The word group theory

From Wikipedia, the free encyclopedia

In group theory, a word is any written product of group elements and their inverses. For example, if x, y and z are elements of a group G, then xy, z⁻¹xzz and y⁻¹zxx⁻¹yz⁻¹ are words in the set {x, y, z}. Two different words may evaluate to the same value in G,^[1] or even in every group.^[2] Words play an important role in the theory of free groups and presentations, and are central objects of study in combinatorial group theory.

Definitions[edit]

Let G be a group, and let S be a subset of G. A word in S is any expression of the form

where s₁,…,s_n are elements of S, called generators, and each ε_i is ±1. The number n is known as the length of the word.

Each word in S represents an element of G, namely the product of the expression. By convention, the unique^[3] identity element can be represented by the empty word, which is the unique word of length zero.

Notation[edit]

When writing words, it is common to use exponential notation as an abbreviation. For example, the word

could be written as

This latter expression is not a word itself—it is simply a shorter notation for the original.

When dealing with long words, it can be helpful to use an overline to denote inverses of elements of S. Using overline notation, the above word would be written as follows:

Reduced words[edit]

Any word in which a generator appears next to its own inverse (xx⁻¹ or x⁻¹x) can be simplified by omitting the redundant pair:

This operation is known as reduction, and it does not change the group element represented by the word. Reductions can be thought of as relations (defined below) that follow from the group axioms.

A reduced word is a word that contains no redundant pairs. Any word can be simplified to a reduced word by performing a sequence of reductions:

The result does not depend on the order in which the reductions are performed.

A word is cyclically reduced if and only if every cyclic permutation of the word is reduced.

Operations on words[edit]

The product of two words is obtained by concatenation:

Even if the two words are reduced, the product may not be.

The inverse of a word is obtained by inverting each generator, and reversing the order of the elements:

The product of a word with its inverse can be reduced to the empty word:

You can move a generator from the beginning to the end of a word by conjugation:

Generating set of a group[edit]

A subset S of a group G is called a generating set if every element of G can be represented by a word in S.

When S is not a generating set for G, the set of elements represented by words in S is a subgroup of G, known as the subgroup of G generated by S and usually denoted . It is the smallest subgroup of G that contains the elements of S.

Normal forms[edit]

A normal form for a group G with generating set S is a choice of one reduced word in S for each element of G. For example:

• The words 1, i, j, ij are a normal form for the Klein four-group with S = {i,  j}  and 1 representing the empty word (the identity element for the group).
• The words 1, r, r², …, r^n-1, s, sr, …, sr^n-1 are a normal form for the dihedral group Dih_n with S = {s,  r}  and 1 as above.
• The set of words of the form x^myⁿ for m,n ∈ Z are a normal form for the direct product of the cyclic groups ⟨x⟩ and ⟨y⟩ with S = {x,  y}.
• The set of reduced words in S are the unique normal form for the free group over S.

Relations and presentations[edit]

If S is a generating set for a group G, a relation is a pair of words in S that represent the same element of G. These are usually written as equations, e.g.
A set of relations defines G if every relation in G follows logically from those in using the axioms for a group. A presentation for G is a pair , where S is a generating set for G and is a defining set of relations.

For example, the Klein four-group can be defined by the presentation

Here 1 denotes the empty word, which represents the identity element.

Free groups[edit]

If S is any set, the free group over S is the group with presentation . That is, the free group over S is the group generated by the elements of S, with no extra relations. Every element of the free group can be written uniquely as a reduced word in S.

See also[edit]

• Word problem (mathematics)
• Word problem for groups

Notes[edit]

References[edit]

• Epstein, David; Cannon, J. W.; Holt, D. F.; Levy, S. V. F.; Paterson, M. S.; Thurston, W. P. (1992). Word Processing in Groups. AK Peters. ISBN 0-86720-244-0..
• Novikov, P. S. (1955). «On the algorithmic unsolvability of the word problem in group theory». Trudy Mat. Inst. Steklov (in Russian). 44: 1–143.
• Robinson, Derek John Scott (1996). A course in the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3.
• Rotman, Joseph J. (1995). An introduction to the theory of groups. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8.
• Schupp, Paul E; Lyndon, Roger C. (2001). Combinatorial group theory. Berlin: Springer. ISBN 3-540-41158-5.
• Solitar, Donald; Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham (2004). Combinatorial group theory: presentations of groups in terms of generators and relations. New York: Dover. ISBN 0-486-43830-9.
• Stillwell, John (1993). Classical topology and combinatorial group theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97970-0.

