The word problem for groups

From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, especially in the area of abstract algebra known as combinatorial group theory, the word problem for a finitely generated group G is the algorithmic problem of deciding whether two words in the generators represent the same element. More precisely, if A is a finite set of generators for G then the word problem is the membership problem for the formal language of all words in A and a formal set of inverses that map to the identity under the natural map from the free monoid with involution on A to the group G. If B is another finite generating set for G, then the word problem over the generating set B is equivalent to the word problem over the generating set A. Thus one can speak unambiguously of the decidability of the word problem for the finitely generated group G.

The related but different uniform word problem for a class K of recursively presented groups is the algorithmic problem of deciding, given as input a presentation P for a group G in the class K and two words in the generators of G, whether the words represent the same element of G. Some authors require the class K to be definable by a recursively enumerable set of presentations.

History[edit]

Throughout the history of the subject, computations in groups have been carried out using various normal forms. These usually implicitly solve the word problem for the groups in question. In 1911 Max Dehn proposed that the word problem was an important area of study in its own right,^[1] together with the conjugacy problem and the group isomorphism problem. In 1912 he gave an algorithm that solves both the word and conjugacy problem for the fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds of genus greater than or equal to 2.^[2] Subsequent authors have greatly extended Dehn’s algorithm and applied it to a wide range of group theoretic decision problems.^[3][4][5]

It was shown by Pyotr Novikov in 1955 that there exists a finitely presented group G such that the word problem for G is undecidable.^[6] It follows immediately that the uniform word problem is also undecidable. A different proof was obtained by William Boone in 1958.^[7]

The word problem was one of the first examples of an unsolvable problem to be found not in mathematical logic or the theory of algorithms, but in one of the central branches of classical mathematics, algebra. As a result of its unsolvability, several other problems in combinatorial group theory have been shown to be unsolvable as well.

It is important to realize that the word problem is in fact solvable for many groups G. For example, polycyclic groups have solvable word problems since the normal form of an arbitrary word in a polycyclic presentation is readily computable; other algorithms for groups may, in suitable circumstances, also solve the word problem, see the Todd–Coxeter algorithm^[8] and the Knuth–Bendix completion algorithm.^[9] On the other hand, the fact that a particular algorithm does not solve the word problem for a particular group does not show that the group has an unsolvable word problem. For instance Dehn’s algorithm does not solve the word problem for the fundamental group of the torus. However this group is the direct product of two infinite cyclic groups and so has a solvable word problem.

A more concrete description[edit]

In more concrete terms, the uniform word problem can be expressed as a rewriting question, for literal strings.^[10] For a presentation P of a group G, P will specify a certain number of generators

x, y, z, …

for G. We need to introduce one letter for x and another (for convenience) for the group element represented by x⁻¹. Call these letters (twice as many as the generators) the alphabet for our problem. Then each element in G is represented in some way by a product

abc … pqr

of symbols from , of some length, multiplied in G. The string of length 0 (null string) stands for the identity element e of G. The crux of the whole problem is to be able to recognise all the ways e can be represented, given some relations.

The effect of the relations in G is to make various such strings represent the same element of G. In fact the relations provide a list of strings that can be either introduced where we want, or cancelled out whenever we see them, without changing the ‘value’, i.e. the group element that is the result of the multiplication.

For a simple example, take the presentation {a | a³}. Writing A for the inverse of a, we have possible strings combining any number of the symbols a and A. Whenever we see aaa, or aA or Aa we may strike these out. We should also remember to strike out AAA; this says that since the cube of a is the identity element of G, so is the cube of the inverse of a. Under these conditions the word problem becomes easy. First reduce strings to the empty string, a, aa, A or AA. Then note that we may also multiply by aaa, so we can convert A to aa and convert AA to a. The result is that the word problem, here for the cyclic group of order three, is solvable.

This is not, however, the typical case. For the example, we have a canonical form available that reduces any string to one of length at most three, by decreasing the length monotonically. In general, it is not true that one can get a canonical form for the elements, by stepwise cancellation. One may have to use relations to expand a string many-fold, in order eventually to find a cancellation that brings the length right down.

The upshot is, in the worst case, that the relation between strings that says they are equal in G is an Undecidable problem.

Examples[edit]

The following groups have a solvable word problem:

• Automatic groups, including:
  • Finite groups
  • Negatively curved (aka. hyperbolic) groups
  • Euclidean groups
  • Coxeter groups
  • Braid groups
  • Geometrically finite groups
• Finitely generated free groups
• Finitely generated free abelian groups
• Polycyclic groups
• Finitely generated recursively absolutely presented groups,^[11] including:
  • Finitely presented simple groups.
• Finitely presented residually finite groups
• One relator groups^[12] (this is a theorem of Magnus), including:
  • Fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds.
• Combable groups
• Autostackable groups

Examples with unsolvable word problems are also known:

• Given a recursively enumerable set A of positive integers that has insoluble membership problem, ⟨a,b,c,d | aⁿbaⁿ = cⁿdcⁿ : n ∈ A⟩ is a finitely generated group with a recursively enumerable presentation whose word problem is insoluble^[13]
• Every finitely generated group with a recursively enumerable presentation and insoluble word problem is a subgroup of a finitely presented group with insoluble word problem^[14]
• The number of relators in a finitely presented group with insoluble word problem may be as low as 14 ^[15] or even 12.^[16][17]
• An explicit example of a reasonable short presentation with insoluble word problem is given in Collins 1986:^[18][19]

Partial solution of the word problem[edit]

The word problem for a recursively presented group can be partially solved in the following sense:

Given a recursive presentation P = ⟨X|R⟩ for a group G, define:

then there is a partial recursive function f_P such that:

More informally, there is an algorithm that halts if u=v, but does not do so otherwise.

It follows that to solve the word problem for P it is sufficient to construct a recursive function g such that:

However u=v in G if and only if uv⁻¹=1 in G. It follows that to solve the word problem for P it is sufficient to construct a recursive function h such that:

Example[edit]

The following will be proved as an example of the use of this technique:

Theorem: A finitely presented residually finite group has solvable word problem.

Proof: Suppose G = ⟨X|R⟩ is a finitely presented, residually finite group.

Let S be the group of all permutations of N, the natural numbers, that fixes all but finitely many numbers then:

1. S is locally finite and contains a copy of every finite group.
2. The word problem in S is solvable by calculating products of permutations.
3. There is a recursive enumeration of all mappings of the finite set X into S.
4. Since G is residually finite, if w is a word in the generators X of G then w ≠ 1 in G if and only of some mapping of X into S induces a homomorphism such that w ≠ 1 in S.

Given these facts, algorithm defined by the following pseudocode:

For every mapping of X into S
    If every relator in R is satisfied in S
        If w ≠ 1 in S
            return 0
        End if
    End if
End for

defines a recursive function h such that:

This shows that G has solvable word problem.

Unsolvability of the uniform word problem[edit]

The criterion given above, for the solvability of the word problem in a single group, can be extended by a straightforward argument. This gives the following criterion for the uniform solvability of the word problem for a class of finitely presented groups:

To solve the uniform word problem for a class K of groups, it is sufficient to find a recursive function that takes a finite presentation P for a group G and a word in the generators of G, such that whenever G ∈ K:

Boone-Rogers Theorem: There is no uniform partial algorithm that solves the word problem in all finitely presented groups with solvable word problem.

In other words, the uniform word problem for the class of all finitely presented groups with solvable word problem is unsolvable. This has some interesting consequences. For instance, the Higman embedding theorem can be used to construct a group containing an isomorphic copy of every finitely presented group with solvable word problem. It seems natural to ask whether this group can have solvable word problem. But it is a consequence of the Boone-Rogers result that:

Corollary: There is no universal solvable word problem group. That is, if G is a finitely presented group that contains an isomorphic copy of every finitely presented group with solvable word problem, then G itself must have unsolvable word problem.

Remark: Suppose G = ⟨X|R⟩ is a finitely presented group with solvable word problem and H is a finite subset of G. Let H^* = ⟨H⟩, be the group generated by H. Then the word problem in H^* is solvable: given two words h, k in the generators H of H^*, write them as words in X and compare them using the solution to the word problem in G. It is easy to think that this demonstrates a uniform solution of the word problem for the class K (say) of finitely generated groups that can be embedded in G. If this were the case, the non-existence of a universal solvable word problem group would follow easily from Boone-Rogers. However, the solution just exhibited for the word problem for groups in K is not uniform. To see this, consider a group J = ⟨Y|T⟩ ∈ K; in order to use the above argument to solve the word problem in J, it is first necessary to exhibit a mapping e: Y → G that extends to an embedding e^*: J → G. If there were a recursive function that mapped (finitely generated) presentations of groups in K to embeddings into G, then a uniform solution of the word problem in K could indeed be constructed. But there is no reason, in general, to suppose that such a recursive function exists. However, it turns out that, using a more sophisticated argument, the word problem in J can be solved without using an embedding e: J → G. Instead an enumeration of homomorphisms is used, and since such an enumeration can be constructed uniformly, it results in a uniform solution to the word problem in K.

Proof that there is no universal solvable word problem group[edit]

Suppose G were a universal solvable word problem group. Given a finite presentation P = ⟨X|R⟩ of a group H, one can recursively enumerate all homomorphisms h: H → G by first enumerating all mappings h^†: X → G. Not all of these mappings extend to homomorphisms, but, since h^†(R) is finite, it is possible to distinguish between homomorphisms and non-homomorphisms, by using the solution to the word problem in G. «Weeding out» non-homomorphisms gives the required recursive enumeration: h₁, h₂, …, h_n, … .

If H has solvable word problem, then at least one of these homomorphisms must be an embedding. So given a word w in the generators of H:

Consider the algorithm described by the pseudocode:

Let n = 0
    Let repeatable = TRUE
        while (repeatable)
            increase n by 1
            if (solution to word problem in G reveals hn(w) ≠ 1 in G)
                Let repeatable = FALSE
output 0.

This describes a recursive function:

The function f clearly depends on the presentation P. Considering it to be a function of the two variables, a recursive function has been constructed that takes a finite presentation P for a group H and a word w in the generators of a group G, such that whenever G has soluble word problem:

But this uniformly solves the word problem for the class of all finitely presented groups with solvable word problem, contradicting Boone-Rogers. This contradiction proves G cannot exist.

Algebraic structure and the word problem[edit]

There are a number of results that relate solvability of the word problem and algebraic structure. The most significant of these is the Boone-Higman theorem:

A finitely presented group has solvable word problem if and only if it can be embedded in a simple group that can be embedded in a finitely presented group.

It is widely believed that it should be possible to do the construction so that the simple group itself is finitely presented. If so one would expect it to be difficult to prove as the mapping from presentations to simple groups would have to be non-recursive.

The following has been proved by Bernhard Neumann and Angus Macintyre:

A finitely presented group has solvable word problem if and only if it can be embedded in every algebraically closed group

What is remarkable about this is that the algebraically closed groups are so wild that none of them has a recursive presentation.

The oldest result relating algebraic structure to solvability of the word problem is Kuznetsov’s theorem:

A recursively presented simple group S has solvable word problem.

To prove this let ⟨X|R⟩ be a recursive presentation for S. Choose a ∈ S such that a ≠ 1 in S.

If w is a word on the generators X of S, then let:

There is a recursive function such that:

Write:

Then because the construction of f was uniform, this is a recursive function of two variables.

It follows that: is recursive. By construction:

Since S is a simple group, its only quotient groups are itself and the trivial group. Since a ≠ 1 in S, we see a = 1 in S_w if and only if S_w is trivial if and only if w ≠ 1 in S. Therefore:

The existence of such a function is sufficient to prove the word problem is solvable for S.

This proof does not prove the existence of a uniform algorithm for solving the word problem for this class of groups. The non-uniformity resides in choosing a non-trivial element of the simple group. There is no reason to suppose that there is a recursive function that maps a presentation of a simple groups to a non-trivial element of the group. However, in the case of a finitely presented group we know that not all the generators can be trivial (Any individual generator could be, of course). Using this fact it is possible to modify the proof to show:

The word problem is uniformly solvable for the class of finitely presented simple groups.

See also[edit]

• Combinatorics on words
• SQ-universal group
• Word problem (mathematics)
• Reachability problem
• Nested stack automata (have been used to solve the word problem for groups)

Notes[edit]

References[edit]

• Boone, W.W.; Cannonito, F.B.; Lyndon, Roger C. (1973). Word problems : decision problems and the Burnside problem in group theory. Studies in logic and the foundations of mathematics. Vol. 71. North-Holland. ISBN 9780720422719.
• Boone, W. W.; Higman, G. (1974). «An algebraic characterization of the solvability of the word problem». J. Austral. Math. Soc. 18: 41–53. doi:10.1017/s1446788700019108.
• Boone, W. W.; Rogers Jr, H. (1966). «On a problem of J. H. C. Whitehead and a problem of Alonzo Church». Math. Scand. 19: 185–192. doi:10.7146/math.scand.a-10808.
• Borisov, V. V. (1969), «Simple examples of groups with unsolvable word problem», Akademiya Nauk SSSR. Matematicheskie Zametki, 6: 521–532, ISSN 0025-567X, MR 0260851
• Collins, Donald J. (1969), «Word and conjugacy problems in groups with only a few defining relations», Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 15 (20–22): 305–324, doi:10.1002/malq.19690152001, MR 0263903
• Collins, Donald J. (1972), «On a group embedding theorem of V. V. Borisov», Bulletin of the London Mathematical Society, 4 (2): 145–147, doi:10.1112/blms/4.2.145, ISSN 0024-6093, MR 0314998
• Collins, Donald J. (1986), «A simple presentation of a group with unsolvable word problem», Illinois Journal of Mathematics, 30 (2): 230–234, doi:10.1215/ijm/1256044631, ISSN 0019-2082, MR 0840121
• Collins, Donald J.; Zieschang, H. (1990), Combinatorial group theory and fundamental groups, Springer-Verlag, p. 166, MR 1099152
• Dehn, Max (1911), «Über unendliche diskontinuierliche Gruppen», Mathematische Annalen, 71 (1): 116–144, doi:10.1007/BF01456932, ISSN 0025-5831, MR 1511645, S2CID 123478582
• Dehn, Max (1912), «Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flächen», Mathematische Annalen, 72 (3): 413–421, doi:10.1007/BF01456725, ISSN 0025-5831, MR 1511705, S2CID 122988176
• Kuznetsov, A.V. (1958). «Algorithms as operations in algebraic systems». Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser Mat. 13 (3): 81.
• Miller, C.F. (1991). «Decision problems for groups — survey and reflections». Algorithms and Classification in Combinatorial Group Theory. Mathematical Sciences Research Institute Publications. Vol. 23. Springer. pp. 1–60. doi:10.1007/978-1-4613-9730-4_1. ISBN 978-1-4613-9730-4.
• Nyberg-Brodda, Carl-Fredrik (2021), «The word problem for one-relation monoids: a survey», Semigroup Forum, 103 (2): 297–355, arXiv:2105.02853, doi:10.1007/s00233-021-10216-8
• Rotman, Joseph (1994), An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
• Stillwell, J. (1982). «The word problem and the isomorphism problem for groups». Bulletin of the AMS. 6: 33–56. doi:10.1090/s0273-0979-1982-14963-1.

