В пакете excel обнаруживаются статистические выбросы

При работе с данными в Excel у вас часто возникают проблемы с обработкой выбросов в наборе данных.

Выбросы довольно часто встречаются во всех видах данных, и важно идентифицировать и обрабатывать эти выбросы, чтобы убедиться, что ваш анализ правильный и значимый.

В этом уроке я покажу вам как найти выбросы в Excel, а также некоторые методы, которые я использовал в своей работе для обработки этих выбросов.

Что такое выбросы и почему их важно найти?

Выброс — это точка данных, которая выходит за рамки других точек данных в наборе данных. Если у вас есть выброс в данных, это может исказить ваши данные, что может привести к неверным выводам.

Приведу простой пример.

Допустим, 30 человек едут на автобусе из пункта назначения A в пункт назначения B. Все люди относятся к одной весовой группе и группе доходов. Для целей этого руководства давайте предположим, что средний вес составляет 220 фунтов, а средний годовой доход — 70 000 долларов.

Сейчас где-то посередине нашего маршрута автобус останавливается, и в него садится Билл Гейтс.

Как вы думаете, как это повлияет на средний вес и средний доход людей в автобусе?

Хотя средний вес вряд ли сильно изменится, средний доход пассажиров автобуса резко вырастет.

Это связано с тем, что доход Билла Гейтса является исключением в нашей группе, и это дает нам неправильную интерпретацию данных. Средний доход каждого пассажира автобуса составит несколько миллиардов долларов, что намного превышает реальную стоимость.

При работе с фактическими наборами данных в Excel вы можете иметь выбросы в любом направлении (например, положительный выброс или отрицательный выброс).

И чтобы убедиться, что ваш анализ верен, вам нужно каким-то образом идентифицировать эти выбросы, а затем решить, как лучше всего их лечить.

Теперь давайте рассмотрим несколько способов найти выбросы в Excel.

Найдите выбросы путем сортировки данных

С небольшими наборами данных быстрый способ определить выбросы — просто отсортировать данные и вручную просмотреть некоторые значения в верхней части отсортированных данных.

А так как выбросы могут быть в обоих направлениях, убедитесь, что вы сначала отсортировали данные в порядке возрастания, а затем в порядке убывания, а затем перебрали самые верхние значения.

Позвольте мне показать вам пример.

Ниже у меня есть набор данных, в котором у меня есть продолжительность звонков (в секундах) для 15 звонков в службу поддержки.

Ниже приведены шаги по сортировке этих данных, чтобы мы могли идентифицировать выбросы в наборе данных:

1. Выберите заголовок столбца, который вы хотите отсортировать (в этом примере ячейка B1).
2. Перейдите на вкладку «Главная«
3. В группе «Редактирование» щелкните значок «Сортировка и фильтр».
4. Щелкните Custom Sort (Пользовательская сортировка).
5. В диалоговом окне «Сортировка» выберите «Продолжительность» в раскрывающемся списке «Сортировка по» и «От наибольшего к наименьшему» в раскрывающемся списке «Порядок». 
6. Нажмите ОК

Вышеупомянутые шаги сортируют столбец продолжительности звонка с наивысшими значениями вверху. Теперь вы можете вручную просмотреть данные и посмотреть, есть ли выбросы.

В нашем примере я вижу, что первые два значения намного выше остальных значений (а два нижних намного ниже).

Примечание. Этот метод работает с небольшими наборами данных, где вы можете вручную сканировать данные. Это не научный метод, но он хорошо работает

Поиск выбросов с помощью квартильных функций

Теперь давайте поговорим о более научном решении, которое поможет вам определить, есть ли какие-то выбросы.

В статистике квартиль составляет четверть набора данных. Например, если у вас есть 12 точек данных, то первый квартиль будет тремя нижними точками данных, второй квартиль будет следующими тремя точками данных и так далее.

Ниже приведен набор данных, по которому я хочу найти выбросы. Для этого мне нужно будет вычислить 1-й и 3-й квартили, а затем с его помощью вычислить верхний и нижний предел.

Ниже приведена формула для вычисления первого квартиля в ячейке E2:
= QUARTILE.INC ($ B $ 2: $ B $ 15,1)

и вот тот, который вычисляет третий квартиль в ячейке E3:
= QUARTILE.INC ($ B $ 2: $ B $ 15,3)

Теперь я могу использовать два вышеупомянутых вычисления, чтобы получить межквартильный размах (который составляет 50% наших данных в пределах 1-го и 3-го квартилей).
= F3-F2

Теперь мы будем использовать межквартильный диапазон, чтобы найти нижний и верхний предел, который будет содержать большую часть наших данных.

