Система квадратных уравнений в excel - Word и Excel - помощь в работе с программами

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

f(x)

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

«равно»

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

«равно»

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12686 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: <=B12:E12/D12>.
В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (<=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11>). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (<=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10>). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Квадратное уравнение в Excel

В этой статье вы узнаете как решить квадратное уравнение в Excel на конкретном примере. Подробно разберем решение несложно задачи с картинками.

Ход решения

Запустим программу Microsoft Office Excel. Я пользуюсь 2007 версией. Для начала объединим ячейки A1:A5 и запишем в них формулу квадратного уравнения в виде ax2+bx+c=0.Далее нам нужно возвести x в квадрат, для этого нужно сделать цифру 2 надстрочным интервалом. Выделим двойку и нажмем правой кнопкой мыши.

Получим формулу вида ax 2 +bx+c=0

В ячейке A2 введем текстовое значение a= , в ячейке A3 b= и в ячейке A4 с= соответственно. Эти значения будут вводиться с клавиатуры в следующих ячейках (B2,B3,B4).

Введем текст для значений, которые будут считаться. В ячейке C2 d=, C3 x₁= C4 x₂=. Подстрочный интервал для xсделаем аналогично надстрочному интервалу в x 2

Перейдем к вводу формул для решения

Дискриминант квадратного трехчлена равен b 2 -4ac

В ячейку D2 введем соответствующую формулу для возведения числа во вторую степень:

Квадратное уравнение имеет два корня, в случае если дискриминант больше нуля. В ячейку C3 введем формулу для x₁

Для расчета x2 введем похожую формулу, но со знаком плюс

Соответственно при введенных значениях a,b,c сначала считается дискриминант, если его значения меньше нуля выводится сообщение «Корней нет», иначе получаем значения x₁ и x₂.

Защита листа в Excel

Нам нужно защитить лист, на котором мы производили расчеты. Без защиты нужно оставить ячейки, в которые можно вводить значения a,b,c, то есть ячейки B2 B3 B4. Для этого выделим данный диапазон и зайдем в формат ячеек, перейдем во вкладку Рецензирования, Защитить лист и уберем флажок с позиции Защищаемая ячейка. Нажмем кнопку OK, подтвердив внесенные изменения.

Этот диапазон ячеек будет не защищен при защите листа. Выполним защиту листа, для этого перейдем на вкладку Рецензирование пункт Защита листа. Пароль наберем 1234. Нажмем OK.

Теперь мы сможем изменять значения ячеек B2,B3,B4. При попытке изменения других ячеек мы получим сообщение следующего содержания: «Ячейка или диаграмма защищена от изменений. А так же совет по снятию защиты.

Так же вас может заинтересовать материал как закрепить область в Экселе.

источники:

http://exceltable.com/otchety/reshenie-uravneniy

http://abuzov.ru/kvadratnoe-uravnenie-v-excel-reseno/

Источник

Квадратное уравнение в Excel

Ход решения

Получим формулу вида ax 2 +bx+c=0

Перейдем к вводу формул для решения

Дискриминант квадратного трехчлена равен b 2 -4ac

В ячейку D2 введем соответствующую формулу для возведения числа во вторую степень:

Для расчета x2 введем похожую формулу, но со знаком плюс

Защита листа в Excel

Так же вас может заинтересовать материал как закрепить область в Экселе.

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Варианты решений

Способ 1: матричный метод

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Способ 2: подбор параметров

f(x)

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

«равно»

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

Способ 4: метод Гаусса

«равно»

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12708 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Решение систем уравнений в среде Microsoft Excel

обучающие:

повторение и закрепление знаний учащихся правил записи арифметических выражений и формул в электронных таблицах;
повторение алгоритма решения систем уравнений;
формирование знаний и умений в решении систем уравнений, используя возможности электронных таблиц;

развивающие:

формирование умений анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии;

воспитывающие:

осуществление эстетического воспитания;
воспитание аккуратности, добросовестности.

Тип урока: урок закрепления изученного материала и объяснения нового.

ХОД УРОКА

I. Организационная часть.

Здравствуйте! Все мы знаем, что одну и ту же информацию можно закодировать любым способом. Перед вами набор чисел. Известно, что каждому числу ставится в соответствие буква в русском алфавите. Расшифруйте эту информацию, кто быстрее!

Ответ: “Знание – сила!”

Молодцы! А знаете, кому принадлежит это выражение? (Если нет, то один ученик ищет ответ в Интернете. Остальные отвечают на вопросы: Для чего предназначена программа Excel? (Программа Excel предназначена для хранения и обработки данных, представленных в табличном виде) Что собой представляет документ в Excel? (Каждый документ в Excel представляет собой набор таблиц – рабочую книгу, которая состоит из одного или многих рабочих листов) Какая функция используется для подсчета суммы чисел? (Функция СУММ). Как определить адрес ячейки? (Excel вводит номера ячеек автоматически. Адрес ячейки составляется как объединение номеров столбца и строки без пробела между ними)

Выражение английского философа Френсиса Бэкона “Знание – сила!” и будет эпиграфом к нашему уроку. («Нравственные и политические очерки», 1597).

II. Повторение пройденного материала.

Мы уже знакомы с программой Microsoft Excel, умеем записывать арифметические выражения и различные формулы, находить значения арифметических выражений и построить графики функций. Чтобы проверить выполнение домашнего задания, предлагаю каждому пройти тестирование. (Приложение 1)

Хорошо, все справились и каждому поставим соответствующие оценки в журнал. А давайте устроим путешествие в математику и вспомним, что мы понимаем под понятием: “Решить систему уравнений”? (Найти такие значения х и у, которые будут удовлетворять и первое уравнение и второе). Какие способы существуют для решения систем уравнений (метод подстановки, метод сложения и графический способ). Сегодня мы с вами научимся решать системы уравнений, используя возможности электронных таблиц.

III. Объяснение нового.

А. Решим систему графическим способом. Преобразуем данную систему . Для решения воспользуемся диаграммой, на которой отобразим графики обеих функций. Заполняем столбец А: заполняем ячейки А2:А22 числами от -5 до 5 с шагом 0,5. (в ячейку А2 заносим число -5, в ячейку А3 – число -4,5, выделяем ячейки А2 и А3, установим курсор мыши на правый нижний угол рамки (указатель примет форму черного крестика) и растягиваем рамку вниз, пока последнее значение не станет равным 5). При заполнении столбца В в ячейку В2 заносим формулу =А2*А2, которую затем копируем до ячейки В22. (протянем формулу за правый нижний угол). При заполнении столбца С в ячейку С2 заносим формулу =1-2*А2, копируем ее до ячейки С22. Выделим блок с данными, с помощью Мастера диаграмм выберем тип диаграммы Точечная и построим графики функций. Координаты точек пересечения графиков – решения системы.