В математике, особенно в области абстрактной алгебры, известной как комбинаторная теория групп, проблема слов для конечно порожденной группы G — это алгоритмическая проблема определения того, представляют ли два слова в генераторах один и тот же элемент. Точнее, если A — конечный набор образующих для G, то проблема слов — это проблема принадлежности для формального языка всех слов в A и формального набора обратных, которые отображают в тождество при естественном отображении свободного моноида с инволюцией на A в группу G. Если B — другое конечное порождающее множество для G, то проблема слов над порождающим множеством B эквивалентна слову проблема над порождающим множеством A. Таким образом, можно однозначно говорить о разрешимости проблемы слов для конечно порожденной группы G.

Родственная, но отличная равномерная проблема слов для класса K группы рекурсивно представленные группы — это алгоритмическая проблема решения, заданного в качестве входных данных презентации P для группы G в классе K и двух слов в образующих G, представляют ли слова один и тот же элемент группы G. авторы требуют, чтобы класс K определялся с помощью рекурсивно перечислимого набора представлений.

Содержание

• 1 История
• 2 Более конкретное описание
• 3 Примеры
• 4 Частичное решение проблемы слов
  • 4.1 Пример
• 5 Неразрешимость проблемы единообразных слов
  • 5.1 Доказательство того, что не существует универсальной решаемой группы проблем со словами
• 6 Алгебраическая структура и проблема со словами
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки

История

На протяжении всей истории испытуемого, вычисления в группах проводились с использованием различных нормальных форм. Обычно они неявно решают проблему слов для рассматриваемых групп. В 1911 году Макс Ден предположил, что проблема слов была важной областью исследования сама по себе, вместе с проблемой сопряженности и проблемой группового изоморфизма. В 1912 году он дал алгоритм, который решает как проблему слова, так и проблему сопряженности для фундаментальных групп замкнутых ориентируемых двумерных многообразий рода больше или равного 2. Последующие авторы значительно расширили алгоритм Дена. и применил его к широкому кругу теоретико-групповых задач принятия решений.

В 1955 году Петр Новиков показал, что существует конечно представленная группа G такая, что проблема слов для G неразрешимый. Отсюда сразу следует, что проблема единообразного слова также неразрешима. Другое доказательство было получено Уильямом Бун в 1958 году.

Проблема слов была одним из первых примеров неразрешимой проблемы, которую нельзя было найти в математической логике или теория алгоритмов, но в одном из центральных разделов классической математики, алгебре. В результате его неразрешимости было показано, что некоторые другие проблемы комбинаторной теории групп также неразрешимы.

Важно понимать, что проблема слов на самом деле разрешима для многих групп G. Например, полициклические группы имеют разрешимые проблемы со словами, поскольку нормальная форма произвольного слова в полициклическом представление легко вычислимо; другие алгоритмы для групп могут, при подходящих обстоятельствах, также решить проблему слов, см. алгоритм Тодда – Кокстера и алгоритм завершения Кнута – Бендикса. С другой стороны, тот факт, что конкретный алгоритм не решает проблему слов для определенной группы, не показывает, что у группы есть неразрешимая проблема слов. Например, алгоритм Дена не решает проблему слов для фундаментальной группы тора . Однако эта группа является прямым произведением двух бесконечных циклических групп и поэтому имеет разрешимую проблему слов.

Более конкретное описание

В более конкретных терминах проблема единообразия слов может быть выражена как переписывание вопроса для буквальных строк. Для представления P группы G, P задает определенное количество образующих

x, y, z,…

для G. Нам нужно ввести одну букву для x и другую (для удобства) для элемент группы, представленный x. Назовите эти буквы (вдвое больше, чем образующих) алфавитом Σ { displaystyle Sigma}для нашей задачи. Тогда каждый элемент в G каким-либо образом представлен произведением

abc… pqr

символов из Σ { displaystyle Sigma}некоторой длины, умноженных на G. Строка длины 0 (нулевая строка ) обозначает элемент идентичности e группы G. Суть всей проблемы состоит в том, чтобы распознать все способы, которыми может быть e. представлены, учитывая некоторые отношения.

Эффект отношений в G состоит в том, что различные такие строки представляют один и тот же элемент G. Фактически отношения предоставляют список строк, которые могут быть либо введены, где мы хотим, либо отменены, когда мы видим их, без изменения «значения», то есть элемента группы, который является результатом умножения.

В качестве простого примера рассмотрим презентацию {a | а}. Написав A вместо символа a, мы получим возможные строки, объединяющие любое количество символов a и A. Когда мы видим aaa, aA или Aa, мы можем вычеркнуть их. Мы также должны не забыть вычеркнуть AAA; это говорит о том, что, поскольку куб для a является единичным элементом G, то же самое и с кубом, обратным к a. В этих условиях проблема слова становится легкой. Сначала сократите строки до пустой строки, a, aa, A или AA. Затем обратите внимание, что мы также можем умножить на aaa, чтобы мы могли преобразовать A в aa и преобразовать AA в a. В результате проблема слов для циклической группы третьего порядка разрешима.

Однако это не типичный случай. Например, у нас есть каноническая форма , которая сокращает любую строку до одной длины не более трех, монотонно уменьшая длину. В общем, неверно, что можно получить каноническую форму для элементов путем пошагового исключения. Возможно, придется использовать отношения для многократного расширения строки, чтобы в конечном итоге найти сокращение, которое сокращает длину строки.

В худшем случае получается, что отношение между строками, которое говорит, что они равны в G, является неразрешимой проблемой.

Примеры

Следующие группы имеют разрешимую проблема со словами:

• Автоматические группы, в том числе:
  • Конечные группы
  • Отрицательно изогнутые (или гиперболические) группы
  • Евклидовы группы
  • Группы Кокстера
  • Группы кос
  • Геометрически конечные группы
• Конечно порожденные свободные группы
• Конечно порожденные свободные абелевы группы
• Полициклические группы
• Конечно порожденные рекурсивно абсолютно представленные группы, в том числе:
  • Конечно определенные простые группы.
• Конечно определенные аппроксимируемые конечные группы
• Группы с одним соотношением (это теорема Магнуса), включая:
  • Фундаментальные группы замкнутых ориентируемые двумерные многообразия.
• Комбинируемые группы
• Автономные группы

Также известны примеры неразрешимых словесных проблем:

• Дано рекурсивно перечислимое множество A натуральные числа с неразрешимой проблемой принадлежности, a, b, c, d | aba = cdc: n ∈ A⟩ — конечно порожденная группа с рекурсивно перечислимым представлением, чья словесная проблема неразрешима
• Каждая конечно порожденная группа с рекурсивно перечислимым представлением и неразрешимой словесной проблемой является подгруппой конечно представленной группы с неразрешимой проблемой слов
• Число соотносителей в конечно представленной группе с неразрешимой проблемой слов может быть от 14 до 12 или даже 12 на.
• Явный пример разумного короткого представления с неразрешимая проблема слов дана в Collins 1986:

⟨a, b, c, d, e, p, q, r, t, k | p 10 a = ap, pacqr = rpcaq, ra = ar, p 10 b = bp, p 2 adq 2 r = rp 2 daq 2, rb = br, p 10 c = cp, p 3 bcq 3 r = rp 3 cbq 3, rc = cr, p 10 d = dp, p 4 bdq 4 r = rp 4 dbq 4, rd = dr, p 10 e = ep, p 5 ceq 5 r = rp 5 ecaq 5, re = er, aq 10 = qa, p 6 deq 6 r = rp 6 edbq 6, pt = tp, bq 10 = qb, p 7 cdcq 7 r = rp 7 cdceq 7, qt = tq, cq 10 = qc, p 8 ca 3 q 8 r знак равно rp 8 a 3 q 8, dq 10 = qd, p 9 da 3 q 9 r = rp 9 a 3 q 9, eq 10 = qe, a — 3 ta 3 k = ka — 3 ta 3⟩ { displaystyle { begin {array} {lllll} langle a, b, c, d, e, p, q, r, t, k | \ p ^ {10} a = ap, pacqr = rpcaq, ra = ar, \ p ^ {10} b = bp, p ^ {2} adq ^ {2} r = rp ^ {2} daq ^ {2}, rb = br, \ p ^ {10} c = cp, p ^ {3} bcq ^ {3} r = rp ^ {3} cbq ^ {3}, rc = cr, \ p ^ {10} d = dp, p ^ {4} bdq ^ {4} r = rp ^ {4} dbq ^ {4}, rd = dr, \ p ^ {10} e = ep, p ^ {5} ceq ^ {5} r = rp ^ {5} ecaq ^ {5 }, re = er, \ aq ^ {10} = qa, p ^ {6} deq ^ {6} r = rp ^ {6} edbq ^ {6}, pt = tp, \ bq ^ { 10} = qb, p ^ {7} cdcq ^ {7} r = rp ^ {7} cdceq ^ {7}, qt = tq, \ cq ^ {10} = qc, p ^ {8} ca ^ {3} q ^ {8} r = rp ^ {8} a ^ {3} q ^ {8}, \ dq ^ {10} = qd, p ^ {9} da ^ {3} q ^ {9} r = rp ^ {9} a ^ {3} q ^ {9}, \ eq ^ {10} = qe, a ^ {- 3} ta ^ {3} k = ka ^ {- 3} ta ^ { 3} rangle end {array}}}

Частичное решение проблемы слов

Проблема слов для рекурсивно представленной группы может быть частично решена в следующем смысле:

Учитывая рекурсивную представление P = ⟨X | R⟩ для группы G, определим:

S = {⟨u, v⟩: u и v — слова в X и u = v в G} { displaystyle S = { langle u, v rangle: u { text {и}} v { text {- слова в}} X { text {и}} u = v { text {in}} G }}

тогда существует частично рекурсивная функция f P такая, что:

f P (⟨u, v⟩) = {0, если ⟨u, v⟩ ∈ S undefined / не останавливается, если ⟨u, v⟩ ∉ S { displaystyle f_ {P} ( langle u, v rangle) = { begin {cases} 0 { text {if}} langle u, v rangle in S \ { text {undefined / не останавливается}} { text {if}} langle u, v rangle notin S end {cases}}}

Более неформально, существует алгоритм, который останавливается, если u = v, но не делает иначе.

Отсюда следует, что для решения проблемы слов для P достаточно построить рекурсивную функцию g такую, что:

g (⟨u, v⟩) = {0, если ⟨u, v⟩ ∉ S undefined / не останавливается, если ⟨u, v⟩ ∈ S { displaystyle g ( langle u, v rangle) = { begin {cases} 0 { text {if}} langle u, v rangle notin S \ { text {undefined / не останавливается}} { text {if}} langle u, v rangle in S end {case}}

Однако u = v в G тогда и только тогда, когда uv = 1 в G. Отсюда следует, что для решения проблемы слов для P достаточно построить рекурсивную функцию h такую, что:

h (x) = {0, если x ≠ 1 в G undefined / не останавливается, если x = 1 в G { displaystyle h (x) = { begin {cases} 0 { text {if}} x neq 1 { text {in}} G \ { text {undefined / не останавливается}} { text {if}} x = 1 { text {in}} G end {cases}}}

Пример

В качестве примера использования этой техники будет доказано следующее:

Теорема: Конечно представимая финитно аппроксимируемая группа имеет разрешимую проблему слов.

Доказательство: предположим, что G = ⟨X | R⟩ конечная представленная финитно аппроксимируемая группа.

Пусть S будет группой всех перестановок N, натуральных чисел, которая фиксирует все числа, кроме конечного, тогда:

1. S является локально конечным и содержит копию каждой конечной группы.
2. Проблема слов в S разрешима путем вычисления произведений перестановок.
3. Существует рекурсивное перечисление всех отображений конечного множества X в S.
4. Поскольку G финитно аппроксимируема, если w — слово в образующих X группы G, то w ≠ 1 в G тогда и только тогда, когда некоторое отображение X в S индуцирует гомоморфизм такой, что w ≠ 1 в S.

Учитывая эти факты, алгоритм определяется следующим псевдокодом:

Для каждое отображение X в S Если, каждый относитель в R удовлетворяется в S Если w ≠ 1 в S return 0 End if End if End for

определяет рекурсивную функцию h такую, что:

h (x) = {0, если x ≠ 1 в G undefined / не останавливается, если x = 1 в G { displaystyle h (x) = { begin {cases} 0 { text {if}} x neq 1 { текст {in}} G \ { tex t {undefined / не останавливается}} { text {if}} x = 1 { text {in}} G end {cases}}}

Это показывает, что G имеет решаемую проблему со словами.

Неразрешимость проблемы единого слова

Приведенный выше критерий разрешимости проблемы слова в одной группе может быть расширен простым аргументом. Это дает следующий критерий равномерной разрешимости проблемы слов для класса конечно представленных групп:

Для решения равномерной проблемы слов для класса групп K достаточно найти рекурсивную функцию f ( P, w) { displaystyle f (P, w)}, который принимает конечное представление P для группы G и слово w { displaystyle w}в генераторы G, такие, что всякий раз, когда G ∈ K:

f (P, w) = {0, если w ≠ 1 в G undefined / не останавливается, если w = 1 в G { displaystyle f (P, w) = { begin {case} 0 { text {if}} w neq 1 { text {in}} G \ { text {undefined / не останавливается}} { text {if} } w = 1 { text {in}} G end {cases}}}

Теорема Буна-Роджерса: Не существует единого частичного алгоритма, решающего проблему слов во всех конечно определенных группах с разрешимой проблемой слов.

Другими словами, равномерная проблема слов для класса всех конечно определенных групп с разрешимой проблемой слов неразрешима. Это имеет некоторые интересные последствия. Например, теорема вложения Хигмана может быть использована для построения группы, содержащей изоморфную копию каждой конечно представленной группы с разрешимой проблемой слов. Кажется естественным спросить, может ли эта группа иметь решаемую проблему слов. Но следствием результата Буна-Роджерса является следующее:

Следствие: Не существует универсальной решаемой группы словесных задач. То есть, если G — конечно определенная группа, которая содержит изоморфную копию каждой конечно определенной группы с разрешимой проблемой слов, то сама G должна иметь неразрешимую проблему слов.

