Фев 04 2021
Вроде простая вещь — нужно вычислить результат для нескольких булевых переменных
Читаем основную статью
Компьютер
Вроде всё просто. Но вот такой пример вида _A ∨ B ∨ C ⊕ D
Переводим на русский язык (с математического языка) — нужно сделать таблицу истинности для выражения
не A или B или C иск.или D
для всех вариантов переменных A,B.C.D, которые могут принимать значения «Истина» / «Ложь»
Или на английском (для программирования) = not.A.or.B.or.C.xor.D
Задача на булеву алгебру не сложная — но у нас четыре переменных и 16 строк в таблице (да, 24 = 16). А если таких переменных будет 5, то в таблице будет 32 строки.
Но у нас есть Excel (Execute Cell), который прекрасно понимает формулы логики. Достаточно правильно написать формулу для одной строки — и потом мышкой перетащить эту формулу на остальные строки. Готово!
Итак по частям.
Логическая операция это операция над высказываниями, позволяющая составлять новые высказывания путём соединения более простых.
Логическая связка это союзы или выражения, которые употребляются в естественном языке для соединения простых высказываний в сложные.
Логические операции
Логическая операция И (Конъюнкция)
Конъюнкция (от лат. conjunctio — «союз, связь») — логическая операция, по смыслу максимально приближенная к союзу «и». Синонимы: логическое «И», логическое умножение, иногда просто «И»
И таблица истинности (AND таблица истинности)
=И(A1;B1)
Логическая операция ИЛИ (Дизъюнкция)
Дизъюнкция (от лат. disjunctio — «разобщение») — логическое сложение, логическое ИЛИ, включа́ющее ИЛИ; иногда просто ИЛИ — логическая операция, по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу»
ИЛИ таблица истинности (OR таблица истинности)
=ИЛИ(A1;B1)
Логическая операция отрицания (Инверсия)
Инверсия (от лат. inversio «переворачивание; перестановка») — отрицание — переворачивание смысла, замена «белого» «чёрным»
НЕ таблица истинности (NOT таблица истинности)
=НЕ(A1)
Логическая операция XOR (исключающее ИЛИ)
XOR таблица истинности
В Excel 2007 её нет.
В более современных версиях она есть. Но мы её можем собрать самостоятельно.
=ИЛИ(И(НЕ(A1);B1);И(A1;НЕ(B1)))
Логические связки
Логическая связка Импликация (прямая)
Логическая связка как A → B
используем аналог _A V B
=ИЛИ(НЕ(A1);B1)
Логическая связка Импликация (обратная)
Логическая связка как A ← B
используем аналог A V _B
=ИЛИ(A1;НЕ(B1))
Логическая связка ТОЖДЕСТВО
Используем ЕСЛИ, чтобы логическая связка получилась
=ЕСЛИ(A1=B1;1;0)
или вывод текстом
=ЕСЛИ(A1=B1;"ИСТИНА";"ЛОЖЬ")
Собираем таблицу истинности
Не обязательно собирать всё в одной ячейке. Можно сделать столбцы для промежуточных вычислений.
Для нашего примера _A ∨ B ∨ C ⊕ D
Удобно.