Получены приближенные значения решений. Чем меньше шаг, тем точнее значение координат точек пересечения.

Запишем алгоритм решения систем уравнений графическим способом:

1. Преобразовать систему уравнений, если это необходимо.

2. Задать начальные значения для Х.

3. Найти значение первой функции при заданных Х.

4. Найти значение второй функции при тех же Х.

5. Выделить блок с данными и построить графики функций, используя точечный тип диаграммы.

6. Решение системы — точка пересечения графиков функций.

7. Для нахождения координат точек пересечения с заданной точностью построить новый график на том отрезке, где находится решение, с шагом, равным значению точности.

Б. Решить систему уравнений . Занесем в электронную таблицу исходные данные и расчетные формулы следующим образом:.

Для решения системы уравнений воспользуемся надстройкой Поиск решения, которая запускается через Сервис (-Надстройки) и заполним диалоговое окно следующим образом:

При нажатии на кнопку Выполнить происходит решение системы уравнений и в ячейках B3 и B4 высвечивается результат.

Запишем примерный алгоритм решения системы уравнений, используя Поиск решения

1. Преобразовать систему уравнений, если это необходимо

2. Записать исходные данные (в ячейку А1 ввести текст “Решите уравнение”, в ячейку В1 записать первое уравнение, в ячейку В2 второе уравнение, в ячейку А3 ввести текст “Х=”, в ячейку А4 “Y=”, в ячейку А5 “уравнение 1”, в ячейку А6 “уравнение 2”. В ячейке B3 хотим получить значение Х, в ячейке В4 – значение Y, их оставляем пустыми.

3. В ячейку В5 переписать уравнение 1, используя правило записи арифметических выражений, следующим образом: в левой части вместо Х указывать ячейку В3, вместо Y ячейку В4, правую часть отбросить. Таким же образом переписать левую часть второго уравнения в ячейку В6.

4. Выбрать команду Сервис – Поиск решения.

5. Установить целевую ячейку — ту ячейку, в которой содержится формула, например, В5 и задать значение, равное значению правой части первого уравнения

6. В поле “изменяя ячейки” указать ячейки, в которых хотим увидеть ответ (В3 и В4)

7. Вести ограничение $B$6 = -3. Для этого щелкнуть на кнопке Добавить и в полученном окне установить реквизиты следующим образом: в поле Ссылка на ячейку указать ячейку, в которой записана левая часть другого уравнения, в другом поле выбрать знак “=”, в третьем ввести число, равное значению правой части. Закрыть окно Добавить ограничение, щелкнув кнопкой ОК

8. Решить систему уравнений, щелкнув кнопкой Выполнить

IV. Практическая работа на компьютере.

А. Решите систему уравнений графическим способом

Б. Решите систему уравнения, воспользовавшись командой Поиск решения:

А. Решите систему уравнений графическим способом

Б. Решите систему уравнения, воспользовавшись командой Поиск решения:

V. Подведение итогов.

Повторить алгоритмы решения систем уравнений

Выставить оценки за тестирование в журнал

VI. Домашнее задание.

Решить рациональным способом системы уравнений:

;

источники:

http://lumpics.ru/how-solve-system-equations-excel/

http://urok.1sept.ru/articles/510787

Источник

Многие задачи математики и статистики приходится решать электронно. В этом уроке мы подробно разберем, как без сложностей решить систему уравнений в Excel. Используя предложенные методики, вы сможете быстро и правильно справится даже с самыми сложными уравнениями.

Метод Гаусса для простых уравнений

Для простых уравнений, где три или меньше неизвестных, можно воспользоваться методом Гаусса. Вы можете решить одно уравнение или несколько одновременно. Будем решать по следующим данным:
2x+3y=12
3x−y=7.

Вставим наши уравнения в ячейки (желательно их оформить у самого края электронной книги).

Чуть ниже на этой странице делаем две небольшие таблицы, куда будут вноситься коэффициенты и свободные члены. Для этого оформим несколько ячеек со значением А (для коэффициентов) и несколько с шапкой В (для свободных членов)

Важно!

Будьте внимательны при внесении записей, все значения, которые расположены после знака равно, записываются в табличку В.

Теперь занимаемся первым уравнением. Для этого скопируем первую матрицу вместе со значением после знака равно. Размещаем ее ниже наших табличек на одну строчку.

Далее в ячейку ниже вводим подготовленную формулу: =B8:E8-$B7:7:E7∗(B8/7*(B8/B$7). Затем нажимаете комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. Во всей строке проставятся точные значения.

Далее вам нужно скопировать эту строку и продублировать ее на ячейку ниже. Теперь скопируем две первые строчки после пустующей строки. Для этого выделим их и нажмем комбинацию CTRL+C или при помощи встроенного инструмента «Копировать» на панели управления.

Отступаем одну строчку и на следующей делаем выделение пустой ячейки курсором мыши. Затем вызываем выпадающий список путем нажатия на правую кнопку мыши. Теперь выбираем пункт «Специальная вставка», появится дополнительный список, в котором необходимо отметить «Вставить значения».

Как видим, в нашем случае высвечивается ошибка о запрете деления на «0». В вашем случае, это будут другие значения.

В дальнейшем вам необходимо сделать обратную прогонку. Для этого отступим три пустые строки на странице, а в четвертую вставим формулу: =B17:E17/D17. Затем выделяем строчку и жмем все ту же комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате, при проведении правильных расчетов вы должны получить ответы на буквенные символы. Однако, этот метод требует внимательности и точного ввода формул, с чем не каждый пользователь справляется, поэтому рассмотрим другой вариант для решения.

Полезно знать!

Аналогичным способом проводим вычисление неизвестных аргументов для второго и третьего уравнений, если они присутствуют, и представляют собой целую систему.

Решение квадратного уравнения с подбором параметров

Предположим, есть буквенное выражение 5×2 + 3x + 7 = 0. Чтобы его решить вручную, придется тратить время на каждое действие. При помощи Excel, а именно подбора параметров, сделать это можно в считанные минуты.

Открываем новый лист Excel и вносим уравнение в первую ячейку. Отступим одну строку вниз и пропишем значение для Х=0. Далее будем высчитывать его через строку формул F(х), обязательно прописываем выражение в отдельной ячейке.

После этого заносим следующую формулу после знака равно в строке формул. Обязательно учитывайте, что ваши значения будут другими. Делайте на примере нашего выражения. Итак, вставляем =5x^2+3 x+7, при этом вместо значения X вы должны вставить адрес ячейки, в которой обозначено, за какое число принято неизвестное, то есть «0». Затем нажимаем кнопку ENTER.

