Точка минимума функции excel - Word и Excel - помощь в работе с программами

history 14 января 2021 г.

Группы статей

Надстройка «Поиск решения»

Пусть дана функция с несколькими переменными F(x1, x2, …)=a1*x1+a2*x2+… Также даны граничные условия в виде b1*x1+b2*x2+…<=c (несколько условий). Нужно найти экстремум функции F (минимум или максимум). Это классическая задача для Поиска решения MS EXCEL, кроме того это линейная модель. Сделаем удобную форму для таких задач и покажем как настроить Поиск решения.

Задача

Пусть дана явная функция с 4 переменными:

Также даны несколько (семь) граничных условий (англ: restrictions, constraints):

Требуется найти максимум функции F.

Создание модели

Решим задачу с помощью инструмента MS EXCEL

Поиск решения

, хотя можно ее решить и другим способом, например аналитически.

На рисунке ниже приведена модель, созданная для решения задачи (см.

файл примера

).

оптимизацией затрат

. Хотя математически — это эквивалентные задачи, только количество переменных разное.

После запуска Поиск решения будет методично (последовательно) по своему алгоритму подставлять в зеленые ячейки числовые значения и вычислять функцию F (красная ячейка).

Ограничения (выделено серым)

. Ограничения модели — это ограничения на область изменения переменных. Они могут задаваться как простыми выражениями для одной переменной, например х1>=0, так и для некой комбинации переменных 5*x1+4*x2-x3-2*x4<=-3. В первом случае х1>=0 ограничения можно ввести прямо в окне Поиска решения (будет показано ниже), для более сложных зависимостей удобно подготовить вспомогательную таблицу (С26:Е29).

Составить модель, особенно первую, непросто. Может помочь такой подход: считать, что переменные (зеленые ячейки) уже содержат некие значения, пусть даже не оптимальные. Так легче составлять огграничения. В нашем случае ограниечение 5*x1+4*x2-x3-2*x4 можно записать с помощью формулы =

СУММПРОИЗВ($D$19:$D$22;C26:C29)

. В диапазоне D19:D22 содержатся коэффициенты 5; 4; -1; -2. Кроме того, если значения переменных заданы, то и значение целевой функции также автоматически рассчитано (тоже не оптимальное пока, до запуска Поиска решения).

Целевая функция (выделено красным)

.

Целевая функция — это то, что требуется оптимизировать, т.е. F. Формула для ее вычисления задана в явном виде — не нужно догадываться из условий обычной задачи как ее подсчитать. Это не всегда очевидно (см., например, статью про

пропускную способность трубопровода

Ниже приведено окно Поиска решения с заполненными полями: целевая функция, переменные и ограничения.

После запуска Поиска решения ответ будет вычислен за доли секунды: F=3.

Источник

Section 6.3 Critical Points and Extrema

Subsection 6.3.1 Critical Points

With functions of one variable we were interested in places where the derivative is zero, since they made candidate points for the maximum or minimum of a function. If the derivative is not zero, we have a direction that is downhill and moving a little in that direction gives a lower value of the function. Similarly, with functions of two variables we can only find a minimum or maximum for a function if both partial derivatives are 0 at the same time. Such points are called critical points.

The point ((a,b)) is a critical point for the multivariable function (f(x,y)text{,}) if both partial derivatives are 0 at the same time.

In other words,

begin{equation*}
frac{partial }{partial x} f(x,y)|_{x=a,y=b}=0
end{equation*}

and

begin{equation*}
frac{partial }{partial y} f(x,y)|_{x=a,y=b}=0text{.}
end{equation*}

Example 6.3.1. Finding a Local Minimum of a Function.

Figure 6.3.2. Video presentation of this example

Use the partial derivatives of (f(x,y)=x^2+ 2xy+3y^2-4x-3y) to find the minimum of the graph.

Solution.

Critical Point by Algebra

In the previous section, we already computed

begin{align*}
frac{partial }{partial x} f(x,y) amp = 2x+2y-4\
frac{partial }{partial y} f(x,y) amp = 2x+6y-3text{.}
end{align*}

We need to find the places where both partial derivatives are 0. With this simple system, I can solve this system algebraically and find the only critical point is ((9/4, -1/4)text{.})

begin{align*}
0 amp = 2x+2y-4\
0 amp = 2x+6y-3text{.}
end{align*}

Subtract the equations to eliminate (xtext{:})

begin{equation*}
0=0-4y-1text{.}
end{equation*}

Solve for (ytext{:})

begin{align*}
4y amp = -1\
y amp = -1/4text{.}
end{align*}

Substitute back and solve for (xtext{:})

begin{align*}
0 amp = 2x+2(-1/4)-4\
2x amp = 9/2\
x amp =9/4text{.}
end{align*}

Critical Point by Solver

If the partials are more complicated, I will want to find the critical points another way. I can find the point with Solver.

To get solver to set both partials to 0 at the same time, I ask it to solve for (f_y=0text{,}) while setting (f_x=0) as a constraint. Make sure to uncheck the box that makes unconstrained variables non-negative.

This finds our critical point within our error tolerance.

Critical Point by CAS

We can also use Wolfram|Alpha to find the solution to our system of equations.

Determining the Critical Point is a Minimum

We thus get a critical point at ((9/4,-1/4)) with any of the three methods of solving for both partial derivatives being zero at the same time. Once we have a critical point we want to determine if it is a maximum, minimum, or something else. The easiest way is to look at the graph near the critical point.

It is clear from the graph that this critical point is a local minimum.

It is easy to see that (f(x,y)=x^2+y^2) has a critical point at ((0,0)) and that that point is a minimum for the function. Similarly, (f(x,y)=-x^2-y^2) has a critical point at ((0,0)) and that that point is a maximum for the function. For some functions, like (f(x,y)=x^2-y^2text{,}) which has a critical point at ((0,0)text{,}) we can have a maximum in one direction and a minimum in another direction. Such a point is called a saddle point. We note that we can have a saddle point even if the (x) and (y) slice curves both indicate a minimum.

Example 6.3.3. A Saddle Point at a Minimum on Both Axes.

Figure 6.3.4. Video presentation of this example

Show that (f(x,y)=x^2-3xy+y^2) has a critical point at ((0,0)text{,}) which is a minimum of both slice curves, but is not a local minimum.

Solution.

We look at the two partial derivatives, and notice they are both zero at the origin.

begin{align*}
frac{partial }{partial x} f(x,y) amp = 2x-3y\
frac{partial }{partial x} f(x,y) amp = -3x+2ytext{.}
end{align*}

We then see that both slice curves are parabolas that bend up, with a minimum at 0.

begin{align*}
f(x,0) amp = x^2\
f(0,y) amp = y^2text{.}
end{align*}

However if we take the slice with (x=ytext{,}) we get a parabola bending down, so we don’t have a minimum.

begin{equation*}
f(x,-x)=x^2-3x x+x^2=-x^2text{.}
end{equation*}

Looking at the graph, we see that this graph does not have a minimum.

