Уровень надежности в excel формула

history 23 ноября 2016 г.

Группы статей
• Статистический вывод

Дадим определение терминам уровень надежности и уровень значимости. Покажем, как и где они используется в MS EXCEL .

СОВЕТ : Для понимания терминов Уровень значимости и Уровень надежности потребуется знание следующих понятий:

Уровень значимости статистического теста – это вероятность отклонить нулевую гипотезу , когда на самом деле она верна. Другими словами, это допустимая для данной задачи вероятность ошибки первого рода (type I error).

Уровень значимости обычно обозначают греческой буквой α ( альфа ). Чаще всего для уровня значимости используют значения 0,001; 0,01; 0,05; 0,10.

Например, при построении доверительного интервала для оценки среднего значения распределения , его ширину рассчитывают таким образом, чтобы вероятность события « выборочное среднее (Х _ср ) находится за пределами доверительного интервала » было равно уровню значимости . Реализация этого события считается маловероятным (практически невозможным) и служит основанием для отклонения нулевой гипотезы о равенстве среднего заданному значению .

Ошибка первого рода часто называется риском производителя. Это осознанный риск, на который идет производитель продукции, т.к. он определяет вероятность того, что годная продукция может быть забракована, хотя на самом деле она таковой не является. Величина ошибки первого рода задается перед проверкой гипотезы , таким образом, она контролируется исследователем напрямую и может быть задана в соответствии с условиями решаемой задачи.

Чрезмерное уменьшение уровня значимости α (т.е. вероятности ошибки первого рода ) может привести к увеличению вероятности ошибки второго рода , то есть вероятности принять нулевую гипотезу , когда на самом деле она не верна. Подробнее об ошибке второго рода см. статью Ошибка второго рода и Кривая оперативной характеристики .

Уровень значимости обычно указывается в аргументах обратных функций MS EXCEL для вычисления квантилей соответствующего распределения: НОРМ.СТ.ОБР() , ХИ2.ОБР() , СТЬЮДЕНТ.ОБР() и др. Примеры использования этих функций приведены в статьях про проверку гипотез и про построение доверительных интервалов .

Уровень надежности

Уровень доверия (этот термин более распространен в отечественной литературе, чем Уровень надежности ) — означает вероятность того, что доверительный интервал содержит истинное значение оцениваемого параметра распределения.

Уровень доверия равен 1-α, где α – уровень значимости .

Термин Уровень надежности имеет синонимы: уровень доверия, коэффициент доверия, доверительный уровень и доверительная вероятность (англ. Confidence Level , Confidence Coefficient ).

В математической статистике обычно используют значения уровня доверия 90%; 95%; 99%, реже 99,9% и т.д.

Например, Уровень доверия 95% означает, что событие, вероятность которого 1-0,95=5% исследователь считать маловероятным или невозможным. Разумеется, выбор уровня доверия полностью зависит от исследователя. Так, степень доверия авиапассажира к надежности самолета, несомненно, должна быть выше степени доверия покупателя к надежности электрической лампочки.

Примечание : Стоит отметить, что математически не корректно говорить, что Уровень доверия является вероятностью, того что оцениваемый параметр распределения принадлежит доверительному интервалу , вычисленному на основе выборки . Поскольку, считается, что в математической статистике отсутствуют априорные сведения о параметре распределения. Математически правильно говорить, что доверительный интервал , с вероятностью равной Уровню доверия, накроет истинное значение оцениваемого параметра распределения.

Уровень надежности в MS EXCEL

В MS EXCEL Уровень надежности упоминается в надстройке Пакет анализа . После вызова надстройки, в диалоговом окне необходимо выбрать инструмент Описательная статистика .

После нажатия кнопки ОК будет выведено другое диалоговое окно.

В этом окне задается Уровень надежности, т.е.значениевероятности в процентах. После нажатия кнопки ОК в выходном интервале выводится значение равное половине ширины доверительного интервала . Этот доверительный интервал используется для оценки среднего значения распределения, когда дисперсия не известна (подробнее см. статью про доверительный интервал ).

Необходимо учитывать, что данный доверительный интервал рассчитывается при условии, что выборка берется из нормального распределения . Но, на практике обычно принимается, что при достаточно большой выборке (n>30), доверительный интервал будет построен приблизительно правильно и для распределения, не являющегося нормальным (если при этом это распределение не будет иметь сильной асимметрии ).

