Треугольное распределение в excel

В статье приведены примеры кода Excel-VBA, задающие пользовательские функции для генерирования случайных величин с нужным распределением. Также разобраны встроенные средства для работы с распределениями.

Нормальное распределение

В Excel достаточно удобно работать с нормальным распределением с помощью формул НОРМ.РАСП (NORM.DIST) и НОРМ.ОБР (NORM.INV). Первая функция позволяет считать доверительные интервалы, а вторая — генерировать нормальные распределения с произвольным мат. ожиданием и стандартным отклонением.

Скачать пример в Excel

Треугольное распределение

Как сгенерировать в Excel

Первый пример — треугольное распределение. В Excel отсутствует функция для работы с треугольным распределением, но его можно получить из простого равномерного распределения с помощью данной пользовательской функции:

Function TRIDIST(random As Double, min As Double, max As Double, mean As Double)
    If mean < min Or max < mean Then
        TRIDIST = CVErr(xlErrValue)
    Else
        If random <= (mean - min) / (max - min) Then
            TRIDIST = min + Sqr((max - min) * (mean - min) * random)
        Else
            TRIDIST = max - Sqr((max - min) * (max - mean) * (1 - random))
        End If
    End If
End Function

После добавления данного кода в Excel появится возможность написать формулу =TRDIST(random,min,max,mean)

Первый аргумент — random — случайная величина распределенная равномерно от 0 до 1. (функция СЛЧИС() либо СЛЧИСМЕЖДУ(0,1)).

Второй и третий аргументы — min. max — минимум и максимум функции распределения.

Третий аргумент — mean — мат. ожидание.

Таким образом данная функция позволяет работать как с симметричными так и с асимметричными треугольными распределениями. 

В каких случаях применяется

При моделировании случайных процессов чаще всего используется нормальное или log-нормальное распределения, однако в некоторых случаях оправдано использование треугольного распределения. Один из примеров — вариативность случайной величины строго ограничена определённым диапазоном. Когда такое бывает? Допустим, что мы строим модель DCF для оценки денежного потока компании и для симуляции монте-карло нам необходимо задать распределение EBIT margin. Очевидно, что в теории данная величина может принимать значения от -1 до 1, но на практике для большинства здоровых компаний она находится в диапазоне от 5% до 50% и здесь-то нам и может помочь треугольное распределение и пошльзовательская функция TRDIST.

Пример работы функции:

В результате мы получили асимметричное треугольное распределение с мат. ожиданием 0.2, минимумом 0,05 и максимумом 0,25 (стандартное отклонение оказалось равным 0,041344).

In excel, there are cases where there are only a few samples of data available, the triangle distribution offers a simplification of the probability distribution. The minimum, maximum, and peak data points make up its parameters. Common uses include modeling of natural processes, project management planning, business, and economic simulations, and audio dithering.

Triangular distribution can be indicated by:

• a represents the lowest value, where a ≤ c,
• c represents the highest value (the height of the triangle), where a ≤ c ≤ b,
• b represents the highest value, where b ≥ c.

This makes estimating the parameters of the distribution using sample data very simple:

• Use any logical statistic (such as the sample mean, mode, or median) as an estimator for c. 
• Calculate a using the sample minimum as an estimator.
• As an estimator for b, use the sample maximum.

If you don’t have sample data, you can estimate a likely minimum, maximum, and most likely value using a knowledge base (i.e. the mode). The triangular distribution has the PDF and CDF listed below:

PDF (Probability Density Function)

The probability density function, or PDF, is a term used to describe how a random variable will behave. The value of the PDF at a specific location is the value of the PDF random variable. In other words, it is the probability that a specific value will be assigned to the random variable. Both continuous and discrete random variables are described using PDFs. A PDF could be used, for instance, to show how persons in a population vary in height. Height would be plotted on the x-axis and probability would be plotted on the y-axis for the PDF. When calculating the probability that a random variable will fall inside a particular range, the probability density function is defined as follows:

CDF (Cumulative Distribution Function)

The cumulative distribution function (CDF) of a certain random variable is taken into consideration while calculating the values of CDF random variables. A sort of function known as a CDF produces a number between 0 and 1, inclusive, from a real value x. They provide the possibility that a specific random variable will have a value less than or equal to x, therefore one may think of them as a sort of “running total.” When working with continuous random variables, CDFs are very helpful since they make it possible to calculate probabilities over intervals rather than simply single points. One only needs to enter the correct numbers into the CDF equation and perform an evaluation to determine the CDF value of a given random variable.

When calculating the probability that a random variable will fall inside a particular range, the cumulative distribution function is defined as follows:

Triangular Distribution in Excel

The Triangular distribution can be used in Excel to determine probabilities, as shown by the examples below.

