Тело брошено под углом к горизонту excel

Лабораторная работа № 5

по компьютерному моделированию

Тема: «Моделирование полёта тела, брошенного под углом
к горизонту
средствами EXCEL».

Задания:

1. Загрузить Excel.

2.     Набрать следующую
таблицу:

		А                       В                                      С	D
	1	Исходные данные
	2
	3
	4	g=			9,81
	5	v0=			20
	6	Угол=			35
	7	dt=			0,2
	8
	9	Решение задачи
	10
	11	Расчёт
	12	Vox=			=D5*COS(D6*ПИ()/180)
	13	Vov=			=D5*SIN(D6*ПИ()/180)
	14
	15	t	X	У
	16	0	=$D$12*A16	=$D$13*A16-$D$4*A16*A16/2
	17	=A16+$D$7	=$D$12*A17	=$D$13*A17-$D$4*A17*A17/2
	18	=A17+$D$7	=$D$12*A18	=$D$13*A18-$D$4*A18*A18/2
	19	=A18+$D$7	=$D$12*A19	=$D$13*A19-$D$4*A19*A19/2

Столбцы А, В, С, D заполнить
вниз аналогичными формулами до тех пор, пока значение в
столбце С не станет практически равным нулю.

3.     По столбцам В
и С построить график полёта тела, брошенного под углом к горизонту.

4.     Продемонстрировать
и сделать распечатку.

5.      Исследовать
изменение движения тела при изменении начальной скорости. Выводы записать под графиком.

6.      Исследовать
изменение движения тела при изменении угла бросания. Выводы записать под графиком.

7.     Оформить
письменный отчёт и ответить на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы:

1.  Что называется
моделью?

2.          
Как записывается дифференциальная математическая модель полёта тела, брошенного под углом к
горизонту?

3.          
Как записывается аналитическая математическая модель полёта тела?

4.          
В чём заключается эксперимент в данной работе? В виде чего, и какие получены результаты?

Движение тела, брошенного под углом к горизонту!

Опубликовано 22 Апр 2014
Рубрика: О жизни | 9 комментариев

До конца финального матча баскетбольного турнира Олимпиады в Мюнхене 1972-ого года оставалось 3 секунды. Американцы – сборная США — уже во всю праздновали победу! Наша команда – сборная СССР – выигрывала около 10-и очков у великой dream Team…

…за несколько минут до окончания матча. Но, растеряв в концовке все преимущество, уже уступала одно очко 49:50. Дальше произошло невероятное! Иван Едешко бросает мяч из-за лицевой линии через всю площадку под кольцо американцев, где наш центровой Александр Белов принимает мяч в окружении двух соперников и вкладывает его в корзину. 51:50 – мы олимпийские чемпионы!!!

Я, будучи тогда ребенком, испытал сильнейшие эмоции – сначала разочарование и обиду, затем сумасшедший восторг! Эмоциональная память об этом эпизоде врезалась в мое сознание на всю жизнь! Посмотрите видео в Интернете по запросу «золотой бросок Александра Белова», не пожалеете.

Американцы тогда не признали поражения и отказались от получения серебряных медалей. Возможно ли за три секунды сделать то, что совершили наши игроки? Вспомним физику!

В этой статье мы рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту, составим в Excel программу решения этой задачи при различных сочетаниях исходных данных и попытаемся ответить на поставленный выше вопрос.

Это достаточно широко известная задача в физике. В нашем случае тело, брошенное под углом к горизонту – это баскетбольный мяч. Мы рассчитаем начальную скорость, время и траекторию полета мяча, брошенного через всю площадку Иваном Едешко и попавшего в руки Александра Белова.

Математика и физика полета баскетбольного мяча.

Представленные ниже формулы и расчет в excel являются универсальными для широкого круга задач о телах, брошенных под углом к горизонту и летящих по параболической траектории без учета влияния трения о воздух.

Расчетная схема представлена на рисунке, расположенном ниже. Запускаем программу MS Excel или OOo Calc.

