Воскобойников эконометрика в excel часть 1

• Файлы

• Академическая и специальная литература

• Финансово-экономические дисциплины

• Эконометрика

• Файл формата
  zip
• размером 2,98 МБ
• содержит документ формата
  doc

• Добавлен пользователем teodoriks, дата добавления неизвестна
• Описание отредактировано 26.05.2011 03:12

3
Э К О Н О М Е Т Р И К А В E X C E L
Часть 2
Анализ временных рядов
Ю.Е.
В
ОСКОБОЙНИКОВ
4
НОВОСИБИРСК 2008

5
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ (СИБСТРИН)
Ю.Е. Воскобойников
Э К О Н О М Е Т Р И К А В E X C E L
Часть 2
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
У
ЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
НОВОСИБИРСК 2008 6
УДК 330.43(075.8)
ББК 65.в6.я73
В762
Воскобойников Ю. Е.
Эконометрика в Excel : учеб. пособие. Ч. 2. Анализ временных ря- дов / Ю. Е. Воскобойников ; Новосиб. гос. архитектур.-строит. ун-т.
– Новосибирск : НГАСУ (Сибстрин), 2008. – 152 с.
ISBN 978-5-7795-0366-2
Учебное пособие содержит основные теоретические положения, необхо- димые для решения задач анализа временных рядов. Приводятся необходимые расчетные соотношения. Большое внимание уделяется реализации этих соотно- шений в табличном процессоре Excel. Пособие содержит большое количество примеров и копий фрагментов документов Excel, которые позволят студентам не только лучше понять и усвоить учебный материал, но и эффективно использо- вать Excel при выполнении дипломной и курсовых работ.
Учебное пособие рекомендуется студентам экономических специальностей вузов, а также будет полезно аспирантам и преподавателям по прикладной эко- номике и финансам.
Печатается по решению издательско-библиотечного совета НГАСУ (Сибстрин)
Рецензенты:
⎯
В.З. Баликоев, д-р экон. наук, профессор, директор Института экономики и менеджмента
НГАСУ (Сибстрин);
⎯
А.С. Овсянников, д-р экон. наук, профессор, завкафедрой экономики труда и хозяйственной деятельности НГАВТ
ISBN 978-5-7795-0366-2
©
Воскобойников Ю.Е., 2008
©
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет
(Сибстрин), 2008

7
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………. 9
ГЛАВА 1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ…………………………………………… 12
1.1. Временной ряд и его модели…………………………………… 12 1.2. Числовые характеристики временного ряда…………….. 16 1.3. Проверка статистических гипотез о свойствах временного ряда………………………………….. 23
ГЛАВА 2. ВЫДЕЛЕНИЕ НЕСЛУЧАЙНОЙ
СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА……….. 39
2.1. Выделение трендовой составляющей временного ряда ………………………………………………………………………. 39 2.2. Выделение трендовой составляющей с помощью табличного процессора Excel ……………….. 56 2.3. Выделение тригонометрической составляющей временного ряда…………………………………………………….. 71 2.4. Проверка адекватности и качества построенной модели временного ряда…………………………………………………….. 85 2.5. Прогнозирование трендовой составляющей временного ряда…………………………………………………….. 90
ГЛАВА 3. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ С КОРРЕЛИРОВАННЫМИ
ВОЗМУЩЕНИЯМИ. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ…………………………. 104
3.1. Временные ряды с коррелированными возмущениями……………………………………………………… 104 3.2. Обобщенный метод наименьших квадратов ………….. 113 3.3. Выделения тренда временного ряда на основе обобщенного метода наименьших квадратов …………………………………………………………….. 116 8
ГЛАВА 4. АВТОРЕГРЕССИОНЫЕ МОДЕЛИ
ВРЕМЕННОГО РЯДА ……………………………………….. 127
4.1. Определение авторегрессионной модели ………………. 127 4.2. Оценивание коэффициентов авторегрессионной модели…………………………………………………………………. 129 4.3. Оценивание коэффициентов авторегрессионной модели стационарного временного ряда ……………….. 135 4.4. Тест на наличие автокорреляции …………………………… 143 4.5. Определение порядка авторегрессионной модели временного ряда…………………………………………………… 146
ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………………. 154
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………………………….. 155