Subsection 6.3.2 Second Partial Derivatives

With only first derivatives, we can just find the critical points. To check if a critical point is maximum, a minimum, or a saddle point, using only the first derivative, the best method is to look at a graph to determine the kind of critical point. For some applications we want to categorize the critical points symbolically.

With functions of one variable we used the second derivative to test if a critical point was a maximum or minimum. In the two variable case we need to define the second derivatives and use them to define the discriminant of a function to test if a critical point is a minimum, maximum, or saddle point. We first need to define second partial derivatives.

Second partials.

begin{equation*}
f_{ab}=(f_a )_b=frac{partial}{partial b}(frac{partial}{partial a} f)text{.}
end{equation*}

Note that (f_{xx}) is simply the old second derivative of the curve (f(x,y_0)) and (f_{yy}) is simply the old second derivative of the curve (f(x_0,y)text{.}) For functions with continuous second partial derivatives, the mixed partials, (f_{yx}) and (f_{xy}) are the same.

Example 6.3.5. Finding Second Partial Derivatives.

Find the second partial derivatives of

begin{equation*}
f(x,y)=x^2+ 3xy+5y^3-7x-11ytext{.}
end{equation*}

Solution.

We start by computing the first partial derivatives.

begin{align*}
f_x amp = frac{partial}{partial x} f(x,y)=2x+3y-7\
f_y amp = frac{partial}{partial y} f(x,y)=3x+15y^2-11text{.}
end{align*}

Then we compute the second partial derivatives.

begin{align*}
f_{xx} amp = frac{partial}{partial x} f_x=2\
f_{xy} amp = frac{partial}{partial y} f_x=3\
f_{yx} amp = frac{partial}{partial x} f_y=3\
f_{yy} amp = frac{partial}{partial y} f_y=30ytext{.}
end{align*}

As expected, the mixed partials are the same.

Subsection 6.3.3 Using the Discriminant to Test Critical Points

To test if a critical point is a maximum, minimum, or saddle point we compute the discriminant of the function.

Discriminant.

begin{equation*}
D(f(x,y))=f_{xx} f_{yy}-f_{xy}^2text{.}
end{equation*}

Example 6.3.6. Finding the Discriminant of a Function.

Find the discriminant of

begin{equation*}
f(x,y)=x^2+ 3xy+5y^3-7x-11ytext{.}
end{equation*}

Solution.

We have already computed the second partial derivatives.

begin{equation*}
f_xx=2,quad f_xy=3,quad f_yy=30ytext{.}
end{equation*}

Substituting into the formula,

begin{equation*}
D=(2)(30y)-3^2=60y-9text{.}
end{equation*}

Discriminant test.

Let ((a,b)) be a critical point of (f(x,y)text{.})

If (D(a,b)>0) and (f_{xx} (a,b)>0) then ((a,b)) is a local minimum of (f(x,y)text{.})

If (D(a,b)>0 ) and (f_{xx} (a,b)lt 0) then ((a,b)) is a local maximum of (f(x,y)text{.})

If (D(a,b)lt 0) then ((a,b)) is a saddle point of (f(x,y)text{.})

If (D(a,b)=0) we do not have enough information to classify the point.

Example 6.3.7. Using the Discriminant to Classify Critical Points.

Based on the information given, classify each of the following points as a local maximum, local minimum, saddle point, not a critical point, or not enough information to classify.

p	({f_x})	({f_y})	(f_{xx})	(f_{xy})	(f_{yy})
A	0	0	0	0	1
B	0	1	3	2	4
C	1	0	0	2	3
D	0	0	1	2	0
E	0	0	-1	2	3
F	0	0	-3	1	-2
G	0	0	3	3	3

Solution.

We need to compute the discriminant and apply the test.

p	(f_x)	(f_y)	(f_{xx})	(f_{xy})	(f_{yy})	Discriminant	Classification
A	0	0	0	0	1	0	Not enough information
B	0	1	3	2	4	8	Not a critical point
C	1	0	0	2	3	-4	Not a critical point
D	0	0	1	2	0	-4	Saddle point
E	0	0	-1	2	3	-7	Saddle point
F	0	0	-3	1	-2	5	Maximum
G	0	0	3	3	3	0	Not enough information

Example 6.3.8. Finding and Classifying Critical Points.

Let (f(x,y)=x^3-3x+y^3-3y^2text{.}) Find the critical points and classify them using the discriminant.

Solution.

We start by computing the first partial derivatives.

begin{align*}
f_x amp = 3x^2-3=3(x-1)(x+1)\
f_y amp = 3y^2-6y=3(y-2)(y)text{.}
end{align*}

Then we compute the second partial derivatives and the discriminant.

begin{equation*}
f_{xx}=6x,quad f_{xy}=0,quad f_{yy}=6y-6,quad D=(6x)(6y-6)-0^2=36xy-36xtext{.}
end{equation*}

We have critical points when both first partials are 0, so at ((1,2)text{,}) ((-1,2)text{,}) ((1,0)text{,}) and ((-1,0)text{.})

At ((1,2)text{,}) both (D) and (f_{xx}) are positive, so we have a local minimum.

At ((-1,2)) and ((1,0)text{,}) (D) is negative, so we have a saddle point.

At (((-1,0)text{,}) (D) is positive and (f_{xx}) is negative, so we have a local maximum.

Exercises 6.3.4 Exercises: Critical Points and Extrema Problems

Exercise Group.

For the given functions and region:

Find the partial derivatives of the original function.
Find any critical points in the region.
Produce a small graph around any critical point.
Determine if the critical points are maxima, minima, or saddle points.

1.

The function is (f(x,y)=x^2+2xy+4y^2+5x-6ytext{,}) for the region (-10le xle 10text{,}) and (-10le yle 10text{.})

Solution.

begin{align*}
f_x (x,y) amp = 2x+2y+5\
f_y (x,y) amp = 2x+8y-6text{.}
end{align*}
Set the partial derivatives equal to 0 and solve for (x) and (ytext{.})

begin{align*}
f_x (x,y) amp = 2x+2y+5=0\
f_y (x,y) amp = 2x+8y-6=0text{.}
end{align*}

We can use either the method of substitution (solve for (x) or (y) in one equation and substitute into the other and solve), or method by elimination (multiply both equations by carefully chosen numbers and ass/subtract the equations from each other.)