Исходные данные:

1. Так как мы находимся на планете Земля и рассматриваем баллистическую задачу – движение тел в поле тяжести Земли, то первым делом запишем основную характеристику гравитационного поля – ускорение свободного падения  g в м/с²

в ячейку D3: 9,81

2. Размеры баскетбольной площадки – 28 метров длина и 15 метров ширина. Расстояние полета мяча почти через всю площадку до кольца от противоположной лицевой линии по горизонтали x в метрах впишем

в ячейку D4: 27,000

3. Если принять, что бросок Едешко совершил с высоты около двух метров, а Белов поймал мяч как раз где-то на уровне кольца, то при высоте баскетбольного кольца 3,05 метра расстояние между точками вылета и прилета мяча составит по вертикали 1 метр. Запишем вертикальное перемещение y в метрах

в ячейку D5: 1,000

4. По моим замерам на видеозаписи угол вылета мяча α₀ из рук Едешко не превышал 20°. Введем это значение

в ячейку D6: 20,000

Результаты расчетов:

Основные уравнения, описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту без учета сопротивления воздуха:

x=v₀*cosα₀*t

y=v₀*sinα₀*t—g*t²/2

5. Выразим время t из первого уравнения, подставим во второе и вычислим начальную скорость полета мяча v₀ в м/с

в ячейке D8: =(D3*D4^2/2/COS (РАДИАНЫ(D6))^2/(D4*TAN (РАДИАНЫ (D6)) -D5))^0,5 =21,418

v₀=(g*x²/(2*(cosα₀)²*(x*tgα₀—y))^0,5

6. Время полета мяча от рук Едешко до рук Белова t в секундах рассчитаем, зная теперь v₀, из первого уравнения

в ячейке D9: =D4/D8/COS (РАДИАНЫ(D6)) =1,342

t=x/(v₀*cosα₀)

7. Найдем угол направления скорости полета мяча α_i в интересующей нас точке траектории. Для этого исходную пару уравнений запишем в следующем виде:

y=x*tgα₀—g*x²/(2*v₀²*(cosα₀)²)

Это уравнение параболы – траектории полета.

Нам необходимо найти угол наклона касательной к параболе в интересующей нас точке – это и будет угол α_i. Для этого возьмем производную, которая представляет собой тангенс угла наклона касательной:

y’=tgα₀—g*x/(v₀²*(cosα₀)²)

Рассчитаем угол прилета мяча в руки Белова α_i в градусах

в ячейке D10: =ATAN (TAN (РАДИАНЫ(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (РАДИАНЫ (D6))^2)/ПИ()*180 =-16,167

α_i= arctg y’=arctg(tgα₀— g*x/(v₀²*(cosα₀)²))

Расчет в excel, в принципе, закончен.

Иные варианты расчетов:

Используя написанную программу, можно быстро и просто при других сочетаниях исходных данных произвести вычисления.

Пусть, даны горизонтальная x=27 метров, вертикальная y=1 метр дальности полета и начальная скорость v₀=25 м/с.

Требуется найти время полета t и углы вылета α₀ и прилета α_i

Воспользуемся сервисом MS Excel «Подбор параметра». Я неоднократно в нескольких статьях блога подробно рассказывал, как им пользоваться. Детальнее об использовании этого сервиса можно почитать здесь.

Устанавливаем в ячейке D8 значение 25,000 за счет изменения подбором значения в ячейке D6. Результат на рисунке внизу.

Исходные данные в этом варианте расчета в excel (как, впрочем, и в предыдущем) выделены синими рамками, а результаты обведены красными прямоугольными рамками!

Устанавливая в таблице Excel некоторое интересующее значение в одной из ячеек со светло-желтой заливкой за счет подбора измененного значения в одной из ячеек со светло-бирюзовой заливкой, можно получить в общем случае десять различных вариантов решения задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту при десяти разных наборах исходных данных!!!

Ответ на вопрос:

Ответим на вопрос, поставленный в начале статьи. Мяч, посланный Иваном Едешко, долетел до Белова по нашим расчетам за 1,342с. Александр Белов поймал мяч, приземлился, подпрыгнул и бросил. На все это у него было «море» времени – 1,658с! Это действительно достаточное с запасом количество времени! Детальный просмотр по кадрам видеозаписи подтверждает вышесказанное. Нашим игрокам хватило трех секунд, чтобы доставить мяч от своей лицевой линии до щита соперников и забросить его в кольцо, вписав золотом свои имена в историю баскетбола!

Ссылка на скачивание файла: dvizheniye-tela-broshennogo-pod-uglom-k-gorizontu (xls 18,0KB).

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Решение задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту с помощью электронной таблицы.

При
изучении информатики ученики получили
первые навыки моделирования физических
процессов. На основе этих знаний можно
иначе подойти к изучению уже знакомых
явлений.

Предлагаем
изучить рассказ «Пуля и воздух» из
книги Я.И. Перельмана «Занимательная
физика».

Вот
выдержка из данного рассказа:

Покинув
ствол ружья под углом 45°, с начальной
скоростью 620 м/с, пуля описала бы дугу в
10км высотой; дальность полета составила
бы почти 40км. В действительности же пуля
при указанных условиях описывает
сравнительно небольшую дугу и дальность
ее полета составляет 4км. Изображенная
на том же чертеже дуга почти незаметна
рядом с первой; таков результат
противодействия воздуха!..