9
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время специалисты, обладающие знаниями и на- выками проведения прикладного экономического анализа с ис- пользованием современных математических и программных средств, пользуются спросом на рынке труда. Одной из централь- ных дисциплин в подготовке таких специалистов является «Эко- нометрика». Дословный перевод этого слова означает экономиче-
ские измерения, но определение дисциплины «Эконометрика» го- раздо шире этого перевода. Ниже приводятся два определения из- вестных ученых, позволяющие получить представления о различ- ном толковании эконометрики.
Эконометрика – это раздел экономики, занимающийся раз-
работкой и применением статистических методов для измере-
ний
взаимосвязей
между
экономическими
переменными
(С. Фишер).
Эконометрика – это самостоятельная научная дисциплина,
объединяющая совокупность теоретических результатов, прие-
мов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе
– экономической теории;
– экономической статистики;
– математико-статистического инструментария
придать конкретное количественное выражение общим качест-
венным закономерностям, обусловленным экономической теори-
ей (С.А. Айвазян).
Из этих определений можно сформулировать основную
цель эконометрики – модельное описание конкретных количест-
венных взаимосвязей, обусловленных общими качественными за-
кономерностями, изучаемыми в экономической теории.
Составленное модельное описание называется эконометри-
ческой моделью. В учебном пособии [5] было подробно рассмот- рено построение регрессионных эконометрических моделей в Ex- cel. В данном учебном пособии рассматривается построение эко- нометрических моделей для временных рядов (анализ временных рядов). Областями применения таких моделей являются:
10
• прогноз экономических и социально-экономических пока- зателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы;
• имитация различных возможных сценариев социально- экономического развития анализируемой системы.
В качестве анализируемой системы могут выступать страна в целом, регионы, отрасли и корпорации, а также предприятия и фирмы.
Построение эконометрических моделей временных рядов обусловливает (особенно при большом объеме исходных данных) существенный объем вычислений. На этом этапе многие исследо- ватели сталкиваются с проблемами численной реализации необ- ходимого вычислительного алгоритма и графической интерпре- тации результатов решения. Этим вопросам в учебной литературе уделяется крайне мало внимания, что затрудняет использование современных алгоритмов решения задач анализа временных ря- дов на практике.
Поэтому основной целью данного пособия является изложе-
ние численных методик решения основных задач анализа времен-
ных рядов в вычислительной среде табличного процессора
Excel 2003.
Для каждой из рассматриваемых задач анализа временных рядов эконометрики приводятся необходимый теоретический ма- териал, математическая запись алгоритма решения (т.е. формулы или расчетные соотношения), а затем даются фрагменты доку- ментов Excel 2003, реализующих алгоритмы решения задачи.
При этом алгоритм решения может быть реализован путем программирования арифметических или логических выражений в ячейках электронной таблицы или путем обращения к стандарт-
ным функциям или модулям Excel 2003. Поэтому предполагается, что читатель знаком с адресацией ячеек (относительной, абсо- лютной и смешанной), арифметическими операциями и програм- мированием простейших выражений в ячейках Excel.
Данное учебное пособие, хотя и содержит необходимый тео- ретический материал, но не заменяет учебник по эконометрике, а
является своеобразным справочником по численному решению за-

11
дач эконометрики в Excel 2003. Учебное пособие можно также рассматривать как дополнение к основному учебнику по эконо- метрике, которое будет полезным при выполнении курсовых и дипломных работ, а также при самостоятельном решении практи- ческих задач эконометрики.
Кроме решения задач учебное пособие содержит набор лабо- раторных и контрольных работ по каждой теме, ориентированных на заочную и дистанционную формы обучения.
Предполагается, что читатель знаком с основными понятия- ми теории вероятностей и математической статистики. При необ- ходимости он может обратиться к литературе [1–4]. Кроме этого, он знаком с основными методами, используемыми при построе- нии и проверке регрессионных моделей [5–12].
Структура и содержание учебного пособия и рассматривае- мых задач соответствуют требованиям государственного образо- вательного стандарта высшего профессионального образования для специальностей направления «Экономика и менеджмент».
12
ГЛАВА 1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.1. Временной ряд и его модели
Широкий круг социально-экономических, технических и ес- тественно-научных процессов часто представляются набором упорядоченных во времени случайных величин
( ) ( )
( )
1 2
,
,…,
n
Y
Y
Y
τ
τ
τ
, где
1
i
i
τ τ
+
<
. Такая последовательность ве- личин называется временным рядом или дискретным временным процессом. Набор наблюдений
{ }
i
y ,
1,2,…,
i
n
=
над случайной величинами
( )
{
}
i
Y
τ
в моменты времени
1 2
, ,…,
n
τ τ
τ
называется
временной выборкой
. Заметим, что иногда в литературе понятие
временного ряда
подменяется понятием временной выборки.
Принципиальная разница между этими двумя понятиями заклю- чается в том, что временной ряд это набор случайных величин, а временная выборка – набор измеренных значений, которые явля- ются конкретной реализацией случайных величин
( )
{
}
i
Y
τ
в
n экспериментах и по этой причине значения
( )
i
i
y
Y
τ
=
, 1,2,…,
i
n
=
временной выборки уже не являются случайными величинами.
Замечание 1.1.1.
Временной ряд
( )
{
}
i
Y
τ
можно интерпрети- ровать как наблюдения над непрерывным случайным процессом
(случайной функцией)
( )
Y
τ
в моменты времени
i
τ τ
= . Поэтому в дальнейшем наряду с временным рядом
( )
{
}
i
Y
τ
будет рас- сматриваться и непрерывный случайный процесс
( )
Y
τ
♦
Изменения величины
( )
i
Y
τ
во времени в реальной жизни обычно происходят под воздействием многочисленных причин, факторов. Поэтому в отношении временного ряда выдвигается предположение, что совокупное влияние этих факторов формиру- ет некоторую закономерность в развитии временного ряда, что дает основание применить для описания динамики
( )
i
Y
τ
эконо- метрическую модель из класса моделей временных рядов.