Все, что выходит за эти нижние и верхние пределы, будет считаться выбросом.

Ниже приведена формула для расчета нижнего предела:
= Квартиль1 - 1,5 * (Межквартильный диапазон)
который в нашем примере становится:
= F2-1,5 * F4

И формула для расчета верхнего предела:
= Квартиль3 + 1,5 * (Межквартильный диапазон)
который в нашем примере становится:
= F3 + 1,5 * F4

Теперь, когда у нас есть верхний и нижний предел в нашем наборе данных, мы можем вернуться к исходным данным и быстро определить те значения, которые не лежат в этом диапазоне.

Быстрый способ сделать это — проверить каждое значение и вернуть ИСТИНА или ЛОЖЬ в новом столбце.

Я использовал приведенную ниже формулу ИЛИ, чтобы получить ИСТИНА для тех значений, которые являются выбросами.
= ИЛИ (B2 $ F $ 6)

Теперь вы можете фильтровать столбец Outlier и отображать только те записи, для которых значение TRUE.

Кроме того, вы также можете использовать условное форматирование, чтобы выделить все ячейки, в которых значение TRUE.

Примечание: Хотя это более распространенный метод поиска выбросов в статистике. Я считаю, что этот метод немного непригоден для использования в реальных сценариях. В приведенном выше примере нижний предел, рассчитанный по формуле, равен -103, в то время как набор данных, который у нас есть, может быть только положительным. Таким образом, этот метод может помочь нам найти выбросы в одном направлении (высокие значения), он бесполезен при выявлении выбросов в другом направлении.

Поиск выбросов с помощью функций НАИБОЛЬШИЙ / МАЛЕНЬКИЙ

Если вы работаете с большим количеством данных (значения в нескольких столбцах), вы можете извлечь 5 или 7 наибольших и наименьших значений и посмотреть, есть ли в них выбросы.

Если есть какие-либо выбросы, вы сможете их идентифицировать, не просматривая все данные в обоих направлениях.

Предположим, у нас есть приведенный ниже набор данных, и мы хотим знать, есть ли какие-либо выбросы.

Ниже приведена формула, которая даст вам наибольшее значение в наборе данных:
= БОЛЬШОЙ ($ B $ 2: $ B $ 16,1)
Точно так же второе по величине значение будет равно
= БОЛЬШОЙ ($ B $ 2: $ B $ 16,1)
Если вы не используете Microsoft 365, в которой есть динамические массивы, вы можете использовать приведенную ниже формулу, и она даст вам пять наибольших значений из набора данных с помощью одной формулы:
= БОЛЬШОЙ ($ B $ 2: $ B $ 16; СТРОКА ($ 1: 5))

Точно так же, если вам нужны 5 наименьших значений, используйте следующую формулу:
= МАЛЕНЬКИЙ ($ B $ 2: $ B $ 16; СТРОКА ($ 1: 5))
или следующее, если у вас нет динамических массивов:
= МАЛЕНЬКИЙ ($ B $ 2: $ B $ 16,1)
Когда у вас есть эти значения, очень легко обнаружить любые выбросы в наборе данных.

Хотя я решил извлечь 5 наибольших и наименьших значений, вы можете выбрать 7 или 10 в зависимости от размера вашего набора данных.

Я не уверен, является ли это приемлемым методом для поиска выбросов в Excel или нет, но это метод, который я использовал, когда мне приходилось работать с большим количеством финансовых данных на моей работе несколько лет назад. По сравнению со всеми другими методами, описанными в этом руководстве, я считаю этот наиболее эффективным.

Как правильно обращаться с выбросами

До сих пор мы видели методы, которые помогут нам найти выбросы в нашем наборе данных. Но что делать, если вы знаете, что есть выбросы.

Вот несколько методов, которые вы можете использовать для обработки выбросов, чтобы ваш анализ данных был правильным.

Удалить выбросы

Самый простой способ удалить выбросы из набора данных — просто удалить их. Таким образом, это не исказит ваш анализ.

Это более жизнеспособное решение, когда у вас большие наборы данных и удаление пары выбросов не повлияет на общий анализ. И, конечно же, перед удалением данных обязательно создайте копию и выясните, что вызывает эти выбросы.

Нормализовать выбросы (отрегулировать значение)

Нормализация выбросов — это то, что я делал, когда работал полный рабочий день. Для всех значений выбросов я бы просто изменил их на значение, немного превышающее максимальное значение в наборе данных.