В теории групп, слово — это любое письменное произведение элементов группы и их обратных значений. Например, если x, y и z являются элементами группы G, то xy, zxzz и yzxxyz — слова из множества {x, y, z}. Два разных слова могут давать одно и то же значение в G или даже в каждой группе. Слова играют важную роль в теории свободных групп и представлений и являются центральными объектами изучения комбинаторной теории групп.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Обозначение
• 3 Слова и представления
• 4 Сокращенные слова
• 5 Нормальные формы
• 6 Операции над словами
• 7 Проблема со словами
• 8 Примечания
• 9 Ссылки

Определение

Пусть G — группа, а S — подмножество группы G. Слово в S — это любое выражение формы

s 1 ε 1 s 2 ε 2 ⋯ sn ε N { Displaystyle s_ {1} ^ { varepsilon _ {1}} s_ {2} ^ { varepsilon _ {2}} cdots s_ {n} ^ { varepsilon _ {n}}}

где s 1,…, s n — элементы S, и каждый ε i равен ± 1. Число n известно как длина слова.

Каждое слово в S представляет собой элемент G, а именно продукт выражения. По соглашению, identity (уникальный) элемент может быть представлен пустым словом, которое является уникальным словом нулевой длины.

Нотация

При написании слов обычно используется экспоненциальная нотация в качестве сокращения. Например, слово

xxy — 1 zyzzzx — 1 x — 1 { displaystyle xxy ^ {- 1} zyzzzx ^ {- 1} x ^ {- 1} ,}

можно записать как

х 2 у — 1 zyz 3 х — 2. { displaystyle x ^ {2} y ^ {- 1} zyz ^ {3} x ^ {- 2}. ,}

Это последнее выражение не является само словом — это просто сокращенное обозначение оригинала..

При работе с длинными словами может быть полезно использовать надстрочный знак для обозначения инверсий элементов S. Используя надстрочную нотацию, указанное выше слово будет записано следующим образом:

x 2 y ¯ zyz 3 x ¯ 2. { displaystyle x ^ {2} { overline {y}} zyz ^ {3} { overline {x}} ^ {2}. ,}

Слова и презентации

Подмножество S группы G называется порождающим набором, если каждый элемент G может быть представлен словом в S. Если S является порождающим набором, отношение представляет собой пару слов в S, которые представляют один и тот же элемент G. Обычно они записываются в виде уравнений, например х — 1 у х = у 2. { displaystyle x ^ {- 1} yx = y ^ {2}. ,}Набор R { displaystyle { mathcal {R}}}из Relations определяет G, если каждое отношение в G логически следует из отношений в R { displaystyle { mathcal {R}}}, используя аксиомы для группы. A представление для G — это пара ⟨S ∣ R⟩ { displaystyle langle S mid { mathcal {R}} rangle}, где S — генераторный набор для G и R { displaystyle { mathcal {R}}}является определяющим набором отношений.

Например, четырехгруппа Клейна может быть определена представлением

⟨i, j ∣ i 2 = 1, j 2 = 1, i j = j i⟩. { displaystyle langle i, j mid i ^ {2} = 1, , j ^ {2} = 1, , ij = ji rangle.}

Здесь 1 обозначает пустое слово, которое представляет элемент идентичности.

Когда S не является порождающим набором для G, набор элементов, представленных словами в S, является подгруппой группы G. Это известно как подгруппа группы G, генерируемая S, обычно обозначается как ⟨S⟩ { displaystyle langle S rangle}. Это наименьшая подгруппа G, содержащая элементы S.

Сокращенные слова

Любое слово, в котором генератор появляется рядом с его собственным обратным (xx или xx), можно упростить, исключив избыточная пара:

y — 1 zxx — 1 y ⟶ y — 1 zy. { displaystyle y ^ {- 1} zxx ^ {- 1} y ; ; longrightarrow ; ; y ^ {- 1} zy.}

Эта операция известна как сокращение, и это не меняет элемент группы, представленный словом. (Редукции можно рассматривать как отношения, следующие из групповых аксиом.)