13
Модели временных рядов активно применяются в исследова- ниях значительного числа реальных процессов различной приро- ды. Например, в исследованиях динамики пассажиропотоков, складских запасов, спроса на различные виды продукции, финан- совых рынков, в анализе динамики финансовых показателей, про- гнозировании цен на различные товары и т.д.
Одним из основных классов эконометрических моделей вре- менных рядов является класс аддитивных моделей вида
( )
( ) ( )
i
i
i
Y
q
τ
τ
ε τ
=
+
, 1,2,…,
i
n
=
,
(1.1.1) где неслучайная (детерминированная) составляющая
( )
i
q
τ
может включать одну или несколько из следующих компонент: трендо- вую
( )
i
t
τ
, сезонную
( )
i
s
τ
и периодическую
( )
i
p
τ
. Часто компо- ненты
( )
i
s
τ
,
( )
i
p
τ
называют тригонометрическими состав-
ляющими
временного ряда.
Тренд
, или тенденция
( )
i
t
τ
, представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течение длительного периода времени. Обычно тренд (тенденция) описывается с помощью той или иной неслучайной функции
( )
t
τ
(аргументом которой явля- ется время), как правило, достаточно «гладкой» (часто монотон- ной).
Сезонная компонента
( )
i
s
τ
связана с наличием факторов, действующих с заранее известной периодичностью. Это регуляр- ные колебания, которые носят периодический или близкий к нему характер и заканчиваются в течение года. Типичные примеры се- зонного эффекта: изменение загруженности автотрассы по време- нам года, пик продаж товаров для школьников в конце августа – начале сентября. Спрос на пластические операции сезонный: в осенне-зимний период обращений больше. Типичным примером являются сильные колебания объема товарно-материальных запа- сов в сезонных отраслях. Сезонная компонента со временем мо- жет меняться, либо иметь плавающий характер.
Периодическая (циклическая) компонента
( )
i
p
τ
– неслучай- ная функция, описывающая длительные периоды (более одного
14
года) относительного подъема и спада и состоящая из циклов пе- ременной длительности и амплитуды. Примерами периодической компоненты являются волны Кондратьева, демографические
«ямы» и т.п. Подобная компонента весьма характерна для рядов макроэкономических показателей. Здесь циклические изменения обусловлены взаимодействием спроса и предложения, а также наложением таких факторов, как истощение ресурсов, погодные условия, изменения в налоговой политике и т.п. Отметим, что циклическую компоненту крайне трудно идентифицировать фор- мальными методами, исходя только из данных изучаемого ряда.
Случайная компонента
( )
i
ε τ
– это составная часть времен- ного ряда, оставшаяся после выделения систематических компо- нент. Она отражает воздействие многочисленных факторов слу- чайного характера и представляет собой случайную, нерегуляр- ную компоненту. Она является обязательной составной частью любого временного ряда в экономике, так как случайные откло- нения неизбежно сопутствуют любому экономическому явлению.
Замечание 1.1.2.
Если систематические компоненты времен- ного ряда определены правильно, то остающаяся после выделе- ния из временного ряда этих компонент так называемая остаточ- ная последовательность (ряд остатков) будет случайной компо- нентой ряда. ♦
Модели, в которых временной ряд представлен как произве- дение некоторых из перечисленных компонент
( )
i
t
τ
,
( )
i
s
τ
,
( )
i
p
τ
,
( )
i
ε τ
относятся к классу мультипликативных моделей.
Модели этого класса имеют вид
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i
i
i
i
i
Y
t
s
p
τ
τ
τ
τ ε τ
=
⋅
⋅
⋅
. (1.1.2)
В процессе формирования значений временных рядов не все- гда участвуют все четыре компоненты. Однако во всех случаях предполагается наличие случайной составляющей
( )
i
i
ε
ε τ
=
Другой класс моделей используется для описания временных рядов, у которых значение
( )
i
Y
τ
в какой-то степени предопреде-

15
ляется значениями
( )
Y
τ
в предыдущие моменты времени
1 2
,
,…
i
i
τ τ
−
−
. Модели такого класса можно записать в виде
( )
( ) ( )
(
)
( )
1 2
,
,…
i
i
i
i
Y
f Y
Y
τ
τ
τ
ε τ
−
−
=
+
(1.1.3)
Функция f отражает характер взаимосвязи между последующим и предыдущими значениями величин
( )
i
Y
τ
. Такие модели полу- чили название авторегрессионных моделей.
Для широкого круга процессов функция f имеет линейный вид
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1
2 2
i
i
i
k
i k
i
Y
Y
Y
Y
τ
β τ
β
τ
β
τ
ε τ
−
−
−
=
+
+
+
+
. (1.1.4)
Такая модель получила название линейной авторегрессионной
модели k-го порядка.
В дальнейшем будет считать, что моменты измерений
i
τ
равноудалены друг от друга на величину
τ
Δ , т.е. для любого i имеет место
1
i
i
τ
τ
τ
+
= + Δ .
(1.1.5)
Основная цель статистического анализа временных рядов –
изучение соотношения между закономерностью и случайностью
в формировании значений ряда, оценка количественной меры их
влияния. Закономерности, объясняющие динамику показателя в прошлом, используются для прогнозирования его значений в бу-
дущем, а учет случайности позволяет определить вероятность
отклонения временного ряда от закономерного развития и воз-
можную величину отклонения.
Прогнозирование экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, сводится к выполнению сле- дующих основных этапов:
16
Э
ТАП
1. Предварительный анализ данных.
Э
ТАП
2. Построение моделей: формирование набора аппрок- симирующих функций (кривых роста) и численное оценивание параметров моделей.
Э
ТАП
3. Проверка адекватности моделей и оценка их точно- сти.
Э
ТАП
4. Выбор лучшей модели.
Э
ТАП
5. Расчет точечного и интервального прогнозов.
1.2. Числовые характеристики временного ряда
Из определения временного ряда и моделей (1.1.1), (1.1.2) следует, что в каждый момент
i
τ
величина
( )
i
Y
τ
является слу- чайной, подчиняющейся некоторому распределению, которое за- висит от распределения случайной составляющей
( )
i
ε τ
. Мате- матическое ожидание и дисперсия для модели (1.1.1) в момент
i
τ
определяются выражениями
( )
(
)
( )
i
i
M Y
q
τ
τ
=
;
( )
(
)
( )
(
)
i
i
D Y
D
τ
ε τ
=
. (1.2.1)
Для модели (1.1.2) эти характеристики определяются более слож- ными выражениями.
Временной ряд называется стационарным в широком смыс-
ле, если числовые характеристики случайных величин
( )
i
Y
τ
не зависят от времени
i
τ
. Так, для модели (1.1.1) справедливы соот- ношения:
( )
(
)
i
M Y
q
τ
= ;
( )
(
)
2
i
D Y
τ
σ
=
(1.2.2)
Для такого временного ряда в качестве оценок величин q ,
2
σ
используются выборочное среднее y и выборочная дисперсия
2
s :
1 1
n
i
i
y
y
n
=
= ⋅
∑
;
(
)
2 2
1 1
1
n
i
i
s
y
y
n
=
=
⋅
−
−
∑
(1.2.3)
Временной ряд называется стационарным в узком смысле, если для каждого момента времени случайные величины
( )
i
Y
τ