Примечание : Понять, что в диалоговом окне речь идет именно об оценке среднего значения распределения , достаточно сложно. Хотя в английской версии диалогового окна это указано прямо: Confidence Level for Mean .

Если Уровень надежности задан 95%, то надстройка Пакет анализа использует следующую формулу (выводится не сама формула, а лишь ее результат):

или эквивалентную ей

где =СТАНДОТКЛОН.В(Выборка)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(Выборка)) – является стандартной ошибкой среднего (формулы приведены в файле примера ).

=ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(1-0,95; СТАНДОТКЛОН.В(Выборка); СЧЁТ(Выборка))

Решение задач описательной статистики средствами пакета анализа Microsoft Excel Текст научной статьи по специальности « Компьютерные и информационные науки»

CC BY

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Трущелёв Сергей Андреевич

Представлено определение описательной статистики , изложены методика вычисления основных ее показателей, а также пошаговая процедура статистического анализа. Сообщение содержит обучающий компонент.

Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Трущелёв Сергей Андреевич

Descriptive statistics using the Data Analysis Toolpak in Microsoft Excel

The paper presents a definition of descriptive statistics , and its main indicators. The necessity of their calculation is set out step by step in the procedure of statistical analysis. The message is a training component with.

Текст научной работы на тему «Решение задач описательной статистики средствами пакета анализа Microsoft Excel»

МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Уважаемые читатели, коллеги!

В связи с возрастающими требованиями к качеству публикаций результатов научно-исследовательских работ в «Российском психиатрическом журнале» открыта новая рубрика «Методология научно-исследовательской деятельности». Планируется публикация обучающих и информационно-разъяснительных материалов по разным разделам науковедения, организации научной работы, биоинформатике, биостатистике, биоэтике и т.д. Приглашаем ученых и исследователей поделиться опытом в этой области. Надеемся, что наша инициатива будет поддержана не только в научном сообществе, но и воспринята в среде практикующих специалистов.

© С.А. Трущелёв, 2013 Для корреспонденции

УДК 311:004 Трущелёв Сергей Андреевич — кандидат медицинских наук,

доцент, ведущий научный сотрудник ФГБУ «Московский научно-исследовательский институт психиатрии Минздрава России»

Адрес: 107076, г. Москва, ул. Потешная, д. 3 Телефон: (495) 963-25-31 E-mail: sat-geo@mail.ru

Решение задач описательной статистики средствами пакета анализа Microsoft Excel

Descriptive statistics using the Data Analysis Toolpak in Microsoft Excel

The paper presents a definition of descriptive statistics, and its main indicators. The necessity of their calculation is set out step by step in the procedure of statistical analysis. The message is a training component with. Key words: science of science, biostatistics, descriptive statistics, data analysis toolpak, Excel

ФГБУ «Московский научно-исследовательский институт психиатрии Минздрава России»

Moscow Research Institute of Psychiatry

Представлено определение описательной статистики, изложены методика вычисления основных ее показателей, а также пошаговая процедура статистического анализа. Сообщение содержит обучающий компонент.

Ключевые слова: науковедение, биостатистика, описательная статистика, пакет анализа, Excel

Каждое явление (предмет исследования) определяется многими факторами. В научном исследовании полностью учесть все факторы и обеспечить их стабильность удается редко. Следовательно, явление, определяемое этими факторами, не поддается точному предсказанию — оно приобретает вероятностные черты, т.е. ведет себя случайным образом. Этому подвержены многие явления, поэтому они определяются случайной величиной, которая принимает в результате опыта или наблюдения одно из множества значений. Случайные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными. Немаловажно их распределение — правило, которое устанавливает связь между значениями случайной величины и вероятностями (частотами) их появления.