Example 1: Imagine a store predicts that in any given week, it will welcome at least 600, at most 4,000, and most likely 2,400 customers. How likely is it that the store will see more than 2500 visitors in a single week?

Answer: 

From the question, we can note,

Maximum, b = 4000

Minimum, a = 600

Peak, c = 2400

Random variable, x = 2200

Using the CDF, we can apply the following calculation to estimate the probability that there will be more than 2,500 customers overall:

P(X < x) = (x-a)² / ((b-a)(c-a))

Observe here x < c

We are applying this formula because of this. 

Here is an Excel formula to determine this probability:

Step 1: Enter all the data in an excel sheet.

Step 2: Calculate the probability by using the formula that is mentioned above:

Step 3: Press enter and you will get your answer.

There is a 0.4183 percent chance that more than 2,200 people will enter the store.

Example 2: Let’s say a mobile store predicts that its total sales for the missing week will be at least $5,000, most likely $25,000, and at most $50,000. What is the chance that the restaurant’s overall sales would be less than $26,000?

Answer: 

From the question, we can note,

Maximum, b = 50000

Minimum, a = 5000

Peak, c = 25000

Random variable, x = 26000

Using the CDF, we can apply the calculation below to determine the likelihood that total sales will be under $26,000:

P(X > x) = 1 – [1 – (b-x)2 / (b-a)(b-c))]

Observe here x > c

We are applying this formula because of this. 

Here is an Excel formula to determine this probability:

Step 1: Enter all the data in an excel sheet.

Step 2: Calculate the probability by using the formula that is mentioned above:

Step 3: Press enter and you will get your answer.

There is a 0.512 chance that the restaurant’s overall sales will be less than $26,000.

Example 3: Let’s say a teacher predicts that the combined scores of all of their students will be at least 100, a maximum of 600, and most likely 400 for the upcoming week. What is the probability that a student’s score will be less than 300 overall?

Answer: 

From the question, we can note,

Maximum, b = 600

Minimum, a = 100

Peak, c = 400

Random variable, x = 300

Using the CDF, we can apply the calculation below to determine the likelihood that at total student score will be under 300:

P(X < x) = (x-a)² / ((b-a)(c-a))

Observe here x < c

We are applying this formula because of this. 

Here is an Excel formula to determine this probability:

Step 1: Enter all the data in an excel sheet

Step 2: Calculate the probability by using the formula that is mentioned above:

Step 3: Press enter and you will get your answer.

There is a 0.26667 chance that the student’s overall score will be less than 300.

Тема:
моделирование случайных величин в
табличном процессоре Excel.

Цель работы.
Научиться
получать конечный
набор значений случайной величины для
разных законов распределения.

Теоретический
материал. Моделирование
случайных величин часто используется
в методах Монте-Карло и имитационном
моделировании, которые невозможны без
таких случайных величин.

Обычно моделирование
случайных величин начинается с методов
генерирования случайных чисел, имеющих
равномерное распределение на интервале
[0, 1], а уже эти числа являются основой
для моделирования случайных величин,
имеющих другие распределения. В Excel
имеются готовые средства (функция СЛЧИС
и Генерация
случайных чисел)
для создания последовательности
равномерно распределенных случайных
чисел. Рассмотрим способы моделирова­ния
произвольных случайных величин.

В Excel
есть довольно много средств генерирования
значений случайных ве­личин, имеющих
различные распределения.

Функция
СЛЧИС, выдает случайные числа, которые
равномерно распределены на интервале
[0, 1]. Ее синтаксис — СЛЧИС(), т.е. она не
имеет аргументов.

Функцию СЛЧИС можно
использовать в формулах мас­сивов
для генерирования диапазонов случайных
чисел. Сначала выделяется Диапазон
ячеек, затем, не сни­мая выделения,
вводится формула =СЛЧИС() и после этого
нажимается комбинация клавиш
<Ctrl+Shift+Enter>.

Необходимо отметить,
что значения формул, содержащих функ­цию
СЛЧИС, перевычисляются при каждом
пересчете рабо­чего листа, например
при вводе любого значения в ячейку или
при удалении чего-либо. Это свойство
данной функции полезно, например, в
имитационном моделировании. Одна­ко
в других случаях оно может замедлять
работу в Excel
или быть просто излишним. Чтобы
зафиксировать значения, вычисляемые с
помощью функции СЛЧИС, на­до выделить
диапазон ячеек, содержащий эти значения,
и скопировать его (Правка
Копировать).
Затем, не снимая выделения диапазона,
следует выполнить ко­манду Правка
Специальная вставка,
в открывшемся диа­логовом окне
Специальная
вставка
установить переключа­тель
Значения.
В ячейки выделенного диапазона вместо
фор­мул будут записаны числовые
значения.