A сокращенное слово — это слово, не содержащее лишних пар. Любое слово можно упростить до сокращенного слова, выполнив последовательность сокращений:

x z y — 1 x x — 1 y z — 1 z z — 1 y z ⟶ x y z. { displaystyle xzy ^ {- 1} xx ^ {- 1} yz ^ {- 1} zz ^ {- 1} yz ; ; longrightarrow ; ; xyz.}

Результат не зависит от порядок, в котором выполняются сокращения.

Если S — любой набор, свободная группа над S — это группа с представлением ⟨S ∣⟩ { displaystyle langle S mid ; rangle}. То есть свободная группа над S — это группа, порожденная элементами S, без дополнительных отношений. Каждый элемент свободной группы может быть записан однозначно как сокращенное слово в S.

Слово циклически сокращается тогда и только тогда, когда каждая циклическая перестановка слова сокращено.

Нормальные формы

A нормальные формы для группы G с порождающим набором S — это выбор одного сокращенного слова в S для каждого элемента G. Например:

• Слова 1, i, j, ij являются нормальной формой для четырехгруппы Клейна.
• Слова 1, r, r,…, r, s, sr,…, sr являются нормальной формой для группы диэдра Dih n.
• Набор сокращенных слов в S является нормальной формой для свободной группы над S.
• Набор слов формы xy для m, n ∈ Z представляют собой нормальную форму для прямого произведения циклических групп 〈x〉 и 〈y〉.

Операции над словами

произведение двух слов получается конкатенацией:

(xzyz — 1) (zy — 1 x — 1 y) = xzyz — 1 zy — 1 x — 1 y. { displaystyle left (xzyz ^ {- 1} right) left (zy ^ {- 1} x ^ {- 1} y right) = xzyz ^ {- 1} zy ^ {- 1} x ^ { -1} y.}

Даже если два слова сократить, продукта может не быть.

инверсия слова получается путем инвертирования каждого генератора и переключения порядка элементов:

(zy — 1 x — 1 y) — 1 = y — 1 xyz — 1. { displaystyle left (zy ^ {- 1} x ^ {- 1} y right) ^ {- 1} = y ^ {- 1} xyz ^ {- 1}.}

Произведение слова с обратным ему можно свести к пустому слову:

zy — 1 x — 1 yy — 1 xyz — 1 = 1. { displaystyle zy ^ {- 1} x ^ {- 1} y ; y ^ { -1} xyz ^ {- 1} = 1.}

Вы можете переместить генератор из начала в конец слова с помощью спряжения :

x — 1 (xy — 1 z — 1 yz) х = у — 1 z — 1 yzx. { displaystyle x ^ {- 1} left (xy ^ {- 1} z ^ {- 1} yz right) x = y ^ {- 1} z ^ {- 1} yzx.}

Слово проблема

Учитывая представление ⟨S ∣ R⟩ { displaystyle langle S mid { mathcal {R}} rangle}для группы G, проблема слова — это алгоритмическая проблема решения, заданного в качестве входных двух слов в S, представляют ли они один и тот же элемент G. Проблема слова — одна из трех алгоритмических проблем для групп, предложенных Максом Деном в 1911 году. Петр Новиков в 1955 году показал, что существует конечно представленная группа G такая, что проблема слов для G неразрешима. (Новиков 1955)

Примечания

Ссылки

• Эпштейн, Дэвид ; Кэннон, JW ; Холт, Д.Ф.; Леви, SVF; Патерсон, MS ; Thurston, WP (1992). Обработка текстов в группах. AK Peters. ISBN 0-86720-244-0 ..
• Новиков PS (1955). «Об алгоритмической неразрешимости проблемы слова в теории групп», Труды Матем. Ин-та Стеклова. Ян). 44 : 1–143. CS1 maint: ref = harv (link )
• Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996). Курс теории групп. Берлин: Springer- Verlag. ISBN 0-387-94461-3 .
• Rotman, Joseph J. (1995). Введение в теорию групп. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94285-8 .
• Шупп, Пол Э ; Линдон, Роджер К. (2001). Комбинаторная теория групп. Берлин: Springer. ISBN 3-540-41158-5 .
• Солитэр, Дональд ; Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Абрахам (2004). Комбинаторная теория групп: представления групп в терминах генераторы и отношения. Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-43830-9 .
• Стиллвелл, Джон (1993). Классическая топология и комбинаторная теория групп. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97970-0 .