Замечание: Предположим, что G = ⟨X | R⟩ — конечно определенная группа с разрешимой проблемой слов, а H — конечное подмножество в G. Пусть H = ⟨H⟩, — группа, порожденная H. Тогда проблема слов в H разрешима: даны два слова h, k в образующих H группы H, запишите их как слова в X и сравните их, используя решение проблемы слов в G. Легко подумать, что это демонстрирует равномерное решение проблемы слов для класса K (скажем) конечно порожденных групп, которые может быть вложено в G. Если бы это было так, то несуществование универсальной разрешимой группы проблем со словами легко вытекало бы из Бун-Роджерса. Однако только что представленное решение проблемы слов для групп из K не является однородным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим группу J = ⟨Y | T⟩ ∈ K; Чтобы использовать приведенный выше аргумент для решения проблемы слов в J, сначала необходимо показать отображение e: Y → G, которое продолжается до вложения e: J → G.Если бы существовала рекурсивная функция, отображающая (конечно порожденная) представления групп из K вложения в G, то действительно может быть построено равномерное решение проблемы слов в K. Но в общем случае нет оснований предполагать, что такая рекурсивная функция существует. Однако оказывается, что, используя более изощренный аргумент, проблема слов в J может быть решена без использования вложения e: J → G. Вместо этого используется перечисление гомоморфизмов, и, поскольку такое перечисление может быть построено единообразно, оно приводит к единообразному решению проблемы слов в K.

Доказательство того, что не существует универсальной разрешимой группы проблем со словами

Предположим, G была универсальной разрешимой группой проблем со словами. Учитывая конечное представление P = ⟨X | R⟩ группы H, можно рекурсивно перечислить все гомоморфизмы h: H → G, сначала перечислив все отображения h: X → G. Не все эти отображения продолжаются до гомоморфизмов, но, поскольку h (R) конечно, можно различать гомоморфизмы и негомоморфизмы, используя решение проблемы слов в G. «Отсечение» негомоморфизмов дает требуемое рекурсивное перечисление: h 1, h 2,…, h n,….

Если H имеет разрешимую проблему слов, то хотя бы один из этих гомоморфизмов должен быть вложением. Итак, дано слово w в образующих H:

Если w ≠ 1 в H, hn (w) ≠ 1 в G для некоторого hn { displaystyle { text {If}} w neq 1 { text {in}} H, h_ {n} (w) neq 1 { text {in}} G { text {для некоторых}} h_ {n}}

Если w = 1 в H, hn (w) = 1 в G для всех hn { displaystyle { text {If}} w = 1 { text {in}} H, h_ {n} (w) = 1 { text {in}} G { text {для всех}} h_ {n}}

Рассмотрим алгоритм, описанный псевдокодом:

Пусть n = 0 Пусть repeatable = TRUE в то время как (повторяемый) увеличивает n на 1, если (решение проблемы слов в G показывает h n (w) ≠ 1 в G) Пусть repeatable = FALSE вывод 0.

Это описывает рекурсивную функцию:

f (w) = {0, если w ≠ 1 в H undefined / не останавливается, если w = 1 в H. { displaystyle f (w) = { begin {cases} 0 { text {if}} w neq 1 { text {in}} H \ { text {undefined / не останавливается}} { text {if}} w = 1 { text {in}} H. end {cases}}}

Функция f явно зависит от представления P. Рассматривая ее как функцию из двух переменных была построена рекурсивная функция f (P, w) { displaystyle f (P, w)}, которая принимает конечное представление P для группы H и слово w в генераторах группы G, такой, что всякий раз, когда G имеет разрешимую проблему слов:

f (P, w) = {0, если w 1 в H, undefined / не останавливается, если w = 1 в H. { displaystyle f (P, w) = { begin {cases} 0 { text {if}} w neq 1 { text {in}} H \ { text {undefined / не останавливается }} { text {if}} w = 1 { text {in}} H. end {ases}}}

Но это единообразно решает проблему слов для класса всех конечно представленных группы с разрешимой проблемой слов, противоречащие Буну-Роджерсу. Это противоречие доказывает, что G не может существовать.

Алгебраическая структура и проблема слов

Существует ряд результатов, которые связывают разрешимость проблемы слов и алгебраическую структуру. Наиболее важным из них является следующее:

Конечно представленная группа имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда она может быть вложена в простую группу, которая может быть вложена в конечно определенную группу.

Широко распространено мнение, что можно построить такую ​​конструкцию, чтобы сама простая группа была конечно представимой. Если это так, можно было бы ожидать, что это будет трудно доказать, поскольку отображение представлений в простые группы должно быть нерекурсивным.

Следующее было доказано Бернхардом Нойманом и Ангусом Макинтайром :

Конечно представленная группа имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда она может быть вложена в каждое алгебраически замкнутая группа

Что примечательно в этом, так это то, что алгебраически замкнутые группы настолько дикие, что ни одна из них не имеет рекурсивного представления.

Самым старым результатом, связывающим алгебраическую структуру с разрешимостью проблемы слов, является теорема Кузнецова:

Рекурсивно представленная простая группа S имеет разрешимую проблему слов.

Чтобы доказать это, пусть ⟨X | R⟩ будет рекурсивное представление для S. Выберем a ∈ S так, чтобы a ≠ 1 в S.

Если w — слово на образующих X слова S, то пусть:

S w = ⟨X | R ∪ {w}⟩. { displaystyle S_ {w} = langle X | R cup {w } rangle.}

Существует рекурсивная функция f ⟨X | R ∪ {w}⟩ { displaystyle f _ { langle X | R cup {w } rangle}}такой, что:

f ⟨X | R ∪ {w}⟩ (x) = {0, если x = 1 в S w undefined / не останавливается, если x ≠ 1 в S w. { displaystyle f _ { langle X | R cup {w } rangle} (x) = { begin {cases} 0 { text {if}} x = 1 { text {in}} S_ {w} \ { text {undefined / не останавливается}} { text {if}} x neq 1 { text {in}} S_ {w}. End {case }}}

Запишите:

g (w, x) = f ⟨X | R ∪ {w}⟩ (х). { displaystyle g (w, x) = f _ { langle X | R cup {w } rangle} (x).}

Тогда, поскольку конструкция f была равномерной, это рекурсивная функция две переменные.

Отсюда следует, что: h (w) = g (w, a) { displaystyle h (w) = g (w, a)}является рекурсивным. По построению:

h (w) = {0, если a = 1 в S w undefined / не останавливается, если a 1 в S w. { displaystyle h (w) = { begin {cases} 0 { text {if}} a = 1 { text {in}} S_ {w} \ { text {undefined / не останавливается }} { text {if}} a neq 1 { text {in}} S_ {w}. end {cases}}}

Поскольку S — простая группа, ее единственное частное группы — это сама и тривиальная группа. Поскольку a 1 в S, мы видим a = 1 в S w тогда и только тогда, когда S w тривиально тогда и только тогда, когда w ≠ 1 в S. Следовательно:

h (w) = {0, если w ≠ 1 в S undefined / не останавливается, если w = 1 в S. { displaystyle h (w) = { begin {cases} 0 { text {if}} w neq 1 { text {in}} S \ { text {undefined / не останавливается}} { text {if}} w = 1 { text {in}} S. end {ases}}}

Существования такой функции достаточно, чтобы доказать, что проблема слов разрешима для S.

Это доказательство не доказывает существования единого алгоритма решения проблемы слов для этого класса групп. Неоднородность заключается в выборе нетривиального элемента простой группы. Нет оснований предполагать, что существует рекурсивная функция, которая отображает представление простой группы на нетривиальный элемент группы. Однако в случае конечно представленной группы мы знаем, что не все генераторы могут быть тривиальными (конечно, может быть любой отдельный генератор). Используя этот факт, можно изменить доказательство, чтобы показать:

Проблема слов равномерно разрешима для класса конечно определенных простых групп.

См. Также

• Комбинаторика слов
• SQ-универсальная группа
• Проблема со словами (математика)
• Проблема достижимости
• Вложенные стековые автоматы (использовались для решения задачи со словами для групп)

Примечания

1. ^Ден 1911.
2. ^Ден 1912.
3. ^Гриндлингер, Мартин (июнь 1959 г.), «Алгоритм Дена для словесной проблемы», Коммуникации по чистой и прикладной математике, 13 (1): 67–83, doi : 10.1002 / cpa.3160130108.
4. ^Линдон, Роджер К. (сентябрь 1966 г.), «По алгоритму Дена» , Mathematische Annalen, 166 (3): 208–228, doi : 10.1007 / BF01361168, hdl : 2027.42 / 46211.
5. ^Шупп, Пол Э. (июнь 1968 г.), «Об алгоритме Дена и проблеме сопряжения» , Mathematische Annalen, 178 (2): 119–130, doi : 10.1007 / BF01350654.
6. ^Новиков, ПС (195 5), «Об алгоритмической неразрешимости проблемы слова в теории групп», Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 44 : 1–143, Zbl 0068.01301
7. ^Бун, Уильям У. (1958), «Проблема слова» (PDF), Proceedings of the National Academy of Sciences, 44 (10): 1061–1065, doi : 10.1073 / pnas.44.10.1061, PMC 528693, PMID 16590307, Zbl 0086.24701
8. ^JA Тодд и Х.С.М. Кокстер. «Практический метод перечисления смежных классов конечной абстрактной группы», Proc, Edinburgh Math Soc. (2), 5, 25 — 34. 1936
9. ^Д. Кнут и П. Бендикс. «Простые словесные задачи в универсальных алгебрах». Вычислительные проблемы в абстрактной алгебре (ред. Дж. Лич), стр. 263-297, 1970.
10. ^Ротман 1994.
11. ^Х. Симмонс, «Проблема слов для абсолютных представлений». J. London Math. Soc. (2) 6, 275-280 1973
12. ^Роджер К. Линдон, Пол Э. Шупп, Комбинаторная теория групп, Springer, 2001
13. ^Collins Zieschang 1990, p. 149.
14. ^Collins Zieschang 1993, Cor. 7.2.6. sfn error: no target: CITEREFCollinsZieschang1993 (help )
15. ^Collins 1969.
16. ^Borisov 1969.
17. ^Collins 1972.
18. ^Collins 1986.
19. ^Мы используем исправленную версию из Каталога алгебраических языков Джона Педерсена Системы

Ссылки

• «Проблема со словами». PlanetMath.
• У.В. Бун, Ф. Б. Каннонито и Р. К. Линдон. Проблемы со словами: проблема принятия решения в теории групп. Нидерланды: Северная Голландия. 1973.
• Бун, У.В.; Хигман, Г. (1974). «Алгебраическая характеристика разрешимости проблемы слов». J. Austral. Math. Soc. 18 : 41–53. doi : 10.1017 / s1446788700019108.
• Бун, WW; Роджерс-младший, Х. (1966). «О проблеме Дж. Х. К. Уайтхеда. и проблема Алонсо Черча ». Math. Scand. 19 : 185–192. doi : 10.7146 / math.scand.a-10808.
• Борисов, В.В. (1969), «Простые примеры групп с неразрешимой проблемой слов», Академия Наук СССР, Математические заметки, 6 : 521–532, ISSN 00 25-567X, MR 0260851
• Коллинз, Дональд Дж. (1969), «Проблемы слова и сопряжения в группах только с несколькими определяющими отношениями», Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 15 (20–22): 305–324, doi : 10.1002 / malq.19690152001, MR 0263903
• Коллинз, Дональд Дж. (1972), «О теореме группового вложения В.В. Борисов », Вестник Лондонского математического общества, 4(2): 145–147, doi : 10.1112 / blms / 4.2.145, ISSN 0024-6093, MR 0314998
• Коллинз, Дональд Дж. (1986), «Простое представление группы с неразрешимой проблемой слов», Illinois Journal of Mathematics, 30 ( 2): 230–234, doi : 10.1215 / ijm / 1256044631, ISSN 0019-2082, MR 0840121
• Коллинз, Дональд J.; Цишанг Х. (1990), Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 166, MR 1099152
• Ден, Макс (1911), «Über unndliche diskontinuierliche Gruppen» , Mathematische Annalen, 71(1): 116–144, doi : 10.1007 / BF01456932, ISSN 0025-5831, MR 1511645
• Ден, Макс (1912), » Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flächen «, Mathematische Annalen, 72(3): 413–421, doi : 10.1007 / BF01456725, ISSN 0025-5831, MR 1511705
• А. В. Кузнецов, «Алгоритмы как операции в алгебраических системах», Известия Акад. АН СССР Сер мат (1958)
• С. Ф. Миллер. «Решение проблемы для группы — обзор и размышления». В «Алгоритмах и классификации в комбинаторной теории групп», страницы 1–60. Springer, 1991.
• Ротман, Джозеф (1994), Введение в теорию групп, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0 -387-94285-8
• Стиллвелл, Дж. (1982). «Проблема слова и проблема изоморфизма для групп». Бюллетень АПП. 6 : 33–56. doi :10.1090/s0273-0979-1982-14963-1.

Эта статья посвящена алгоритмическим проблемам теории групп. Для связанных применений см проблема слова .

В математике , особенно в области абстрактной алгебры, известной как комбинаторная теория групп , проблема слов для конечно порожденной группы G — это алгоритмическая проблема определения того, представляют ли два слова в образующих один и тот же элемент. Точнее, если A — конечный набор образующих для G, то проблема слов — это проблема принадлежности для формального языка всех слов в A и формального набора обратных, которые отображаются в тождество при естественном отображении из свободного моноида с инволюции на А в группе G . Если B является другим конечным порождающим множеством для G , то задача слова над порождающим множеством B эквивалентна задачей слова над порождающим множеством A . Таким образом, можно говорить однозначно о разрешимости проблемы тождества для конечно порожденной группы G .

Связанная, но отличающаяся друг от друга проблема единообразных слов для класса K рекурсивно представленных групп — это алгоритмическая проблема решения, заданного в качестве входных данных представления P для группы G в классе K и двух слов в генераторах G , представляют ли слова же элемент G . Некоторые авторы требуют, чтобы класс K был определен рекурсивно перечислимым набором представлений.

История

На протяжении всей истории предмета вычисления в группах проводились с использованием различных нормальных форм . Обычно они неявно решают проблему слов для рассматриваемых групп. В 1911 году Макс Дена предложил, чтобы слово проблема является важной областью исследования в своем собственном праве, наряду с проблемой сопряженности и задачей группы изоморфизма . В 1912 году он дал алгоритм, который решает как проблему слова, так и проблему сопряженности для фундаментальных групп замкнутых ориентируемых двумерных многообразий рода больше или равного 2. Последующие авторы значительно расширили алгоритм Дена и применили его к широкому кругу групп. теоретические проблемы решения .