Последние публикации
- Статьи от: Автор
- Рубрика: Блог
- Сортировка: дата публикации по убыванию
Классический вход Windows 7
08.08.2021
Публикация 2 года назад
Как это было в Windows XP Для входа в систему нужно указать: пользователь (login)
пароль В Windows 7 сделали по умолчанию стандартный вход в систему Мышкой выбираем пользователя и вводим только пароль (если он установлен). Как вернуть классический вход в систему Windows 7 и зачем это нужно? Для работы на локальной машине — конечно удобнее стандартный вход. А вот если Вы подключаетесь к удаленной машине через RDP — то ввода только пароля недостаточно. Читаем статью RDP — удаленный рабочий стол Большое количество ботов со всего мира подберет Ваш пароль достаточно быстро (в логах будет по 5-10 попыток в секунду). Читаем статью Включаем шифрование…
(Читать полностью…)
Процессоры AMD FX и их «ядра»
15.12.2020
Публикация 2 года назад
Немного маркетинга в тему — ядра процессоров AMD FX и ядра процессоров Intel AMD FX (AM3+) — хорошие были процессоры. Но есть нюанс. AMD использовала хитрую терминологию — «ядра» и «модули». Это была вершина маркетинга 
Сколько ядер в «восьмиядерном» процессоре AMD FX-8350? Физических ядер в процессоре было 8. Но кэш-память была одна общая на два ядра. Т.е. при полной нагрузке (когда требовались все ресурсы) — все ядра с полной эффективностью работать не могли. Два ядра в одном «модуле» конкурировали за общую кэш-память. Сравним реальное быстродействие с помощью статистики CPU Z Процессор
Одно…
(Читать полностью…)
Загадочная «маска подсети» — это просто
08.12.2020
Публикация 2 года назад
Многие видели в Windows свойства адаптера сети при ручной настройке Многие даже понимают, что IP-адрес 192.168.1.1 — это запись в десятичной форме 32-х бит адреса IP v4 с разбивкой на оксеты (по 8 бит). Что такое «маска подсети»?
Которая 255.255.255.0. И зачем она нужна? Посмотрим в таком же двоичном виде — легко видеть, что это 24 единицы подряд Это просто так айтишники шутят Маска — это и есть маска, она «накладывается» на IP-адрес. Буквально. И далее используется логическое «И» 0 и 0 = 0 0 и 1 = 0 1 и 0 = 0 1 и 1 =1 Первые 24 разряда в IP-адресе не меняются, на выходе получаем адрес с обнулёнными битами в позициях…
(Читать полностью…)
Вычисляем большие числа
04.12.2020
Публикация 2 года назад
Самое известное большое число googol — отсюда собственно название Google 10100 = это 1 единица и 100 нулей Хорошо. А например, 2512 — это сколько? Калькулятор Windows говорит, что это 1,3 * 10154 Тоже неплохо, да и больше чем googol на 54 порядка А как такое число точно узнать? У нас обычно 64 бита в ячейке памяти (разрядность 64), 2512 — это очевидно больше. Легко видеть, что в в двоичной системе это 513 разрядов = одна единица и 512 нулей 2512 = 1*2512 + 0*2511 + ….. + 0*21 + 0*20 Читаем статью про разрядность компьютера А в десятичной системе это сколько точно? Есть замечательный сервис, который умеет точно работать с очень большими…
(Читать полностью…)
Как соединить два роутера проводом?
13.10.2020
Публикация 3 года назад
Предположим, у нас есть «Главный роутер», который управляем всеми нашими устройствами PC. И еще есть: у «Главного роутера» второй WAN-порт
бесхозный ADSL роутер Простой вопрос — как сделать резервирование интернета? Что бы при отсутствии основного интернета можно было подключить и использовать «Роутер ADSL»? Основная статья про сеть здесь Варианты в лоб: использовать только «Роутер ADSL» — но это придется к нему переподключать все конечные ПК
и сетку Wi-Fi придется перестраивать для переподключения мобильных устройств Нехорошо А как бы нам сделать так, что бы просто провод из LAN-порта «Роутера ADSL» включить в…
(Читать полностью…)
Как не надо устанавливать SSD M.2
17.09.2020
Публикация 3 года назад
Иногда вот такая жесть бывает при установке SSD M.2. Небольшой изгиб, так сказать. Основная статья про M.2 тут Интерфейс NVMe и разъемы M.2 и U.2 Как это получилось? Обычно так бывает при самостоятельной сборке ПК из новых комплектующих. SSD M.2 устанавливается под 45% в разъем на плате и потом прижимается винтиком, которые вкручивается в другой винтик на материнской плате. Но почему этот основной винтик «пенек» может отсутствовать на материнской плате? Вот тут хорошо видно проблему SSD может быть разной длины и производитель материнской платы это предусматривает: или устанавливает «пенек» в одну из позиций
или кладет все…
(Читать полностью…)
Как набрать немецкие умляуты (umlaut) на обычной клавиатуре в России?