We will demonstrate method of elimination:

begin{align*}
-1×(2x+2y+5 amp = 0) amp text{gives }-2x-2y-5amp=0\
1×(2x+8y-6 amp = 0) amp text{gives } 2x+8y-6amp =0text{.}
end{align*}

Adding the two equations gives (6y-11=0text{;}) hence, (y= 11/6text{.})

Pick one of the equations to solve for x (it does not matter which one):

begin{equation*}
2x+2y+5=0 quad text{and }y= 11/6
end{equation*}

implies that (2x+2(11/6)+5=0) so (x= (2(11/6)+5)/(-2)=-13/3text{.})

We can also solve this system of equations using Wolfram Alpha:
The command in Wolfram Alpha is:

It is worth looking at both the 3D Plot and the Contour Plot.
The 3D plot suggests a minimum, and this is confirmed by the contour plot which shows they typical view of a local minimum.

As an alternative we can find the discriminant.

begin{align*}
f_{xx} (x,y) amp = 2\
f_{xy} (x,y) amp = 2\
f_{yy} (x,y) amp = 8\
D amp = f_{xx} (x,y)f_{yy} (x,y)-f_{xy} (x,y)^2=2*8-2^2=12>0text{.}
end{align*}

Since (Dgt 0) and (f_{xx} (x,y)gt 0) we have a local minimum.

2.

The function is (f(x,y)=x^2+7xy+2y^2+4x-3ytext{,}) for the region (-10le xle 10text{,}) and (-10le yle 10text{.})

3.

The function is (f(x,y)=-x^2+2xy-4y^2+8x-11ytext{,}) for the region (-10le xle 10text{,}) and (-10le yle 10text{.})

Solution.

begin{align*}
f_x (x,y) amp = -2x+2y+8\
f_y (x,y) amp = 2x-8y-11text{.}
end{align*}
Set the partial derivatives equal to 0 and solve for (x) and (ytext{.})

begin{align*}
f_x (x,y) amp = -2x+2y+8=0\
f_y (x,y) amp = 2x-8y-11=0text{.}
end{align*}

Adding the equations (-6y-3=0text{,}) and so (y=-1/2text{.})

Substituting in the first equation give (-2x+7=0text{,}) and so (x=7/2text{.})

Hence we have a critical points at ((7/2,-1/2)text{.})
For ((x,y)= (2,1)text{:})
From the picture we conclude that the critical point is a maximum. As an alternative we can find the discriminant.

begin{align*}
f_{xx} (x,y) amp = -2\
f_{xy} (x,y) amp = 2\
f_{yy} (x,y) amp = -8\
D amp = f_{xx} (x,y)f_{yy} (x,y)-f_{xy} (x,y)^2=2*8-2^2=12gt 0text{.}
end{align*}

Since (Dgt 0) and (f_{xx} (x,y)lt 0) we have a local maximum.

4.

The function is (f(x,y)=x^3-12x+y^3-3ytext{,}) for the region (-10le xle 10text{,}) and (-10le yle 10text{.})

5.

The function is the revenue function for selling widgets and gizmos with demand price functions

begin{align*}
PriceGizmo amp = 25-frac{QuantityGizmo}{50}-frac{QuantityWidget}{200}\
PriceWidget amp = 30-frac{QuantityWidget}{45}-frac{QuantityGizmo}{300}
end{align*}

for the region (0le QuantityWidgetle 1500text{,}) and (0le QuantityGizmole 1500text{.})

Solution.

To solve this problem we will rename Gizmos (x) and Widgets (ytext{.}) This will make using Wolfram Alpha slightly easier, and symbol manipulation a tad more straight forward.

begin{align*}
PriceX amp = 25-frac{x}{50}-frac{y}{200}\
PriceY amp = 30-frac{y}{45}-frac{x}{300}\
revenue (x,y) amp =x*PriceX+y *PriceY\
amp =x left[25-frac{x}{50}-frac{y}{200}right]+yleft[30-frac{y}{45}-frac{x}{300}right]\
amp = frac{-36x^2-15xy+45000x-40y^2+54000y}{1800} text{.}
end{align*}

begin{align*}
revenue_x (x,y)amp = frac{-24x-5y+1000}{600} \
revenue_y (x,y)amp = frac{-3x-16y+10800}{360}
end{align*}
Using WolframALpha, the critical point is at ((62000/123, 23800/41) approx (504, 580.5)text{.})
Using WolframAlpha we get:
From the picture we conclude that the critical point is a maximum.

As an alternative we can find the discriminant.

begin{align*}
f_{xx} (x,y) amp = -frac{1}{25}\
f_{xy} (x,y) amp = -frac{1}{120}\
f_{yy} (x,y) amp = -frac{4}{25}\
D amp = f_{xx} (x,y)f_{yy} (x,y)-f_{xy} (x,y)^2 gt 0text{.}
end{align*}

Since (Dgt 0) and (f_{xx} (x,y)lt 0) we have a local maximum.

6.

The function is the revenue function for selling widgets and gizmos with demand price functions

begin{align*}
PriceGizmo amp = 30(0.9)^{(QuantityGizmo/150) }-frac{QuantityWidget}{250}\
PriceWidget amp = 20(0.97)^{(QuantityWidget/50) }-frac{QuantityGizmo}{350}
end{align*}

for the region (0le QuantityWidgetle 1500text{,}) and (0le QuantityGizmole 1500text{.}) (Warning: There are several critical points.)

7.

Based on the information given, classify each of the following points as a local maximum, local minimum, saddle point, not a critical point, or not enough information to classify.

p	(f_x)	(f_y)	(f_{xx})	(f_{xy})	(f_{yy})
A	1	2	3	4	5
B	0	0	0	0	0
C	0	1	2	5	3
D	0	0	2	2	2
E	0	0	1	2	3
F	0	0	0	1	0
G	0	0	0	-1	0

Solution.

Add a column for D and classify.

p	(f_x)	(f_y)	(f_{xx})	(f_{xy})	(f_{yy})	(D)	Classification
A	1	2	3	4	5	-1	Not Critical
B	0	0	0	0	0	0	Not Enough Info
C	0	1	2	5	3	-19	Not Critical
D	0	0	2	2	2	0	Not Enough Info
E	0	0	1	2	3	-1	Saddle Point
F	0	0	0	1	0	0	Not Enough Info
G	0	0	0	-1	0	0	Not Enough Info

8.

Based on the information given, classify each of the following points as a local maximum, local minimum, saddle point, not a critical point, or not enough information to classify.

p	(f_x)	(f_y)	(f_{xx})	(f_{xy})	(f_{yy})
A	1	2	3	4	5
B	0	0	0	0	0
C	0	1	2	5	3
D	0	0	2	2	2
E	0	0	1	2	3
F	0	0	0	1	0
G	0	0	0	-1	0

9.

Using polynomials of the form (f(x,y)=ax^3+bx^4+cy^3+dy^4text{,}) produce a function that has a critical point at ((0, 0)text{,}) of each type.