Как было показано Петр Новиков в 1955 году , что существует конечно определенная группа G такая , что задача слово G является неразрешимой . Отсюда сразу следует, что проблема единообразного слова также неразрешима. Другое доказательство было получено Уильямом Бун в 1958 году.

Слово «проблема» было одним из первых примеров неразрешимой проблемы, которую можно было найти не в математической логике или теории алгоритмов , а в одном из центральных разделов классической математики — алгебре . Из-за своей неразрешимости некоторые другие проблемы комбинаторной теории групп также оказались неразрешимыми.

Важно понимать , что проблема слова на самом деле разрешимой для многих групп G . Например, у полициклических групп есть разрешимые проблемы со словами, поскольку нормальная форма произвольного слова в полициклическом представлении легко вычислима; другие алгоритмы для групп могут, при подходящих обстоятельствах, также решить проблему слов, см. алгоритм Тодда – Кокстера и алгоритм завершения Кнута – Бендикса . С другой стороны, тот факт, что конкретный алгоритм не решает проблему слов для определенной группы, не показывает, что у группы есть неразрешимая проблема слов. Например, алгоритм Дена не решает проблему слов для фундаментальной группы тора . Однако эта группа является прямым произведением двух бесконечных циклических групп и поэтому имеет разрешимую проблему слов.

Более конкретное описание

В более конкретных терминах проблема единообразия слов может быть выражена как вопрос переписывания буквальных строк . Для представления P группового G , P будет указывать определенное количество генераторов

х , у , z , …

для G . Нам нужно ввести одну букву для x и другую (для удобства) для элемента группы, представленного x ⁻¹ . Назовите эти буквы (вдвое больше, чем образующих) алфавитом нашей задачи. Тогда каждый элемент в G представлен в некотором роде произведение

abc … pqr

символов из , некоторой длины, умноженной на G . Строка длиной 0 ( пустая строка ) обозначает единичного элемента е из G . Суть всей проблемы состоит в том, чтобы уметь распознать все способы представления e при определенных отношениях.

Влияние отношений в G , чтобы сделать различные такие строки представляют собой один и тот же элемент G . Фактически отношения предоставляют список строк, которые могут быть либо введены там, где мы хотим, либо отменены всякий раз, когда мы их видим, без изменения «значения», то есть элемента группы, который является результатом умножения.

В качестве простого примера возьмем презентацию { a | а ³ }. Запись А для обратного , мы имеем возможные ниточки , сочетающие любое количество символов и A . Каждый раз, когда мы видим aaa , aA или Aa, мы можем вычеркнуть их. Мы также должны не забыть вычеркнуть AAA ; это говорит о том, что, поскольку куб a является единичным элементом G , то же самое можно сказать и о кубе, обратном к a . В этих условиях проблема слов становится легкой. Сначала сократите строки до пустой строки, a , aa , A или AA . Затем обратите внимание, что мы также можем умножить на aaa , чтобы мы могли преобразовать A в aa и преобразовать AA в a . В результате проблема слов для циклической группы третьего порядка разрешима.

Однако это не типичный случай. Например, у нас есть каноническая форма, которая сокращает любую строку до одной длиной не более трех, монотонно уменьшая длину. В общем, неверно, что можно получить каноническую форму для элементов путем пошагового исключения. Возможно, придется использовать отношения, чтобы расширить строку во много раз, чтобы в конечном итоге найти отмену, которая сокращает длину прямо вниз.

В результате, в худшем случае, отношение между строками, которое говорит, что они равны в G, является неразрешимой проблемой .

Примеры

Следующие группы имеют решаемую проблему со словами:

• Автоматические группы , в том числе:
  • Конечные группы
  • Отрицательно изогнутые (также известные как гиперболические) группы
  • Евклидовы группы
  • Группы Кокстера
  • Группы кос
  • Геометрически конечные группы
• Конечно порожденные свободные группы
• Конечно порожденные свободные абелевы группы
• Полициклические группы
• Конечно порожденные рекурсивно абсолютно представленные группы , в том числе:
  • Конечно определенные простые группы.
• Конечно определенные финитно аппроксимируемые группы
• Группы одного отношения (это теорема Магнуса), в том числе:
  • Фундаментальные группы замкнутых ориентируемых двумерных многообразий.
• Комбинированные группы
• Группы с возможностью автоматического суммирования

Известны также примеры неразрешимых словесных проблем:

• Для рекурсивно перечислимого множества A натуральных чисел, имеющего неразрешимую проблему принадлежности, ⟨a , b, c, d | ^п ба ^п = с ^п постоянного ток ^п  : п ∈ ⟩ является конечно порожденной группой с перечислимой презентацией , чье слово проблема неразрешима
• Каждая конечно порожденная группа с рекурсивно перечислимым представлением и неразрешимой проблемой слов является подгруппой конечно определенной группы с неразрешимой проблемой слов
• Число соотносителей в конечно представленной группе с неразрешимой проблемой слов может быть всего 14 или даже 12.
• Явный пример разумной короткой презентации с неразрешимой проблемой слов дан в Collins 1986:

Частичное решение проблемы со словом

Проблема слов для рекурсивно представленной группы может быть частично решена в следующем смысле:

Учитывая рекурсивное представление P = ⟨ X | R ⟩ для группы G , определим:

тогда существует частично рекурсивная функция f _P такая, что:

Более неформально, существует алгоритм, который останавливается, если u = v , но не останавливается в противном случае.

Отсюда следует, что для решения проблемы слов для P достаточно построить рекурсивную функцию g такую, что:

Однако у = V в G тогда и только тогда , когда увы ^-1 = 1 в G . Отсюда следует, что для решения проблемы слов для P достаточно построить рекурсивную функцию h такую, что:

Пример

На примере использования этой техники будет доказано следующее:

Теорема: конечно представимая финитно аппроксимируемая группа имеет разрешимую проблему слов.

Доказательство: Пусть G = ⟨ X | R ⟩ является конечно, остаточно конечной группой.

Пусть S будет группой всех перестановок N , натуральных чисел, которая фиксирует все числа, кроме конечного, тогда:

1. S является локально конечным и содержит копию любой конечной группы.
2. Проблема слов в S разрешима путем вычисления произведений перестановок.
3. Существует рекурсивное перечисление всех отображений конечного множества X в S .
4. Так как G аппроксимируется конечными, если ш есть слово в образующих X из G , то W ≠ 1 в G тогда и только некоторого отображения X в S индуцирует гомоморфизм такой , что ш ≠ 1 в S .

Учитывая эти факты, алгоритм определяется следующим псевдокодом:

For every mapping of X into S
    If every relator in R is satisfied in S
        If w ≠ 1 in S
            return 0
        End if
    End if
End for

определяет рекурсивную функцию h такую, что:

Это показывает, что у G есть разрешимая проблема слов.

Неразрешимость проблемы единого слова

Приведенный выше критерий разрешимости проблемы слов в одной группе может быть расширен прямым рассуждением. Это дает следующий критерий равномерной разрешимости проблемы слов для класса конечно определенных групп:

Чтобы решить проблему равномерного слова для класса K групп, достаточно найти рекурсивную функцию, которая принимает конечное представление P для группы G и слово в образующих G , такую, что всякий раз, когда G ∈ K :

Теорема Буна-Роджерса: не существует единого частичного алгоритма, который решает проблему слов во всех конечно определенных группах с разрешимой проблемой слов.

Другими словами, равномерная проблема слов для класса всех конечно определенных групп с разрешимой проблемой слов неразрешима. Это имеет некоторые интересные последствия. Например, теорема вложения Хигмана может быть использована для построения группы, содержащей изоморфную копию каждой конечно представленной группы с разрешимой проблемой слов. Кажется естественным спросить, может ли эта группа иметь разрешимую проблему со словами. Но это следствие результата Буна-Роджерса, что:

Следствие: не существует универсальной разрешимой группы словесных задач. То есть, если G конечно определенная группа, которая содержит изоморфную копию каждой конечно определенной группы с разрешимой проблемой слов, то сама G должна иметь неразрешимую проблему слов.

Замечание: Пусть G = ⟨ X | R ⟩ является конечно определенной группой с решаемой проблемой тождества и Н конечное подмножество G . Пусть Н ^* = ⟨ Н ⟩, быть группой , порожденной H . Тогда задача слово в Н ^* разрешима: дано два слова ч, к в генераторах Н из Н ^* , записать их в виде слов X и сравнить их с помощью решения проблемы равенства в G . Легко думать , что это демонстрирует единообразное решение проблемы тождества для класса К (скажем) конечно порожденных групп , которые могут быть встроены в G . Если бы это было так, то несуществование универсальной разрешимой группы проблем со словами легко вытекало бы из высказывания Буна-Роджерса. Однако только что предложенное решение проблемы слов для групп из K не является однородным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим группу J = ⟨ Y | Т ⟩ ∈ K ; для того , чтобы использовать вышеупомянутый аргумент , чтобы решить эту проблему слов в J , в первую очередь необходимо выставить отображение е: Y → G , которая простирается до вложения е ^* : J → G . Если бы существовала рекурсивная функция, которая отображала (конечно порожденные) представления групп в K во вложения в G , то действительно можно было бы построить равномерное решение проблемы слов в K. Но в целом нет оснований предполагать, что такая рекурсивная функция существует. Тем не менее, оказывается, что, используя более сложный аргумент, проблема слова в J может быть решена без использования вложения е : J → G . Вместо этого используется перечисление гомоморфизмов используются, и поскольку такое перечисление может быть построено равномерно, что приводит к равномерному решению проблемы тождества в K .

Доказательство отсутствия универсальной разрешимой группы словесных задач

Предположим, что G — универсальная разрешимая группа словесных задач. Учитывая конечное представление P = ⟨ X | R⟩ из группы Н , можно рекурсивно перечислить все гомоморфизмы часа : H → G сначала перечисление всех отображений часа ^† : X → G . Не все из этих отображений распространяются на гомоморфизмы, но, так как ч ^† ( R ) конечно, можно различать гомоморфизмы и не -гомоморфизмы, используя решение проблемы равенства в G . «Отсев» негомоморфизмов дает требуемое рекурсивное перечисление: h ₁ , h ₂ , …, h _n , ….

Если H имеет разрешимую проблему слов, то хотя бы один из этих гомоморфизмов должен быть вложением. Итак, дано слово w в образующих H :

Рассмотрим алгоритм, описываемый псевдокодом:

Let n = 0
    Let repeatable = TRUE
        while (repeatable)
            increase n by 1
            if (solution to word problem in G reveals hn(w) ≠ 1 in G)
                Let repeatable = FALSE
output 0.

Это описывает рекурсивную функцию:

Функция F явно зависит от представления P . Считая его функцией двух переменных, была построена рекурсивная функция , которая принимает конечное представление P для группы H и слово w в образующих группы G , так что всякий раз, когда G имеет разрешимую проблему со словами:

Но это равномерно решает проблему слов для класса всех конечно определенных групп с разрешимой проблемой слов, что противоречит Бун-Роджерсу. Это противоречие доказывает, что G не может существовать.

Алгебраическая структура и проблема слова

Есть ряд результатов, которые связывают разрешимость проблемы слов и алгебраическую структуру. Наиболее важной из них является теорема Буна-Хигмана :

Конечно представленная группа имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда она может быть вложена в простую группу, которая может быть вложена в конечно определенную группу.

Широко распространено мнение, что можно построить такую ​​конструкцию, чтобы сама простая группа была конечно представимой. Если это так, можно было бы ожидать, что это будет трудно доказать, поскольку отображение представлений в простые группы должно быть нерекурсивным.

Следующее было доказано Бернхардом Нойманом и Ангусом Макинтайром :

Конечно определенная группа имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда она может быть вложена в любую алгебраически замкнутую группу

Что примечательно в этом, так это то, что алгебраически замкнутые группы настолько дикие, что ни одна из них не имеет рекурсивного представления.

Самый старый результат, связывающий алгебраическую структуру с разрешимостью проблемы слов, — это теорема Кузнецова:

Рекурсивно представленная простая группа S имеет разрешимую проблему слов.

Чтобы доказать это Пусть ⟨ X | R ⟩ рекурсивное представление для S . Выберите ∈ S такой , что ≠ 1 в S .

Если ж это слово на генераторах X из S , то пусть:

Существует такая рекурсивная функция , что:

Напишите:

Тогда, поскольку конструкция f была равномерной, это рекурсивная функция двух переменных.

Отсюда следует, что: рекурсивно. По конструкции:

Поскольку S — простая группа, ее единственными фактор-группами являются она сама и тривиальная группа. Так как ≠ 1 в S , мы видим , а = 1 в S _ш , если и только если S _ш тривиально тогда и только тогда , когда W ≠ 1 в S . Следовательно:

Существование такой функции достаточно , чтобы доказать , что проблема разрешима слово для S .

Это доказательство не доказывает существования единого алгоритма решения проблемы слов для этого класса групп. Неоднородность заключается в выборе нетривиального элемента простой группы. Нет никаких оснований предполагать, что существует рекурсивная функция, которая отображает представление простой группы на нетривиальный элемент группы. Однако в случае конечно представленной группы мы знаем, что не все образующие могут быть тривиальными (конечно, может быть любой отдельный генератор). Используя этот факт, можно изменить доказательство, чтобы показать:

Проблема слов равномерно разрешима для класса конечно определенных простых групп.