Полет
пули в пустоте и в воздухе.

Большая
дуга изображает путь, какой описала бы
пуля, если бы не существовало атмосферы.

Маленькая
дуга слева – действительный путь пули
в воздухе.

Задание

Создайте
компьютерную модель движения пули.
Используя данные из этого рассказа и
модель, определите коэффициент
сопротивления воздуха для пули, найдите,
при каком угле дальность полета будет
максимальной и чему она равна. Проверьте,
выполняется ли равенство дальности
полета для углов, сумма которых равна
90°.

Движение
пули в воздухе происходит под действием
двух сил: тяжести и сопротивления
воздуха. Сила сопротивления воздуха,
действующая на пулю, прямо пропорциональна
квадрату скорости (для больших скоростей)
и направлена в противоположную движению
сторону. Поэтому под действием силы
изменяется скорость, что приводит к
изменению силы. Поэтому с помощью
привычных методов решение данной задачи
весьма проблематично.

Математическая
модель движения пули

Время
движения пули разобьем на небольшие
интервалы и будем считать, что на
протяжении каждого из них скорость и
сила сопротивления остаются постоянными.
По истечении каждого интервала изменяются
скорость движения, сила сопротивления,
угол направления скорости и силы, т. е.
эти величины, изменяются скачкообразно.
На рисунке показаны два дискретных
положения пули.

Дискретный
процесс изменения физических величин
определяется рекуррентными формулами:

(Аргумент
функции α переводится из градусов в
радианы.)

(Учтено
то, что направление силы противоположно
скорости.)

Компьютерная
модель движения пули

Используем
табличную схему модели в электронных
таблицах.

В
ячейку В1 введем название «Движение
тела, брошенного под углом к горизонту,
с учетом сопротивления воздуха».

Исходными
данными для поставленной задачи являются
начальная скорость, угол выстрела, масса
пули, ускорение свободного падения,
коэффициент сопротивления воздуха и
шаг времени.

В
раздел «Исходные данные» внесем:

А4:
620

В4:
«м/с – начальная скорость»

А5:
45

В5:
«градусов – угол выстрела»

А6:
0,009

В6:
«кг – масса пули»

А7:
9,81

В7:
«м/с²
– ускорение свободного падения»

А8:
0

В8:
«Н*(с/м)²
–
коэффициент сопротивления воздуха»

А9:
0,52

В9:
«с – шаг времени»

В
раздел «Расчетная таблица» в строку
12 внесем по порядку буквы, обозначающие
физические величины: t,
α
,
v,
v_x,
v_y,
k,
F,
F_x,
F_y,
a_x,
a_v,
x,
y.

В
строку 13 вносим следующие формулы:

А13:
0

В13:
=А5

С13:
=А4

D13:
=С13*СОS(В13*ПИ()/180)

Е13:
=C13*SIN(B13*IIИ()/180)

F13:
=А8

G13:
=F13*C13^2

Н13:
=G13*COS((B13+180)*ПИ()/180)

I13:
=G13*SIN((B13+180)* ПИ
()/180)

J13:
=H13/$A$6

K13:
=I13/$A$6-$A$7

L13:
0

M13:
0

В
строку 14 вносим формулы:

А14:
=А13+$А$9

В14:
=АТАN
(Е14/D14)*180/ПИ()

С14:
=КОРЕНЬ(D13^2+Е14^2)

D14:
=D13+J13*$A$9

Е14:
=Е13+К13*$А$9

F14:
=F13

G14:
=F14*C14^2

Н14:
=G14*COS((B14+180)*
ПИ ()/180)

I14:
=G14*SIN((B14+180)* ПИ
()/180)

J14:
=H14/$A$6

K14:
=I14/$A$6-$A$7

L14:
=L13+D14*$A$9

M14:
=M13+E14*$A$9

Остальные
строки расчетной таблицы (до 190-й строки)
заполняются вниз блоком А14:М14.

Бланк
электронной таблицы будет иметь вид:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Моделирование задач (Полет тела, брошенного под углом к горизонту).

Здесь возможны модификации:

• Попадание в заданную площадку.

• Попадание в стенку с указанной высотой.

Задание 1: Формальная модель «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту». Построить формальную модель решения задачи «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту». В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в площадку определенной длины, находящуюся на известном расстоянии.

Содержательная постановка задачи. В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в площадку определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

Качественная описательная модель. Сначала построим качественную описательную модель процесса движения тела с использованием физических объектов, понятий и законов, т.е. в данном случае идеализированную модель движения объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные предположения:

мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;

изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной g=9,8 м/с² и движение по оси Y можно считать равноускоренным;

скорость бросания тела мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь и движение по оси X можно считать равномерным.

