:  вычислить с помощью Excel определитель из семестрового задания по своему варианту.

Уровень 3

Задание 5. Найдите матрицы, обратные матрицам А, B, C.



Вопросы преподавателя по пройденной теме.

Составитель: Салий Н.А.

Умножение и деление матрицы на число в Excel

Способ 1

Рассмотрим матрицу А размерностью 3х4. Умножим эту матрицу на число k. При умножении матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, при этом каждый элемент матрицы А умножается на число k.

Введем элементы матрицы в диапазон В3:Е5, а число k — в ячейку Н4. В диапазоне К3:N5 вычислим матрицу В, полученную при умножении матрицы А на число k: В=А*k. Для этого введем формулу =B3*$H$4 в ячейку K3, где В3 — элемент а₁₁ матрицы А.

Примечание: адрес ячейки H4 вводим как абсолютную ссылку, чтобы при копировании формулы ссылка не менялась.

С помощью маркера автозаполнения копируем формулу ячейки К3 вниз и вправо на весь диапазон матрицы В.

Таким образом, мы умножили матрицу А в Excel и получим матрицу В.

Для деления матрицы А на число k в ячейку K3 введем формулу =B3/$H$4 и скопируем её на весь диапазон матрицы В.

Способ 2

Этот способ отличается тем, что результат умножения/деления матрицы на число сам является массивом. В этом случае нельзя удалить элемент массива.

Для деления матрицы на число этим способом выделяем диапазон, в котором будет вычислен результат, вводим знак «=», выделяем диапазон, содержащий исходную матрицу А, нажимаем на клавиатуре знак умножить (*) и выделяем ячейку с числом k. После ввода формулы нажимаем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter, чтобы значениями заполнился весь диапазон.

 

Для выполнения деления в данном примере в диапазон вводим формулу =B3:E5/H4, т.е. знак «*» меняем на «/».

Сложение и вычитание матриц в Excel

Способ 1

Следует отметить, что складывать и вычитать можно матрицы одинаковой размерности (одинаковое количество строк и столбцов у каждой из матриц). Причем каждый элемент результирующей матрицы С будет равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е. с_ij = а_ij + b_ij.

Рассмотрим матрицы А и В размерностью 3х4. Вычислим сумму этих матриц. Для этого в ячейку N3 введем формулу =B3+H3, где B3 и H3 – первые элементы матриц А и В соответственно. При этом формула содержит относительные ссылки (В3 и H3), чтобы при копировании формулы на весь диапазон матрицы С они могли измениться.

С помощью маркера автозаполнения скопируем формулу из ячейки N3 вниз и вправо на весь диапазон матрицы С.

Для вычитания матрицы В из матрицы А (С=А — В) в ячейку N3 введем формулу =B3 — H3 и скопируем её на весь диапазон матрицы С.

Способ 2

Этот способ отличается тем, что результат сложения/вычитания матриц сам является массивом. В этом случае нельзя удалить элемент массива.

Для деления матрицы на число этим способом выделяем диапазон, в котором будет вычислен результат, вводим знак «=», выделяем диапазон, содержащий первую матрицу А, нажимаем на клавиатуре знак сложения (+) и выделяем вторую матрицу В. После ввода формулы нажимаем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter, чтобы значениями заполнился весь диапазон.

Умножение матриц в Excel

Следует отметить, что умножать матрицы можно только в том случае, если количество столбцов первой матрицы А равно количеству строк второй матрицы В.

Рассмотрим матрицы А размерностью 3х4 и В размерностью 4х2. При умножении этих матриц получится матрица С размерностью 3х2.

Вычислим произведение этих матриц С=А*В с помощью встроенной функции =МУМНОЖ(). Для этого выделим диапазон L3:M5 — в нём будут располагаться элементы матрицы С, полученной в результате умножения. На вкладке Формулы выберем Вставить функцию.

В диалоговом окне Вставка функции выберем Категория Математические — функция МУМНОЖ — ОК.

В диалоговом окне Аргументы функции выберем диапазоны, содержащие матрицы А и В. Для этого напротив массива1 щёлкнем по красной стрелке.

Выделим диапазон, содержащий элементы матрицы А (имя диапазона появится в строке аргументов), и щелкнем по красной стрелке.