31.07.2020
Публикация 3 года назад
Будем разбираться с немецкими умляутами Делаем свой набор горячих клавиш (hotkey) для умляутов
Самый удобный вариант Можно использовать левый Alt для заглавной буквы (т.к. клавиша ближе к CapsLock) и правый Alt для прописной буквы. Вот так, например: L Alt
R Alt A
Ä
ä O
Ö
ö U
Ü
ü S
ẞ
ß Здесь символы A, O, U и S — это не буквы, а кнопки на клавиатуре. Как это сделать? Используем программу QuickTextPaste — в ней можно завязать не только отдельные буквы, и целые части текста. Настройки хранятся в C:UsersNameAppDataRoamingQuickTextPasteQuickTextPaste.ini Использование простое: добавляем комбинацию клавиш
…
(Читать полностью…)
Алгебра высказываний – точная наука, не дающая компромиссов. Чтобы решить примеры с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и т. д., можно построить таблицу истинности в прикладной программе Excel. Она оснащена набором логических функций, позволяющих автоматизировать и облегчить процесс нахождения результата.
Математическая логика: основные понятия
Основателем формальной логики считают Аристотеля. В XVII в. Г. Лейбниц предложил вводить символы для определения высказываний. Д. Буль закрепил усвоенные знания и впервые обозначил предложения символами.
Вам будет интересно:Значение выражения «спустить на тормозах»
Схематически «ИСТИНА» замещается 1, а «ЛОЖЬ» – 0.
Под высказыванием понимают любое повествовательное предложение, дающее какую-либо информацию и способное принимать значение истинности или ложности. В алгебре логики отвлекаются от смысловой нагрузки предложений и рассматривают только логические значения.
Под отрицанием понимают новое выражение, принимающее значение истины в случае его ложности и наоборот.
Конъюнкцией двух переменных называют новое предложение, принимающее значение истинности в случае одновременного обозначения «1» и ложности в остальных ситуациях.
Под дизъюнкцией двух высказываний понимают новое выражение, принимающее значение «ЛОЖЬ» только при одновременном наличии «0» и «ИСТИНА» в остальных вариациях.
Импликацией двух переменных называют новое предложение, в котором:
- если посылка истинна, а следствие ложно, то выражение равняется «0»;
- высказывание равняется «1» в остальных случаях.
Под эквиваленцией двух переменных понимают новое высказывание, принимающее значение истинности только в случае одинаковости элементов. Иначе предложение равняется «0».
Логические значения выражений принято оформлять в табличном виде. Есть и другое название у такого рода информации. Говорят, для высказывания нужно построить таблицу истинности. В ней указываются первоначальные значения для всех переменных, а потом вычисляется результат всего выражения.
Алгоритм реализации вычислений в логических операциях
Чтобы построить таблицу истинности, необходимо знать, в каком порядке выполняются действия. В выражении, где несколько операндов, вычисление осуществляется в следующем порядке:
- инверсия (отрицание);
- конъюнкция (логическая функция в Excel «И»);
- дизъюнкция (булев оператор в Excel «ИЛИ»);
- импликация (следствие);
- эквиваленция.
Существуют еще две операции, но для них приоритет не определен:
- штрих Шеффера;
- стрелка Пирса.
Алгоритм вычислений меняется, если выражение заключено в скобки.
Порядок построения табличной формы для логических операндов в Excel
Прежде чем находить значение выражения, нужно изучить понятие формулы алгебры логики. Определение гласит, что это сложное выражение, состоящее из простейших высказываний, соединенных между собой логическими операндами.
Пример 1. Построить таблицу истинности для конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Пример 2. Дана формула алгебры логики. Построить таблицу истинности. Примеры в качестве образца даны ниже.
Пример 3. Как построить таблицу истинности в Excel, если дана формула алгебры логики в словесном описании. Высказывание: «Если треугольник – равносторонний, то все его ребра равны или все его углы равны».
Для начала необходимо разобрать составное предложение на минимальные элементы:
- Первая часть выражения: А = «треугольник равносторонний».
- Вторая: В = «все стороны фигуры равны».
- Третья: С = «все углы треугольника равны».
После этого составляется выражение и решается в программном пакете Excel.