В ячейке, отвечающей за значение в строке формулы, вы получаете конкретное число. Теперь заходим во вкладку «Данные», переходим к пункту «Анализ «что, если»». Нажимаем на него и открываем дополнительный список, в котором кликаем по записи «Подбор параметра».

Перед вами открывается окно с ячейками для заполнения. Нам необходимо прописать значения во всех трех ячейках. Давайте сделаем все по порядку. В поле «Установить в ячейке» прописываем адрес ячейки с найденным числом. Следующее поле «Значение» ставим «0», а в ячейке «Изменяя значение», указываем адрес значения X, то есть ту графу, где прописан «0». После проделанных манипуляций нажимаем кнопку «Ок».

Важно!

Обратите внимание, при правильном вводе всех данных начнется автоматический расчет с посекундным изменением чисел в ячейках. Поэтому дождитесь остановки и внесите подтверждение для всплывшего окна.

Теперь в появившемся окне нажимаем кнопку «ОК» для сохранения. Мы видим, что программа нашла ответ на наше уравнение, это будет «-1». Таким образом мы разобрали самые простые способы решения уравнений, с которыми разберётся даже начинающий пользователь офисной программы Microsoft Excel.

Источник

Содержание

Варианты решений
- Способ 1: матричный метод
- Способ 2: подбор параметров
- Способ 3: метод Крамера
- Способ 4: метод Гаусса
Вопросы и ответы

Варианты решений

Способ 1: матричный метод

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Теперь для нахождения корней уравнения, прежде всего, нам нужно отыскать матрицу, обратную существующей. К счастью, в Эксель имеется специальный оператор, который предназначен для решения данной задачи. Называется он МОБР. Он имеет довольно простой синтаксис:
=МОБР(массив)

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОБР. Оно по числу аргументов имеет всего одно поле – «Массив». Тут нужно указать адрес нашей таблицы. Для этих целей устанавливаем курсор в это поле. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем область на листе, в которой находится матрица. Как видим, данные о координатах размещения автоматически заносятся в поле окна. После того, как эта задача выполнена, наиболее очевидным было бы нажать на кнопку «OK», но не стоит торопиться. Дело в том, что нажатие на эту кнопку является равнозначным применению команды Enter. Но при работе с массивами после завершения ввода формулы следует не кликать по кнопке Enter, а произвести набор сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter. Выполняем эту операцию.

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Урок: Обратная матрица в Excel

Способ 2: подбор параметров

3x^2+4x-132=0

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:
=3*x^2+4*x-132

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Урок: Подбор параметра в Excel

Способ 3: метод Крамера

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:
=МОПРЕД(массив)

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

14x1+2x2+8x3=110 7x1-3x2+5x3=32 5x1+x2-2x3=17

Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:
=B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:
=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:
=B17:E17/D17

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:
=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:
=(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Еще статьи по данной теме:

Помогла ли Вам статья?

Источник

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Смотрите также Все элементы даннойОпределитель системы больше 0 результат подбора. Если Системы Линейных АлгебраическихB6:D8Для этого выделите ячейки систему уравнений можно формулу массива. ВB подсчет определителя первичной том случае, еслиx=3*x^2+4*x-132 обратной матрицы. Для мыши и выделяем

порядку с учетомУмение решать системы уравнений

Варианты решений

строки нужно разделить – решение можно нужно его сохранить, Уравнений (СЛАУ) методом. Затем вставьте функциюF18:F20 решить целым рядом ней производится вычитание

Способ 1: матричный метод

. Но на этот матрицы. Процедура происходит все определители будут.Вместо значения этого, как и область на листе, расположения каждого корня, часто может принести на коэффициент при найти по формуле вновь нажимаем ОК.

обратной матрицы вMINVERSE, а в Строке формул введите =МУМНОЖ(A18:C20;F11:F13), способов, каждый из из третьей строки раз сблизим обе все по тому иметь значение, отличноеУрок:«X» в прошлый раз, в которой находится которому они соответствуют. пользу не только с. Введем в Крамера (D В противном случае MS EXCEL.(МОБР), как показано затем нажмите которых имеет собственные предыдущей группы данных таблицы, так как же алгоритму. Как от нуля. Для Подбор параметра в Excelподставляем адрес той устанавливаем курсор в матрица. Как видим, Если в каком-то в учебе, но строку формулу массива:x – «Отмена».

Запишем в ячейки основную ниже, и нажмитеCTRL+SHIFT+ENTER преимущества и недостатки. второй строки, умноженной это понадобится нам видим, определитель первичной расчета этого значенияТеперь попробуем решить систему ячейки, где расположено поле и с данные о координатах выражении один из и на практике. {=B12:E12/D12}./ |A|).Для подбора параметра программа матрицу системы иCtrl+Shift+Enter. Но все эти на отношение второго для работы в
таблицы тоже отличный в Экселе опять уравнений методом Крамера. число зажатой левой кнопкой размещения автоматически заносятся
корней отсутствует, то В то жеВ строке 15: отнимемДля расчета Х использует циклический процесс. столбец свободных членов. .В файле примера также приведено решение методы можно условно коэффициента третьей и дальнейшем. Важным условием от нуля, а
имеется отдельная функция

Для примера возьмем0 мыши выделяем курсором в поле окна.

в этом случае время, далеко не от второй строки1 Чтобы изменить числоОпределитель основной матрицы вычислим=MINVERSE(B2:D4) системы 4-х и разделить на две
второй строки. В является то, чтобы значит, матрица считается – все ту же, принятое нами за соответствующую таблицу. Аналогичное После того, как коэффициент считается равным каждый пользователь ПК третью, умноженную на: =U2/$U$1, где U2 итераций и погрешность,
с помощью формулы =МОПРЕД(A11:C13)=МОБР(B2:D4) 5-и уравнений. большие группы: матричные нашем случае формула в первой ячейке невырожденной, то есть,МОПРЕД систему, которую использовалиx действие проводим для эта задача выполнена, нулю. Если коэффициент знает, что в коэффициент при с – D1. Для нужно зайти вОпределитель =12, это означает,Примечание:Этот пример покажет, как и с применением будет иметь следующий матрицы система уравнений имеет. Синтаксис данного оператора в. внесения координат в наиболее очевидным было не обозначен в Экселе существует собственные второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). расчета Х параметры Excel. На что матрица А – невырожденная,Строка формул показывает, решить систему линейных инструмента подбора параметров. вид:A решения. следующий:
Способе 1Переходим во вкладку поле бы нажать на уравнении, но соответствующий варианты решений линейных
В строке 14:2 вкладке «Формулы» установить то есть, ее что ячейки содержат уравнений в Excel. В некоторых случаях=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)значение было отличнымТеперь пора найти корни=МОПРЕД(массив):«Данные»«Массив2» кнопку корень имеется, то
уравнений. Давайте узнаем,