17
имеют одинаковые распределения. Очевидно, что из стационар- ности в узком смысле следует стационарность в широком смысле.
Обратное, в общем случае, неверно. В дальнейшем рассматри- ваемые стационарные ряды являются стационарными в широком смысле. Введем еще некоторые характеристики временных рядов.
Степень статистической связи между последовательностями
( ) ( )
( )
1 2
,
,…,
n
Y
Y
Y
τ
τ
τ
и
( ) ( )
( )
1 2
,
,…,
l
l
n l
Y
Y
Y
τ
τ
τ
+
+
+
(сдвинутых от- носительно друг друга на
l моментов времени, или, как говорят, с
лагом l ) может быть определена с помощью коэффициента ав-
токорреляции:
( )
( )
(
)
( )
(
)
2
i
i l
M Y
q Y
q
l
τ
τ
ρ
σ
+
⎡
⎤
−
−
⎣
⎦
=
(1.2.4)
Для стационарного временного ряда
( )
l
ρ
зависит только от лага
l и для него справедливо следующее равенство:
( )
( )
l
l
ρ
ρ
− =
,
(1.2.5) т.е. достаточно изучать
( )
l
ρ
только для положительных лагов
l .
Если
0
l
= , то
( )
0 1
ρ
= .
Оценкой для
( )
l
ρ
является выборочный коэффициент авто- корреляции, определяемый по формуле:
( )
(
)
(
)
(
)
1 1
1 2
2 2
2 1
1 1
1
n l
n l
n l
i i l
i
i l
i
i
i
n l
n l
n l
n l
i
i
i l
i l
i
i
i
i
n l
y y
y
y
r l
n l
y
y
n l
y
y
−
−
−
+
+
=
=
=
−
−
−
−
+
+
=
=
=
=
⎛
⎞ ⎛
⎞
−
−
⋅
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
=
⎛
⎞
⎛
⎞
−
−
⋅
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
. (1.2.6)
Заметим, что с увеличением
l число пар наблюдений
i
y ,
i l
y
+
уменьшается и поэтому число
l не должно быть сравнительно большим (рекомендуют
/ 4
l n
≤
).
18
Стационарный временной ряд, у которого математическое ожидание равно 0, а величины
( )
i
ε τ
некоррелированны, часто называют
белым шумом. Очевидно, что для белого шума
( )
1,
0;
0,
0.
если l
l
если l
ρ
=
⎧
= ⎨
≠
⎩
(1.2.7)
Замечание 1.2.1.
Для стационарного временного ряда с уве- личением лага l взаимосвязь членов
( )
i
Y
τ
,
( )
i l
Y
τ
+
ослабевает и абсолютные величины коэффициента автокорреляции
( )
l
ρ
должны убывать. В то же время для выборочного коэффициента автокорреляции
( )
r l (особенно при небольших значениях n l
− ) свойство монотонного убывания (по абсолютной величине) при возрастании l может нарушаться.
♦
Проиллюстрируем сделанное замечание.
Пример 1.2.1.
В столбце А документа Excel, приведенного на рис. 1.1, представлены 20 значений стационарного временного ряда, являющегося белым шумом. Необходимо вычислить выбо- рочное математическое ожидание, дисперсию и коэффициент ав- токорреляции
( )
l
ρ
,
0,1,2,3
l
=
Решение. Первые две оценки вычисляются по формуле (1.2.3) с использованием стандартных функций Excel (обращение к ним показано на рис. 1.1), а выборочный коэффициент автокорреля- ции – по формуле (1.2.6), при этом используются предварительно вычисленные суммы:
1
n l
i i l
i
y y
−
+
=
∑
;
1
n l
i
i
y
−
=
∑
;
1
n l
i l
i
y
−
+
=
∑
;
2 1
n l
i
i
y
−
=
∑
;
2 1
n l
i l
i
y
−
+
=
∑
(см. рис. 1.1).
Полученные значения оценок приведены в табл. 1.1 (вторая строка). Третья строка таблицы содержит точные значения иско- мых характеристик. Различие между оценками и точными значе- ниями обусловлено малым объемом выборки. ☻

19
Рис. 1.1. Вычисление числовых характеристик стационарного ряда
Таблица 1.1
Характе-
ристики
( )
M Y
( )
D Y
(0)
ρ
(1)
ρ
(2)
ρ
(3)
ρ
Оценка
28.5 12.0 1.0 –0.19 0.14 0.10
Точное
значение
30 10 1 0 0 0 20
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреля- ции.
Во-первых
, коэффициент автокорреляции вычисляется по аналогии с линейным коэффициентом корреляции [5, гл. 2] и та- ким образом характеризует тесноту линейной зависимости между случайными величинами
( )
i
Y
τ
,
( )
i l
Y
τ
+
. Поэтому по величине коэффициента автокорреляции можно судить о наличии линейной
(или близкой к линейной) тенденции развития временного ряда.
Во-вторых
, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции значе- ний временного ряда. Многие временные ряды экономических данных имеют положительные величины коэффициентов авто- корреляции, однако при этом наблюдается убывающая тенденция.
Последовательность коэффициентов автокорреляции
( )
0
ρ
,
( ) ( )
1 ,
2 ,…
ρ
ρ
называют автокорреляционной функцией временно-
го ряда, а график зависимости значений
( )
l
ρ
от величины лага l
(или порядка коэффициента автокорреляции l ) – коррелограм-
мой.
Анализ автокорреляционной функции позволяет выявить структуру временного ряда, т.е. наличие в нем составляющих
( )
i
t
τ
,
( )
i
p
τ
,
( )
i
s
τ
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреля- ции
( )
1
ρ
, то исследуемый ряд содержит только трендовую со- ставляющую. Если наиболее высоким оказался коэффициент ав- токорреляции
( )
l
ρ
, то ряд содержит колебания с периодично- стью l моментов времени, т.е. период колебания равен l
τ
⋅ Δ . Ес- ли ни один из коэффициентов
( )
r l не является значимым (про- верка значимости осуществляется точно так же, как и для коэф- фициента
xy
r [5, с. 43]), то относительно структуры ряда можно сделать одно из двух предположений:
• временной ряд не содержит тренда и циклических колебаний, т.е. является белым шумом с
( )
l
ρ
(см. формулу (1.2.7));

