Трехмерная точечная диаграмма excel

• 3D-график в Excel

Excel 3D Plot (Содержание)

• 3D-график в Excel
• Как построить 3D-графики в Excel?

3D-график в Excel

3D-график в Excel используется для построения графика для тех наборов данных, которые могут не обеспечивать особой видимости, возможности сравнения с другими наборами данных и для построения графика области, когда у нас есть большие наборы точек данных. 3D Plot в Excel — это творческий способ превратить простой 2D-график в 3D.

Как построить 3D-графики в Excel?

Построение 3D-графиков в Excel очень просто и полезно, когда мы хотим преобразовать данные, круговые диаграммы, графики в 3D-формат. Давайте разберемся, как строить 3D-графики в Excel на нескольких примерах.

Вы можете скачать этот 3D-шаблон Excel Plot здесь — 3D-шаблон Excel Plot

Доступ к 3D-графику можно получить из меню « Вставка» в разделе «Графики ».

3D-график в Excel — Пример № 1

У нас есть данные о том, где мы измерили расстояние, пройденное некоторыми спортсменами в метрах. Расстояние покрыто экземпляром почасовой оплаты. В течение 5 часов каждый спортсмен преодолевал некоторую дистанцию, и в конце наибольшего пройденного расстояния он выигрывает игру. Таким образом, увидев данные, мы можем не прийти к выводу или даже не можем сравнить. Если мы нанесем эти данные на трехмерные графики, то будет легко проверить ситуацию.

Теперь создаем 3D-график для вышеуказанного набора данных, сначала выберите данные.

Затем перейдите на вкладку меню Вставка и под диаграммой выберите столбчатую диаграмму. Как только мы нажмем на него, мы получим раскрывающееся меню. Оттуда выберите 3D-столбец, как показано ниже.

После выбора опции 3D Column мы получим трехмерный график с колонкой, как показано ниже. Здесь мы можем добавить метки данных, заголовки осей, заголовок и даже изменить дизайн 3D-столбцов.

Как видно из приведенного выше графика, все данные отображаются в столбцах, и эти столбцы параллельно обрамлены данными. Высота столбцов сопоставлена, а параметры высоты показаны выше для каждого столбца.

Давайте снова отобразим эти данные на другом трехмерном графике. Теперь мы будем строить 3D-график. Для этого сначала выберите данные, а затем перейдите на вкладку меню « Вставка », в разделе «Диаграммы» выберите « Водопад», «Фондовая», «Поверхность» или «Радар», как показано ниже. (И для других версий Excel выберите опцию Other Charts )

Как только мы это сделаем, мы получим выпадающее меню диаграммы Stok, Surface и Radar, как показано ниже. Оттуда выберите 3D Surface .

Как только мы это сделаем, мы получим 3D-график поверхности, как показано ниже.

Приведенные выше данные показывают расстояние, пройденное атлетами по гребню и впадине, а область разного цвета представляет диапазон расстояний. Таким образом, мы можем попробовать еще несколько 3D-графиков, доступных в Excel, в соответствии с нашим использованием.

3D-график в Excel — Пример № 2

Давайте рассмотрим, что данные высоты поверхности от некоторых определенных точек и высоты измеряются в каждом 10-метровом промежутке. Где-то есть огромный всплеск высоты поверхности, а в других — это огромное падение. Данные приведены ниже.

Теперь для построения трехмерного графика для приведенного выше примера сначала выберите полные данные. Затем перейдите в меню «Вставка» и в разделе «Графики» выберите столбчатую диаграмму, как показано ниже. Как только мы нажмем на него, мы получим раскрывающееся меню. Оттуда выберите 3D-столбец, как показано ниже.

После выбора опции 3D Column мы получим трехмерный график с колонкой, как показано ниже.

Как мы видим, здесь есть несколько огромных башен и несколько плоских блоков. Построение данных такого рода в трехмерных диаграммах дает возможность увидеть, где в процессе наблюдаются пики и спады. Мы можем добавить метки данных здесь.

Давайте построим еще один 3D-график на тех же данных. Для этого выберите данные и перейдите в меню «Вставка», в разделе «Диаграммы» выберите « Линия» или « Диаграмма площади», как показано ниже.

После этого мы получим выпадающий список линейных графиков, как показано ниже. Оттуда выберите 3D Line chart.

После нажатия на него мы получим график графика 3D Line, как показано ниже.