Это гарантирует, что я не удаляю данные, но в то же время не позволяю им искажать мои данные.

Чтобы дать вам реальный пример, если вы анализируете маржу чистой прибыли компаний, где большинство компаний находится в пределах от -10% до 30%, а есть несколько значений, превышающих 100%, я просто изменит эти выбросы на 30% или 35%.

Итак, вот некоторые из методов, которые вы можете использовать в Excel, чтобы найти выбросы.

После того, как вы определили выбросы, вы можете углубиться в данные и посмотреть, что их вызывает, и в то же время выбрать один из методов обработки этих выбросов (который может удалить их или нормализовать, изменив значение)

Надеюсь, вы нашли этот урок полезным.

Корреляция и регрессия

Линейное уравнение регрессии имеет вид y=bx+a+ε
Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε_i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β — используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид:

10a + 356b = 49
356a + 2135b = 9485

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 68.16, a = 11.17

Уравнение регрессии:
y = 68.16 x — 11.17

1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 Y фактором X весьма высокая и прямая.

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 68.16 x -11.17
Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл. Коэффициент уравнения регрессии показывает, на сколько ед. изменится результат при изменении фактора на 1 ед.
Коэффициент b = 68.16 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у ) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 68.16.
Коэффициент a = -11.17 формально показывает прогнозируемый уровень у , но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.
Но если х=0 находится далеко от выборочных значений x , то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения x , можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.
Связь между у и x определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе — обратная). В нашем примере связь прямая.

1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.
Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета — коэффициенты. Коэффициент эластичности находится по формуле:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%. Он не учитывает степень колеблемости факторов.
В нашем примере коэффициент эластичности больше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится более чем на 1%. Другими словами — Х существенно влияет на Y.
Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения этого показателя приведет к увеличению среднего Y на 0.9796 среднеквадратичного отклонения этого показателя.

1.4. Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

1.6. Коэффициент детерминации.
Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R 2 = 0.98 2 = 0.9596, т.е. в 95.96 % случаев изменения x приводят к изменению у . Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая. Остальные 4.04 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=7 находим t_крит:
t_крит = (7;0.05) = 1.895
где m = 1 — количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически — значим
В парной линейной регрессии t 2 _r = t 2 _b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S 2 _y = 94.6484 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).
S_y = 9.7287 — стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
S _a — стандартное отклонение случайной величины a.

S_b — стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения.
Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.
Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя. (a + bx_p ± ε) где
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X _p = 1 (-11.17 + 68.16*1 ± 6.4554)
(50.53;63.44)
С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bx _i ± ε)
где

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Проверим гипотезу H₀ о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H₁ не равно) на уровне значимости α=0.05.
t_крит = (7;0.05) = 1.895

Поскольку 12.8866 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 2.0914 > 1.895, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(b — t_крит S_b; b + t_крит S_b)
(68.1618 — 1.895 • 5.2894; 68.1618 + 1.895 • 5.2894)
(58.1385;78.1852)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
(a — t_a)
(-11.1744 — 1.895 • 5.3429; -11.1744 + 1.895 • 5.3429)
(-21.2992;-1.0496)
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистики. Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с lang=EN-US>n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H₀: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=7, Fkp = 5.59
Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Проверка на наличие автокорреляции остатков.
Важной предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях. Это гарантирует отсутствие коррелированности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями.
Автокорреляция (последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени (временные ряды) или в пространстве (перекрестные ряды). Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов и очень редко при использовании перекрестных данных.
В экономических задачах значительно чаще встречается положительная автокорреляция, нежели отрицательная автокорреляция. В большинстве случаев положительная автокорреляция вызывается направленным постоянным воздействием некоторых неучтенных в модели факторов.
Отрицательная автокорреляция фактически означает, что за положительным отклонением следует отрицательное и наоборот. Такая ситуация может иметь место, если ту же зависимость между спросом на прохладительные напитки и доходами рассматривать по сезонным данным (зима-лето).
Среди основных причин, вызывающих автокорреляцию, можно выделить следующие:
1. Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдения от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
2. Инерция. Многие экономические показатели (инфляция, безработица, ВНП и т.д.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Поэтому изменение показателей происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
3. Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом).
4. Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его интервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может служить причиной автокорреляции.
Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности: выводы по t- и F-статистикам, определяющие значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными.

Обнаружение автокорреляции

1. Графический метод
Есть ряд вариантов графического определения автокорреляции. Один из них увязывает отклонения e_i с моментами их получения i. При этом по оси абсцисс откладывают либо время получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат – отклонения e_i (либо оценки отклонений).
Естественно предположить, что если имеется определенная связь между отклонениями, то автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости скоре всего будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции.
Автокорреляция становится более наглядной, если построить график зависимости e_i от e_i-1.