Функция
СЛУЧМЕЖДУ генерирует целочисленные
значения,
подчиняющиеся дискрет­ному равномерному
распределению. Синтаксис функции:

СЛУЧМЕЖДУ(Нижняя_граница;Верхняя_граница)

Аргумент Нижняя_граница
задает нижнюю границу интервала изменения
слу­чайной величины, аргумент
Верхняя_граница — верхнюю границу этого
интер­вала. Если значения аргументов
дробные, они округляются до ближайших
це­лых. Если значение аргумента
Нижняя_граница больше значения аргумента
Верхняя_граница, функция возвращает
значение ошибки. Формулы, содержащие
функцию СЛУЧМЕЖДУ, пересчитываются при
каждом пересчете рабочего листа.

Средство
Генерация
случайных чисел
из надстройки Пакет
анализа (команда
Данные/анализ данных),
предоставляет возможность генерировать
случайные числа, которые имеют следующие
распределения.

• Равномерное.
  Генерируется последовательность
  равномерно распределенных случайных
  чисел в заданном интервале.

• Нормальное.
  Генерируется последовательность
  случайных чисел, под­чиняющихся
  нормальному распределению. Задается
  математическое ожидание и
  среднеквадратическое отклонение.

• Бернулли. Генерируется
  последовательность случайных чисел,
  принимающих только значение 0 или 1, в
  зависимости от заданной вероятности
  успеха (исхода «1»).

• Пуассона. Генерируется
  последовательность случайных чисел,
  подчиняющихся распределению Пуассона
  с заданным параметром К.

Между способами
вычисления случайных чисел, полученных
с помощью функции СЛЧИС (соответствующие
формулы приведены в следующих разделах)
и с помощью средства Генерация случайных
чисел, в частности равномерно
рас­пределенных на интервале [0, 1],
имеются существенные различия. Первое
раз­личие заключается в том, что
функцию СЛЧИС можно непосредственно
исполь­зовать в формулах (в том числе
в формулах массивов) как аргумент формулы
или другой функции, тогда как для того,
чтобы использовать в формулах слу­чайные
числа, полученные с помощью средства
Генерация случайных чисел, сна­чала
необходимо их записать в отдельном
диапазоне ячеек, и только затем
использовать в формулах.

Второе отличие
состоит в том, что формулы, содержащие
функцию СЛЧИС, пересчитываются при
каждом пересчете рабочего листа), а
значения, полученные с помощью средства
Генерация случайных чисел, фиксированы
— при необходимости получения новой
выборки на месте старой, следует еще
раз вызвать и применить это средство.

Метод
обратных функций моделирования случайных
величин. Функция
распределения случайной
величины X
в точке U
имеет вид:

U

Y
= F(u)
= ∫ f(x)dx,
,

-∞

где
f(x)
плотность вероятности
случайной
величины X.
Это выражение позволяет для случайной
величины Х определить её вероятность.
Для получения случайных величин имеющих
заданный закон распределения можно
использовать метод обратных функций,
суть которого в
обратном преобразовании x = F^-1(y),
где F^-1
— функция, обратная функции F. Это
преобразование сводится к решению
интегрального уравнения относительно
х_i.

Т.е. равномерное
распределение преобразуется в требуемое.
В Excel
есть несколько функций, возвращающих
значения обратных функций для различных
распределений. Например, функции:

• НОРМОБР. Вычисляет
  значение функции, обратной к функции
  нормального распределения.

• НОРМСТОБР. Вычисляет
  значение функции, обратной к функции
  стандартного нормального распределения.

• СТЬЮДРАСПОБР.
  Вычисляет значение функции» обратной
  к функции распределения Стьюдента.

Таким образом,
формула =ФУНКЦИЯ(СЛЧИС();…), где ФУНКЦИЯ
обозначает одну из вышеперечисленных
будет генерировать последовательность
случайных чисел, которые имеют
распределение, определяемое данной
функцией.

Для
получения непрерывных случайных
величин, принимающих любые
значения на интервале между дву­мя
точками а и b
(a<b)
с равной
вероятностью,
можно использовать выражение:

a + ( b
-а)*СЛЧИС( )

Симметричное
треугольное распределение.

Все действия с
соответствующей формулой аналогичны
действиям для равномерного распределения:

a + ( b
— а)*(СЛЧИС+СЛЧИС)/2;

Нормальное
распределение.

Нормально
распределенные числа an
можно получить с помощью функции
НОРМОБР(вероятность;среднее;стан­дарт­­ное_откл),
где вероятность
—
значение аргумента может быть получено
с помощью функции СЛЧИС(); среднее
(мат. ожидание) –
это среднее арифметическое распределения
(μ);
стандартное_откл
— это стандартное отклонение распределения
(σ).
Функция
возвращает обратное нормальное
распределение для указанного мат.
ожидания и стандартного отклонения.