Это самый выполнимый, простой 3D-сюжет. И это очень легко понять. Поскольку данные в этом сюжете достаточно разделены друг с другом. И изменения в данных также хорошо видны. Использование графика 3D Line хорошо, когда у нас есть данные, где мы можем легко увидеть разделение.

Выше приведен пример некоторых из категории 3D-графики. Мы можем создать трехмерный график для круговой диаграммы, диаграммы площади, линейчатой ​​диаграммы и комбинированной диаграммы, если имеющиеся у нас данные позволяют нам по-разному представлять требуемые виды.

Если мы создадим круговую диаграмму для данных, которые мы рассмотрели для приведенных выше примеров, то мы не сможем получить желаемый вид на трехмерном графике. Поэтому лучше сначала понять, что мы хотим видеть, а затем мы можем сопоставить его с желаемым трехмерным графиком.

Плюсы 3D-сюжета в Excel

• Даже данные являются презентабельными, но при использовании трехмерного графика видимость становится шире, когда данные имеют размеры.
• Модификация, выполненная в бэкэнде, может быть легко обновлена ​​с помощью этих трехмерных графиков или простых графиков.
• Когда у нас есть данные о высоте поверхности, мы также можем построить контурные графики.

То, что нужно запомнить

• Не всегда необходимо строить трехмерный график в Excel, когда у нас простая структура данных.
• При вставке графика в разные файлы всегда вставляйте изображение, чтобы избежать каких-либо изменений в конечном графике.
• Данные должны быть в правильном формате, чтобы любые изменения, которые необходимо внести в график, можно было легко сделать.
• Не добавляйте метки данных в 3D-графики, потому что график много раз перегружен. Используйте метки данных, когда они действительно видны.

Рекомендуемые статьи

Это было руководство по 3D Plot в Excel. Здесь мы обсудили, как построить 3D-графики в Excel вместе с практическими примерами и загружаемым шаблоном Excel. Вы также можете просмотреть наши другие предлагаемые статьи —

1. Комбинированные диаграммы в Excel
2. Руководство по функциям Excel — диаграммы и графики
3. Как создать круговую диаграмму в Excel?
4. Кластерная гистограмма в Excel

Трехмерные графики
в Microsoft Excel

Как вам, очевидно, известно, одной из основных задач, решаемых с помощью программы Microsoft Excel, является построение диаграмм и графиков (наряду с решением расчетных задач, в которых информация представлена в виде таблицы). А можно ли построить в Microsoft Excel трехмерное изображение? Например, поверхность, называемую “параболоидом вращения” (ее вид показан на рис. 1)?

Нет ничего проще! Но прежде чем рассказывать о том, как это сделать, надо немного поговорить о так называемых функциях двух переменных. Такая функция имеет вид z = f(x, y), где x и y — координаты точки на плоскости 1 , а z — значение функции. Например, функция, изображенная на рис. 1, записывается так: f(x, y) = x 2 + y 2 .

Определим интервалы, в которых будут изменяться значения аргументов x и y. Пусть это будет симметричный интервал (–5, 5) для x и другой симметричный интервал (–9, 9) для y. Шаг, с которым будут изменяться значения x и y, установим равным 0,2. Вообще говоря, выбор величины шага определяется исходя из требуемой “подробности” построения графика. Теперь на рабочем листе Excel зададим значения этих координат в виде строки B1:AZ1 для x и столбца A2:A92 для y (см. рис. 2, на котором показано начало этой таблицы).

Теперь введем в ячейку B2 формулу. Необходимо предварительно продумать адресацию ячеек, ведь этой формулой мы потом заполним весь диапазон B2:AZ92. Кстати, если у вас компьютер не слишком мощный, то диапазон следовало бы уменьшить, так как в нем помещается ни много ни мало 4641 ячейка. При небольшой производительности и памяти машины этот объем данных может для нее составить значительную сложность.

Итак, формула. При заполнении интервала по горизонтали (оси x) формулы во всех ячейках должны ссылаться на соответствующую ячейку верхнего ряда, следовательно, она должна иметь абсолютную адресацию по номеру строки, а по номеру столбца — относительную адресацию. Напомню, что абсолютная адресация обозначается знаком “$” перед соответствующей координатой адреса ячейки. В нашем случае адресация выглядит так: B$1. Что касается y, то здесь наоборот: абсолютным должен быть номер столбца, а номер строки — относительным, т.е. адрес имеет вид: $A2. Теперь соберем всю формулу. Чтобы не использовать дополнительных функций, в квадрат будем возводить просто умножением: =B$1*B$1+$A2*$A2. Этой формулой можно теперь заполнить весь прямоугольник от B2 до AZ92. Исходный массив данных готов. На рис. 3 — начало получившейся таблицы.