Смотрите также

• Комбинаторика слов
• SQ-универсальная группа
• Проблема со словом (математика)
• Проблема достижимости
• Вложенные стековые автоматы (использовались для решения проблемы слов для групп)

Примечания

использованная литература

• У. В. Бун, Ф. Б. Каннонито и Р. К. Линдон . Проблемы со словами: проблема решения в теории групп. Нидерланды: Северная Голландия. 1973 г.
• Бун, WW; Хигман, Г. (1974). «Алгебраическая характеристика разрешимости проблемы слова» . J. Austral. Математика. Soc . 18 : 41–53. DOI : 10.1017 / s1446788700019108 .
• Бун, WW; Роджерс-младший, Х. (1966). «О проблеме Дж. Х. К. Уайтхеда и проблеме Алонзо Черча» . Математика. Сканд . 19 : 185–192. DOI : 10,7146 / math.scand.a-10808 .
• Борисов В.В. (1969) «Простые примеры групп с неразрешимой проблемой слов», Академия Наук СССР. Математические заметки , 6 : 521–532, ISSN  0025-567X , MR  0260851
• Коллинз, Дональд Дж. (1969), «Проблемы слова и сопряжения в группах с несколькими определяющими отношениями», Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik , 15 (20–22): 305–324, doi : 10.1002 / malq. 19690152001 , Руководство по ремонту  0263903
• Коллинз, Дональд Дж (1972), «Об одной теореме вложения группы В. В. Борисов», Бюллетень Лондонского математического общества , 4 (2): 145-147, DOI : 10,1112 / БОГО / 4.2.145 , ISSN  0024-6093 , MR  0314998
• Коллинз, Дональд Дж (1986), «Простая презентация группы с неразрешимой проблемой слово», штат Иллинойс Журнал математики , 30 (2): 230-234, DOI : 10,1215 / IJM / 1256044631 , ISSN  0019-2082 , М.Р.  0840121
• Коллинз, Дональд Дж .; Цишанг Х. (1990), Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , с. 166, Руководство по ремонту  1099152
• Деновский, Макс (1911), «Убер unendliche diskontinuierliche Gruppen» , Mathematische Annalen , 71 (1): 116-144, DOI : 10.1007 / BF01456932 , ISSN  0025-5831 , МР  1511645 , S2CID  123478582
• Деновский, Макс (1912), «Преобразование дер Kurven Ауф zweiseitigen Flächen» , Mathematische Annalen , 72 (3): 413-421, DOI : 10.1007 / BF01456725 , ISSN  0025-5831 , МР  1511705 , S2CID  122988176
• А. В. Кузнецов, «Алгоритмы как операции в алгебраических системах», Известия Акад. Сер мат АН СССР (1958)
• CF Миллер. «Решение проблемы для группы — обзор и размышления». В « Алгоритмах и классификации в комбинаторной теории групп» , страницы 1–60. Спрингер, 1991.
• Ротман, Джозеф (1994), Введение в теорию групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8
• Стиллвелл, Дж. (1982). «Проблема слова и проблема изоморфизма групп» . Вестник АПП . 6 : 33–56. DOI : 10,1090 / s0273-0979-1982-14963-1 .
• Ниберг-Бродда, Карл-Фредрик (2021), «Проблема слов для моноидов с одним отношением: обзор», Semigroup Forum , 103 (2): 297–355, arXiv : 2105.02853 , doi : 10.1007 / s00233-021-10216 -8

In mathematics, especially in the area of abstract algebra known as combinatorial group theory, the word problem for a finitely generated group G is the algorithmic problem of deciding whether two words in the generators represent the same element. More precisely, if A is a finite set of generators for G then the word problem is the membership problem for the formal language of all words in A and a formal set of inverses that map to the identity under the natural map from the free monoid with involution on A to the group G. If B is another finite generating set for G, then the word problem over the generating set B is equivalent to the word problem over the generating set A. Thus one can speak unambiguously of the decidability of the word problem for the finitely generated group G.

The related but different uniform word problem for a class K of recursively presented groups is the algorithmic problem of deciding, given as input a presentation P for a group G in the class K and two words in the generators of G, whether the words represent the same element of G. Some authors require the class K to be definable by a recursively enumerable set of presentations.

History

Throughout the history of the subject, computations in groups have been carried out using various normal forms. These usually implicitly solve the word problem for the groups in question. In 1911 Max Dehn proposed that the word problem was an important area of study in its own right, together with the conjugacy problem and the group isomorphism problem. In 1912 he gave an algorithm that solves both the word and conjugacy problem for the fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds of genus greater than or equal to 2. Subsequent authors have greatly extended Dehn’s algorithm and applied it to a wide range of group theoretic decision problems.

It was shown by Pyotr Novikov in 1955 that there exists a finitely presented group G such that the word problem for G is undecidable. It follows immediately that the uniform word problem is also undecidable. A different proof was obtained by William Boone in 1958.

The word problem was one of the first examples of an unsolvable problem to be found not in mathematical logic or the theory of algorithms, but in one of the central branches of classical mathematics, algebra. As a result of its unsolvability, several other problems in combinatorial group theory have been shown to be unsolvable as well.

It is important to realize that the word problem is in fact solvable for many groups G. For example, polycyclic groups have solvable word problems since the normal form of an arbitrary word in a polycyclic presentation is readily computable; other algorithms for groups may, in suitable circumstances, also solve the word problem, see the Todd–Coxeter algorithm^[1] and the Knuth–Bendix completion algorithm.^[2] On the other hand, the fact that a particular algorithm does not solve the word problem for a particular group does not show that the group has an unsolvable word problem. For instance Dehn’s algorithm does not solve the word problem for the fundamental group of the torus. However this group is the direct product of two infinite cyclic groups and so has a solvable word problem.

A more concrete description

In more concrete terms, the uniform word problem can be expressed as a rewriting question, for literal strings. For a presentation P of a group G, P will specify a certain number of generators

x, y, z, …

for G. We need to introduce one letter for x and another (for convenience) for the group element represented by x^-1. Call these letters (twice as many as the generators) the alphabet

Sigma

for our problem. Then each element in G is represented in some way by a product

abc … pqr

of symbols from

Sigma

, of some length, multiplied in G. The string of length 0 (null string) stands for the identity element e of G. The crux of the whole problem is to be able to recognise all the ways e can be represented, given some relations.

The effect of the relations in G is to make various such strings represent the same element of G. In fact the relations provide a list of strings that can be either introduced where we want, or cancelled out whenever we see them, without changing the ‘value’, i.e. the group element that is the result of the multiplication.

For a simple example, take the presentation . Writing A for the inverse of a, we have possible strings combining any number of the symbols a and A. Whenever we see aaa, or aA or Aa we may strike these out. We should also remember to strike out AAA; this says that since the cube of a is the identity element of G, so is the cube of the inverse of a. Under these conditions the word problem becomes easy. First reduce strings to the empty string, a, aa, A or AA. Then note that we may also multiply by aaa, so we can convert A to aa and convert AA to a. The result is that the word problem, here for the cyclic group of order three, is solvable.

This is not, however, the typical case. For the example, we have a canonical form available that reduces any string to one of length at most three, by decreasing the length monotonically. In general, it is not true that one can get a canonical form for the elements, by stepwise cancellation. One may have to use relations to expand a string many-fold, in order eventually to find a cancellation that brings the length right down.

The upshot is, in the worst case, that the relation between strings that says they are equal in G is an Undecidable problem.

Examples

The following groups have a solvable word problem:

• Automatic groups, including:
  • Finite groups
  • Negatively curved (aka. hyperbolic) groups
  • Euclidean groups
  • Coxeter groups
  • Braid groups
  • Geometrically finite groups
• Finitely generated free groups
• Finitely generated free abelian groups
• Polycyclic groups
• Finitely generated recursively absolutely presented groups,^[3] including:
  • Finitely presented simple groups.
• Finitely presented residually finite groups
• One relator groups^[4] (this is a theorem of Magnus), including:
  • Fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds.
• Combable groups
• Autostackable groups

Examples with unsolvable word problems are also known:

• Given a recursively enumerable set A of positive integers that has insoluble membership problem, ⟨a,b,c,d | aⁿbaⁿ = cⁿdcⁿ : n ∈ A⟩ is a finitely generated group with a recursively enumerable presentation whose word problem is insoluble
• Every finitely generated group with a recursively enumerable presentation and insoluble word problem is a subgroup of a finitely presented group with insoluble word problem
• The number of relators in a finitely presented group with insoluble word problem may be as low as 14 or even 12.
• An explicit example of a reasonable short presentation with insoluble word problem is given in Collins 1986:^[5]

begin{array}{lllll}langle&a,b,c,d,e,p,q,r,t,k&|&& 
&p¹⁰a=ap,&pacqr=rpcaq,&ra=ar,&\
&p¹⁰b=bp,&p^2adq2r=rp^2daq2,&rb=br,&\
&p¹⁰c=cp,&p^3bcq3r=rp^3cbq3,&rc=cr,&\
&p¹⁰d=dp,&p^4bdq4r=rp^4dbq4,&rd=dr,&\
&p¹⁰e=ep,&p^5ceq5r=rp^5ecaq5,&re=er,&\
&aq¹⁰=qa,&p^6deq6r=rp^6edbq6,&pt=tp,&\
&bq¹⁰=qb,&p^7cdcq7r=rp^7cdceq7,&qt=tq,&\
&cq¹⁰=qc,&p^8ca3q8r=rp^8a3q8,&&\
&dq¹⁰=qd,&p^9da3q9r=rp^9a3q9,&&\
&eq¹⁰=qe,&a^-3ta^3k=ka^-3ta³&&rangleend{array}

Partial solution of the word problem

The word problem for a recursively presented group can be partially solved in the following sense:

Given a recursive presentation P = ⟨X|R⟩ for a group G, define:

S={langleu,vrangle:uandvarewordsinXandu=vinG }

then there is a partial recursive function f_P such that:

f_P(langleu,vrangle)=begin{cases}0&if langleu,vrangleinS\
undefined/doesnothalt &if langleu,vranglenotinS
end{cases}

More informally, there is an algorithm that halts if u=v, but does not do so otherwise.

It follows that to solve the word problem for P it is sufficient to construct a recursive function g such that:

g(langleu,vrangle)=begin{cases}0&if langleu,vranglenotinS\
undefined/doesnothalt &if langleu,vrangleinS
end{cases}

However u=v in G if and only if in G. It follows that to solve the word problem for P it is sufficient to construct a recursive function h such that:

h(x)=begin{cases}0&if x ≠ 1 in G\
undefined/doesnothalt &if x=1 in G
end{cases}

Example

The following will be proved as an example of the use of this technique:

Theorem: A finitely presented residually finite group has solvable word problem.

Proof: Suppose G = ⟨X|R⟩ is a finitely presented, residually finite group.

Let S be the group of all permutations of N, the natural numbers, that fixes all but finitely many numbers then:

1. S is locally finite and contains a copy of every finite group.
2. The word problem in S is solvable by calculating products of permutations.
3. There is a recursive enumeration of all mappings of the finite set X into S.
4. Since G is residually finite, if w is a word in the generators X of G then in G if and only of some mapping of X into S induces a homomorphism such that in S.

Given these facts, algorithm defined by the following pseudocode:

For every mapping of X into S If every relator in R is satisfied in S If w ≠ 1 in S return 0 End if End if End for

defines a recursive function h such that:

h(x)=begin{cases}0&if x ≠ 1 in G\
undefined/doesnothalt &if x=1 in G
end{cases}

This shows that G has solvable word problem.

Unsolvability of the uniform word problem

The criterion given above, for the solvability of the word problem in a single group, can be extended by a straightforward argument. This gives the following criterion for the uniform solvability of the word problem for a class of finitely presented groups:

To solve the uniform word problem for a class K of groups, it is sufficient to find a recursive function that takes a finite presentation P for a group G and a word in the generators of G, such that whenever G ∈ K:

f(P,w)=begin{cases}0&if w ≠ 1 in G\
undefined/doesnothalt &if w=1 in G
end{cases}

Boone-Rogers Theorem: There is no uniform partial algorithm that solves the word problem in all finitely presented groups with solvable word problem.

In other words, the uniform word problem for the class of all finitely presented groups with solvable word problem is unsolvable. This has some interesting consequences. For instance, the Higman embedding theorem can be used to construct a group containing an isomorphic copy of every finitely presented group with solvable word problem. It seems natural to ask whether this group can have solvable word problem. But it is a consequence of the Boone-Rogers result that:

Corollary: There is no universal solvable word problem group. That is, if G is a finitely presented group that contains an isomorphic copy of every finitely presented group with solvable word problem, then G itself must have unsolvable word problem.

Remark: Suppose G = ⟨X|R⟩ is a finitely presented group with solvable word problem and H is a finite subset of G. Let H^* = ⟨H⟩, be the group generated by H. Then the word problem in H^* is solvable: given two words h, k in the generators H of H^*, write them as words in X and compare them using the solution to the word problem in G. It is easy to think that this demonstrates a uniform solution of the word problem for the class K (say) of finitely generated groups that can be embedded in G. If this were the case, the non-existence of a universal solvable word problem group would follow easily from Boone-Rogers. However, the solution just exhibited for the word problem for groups in K is not uniform. To see this, consider a group J = ⟨Y|T⟩ ∈ K; in order to use the above argument to solve the word problem in J, it is first necessary to exhibit a mapping e: Y → G that extends to an embedding e^*: J → G. If there were a recursive function that mapped (finitely generated) presentations of groups in K to embeddings into G, then a uniform solution of the word problem in K could indeed be constructed. But there is no reason, in general, to suppose that such a recursive function exists. However, it turns out that, using a more sophisticated argument, the word problem in J can be solved without using an embedding e: J → G. Instead an enumeration of homomorphisms is used, and since such an enumeration can be constructed uniformly, it results in a uniform solution to the word problem in K.

Proof that there is no universal solvable word problem group

Suppose G were a universal solvable word problem group. Given a finite presentation P = ⟨X|R⟩ of a group H, one can recursively enumerate all homomorphisms h: H → G by first enumerating all mappings h^†: X → G. Not all of these mappings extend to homomorphisms, but, since h^†(R) is finite, it is possible to distinguish between homomorphisms and non-homomorphisms, by using the solution to the word problem in G. «Weeding out» non-homomorphisms gives the required recursive enumeration: h₁, h₂, …, h_n, … .

If H has solvable word problem, then at least one of these homomorphisms must be an embedding. So given a word w in the generators of H:

If wne1 in H, h_n(w)ne1 in G forsome h_n

If w=1 in H, h_n(w)=1 in G forall h_n

Consider the algorithm described by the pseudocode:

Let n = 0 Let repeatable = TRUE while (repeatable) increase n by 1 if (solution to word problem in G reveals h_n(w) ≠ 1 in G) Let repeatable = FALSE output 0.

This describes a recursive function:

f(w)=begin{cases}0&if w ≠ 1 in H\
undefined/doesnothalt &if w=1 in H.
end{cases}

The function f clearly depends on the presentation P. Considering it to be a function of the two variables, a recursive function has been constructed that takes a finite presentation P for a group H and a word w in the generators of a group G, such that whenever G has soluble word problem:

f(P,w)=begin{cases}0&if w ≠ 1 in H\
undefined/doesnothalt &if w=1 in H.
end{cases}

But this uniformly solves the word problem for the class of all finitely presented groups with solvable word problem, contradicting Boone-Rogers. This contradiction proves G cannot exist.

Algebraic structure and the word problem

There are a number of results that relate solvability of the word problem and algebraic structure. The most significant of these is the Boone-Higman theorem:

A finitely presented group has solvable word problem if and only if it can be embedded in a simple group that can be embedded in a finitely presented group.