При составлении таблиц истинности важно помнить о порядке выполнения операций.
Автор:
03-12-2018 21:56
Жду ваши вопросы и мнения в комментариях
1) закрепить знания об основных логических операциях и таблицах истинности логических выражений; 2) сформировать навыки построения таблиц истинности (в том числе с использованием электронных таблиц MS Excel); 3) решение задач на построение таблиц истинности логических выражений в электронных таблицах.
Просмотр содержимого документа
«lab_rab_excel»
Просмотр содержимого документа
«Инструкция к работе»
Просмотр содержимого документа
«фрагмент раб тетради к уроку МТВправ»
Просмотр содержимого документа
«технологическая карта урока МТВ правка»
Просмотр содержимого презентации
«к уроку»
Типовое задание № 2
(базовый уровень,
время – 3 мин)
Тема:
Анализ таблиц истинности логических выражений.
Что проверяется:
Умение строить таблицы
истинности и логические схемы.
1.5.1.
Высказывания, логические операции, кванторы, истинность высказывания
1.1.6.
Умение строить модели объектов, систем и процессов в виде таблицы истинности
для логического высказывания
Про обозначения
К
сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной»
математической логике (Ù,Ú,¬), неудобны, интуитивно
непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему
стыду, до сих пор иногда путает Ù и Ú.
Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком
умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+»
(логическое сложение). В разных учебниках используют разные обозначения. К
счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (Ù,Ú,¬), что еще раз подчеркивает проблему.
Что нужно знать:
условные
обозначения логических операций
¬ A, 
не
A (отрицание, инверсия)
A Ù B, 
A и B (логическое
умножение, конъюнкция)
A Ú B, 
A или B
(логическое сложение, дизъюнкция)
A → B импликация (следование)
A º B
эквивалентность (равносильность)
операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:
A → B = ¬ A Ú B или в других обозначениях A → B = 
иногда для упрощения выражений полезны формулы де Моргана:
¬ (A Ù
B) = ¬ A Ú ¬ B 
¬ (A Ú
B) = ¬ A Ù ¬ B 
если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции
«НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», «импликация», и самая последняя –
«эквивалентность»
таблица
истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях
исходных данных
если
известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение
однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать
несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов
входных данных);
количество
разных логических функций, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно 
, где 
– число отсутствующих строк; например, полная
таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 23=8 строчек, если
заданы только 6 из них, то можно найти 28-6=22=4 разных логических функции,
удовлетворяющие этим 6 строчкам (но отличающиеся в двух оставшихся)
логическая
сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все
слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение
истинно)
логическое
произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда,
когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0
(выражение ложно)
логическое
следование (импликация) А→В равна 0 тогда и только тогда, когда A (посылка)
истинна, а B (следствие) ложно
эквивалентность
АºB равна 1 тогда и только тогда,
когда оба значения одновременно равны 0 или одновременно равны 1
По материалам К.Ю. Полякова с сайта ЕГЭ по информатике: подготовка к
ЕГЭ-2022 по информатике, разбор задач ЕГЭ-2022 по информатике, материалы для
подготовки к ЕГЭ (kpolyakov.spb.ru)
Решение задач
второго типа в MS Excel
Алгоритм решения
1.
Составить таблицу входных значения, перечисляя все комбинации переменных в
порядке возрастания двоичного кода. Для этого подсчитать n число переменных в
исходном выражении, выписать наборы входных переменных. Количество
наборов входных переменных 2n.
2. Для каждой строки находим логическое решение. Для этого:
·
Подсчитать
общее число логических операций в выражении;
·
Установить последовательность
выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
3. Выполнить поиск значения функции,
отсортировать данное значение по искомой части (1 или 0).
4. Сопоставить исходную таблицу и вновь
полученную.