21
• временной ряд содержит сильный нелинейный тренд, для выявления которого необходимо провести дополнительный анализ.
Поэтому коэффициент автокорреляции и автокорреляцион- ную функцию целесообразно использовать для выявления во вре- менном ряде трендовой составляющей и периодической, сезон- ных составляющих.
Пример 1.2.2.
В табл. 1.2 приведены условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями некоторого рай- она за 16 кварталов.
Необходимо:
• вычислить выборочные коэффициенты корреляции r(l) для
1, 2,…,8
l
=
и построить коррелограмму;
• провести анализ значений коэффициентов r(l) и сделать вы- вод о структуре данного временного ряда.
Таблица 1.2
i
i
y
i
i
y
i
i
y
1 6,0 7 6,0 13 9,0 2 4,4 8 10,0 14 6,6 3 5,0 9 8,0 15 7,0 4 9,0 10 5,6 16 10,8 5 7,2 11 6,4 6 4,8 12 11,0
Решение. На рис. 1.2а приведен фрагмент документа Excel, в столбец А которого введен номер квартала (
i
i
τ
= ,
1,…,16
i
=
), в столбец В – объем потребления электроэнергии в соответствую- щем квартале, в C, D, E, F, G, H, I, J – значения
1 2
3 4
5 6
7 8
,
,
,
,
,
,
,
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
y
y
y
y
y
y
−
−
−
−
−
−
−
−
. По заполненной таким обра- зом таблице вычислялись коэффициенты автокорреляции r(l),
1, 2,…,8
l
=
, приведенные на рис. 1.2б. Здесь же показаны приме- ры программирования вычисления
ρ
(1),
ρ
(8) с использованием функции Excel КОРРЕЛ. На рис. 1.3 приведены значения
i
y вре- менного ряда, а на рис. 1.4 – график коррелограммы.
22
а) б)
Рис. 1.2. Вычисление коэффициентов автокорреляции
Анализ значений
( )
r l и коррелограммы позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колеба- ний периодичностью в четыре квартала (
( )
4 0,983
r
=
), а также небольшого линейного тренда. Эти выводы хорошо подтвержда- ются графиком значений временного ряда (см. рис. 1.3). Большое значение
( )
8 0,974
r
=
объясняется тем, что в 8 есть удвоенный период 4. Такое же большое значение будет у коэффициента ав- токорреляции
( )
12
r
. ☻

23
Рис. 1.3. Значения временного ряда
Рис. 1.4. Вычисленная коррелограмма временного ряда
1.3. Проверка статистических гипотез
о свойствах временного ряда
1.3.1. Проверка гипотезы о наличии аномальных наблюдений
Эта процедура выполняется на стадии предварительного ана- лиза временного ряда и во многих случаях является обязательной процедурой. Для диагностики аномальных наблюдений исполь- зуются различные статистические методы, одни из которых при- водится ниже.
24
Метод Ирвина.
Для всех наблюдений или только «подозре- ваемых» (в аномальности) наблюдений формулируются следую- щие статистические гипотезы:
0
H : i -е наблюдение не является аномальным; (1.3.1)
1
H : i -е наблюдение является аномальным. (1.3.2)
Для проверки этих гипотез вычисляется значение критерия
1
i
i
i
y
y
y
I
s
−
−
=
, (1.3.3) где
(
)
2 1
1
n
i
i
y
y
y
s
n
=
−
=
−
∑
,
1 1
n
i
i
y
y
n
=
=
∑
(1.3.4)
Нетрудно видеть, что
y
s есть выборочное среднеквадратическое отклонение, вычисленное по выборке объемом n .
Если вычисленная величина
i
I превышает предельное значе- ние
пр
I (т.е. попадает в критическую область), то с вероятностью
α
ошибки первого рода отвергается гипотеза
0
H и принимается альтернативная гипотеза
1
H , т.е. наблюдение
i
y является ано- мальным. Предельное значение
пр
I зависит от количества наблю- дений
n и для некоторых n значения
пр
I приведены в табл. 1.3.
Таблица 1.3
n
0,05
α
=
0,01
α
=
2 2,8 3,7 3 2,2 2,9 10 1,5 2,0 20 1,3 1,8 30 1,2 1,7 50 1,1 1,6 100 1,0 1,5 400 0,9 1,3