Основы линейной регрессии

Что такое регрессия?

Разместим точки на двумерном графике рассеяния и скажем, что мы имеем линейное соотношение, если данные аппроксимируются прямой линией.

Если мы полагаем, что y зависит от x, причём изменения в y вызываются именно изменениями в x, мы можем определить линию регрессии (регрессия y на x), которая лучше всего описывает прямолинейное соотношение между этими двумя переменными.

Статистическое использование слова «регрессия» исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).

Он показал, что, хотя высокие отцы имеют тенденцию иметь высоких сыновей, средний рост сыновей меньше, чем у их высоких отцов. Средний рост сыновей «регрессировал» и «двигался вспять» к среднему росту всех отцов в популяции. Таким образом, в среднем высокие отцы имеют более низких (но всё-таки высоких) сыновей, а низкие отцы имеют сыновей более высоких (но всё-таки довольно низких).

Линия регрессии

Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

x называется независимой переменной или предиктором.

Y – зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x, т.е. это «предсказанное значение y»

• a – свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y, когда x=0 (Рис.1).
• b – угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
• a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b.

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия.

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Метод наименьших квадратов

Мы выполняем регрессионный анализ, используя выборку наблюдений, где a и b – выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).

Наиболее простым методом определения коэффициентов a и b является метод наименьших квадратов (МНК).

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y – предсказанный y, Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

Предположения линейной регрессии

Итак, для каждой наблюдаемой величины остаток равен разнице и соответствующего предсказанного Каждый остаток может быть положительным или отрицательным.

Можно использовать остатки для проверки следующих предположений, лежащих в основе линейной регрессии:

• Остатки нормально распределены с нулевым средним значением;

Если допущения линейности, нормальности и/или постоянной дисперсии сомнительны, мы можем преобразовать или и рассчитать новую линию регрессии, для которой эти допущения удовлетворяются (например, использовать логарифмическое преобразование или др.).

Аномальные значения (выбросы) и точки влияния

«Влиятельное» наблюдение, если оно опущено, изменяет одну или больше оценок параметров модели (т.е. угловой коэффициент или свободный член).

Выброс (наблюдение, которое противоречит большинству значений в наборе данных) может быть «влиятельным» наблюдением и может хорошо обнаруживаться визуально, при осмотре двумерной диаграммы рассеяния или графика остатков.

И для выбросов, и для «влиятельных» наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).

При проведении анализа не стоит отбрасывать выбросы или точки влияния автоматически, поскольку простое игнорирование может повлиять на полученные результаты. Всегда изучайте причины появления этих выбросов и анализируйте их.

Гипотеза линейной регрессии

При построении линейной регрессии проверяется нулевая гипотеза о том, что генеральный угловой коэффициент линии регрессии β равен нулю.

Если угловой коэффициент линии равен нулю, между и нет линейного соотношения: изменение не влияет на

Для тестирования нулевой гипотезы о том, что истинный угловой коэффициент равен нулю можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Вычислить статистику критерия, равную отношению , которая подчиняется распределению с степенями свободы, где стандартная ошибка коэффициента

,

— оценка дисперсии остатков.

Обычно если достигнутый уровень значимости нулевая гипотеза отклоняется.

Можно рассчитать 95% доверительный интервал для генерального углового коэффициента :

где процентная точка распределения со степенями свободы что дает вероятность двустороннего критерия

Это тот интервал, который содержит генеральный угловой коэффициент с вероятностью 95%.

Для больших выборок, скажем, мы можем аппроксимировать значением 1,96 (то есть статистика критерия будет стремиться к нормальному распределению)

Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R 2

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации, обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.

Нет формального теста для оценки мы вынуждены положиться на субъективное суждение, чтобы определить качество подгонки линии регрессии.

Применение линии регрессии для прогноза

Можно применять регрессионную линию для прогнозирования значения по значению в пределе наблюдаемого диапазона (никогда не экстраполируйте вне этих пределов).

Мы предсказываем среднюю величину для наблюдаемых, которые имеют определенное значение путем подстановки этого значения в уравнение линии регрессии.

Итак, если прогнозируем как Используем эту предсказанную величину и ее стандартную ошибку, чтобы оценить доверительный интервал для истинной средней величины в популяции.

Повторение этой процедуры для различных величин позволяет построить доверительные границы для этой линии. Это полоса или область, которая содержит истинную линию, например, с 95% доверительной вероятностью.