A local maximum.
A local minimum.
A saddle point where the function f(x,0) has a local maximum and f(0,y) has a local minimum.
A saddle point where the function f(x,0) and f(0,y) both have inflection points.

Solution.

It helps to consider the question with only one variable.

(f(x)=ax^3) has an inflection point at (x=0) and neither a max nor a minimum.

(f(x)=ax^4) has minimum at (x=0) if (agt 0) and a maximum if (alt 0text{.})

Since all terms are of degree at least three, all second partial derivatives are zero at the origin, so the discriminant test fails.

A local maximum: ((x,y) = -x^4-y^4text{.}) Both (x^4) and (y^4) are nonnegative, so the function is negative everywhere except at the origin where it is 0.
A local minimum: (f(x,y)= x^4+y^4text{.}) Both (x^4) and (y^4) are nonnegative, so the function is positive everywhere except at the origin where it is 0.
A saddle point where the function (f(x,0)) has a local maximum and (f(0,y)) has a local minimum: ((x,y)= -x^4+y^4text{.})
A saddle point where the function (f(x,0)) and (f(0,y)) both have inflection points: (f(x,y)= x^3+y^3)

You have attempted of activities on this page.

external/Examples/Section-6-3-Examples.xlsx

Источник

Содержание

Поиск решения MS EXCEL. Экстремум функции с несколькими переменными. Граничные условия заданы уравнениями
Функции МАКС и МИН в Excel по условию
Функции Excel 2016 МАКСЕСЛИ (MAXIFS) и МИНЕСЛИ (MINIFS)
Формула Excel MAX IF, чтобы найти наибольшее значение с условиями
Формула Excel МАКС ЕСЛИ
Как работает эта формула
Формула MAX IF с несколькими критериями
Как работают эти формулы
МАКС. ЕСЛИ без массива
Как работает эта формула
Формула Excel MAX IF с логикой ИЛИ
Как работают эти формулы
MAXIFS — простой способ найти максимальное значение с условиями

Поиск решения MS EXCEL. Экстремум функции с несколькими переменными. Граничные условия заданы уравнениями

history 14 января 2021 г.

Пусть дана функция с несколькими переменными F(x1, x2, . )=a1*x1+a2*x2+. Также даны граничные условия в виде b1*x1+b2*x2+. файл примера ).

Переменные (выделено зеленым) . В качестве переменных модели, очевидно, выступают x1, x2, x3, x4. Эта задача хороша тем, что переменные задаются однозначно, не требуется осмысливать житейскую задачу, например как с оптимизацией затрат . Хотя математически — это эквивалентные задачи, только количество переменных разное.

Ограничения (выделено серым) . Ограничения модели — это ограничения на область изменения переменных. Они могут задаваться как простыми выражениями для одной переменной, например х1>=0, так и для некой комбинации переменных 5*x1+4*x2-x3-2*x4 =0 ограничения можно ввести прямо в окне Поиска решения (будет показано ниже), для более сложных зависимостей удобно подготовить вспомогательную таблицу (С26:Е29).

Составить модель, особенно первую, непросто. Может помочь такой подход: считать, что переменные (зеленые ячейки) уже содержат некие значения, пусть даже не оптимальные. Так легче составлять огграничения. В нашем случае ограниечение 5*x1+4*x2-x3-2*x4 можно записать с помощью формулы = СУММПРОИЗВ($D$19:$D$22;C26:C29) . В диапазоне D19:D22 содержатся коэффициенты 5; 4; -1; -2. Кроме того, если значения переменных заданы, то и значение целевой функции также автоматически рассчитано (тоже не оптимальное пока, до запуска Поиска решения).

Целевая функция (выделено красным) . Целевая функция — это то, что требуется оптимизировать, т.е. F. Формула для ее вычисления задана в явном виде — не нужно догадываться из условий обычной задачи как ее подсчитать. Это не всегда очевидно (см., например, статью про пропускную способность трубопровода ).

Ниже приведено окно Поиска решения с заполненными полями: целевая функция, переменные и ограничения.

После запуска Поиска решения ответ будет вычислен за доли секунды: F=3.

Источник

Функции МАКС и МИН в Excel по условию

Подсчет максимального и минимального значения выполняется известными функциями МАКС и МИН. Бывает, что вычисления нужно произвести по группам или в зависимости от условия, как в СУММЕСЛИ.

Долгое время в Excel не было аналога СУММЕСЛИ или СРЗНАЧЕСЛИ для расчета максимального и минимального значения, поэтому использовали формулу массивов.

Пусть имеются данные

Нужно подсчитать максимальное значение в указанной группе. Название группы (критерий) введем в отдельную ячейку (D2). Пусть для начала это будет группа Б. Рядом введем следующую формулу:

Это формула массивов, поэтому ввести ее нужно комбинацией Ctrl + Shift + Enter.

Теперь, меняя название группы, можно без всяких фильтров и сводных таблиц видеть максимальное значение внутри этой группы.

Как это работает? Очень просто. Первым делом нужно указать диапазон, который будет использоваться в качестве аргумента функции МАКС, то есть только те ячейки, которые соответствуют указанной группе. Так как мы заранее позаботились об удобстве использования функции, то название группы указали не внутри формулы, а в отдельной ячейке (гораздо легче менять группу). Тогда формула для нужного диапазона выглядит так.

Указанное выражение отбирает только те значения, для которых название группы совпадает с условием в ячейке D2. Вот, как это видит Excel

На следующем этапе укажем функцию МАКС, аргументом которой выступает полученный выше массив. Excel воспринимает примерно так.

Видно, что максимальное значение внутри массива равно 31. Его и мы и увидим в ячейке с формулой. Нужно только не забыть итоговую функцию ввести комбинацией клавиш Ctrl + Shift + Enter, иначе ничего не получится. В строке формул формула массива отображается внутри фигурных скобок. Добавляются сами, специально дорисовывать не нужно.

Если функцию МАКС заменить на МИН, то по указанному условию (названию группы) будет выдаваться минимальное значение.

Функции Excel 2016 МАКСЕСЛИ (MAXIFS) и МИНЕСЛИ (MINIFS)

В MS Excel добавили новые статистические функции — МАКСЕСЛИ и МИНЕСЛИ. Обе функции имеют возможность учитывать несколько условий и некоторое время в их названиях в конце были буквы -МН. Потом убрали, хотя в скриншотах ниже используется вариант названий с -МН.

Есть ряд значений, каждое из которых входит в некоторую группу. Нужно рассчитать максимальное значение по группе А. Используем формулу МАКСЕСЛИ.

Все очень просто. Как и у СУММЕСЛИМН вначале указываем диапазон, где находится искомое максимальное значение (колонка В), затем диапазон с критериями (колонка А) и далее сам критерий (в ячейке D2). Можно указать сразу несколько условий. Таким же способом легко рассчитать минимальное значение по условию. Найдем, к примеру, минимум внутри группы Б.