Теперь можно строить диаграмму. Вызываем Мастер диаграмм. Для построения трехмерных картинок надо выбрать тип диаграммы — Поверхность, а вид — тот, который программа предлагает по умолчанию — . Если у вас Excel последних версий, то все уже готово (Мастер диаграмм сам выберет участок таблицы, из которого надо брать данные, и построит диаграмму), а если более старый — то надо указать интервал данных (весь интервал A1:AZ92). Остается только усовершенствовать оформление диаграммы, в частности, если хотите получить более тонкие полосы, то надо выбрать вертикальную ось (по терминологии Excel — ось значений) и задать цену основных делений. На рис. 1 она равна 20, а на рис. 4–5. Видно, что проработка улучшилась.

В качестве упражнения попробуйте построить “седло” (z = x 2 – y 2 ) или такую поверхность, как на рис. 5 (z = sin(x + y) / (x + y)).

3D график в Excel

Трехмерные графики также известны как графики поверхности в Excel, которые используются для представления трехмерных данных. Чтобы создать трехмерный график в Excel, нам нужно иметь трехмерный диапазон данных, что означает, что у нас есть три оси x, y. а z, трехмерные графики или графики поверхности можно использовать на вкладке вставки в Excel.

Трехмерная диаграмма Excel

Прежде чем мы начнем создавать трехмерный сюжет в Excel, мы должны знать, что такое сюжет. Графики — это диаграммы в Excel, которые визуально представляют заданные данные. В Excel есть различные типы диаграмм, которые используются для описания данных. Но в основном данные представлены в виде двухмерных диаграмм, что означает, что данные или таблица находятся в двух сериях, т. Е. По оси X и оси Y. Но что насчет трех переменных X, Y и Z, как построить эту диаграмму. Это то, что мы узнаем об этом 3D-графике в теме Excel.

У нас есть формулировка проблемы, что у нас есть данные по трем осям последовательностей, то есть X, Y и Z. Как нам нанести эти данные на диаграммы. Диаграмма, которую мы используем для представления этих данных, в Excel называется трехмерным графиком или графиком поверхности. 3D-графики представляют трехмерные данные; здесь есть три переменные. Одна переменная зависит от двух других, а две другие переменные не зависят. Двумерные диаграммы полезны для представления данных, а трехмерные данные полезны при анализе данных. Такие, как CO-отношение и регресс. Этот тип диаграммы строится по осям XY и Z, где две оси горизонтальны, а одна — вертикальна. Какая ось должна оставаться основной осью, зависит от пользователя диаграммы. Какие данные, независимые или одна из двух зависимых, могут быть основной осью.

Где в Excel можно найти трехмерный график или диаграмму поверхности? На вкладке «Вставка» в разделе диаграмм мы можем найти вариант для поверхностных диаграмм.

Выделенные диаграммы являются поверхностными или трехмерными графиками в Excel.

Как создать трехмерный график в Excel?

Теперь давайте сделаем поверхность, то есть трехмерные графики в Excel, с помощью пары примеров.

В этой статье я расскажу, как мне удалось портировать алгоритм рендера трехмерных сцен на формулы Excel (без макросов).

Для тех, кто не знаком с компьютерной графикой, я постарался как можно проще и подробнее описать все шаги. В принципе, для понимания формул должно быть достаточно знания школьного курса математики (+умение умножать трехмерную матрицу на вектор).

Также я сделал небольшое веб-приложение, где можно потренироваться в создании формул для произвольных фигур и сгенерировать свой файл Excel.

Осторожно: 19 картинок и 3 анимации под катом.

Что получилось

• alpha: горизонтальное вращение камеры в градусах,
• beta: вертикальное вращение камеры в градусах,
• dist: расстояние от камеры до начала координат,
• fov: «зум» камеры.

В случае скачивания своего Excel-файла с ObservableHQ, ячейки необходимо раскрасить вручную. Нужно выделить все маленькие квадратные ячейки и выбрать «Условное форматирование» → «Цветовые шкалы».

Ray marching

Алгоритм Ray Marching был популяризован Iñigo Quilez в 2008 году после презентации «Rendering Worlds with Two Triangles» о компактном трехмерном движке для демосцены.