Формальная модель. Движение мячика по оси Х равномерное, а по оси Y равноускоренное, поэтому для формализации модели используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения. При заданных начальной скорости v₀ и угле бросания α значения координат дальности полета x и высоты y от времени можно описать следующими формулами:

x = v₀·cosα·t

y = v₀·sinα·t – g·t²/2

Площадка расположена на поверхности земли, поэтому из второй формулы можно выразить время, которое понадобится мячику, чтобы достичь площадки:

v₀·sinα·t – g·t²/2 = 0

t·(v₀·sinα – g·t/2) = 0

Значение времени t = 0 не имеет физического смысла, поэтому:

v₀·sinα – g·t/2 = 0

t = (2·v₀·sinα)/g

Подставим полученное выражение для времени в формулу для вычисления координаты х:

x = (v₀·cosα·2·v₀·sinα)/g = (v₀²·sin2α)/g

Формализуем теперь условие попадание мячика в площадку. Пусть площадка расположена на расстоянии s и имеет длину L. Тогда попадание произойдет, если значение координаты х мячика будет удовлетворять условию в форме неравенства:

s ≤ х ≤ s+L

Если хs, то это означает «недолет», а если хs+L, то это означает «перелет».

Заготовка программы для попадания в площадку:

program ploschadka;

uses graphABC, crt;

const xc=40; yc=240; s=300;

m=20; n=7; step=0.01; g=9.8;

var

x,y,t,a,v0,da:real;

xe,ye:integer; i:integer;

begin clrscr;

{возможен ввод начального угла в градусах:

write(‘a =’);readln(a); a:=a*pi/180;}

write(‘v0=’); readln(v0);

line(xc,10,xc,470);

line(10,yc,630,yc);

a:=pi/20; da:=pi/(6*n);

for i:=1 to n do

begin

a:=a+da;

t:=0;

repeat

x:=v0*cos(a)*t;

y:=v0*sin(a)*t-g*t*t/2;

xe:=round(xc+m*x);

ye:=round(yc-m*y);

setpixel(xe,ye,2);

t:=t+step;

until (ts/(v0*cos(a))) or (yeyc);

end;

end.

Задание:

1. Реализовать программу на компьютере. Оценить результат. C какой скоростью V0 и начальном угле a при заданном значении n будет зафиксировано наибольшее число попаданий в площадку? Результат записать в тетрадь для проверочных работ.

2. Разработать формальную модель при условии попадания мячика в стенку высотой h. Записать выкладки с пояснениями в тетрадь для проверочных работ.

3. Модифицировать программу таким образом, чтобы при попадании в стенку траектория полета мячика за стенкой не имела продолжения. Программу записать в тетрадь для проверочных работ.

4. Найти диапазон скоростей и углов для попадания в стенку.

5. C какой скоростью при заданном значении n будет зафиксировано наибольшее число попаданий в стенку? Результат записать в тетрадь для проверочных работ.

6. Приложение к программе:

Построение делений по оси y:

xt:=10; dx:=10

For i:=1 to 62 do

Begin

xt:=xt+dx;

line(xt,yc,xt,yc-5);

end;

Построение стенки высотой h на расстоянии s0:

line(s0,yc,s0,yc-h);

Соотношение для угла видимости ah (в радианах) верхней границы стенки высотой h на расстоянии s0:

ah:=arctan(2*h/s0); da:=ah/n;

Задание 2: Компьютерная модель «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту»в электронных таблицах. На основе формальной модели «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту» построить и исследовать компьютерную модель в электронных таблицах StarOffice Calc ( В ДАННОЙ РАБОТЕ СООТВЕТСТВУЮТ ВСЕ КОМАНДЫ В Microsoft Excel). Поэтому работаем в Microsoft Excel.

Выделим в таблице определенные ячейки для ввода значений начальной скорости v₀ и угла α и вычислим по формулам 3.1 значения координат тела x и y для определенных значений времени t с заданным интервалом.

Для преобразования значений углов из градусов в радианы используем функцию РАДИАНЫ().  

Проект «Движение тела, брошенного под углом к горизонту»

1	Запустить электронные таблицы Microsoft Excel. Для ввода начальной скорости будем использовать ячейку B1, а для ввода угла – ячейку B2.
2	Введем в ячейки A5:A16 значения времени с интервалом в 0,2 с.
3	В ячейки B5 и C5 введем формулы: =$B$1*COS(РАДИАНЫ($B$2))*A5 =$B$1*SIN(РАДИАНЫ($B$2))*A5-4,9*A5*A5
4	Скопируем формулы в ячейки В6:В16 и С6:С16 соответственно.