Ниже показан ролик, как рассчитать максимальное и минимальное значение по условию.

Источник

Формула Excel MAX IF, чтобы найти наибольшее значение с условиями

В статье показано несколько различных способов получить максимальное значение в Excel на основе одного или нескольких указанных вами условий.

В нашем предыдущем руководстве мы рассмотрели распространенное использование функции MAX, которая предназначена для возврата наибольшего числа в наборе данных. Однако в некоторых ситуациях вам может потребоваться углубиться в свои данные, чтобы найти максимальное значение на основе определенных критериев. Это можно сделать с помощью нескольких различных формул, и в этой статье объясняются все возможные способы.

Формула Excel МАКС ЕСЛИ

До недавнего времени в Microsoft Excel не было встроенной функции МАКС. ЕСЛИ для получения максимального значения в зависимости от условий. С введением MAXIFS в Excel 2019 мы можем легко выполнять условное максимальное значение.

В Excel 2016 и более ранних версиях вам все равно придется создавать собственную формулу массива, комбинируя функцию MAX с оператором IF:

<=МАКС(ЕСЛИ(критерии_диапазонзнак равнокритерии, максимальный_диапазон))>

Чтобы увидеть, как эта общая формула MAX IF работает с реальными данными, рассмотрим следующий пример. Предположим, у вас есть таблица с результатами прыжков в длину нескольких учеников. В таблицу включены данные по трем раундам, и вы ищете лучший результат конкретного спортсмена, скажем Якова. С именами учащихся в A2:A10 и расстояниями в C2:C10 формула принимает следующий вид:

Помните, что формулу массива всегда нужно вводить, одновременно нажимая клавиши Ctrl + Shift + Enter. В результате он автоматически обрамляется фигурными скобками, как показано на скриншоте ниже (набор фигурных скобок вручную не работает!).

В реальных рабочих листах критерий удобнее вводить в какую-то ячейку, чтобы можно было легко изменить условие, не меняя формулу. Итак, набираем нужное имя в F1 и получаем следующий результат:

=МАКС(ЕСЛИ(A2:A10=F1, C2:C10))

Как работает эта формула

В логическом тесте функции ЕСЛИ мы сравниваем список имен (A2:A10) с целевым именем (F1). Результатом этой операции является массив значений ИСТИНА и ЛОЖЬ, где значения ИСТИНА представляют имена, совпадающие с целевым именем (Джейкоб):

Для значение_ если_истина аргумент, мы предоставляем результаты длинного перехода (C2:C10), поэтому, если логический тест оценивается как TRUE, возвращается соответствующее число из столбца C. значение_ если_ложь аргумент опущен, то есть будет иметь значение FALSE, если условие не выполняется:

Этот массив передается функции MAX, которая возвращает максимальное число, игнорируя значения FALSE.

Кончик. Чтобы просмотреть внутренние массивы, описанные выше, выберите соответствующую часть формулы на листе и нажмите клавишу F9. Чтобы выйти из режима оценки формулы, нажмите клавишу Esc.

Формула MAX IF с несколькими критериями

В ситуации, когда вам нужно найти максимальное значение на основе более чем одного условия, вы можете:
Используйте вложенные операторы IF, чтобы включить дополнительные критерии:

<=МАКС(ЕСЛИ(критерии_диапазон1знак равнокритерии1ЕСЛИ(критерии_диапазон2знак равнокритерии2, максимальный_диапазон)))>

Или обработайте несколько критериев, используя операцию умножения:

<=МАКС(ЕСЛИ((критерии_диапазон1знак равнокритерии1) * (критерии_диапазон2знак равнокритерии2), максимальный_диапазон))>

Допустим, у вас есть результаты юношей и девушек в одной таблице и вы хотите найти самый длинный прыжок среди девушек в 3 туре. Для этого вводим первый критерий (женский) в G1, второй критерий (3) в G2 и используйте следующие формулы для определения максимального значения:

=МАКС(ЕСЛИ(B2:B16=G1, ЕСЛИ(C2:C16=G2, D2:D16)))

Поскольку обе формулы являются формулами массива, не забудьте нажать Ctrl + Shift + Enter, чтобы заполнить их правильно.

Как показано на снимке экрана ниже, формулы дают одинаковый результат, поэтому какую из них использовать, зависит от ваших личных предпочтений. Для меня формулу с булевой логикой легче читать и строить — она позволяет добавлять сколько угодно условий без вложения дополнительных функций ЕСЛИ.

Как работают эти формулы

Первая формула использует две вложенные функции ЕСЛИ для оценки двух критериев. В логической проверке первого оператора IF мы сравниваем значения в столбце «Пол» (B2:B16) с критерием в G1 («Женский»). Результатом является массив значений TRUE и FALSE, где TRUE представляет данные, соответствующие критерию:

Аналогичным образом вторая функция ЕСЛИ проверяет значения в столбце округления (C2:C16) на соответствие критерию в G2.

Для значение_если_истина аргумент во втором операторе IF, мы предоставляем результаты прыжка в длину (D2:D16), и таким образом мы получаем элементы, которые имеют TRUE в первых двух массивах в соответствующих позициях (т. е. элементы, где пол «женский» и круглые равно 3):

Этот последний массив передается функции MAX, и она возвращает наибольшее число.

Вторая формула оценивает одни и те же условия в рамках одного логического теста, а операция умножения работает как оператор И:

Когда значения TRUE и FALSE используются в любой арифметической операции, они преобразуются в 1 и 0 соответственно. А поскольку умножение на 0 всегда дает ноль, результирующий массив имеет 1 только тогда, когда все условия ИСТИННЫ. Этот массив оценивается в логической проверке функции ЕСЛИ, которая возвращает расстояния, соответствующие элементам 1 (ИСТИНА).

МАКС. ЕСЛИ без массива

Многие пользователи Excel, в том числе и я, предвзято относятся к формулам массивов и стараются по возможности избавиться от них. К счастью, в Microsoft Excel есть несколько функций, которые изначально обрабатывают массивы, и мы можем использовать одну из таких функций, а именно СУММПРОИЗВ, как своего рода «оболочку» вокруг MAX.

Общая формула MAX IF без массива выглядит следующим образом:

=СУММПРОИЗВ(МАКС((критерии_диапазон1знак равнокритерии1) * (критерии_диапазон2знак равнокритерии2) * максимальный_диапазон))

Естественно, при необходимости вы можете добавить больше пар диапазон/критерий.