После этого Iñigo Quilez создал сайт Shadertoy, и большая часть отправляемых туда работ использует описанную методику. Оказалось, что при помощи нее можно создавать фотореалистичные сцены, посмотрите, например эту галерею.

Ray Marching — это очень простой в реализации и эффективный алгоритм, позволяющий рендерить довольно сложные сцены. Почему тогда он не используется на видеокартах? Дело в том, что видеокарты заточены под работу с трехмерными фигурами, состоящими из треугольников, для чего Ray Marching не так эффективен.

Update: См. также этот комментарий от DrZlodberg о недостатках этого метода.

Принцип работы движка

• Объект описывается в виде функции.
• Сопоставить каждому пикселю результата луч, выходящий из камеры.
• Для каждого луча найти координаты пересечения с объектом.
• По точке пересечения определить цвет пикселя.

Описание объекта

Можно придумать три способа описания трехмерного объекта:

• Явная формула, которая по лучу, выходящему из камеры, возвращает точку пересечения с объектом (или, например, направление касательной в ней).
• Функция принадлежности. По точке в пространстве сообщает, принадлежит она объекту или нет.
• Вещественная функция. Для точек внутри объекта она отрицательная, снаружи — положительная.

SDF получает на вход точку пространства и возвращает расстояние до ближайшей точки объекта. Для точек внутри она равна расстоянию до границы объекта со знаком «минус»

Нахождение пересечения луча и объекта

Допустим, у нас есть луч, исходящий из камеры, и мы хотим найти точку его пересечения с объектом.

В голову приходит несколько способов найти эту точку:

• Перебрать точки на луче с некоторым шагом.
• Имея точки внутри объекта и снаружи, запустить двоичный поиск для уточнения места пересечения.
• Либо запустить любой метод нахождения корней функции SDF (которая внутри объекта отрицательна, а снаружи положительна), ограниченной на луче.

Это простой алгоритм, который работает только с SDF.

Давайте параметризуем луч по расстоянию от его начала функцией .
Тогда — это сама камера. Вот алгоритм:

• Повторять раз:
• Если , то вернуть как точку пересечения, иначе сообщить, что луч не пересекает объект.

Число это расстояние от камеры, в пределах которого мы ожидаем найти объект.

Почему алгоритм работает

Всегда ли алгоритм дойдет до точки пересечения с объектом (точнее, будет стремиться к ней)? Объект может иметь сложную форму и другие ее части могут близко приближаться к лучу, не давая алгоритму сойтись к точке пересечения. На самом деле такого быть не может: другие части объекта обязательно будут на некотором ненулевом расстоянии от луча (иначе он бы их пересекал), которое мы обозначим . Тогда функция SDF будет больше для любой точки луча (кроме точек, совсем близких к точке пересечения). Поэтому рано или поздно он приблизится к точке пересечения.

С другой стороны, если алгоритм сошелся к некоторой точке, то расстояние между соседними итерациями стремится к нулю SDF (расстояние до ближайшей точки объекта) тоже стремится к нулю в пределе алгоритм сходится к точке пересечения луча с объектом.

Получение цвета пикселя по точке пересечения

Представим, что для каждого пикселя мы нашли точку пересечения с объектом. Мы можем нарисовать эти значения (то есть расстояние от камеры до точки пересечения) напрямую и получить такие картинки:

С учетом того, что это было получено при помощи Excel, неплохо. Но хочется узнать, нельзя ли сделать цвета больше похожими на то, как мы видим предметы в жизни.

В компьютерной графике базовым методом вычисления цвета является затенение по Фонгу. По Фонгу, итоговый цвет складывается из трех компонент: фоновой, зеркальной и диффузной. С учетом того, что мы не стремимся к фотореалистичным рендерам, достаточно использовать лишь диффузную компоненту. Формула для этой компоненты следует из закона Ламберта и утверждает, что цвет пикселя пропорционален косинусу угла между нормалью к поверхности и направлением к источнику света.

Далее, для упрощения вычислений, предположим, что источник света и камера совпадают. Тогда нам, по сути, требуется найти синус угла между лучом, исходящим из камеры и поверхностью объекта:

Искомый угол я обозначил одной дугой на чертеже. Значение его синуса обозначено как .

Обычно, когда используется метод Ray Marching, для нахождения нормали к объекту делают следующее: считают значение SDF в шести точках (несложно уменьшить число точек до четырех) рядом с точкой пересечения и находят градиент этой функции, который должен совпадать с нормалью. Мне показалось, что это слишком много вычислений для Excel, и хотелось бы находить искомый угол проще.