Визуализируем модель, построив график зависимости координаты y от координаты x (траекторию движения тела).

5

Построить диаграмму типа График, в которой используется в качестве категории диапазон ячеек B5:B16, а в качестве значений — диапазон ячеек С5:С16.

Исследуем модель и определим с заданной точностью 0,1 градуса значения диапазона изменений угла, которые обеспечивают попадание в площадку, находящуюся на расстоянии 25 м и длиной 2 м, при заданной начальной скорости 17 м/с. Воспользуемся для этого методом Подбор параметра.

6	Установить для ячеек точность один знак после запятой.
7	Ввести в ячейки B19 и B20 значения начальной скорости V0 = 17 м/c и угла α = 31 град, а в ячейку B22 формулу для вычисления координаты X мячика для заданных начальных условий: =B19^2*SIN(РАДИАНЫ(2*B20))/9,81
8	Выделить ячейку В22 и ввести команду [Сервис-Подбор параметра…]. На появившейся диалоговой панели ввести в поле Конечное значение координату ближнего края площадки – 25. В поле изменяемая ячейка ввести адрес ячейки, содержащей значение угла (в данном случае $В$20).
9	После щелчка по кнопке Да на появившейся панели StarOffice Calc в ячейку В20 будет записано значение 29,0.
10	Повторить процедуру подбора параметра для попадания в дальний край площадки, в ячейке В20 получим значение 33,2. Таким образом, существует диапазон значений угла бросания от 29,0 до 33,2 градусов, в котором обеспечивается попадание в площадку.
11	Повторить процедуру определения диапазона углов при начальном значении 55 град, получим значения предельных углов 56,8 и 61,0 градуса. С учетом точности вычислений данные для обоих диапазонов углов подтверждают результаты, полученные при исследовании компьютерной модели на языке ABCPascal

program stenka1;

uses graphABC,Crt;

const xc=40; {нач. коорд. по Х}

yc=240;{нач. коорд. по У}

h=50; {высота стенки}

s=300; {расстояние до стенки}

m=10; {множитель, через сколько пикселей ставится точка}

n=7; {число бросков}

step=0.005; {шаг по времени}

g=9.8; {ускорение св. падения}

var

x,y,t,a,v0,ah,da:real;

xe,ye:integer; i:integer;

begin

clrscr;

{write(‘угол в градусах a =’);readln(a); a:=a*pi/180;}

write(‘нач. скорость в м/с v0=’); readln(v0);

line(xc,10,xc,470);

line(10,yc,630,yc);

line(s,yc,s,yc-h);

ah:=arctan(3*h/s); {максимальный угол броска}

da:=ah/n; {промежуток в радианах между бросками}

a:=0; {нач. угол}

for i:=1 to n do

begin

a:=a+da;

t:=0;

repeat

x:=v0*cos(a)*t;

y:=v0*sin(a)*t-g*t*t/2;

xe:=round(xc+m*x);

ye:=round(yc-m*y);

setpixel(xe,ye,2);

t:=t+step;

until (ts/(v0*cos(a))) or (yeyc);

end;

end.

program stenka2;

uses graphABC,Crt;

const

xc=40; {нач. коорд. по Х}

yc=240;{нач. коорд. по У}

h=50; {высота стенки}

s=300; {расстояние до стенки}

m=10; {множитель, через сколько пикселей ставится точка}

n=7; {число бросков}

step=0.005; {шаг по времени}

g=9.8; {ускорение св. падения}

var

x,y,t,a,v0,ah,da:real;

xe,ye:integer; i:integer;

begin

clrscr;

{write(‘угол в градусах a =’);readln(a); a:=a*pi/180;}

write(‘нач. скорость в м/с v0=’); readln(v0);

line(xc,10,xc,470);

line(10,yc,630,yc);

line(s,yc,s,yc-h);

ah:=arctan(3*h/s); {максимальный угол броска}

da:=ah/n; {промежуток в радианах между бросками}

a:=0; {нач. угол}

for i:=1 to n do

begin

a:=a+da;

t:=0;

repeat

x:=v0*cos(a)*t;

y:=v0*sin(a)*t-g*t*t/2;

xe:=round(xc+m*x);

ye:=round(yc-m*y);

if (ye(yc-h)) and not(xes) then

setpixel(xe,ye,2);

if (ye

setpixel(xe,ye,2);

t:=t+step;

until (ts/(v0*cos(a))) or (yeyc);

end;

end.

3