Чтобы увидеть формулу в действии, мы будем использовать данные из предыдущего примера. Цель состоит в том, чтобы получить максимальный прыжок спортсменки в раунде 3:

=СУММПРОИЗВ(МАКС(((B2:B16=G1) * (C2:C16=G2) * (D2:D16))))

Эта формула заменяется обычным нажатием клавиши Enter и возвращает тот же результат, что и формула массива MAX IF:

Присмотревшись к приведенному выше снимку экрана, вы можете заметить, что недопустимые переходы, отмеченные знаком «x» в предыдущих примерах, теперь имеют 0 значений в строках 3, 11 и 15, и в следующем разделе объясняется, почему.

Как работает эта формула

Как и в случае с формулой МАКС. ЕСЛИ, мы оцениваем два критерия, сравнивая каждое значение в столбцах «Пол» (B2:B16) и «Округление» (C2:C16) с критериями в ячейках G1 и G2. Результатом являются два массива значений TRUE и FALSE. Умножение элементов массивов в одинаковых позициях преобразует ИСТИНА и ЛОЖЬ в 1 и 0 соответственно, где 1 представляет элементы, соответствующие обоим критериям. Третий умноженный массив содержит результаты прыжков в длину (D2:D16). И поскольку умножение на 0 дает ноль, выживают только элементы, имеющие 1 (ИСТИНА) в соответствующих позициях:

В случае максимальный_диапазон содержит любое текстовое значение, операция умножения возвращает ошибку #ЗНАЧ, из-за которой вся формула не работает.

Функция MAX берет его отсюда и возвращает наибольшее число, удовлетворяющее заданным условиям. Результирующий массив, состоящий из одного элемента <4.63>, поступает в функцию СУММПРОИЗВ и выводит максимальное число в ячейке.

Примечание. Из-за своей специфической логики формула работает со следующими оговорками:

Диапазон, в котором вы ищете наибольшее значение, должен содержать только числа. Если есть какие-либо текстовые значения, #VALUE! возвращается ошибка.
Формула не может оценить условие «не равно нулю» в отрицательном наборе данных. Чтобы найти максимальное значение без учета нулей, используйте либо формулу МАКС. ЕСЛИ, либо функцию МАКС.

Формула Excel MAX IF с логикой ИЛИ

Чтобы найти максимальное значение при выполнении любого из указанных условий, используйте уже знакомую формулу массива МАКС ЕСЛИ с булевой логикой, но сложите условия, а не перемножайте их.

<=МАКС(ЕСЛИ((критерии_диапазон1знак равнокритерии1) + (критерии_диапазон2знак равнокритерии2), максимальный_диапазон))>

Кроме того, вы можете использовать следующую формулу без массива:

=СУММПРОИЗВ(МАКС(((критерии_диапазон1знак равнокритерии1) + (критерии_диапазон2знак равнокритерии2)) * максимальный_диапазон))

Для примера вычислим лучший результат в раундах 2 и 3. Обратите внимание, что в языке Excel задача формулируется иначе: вернуть максимальное значение, если раунд либо 2, либо 3.

С раундами, перечисленными в B2:B10, результатами в C2:C10 и критериями в F1 и H1, формула выглядит следующим образом:

=МАКС(ЕСЛИ((B2:B10=F1) + (B2:B10=H1), C2:C10))

Введите формулу, нажав комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter, и вы получите такой результат:

Максимальное значение с теми же условиями также можно найти с помощью этой формулы без массива:

=СУММПРОИЗВ(МАКС(((B2:B10=F1) + (B2:B10=H1)) * C2:C10))

Однако в этом случае нам нужно заменить все значения «x» в столбце C нулями, потому что СУММПРОИЗВ МАКС работает только с числовыми данными:

Как работают эти формулы

Формула массива работает точно так же, как МАКС. ЕСЛИ с логикой И за исключением того, что вы соединяете критерии, используя операцию сложения вместо умножения. В формулах массива сложение работает как оператор ИЛИ:

Сложение двух массивов ИСТИНА и ЛОЖЬ (которые получаются в результате проверки значений в B2:B10 по критериям в F1 и H1) дает массив из 1 и 0, где 1 представляет элементы, для которых любое условие является ИСТИННЫМ, а 0 представляет элементы. для которого оба условия ЛОЖНЫ. В результате функция ЕСЛИ «сохраняет» все элементы в C2:C10 (значение_если_истина), для которого любое условие ИСТИННО (1); остальные элементы заменяются на FALSE, потому что значение_если_ложь аргумент не указан.

Формула без массива работает аналогичным образом. Разница в том, что вместо логического теста IF вы умножаете элементы массива 1 и 0 на элементы массива результатов прыжка в длину (C2:C10) в соответствующих позициях. Это аннулирует элементы, которые не соответствуют ни одному условию (имеют 0 в первом массиве), и сохраняет элементы, которые соответствуют одному из условий (имеют 1 в первом массиве).

MAXIFS — простой способ найти максимальное значение с условиями

Пользователи Excel 2019, 2021 и Excel 365 избавлены от необходимости приручать массивы для создания собственной формулы MAX IF. Эти версии Excel предоставляют долгожданную функцию MAXIFS, которая упрощает поиск наибольшего значения в условиях детской игры.

В первом аргументе MAXIFS вы вводите диапазон, в котором должно быть найдено максимальное значение (в нашем случае D2:D16), а в последующих аргументах вы можете ввести до 126 пар диапазон/критерий. Например:

=МАКСЕСЛИ(D2:D16, B2:B16, G1, C2:C16, G2)

Как показано на снимке экрана ниже, у этой простой формулы нет проблем с обработкой диапазона, содержащего как числовые, так и текстовые значения:

Подробную информацию об этой функции см. в разделе Функция MAXIFS в Excel с примерами формул.

Вот как вы можете найти максимальное значение с условиями в Excel. Я благодарю вас за чтение и надеюсь увидеть вас в нашем блоге на следующей неделе!

Источник

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции МИН в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает наименьшее значение в списке аргументов.

Синтаксис

МИН(число1;[число2];…)

Аргументы функции МИН описаны ниже.

Число1, число2,… Аргумент «число1» является обязательным, последующие числа необязательные. От 1 до 255 чисел, среди которых требуется найти наименьшее.

Замечания

Аргументы могут быть либо числами, либо содержащими числа именами, массивами или ссылками.
Учитываются логические значения и текстовые представления чисел, которые непосредственно введены в список аргументов.
Если аргумент является массивом или ссылкой, то учитываются только числа. Пустые ячейки, логические значения и текст в массиве или ссылке игнорируются.
Если аргументы не содержат чисел, функция МИН возвращает значение 0.
Аргументы, которые являются значениями ошибки или текстами, не преобразуемыми в числа, приводят к возникновению ошибок.
Если в ссылку в качестве части вычислений необходимо добавить логические значения и текстовые представления, воспользуйтесь функцией МИНА.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные
10
7
9
27
2
Формула	Описание	Результат
=МИН(A2:A6)	Наименьшее из чисел в диапазоне A2:A6.	2
=МИН(A2:A6;0)	Наименьшее из чисел в диапазоне A2:A6 и 0.	0

Нужна дополнительная помощь?