Если смотреть на скорость сходимости алгоритма, можно заметить, что если угол между лучом и предметом прямой, то достаточно одной итерации. Если же угол маленький, то алгоритм будет сходиться очень медленно.

Нельзя ли получить информацию об угле к поверхности исходя из скорости сходимости алгоритма? Если это так, что вообще никаких дополнительных вычислений не потребуется: достаточно проанализировать значения предыдущих итераций.

Нарисуем чертеж. Обозначим и — точки, полученные на соседних итерациях алгоритма. Предположим, что точки находятся достаточно близко к объекту, что его можно заменить на плоскость, угол с которой мы хотим найти. Пусть , — расстояния от точек и до плоскости. Тогда, согласно алгоритму, расстояние между и равно .

С другой стороны, если обозначить — точку пересечения луча и фигуры, то
, а , следовательно

То есть интенсивность пикселя равна единица минус отношение функций SDF соседних итераций!

Описываем простые фигуры

Примеры SDF для сферы, куба и тора:

Фигуры можно перемещать и сжимать вдоль осей:

Фигуры также можно объединять, пересекать и вычитать. То есть SDF поддерживает основные операции конструктивной сплошной геометрии:

Внимательный читатель мог заметить, что у некоторых фигур (например, куба), а также для некоторых операций (например, сжатия), приведенные формулы не всегда возвращают расстояние до ближайшей точки объекта, то есть формально не являются SDF. Тем не менее, выяснилось, что их все равно можно подавать на вход движку SDF и он будет их корректно отображать.

Это малая часть того, что можно делать при помощи SDF, полный список фигур и операций можно найти на странице www.iquilezles.org/www/articles/distfunctions/distfunctions.htm

Совмещая все приведенные формулы, получаем первую фигуру:

Формула чайника

С чайником немного сложнее: нужен план

Аккуратно записываем формулу:

И подбираем нужный ракурс. Готово:

Камера

Все, что нам осталось — для данного пикселя на экране найти соответствующий ему луч в пространстве, выходящий из камеры. Если точнее, то надо уметь находить точку этого луча по расстоянию до камеры. То есть нам нужна функция , где — координаты пикселя, а — расстояние от начала луча (камеры).

Для удобства вычислений координаты пикселей будут задаваться относительно центра экрана. С учетом того, что экран состоит из строк и столбцов, мы ожидаем координаты в пределах

Далее необходимо определиться с типом проекции камеры: ортогональная, перспективная или «рыбий глаз». По сложности реализации они примерно одинаковы, но на практике чаще всего используется перспективная, поэтому мы будем использовать ее.

Большей части вычислений в этой главе можно было бы избежать, например, поместив камеру в точку и направив вдоль оси . Но с учетом того, что фигуры также выровнены вдоль осей, в итоге получился бы не очень интересный ракурс. Так в случае куба мы бы видели его как квадрат.

Чтобы обеспечить возможность поворота камеры, нужно аккуратно провести некоторое количество вычислений с Эйлеровыми углами. Таким образом мы получаем три переменные на входе: угол , угол и расстояние . Они определяют как положение, так и направление камеры (камера всегда смотрит в начало координат).

При помощи WolframAlpha находим матрицу поворота:

Если применить ее к вектору , получим координаты камеры (не спрашивайте меня, куда пропал минус):

Последующие вычисления будут специфичны для перспективной проекции. Основной объект — экран (на рисунке он красного цвета, в тексте — курсивом). Это воображаемый прямоугольник на некотором расстоянии перед камерой, имеющий, как можно догадаться, однозначное соответствие с пикселями обычного экрана. Камера фактически просто является точкой с координатами . Лучи, соответствующие пикселям, начинаются в точке камеры и проходят через соответствующую точку экрана.

У экрана нет точного местоположения и размера. Точнее, они зависят от расстояния до камеры: если экран отодвинуть дальше, его потребуется сделать больше. Поэтому условимся, что расстояние от камеры до экрана равно 1. Тогда мы можем вычислить значение вектора , соединяющего точку камеры и центр экрана (он такой же как и у центра камеры, только домноженный не на , а на ):

Теперь нам надо определить размер экрана. Он зависит от угла обзора камеры, который измеряется в градусах и соответствует тому, что в видеокамерах называется «zoom». Пользователь задает его при помощи переменной (field of view). Так как экран не квадратный, необходимо уточнить, что имеется в виду вертикальный угол обзора.