от первой строки: =U3/$U$1. И т.д. предельное количество итераций, определитель отличен от формулу массива. Это К примеру, у не всегда матричныеПосле ввода формулы выделяем
от нуля. В уравнения. Корень уравненияТаким образом, как и14. Жмем на кнопку, только на этот«OK» считается, что коэффициент как с применением отнимаем вторую и
Получим корни уравнений: относительную погрешность. Поставить нуля. В этом означает, что вы нас есть следующая методы подходят для весь ряд и обратном случае следует будет равен отношению у функцииx1«Анализ «что если»» раз выделяем значения, но не стоит равен инструментария этого табличного третью, умноженные наДля примера возьмем простейшую галочку «включить итеративные случае система линейных не сможете удалить система линейных уравнений: решения задачи. В применяем сочетание клавиш переставить строки местами. определителя соответствующей преобразованнойМОБР+2. Эта кнопка размещена колонки торопиться. Дело в1
процессора выполнить данную соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). систему уравнений: вычисления». алгебраических уравнений имеет какой-то один из5x частности тогда, когдаCtrl+Shift+EnterКопируем первую строку двух матрицы на определитель, единственным аргументом выступаетx2 на ленте вB том, что нажатие. Обозначаем полученную таблицу, задачу различными способами. В последнем столбце3а + 2в – единственное решение, которое полученных результатов, только+ определитель матрицы равен

. соединенных матриц в

Способ 2: подбор параметров

первичной таблицы. Таким ссылка на обрабатываемую+8 блоке инструментов. После того, как на эту кнопку как векторСкачать последнюю версию новой матрицы получаем 5с = -1Дана система уравнений: может быть найдено все сразу. Чтобы

1y

нулю. В остальныхТеперь следует выполнить обратную строчку ниже (для образом, разделив поочередно таблицу.x4«Работа с данными» вышеуказанные действия проведены,
является равнозначным применению

A Excel корни уравнения.2а – вЗначения элементов введем в методом Крамера. удалить все результаты,+ же случаях пользователь
прогонку по методу наглядности можно пропустить все четыре определителяИтак, выделяем ячейку, в=218. Открывается выпадающий список. опять не спешим команды.Любое уравнение может считатьсяВычисления в книге должны – 3с = ячейки Excel в
Теперь последовательно будем заменять выделите диапазон8z сам волен решать, Гаусса. Пропускаем три одну строку). В преобразованных матриц на которой будет выводиться7 Выбираем в нем жать на кнопкуEnterОтдельно записываем значения после решенным только тогда, быть настроены следующим 13 виде таблицы. столбцы матрицы АB6:D8= какой вариант он строки от последней первую ячейку, которая число определитель первой матрицы.x1 позицию«OK»
. Но при работе знака «равно». Обозначаем когда будут отысканы образом:а + 2вНайдем обратную матрицу. Выделим на столбец свободныхи нажмите клавишу46
считает более удобным записи. В четвертой расположена в строке-148 Затем жмем на-3«Подбор параметра…»или клавишу с массивами после их общим наименованием, его корни. ВДелается это на вкладке

– с = диапазон, куда впоследствии членов и вычислятьDelete4x для себя.

строке вводим формулу ещё ниже предыдущей,

Способ 3: метод Крамера

, которое является определителем знакомую по предыдущимx2.Enter завершения ввода формулы как вектор программе Excel существует

«Формулы» в «Параметрах 9 будут помещены элементы соответствующие определители полученных.—Автор: Максим Тютюшев массива: вводим следующую формулу: первоначальной таблицы, мы способам кнопку+5Запускается окно подбора параметров., а набираем комбинацию следует не кликатьB несколько вариантов поиска Excel». Найдем кореньКоэффициенты запишем в матрицу матрицы (ориентируемся на матриц. Отношение определителейИспользуйте функцию2yРешим Систему Линейных Алгебраических=B17:E17/D17 =B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7) получим четыре корня.«Вставить функцию»x3 Как видим, оно клавиш по кнопке. корней. Давайте рассмотрим

уравнения х – А. Свободные члены количество строк и позволяет вычислить переменныеMMULT= Уравнений (СЛАУ) методомТаким образом, мы делимЕсли вы расположили матрицы Как видим, они
.+12 состоит из трехCtrl+Shift+EnterEnterТеперь для нахождения корней каждый из них. х3 + 1 – в матрицу столбцов в исходной х.(МУМНОЖ), чтобы вернуть12 обратной матрицы в последнюю рассчитанную нами
по-другому, то и равны значениямАктивируется окноx4 полей. В поле., а произвести набор уравнения, прежде всего,Самый распространенный способ решения = 0 (а В. матрице). Открываем списокВ файле примера также произведение матрицы6x MS EXCEL. В
строку на её

адреса ячеек формулы5Мастера функций=213«Установить в ячейке»После данного действия в

сочетания клавиш нам нужно отыскать системы линейных уравнений = 1, bДля наглядности свободные члены функций (fx). В приведено решение системыA-1
+ этой статье нет же третий коэффициент. у вас будут,. Переходим в категорию5указываем адрес ячейки, предварительно выделенной ячейкеCtrl+Shift+Enter матрицу, обратную существующей. инструментами Excel –
= 2) методом выделим заливкой. Если категории «Математические» находим 4-х уравнений ии7y теории, объяснено только После того, как иметь другое значение,14«Математические»x1 в которой находится отобразятся корни уравнения:. Выполняем эту операцию. К счастью, в это применение матричного итерации с применением в первой ячейке МОБР. Аргумент – прямая проверка решения.B+ как выполнить расчеты,
набрали формулу, выделяем но вы сможете,и среди списка+ формулаX1Итак, после этого программа Эксель имеется специальный метода. Он заключается
циклических ссылок. Формула: матрицы А оказался массив ячеек с
В программе Excel имеется. Сперва выделите диапазон4z используя MS EXCEL. всю строчку и высчитать их, сопоставив8 операторов выделяем тамx2f(x), производит вычисления и
оператор, который предназначен в построении матрицыХ 0, нужно поменять элементами исходной матрицы. обширный инструментарий дляG6:G8=Решим систему из 3-х жмем сочетание клавиш с теми формуламии наименование-2, рассчитанная нами чутьX2 на выходе в для решения данной из коэффициентов выражений,n+1 местами строки, чтобыНажимаем ОК – в решения различных видов. Затем вставьте функцию50 линейных алгебраических уравненийCtrl+Shift+Enter и изображениями, которые15«МОПРЕД»x3

Способ 4: метод Гаусса

ранее. В поле, предварительно выделенной области задачи. Называется он а затем в= X