25
Обнаруженное аномальное наблюдение необходимо исключить из временного ряда и заменить
расчетным значением, получен- ным с использованием соседних наблюдений. Самый простой способ замены – расчетное значение есть среднее двух соседних значений.
Пример 1.3.1.
В табл. 1.4 приведен индекс потребительских цен.
Таблица 1.4
Дата
i
i
y
Дата
i
i
y
4 кв. 1994 1 100 2 кв. 1996 7 105 1 кв. 1995 2 143 3 кв. 1997 8 100 2 кв. 1995 3 124 4 кв. 1997 9 104 3 кв. 1995 4 115 1 кв. 1998 10 105 4 кв. 1995 5 113 2 кв. 1998 11 103 1 кв. 1996 6 110 3 кв. 1998 12 100
Необходимо проверить данный временной ряд на наличие аномальных измерений.
Решение. Введем в столбец А, начиная с ячейки А2, значения
1, 2,…,12
i
=
, а в столбец В – значения
i
y , приведенные в табл. 1.4.
(рис. 1.5). График значений
i
y приведен на рис. 1.6.
В ячейке В14 вычислим
y
s (см. (1.3.4)), используя функцию
Excel ДИСП. После этого в столбце С запрограммируем вычис- ление значений
I
i
,
i = 1, 2, …, 12 критерия (1.3.3). Для определе- ния
I
пр
выполним линейную интерполяцию третьей (
10
n
=
) и четвертой (
20
n
=
) строк табл. 1.4 для
α
= 0.05. Получаем
(
)
1.3 1.5 12 10 1.5 1.46 10
пр
I
−
=
−
+
=
Видим, что неравенство
1.46
i
пр
I
I
>
=
выполняется для
2,3
i
=
. Следовательно, с вероятностью ошибки первого рода, равной
α
, можно принять гипотезу о том, что
2
y ,
3
y являются аномальными наблюдениями. ☻
26
Рис. 1.5. Определение аномальных наблюдений
Рис. 1.6. Значения временного ряда

27
1.3.2. Проверка гипотез о наличии неслучайной составляющей
временного ряда
Проверка наличия или отсутствия неслучайной составляю- щей
( )
q
τ
(модель (1.1.1)) по существу состоит в проверке гипо- тезы о постоянстве среднего значения временного ряда. Поэтому сформулируем две статистические гипотезы:
0
H :
( )
(
)
i
M Y
const
τ
=
; (1.3.5)
1
H :
( )
(
)
i
M Y
const
τ
≠
. (1.3.6)
Для проверки этих гипотез используются различные критерии.
Здесь мы ограничимся двумя (достаточно простыми критериями).
Критерий 1.
В этом критерии временной ряд разбивают на две примерно равные по числу значений части, каждая из кото- рых рассматривается как некоторая самостоятельная выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. Если вре- менной ряд имеет тенденцию к тренду, то средние, вычисленные для каждой совокупности, должны существенно (значимо) раз- личаться между собой. Если же расхождение незначительно, не- существенно (случайно), то временной ряд не имеет тенденции.
Таким образом, проверка наличия тренда (т.е. неслучайной со- ставляющей) в исследуемом временном ряду сводится к провер- ке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей. Пусть первая часть (обозначим ее
( )
I
Y ) содержит
I
n наблюдений
( )
i
Y
τ
, 1,2,…,
I
i
n
=
, а вторая часть –
( )
II
Y
содер- жит
II
n наблюдений
( )
i
Y
τ
, 1,…,
I
I
II
i n
n
n
=
+
+
Для каждой части временного ряда вычислим (используя формулы (1.2.3)) выборочное среднее
I
y ,
II
y и выборочные дис- персии
2
I
s
,
2
II
s
:
28
(
)
2 2
1 1
1
I
n
I
i
I
i
I
s
y
y
n
=
=
⋅
−
−
∑
;
(
)
2 2
1 1
1
II
I
n
II
i
II
i n
II
s
y
y
n
= +
=
⋅
−
−
∑
(1.3.7)
Далее рассчитаем значение критерия
(
)
(
)
(
)
2 2
2 1
1
I
II
I
II
I
II
S
I
II
I
I
II
II
n n n
n
y
y
K
n
n
n
s
n
s
⋅
+
−
−
=
⋅
+
−
+
−
(1.3.8)
(часто называемого критерием Стьюдента). Если выполняется не- равенство
(
)
1
,
2
S
I
II
K
t
n
n
α
>
−
+
−
,
(1.3.9) то гипотеза о постоянстве математического ожидания отклоняет- ся с уровнем значимости
α
. Напомним, что значение
(
)
1
,
2
I
II
t
n
n
α
−
+
−
вычисляется с использованием следующей функции Excel:
(
)
(
)
1
,
2
СТЬЮДРАСПОБР
,
2
I
II
I
II
t
n
n
n
n
α
α
−
+
−
=
+
−
Для использования критерия (1.3.8) необходимо убедиться, что дисперсии обеих частей ряда одинаковы. Для этого использу- ем критерий Фишера:
(
)
(
)
2 2
2 2
max
,
min
,
I
II
S
I
II
s s
F
s s
=
,
(1.3.10) где
2
I
s ,
2
II
s – оценки дисперсии, вычисленные по первой (число измерений
I
n ) и второй (число измерений
II
n ) частям временного ряда. Если не выполняется неравенство
;
1;
1 1
;
1;
1 2
2
I
II
I
II
S
n
n
n
n
F
F
F
α
α
−
−
−
−
−
≤
≤
, (1.3.11)