Итак, чтобы определить высоту экрана, нужно найти основание равнобедренного треугольника с вершинным углом и высотой 1: вспоминая тригонометрию, получаем . На основании этого можно определить размер одного пикселя на экране:

Далее, применяя матрицу поворота к векторам и , получаем вектора и , задающие горизонтальные и вертикальные направления экрана (для упрощения расчетов они также предварительно домножены на ):

Таким образом у нас теперь есть все компоненты, чтобы найти направление луча, выходящего из камеры и соответствующего пикселю с координатами

Это почти то, что нужно. Только надо учесть, что начало луча находится в точке камеры и что вектор направления нужно нормировать:

Так мы получили искомую функцию , которая возвращает точку луча на расстоянии от его начала, соответствую пикселю с координатами .

Excel

Файл Excel, который получается в результате, является книгой, состоящей из >6 листов:

• Первый лист R содержит все, что нужно конечному пользователю: клетки с параметрами , а также клетки с результатом, раскрашенные по черно-белой шкале.
• Лист N предрассчитывает значения .
• Листы X, Y, Z вычисляют координаты векторов и .
• Листы i1, i2,… содержат итерации алгоритма Ray Marching по каждому пикселю.

• В первой строчке находится 1-6 «глобальных» переменных (голубые). Они могут использоваться во всех листах.
• Большая часть листа занята вычислениями по пикселям (зеленые). Это прямоугольник размера . В таблицах в конце статьи эти ячейки обозначены как **
• В листах X, Y и Z также используются промежуточные вычисления по строкам и столбцам (оранжевые). Для них зарезервированы вторая строка и первый столбец. В таблицах в конце статьи эти ячейки обозначены A* и *2 . Идея состоит в том, что для хранения значений по всем пикселям не обязательно добавлять еще три листа (для каждой из координат) так как формула его вычисления разбивается в сумму двух компонент:

Лист N
pixelSize:	=TAN(R!AI1 / 2) / (R!I1 / 2)
=1 / КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ(X!AN + X!X2; 2) + СТЕПЕНЬ(Y!AN; 2) + СТЕПЕНЬ(Z!AN + Z!X2; 2))

Лист X
camX:	=R!AV1 * COS(R!BV1) * COS(R!BI1)
ux:	=-N!I1 * SIN(R!BI1)
vx:	=N!I1 * SIN(R!BV1) * COS(R!BI1)
x0:	=-COS(R!BV1) * COS(R!BI1)
=AI1 * (СТРОКА() — 2 — (R!I1 + 1) / 2)
=AV1 + V1 * (СТОЛБЕЦ() — 1 — (R!V1 + 1) / 2)
=(Z2 + AN) * N!ZN

Лист Y
camY:	=R!AV1 * SIN(R!BV1)
vy:	=-N!I1 * COS(R!BV1)
y0:	=-SIN(R!BV1)
=AI1 + V1 * (СТРОКА() — 2 — (R!I1 + 1) / 2)
=AN * N!ZN

Лист Z
camZ:	=R!AV1 * COS(R!BV1)) * SIN(R!BI1)
uz:	= N!I1 * COS(R!BI1)
vz:	= N!I1 * SIN(R!BV1) * SIN(R!BI1)
z0:	=-COS(R!BV1) * SIN(R!BI1)
=AI1 * (СТРОКА() — 2 — (R!I1 + 1) / 2)
=AV1 + V1 * (СТОЛБЕЦ() — 1 — (R!V1 + 1) / 2)
=(Z2 + AN) * N!ZN

Лист i1
dist0:	=formula(X!I1, Y!I1, Z!I1)
=I1 + formula(X!I1 + X!XN * I1, Y!I1 + Y!XN * I1, Z!I1 + Z!XN * I1)

Листы i2, i3, .

=i(n-1)!XN + formula(X!I1 + X!XN * i(n-1)!XN, Y!I1 + Y!XN * i(n-1)!XN, Z!I1 + Z!XN * i(n-1)!XN)

• Так как в Excel вычисления производятся в радианах, аргументы всех тригонометрических функций домножаются на (в Excel для этого есть функция RADIANS ). Чтобы не запутывать формулы, я убрал эти умножения в таблицах выше.
• Там, где написано formula , необходимо вставить одну из этих формул:

Тот движок подходит только для рендера лабиринтов и эллипсоидов. Используется одномерный Raycaster, из данных которого вверх и вниз рисуются полосы, создающие иллюзию стен. Но зато там реализована полноценная игровая логика, здесь же целью является только трехмерный движок.