Наглядное представление о распределении случайных величин дает разброс песчинок, образующих кучу при высыпании (рассеивании) из некоторого точечного источника. Его проекция является параметром положения и соответствует математическому ожиданию распределения, если куча симметрична. Разброс песчинок (параметр рассеяния) характеризуется радиусом кучи на высоте примерно 2/3. Такой параметр рассеяния соответствует так называемому стандартному (среднеквадратичному) отклонению случайных величин в распределении. Горизонтальные расстояния песчинок от проекции источника (математического ожидания) моделируют рассеяние случайной величины. Поверхность кучи (ее высоты) соответствует частоте случайных величин на разных расстояниях от центра. Вершина кучи, расположенная под источником, отвечает максимуму частоты. На периферии высота кучи уменьшается до нуля, что соответствует уменьшению частот больших отклонений от центра рассеяния. Статистическая обработка совокупности данных состоит в некоторых осредняющих вычислительных процедурах, погашающих сугубо индивидуальные особенности — отклонения от общей закономерности и подчеркивающих типичные (популяцион-ные) свойства явления в целом. Начальный раздел математической статистики — описательная статистика — занимается характеристикой (описанием) картины случайного рассеяния по совокупности данных. В соответствии с законом распределения данных решаются вопросы выбора и вычислений надлежащих показателей. Описательная статистика включает методы организации, суммирования и описания данных. Дескриптивные (от англ. descriptive — описательный) показатели позволяют быстро обобщать данные. К описательным методам относят частотные распределения, меры централь-

ной тенденции и меры относительного положения [4, с. 95].

К основным показателям описательной статистики относятся среднее значение (среднее арифметическое, медиана, мода), усредненное значение, разброс (диапазон разброса данных), дисперсия, стандартное среднеквадратное отклонение (СКО), квартили, доверительный интервал [2, с. 28].

Статистическая обработка результатов исследований и получение показателей описательной статистики в недалеком прошлом обычно занимали много времени, однако с внедрением средств компьютерной техники многое изменилось — вычислительные процессы стали происходить очень быстро. Для проведения статистических расчетов в электронной таблице Microsoft Excel имеется пакет анализа. Надстройка «Анализ данных» располагается во вкладке «Данные», в крайне правом блоке ленты (рис. 1).

Для демонстрации вычислений будем использовать гипотетический набор данных. Далее приведем пошаговую инструкцию по созданию описательной статистики признака (показателя систолического давления), измеренного до лечения и после него, в группе наблюдения (n=60).

Для проведения вычисления обратитесь к ленте: Данные ^ Анализ данных ^ Описательная статистика ^ ОК. Затем, перейдя в окно инструмента, выберите входной интервал, группирование (по столбцам), поставьте галочку, если в первой строке выделены метки; в параметрах вывода на поле электронной страницы выберите ячейку вывода результатов, установите галочку рядом с итоговой статистикой. Потом нажмите кнопку ОК. После этого вы получите результаты описательной статистики выбранных признаков (рис. 2 и 3).

[й1 A «ï- V m И^ЭгшИ Главная Ш I» 1 Описательная статистика — Microsoft Excel □ 0 й Вставка Разметка страницы Формулы Данные Рецензирование Вид Разработчик Надстройки MetaXL Л □ S3

П внец m 1олучение jних данныхт ч [^Подключения ^Свойства Обновить все т && Изменить связи Подключения A I AIЯ I Я + Я 1А1 Я| Сортировка Со pi ч Ш ^ Очистить ^ Повторить Фильтр ™ № Дополнительно ировка и фильтр S Ii ы» вш а в Текст по Удалить ,—, столбцам дубликаты » Работа сданными Ф Фор» орма Jbi ssprfa ф ^ ^Анализданных Поиск решения Стр^И^ра Анализ

А в с D Е F G У 1 J К 1 L _

1 Номер_исс Признак_1 Признак_2 у

3 2 178 143 Анализ данным lia

Инструменты анализа У _ 1 о, 1

4 3 320 188 Двухфакторный дисперсионный^нализ без повторений Корреляция Л* 3 J d Отмена |

6 5 159 161 Экспоненциальное сглаживание Двухвыборочный Р-тест для дисперсии Анализ Фурье Гистограмма Скользящее среднее 1 Генерация случайных чисел_| Справка

Рис. 1. Пошаговый выбор инструмента анализа данных

Рис. 2. Окно инструмента описательной статистики

Среднее (арифметическое; М; х ) — одна из наиболее распространенных мер центральной тенденции, представляющая собой сумму всех значений, деленную на их количество. Если значения интересующего нас признака у большинства объектов близки к их среднему и с равной вероятностью отклоняются от него в большую или меньшую сторону, лучшими характеристиками совокупности будут само среднее значение и стандартное отклонение. Напротив, когда значения признака распределены несимметрично относительно среднего, совокупность лучше описать с помощью медианы и процен-тилей [1, с. 27].