29
то гипотеза о постоянстве дисперсии отвергается с уровнем зна- чимости
α
. В этом случае критерий (1.3.8) не применим, и необ- ходимо использовать другой критерий или принять гипотезу о наличии неслучайной составляющей временного ряда, так как это составляющая может сказаться и на других характеристиках вре- менного ряда: дисперсии, коэффициенте автокорреляции и т.д.
Границы критической области при проверке гипотезы о ра- венстве дисперсий вычисляются с помощью следующей функции
Excel:
;
1;
1 2
FРАСПОБР 1
;
1;
1 2
I
II
I
II
n
n
F
n
n
α
α
−
−
⎛
⎞
=
−
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
. (1.3.12)
Пример 1.3.2.
Осуществить тестирование временного ряда, приведенного в столбце А на рис. 1.7, на наличие неслучайной составляющей.
Решение. Разобьем исходный временной ряд на две части по
10 измерений в каждой. Вычислим по каждой из этих частей вы- борочные оценки (см. рис. 1.7):
30.68
I
y
=
,
30.14
II
y
=
,
2 10.19
I
s
=
,
2 8.16
II
s
=
Затем определим значения критериев (1.3.8) и (1.3.10) (см. рис. 1.7):
0.40
S
K
=
;
1.249
S
F
=
. Проверим выполнение нера- венств (1.3.9) и (1.3.11). Неравенство (1.3.9) не выполняется, так как 0.40 2.101
<
, а неравенство (1.3.11) выполняется –
0.248 1.249 4.026
<
<
Следовательно, можно сделать вывод об отсутствии неслу- чайной составляющей рассматриваемого временного ряда. ☻
30
Рис. 1.7. Проверка гипотезы о стационарности ряда
Критерий 2 (критерий серий)
. Расположим члены анализи- руемого временного ряда в порядке возрастания, т.е. образуем ва- риационный ряд вида
( )
( )
( )
( )
1 2
3
n
y
y
y
y
≤
≤
≤
Определим выборочную медиану по формуле
1 2
1 2
2
, если не четно;
1
, если четно.
2
n
med
n
n
y
n
y
y
y
n
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ ⎞
⎛
⎞
+
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎧
⎪
⎪
= ⎨ ⎛
⎞
⎪ ⎜
+
⎟
⎜
⎟
⎪ ⎝
⎠
⎩
(1.3.13)

31
После этого образуем «серии» из плюсов и минусов, на статисти- ческом анализе которых основана процедура проверки гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда.
По исходному временному ряду, построим последователь- ность из плюсов и минусов следующим образом: переменной
i
x ставим знак «+», если
i
med
y
y
>
, и знак «–», если
i
med
y
y
<
(члены временного ряда, равные
med
y
не учитываются).
Образованная последовательность плюсов и минусов харак- теризуется общим числом серий
( )
v n и протяженностью самой длинной серии
( )
n
τ
. При этом под «серией» понимается после- довательность подряд идущих плюсов и подряд идущих минусов.
Если исследуемый ряд состоит из статистически независимых на- блюдений, случайно варьирующих около некоторого постоянного уровня (т.е. справедлива гипотеза о неизменности среднего зна- чения временного ряда), то чередование «+» и «–» в построенной последовательности должно быть случайным, т.е. эта последова- тельность не должна содержать слишком длинных серий подряд идущих «+» и «–», и, соответственно, общее число серий не должно быть слишком малым. Так что в данном критерии целе- сообразно рассмотреть одновременно пару критических стати- стик (
( )
v n ;
( )
n
τ
).
Справедлив следующий приближенный статистический кри- терий проверки гипотезы о неизменности среднего значения вре- менного ряда:
если хотя бы одно из неравенств
( )
(
)
( )
(
)
1
int
2 1,96 1
2
int 1,43ln
1
v n
n
n
n
n
τ
⎧
⎡
⎤
>
+ −
−
⎪
⎢
⎥
⎣
⎦
⎨
⎪
⎡
⎤
<
+
⎣
⎦
⎩
(1.3.14)
окажется нарушенным, то гипотеза о неизменности среднего
значения временного ряда отвергается с вероятностью ошибки
α
, такой, что 0.05 0.0975
α
< <
и, тем самым, подтверждается
32
наличие зависящей от времени неслучайной составляющей в мо-
дели
( )
( )
( )
Y
q
τ
τ
ε τ
=
+
.
Функция
[ ]
int z означает взятие целой части числа z .
1.3.3. Проверка гипотезы о наличии неслучайной
составляющей в Excel
Вернемся к критерию 1 (см. п. 1.3.2), который представляет собой проверку критериев Стьюдента и Фишера. Вычисление и проверку этих критериев можно оперативно осуществить исполь- зуя соответствующие режимы пакета Анализ данных табличного процессора Excel [5, с. 137–142].
Проверку гипотезы о наличии неслучайной составляющей в
Excel покажем на данных следующего примера.
Пример 1.3.3.
В табл. 1.5 приведена урожайность ячменя в одной из областей среднего Поволжья, ц/га. Необходимо прове- рить этот временной ряд на наличие неслучайной составляющей, используя соответствующие режимы пакета Анализ данных таб- личного процессора Excel.
Таблица 1.5
Годы
1 2
3 4
5 6
7 8
Урожайность 14,1 9,3 19,4 19,7 5,4 24,2 13,8 24,5
Годы
9 10 11 12 13 14 15
Урожайность 14,7 16,6 5,6 16,2 25,3 11,9 18,5
Решение. Проверку на наличие неслучайной составляющей представим следующими шагами:
Шаг 1. Введем в столбец А (начиная с ячейки А2) значения
1,…,15
i
=
(номера годов), а в столбец В – значения
i
y , 1,…,15
i
=
Шаг 2. Гипотезу о равенстве дисперсий проверим с помощью
F-теста, для вызова которого необходимо обратиться к пункту
Сервис
, команде Анализ данных и в списке инструментов анализа выбрать Двухвыборочный F-тест для дисперсий (рис. 1.8).