It is widely believed that it should be possible to do the construction so that the simple group itself is finitely presented. If so one would expect it to be difficult to prove as the mapping from presentations to simple groups would have to be non-recursive.

The following has been proved by Bernhard Neumann and Angus Macintyre:

A finitely presented group has solvable word problem if and only if it can be embedded in every algebraically closed group

What is remarkable about this is that the algebraically closed groups are so wild that none of them has a recursive presentation.

The oldest result relating algebraic structure to solvability of the word problem is Kuznetsov’s theorem:

A recursively presented simple group S has solvable word problem.

To prove this let ⟨X|R⟩ be a recursive presentation for S. Choose a ∈ S such that a ≠ 1 in S.

If w is a word on the generators X of S, then let:

S_w=langleX|Rcup{w}rangle.

There is a recursive function

f_langlerangle}

such that:

f_langlerangle}(x)=begin{cases}0&if x=1 in S_{w\
undefined/doesnothalt &if x ≠} 1 in S_{w.
end{cases}}

Write:

g(w,x)=f_langlerangle}(x).

Then because the construction of f was uniform, this is a recursive function of two variables.

It follows that: is recursive. By construction:

h(w)=begin{cases}
0&if a=1 in S_{w\
undefined/doesnothalt &if a ≠} 1 in S_{w.
end{cases}}

Since S is a simple group, its only quotient groups are itself and the trivial group. Since a ≠ 1 in S, we see a = 1 in S_w if and only if S_w is trivial if and only if w ≠ 1 in S. Therefore:

h(w)=begin{cases}
0&if wne1 in S\
undefined/doesnothalt &if w=1 in S.
end{cases}

The existence of such a function is sufficient to prove the word problem is solvable for S.

This proof does not prove the existence of a uniform algorithm for solving the word problem for this class of groups. The non-uniformity resides in choosing a non-trivial element of the simple group. There is no reason to suppose that there is a recursive function that maps a presentation of a simple groups to a non-trivial element of the group. However, in the case of a finitely presented group we know that not all the generators can be trivial (Any individual generator could be, of course). Using this fact it is possible to modify the proof to show:

The word problem is uniformly solvable for the class of finitely presented simple groups.

See also

• Combinatorics on words
• SQ-universal group
• Word problem (mathematics)
• Reachability problem
• Nested stack automata (have been used to solve the word problem for groups)

Notes

1. Todd . J. . Coxeter . H.S.M. . A practical method for enumerating cosets of a finite abstract group . Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society . 5 . 1 . 26–34 . 1936 . 10.1017/S0013091500008221 .
2. Book: Knuth, D. . P. . Bendix . Simple word problems in universal algebras . https://www.google.com/books/edition/Computational_Problems_in_Abstract_Algeb/KIDiBQAAQBAJ?hl=en&pg=PA263 . J. . Leech . Computational Problems in Abstract Algebra: Proceedings of a Conference Held at Oxford Under the Auspices of the Science Research Council Atlas Computer Laboratory, 29th August to 2nd September 1967 . Springer . 2014 . 1970 . 9781483159423 . 263–297 .
3. H. . Simmons . The word problem for absolute presentations . J. London Math. Soc. . s2-6 . 2 . 275–280 . 1973 . 10.1112/jlms/s2-6.2.275 .
4. Book: Lyndon, Roger C. . Paul E . Schupp . Combinatorial Group Theory . Springer . 2001 . 9783540411581 . 1–60 .
5. We use the corrected version from John Pedersen’s A Catalogue of Algebraic Systems

References

• Book: Boone, W.W. . F.B. . Cannonito . Roger C. . Lyndon . Word problems : decision problems and the Burnside problem in group theory . North-Holland . 1973 . 9780720422719 . Studies in logic and the foundations of mathematics . 71.
• Boone . W. W. . Higman . G. . 1974 . An algebraic characterization of the solvability of the word problem . J. Austral. Math. Soc. . 18 . 41–53 . 10.1017/s1446788700019108. free .
• Boone . W. W. . Rogers Jr . H. . 1966 . On a problem of J. H. C. Whitehead and a problem of Alonzo Church . Math. Scand. . 19 . 185–192 . 10.7146/math.scand.a-10808. free .
  • • • • • • • A.V. . Kuznetsov . Algorithms as operations in algebraic systems . Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser Mat . 13 . 3 . 81 . 1958 .
• Book: Miller, C.F. . Decision problems for groups — survey and reflections . https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4613-9730-4_1 . Algorithms and Classification in Combinatorial Group Theory . Springer . 1991 . 978-1-4613-9730-4 . 1–60 . 10.1007/978-1-4613-9730-4_1.
  • • Stillwell . J. . 1982 . The word problem and the isomorphism problem for groups . Bulletin of the AMS . 6 . 33–56 . 10.1090/s0273-0979-1982-14963-1. free .

I would recommend Rotman’s book «An Introduction to the Theory of Groups» for basic material on word problems of groups, and for a reasonably accessible proof of the Novikov-Boone theorem which asserts the existence of finitely presented groups with unsolvable word problem.

The notion of the word problem of a group is generally applied to groups defined by a specific finite presentation, but it is not hard to prove that, for a group $G$, the solvability of the word problem of $G$ is independent of the given presentation of $G$, so it is customary simply to say that the word problem of $G$ is or is not solvable.

Lots of familiar classes of groups are known to have solvable word problem, including finite groups, finitely presented residually finite groups (proof given above by Bill Dubuque), automatic groups, finitely generated nilpotent groups.
But, by a recent result of Olga Kharlampovich, there exist finitely presented solvable groups of derived length $3$ with unsolvable word problem.

Note that the word problem is semi-decidable for all groups given by a recursively enumerable presentation, in the sense that if you are given a word in the generators that does represent the identity element of the group, then it is possible to prove that it does. You can do that naively by systematically trying all possibilities for expressing the word as a product of conjugates of defining relators, but there are more efficient and practical methods of attempting this by using rewriting systems or coset enumeration.

In mathematics, especially in the area of abstract algebra known as combinatorial group theory, the word problem for a recursively presented group «G» is the algorithmic problem of deciding whether two words represent the same element. Although it is common to speak of the word problem for the group «G» strictly speaking it is a presentation of the group that does or does not have solvable word problem. Given two finite presentations «P» and «Q» of a group «G», «P» has solvable word problem if and only if «Q» does. So in this case no confusion is caused by speaking of the word problem for «G». When the group is recursively presented but not finitely presented, the distinction becomes important.

The related but different uniform word problem for a class «K» of recursively presented groups is the algorithmic problem of deciding, given as input a presentation «P» for a group «G» in the class «K» and two words in the generators of «G», whether the words represent the same element of «G». Some authors require the class «K» to be definable by a recursively enumerable set of presentations.

History

Throughout the history of the subject, computations in groups have been carried out using various normal forms. These usually implicitly solve the word problem for the groups in question. In 1911 Max Dehn proposed that the word problem was an important area of study in its own right, harv|Dehn|1911, together with the conjugacy problem and the group isomorphism problem. In 1912 he gave an algorithm that solves both the word and conjugacy problem for the fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds of genus greater than or equal to «2», harv|Dehn|1912. Subsequent authors have greatly extended Dehn’s algorithm and applied it to a wide range of group theoretic decision problems. [cite journal|last=Greendlinger|first=Martin|year=1959|month=June|title=Dehn’s algorithm for the word problem|journal=Communications on Pure and Applied Mathematics|volume=13|issue=1|pages=67–83|doi=10.1002/cpa.3160130108] [cite journal|last=Lyndon|first=Roger C.|date=September 1966|title=On Dehn’s algorithm|journal=Mathematische Annalen|volume=166|issue=3|pages=208–228|doi=10.1007/BF01361168] [cite journal|last=Schupp|first=Paul E.|date=June 1968|title=On Dehn’s algorithm and the conjugacy problem|journal=Mathematische Annalen|volume=178|issue=2|pages=119–130|doi=10.1007/BF01350654]

It was shown by Pyotr Sergeyevich Novikov in 1955 that there exists a finitely generated (in fact, a finitely presented) group G such that the word problem for G is undecidable. [cite journal|last=Novikov|first=Pyotr S.|authorlink=Pyotr Sergeyevich Novikov|year=1955|title=On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory|journal=Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics|volume=44|pages=1–143 ru icon] It follows immediately that the uniform word problem is also undecidable. A much simpler proof was obtained by Boone in 1958. [cite journal|last=Boone|first=William W.|year=1958|title=The word problem|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|volume=44|issue=10|pages=1061–1065|url=http://www.pnas.org/cgi/reprint/44/10/1061.pdf|doi=10.1073/pnas.44.10.1061]

The word problem was one of the first examples of an unsolvable problem to be found not in mathematical logic or the theory of algorithms, but in one of the central branches of classical mathematics, algebra. As a result of its unsolvability, several other problems in combinatorial group theory have been shown to be unsolvable as well.

It is important to realize that the word problem is in fact solvable for many groups «G». For example, polycyclic groups have solvable word problem since the normal form of an arbitrary word in a polycyclic presentation is readily computable; other algorithms for groups may, in suitable circumstances, also solve the word problem, see the Todd-Coxeter algorithm [J.A. Todd and H.S.M. Coxeter. «A practical method for enumerating coset of a finite abstract group», «Proc, Edinburgh Math Soc.» (2), 5, 25—34. 1936] and the Knuth-Bendix completion algorithm. [D. Knuth and P. Bendix. «Simple word problems in universal algebras.» «Computational Problems in Abstract Algebra» (Ed. J. Leech) pages 263—297, 1970.] On the other hand the fact that a particular algorithm does not solve the word problem for a particular group does not show that the group has unsolvable word problem. For instance Dehn’s algorithm does not solve the word problem for the fundamental group of the torus. However this group is the direct product of two infinite cyclic groups and so has solvable word problem.

A more concrete description

In more concrete terms, the uniform word problem can be expressed as a rewriting question, for literal strings, harv|Rotman|1994. For a presentation «P» of a group «G», «P» will specify a certain number of generators

:»x», «y», «z», …

for «G». We need to introduce one letter for «x» and another (for convenience) for the group element represented by «x»⁻¹. Call these letters (twice as many as the generators) the alphabet «A» for our problem. Then each element in «G» is represented in «some way» by a product

:»abc … pqr»

of symbols from «A», of some length, multiplied in «G». The string of length 0 (null string) stands for the identity element «e» of «G». The crux of the whole problem is to be able to recognise «all» the ways «e» can be represented, given some relations.

The effect of the «relations» in «G» is to make various such strings represent the same element of «G». In fact the relations provide a list of strings that can be either introduced where we want, or cancelled out whenever we see them, without changing the ‘value’, i.e. the group element that is the result of the multiplication.

For a simple example, take the presentation <«x»|»x»³>. Writing «y» for the inverse of «x», we have possible strings combining any number of «x» and «y» symbols. Whenever we see «xxx», or «xy» or «yx» we may strike these out. We should also remember to strike out «yyy»; this says that since the cube of «x» is the identity element of «G», so is the cube of the inverse of «x». Under these conditions the word problem becomes easy. First reduce strings to «e», «x», «xx», «y» or «yy». Then note that we may also multiply by «xxx», so we can convert «yy» to «x». The result is that we can «prove» that the word problem here, for what is the cyclic group of order three, is solvable.

This is not, however, the typical case. For the example, we have a canonical form available that reduces any string to one of length at most three, by decreasing the length monotonically. In general, it is not true that one can get a canonical form for the elements, by stepwise cancellation. One may have to use relations to expand a string many-fold, in order eventually to find a cancellation that brings the length right down.

The upshot is, in the worst case, that the relation between strings that says they are equal in «G» is not «decidable».

Examples

The following groups have soluble word problem:
*Automatic groups, including:
**Finite groups
**Polycyclic groups
**Negatively curved groups
**Euclidean groups
**Coxeter groups
**Braid groups
**Geometrically finite groups.
*Finitely generated recursively absolutely presented groups, [H.Simmons, «The word problem for absolute presentations.» «J. London Math. Soc.» (2) 6, 275-280 1973] including:
**Finitely presented simple groups.
*Finitely presented residually finite groups
*One relator groups, including:
**Fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds.
*Combable groups

Examples with insoluble word problems are also known:
*Given a recursively enumerable set «A» of positive integers that has insoluble membership problem, langle a,b,c,d | a^nba^n = c^ndc^n : n in A
angle is a finitely generated group with a recursively enumerable presentation whose word problem is insoluble harv|Collins|Zieschang|1990|p=149
*Every finitely generated group with an r.e. presentation and insoluble word problem is a subgroup of a finitely presented group with insoluble word problemharv|Collins|Zieschang|1993|loc=Cor. 7.2.6
*The number of relators in a finitely presented group with insoluble word problem may be as low as 14 by harv|Collins|1969 or even 12 by harv|Borisov|1969, harv|Collins|1972.
*An explicit example of a reasonable short presentation with insoluble word problem is given in harv|Collins|1986 [We use the corrected version from [http://shell.cas.usf.edu/~eclark/algctlg/groups.html John Pedersen’s A Catalogue of Algebraic Systems] ] ::egin{array}{lllll}langle & a,b,c,d,e,p,q,r,t,k & | & & &p^{10}a = ap, &pacqr = rpcaq, &ra=ar, &&p^{10}b = bp, &p^2adq^2r = rp^2daq^2, &rb=br, &&p^{10}c = cp, &p^3bcq^3r = rp^3cbq^3, &rc=cr, &&p^{10}d = dp, &p^4bdq^4r = rp^4dbq^4, &rd=dr, &&p^{10}e = ep, &p^5ceq^5r = rp^5ecaq^5, &re=er, &&aq^{10} = qa, &p^6deq^6r = rp^6edbq^6, &pt=tp, &&bq^{10} = qb, &p^7cdcq^7r = rp^7cdceq^7, &qt=tq, &&cq^{10} = qc, &p^8ca^3q^8r = rp^8a^3q^8, &&&dq^{10} = qd, &p^9da^3q^9r = rp^9a^3q^9, &&&eq^{10} = qe, &a^{-3}ta^3k = ka^{-3}ta^3 &&
angle end{array}

Partial solution of the word problem

The word problem for a recursively presented group can be partially solved in the following sense:

:Given a recursive presentation P=langle X|R
angle for a group «G», define:::S={langle u,v
angle : u mbox{ and } v mbox{ are words in } X mbox{ and } u=v mbox{ in } G } :then there is a partial recursive function f_P such that:::f_P(langle u,v
angle) = left{egin{matrix} 0 &mbox{if} langle u,v
angle in S mbox{undefined/does not halt} &mbox{if} langle u,v
angle
otin Send{matrix}
ight.