Подобным образом можно рассчитать более широкую область, внутри которой, как мы ожидаем, лежит наибольшее число (обычно 95%) наблюдений.

Простые регрессионные планы

Простые регрессионные планы содержат один непрерывный предиктор. Если существует 3 наблюдения со значениями предиктора P , например, 7, 4 и 9, а план включает эффект первого порядка P , то матрица плана X будет иметь вид

а регрессионное уравнение с использованием P для X1 выглядит как

Если простой регрессионный план содержит эффект высшего порядка для P , например квадратичный эффект, то значения в столбце X1 в матрице плана будут возведены во вторую степень:

а уравнение примет вид

Y = b 0 + b 1 P 2

Сигма -ограниченные и сверхпараметризованные методы кодирования не применяются по отношению к простым регрессионным планам и другим планам, содержащим только непрерывные предикторы (поскольку, просто не существует категориальных предикторов). Независимо от выбранного метода кодирования, значения непрерывных переменных увеличиваются в соответствующей степени и используются как значения для переменных X . При этом перекодировка не выполняется. Кроме того, при описании регрессионных планов можно опустить рассмотрение матрицы плана X , а работать только с регрессионным уравнением.

Пример: простой регрессионный анализ

Этот пример использует данные, представленные в таблице:

Рис. 3. Таблица исходных данных.

Данные составлены на основе сравнения переписей 1960 и 1970 в произвольно выбранных 30 округах. Названия округов представлены в виде имен наблюдений. Информация относительно каждой переменной представлена ниже:

Рис. 4. Таблица спецификаций переменных.

Задача исследования

Для этого примера будут анализироваться корреляция уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, которые находятся за чертой бедности. Следовательно мы будем трактовать переменную 3 ( Pt_Poor ) как зависимую переменную.

Можно выдвинуть гипотезу: изменение численности населения и процент семей, которые находятся за чертой бедности, связаны между собой. Кажется разумным ожидать, что бедность ведет к оттоку населения, следовательно, здесь будет отрицательная корреляция между процентом людей за чертой бедности и изменением численности населения. Следовательно мы будем трактовать переменную 1 ( Pop_Chng ) как переменную-предиктор.

Просмотр результатов

Коэффициенты регрессии

Рис. 5. Коэффициенты регрессии Pt_Poor на Pop_Chng.

На пересечении строки Pop_Chng и столбца Парам. не стандартизованный коэффициент для регрессии Pt_Poor на Pop_Chng равен -0.40374 . Это означает, что для каждого уменьшения численности населения на единицу, имеется увеличение уровня бедности на .40374. Верхний и нижний (по умолчанию) 95% доверительные пределы для этого не стандартизованного коэффициента не включают ноль, так что коэффициент регрессии значим на уровне p . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на .65.

Распределение переменных

Коэффициенты корреляции могут стать существенно завышены или занижены, если в данных присутствуют большие выбросы. Изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Для этого построим гистограмму переменной Pt_Poor .

Рис. 6. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Как вы можете заметить, распределение этой переменной заметно отличается от нормального распределения. Тем не менее, хотя даже два округа (два правых столбца) имеют высокий процент семей, которые находятся за чертой бедности, чем ожидалось в случае нормального распределения, кажется, что они находятся «внутри диапазона.»

Рис. 7. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Это суждение в некоторой степени субъективно. Эмпирическое правило гласит, что выбросы необходимо учитывать, если наблюдение (или наблюдения) не попадают в интервал (среднее ± 3 умноженное на стандартное отклонение). В этом случае стоит повторить анализ с выбросами и без, чтобы убедиться, что они не оказывают серьезного эффекта на корреляцию между членами совокупности.

Диаграмма рассеяния

Если одна из гипотез априори о взаимосвязи между заданными переменными, то ее полезно проверить на графике соответствующей диаграммы рассеяния.

Рис. 8. Диаграмма рассеяния.

Диаграмма рассеяния показывает явную отрицательную корреляцию ( -.65 ) между двумя переменными. На ней также показан 95% доверительный интервал для линии регрессии, т.е., с 95% вероятностью линия регрессии проходит между двумя пунктирными кривыми.

Критерии значимости

Рис. 9. Таблица, содержащая критерии значимости.

Критерий для коэффициента регрессии Pop_Chng подтверждает, что Pop_Chng сильно связано с Pt_Poor , p .