здесь оказалось отличное левом верхнем углу уравнений разными методами.MMULTВ матричном представлении ее с помощью обратной. приводятся здесь.. Таким образом, они. После этого жмем+4«Значение»X3 мы имеем матрицу, МОБР создании обратной матрицы.n от 0 значение. диапазона появляется значение.Рассмотрим на примерах некоторые(МУМНОЖ), которая показана

можно записать в матрицы (матричным методом). Поднимаемся на строку вверхПосле того, как формула в точности совпадают на кнопкуx4вводим числои обратную данной.. Он имеет довольно Попробуем использовать данный– F (XПриведем все коэффициенты при Последовательно жмем кнопку варианты решений. ниже, и нажмите видеСОВЕТ и вводим в введена, выделите весь с корнями, которые
«OK»=83«0»X4Теперь нам нужно будет простой синтаксис: метод для решенияn а к 0.
F2 и сочетание

Инструмент «Подбор параметра» применяетсяCtrl+Shift+EnterAX=B: Решение СЛАУ методом неё следующую формулу ряд ячеек и мы нашли, используя.6. В поле

. Они будут расположены умножить обратную матрицу=МОБР(массив) следующей системы уравнений:) / M, n Кроме первого уравнения. клавиш Ctrl + в ситуации, когда.. Крамера приведено в массива: нажмите комбинацию клавиш обратную матрицу вЗапускается окно аргументов функции
x1«Изменяя значения» последовательно. Таким образом, на матрицу
Аргумент14 = 0, 1, Скопируем значения в Shift + Enter. известен результат, но=MMULT(B6:D8,G2:G4)5
статье Решение Системы Линейных=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16Ctrl+Shift+Enterспособе 1МОПРЕД+2указываем адрес ячейки, можно сказать, чтоB«Массив»x1 2, … . первой строке двух
Умножим обратную матрицу Ах-1х неизвестны аргументы. Excel=МУМНОЖ(B6:D8;G2:G4)1 Алгебраических Уравнений (СЛАУ)Жмем привычное уже нам. К ряду будет, что подтверждает правильность. Как видим, оноx2 в которой расположено мы решили данную
, которая состоит из

— это, собственно,+2M – максимальное значение матриц в ячейки на матрицу В
подбирает значения доСоедините результаты. Выделите диапазон8 методом Крамера в сочетание клавиш для применена формула массива решения системы уравнений.
имеет только одно

+ значение систему. Для того, одного столбца значений, адрес исходной таблицы.x2 производной по модулю. В6:Е6. В ячейку (именно в таком тех пор, пока
G6:G8x MS EXCEL. применения формулы массива.
и он будет

Решить систему уравнений можно поле –x3
x чтобы проверить правильность расположенных после знакаИтак, выделяем на листе
+8

Чтобы найти М, В7 введем формулу: порядке следования множителей!). вычисление не даст. Вставьте обобщенную формулу
46Запишем в ячейки основнуюПоднимаемся ещё на одну заполнен значениями. Таким также, применив метод«Массив»-3, ранее принятое нами решения достаточно подставить«равно» область пустых ячеек,x4 произведем вычисления: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон Выделяем диапазон, где нужный итог. (показана ниже) иПри А= матрицу системы и строку выше. В образом мы произвели Гаусса. Для примера

. В это полеx4 за в исходную системув выражениях. Для которая по размеру=218f’ (1) = -2 В7:Е7. Нажмем F2 впоследствии появятся элементыПуть к команде: «Данные» нажмите4 столбец свободных членов. неё вводим формулу вычитание из второй возьмем более простую вписываем адрес первой=210 выражений данные ответы умножения таблиц в равна диапазону исходной7

* f’ (2)

lumpics.ru

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы в MS EXCEL

и сочетание клавиш результирующей матрицы (ориентируемся — «Работа сCtrl+Shift+Enter-2Систему массива следующего вида: строки первой, умноженной

систему уравнений из преобразованной матрицы. ДляКак и в первом. После выполнения данных

 вместо соответствующих корней. Экселе также имеется матрицы. Щелкаем поx1 = -11. Ctrl + Shift на число строк

данными» — «Анализ.0

n =(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15 на отношение первых трех неизвестных: этого устанавливаем курсор способе, составляем матрицу действий жмем на Если равенство будет отдельная функция, которая кнопке-3Полученное значение меньше 0. + Enter. Мы и столбцов матрицы «что-если»» — «Подбор

=MMULT(MINVERSE(B2:D4),G2:G4),линейных алгебраических уравнений с

Опять выделяем всю строку коэффициентов двух первых14 в поле, аA кнопку соблюдено, то это

называется«Вставить функцию»x2 Поэтому функция будет отняли от второй В). Открываем диалоговое

параметра».=МУМНОЖ(МОБР(B2:D4);G2:G4)X=n и применяем сочетание выражений системы.

x1 затем выделяем матричныйиз коэффициентов уравнений

excel2.ru

Система линейных уравнений в Excel

«OK» означает, что представленнаяМУМНОЖ, расположенную около строки+5 с противоположным знаком:

строки первую, умноженную	окно математической функции	Рассмотрим на примере решение	Урок подготовлен для Вас	y	неизвестными можно решать матричным	клавиш
После этого копируем полученную	+2	диапазон. После этого			и таблицу	.
система уравнений решена	. Данный оператор имеет	формул.	x3	f (х) =	на отношение первых	МУМНОЖ. Первый диапазон

квадратного уравнения х2 командой сайта office-guru.ru, методом только тогда,Ctrl+Shift+Enter

	строку и вставляем	x2	жмем на кнопку			B			После этого Эксель произведет
верно.	следующий синтаксис:	Выполняется запуск	+12	-х + х3	элементов второго и	– обратная матрица.	+ 3х +	Источник: http://www.excel-easy.com/examples/system-of-linear-equations.html	B=
	когда определитель основной	.	её в строчку			+8			«OK»

из значений, которые вычисление с помощьюУрок:=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)Мастера функцийx4 – 1. М первого уравнения. Второй – матрица 2 = 0.Перевела: Ольга Гелих12

матрицы системы отличенТеперь смотрим на числа, ниже.x3. Данная функция выводит стоят после знака подбора параметра. ОбОбратная матрица в ExcelВыделяем диапазон, в нашем. Переходим в категорию=213 = 11.Копируем введенную формулу на
В.
Порядок нахождения корня

Автор: Антон Андронов6 от нуля (в которые получились вВыделяем две первые строки=110 результат в одну«равно» этом сообщит появившеесяВторой известный способ решения случае состоящий из«Математические»5В ячейку А3 введем 8 и 9