More informally, there is an algorithm that halts if «u=v», but does not do so otherwise.

It follows that to solve the word problem for «P» it is sufficient to construct a recursive function g such that:::g(langle u,v
angle) = left{egin{matrix} 0 &mbox{if} langle u,v
angle
otin S mbox{undefined/does not halt} &mbox{if} langle u,v
angle in Send{matrix}
ight.

However «u=v» in «G» if and only if «uv^-1=1″ in «G». It follows that to solve the word problem for «P» it is sufficient to construct a recursive function «h» such that:::h(x) = left{egin{matrix} 0 &mbox{if} x
eq1 mbox{in} G mbox{undefined/does not halt} &mbox{if} x=1 mbox{in} Gend{matrix}
ight.

The following will be proved as an example of the use of this technique:

* A finitely presented residually finite group has solvable word problem.

Suppose G=langle H| R
angle is a finitely presented, residually finite group.

Let «S» be the group of all permutations of N, the natural numbers, that fixes all but finitely many numbers then:
# «S» is locally finite and contains a copy of every finite group.
# The word problem in «S» is solvable by calculating products of permutations.
# There is a recursive enumeration of all mappings of the finite set «X» into «S».
# Since «G» is residually finite, if «w» is a word in the generators «X» of «G» then «w»
e»1″ in «G» if and only of some mapping of «X» into «S» induces a homomorphism such that «w»
e»1″ in «S»

Given these facts, algorithm defined by the following pseudoode:

:For every mapping of «X» into «S»::If every relator in «R» is satisfied in «S»:::If «w»
e»1″ in «S»::::return 0:::End if::End if:End for

defines a recursive function «h» such that:::h(x) = left{egin{matrix} 0 &mbox{if} x
eq 1 mbox{in} G mbox{undefined/does not halt} &mbox{if} x=1 mbox{in} Gend{matrix}
ight.

This shows that «G» has solvable word problem.

Unsolvability of the uniform word problem

The criterion, given above for the solvability of the word problem in a single group can be extended to a criterion for the uniform solvability of the word problem for a class of finitely presented groups by a straightforward argument. The result is:

:To solve the uniform word problem for a class K of groups it is sufficient to find a recursive function f(P,w), that takes a finite presentation P, for a group G,and a word w, in the generators of G such that whenever in Gin K,:

:::f(P,w) = left{egin{matrix} 0 &mbox{if} w
eq1 mbox{in} G mbox{undefined/does not halt} &mbox{if} w=1 mbox{in} Gend{matrix}
ight.

Boone and Rogers have proved:

:There is no uniform partial algorithm which solves the word problem in all finitely presented groups with solvable word problem.

In other words the uniform word problem for the class of all finitely presented groups with solvable word problem is unsolvable. This has some interesting consequences. For instance the Higman embedding theorem can be used to construct a group containing an isomorphic copy of every finitely presented group with solvable word problem. It seems natural to ask whether this group can have solvable word problem. But it is a consequence of the Boone-Rogers result that:

:There is no universal solvable word problem group. That is, if G is a finitely presented group which contains an isomorphic copy of every finitely presented group with solvable word problem, then G itself must have unsolvable word problem.

Remark: Suppose G = langle Xmid R
angle is a finitely presented group with solvable word problem and H, is a finite subset G,. Let H^* = langle H
angle, be the group generated by H,. Then the word problem in H^*, is solvable: given two words h, k, in the generators H, of H^*,, write them as words in X, and compare them using the solution to the word problem in G,. It is easy to think that this demonstrates a uniform solution the word problem for the class K, (say) of finitely generated groups that can be embedded in G,. If this were the case the non-existence of a universal solvable word problem group would follow easily from Boone-Rogers. However, solution just exhibited for the word problem for groups in K, is not uniform. To see this consider a group J=langle Y mid T
anglein K, in order to use the above argument to solve the word problem in J,, it is first necessary to exhibit a mapping e:Y
ightarrow G that extends to an embedding e^*:J
ightarrow G. If there were a recursive function that mapped (finitely generated) presentations of groups in K, to embeddings into G,, then a uniform solution the word problem in K, could indeed be constructed. But there is no reason, in general, to suppose that such a recursive function exists. However, it turns out that, using a more sophisicated argument, the word problem in J, can be solved «without» using an embedding e:J
ightarrow G. Instead an «enumeration of homomorphisms» is used, and since such enumeration can be constructed uniformly, it results in a uniform solution to the word problem in K,.

Proof that there is no universal solvable word problem group

Suppose G, were a universal solvable word problem group. Given a finite presentation P=langle Xmid R
angle, of a group H,, a recursively enumeration:

::h_1,h_2,dots h_n,dots.

of all the homomorphisms h:H
ightarrow G can be constructed as follows:

First enumerate all mappings h^{dagger}:X
ightarrow G. Not all of these mappings extend to homomorphisms, but, since h^{dagger}(R), is finite, it is possible to distinguish between homomorphism and non-homomorphisms by using the solution to the word problem in G,. «Weeding out» it non-homomorphisms gives the required recursive enumeration.

If H, has solvable word problem, then at least one of these homomorphism must be an embedding. So given a word w, in the generators of H,:

::mbox{If} w
e 1 mbox{in} H, h_n(w)
e 1 mbox{in} G mbox{for some} h_n ::mbox{If} w= 1 mbox{in} H, h_n(w)= 1 mbox{in} G mbox{for all} h_n

Consider the algorithm described by the pseudocode:

::Let «n»=»0»::Let «repeat»=TRUE::while («repeat»=TRUE):::increase «n» by «1»:::if (solution to word problem in «G» reveals «h_n(w)»
e»1″ in «G»)::::Let «repeat»=FALSE::output 0.

This describes a recursive function:

::f(w) = left{egin{matrix} 0 &mbox{if} w
eq1 mbox{in} H mbox{undefined/does not halt} &mbox{if} w=1 mbox{in} Hend{matrix}
ight.

The function f, clearly depends on the presention P,. Considering it to be a funcion of the two variables, a recursive function f(P,w), has been constructed that takes a finite presentation P, for a group G, and a word w, in the generators of G such that whenever G, has soluble word problem:

::f(P,w) = left{egin{matrix} 0 &mbox{if} w
eq1 mbox{in} H mbox{undefined/does not halt} &mbox{if} w=1 mbox{in} Hend{matrix}
ight.

But this uniformly solves the word problem for the class of all finitley presented groups with solvable word problem contradicting Boone-Rogers. This contradiction proves G, cannot exist.

Algebraic structure and the word problem

There are a number of results that relate solvability of the word problem and algebraic structure. The most significant of these is the Boone-Higman theorem:

:A finitely presented group has solvable word problem if and only if it can be embedded in a simple group that can be embedded in a finitely presented group.

It is widely believed that it should be possible do the construction so that the simple group itself is finitely presented. If so one would expect it to be difficult to prove as the mapping from presentations to simple groups would have to be non-recursive.

The following has been proved by Bernhard Neumann and A Macintyre:

::A finitely presented group has solvable word problem if and only if it can be embedded in every algebraically closed group

What is remarkable about this is that the algebraically closed groups are so wild that none of them has a recursive presentation.

The oldest result relating algebraic structure to solvability of the word problem is Kuznetsov’s theorem:

:A recursively presented simple group has «S» solvable word problem.

To prove this let langle X | R
angle be a recursive presentation for «S». Choose a in S such that a
eq 1 in S .

If «w» is a word on the generators «X» of «S», then let:

::S_w = langle X | Rcup {w}
angle

There is a recursive function f_{langle X | Rcup {w}
angle} such that:

::f_{langle X | Rcup {w}
angle}(x) = left{egin{matrix} 0 &mbox{if} x=1 mbox{in} S_wmbox{undefined/does not halt} &mbox{if} x
eq 1 mbox{in} S_wend{matrix}
ight.

Write:

::g(w, x) = f_{langle X | Rcup {w}
angle}(x)

Then because the construction of «f» was uniform, this is a recursive function of two variables.

It follows that:

::h(w)=g(w, a)

is recursive. By construction:

::h(w) = left{egin{matrix}0 &mbox{if} a=1 mbox{in} S_wmbox{undefined/does not halt} &mbox{if} a
eq 1 mbox{in} S_wend{matrix}
ight.

Since S is a simple group, its only quotient groups are itself and the trivial group. Since a
eq 1 in S , we see a=1 in S_w if and only if S_w is trivial if and only if w
e 1 in S . Therefore:

::h(w) = left{egin{matrix}0 &mbox{if} w
e 1 mbox{in} Smbox{undefined/does not halt} &mbox{if} w=1 mbox{in} Send{matrix}
ight.

The existence of such a function is sufficient to prove the word problem is solvable for «S».

This proof does not prove the existence of a uniform algorithm for solving the word problem for this class of groups. The non-uniformity resides in choosing a non-trivial element of the simple group. There is no reason to suppose that there is a recursive function that maps a presentation of a simple groups to a non-trivial lement of the group. However, in the case of a finitely presented group we know that not all the generators can be trivial (Any individual generator could be, of course). Using this fact it is possible to modify the proof to show:

:The word problem is uniformly solvable for the class of finitely presented simple groups.

ee also

* SQ universal group

Notes

References

*planetmath reference|id=8301|title=Word problem
* Boone, Cannonito, Lyndon. «Word Problems: Decision Problem in Group Theory.» Netherlands: North-Holland. 1973.
* W. W. Boone and G. Higman, «An algebraic characterization of the solvability of the word problem», «J. Austral. Math. Soc.» 18, 41-53 (1974)
* W. W. Boone and H. Rogers Jr., «On a problem of J.H.C. Whitehead and a problem of Alonzo Church», «Math. Scand.» 19, 185-192 (1966).’
*Citation | last1=Borisov | first1=V. V. | title=Simple examples of groups with unsolvable word problem | id=MathSciNet | id = 0260851 | year=1969 | journal=Akademiya Nauk SSSR. Matematicheskie Zametki | issn=0025-567X | volume=6 | pages=521–532
* | year=1969 | journal=Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik | volume=15 | pages=305–324 | doi=10.1002/malq.19690152001
* | year=1972 | journal=Bulletin of the London Mathematical Society | issn=0024-6093 | volume=4 | pages=145–147 | doi=10.1112/blms/4.2.145
* | year=1986 | journal=Illinois Journal of Mathematics | issn=0019-2082 | volume=30 | issue=2 | pages=230–234
* | year=1990 | pages=166
*Citation | last1=Dehn | first1=Max | author1-link=Max Dehn | title=Über unendliche diskontinuierliche Gruppen | doi=10.1007/BF01456932 | id=MathSciNet | id = 1511645 | year=1911 | journal=Mathematische Annalen | issn=0025-5831 | volume=71 | issue=1 | pages=116–144
*Citation | last1=Dehn | first1=Max | author1-link=Max Dehn | title=Transformation der Kurven auf zweiseitigen Flächen | doi=10.1007/BF01456725 | id=MathSciNet | id = 1511705 | year=1912 | journal=Mathematische Annalen | issn=0025-5831 | volume=72 | issue=3 | pages=413–421
* A. V. Kuznetsov, «Algorithms as operations in algebraic systems», «Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser Mat» (1958)
* C. F. Miller. «Decision problems for groups — survey and reflections.» In «Algorithms and Classification in Combinatorial Group Theory», pages 1—60. Springer, 1991.
*Citation | last1=Rotman | first1=Joseph | title=An introduction to the theory of groups | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94285-8 | year=1994
* J. Stillwell. «The word problem and the isomorphism problem for groups.» «Bulletin AMS» 6 (1982), pp 33-56.

From Academic Kids

In abstract algebra, the word problem for groups is the problem of deciding whether two given words of a presentation of a group represent the same element. There exists no general algorithm for this problem, as was shown by Pyotr Sergeyevich Novikov. The proof was announced in 1952 and published in 1955. A much simpler proof was obtained by Boone in 1959.

The word problem is only concerned with finitely presented groups, i.e. those groups which can be specified by finitely many generators and finitely many relations among those generators. A word is a product of generators, and two such words may denote the same element of the group even if they appear to be different, because by using the group axioms and the given relations it may be possible to transform one word into the other. The problem then is to find an algorithm which for any two given words decides whether they denote the same group element.

In more concrete terms, the problem can be expressed as a rewriting question, for literal strings. For a presentation P of a group G, P will specify a certain number of generators

x, y, z, …

for G. We need to introduce one letter for x and another (for convenience) for the group element represented by x⁻¹. Call these letters (twice as many as the generators) the alphabet A for our problem. Then each element in G is represented in some way by a product

abc … pqr

of symbols from A, of some length, multiplied in G. The effect of the relations in G is to make various such strings represent the same element of G. In fact the relations provide a list of strings that can be either introduced where we want, or cancelled out whenever we see them, without changing the ‘value’, i.e. the group element that is the result of the multiplication.

For a simple example, take the presentation <x|x³>. Writing y for the inverse of x, we have possible strings of x′s and y′s. Whenever we see xxx, or xy or yx we may strike these out. We should also remember to strike out yyy; this says that since the cube of x is the identity element of G, so is the cube of the inverse of x. Under these conditions the word problem becomes easy. First reduce strings to e, x, xx, y or yy. Then note that we may also multiply by xxx, so we can convert yy to x. The result is that we can prove that the word problem here, for what is the cyclic group of order three, is soluble.

This is not, however, the typical case. For the example, we have a canonical form available that reduces any string to one of length at most three, by decreasing the length monotonically. In general, it is not true that one can get a canonical form for the elements, by stepwise cancellation. One may have to use relations to expand a string many-fold, in order eventually to find a cancellation that brings the length right down.

The upshot is, in the worst case, that the relation between strings that says they are equal in G is not decidable.

It is important to realize that the word problem is in fact solvable in many special cases; algorithms for many group presentations can be readily given. For example, see Todd-Coxeter algorithm and Knuth-Bendix completion algorithm. Novikov’s result says that there are some finitely presented groups for which no algorithm solving the word problem exists.

The word problem is sometimes called the Dehn problem, after Max Dehn who first posed it in 1911. It was one of the first examples of an unsolvable problem to be found not in mathematical logic or the theory of algorithms, but in one of the central branches of classical mathematics, algebra. As a result of its unsolvability, several other problems in combinatorial group theory have been shown to be unsolvable as well.