33
Рис. 1.8. Выбор F-теста
Шаг 3. Заполняем поля диалогового окна Двухвыборочный F-
тест для дисперсий как показано на рис. 1.9.
Результат выполнения теста приведен в таблице, показанной на рис. 1.10.
Так как
2 2
I
II
s
s
>
, то в качестве альтернативной принимается гипотеза
2 2
1
:
I
II
H
σ
σ
>
(1.3.15) и в этом случае критическая область представляет собой интервал
(
,
пр
x
α
,
∞ ), где точка
,
пр
x
α
определяется из условия
(
)
,
пр
P F
x
α
α
>
=
, (1.3.16) где
α
– вероятность ошибки первого рода. Из табл. рис. 1.10 на- ходим:
1.022
F
=
,
,
3.866
пр
x
α
=
Видно, что наблюдаемое значение 1.022
F
=
не попадает в критическую область и принимается нулевая гипотеза
2 2
0
:
I
II
H
σ
σ
=
(1.3.17)
Шаг 4. Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий в списке
Инструменты анализа (см. рис. 1.8) выбираем режим
Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями и вводим данные в соответствующие поля (см. рис. 1.11).
34
Результаты выполнения t-теста приведены в таблице, пока- занной на рис. 1.12.
Рис. 1.9. Ввод данных для двухвыборочного F-теста
Рис. 1.10. Результаты выполнения двухвыборочного теста

35
Рис. 1.11. Ввод данных для двухвыборочного t-теста
Рис. 1.12. Результаты выполнения t-теста
36
Критическая область является объединением двух интервалов и имеет вид
(
] [
)
, 2.160 2.160,
−∞ −
∪
∞ .
Видно, что наблюдаемое значение критерия, равное
0.459
−
, не попадает в эту область и поэтому принимается основная гипо- теза
0
H о равенстве математических ожиданий. Принятие этих двух гипотез (о равенстве дисперсий и равенстве математических ожиданий) позволяет принять гипотезу об отсутствии трендовой составляющей в данном временном ряду. ☻
1.3.4. Проверка гипотезы о стационарности временного ряда
Для стационарности временного ряда достаточно постоянст- ва его числовых характеристик на всем интервале определения временного ряда. Наиболее часто в качестве таких характеристик берут математическое ожидание и дисперсию. Тогда ответ на во- прос стационарности дискретного временного ряда сводится к проверке следующей пары статистических гипотез:
( )
(
)
( )
(
)
0 1
:
;
:
i
i
H M Y
const
H M Y
const
τ
τ
⎫
=
⎪
⎬
≠
⎪⎭
Постоянство математического ожидания
(1.3.18)
( )
(
)
( )
(
)
0 1
:
;
:
i
i
H D Y
const
H D Y
const
τ
τ
⎫
=
⎪
⎬
≠
⎪⎭
Постоянство дисперсии
(1.3.19)
Для проверки этих гипотез можно использовать критерий 1, описанный в п. 1.3.2. Действительно, используя критерий Фишера
(1.3.10), проверяем гипотезу о постоянстве дисперсий. Если эта гипотеза принимается, то на следующем шаге проверяется гипо- теза о постоянстве математического ожидания (критерий (1.3.8)).
Если принимается гипотеза о постоянстве математического ожи- дания, то принимается гипотеза о стационарности (в широком смысле) временного ряда.
Очевидно, что для проверок гипотез (1.3.18), (1.3.19) можно использовать режим Анализ данных табличного процессора Excel, как это показано в п. 1.3.3.

37
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
Исходные данные. В таблице приведена урожайность гречи- хи в Новосибирской области, ц/га. Необходимо проверить этот временной ряд на наличие неслучайной составляющей, используя критерий 1 п. 1.3.2.
Годы
1 2
3 4
5 6
7 8
Урожайность 14,1 11,3 19,4 19,7 8,4 21,2 16,8 24,5
Годы
9 10 11 12 13 14 15
Урожайность 19,7 22,6 19,6 23,2 25,3 21,9 22,5
Рекомендации.
1. При проверке статистической гипотезы временной ряд разбить на две части
7
I
n
= ; 8
II
n
= (
15
I
II
n n
n
=
+
=
).
2. При программировании вычислений использовать пример
1.3.2.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
В таблице приведены данные об урожайности озимой пше- ницы за 10 лет, ц/га.
Годы
i
τ
1 2
3 4
5
i
y 16.3+N
20.2+N
17.1+N
9.2+N
15.3+N
Годы
i
τ
6 7
8 9
10
i
y 16.7+N
19.9+N
14.4+N
18.7+N
20.7+N
Примечание. N – последняя цифра в изменяющемся номере за- четной книжки.
Необходимо:
1. Построить график значений временного ряда.
2. Вычислить среднее значение и дисперсию.
3. Вычислить коэффициенты автокорреляции для лагов
1,2,3
l
=
и построить коррелограмму.
38 4. Используя материал п. 1.2, сделать обоснованные выводы о структуре исследуемого временного ряда.
5. Выполнить исследования временного ряда на наличие аномальных наблюдений.
6. Выполнить исследования временного ряда на наличие не- случайной составляющей (используя соответствующие режимы пакета Анализ данных табличного процессора Excel).
7. Вставить в контрольную работу копии таблиц с результа- тами проверок п. 5, 6.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Какой временной ряд называется стационарным в широ- ком смысле?
2. Какой временной ряд называется стационарным в узком смысле?
3. Что характеризует коэффициент автокорреляции
( )
l
ρ
?
4. Что характеризует трендовая составляющая временного ряда?
5. Что характеризует сезонная составляющая временного ряда?
6. Что характеризует периодическая составляющая времен- ного ряда?
7. Что такое аномальное наблюдение?
8. Сущность метода Ирвина.
9. Сущность проверки гипотезы о наличии неслучайной со- ставляющей с помощью критерия 1.