Экспоненциальное
распределение.

Псевдослучайную
последовательность, распределенную по
этому закону можно получить с помощью
алгоритма:

r
:= log( СЛЧИС(
));

me
:= μ
*(-r);

Наглядное
представление формы распределения
сгенерированных случайных чисел можно
получить на гистограмме. Для её построения
имеется опция Гистограмма
в Пакете
анализа.

Задание.

1. Изучить теоретический
   материал.

2. Получить
   последовательности
   из n чисел, равномерно распределенных
   на интервале (a, b); имеющих симметричное
   треугольное; нормальное; экспоненциальное
   распределения.

3. Представить
   полученные результаты преподавателю.

4. С помощью
   гистограмм проанализировать влияние
   количества значений (n)
   на качество получаемых последовательностей.

5. Подготовить
   ответы на контрольные вопросы.
   Какие
   отличия в получении случайных чисел с
   помощью соответствующей программы и
   в Excel?

   Чем различаются результаты получения
   случайных чисел с помощью функции
   СЛЧИС()
   и Генерации
   случайных чисел
   из надстройки Пакет
   анализа?
   Какие
   недостатки генерации случайных чисел
   в Excel?
   Суть
   метода обратных функций?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В статье приведен перечень распределений вероятности, имеющихся в MS EXCEL 2010 и в более ранних версиях.  Даны ссылки на статьи с описанием соответствующих функций MS EXCEL.

Приведенные ниже

распределения случайной величины

часто встречаются в задачах по статистике. Ниже даны ссылки на статьи с описанием соответствующих функций MS EXCEL. В этих статьях построены графики

плотности вероятности и функции распределения

, приведены примеры решения задач и применение этих распределений на практике.

Также в статьях рассмотрены вопросы генерации случайных величин, имеющих соответствующее распределение, точечная оценка параметров этих распределений и формулы для расчета

среднего значения

,

дисперсии, стандартного отклонения

,

моды

,

медианы

и других показателей распределения.

Распределения MS EXCEL для моделирования поведения случайных величин, встречающихся на практике

Непрерывные распределения

• Нормальное распределение

  : функции
  
  НОРМ.РАСП()
  
  ,
  
  НОРМ.СТ.РАСП()
  
  ,
  
  НОРМ.ОБР()
  
  и др.

• Непрерывное равномерное распределение

  : функция
  
  СЛЧИС()
  

• Экспоненциальное распределение

  : функция
  
  ЭКСП.РАСП()
  

• Гамма распределение

  : функции
  
  ГАММА.РАСП()
  
  и
  
  ГАММА.ОБР()
  

• Логнормальное распределение

  : функции
  
  ЛОГНОРМ.РАСП()
  
  и
  
  ЛОГНОРМ.ОБР()
  

• Распределение Вейбулла

  : функция
  
  ВЕЙБУЛЛ.РАСП()
  

• Бета-распределение

  : функции
  
  БЕТА.РАСП()
  
  и
  
  БЕТА.ОБР()
  

Дискретные распределения

• Биномиальное распределение

  : функции
  
  БИНОМ.РАСП()
  
  ,
  
  БИНОМ
  
  .ОБР()
  

• Распределение Пуассона

  : функция
  
  ПУАССОН.РАСП()
  

• Равномерное дискретное распределение

  : функция
  
  СЛУЧМЕЖДУ()
  

• Геометрическое распределение

  : функция
  
  ОТРБИНОМ.РАСП()
  

• Гипергеометрическое распределение

  : функция
  
  ГИПЕРГЕОМ.РАСП()
  

• Отрицательное биномиальное распределение

  : функция
  
  ОТРБИНОМ.РАСП()
  

Распределения MS EXCEL для целей математической статистики

В математической статистике, например для

проверки гипотез

или для

построения доверительных интервалов

, наиболее часто используются:

• Нормальное распределение

  : функции
  
  НОРМ.РАСП()
  
  ,
  
  НОРМ.СТ.РАСП()
  
  ,
  
  НОРМ.ОБР()
  
  и др.

• Распределение Стьюдента (t-распределение)

  : функции
  
  СТЬЮДЕНТ.РАСП()
  
  ,
  
  СТЬЮДЕНТ.ОБР()
  
  и др.

• Распределение Фишера (F-распределение)

  : функции
  
  F.РАСП()
  
  ,
  
  F.ОБР()
  
  и др.

• Хи-квадрат распределение

  : функции
  
  ХИ2.РАСП()
  
  ,
  
  ХИ2.ОБР()
  
  и др.

Все эти распределения связаны с

нормальным распределением

.