Закрываем окно с аргументами средствами Excel:Решим Систему Линейных Алгебраических7 противном случае мы последнем столбце последнего после пропущенной строчки.7 ячейку, а не. информационное окно. В системы уравнений в четырех ячеек. Далее. В представившемся спискеx1
значение: а =
строки. Так мы
функции нажатием кнопкиВведем в ячейку В2 Уравнений (СЛАУ) методом4 имеем линейно зависимые блока строк, рассчитанного Жмем на кнопку
x1
массивом, поэтому для

Далее делаем ещё четыре нем следует нажать
Экселе – это
опять запускаем

ищем наименование

office-guru.ru

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Крамера в MS EXCEL

+ 1. Точность – избавились от коэффициентов ОК. Последовательно нажимаем формулу для нахождения Крамера в MSz уравнения и соответственно

нами ранее. Именно«Копировать»-3 получения расчета не таблицы. Каждая из на кнопку применение метода подбораМастер функций

«МОБР»x2

 три знака после перед а. Сохранили кнопку F2 и значения функции. В EXCEL. В этой50 решение систем не эти числа (

, которая расположена наx2 нужно прибегать к

них является копией«OK»

параметров. Суть данного, нажав значок. После того, как-2 запятой. Для расчета только первое уравнение. комбинацию Ctrl + качестве аргумента применим статье нет теории,Если

единственное). В нашем4 ленте во вкладке+5 нажатию комбинации клавиш матрицы. метода заключается в

«Вставить функцию» оно отыскано, выделяемx3 текущего значения х

excel2.ru

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

Приведем к 0 коэффициенты Shift + Enter. ссылку на ячейку объяснено только как

А-1 случае определитель =12.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

,«Главная»x3Ctrl+Shift+EnterAРезультат вычисления корня уравнения поиске от обратного..

его и жмем+4 в соседнюю ячейку перед в вПолучены корни уравнений.

В1. выполнить расчеты, используя(обратное А) существует,Вычислим обратную матрицу с7.

=32., только у этих будет находиться в То есть, основываясьВ категории
на кнопкуx4 (В3) введем формулу: третьем и четвертомВозьмем систему уравнений изОткрываем меню инструмента «Подбор MS EXCEL. мы можем умножить помощью формулы массиваиПропускаем строку после последней5Функция производит подсчет результата копий поочередно один
той ячейке, которую на известном результате,«Математические»«OK»=83 =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

уравнении. Копируем строки предыдущего примера: параметра». В графеМетод Крамера применяется для обе части на МОБР().5 записи на листе.x1 и выводит его столбец заменен на

мы назначили в

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

мы производим поиск

, запустившегося.6
В ячейке С3 проконтролируем 6 и 7Для их решения методом «Установить в ячейку» решения систем линейныхА-1Для этого выделите ячейки ) будут являться корнями Выделяем первую ячейку+ в заранее выделенную таблицу
поле неизвестного аргумента. ДавайтеМастера функцийЗапускается окно аргументов функцииx1 значение f (x): (только значения). Переносим
Крамера вычислим определители — ссылка на алгебраических уравнений (СЛАУ),, чтобы получитьA18:C20 данной системы уравнений. в следующей строке.x2 ячейку. Как видим,B«Изменяя значения» для примера используем, выделяем наименованиеМОБР+2
с помощью формулы их ниже, в матриц, полученных заменой ячейку В2, где в которых числоX=A-1B

, а в Строке

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Проверить это можно, Кликаем правой кнопкой

-2 в нашем случае. У первой таблицы. В нашем случае, квадратное уравнение«МУМНОЖ»

. Оно по числуx2 =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1. строки 10 и

одного столбца в находится формула. В неизвестных переменных равно

. Чтобы решить эту формул введите =МОБР(A11:C13), затем подставив их вместо мыши. В открывшемся_x3 определитель равен

– это первый_{как видим,}3x^2+4x-132=0и жмем на аргументов имеет всего₊Корень уравнения – 1,179. 11. Эти данные

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

матрице А на поле «Значение» вводим

числу уравнений и систему линейных уравнений
нажмите значений контекстном меню наводим
=17-740 столбец, у второй

xПринимаем значение кнопку одно поле –

x3 Введем в ячейку должны остаться неизменными. столбец-матрицу В. 0. Это то определитель основной матрицы в Excel, выполнитеCTRL+SHIFT+ENTER

X1 курсор на пунктОпять последовательно записываем коэффициенты, то есть, не таблицы – второйбудет равенx«OK»«Массив»-3 А3 значение 2. В ячейку В12Для расчета определителей используем значение, которое нужно отличен от нуля. следующие действия:.,
«Специальная вставка» в таблицу является равным нулю, и т.д.6за равное
.. Тут нужно указатьx4 Получим тот же вводим формулу массива. функцию МОПРЕД. Аргумент получить. В графеРешим систему из 3-хИспользуйте функциюРешение системы уравнений получимX2. В запустившемся дополнительном
A что нам подходит.Теперь нам нужно высчитать.0Активируется окно аргументов функции адрес нашей таблицы.=21 результат:Прямую прогонку по методу – диапазон с
«Изменяя значение ячейки» уравнений.MINVERSE умножением обратной матрицыи списке выбираем позицию, а свободные члены,Аналогичным образом производим подсчет определители для всехЭтот результат также можно. Высчитываем соответствующее дляМУМНОЖ Для этих целей

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Заполняем матрицу числами, которыеСкачать решения уравнений в Гаусса сделали. В

соответствующей матрицей. — В1. ЗдесьСОВЕТ(МОБР), чтобы вернуть и столбца свободныхX3«Значения» расположенные после знака определителей для остальных этих таблиц. Система

проверить, подставив данное_{него значение}. В поле_{устанавливаем курсор в} являются коэффициентами уравнения._Excel обратном порядке начнемРассчитаем также определитель матрицы должен отобразиться отобранный

: Решение СЛАУ методом обратную матрицу членов. Перемножить матрицыв выражения.

.«равно» трех таблиц.

уравнений будет иметь значение в решаемоеf(x)«Массив1» это поле. Затем Данные числа должныКорень на заданном промежутке

прогонять с последней А (массив – параметр. обратной матрицы приведеноА можно с помощьюКак видим, в ЭкселеВ следующую строку вводим— в таблицу

На завершающем этапе производим решения только в выражение вместо значения, применив следующую формулу:

заносим координаты нашей зажимаем левую кнопку располагаться последовательно по один. строки полученной матрицы.

диапазон матрицы А).После нажатия ОК отобразится

в статье Решение. Сначала выделите диапазон

exceltable.com

формулы массива =МУМНОЖ().