На этом примере было показано, как проанализировать простой регрессионный план. Была также представлена интерпретация не стандартизованных и стандартизованных коэффициентов регрессии. Обсуждена важность изучения распределения откликов зависимой переменной, продемонстрирована техника определения направления и силы взаимосвязи между предиктором и зависимой переменной.

Тест по «Эконометрике»

Автор: lopo15 • Февраль 20, 2018 • Тест • 1,628 Слов (7 Страниц) • 11,945 Просмотры

1 Что является предметом изучения эконометрики?

факторы, формирующие развитие экономических явлений и процессов

2 Для чего составляются эконометрические модели?

3для выявления качественного и количественного влияния разных факторов на объект

3 Эконометрика занимается изучением

качественного и количественного влияния разных факторов на экономические объекты

4 Для решения эконометрических задач необходимо

построение математической модели

предварительное решение нескольких задач математического анализа

наличие специализированных программных средств

5 Что такое математическая модель экономического объекта?

записанное в математической форме абстрактное отображение экономического объекта

6 Математическая модель экономического объекта предназначена для

экспериментального изучения поведения объекта в различных обстоятельствах

7 Что может быть выполнено с помощью эконометрической модели?

прогнозирование поведения изучаемого экономического объекта

8 Математической моделью в эконометрических задачах является

уравнение регрессии или система уравнений регрессии

9 В эконометрических задачах математическая модель

это уравнение регрессии или система уравнений регрессии

10 Что означает наличие прямой связи между переменными х и у?

3что при увеличении значений х увеличиваются и значения у

11 Что означает наличие обратной связи между переменными х и у?

что при уменьшении значений х значения у увеличиваются

12 В каком случае связь между двумя факторами является тесной?

3если их коэффициент корреляции по модулю больше или равен 0,7

13 Для определения тесноты линейной связи между двумя факторами необходимо

рассчитать коэффициент корреляции

14 Взаимозависимости экономических переменных часто описываются

15 Линейная связь между переменными означает, что

2график зависимости представляется прямой линией

16 Регрессионный анализ оценивает

формулу связи двух или нескольких переменных

17 Оценка вида связи между переменными возможна

с помощью регрессионного анализа

18 Функция, описывающая корреляционную зависимость между х и у, называется

регрессией у на х

19 Регрессия у на х — это

формула связи между переменными у и х

20 Какой метод позволяет определить оценки параметров регрессии?

метод наименьших квадратов

21 Метод наименьших квадратов позволяет

найти оценки параметров регрессии

22 Метод наименьших квадратов состоит

2в минимизации суммы квадратов отклонений реальных значений у от расчетных

23 Решение по МНК в пакете Excel можно получить при помощи

опций Анализ данных — Регрессия

24 Что такое МНК?

3метод наименьших квадратов

25 Для чего применяется МНК?

для оценки параметров регрессии

26 Для оценки формы связи между переменными служит

27 В каком случае регрессия является парной?

4если в уравнение регрессии входит одна зависимая и одна независимая переменная

28 В каком случае регрессия является множественной?

3если в ур-е регрессии входит одна зависимая и множество независимых переменных

29 Какие виды регрессионных зависимостей существуют?

парная, множественная, линейная, нелинейная

30 Какого вида регрессионная зависимость между переменными не может существовать?

прямая, линейная, нелинейная

31 Что является математической моделью эконометрической задачи?

одно уравнение или система уравнений регрессии

32 Можно ли на основании решения Excel прогнозировать изменение Y в зависимости от изменения X?

2можно, только если построенная регрессионная модель является качественной

33 После записи уравнения регрессии необходимо

оценить качество полученного уравнения

34 Регрессионная модель считается качественной при обязательном выполнении следующих условий:

1связь в модели тесная, объясняющие переменные значимы, наблюдений достаточно

35 При решении эконометрических задач уравнение регрессии является

математической моделью зависимости переменных

36 Уравнение регрессии оценивает

форму зависимости исследуемых переменных

37 Для оценки формы связи между переменными служит

38 Для чего составляется уравнение регрессии?

2для определения формы зависимости исследуемых переменных

39 Значения х и у для поиска уравнения регрессионной зависимости берутся

из статистических данных

40 Значения a и b для поиска уравнения регрессионной зависимости берутся

из расчетов по методу наименьших квадратов

41 Уравнение регрессии записывается на основании

1величин коэффициентов регрессии

42 Какие величины служат для записи уравнения регрессии?

43 В уравнении регрессии зависимая переменная обычно обозначается как

44 В уравнении регрессии независимая переменная обычно обозначается как

45 В уравнении регрессии факторы обычно обозначаются как

46. В уравнении регрессии параметры обычно обозначаются как

47. В уравнение регрессии входят

зависимая переменная, независимые переменные и коэффициенты при них

48 В уравнении регрессионной зависимости может быть только

3одна зависимая и одна или несколько независимых переменных

49. Сколько объясняющих переменных может быть в уравнении регрессии?