Используемые фукции в MS Excel
|
Операция |
Функция |
|
|
Отрицание |
=НЕ |
=ЕСЛИ(A2=1;0;1) |
|
Дизъюнкция |
=ИЛИ |
=ЕСЛИ(ИЛИ(A2=1;B2=1);1;0) |
|
Конъюнкция |
=И |
=ЕСЛИ(И(A2=1;B2=1);1;0) |
|
Импликация |
=ЕСЛИ(И(A2=1;B2=0);0;1) |
|
|
Эквиваленция |
=ЕСЛИ(A2=B2;1;0) |
Примеры:
1 (Задача 158 с сайта К.Ю.
Полякова). Логическая
функция F задаётся выражением ¬x Ù y Ù (w ® z). На рисунке приведён фрагмент
таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при
которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности
функции F соответствует каждая из переменных x, y, z,
w.
|
? |
? |
? |
? |
F |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
В ответе напишите буквы x, y,
z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы.
Решение
1.
Подсчитаем количество переменных: x, y, z, w – 4 переменных, следовательно,
ищем количество наборов по формуле: 2n
= 24 = 16 наборов. Заполняем разными возможными вариантами (см.
рисунок)
2.
Определим наборы операций:
1) ¬x
2) (w ®
z)
3) ¬x Ù y Ù
(w ® z)
Ищем
результаты действий.
Результат вычислений Введенные
формулы
Следующий
шаг это отфильтровать значения 1 по столбцу H:
Сопоставим
с условием:
Анализируем:
0
– всегда X 1 – всегда Y 011 – Z 001
— W
|
y |
x |
z |
w |
F |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Ответ:
YXZW
2(Задача 168 с сайта К.Ю.
Полякова). Логическая
функция F задаётся выражением
x Ú (¬y
Ú z Ú ¬w) Ù (y Ú ¬z). На рисунке приведён фрагмент
таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при
которых функция F ложна. Определите, какому столбцу таблицы истинности
функции F соответствует каждая из переменных x, y, z,
w.
|
? |
? |
? |
? |
F |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
В
ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в
котором идут соответствующие им столбцы.
|
W |
X |
Z |
Y |
F |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
Ответ:
WXZY
3(Задача 178 с сайта К.Ю.
Полякова). Логическая
функция F задаётся выражением (Øz ÚØ
y) ® (x º z). На рисунке приведён частично
заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий
неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F
соответствует каждая из переменных x, y, z.
В
ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором
идут соответствующие им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких
разделителей между буквами ставить не нужно.
Ответ:
YXZ
4 (Задача 188 с сайта К.Ю.
Полякова).
Логическая функция F задаётся выражением (w Ù y) Ú ((x ® w) º (y ® z)). На рисунке приведён частично
заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся
строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует
каждая из переменных x, y, z, w.
|
? |
? |
? |
? |
F |
|
1 |
0 |
|||
|
1 |
1 |
0 |
||
|
1 |
1 |
1 |
0 |
В
ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие
им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами
ставить не нужно.
Ответ:
ZWYX
5 (Задача 198 с сайта К.Ю.
Полякова).
Логическая функция F задаётся выражением
(w ® y) Ù ((x ® z) º (y ® x)). На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы
истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу
таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.
|
? |
? |
? |
? |
F |
|
1 |
0 |
1 |
||
|
0 |
1 |
1 |
||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
В
ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие
им столбцы. Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами
ставить не нужно.
Ответ:
WZXY
Практическая работа
«Построение таблиц истинности для логических выражений в MS Excel»
1. Откройте файл Таблицы Истинности в Excel .xlsx
2. На листе Задание 1. Постройте таблицe истинности для логического
выражения:
(A ∨ B) & (¬ A ∨ B) .
Для этого разбейте сложное выражение на простые. Заполните таблицу по
образцу. Формулы из ячеек C2, D2,E2, F2 скопируйте вниз.
В результате должна получиться следующая таблица
3. На листе Задание 2. постройте таблицу истинности для логического
выражения:
(A ∨ B) & (¬ A ∨ B) .
4. На листе Задание 3. Самостоятельно постройте таблицу истинности для
логического выражения: ¬ A & ¬B & C
5. На листе Задание 4. Самостоятельно постройте таблицу истинности для
логического выражения (¬ A & B) & C
6. Результат работы сохраните в свою папку с именем Логика.xls и покажите
учителю!