Источник

Решение уравнений средствами Excel

	Содержание
1.	Графический способ решения нелинейных уравнений ………………………….	2
2.	Подбор параметра………………………………………………………………………………..	3
3.	Поиск решения…………………………………………………………………………………….	4
4.	Решение систем линейных уравнений методом Крамера……………………….	6
5.	Решение систем линейных матричным способом………………………………….	7
6.	Варианты заданий………………………………………………………………………………..	8
7.	Решить систему уравнений…………………………………………………………………..	9

1. Графический способ решения нелинейных уравнений

Возьмем в качестве примера квадратное уравнение х2-5х+6=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

1.В ячейках А2:А22 введём значение аргумента x в диапазоне от 1,5

до 3,5 с шагом 0,1, то есть A2=1.5, A3=A2+0.1 и т. д. A22=A21+0.1, а

значение функции в ячейках B2:B10 – B2=A2^2-5*A2+6 и т. д.

2.Используя Мастер диаграмм, тип диаграммы – точечная построим кривую функции y(x)=х2-5х+6, точки пересечения графика функции с осью абсцисс будет решением уравнения: x1=2, x2=3 (Рис.1).

1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
-0,2
-0,4

Рис. 1

2. Подбор параметра

Когда желаемый результат вычислений по формуле известен, но неизвестны значения, необходимые для получения этого результата, можно воспользоваться средством Подбор параметра, выбрав команду Подбор параметра в меню Сервис. При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Возьмем в качестве примера все то же квадратное уравнение х2-5х+6=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

Рис. 2. Окно диалога Подбор параметра

∙В ячейку С3 (рис. 2) введем формулу для вычисления значения функции, стоящей в уравнении слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на ячейку С2, т.е. =С2^2-5*C2+6.

∙В окне диалога Подбор параметра (рис. 2) в поле Установить в ячейке

введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение — ожидаемый результат, в поле Изменяя значения ячейки — ссылку на ячейку, в

которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).

∙После нажатия на кнопку Ok Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на Оk, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки. Для восстановления значения, которое было в ячейке С2 до использования команды Подбор параметра, нажмите кнопку Отмена.

3. Поиск решения

Команда Подбор параметра является удобной для решения задач поиска определенного целевого значения, зависящего от одного неизвестного параметра. Для более сложных задач следует использовать команду Поиск решения (Решатель), доступ к которой реализован через пункт меню

Сервис/Поиск решения.

Рассмотрим, как воспользоваться Поиском решения на примере того же квадратного уравнения.

Рис. 3. Окно диалога Поиск решения

После открытия диалога Поиск решения (рис. 3) необходимо выполнить следующие действия:

1)в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу для вычисления значений оптимизируемой функции, в нашем

примере целевая ячейка — это С4, а формула в ней имеет вид: = C3^2 — 5*C3 + 6;

2)для ввода значения целевой ячейки, установить переключатель значению в положение 0;

3)в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргументов целевой функции ($С$3) (или щелкая мышью при нажатой клавише Сtrl на соответствующих ячейках), для автоматического

поиска всех влияющих на решение ячеек используется кнопка

Предположить;

4)в поле Ограничения с помощью кнопки Добавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска: для нашего примера ограничений задавать не нужно;

5)для запуска процесса поиска решения нажать кнопку Выполнить.

Рис. 4. Результаты поиска

Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения. После чего рабочий лист примет вид, представленный на рис. 4. Полученное решение зависит от выбора начального приближения, которое задается в ячейке С4 (аргумент функции). Если в качестве начального приближения в ячейку С4 ввести значение, равное 1,0, то с помощью Поиска решения найдем второй корень, равный 2,0.

4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений рассмотрим на примере системы трёх линейных уравнений

ì	x + 3y + 5z = 4
ï	7 x + 8 y + 9z = 2
í
ï
î2x + 5 y + 6 z = —3
			1	3	5

Тогда главный определитель будет равен =		7	8	9	= 26
			2	5	6

Дополнительные определители:
	4	3	5				1	4	5				1	3	4

x =	2	8	9	= 65 ,	y =		7	2	9	= —182 ,	z =		7	8	2	= 117 .
	— 3 5	6				2	— 3 6				2	5	— 3

Решения системы уравнений будет определяться следующими соотношениями:

x = x = 2,5 ; y = y = —7 ; z = z = 4,5 .

Для решения системы линейных уравнений в табличном процессоре MS Excel запишем главный определитель в ячейки A2:C4, дополнительные

– x в ячейки A6:C8, y – A10:C12, z – A14:C16. Тогда определители можно найти с помощью функции МОПРЕД:

F2 =МОПРЕД(A2:C4);

F3=МОПРЕД(A6:C8);

F4=МОПРЕД(A10:C12)

F5=МОПРЕД(A14:C12)

Решение системы уравнений будет равно:

x=F3/F2;

y=F4/F2;

z=F5/F2.

5. Решение систем линейных матричным способом

Воспользуемся предыдущей системой линейных уравнений:

ì x + 3y + 5z = 4 ïí 7 x + 8 y + 9z = 2

ïî2x + 5 y + 6 z = —3

Данную систему линейных уравнений можно записать в матричной форме:

æ1	3 5	ö		æ x ö	æ	4 ö
ç	7	8	9	÷	,	ç	÷	ç	5	÷
A× X = B , где A = ç	÷	X = ç y÷	, B = ç	÷.
ç	2	5	6	÷		ç	÷	ç	— 3	÷
è	ø		è z ø	è	ø

Решение будем искать из уравнения вида:

X = A−1 × B , где A−1 – обратная матрица матрице A.

Для системы в Excel запишем коэффициентов при неизвестных в ячейках B2:D4, матрицу столбец – F2:F4 (рис. 5).

Рис. 5

Тогда с помощью функции =МОБР(B2:D4) можно найти обратную матрицу A−1 , для чего:

1.В ячейке B6 введите функцию МОБР(B2:D4).

2.Выделите диапазон ячеек B6:D8.

3.Нажмите клавишу F2.

4.Нажмите комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter.

Для нахождения решения системы уравнений надо перемножить матрицу A−1 на матрицу—столбец B . Для этого:

1.В ячейке F6 введите функцию =МУМНОЖ(B6:D8;F2:F4).

2.Выделите диапазон ячеек F6:F8.

3.Нажмите клавишу F2.

4.Нажмите комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter.

6. Варианты заданий

№

f(x)

№

f(x)

варианта

ex−1 — x3 — x

0.25x3 + x — 2

x Î [0,1]

x Î [0, 2 ]

1 − x2

x —

arccos

− x

3 + sin( 3.6 x )

1 + x2

x Î [0,1]

x [ 2,3 ]

3x − 4ln x − 5

arccos x —

1—0.3x3

x Î[0,1]

x Î [ 2, 4 ]

— e− x — 2

1—0.4x2 — arcsin x

x Î[0,1]

x Î [0,1]

3x —14 + ex — e− x

— tg x

1— x

x Î[1,3]

x Î[0,1]

1− x + sin x − ln(1+ x )

2x2

+ 1,2 — cos x — 1

x Î [0,1]

x Î[0, 2]

æ 2

æ 1

— x —0,2

cosç

÷ — 2 sinç

è x

xÎ[1, 2]

x Î [1, 2]

0.1x2 — x ln x

x + 0,5 = e− x 2

Î [1, 2 ]

x Î [0,1]

7. Решить систему уравнений.