произвольное количество (желательно, не более трети от числа наблюдений)

50 Сколько зависимых переменных может быть в уравнении регрессии?

51 В уравнении y = a + bx коэффициенты а и b — это:

52 В уравнении y = a + bx коэффициент а является

53 В уравнении y = a + bx коэффициент b является

54 В уравнении регрессии параметры регрессии обычно обозначаются как

55 В результатах решения задачи коэффициент регрессии а отображается как:

56 В уравнении y = a + bx величина коэффициента а отражает

значение у при нулевых значениях х

56. В уравнении y = a + bx величина коэффициента а отражает

значение у при единичном увеличении х

значимость или незначимость переменной у

значимость или незначимость коэффициента а

57 В результатах регрессионного анализа Y-пересечение — это

коэффициент регрессии а

58. Чему будет равен Y в парной линейной регрессии, если Y-пересечение = 5, b = 7, х = 10?

59 Чему будет равен Y в парной линейной регрессии, если Y-пересечение = 2, b = 6, х = 4?

60 Чему будет равен Y в множественной линейной регрессии, если Y-пересечение = 2, b1 = 5, b2 = 2, х1 = 4, x2 = 1?

61 Чему будет равен Y в множественной линейной регрессии, если Y-пересечение = 10, b1 = 1, b2 = 2, х1 = 3, x2 = 4?

62 Чему будет равен Y в множественной линейной регрессии, если Y-пересечение = 6, b1 = 2, b2 = 5, х1 = 8, x2 = 4?

63 В уравнении регрессии у = a + bx коэффициент а показывает

прогнозируемую величину у при х = 0

64 В уравнении регрессии у = a + bx коэффициент а показывает

величину у при равенстве х нулю

65 Как в уравнении регрессии интерпретируется коэффициент перед переменной х?

показывает величину изменения у при единичном изменении х

66 В уравнении регрессии у = a + bx коэффициент b показывает

2величину изменения у при единичном изменении х

67 Вероятность выполнения нуль-гипотезы для коэффициента регрессии оценивается с помощью

Р-значения этого коэффициента регрессии

68 В уравнении y = a + bx незначимость коэффициента регрессии b означает, что

влияние переменной х на коэффициент b отсутствует

влияние переменной у на коэффициент b отсутствует

влияние коэффициента b на переменную х отсутствует

69 В уравнении y = a + bx незначимость коэффициента регрессии а означает, что

3влияние коэффициента а на переменную у отсутствует

70 В уравнении y = a + bx незначимость Y-пересечения означает, что

в уравнении регрессии отсутствует константа

71 Что означает не значимость коэффициента регрессии?

что соответствующая ему независимая переменная не влияет на зависимую

72 Значимость коэффициентов регрессии определяется с помощью:

73 Что означает статистическая незначимость параметра (коэффициента) регрессии?

высокую вероятность равенства данного параметра нулю

74. Когда коэффициент регрессии считается значимым?

если его Р-значение меньше 5%

75 Какая величина «Р-значения» подтверждает влияние х на у?

Р-значение для него меньше 0,05

76 При одновременной незначимости нескольких объясняющих переменных модели нужно

4удалить их последовательно, начиная с той, чье Р-значение больше

77 Что следует делать, если коэффициент регрессии не значим?

удалять из модели переменную, которой он соответствует

78 Теснота связи в уравнении регрессии определяется с помощью

79 Какой показатель характеризует тесноту связи в уравнении регрессии?

80 С помощью какой величины определяется теснота связи в уравнении регрессии?

с помощью коэффициента корреляции

81 Что проверяется с помощью коэффициента корреляции?

теснота связи между факторами в уравнении регрессии

82 Коэффициент корреляции оценивает

тесноту связи в уравнении регрессии

83 Для констатации наличия тесной связи в регрессионной модели необходимо

чтобы модуль коэффициента корреляции был не меньше 0,7

84 Тесная связь между перменными модели констатируется в том случае, если

коэффициент корреляции по модулю не меньше 0,7

85 Коэффициент корреляции при решении в пакете Excel выдается как величина

86 В результатах решения задачи в Excel коэффициент корреляции отображается как:

87 Какие действия приводят к увеличению тесноты связи в регрессионной модели?