Стандартная ошибка (т) — показатель надежности расчетного параметра; стандартное отклонение оценок, которые будут получены при многократной случайной выборке данного размера из одной и той же совокупности. Стандартная ошибка — это убывающая функция объема выборки: чем меньше стандартная ошибка, тем более достоверной является оценка параметра. Весьма часто для описания непрерывных количественных данных используют стандартную ошибку, которая (в отличие от СКО) является не характеристикой, описывающей распределение наблюдений исследуемой выборки по области значений, а только мерой точности оценки популяционного среднего и, следовательно, не характеризует дисперсию (разброс) в анализируемой выборке. Однако часто именно стандартную ошибку среднего приводят в качестве параметра описательной статистики, пытаясь продемонстрировать тем самым малую вариабельность своих данных, так как всегда (по определению) т Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

60 Среднее 161,77 Среднее 134,03

61 Стандартная ошибка 12,46 Стандартная ошибка 6.59

62 Медиана 167 Медиана 121,5

63 Мода 72 Мода 141

64 Стандартное отклонение 96.54 Стандартное отклонение 51,03

65 Дисперсия выборки 9320.59 Дисперсия выборки 2604.34

66 Эксцесс 0.89 Эксцесс 2.75

67 Асимметричность 0.96 Асимметричность 1,43

68 Интервал 420 Интервал 254

69 Минимум 50 Минимум 55

70 Максимум 470 Максимум 309

71 Сумма 9706 Сумма 8042

72 Счет 60 Счет 60

73 74 Уровень надежности(95.0%) 24.94 Уровень надежности(95.0%) 13,18

Коэффициент вариации 60% Коэффициент вариации 38%

Рис. 3. Результаты описательной статистики двух признаков

Медиану и интерквартильный размах рекомендуется применять для описания распределения, не являющегося нормальным (а это большинство распределений медико-биологических параметров) [1, с. 34]. Интерквартильный размах указывают в виде процентилей. Рекомендуется указывать уровни 25 и 75%, которые соответствуют верхней границе 1-го и нижней границе 4-го квартилей. Пример описания: Me (25%; 75%) = 60 (23; 78).

Мода (Мо) — значение, которое встречается наиболее часто во множестве. Иногда в совокупности встречается более одной моды. Тогда говорят, что совокупность мультимодальна — свидетельство того, что набор данных не подчиняется нормальному распределению. Мода как средняя величина употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Например, в группе пациентов наибольшая частота тяжести болезни будет равна моде. При экспертной оценке с помощью этого показателя определяют предпочтения участников исследования. Недостаток — показатель не учитывает поведение распределения в других точках.

Стандартное отклонение (синонимы: среднеквадратичное отклонение, квадратичное отклонение; стандартный разброс; СКО; в; о) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространенный показатель рассеивания значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Измеряется в единицах случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Стандартное отклонение используют при расчете стандартной ошибки среднего арифметического, построении доверительных интервалов, статистической проверке гипотез, измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами. Большое значение СО показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения во множестве сгруппированы вокруг среднего. Если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратичного отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

Дисперсия (D; о2) — мера разброса случайной величины, т.е. ее отклонения от математического ожидания. Квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением. Дисперсия измеряется в квадратах единицы измерения. Однако в самостоятельном виде (как, например, средняя арифметическая) дисперсия используется редко. Это скорее вспомогательный и промежуточный показатель, который применяют в других методах статистического анализа.

Эксцесс — скалярная характеристика островершинности графика плотности вероятности унимо-

дального распределения, которую используют в качестве некоторой меры отклонения рассматриваемого распределения от нормального. Если коэффициент эксцесса равен нулю или близок к нему, то плотность вероятности распределения имеет нормальный эксцесс. Если коэффициент эксцесса сильно больше нуля, то плотность вероятности имеет положительный эксцесс. Это, как правило, соответствует тому, что график плотности рассматриваемого распределения в окрестности моды имеет более острую и более высокую вершину, чем нормальная кривая. Когда коэффициент эксцесса сильно больше нуля, говорят об отрицательном эксцессе плотности, при этом плотность вероятности имеет в окрестности моды более низкую и плоскую вершину, чем плотность нормального закона. Для генеральных совокупностей больших объемов его малыми значениями можно пренебречь.