ì 2x1 — x2 — x3 = 4

ì x1 + 4x2 − x3 = 2

+ 4x2

— 2x3 = —1

+ 2x2 + 2x3 = 1

í3x1

3x1

— 2x2

+ 4x3 = 11

+ 4x2 — 2x3 = 5

î6x1

ìx1 + 3x2 + 2x3 − 4 = 0

ì x1 − x2 + 2x3 = 11

+ 6x2 + x3 — 2 = 0

+ 2x2 — x3 = 11

í2x1

í x1

+ 8x2 — x3 — 2 = 0

— 3x2 — 3x3 = 24

î4x1

ìx1 + 2x2 + 4x3 = 31

ì x1 + x2 + 2x3 = −1

+ x2 + 2x3 = 29

— x2 + 2x3 = —4

í5x1

í2x1

— x2 + x3 = 10

+ x2 + 4x3 = —2

î 3x1

î4x1

ì x1 − 3x2 − 4x3 = 4

ìx1 + 2x2 + 3x3 = 2

+ x2 — 3x3 = —1

+ x2 + 2x3 = 3

í2x1

í3x1

— 2x2

+ x3 = 11

+ 3x2 + x3 = 1

î3x1

î2x1

ì 3x1 + 2x2 + 4x3 = 6

ìx1 + 2x2 + 3x3 = 5

4x1

— 3x2

— 8x3

= 6

10.

+ x2 + 2x3

= 6

í3x1

+ 10x2

+ 8x3

= —8

= 1

î2x1

î2x1 + 3x2 + x3

ì- x1 + 3x2 + 2x3 = 6

ì 2x1 — x2 + x3 = 2

2x1 + 8x2 + x3 = 3

12.

+ 2x2 + 2x3

= —2

11. í

í3x1

+ x2

+ 2x3 = 6

2x2 + 7x3 = 17

2x1 — x2 = —1

ì x1 − x2 + 2x3 = 11

13.

+ x2

+ 2x3 = 6

14.

= 11

í3x1

í x1 + 2x2 — x3

+ 3x2 + x3 = 1

ï4x

— 3x

= 24

î2x1

ì x1 − 3x2 − 4x3 = 4

ì 3x1 + 2x2 + 4x3 = 6

15.

+ x2

— 3x3 = —1

16.

= 6

í2x1

í 4x1 — 3x2 — 8x3

3x1

— 2x2 + x3

= 11

= —8

î2x1 + 10x2 + 8x3

ì 2x1 − x

2 − x3 = 4

ì x1 + 4x2 − x3 = 2

17.

+ 4x2 — 2x3 = 11

18.

í3x1

í3x1 + 2x2 + 2x3 = 1

— 2x2 + 4x3 = 11

î3x1

î6x1 + 4x2 — 2x3 = 5

ìx1 + 2x2 + 4x3 = 31

ìx1 + 2x2 + 3x3 = 2

19.

+ x2 + 2x3 = 29

20.

= 3

í5x1

í3x1 + x2 + 2x3

3x1 — x2

+ x3 = 10

î2x1 + 3x2 + x3 = 1

				10
	ìx1 + 2x2 + 3x3 = 5		ìx1 + 3x2 + 2x3 − 4 = 0
21.	ï	+ x2 + 2x3	= 6	22.	ï	+ 6x2	+ x3 — 2 = 0
í3x1	í2x1
	ï	+ 3x2 + x3	= 1		ï	+ 8x2	— x3 — 2 = 0
	î2x1		î4x1

ì x1 + x2 + 2x3 = −1

23.ïí2x1 — x2 + 2x3 = —4 ïî4x1 + x2 + 4x3 = —2

Соседние файлы в папке Вопросы к экзаменам

Источник

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Чтобы решить систему уравнений в Excel, мы можем использовать функции МУМНОЖ и МИНВЕРС .

В следующих примерах показано, как использовать эти функции для решения нескольких различных систем уравнений в Excel.

Пример 1. Решение системы уравнений с двумя переменными

Предположим, у нас есть следующая система уравнений, и мы хотели бы найти значения x и y:

5х + 4у = 35

2х + 6у = 36

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем сначала ввести следующие значения в Excel:

Затем мы можем использовать следующую формулу для определения значений x и y:

=MMULT(MINVERSE( A1:B2 ), C1:C2 )

Мы можем ввести эту формулу в ячейку E1, а затем нажать CTRL + SHIFT + ENTER:

Это говорит нам о том, что значение x равно 3 , а значение y равно 5 .

Пример 2. Решение системы уравнений с тремя переменными

Предположим, у нас есть следующая система уравнений, и мы хотели бы найти значения x, y и z:

4х + 2у + 1з = 34

3x + 5y – 2z = 41

2х + 2у + 4з = 30

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем сначала ввести следующие значения в Excel:

Затем мы можем использовать следующую формулу для определения значений x, y и z:

=MMULT(MINVERSE( A1:C3 ), D1:D3 )

Мы можем ввести эту формулу в ячейку F1, а затем нажать CTRL + SHIFT + ENTER:

Это говорит нам о том, что значение x равно 5 , значение y равно 6 , а значение z равно 2 .

Пример 3. Решение системы уравнений с четырьмя переменными

Предположим, у нас есть следующая система уравнений, и мы хотели бы найти значения w, x, y и z:

6ш + 2х + 2у + 1з = 37

2ш + 1х + 1у + 0з = 14

3ш + 2х + 2у + 4з = 28

2ш + 0х + 5у + 5з = 28

Чтобы решить эту систему уравнений, мы можем сначала ввести следующие значения в Excel:

Затем мы можем использовать следующую формулу для определения значений w, x, y и z:

=MMULT(MINVERSE( A1:D4 ), E1:E4 )

Мы можем ввести эту формулу в ячейку G1, а затем нажать CTRL + SHIFT + ENTER:

Это говорит нам о том, что значение w равно 4 , x равно 3 , y равно 3 и z равно 1 .

Дополнительные ресурсы

В следующих руководствах объясняется, как выполнять другие распространенные операции в Excel:

Как построить уравнение в Excel
Как нормализовать данные в Excel
Как подогнать кривую в Excel

Источник

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х² + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.

Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.

После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.

Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.

Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.

Умножим обратную матрицу Ах^-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.

Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.

Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.

Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.

Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.

В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х³ + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Х_n+1 = X_n– F (X_n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х³ – 1. М = 11.

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

Источник