удаление выбросов, добавление ранее неучтенных факторов, видоизменение модели

88 Величина «Значимость F» показывает

1вероятность недостоверности коэффициента детерминации

89 Для чего служит величина «Значимость F»?

2для определения достоверности коэффициента детерминации

90 Нулевая гипотеза для коэфициента детерминации отвергается при

Значимости F, меньшей или равной 5%

91 Что означает незначимость коэффициента детерминации?

что рассчитанный коэффициент детерминации не достоверен

92 В каком случае коэффициент детерминации может быть не достоверен?

4в случае, если для анализа взято слишком мало наблюдений

93 Что необходимо сделать в случае незначимости коэффициента детерминации?

увеличить количество наблюдений в исследуемой выборке

94 Причиной недостоверности коэффициента детерминации может служить

недостаточное количество наблюдений

95 В каком случае коэффициент детерминации считается незначимым?

если величина «Значимость F» больше 0,05

96 В каком случае коэффициент детерминации признается не достоверным?

если Значимость F больше или равна 5%

97 Что показывает коэффициент детерминации?

объясненную регрессией долю дисперсии зависимой переменной у

98 Как рассчитывается коэффициент детерминации?

как доля объясненной регрессией дисперсии в общей дисперсии зависимой переменной

99 О чем свидетельствует близкое кзначение коэффициента детерминации?

о наличии тесной связи между изучаемыми показателями

100 Величина RSS показывает

3величину дисперсии зависимой переменной, объясненной регрессией

101. Величина ТSS показывает

общий разброс зависимой переменной вокруг ее среднего значения

102 Величина ЕSS показывает

4величину дисперсии зависимой переменной, не объясненной регрессией

103 Как рассчитывается коэффициент детерминации?

104 Что такое остаток?

3разность между реальным и расчетным значением у

105 Какое количество остатков выводится при проведении регрессии?

2равное количеству наблюдений

106 Какое количество стандартных остатков выводится при проведении регрессии?

3равное количеству наблюдений

107 Что такое статистический выброс?

наблюдение, которое резко отклоняется от линии регрессии

108 Что такое статистический выброс?

нетипичное наблюдение, подлежащее удалению

109. Какое наблюдение считается статистическим выбросом?

наблюдение, не вошедшее в выборку, по которой производится регрессионный анализ

110 Каким образом при решении регрессионной задачи в пакете Excel обнаруживаются статистические выбросы?

2по величинам стандартных остатков наблюдений

111 В каких случаях не обязательно удаление статистических выбросов?

2в случае сильной связи в регрессионной модели

112 В каких случаях необходимо удаление статистических выбросов?

в случае низкого значения коэффициента корреляции

113 Каковы последствия удаления статистических выбросов в регрессионном анализе?

увеличение тесноты связи в модели

114. Для проверки качества построенной регрессионной модели необходимо проанализировать:

коэффициент корреляции, Значимость F, Р-значения

115 Для чего в регрессионную модель вводятся бинарные переменные?

для учета качественных признаков

115. Для признания регрессионной модели качественной должны выполняться условия:

связь тесная, наблюдений достаточно, все объясняющие переменные значимы

116 Что такое бинарная переменная?

переменная, принимающая значения «0» или «1» при наличии или отсутствии признака

116. Зачем в регрессионном анализе используются бинарные переменные?

чтобы учесть в модели факторы, выражающиеся не количественными значениями

117 Фиктивная переменная — это

другое название бинарной переменной

118 Бинарная переменная является

равноправной переменной регрессионной модели

119 Уравнение регрессии, содержащее бинарные переменные, является

120 Какие значения может принимать фиктивная переменная?

121 Можно ли использовать бинарные переменные в множественной регрессии?

122 Можно ли использовать бинарные переменные в парной регрессии?

123 Можно ли вводить в модель больше одной бинарной переменной?

123. Можно ли вводить в модель больше одной бинарной переменной?

да, только при условии высокого коэффициента корреляции

124 Может ли бинарная переменная быть независимой переменной регрессионной модели?

125 Может ли коэффициент при бинарной переменной быть отрицательным?

126 Что означает отрицательный коэффициент при бинарной переменной?

уменьшение зависимой переменной при наличии признака, описываемого бинарной

127 Что означает положительный коэффициент при бинарной переменной?

увеличение зависимой переменной при наличии признака, описываемого бинарной

128 Незначимость коэффициента при бинарной переменной означает

4отсутствие влияния данного качественного признака на зависимую переменную

129 Статистическая значимость бинарной переменной означает

подтвержденное влияние данного качественного признака на зависимую переменную

130 В каких случаях производится исключение бинарных переменных из модели?