References:

• Boone, Cannonito, Lyndon. Word Problems: Decision Problem in Group Theory. Netherlands: North-Holland. 1973.
• P. S. Novikov. On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory. Trudy Mat. Inst. Steklov 44 (1955), pp 1-143. (in Russian)
• W. W. Boone. The word problem. Annals of Mathematics, 70(2) (1959), pp 207-265
• J.J. Rotman. The Theory of Groups: An Introduction. Boston: Allyn and Bacon. 1965.
• J. Stillwell. The word problem and the isomorphism problem for groups. Bulletin AMS 6 (1982), pp 33-56

In computational mathematics, a word problem is the problem of deciding whether two given expressions are equivalent with respect to a set of rewriting identities. A prototypical example is the word problem for groups, but there are many other instances as well. A deep result of computational theory is that answering this question is in many important cases undecidable.^[1]

Background and motivation

In computer algebra one often wishes to encode mathematical expressions using an expression tree. But there are often multiple equivalent expression trees. The question naturally arises of whether there is an algorithm which, given as input two expressions, decides whether they represent the same element. Such an algorithm is called a solution to the word problem. For example, imagine that [math]displaystyle{ x,y,z }[/math] are symbols representing real numbers — then a relevant solution to the word problem would, given the input [math]displaystyle{ (x cdot y)/z mathrel{overset{?}{=}} (x/z)cdot y }[/math], produce the output EQUAL, and similarly produce NOT_EQUAL from [math]displaystyle{ (x cdot y)/z mathrel{overset{?}{=}} (x/x)cdot y }[/math].

The most direct solution to a word problem takes the form of a normal form theorem and algorithm which maps every element in a equivalence class of expressions to a single encoding known as the normal form — the word problem is then solved by comparing these normal forms via syntactic equality.^[1] For example one might decide that [math]displaystyle{ x cdot y cdot z^{-1} }[/math] is the normal form of [math]displaystyle{ (x cdot y)/z }[/math], [math]displaystyle{ (x/z)cdot y }[/math], and [math]displaystyle{ (y/z)cdot x }[/math], and devise a transformation system to rewrite those expressions to that form, in the process proving that all equivalent expressions will be rewritten to the same normal form.^[2] But not all solutions to the word problem use a normal form theorem — there are algebraic properties which indirectly imply the existence of an algorithm.^[1]

While the word problem asks whether two terms containing constants are equal, a proper extension of the word problem known as the unification problem asks whether two terms [math]displaystyle{ t_1,t_2 }[/math] containing variables have instances that are equal, or in other words whether the equation [math]displaystyle{ t_1 = t_2 }[/math] has any solutions. As a common example, [math]displaystyle{ 2 + 3 stackrel{?}{=} 8 + (-3) }[/math] is a word problem in the integer group ℤ,
while [math]displaystyle{ 2 + x stackrel{?}{=} 8 + (-x) }[/math] is a unification problem in the same group; since the former terms happen to be equal in ℤ, the latter problem has the substitution [math]displaystyle{ {x mapsto 3} }[/math] as a solution.

History

One of the most deeply studied cases of the word problem is in the theory of semigroups and groups. A timeline of papers relevant to the Novikov-Boone theorem is as follows:^[3][4]

• 1910: Axel Thue poses a general problem of term rewriting on tree-like structures. He states «A solution of this problem in the most general case may perhaps be connected with unsurmountable difficulties».^[5][6]
• 1911: Max Dehn poses the word problem for finitely presented groups.^[7]
• 1912: Dehn presents Dehn’s algorithm, and proves it solves the word problem for the fundamental groups of closed orientable two-dimensional manifolds of genus greater than or equal to 2.^[8] Subsequent authors have greatly extended it to a wide range of group theoretic decision problems.^[9][10][11]
• 1914: Axel Thue poses the word problem for finitely presented semigroups.^[12]
• 1930 – 1938: The Church-Turing thesis emerges, defining formal notions of computability and undecidability.^[13]
• 1947: Emil Post and Andrey Markov Jr. independently construct finitely presented semigroups with unsolvable word problem.^[14][15] Post’s construction is built on Turing machines while Markov’s uses Post’s normal systems.^[3]
• 1950: Alan Turing shows the word problem for cancellation semigroups is unsolvable,^[16] by furthering Post’s construction. The proof is difficult to follow but marks a turning point in the word problem for groups.^[3]:342
• 1955: Pyotr Novikov gives the first published proof that the word problem for groups is unsolvable, using Turing’s cancellation semigroup result.^[17][3]:354 The proof contains a «Principal Lemma» equivalent to Britton’s Lemma.^[3]:355
• 1954 – 1957: William Boone independently shows the word problem for groups is unsolvable, using Post’s semigroup construction.^[18][19]
• 1957 – 1958: John Britton gives another proof that the word problem for groups is unsolvable, based on Turing’s cancellation semigroups result and some of Britton’s earlier work.^[20] An early version of Britton’s Lemma appears.^[3]:355
• 1958 – 1959: Boone publishes a simplified version of his construction.^[21][22]
• 1961: Graham Higman characterises the subgroups of finitely presented groups with Higman’s embedding theorem,^[23] connecting recursion theory with group theory in an unexpected way and giving a very different proof of the unsolvability of the word problem.^[3]
• 1961 – 1963: Britton presents a greatly simplified version of Boone’s 1959 proof that the word problem for groups is unsolvable.^[24] It uses a group-theoretic approach, in particular Britton’s Lemma. This proof has been used in a graduate course, although more modern and condensed proofs exist.^[25]
• 1977: Gennady Makanin proves that the existential theory of equations over free monoids is solvable.^[26]

The word problem for semi-Thue systems

The accessibility problem for string rewriting systems (semi-Thue systems or semigroups) can be stated as follows: Given a semi-Thue system [math]displaystyle{ T:=(Sigma, R) }[/math] and two words (strings) [math]displaystyle{ u, v in Sigma^* }[/math], can [math]displaystyle{ u }[/math] be transformed into [math]displaystyle{ v }[/math] by applying rules from [math]displaystyle{ R }[/math]? Note that the rewriting here is one-way. The word problem is the accessibility problem for symmetric rewrite relations, i.e. Thue systems.^[27]

The accessibility and word problems are undecidable, i.e. there is no general algorithm for solving this problem.^[28] This even holds if we limit the systems to have finite presentations, i.e. a finite set of symbols and a finite set of relations on those symbols.^[27] Even the word problem restricted to ground terms is not decidable for certain finally presented semigroups.^[29][30]

The word problem for groups

Main page: Word problem for groups

Given a presentation [math]displaystyle{ langle Smid mathcal{R} rangle }[/math] for a group G, the word problem is the algorithmic problem of deciding, given as input two words in S, whether they represent the same element of G. The word problem is one of three algorithmic problems for groups proposed by Max Dehn in 1911. It was shown by Pyotr Novikov in 1955 that there exists a finitely presented group G such that the word problem for G is undecidable.^[31]

The word problem in combinatorial calculus and lambda calculus

One of the earliest proofs that a word problem is undecidable was for combinatory logic: when are two strings of combinators equivalent? Because combinators encode all possible Turing machines, and the equivalence of two Turing machines is undecidable, it follows that the equivalence of two strings of combinators is undecidable. Alonzo Church observed this in 1936.^[32]

Likewise, one has essentially the same problem in (untyped) lambda calculus: given two distinct lambda expressions, there is no algorithm which can discern whether they are equivalent or not; equivalence is undecidable. For several typed variants of the lambda calculus, equivalence is decidable by comparison of normal forms.

The word problem for abstract rewriting systems

The word problem for an abstract rewriting system (ARS) is quite succinct: given objects x and y are they equivalent under [math]displaystyle{ stackrel{*}{leftrightarrow} }[/math]?^[29] The word problem for an ARS is undecidable in general. However, there is a computable solution for the word problem in the specific case where every object reduces to a unique normal form in a finite number of steps (i.e. the system is convergent): two objects are equivalent under [math]displaystyle{ stackrel{*}{leftrightarrow} }[/math] if and only if they reduce to the same normal form.^[33]
The Knuth-Bendix completion algorithm can be used to transform a set of equations into a convergent term rewriting system.

The word problem in universal algebra

In universal algebra one studies algebraic structures consisting of a generating set A, a collection of operations on A of finite arity (typically binary operations), and a finite set of identities that these operations must satisfy. The word problem for an algebra is then to determine, given two expressions (words) involving the generators and operations, whether they represent the same element of the algebra modulo the identities. The word problems for groups and semigroups can be phrased as word problems for algebras.^[1]

The word problem on free Heyting algebras is difficult.^[34]
The only known results are that the free Heyting algebra on one generator is infinite, and that the free complete Heyting algebra on one generator exists (and has one more element than the free Heyting algebra).

The word problem for free lattices

Example computation of x∧z ~ x∧z∧(x∨y)

x∧z∧(x∨y) ≤~ x∧z by 5. since x∧z ≤~ x∧z by 1. since x∧z = x∧z

x∧z ≤~ x∧z∧(x∨y) by 7. since x∧z ≤~ x∧z and x∧z ≤~ x∨y by 1. since x∧z = x∧z by 6. since x∧z ≤~ x by 5. since x ≤~ x by 1. since x = x

The word problem on free lattices and more generally free bounded lattices has a decidable solution. Bounded lattices are algebraic structures with the two binary operations ∨ and ∧ and the two constants (nullary operations) 0 and 1. The set of all well-formed expressions that can be formulated using these operations on elements from a given set of generators X will be called W(X). This set of words contains many expressions that turn out to denote equal values in every lattice. For example, if a is some element of X, then a ∨ 1 = 1 and a ∧ 1 =a. The word problem for free bounded lattices is the problem of determining which of these elements of W(X) denote the same element in the free bounded lattice FX, and hence in every bounded lattice.

The word problem may be resolved as follows. A relation ≤_~ on W(X) may be defined inductively by setting w ≤_~ v if and only if one of the following holds:

1.   w = v (this can be restricted to the case where w and v are elements of X),
2.   w = 0,
3.   v = 1,
4.   w = w₁ ∨ w₂ and both w₁ ≤_~ v and w₂ ≤_~ v hold,
5.   w = w₁ ∧ w₂ and either w₁ ≤_~ v or w₂ ≤_~ v holds,
6.   v = v₁ ∨ v₂ and either w ≤_~ v₁ or w ≤_~ v₂ holds,
7.   v = v₁ ∧ v₂ and both w ≤_~ v₁ and w ≤_~ v₂ hold.

This defines a preorder ≤_~ on W(X), so an equivalence relation can be defined by w ~ v when w ≤_~ v and v ≤_~ w. One may then show that the partially ordered quotient space W(X)/~ is the free bounded lattice FX.^[35][36] The equivalence classes of W(X)/~ are the sets of all words w and v with w ≤_~ v and v ≤_~ w. Two well-formed words v and w in W(X) denote the same value in every bounded lattice if and only if w ≤_~ v and v ≤_~ w; the latter conditions can be effectively decided using the above inductive definition. The table shows an example computation to show that the words x∧z and x∧z∧(x∨y) denote the same value in every bounded lattice. The case of lattices that are not bounded is treated similarly, omitting rules 2 and 3 in the above construction of ≤_~.

Example: A term rewriting system to decide the word problem in the free group

Bläsius and Bürckert
^[37]
demonstrate the Knuth–Bendix algorithm on an axiom set for groups.
The algorithm yields a confluent and noetherian term rewrite system that transforms every term into a unique normal form.^[38]
The rewrite rules are numbered incontiguous since some rules became redundant and were deleted during the algorithm run.
The equality of two terms follows from the axioms if and only if both terms are transformed into literally the same normal form term. For example, the terms

[math]displaystyle{ ((a^{-1} cdot a) cdot (b cdot b^{-1}))^{-1} stackrel{R2}{rightsquigarrow} (1 cdot (b cdot b^{-1}))^{-1} stackrel{R13}{rightsquigarrow} (1 cdot 1)^{-1} stackrel{R1}{rightsquigarrow} 1 ^{-1} stackrel{R8}{rightsquigarrow} 1 }[/math], and

[math]displaystyle{ b cdot ((a cdot b)^{-1} cdot a) stackrel{R17}{rightsquigarrow} b cdot ((b^{-1} cdot a^{-1}) cdot a) stackrel{R3}{rightsquigarrow} b cdot (b^{-1} cdot (a^{-1} cdot a)) stackrel{R2}{rightsquigarrow} b cdot (b^{-1} cdot 1) stackrel{R11}{rightsquigarrow} b cdot b^{-1} stackrel{R13}{rightsquigarrow} 1 }[/math]

share the same normal form, viz. [math]displaystyle{ 1 }[/math]; therefore both terms are equal in every group.
As another example, the term [math]displaystyle{ 1 cdot (a cdot b) }[/math] and [math]displaystyle{ b cdot (1 cdot a) }[/math] has the normal form [math]displaystyle{ a cdot b }[/math] and [math]displaystyle{ b cdot a }[/math], respectively. Since the normal forms are literally different, the original terms cannot be equal in every group. In fact, they are usually different in non-abelian groups.

Group axioms used in Knuth–Bendix completion

A1	[math]displaystyle{ 1 cdot x }[/math]	[math]displaystyle{ = x }[/math]
A2	[math]displaystyle{ x^{-1} cdot x }[/math]	[math]displaystyle{ = 1 }[/math]
A3	[math]displaystyle{ (x cdot y) cdot z }[/math]	[math]displaystyle{ = x cdot (y cdot z) }[/math]

Term rewrite system obtained from Knuth–Bendix completion

R1	[math]displaystyle{ 1 cdot x }[/math]	[math]displaystyle{ rightsquigarrow x }[/math]
R2	[math]displaystyle{ x^{-1} cdot x }[/math]	[math]displaystyle{ rightsquigarrow 1 }[/math]
R3	[math]displaystyle{ (x cdot y) cdot z }[/math]	[math]displaystyle{ rightsquigarrow x cdot (y cdot z) }[/math]
R4	[math]displaystyle{ x^{-1} cdot (x cdot y) }[/math]	[math]displaystyle{ rightsquigarrow y }[/math]
R8	[math]displaystyle{ 1^{-1} }[/math]	[math]displaystyle{ rightsquigarrow 1 }[/math]
R11	[math]displaystyle{ x cdot 1 }[/math]	[math]displaystyle{ rightsquigarrow x }[/math]
R12	[math]displaystyle{ (x^{-1})^{-1} }[/math]	[math]displaystyle{ rightsquigarrow x }[/math]
R13	[math]displaystyle{ x cdot x^{-1} }[/math]	[math]displaystyle{ rightsquigarrow 1 }[/math]
R14	[math]displaystyle{ x cdot (x^{-1} cdot y) }[/math]	[math]displaystyle{ rightsquigarrow y }[/math]
R17	[math]displaystyle{ (x cdot y)^{-1} }[/math]	[math]displaystyle{ rightsquigarrow y^{-1} cdot x^{-1} }[/math]

See also

• Conjugacy problem
• Group isomorphism problem

References