Источник

Как найти при помощи функции МИН минимальное значение в Excel — 6 примеров

В этой статье вы узнаете, как использовать функцию МИН в Excel 2007-2019, найти минимальное значение, наименьшее значение по условию и выделить самое маленькое число в вашем диапазоне.

Сегодня мы расскажем вам, как использовать базовую, но очень важную функцию МИН в Excel. Вы увидите способы найти минимальное значение, в том числе исключая нули, абсолютный минимум и наименьшее значение с учётом условий. Кроме того, я покажу вам пошагово, как выделить цветом наименьшее число, а также подскажу, что делать, если ваша функция МИН возвращает ошибку вместо нужного результата.

Функция Excel МИН — синтаксис
1. Нахождение наименьшего значения
2. Как найти самую раннюю дату
3. Поиск абсолютного минимума в Excel
Как найти самое маленькое значение в Excel, исключая нули
Нахождение минимума на основе условия
Как подсветить наименьшее число в Excel
Почему не работает функция МИН?

Итак, начнем

Функция Excel МИН — синтаксис

Функция МИН проверяет ваш диапазон данных и возвращает минимальное значение в этом наборе.

Синтаксис для Excel МИН следующий:

МИН (число 1; [число 2]; …)

число1, [число2],… — это серия чисел, откуда вы хотите получить минимум. Число1 — обязательный аргумент, в то время как [число 2] и следующие являются необязательными. В одной формуле МИН допускается до 255 аргументов. Аргументы могут быть числами, ссылками на ячейки и диапазонами.

Функция МИН является одной из самых простых в применении. Вот пару примеров, доказывающих это:

1. Нахождение наименьшего значения

Допустим, у вас есть фрукты на складе. Ваша задача — проверить, какие из них заканчиваются. Есть несколько способов это сделать:

1: Ввести каждое значение из столбца «Количество на складе» в формулу:

= МИН(366;476;398;982;354;534;408)

2: Сделать ссылки на каждую ячейку столбца Количество:

= МИН(В2; В3; В4; В5; В6; В7; В8)

3: Или просто сослаться на весь диапазон ячеек:

= МИН(В2:В8)

4: в качестве альтернативы вы можете создать именованный диапазон и использовать его вместо этого, чтобы избежать любых прямых ссылок:

2. Как найти самую раннюю дату

Представьте, что вы ждете несколько доставок и хотели бы быть готовыми к самой ближайшей. Как узнать самую раннюю дату в Excel? Легко! Используйте функцию МИН, следуя логике из примера 1:

Примените МИН и выберите даты, ссылаясь непосредственно на ячейки:

= МИН(В2:В8)

или на именованный диапазон:

= МИН(дата_поставки)

3. Поиск абсолютного минимума в Excel

Предположим, что у вас есть диапазон чисел, и вам нужно определить не просто самое маленькое из них, но найти абсолютный минимум или минимум по абсолютному значению (по модулю). Одна только МИН функция не сможет справиться с этим, поскольку она просто будет искать минимальное число. Здесь вам нужна вспомогательная функция, которая может конвертировать все отрицательные числа в положительные.

Есть ли готовое решение для этого случая? Вопрос был риторическим, в Excel есть решение любой задачи. Если у вас есть какие-либо сомнения, просто просмотрите наш блог.

Но вернемся к нашей задаче. Готовое решение для этого конкретного случая называется функцией ABS, которая возвращает абсолютное значение заданных вами чисел. Таким образом, комбинация функций МИН и ABS сделает свое дело. Просто введите следующую формулу в любую пустую ячейку:

{= МИН(ABS(А1:Е12))}

Важно! Вы заметили фигурные скобки вокруг формулы? Это признак того, что это формула массива, и ее нужно вводить с помощью комбинации клавиш Ctrl + Shift + Enter, а не просто Enter.

Как найти самое маленькое значение в Excel, исключая нули

Вам кажется, что вы уже знаете все о поиске минимальных значений в Excel? Не спешите с выводами, всегда есть чему поучиться. Например, как бы вы определили наименьшее ненулевое значение? Есть идеи? Не обманывай и не гугли, просто продолжай читать;)

Дело в том, что Excel МИН работает не только с положительными и отрицательными числами, но и с нулями. Если вы не хотите, чтобы нули были таким минимумом, вам нужна помощь функции ЕСЛИ (IF). Как только вы добавите ограничение, что ваш диапазон должен быть больше нуля, ожидаемый результат не заставит себя ждать. Вот пример формулы для использования:

{= МИН(ЕСЛИ(В2:В15>0;В2:В15))}

Вы, наверное, заметили фигурные скобки вокруг формулы массива. Просто помните, что вы не вводите их вручную. Они появляются в тот момент, когда вы нажимаете Ctrl + Shift + Enter на клавиатуре.

Нахождение минимума на основе условия

Предположим, вам нужно найти наименьшее количество продаж определенного фрукта в списке. Другими словами, ваша задача — определить минимальное значение на основе некоторого критерия. В Excel условия обычно требуют использования функции ЕСЛИ. Все, что вам нужно сделать, это создать идеальную комбинацию МИН и ЕСЛИ для решения этой задачи:

Нажмите Ctrl + Shift + Enter, чтобы эта функция массива работала, и наслаждайтесь результатом.

Выглядит довольно легко, правда? И как вы определите минимум на основе 2 или более условий? Может быть, есть более простая формула для этой задачи, доступная в Excel? Читайте дальше, чтобы узнать ответ.

Как подсветить наименьшее число в Excel

А что, если вам не нужно возвращать минимальное значение, а вы просто хотите найти его в своей таблице? Самый простой способ найти ячейку — выделить ее. И самый простой способ сделать это — применить условное форматирование. Это даже проще, чем создать формулу:

1 Создайте новое правило условного форматирования, щелкнув Условное форматирование -> Создать правило

2 Когда откроется диалоговое окно «Создание правила форматирования», выберите тип правила «Форматировать только первые или последние значения».

3 Поскольку задача состоит в том, чтобы найти одно-единственное наименьшее значение, выберите опцию «последним» в раскрывающемся списке и укажите 1 в качестве количества ячеек, которые нужно выделить.

Но что делать, если в вашей таблице снова есть ноль? Как игнорировать нули при выделении минимального значения? Не беспокойтесь, для этого случая тоже есть маленькая хитрость:

1. Создайте новое правило условного форматирования, выбрав опцию «Использовать формулу для определения форматируемых ячеек».