Асимметричность (коэффициент асимметрии или скоса) — величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины. Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого, и отрицателен в альтернативном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.

Интервал — размах показателей, т.е. разность между максимумом и минимумом значений вариант.

Максимум — наибольшее значение вариант.

Минимум — наименьшее значение вариант.

Сумма — сумма значений вариант.

Счет — количество вариант.

Уровень надежности — свойство объекта сохранять в установленных пределах значения всех параметров. Показывает величину доверительного интервала для математического ожидания согласно заданному уровню надежности или доверия. По умолчанию уровень надежности принят равным 95%.

Коэффициент вариации случайной величины -мера относительного разброса случайной величины. Показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс. Исчисляется в процентах. Вычисляется только для количественных данных. В отличие от стандартного отклонения, он измеряет не абсолютную, а относительную меру разброса значений признака в статистической совокупности. В Excel нет готовой функции для расчета коэффициента вариации. Расчет можно провести простым делением стандартного отклонения на среднее значение. Эти значения имеются в таблице описательной статистики. Для вычисления этого важного показателя в ячейке ниже надписи Уровень надежности пишем Коэффициент вариации, затем в ячейке справа делаем запись: =G64/G60. То же необходимо по-

вторить для вычисления коэффициента вариации для другого измерения.

Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейку с формулой можно обрамить процентным форматом. Нужная кнопка находится на панели инструментов в закладке «Главная». Коэффициент вариации, в отличие от других показателей разброса значений, используется как самостоятельный и весьма информативный индикатор вариации данных. В статистике принято считать, что совокупность данных является однородной, если коэффициент вариации менее 33%, неоднородной — если более 33%. Эта информация может быть полезна для предварительного описания данных и определения возможностей проведения дальнейшего анализа. Кроме того, коэффициент вариации, измеряемый в процентах, позволяет сравнивать степень разброса различных данных независимо от их масштаба и единиц измерений.

Анализ показателей описательной статистики

При сравнении значений среднего, медианы, моды в каждом измерении следует отметить, что эти показатели сильно отличаются друг от друга.

Коэффициенты эксцесса и асимметрии значимо отличаются от установленных границ, коэффициенты вариации больше критического (предельного) значения. Следовательно, распределение данных в обеих группах измерений отлично от нормального. В последующем необходимо применять непараметрические методы статистического анализа. Для быстрой сравнительной оценки можно использовать показатели доверительных интервалов.

Для представления результатов сравнения обычно используют формат в виде М (95% ДИ) — значение среднего и указание 95% доверительного интервала. В тексте публикации запись может выглядеть следующим образом: Средний уровень систолического давления в группе пациентов до лечения составил 161,77 мм рт. ст. (95% ДИ от 136,83 до 186,71 мм рт. ст.), после лечения -134,03 мм рт. ст. (95% ДИ от 120,85 до 147,21 мм рт. ст.). Указанные доверительные интервалы имеют зону совмещения, следовательно, существенного различия в изменении признака нет. Исходя из этого с большой долей вероятности можно утверждать, что для данной группы пациентов лекарственный препарат, примененный для снижения уровня систолического артериального давления, был не эффективен.

1. Гланц С. Медико-биологическая статистика / Пер. с англ. -М., Практика, 1998. — 459 с.

2. Ланг Т.А., Сесик М. Как описывать статистику в медицине. Аннотированное руководство для авторов, редакторов и рецензентов / Пер. с англ. под ред. В.П. Леонова. -М.: Практическая медицина, 2011. — 480 с.

3. Леонов В.П. Ошибки статистического анализа биомедицинских данных // Междунар. журн. мед. практики. — 2007. -№ 2. — С. 19-35.

4. Трущелев С.А. Медицинская диссертация: руководство: 3-е изд. / Под ред. проф. И.Н. Денисова. — М.: ГЭОТАР-Медиа, 2009. — 416 с.