Для массива2 выполним те же действия. Щёлкнем по стрелке напротив массива2.

Выделим диапазон, содержащий элементы матрицы В, и щелкнем по красной стрелке.

В диалоговом окне рядом со строками ввода диапазонов матриц появятся элементы матриц, а внизу — элементы матрицы С. После ввода значений нажимаем на клавиатуре сочетание клавиш Shift+Ctrl и щелкаем левой кнопкой мыши по кнопке ОК.

ВАЖНО. Если просто нажать ОК, то программа вычислит значение только первой ячейки диапазона матрицы С.

Мы получим результат умножения матриц А и В.

Мы можем изменить значения ячеек матриц А и В, значения матрицы С поменяются автоматически.

Транспонирование матрицы в Excel

Транспонирование матрицы — операция над матрицей, при которой столбцы заменяются строками с соответствующими номерами. Обозначим транспонированную матрицу А^Т.

Пусть дана матрица А размерностью 3х4, с помощью функции =ТРАНСП() вычислим транспонированную матрицу А^Т, причем размерность этой матрицы будет 4х3.

Выделим диапазон Н3:J6, в который будут введены значения транспонированной матрицы.

На вкладке Формулы выберем Вставить функцию, выберем категорию Ссылки и массивы — функция ТРАНСП — ОК.

В диалоговом окне Аргументы функции указываем диапазон массива В3:Е5, содержащего элементы матрицы А. Нажимаем на клавиатуре сочетание клавиш Shift+Ctrl и щелкаем левой кнопкой мыши по кнопке ОК.

ВАЖНО. Если просто нажать ОК, то программа вычислит значение только первой ячейки диапазона матрицы А^Т.

Нажмите для увеличения

Мы получили транспонированную матрицу.

Нахождение обратной матрицы в Excel

Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если АžА^-1=А^-1žА=Е, где Е — единичная матрица. Следует отметить, что обратную матрицу можно найти только для квадратной матрицы (одинаковое количество строк и столбцов).

Пусть дана матрица А размерностью 3х3, найдем для неё обратную матрицу с помощью функции =МОБР().

Для этого выделим диапазон G3:I5, который будет содержать элементы обратной матрицы, на вкладке Формулы выберем Вставить функцию.

В диалоговом окне Вставка функции выберем категорию Математические — функция МОБР — ОК.

В диалоговом окне Аргументы функции указываем диапазон массива В3:D5, содержащего элементы матрицы А. Нажимаем на клавиатуре сочетание клавиш Shift+Ctrl и щелкаем левой кнопкой мыши по кнопке ОК.

ВАЖНО. Если просто нажать ОК, то программа вычислит значение только первой ячейки диапазона матрицы А^-1.

Нажмите для увеличения

Мы получили обратную матрицу.

Нахождение определителя матрицы в Excel

Определитель матрицы — это число, которое является важной характеристикой квадратной матрицы.

Как найти определить матрицы в Excel

Пусть дана матрица А размерностью 3х3, вычислим для неё определитель с помощью функции =МОПРЕД().

Для этого выделим ячейку Н4, в ней будет вычислен определитель матрицы, на вкладке Формулы выберем Вставить функцию.

В диалоговом окне Вставка функции выберем категорию Математические — функция МОПРЕД — ОК.

В диалоговом окне Аргументы функции указываем диапазон массива В3:D5, содержащего элементы матрицы А. Нажимаем ОК.

Нажмите для увеличения

Мы вычислили определитель матрицы А.

В заключение обратим внимание на важный момент. Он касается тех операций над матрицами, для которых мы использовали встроенные в программу функции, а в результате получали новую матрицу (умножение матриц, нахождение обратной и транспонированной матриц). В матрице, которая получилась в результате операции, нельзя удалить часть элементов. Т.е. если мы выделим, например, один элемент матрицы и нажмём Del, то программа выдаст предупреждение: Нельзя изменять часть массива.

Нажмите для увеличения

Мы можем удалить только все элементы этой матрицы.

Видеоурок

Кратко об авторе:

Шамарина Татьяна Николаевна — учитель физики, информатики и ИКТ, МКОУ «СОШ», с. Саволенка Юхновского района Калужской области. Автор и преподаватель дистанционных курсов по основам компьютерной грамотности, офисным программам. Автор статей, видеоуроков и разработок.

---