2. Введите это выражение в поле «Значения формата» для проверки условия:

=B2=МИН(ЕСЛИ($B$2:$B$15>0;$B$2:$B$15))

Где B2 — первая ячейка диапазона, в которой будет найдено самое маленькое значение

3. Выберите цвет ( Формат… -> Заливка) и нажмите ОК.

4. Наслаждайтесь

Почему не работает функция МИН?

В идеальном мире все формулы будут работать как часы и возвращать правильные результаты, когда вы нажмете Enter. Но в мире, в котором мы живем, формулы иногда возвращают ошибку, а не результат, который нам нужен. Не беспокойтесь, сама ошибка всегда намекает на ее возможную причину. Вам просто нужно всмотреться в вашу формулу.

Исправление ошибки #ЗНАЧ! в формуле МИН

Как правило, вы получаете #ЗНАЧ! сообщение об ошибке, когда хотя бы одно из значений, использованных в формуле, неверно. Что касается МИН, это может произойти, когда один из аргументов поврежден, например, что-то не так с ячейками, которые использует формула.

Например, #ЗНАЧ! может появиться, если один из аргументов является ячейкой с ошибкой или в ссылке на ячейку есть опечатка.

Что может вызвать ошибку #ЧИСЛО! ?

Excel показывает ошибку #ЧИСЛО!, когда невозможно рассчитать вашу формулу. Обычно это происходит, когда числовое значение слишком велико или мало для отображения в Excel. В Excel допустимы номера от -2,2251E-308 до 2,2251E-308. Если один из ваших аргументов находится вне этого диапазона, функция вернет #ЧИСЛО!

Я получаю сообщение #ДЕЛ/0!, что делать?

Исправление #ДЕЛ/0! — это легко. Не делите на ноль! Не шучу, это единственное решение этой проблемы. Проверьте диапазон ваших данных, исправьте ошибку #ДЕЛ/0!, и формула незамедлительно вернет правильный результат.

Ищете минимум, но получаете #ИМЯ?

Сообщение #ИМЯ? означает, что Excel не может распознать формулу или ее аргументы. Наиболее вероятная причина этого результата — опечатка. Вы можете либо неправильно написать формулу, либо указать неверные аргументы для получения такого результата.

Другая возможная причина этой проблемы лежит в именованном диапазоне. Итак, если вы ссылаетесь на несуществующий диапазон или в нем есть опечатка, вы увидите #ИМЯ? в ячейке с результатом.

Это были некоторые из способов найти минимум в Microsoft Excel с помощью функции МИН. Для вас я рассмотрел различные подходы, чтобы найти самое маленькое значение в Excel и найти абсолютный минимум. Вы можете считать эту статью своей шпаргалкой и использовать всякий раз, когда вам нужно найти минимальное число в зависимости от условия, чтобы предотвратить и исправить возможные ошибки.

Вот и все на сегодня. Пожалуйста, не стесняйтесь делиться своими мыслями и вопросами в разделе комментариев, я буду рад получить от вас обратную связь!

Еще полезная дополнительная информация:

Функция МАКС в Excel: как найти максимальное значение — В этой статье объясняется функция МАКС с множеством примеров формул, которые показывают, как найти наибольшее значение в Excel и выделить наибольшее число на листе. МАКС — одна из самых простых и простых в использовании функций Excel. Тем не менее, у нее…

Как сделать зависимый выпадающий список в Excel? — Одной из наиболее полезных функций проверки данных является возможность создания выпадающего списка, который позволяет выбирать значение из предварительно определенного перечня. Но как только вы начнете применять это в своих таблицах, то неизбежно столкнетесь с проблемой: нужно сделать один выпадающий список…

использование формул для выпадающего списка

Создаем выпадающий список в Excel при помощи формул — Задача: Создать выпадающий список в Excel таким образом, чтобы в него автоматически попадали все новые значения. Сделаем это при помощи формул, чтобы этот способ можно было использовать не только в Excel 2007 и старше, но и в Excel 2003. Как…

автоматическое добавление значений в выпадающий список

5 способов создать выпадающий список в ячейке Excel — Одной из наиболее полезных функций при вводе данных является возможность использовать выпадающий список в Excel. Он позволяет выбирать значение из предварительно определенного перечня и разрешает вводить только те данные, которые соответствуют вашим требованиям. Мы предложим вам несколько простых способов, как…

Источник

Экстремум функции

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство(f(x₁) < f (x₂) (f(x₁) >f(x₂)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a,b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ‘ (x) > 0 , (f ‘ (x) < 0).

Точка x_о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x_о), (f(x) ≥f(x_о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, значения функции в них — ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума. Если x_о является точкой экстремума функции f(x), то либо f ‘ (x_о) = 0, либо f (x_о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в них определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x_о — критическая точка. Если f ‘ (x) при переходе через x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в x_о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ‘ (x) в окрестности x_о и вторую производную f » (x₀) в самой точке x_о. Если f ‘ (x_о) = 0, f » (x₀)>0, (f » (x₀) <0), то x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f » (x₀)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y =f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Пример 1. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 — 15x 2 + 36x — 14.

Задачи на нахождения экстремума функции

Пример 3. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2pR(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = pR 2 Н Þ Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S ‘ (R) = 2p(2R- 16/R 2 ) = 4p (R- 8/R 2 ). S ‘ (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Пример 4. Найти экстремумы функцииf(x) = 2x 3 — 15x 2 + 36x — 14.

Пример 5. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется c погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

[expert_bq id=»1570″]Найти наибольшее и наименьшее значения функции z 5xy-4 , если переменные x и y положительны и удовлетворяют уравнению связи frac frac-1 0. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq]
Продолжим разбор примеров на нахождение условного экстремума функций нескольких переменных. В первой части мы работали с функциями двух переменных, а здесь обратимся к функциям трёх переменных. Если понадобятся примеры для функций большего количества переменных, отпишите мне, пожалуйста, на форум или в комментариях.

Условный экстремум функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Первая часть.

Пример 2. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
[expert_bq id=»1570″]Определяем положение глобального минимума модельной функции , который или принимается в качестве глобального минимума функции f x , или уточняется с помощью какого-либо метода локальной оптимизации. Если же вы хотите что-то уточнить, обращайтесь ко мне![/expert_bq]
Рассмотрим одномерную задачу условной глобальной оптимизации: найти минимум одномерной многоэкстремальной функции f ( x ), определенной в замкнутой области допустимых значений D = [ a ; b ] и имеющей в этой области конечное число минимумов (4.1).

Второй способ

Напомню, что значения функции $f(z)$ при заданных условиях связи совпадают с значениями функции $u(x,y,z)$, т.е. найденный экстремум функции $f(z)$ и есть искомым условным экстремумом функции $u(x,y,z)$. В принципе, несложно также указать остальные координаты точки условного экстремума:

Источник