Решить систему линейных уравнений методом гаусса в excel - Word и Excel

Содержание

Варианты решений
- Способ 1: матричный метод
- Способ 2: подбор параметров
- Способ 3: метод Крамера
- Способ 4: метод Гаусса
Вопросы и ответы

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Теперь для нахождения корней уравнения, прежде всего, нам нужно отыскать матрицу, обратную существующей. К счастью, в Эксель имеется специальный оператор, который предназначен для решения данной задачи. Называется он МОБР. Он имеет довольно простой синтаксис:
=МОБР(массив)

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОБР. Оно по числу аргументов имеет всего одно поле – «Массив». Тут нужно указать адрес нашей таблицы. Для этих целей устанавливаем курсор в это поле. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем область на листе, в которой находится матрица. Как видим, данные о координатах размещения автоматически заносятся в поле окна. После того, как эта задача выполнена, наиболее очевидным было бы нажать на кнопку «OK», но не стоит торопиться. Дело в том, что нажатие на эту кнопку является равнозначным применению команды Enter. Но при работе с массивами после завершения ввода формулы следует не кликать по кнопке Enter, а произвести набор сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter. Выполняем эту операцию.

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Урок: Обратная матрица в Excel

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

3x^2+4x-132=0

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:
=3*x^2+4*x-132

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Урок: Подбор параметра в Excel

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:
=МОПРЕД(массив)

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

14x1+2x2+8x3=110 7x1-3x2+5x3=32 5x1+x2-2x3=17

Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:
=B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:
=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:
=B17:E17/D17

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:
=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:
=(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Еще статьи по данной теме:

Помогла ли Вам статья?

Источник

Блог инженера-программиста / шапку скоро поменяю /

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса в MS Excel

Автор Инженер

На днях понадобилось найти корни системы линейных уравнений методом Гаусса в Microsoft Excel. Готовый алгоритм решения можно найти в книге Гарнаева «Использование Excel и VBA в экономике и финансах», но объяснение там очень скудное и не совсем понятное. Постараюсь описать подробней для тех, кому может понадобиться этот алгоритм.

Лирическое отступление: в тексте будет предлагаться ввести в диапазон ячеек формулу вида: <=A1:B3+$C$2:$C$3>и т.п., это так-называемые «формулы массива» (формула, выполняющая несколько вычислений над одним или несколькими наборами значений, а затем возвращающая один или несколько результатов. Формулы массива заключены в фигурные скобки < >). Microsoft Excel автоматически заключает ее в фигурные скобки ( < >). Для введения такого типа формул необходимо выделить весь диапазон, куда нужно вставить формулу, в первой ячейке ввести формулу без фигурных скобок (для примера выше — =A1:B3+$C$2:$C$3 ) и нажать Ctrl+Shift+Enter .

Пускай имеем систему линейных уравнений:

1. Запишем коэффициенты системы уравнений в ячейки A1:D4 а столбец свободных членов в ячейки E1:E4 . Если в ячейке A1 находится 0, необходимо поменять строки местами так, чтоб в этой ячейке было отличное от ноля значение. Для большей наглядности можно добавить заливку ячеек, в которых находятся свободные члены. (скриншот)

2. Необходимо коэффициент при x₁ во всех уравнениях кроме первого привести к 0. Для начала сделаем это для второго уравнения. Скопируем первую строку в ячейки A6:E6 без изменений, в ячейки A7:E7 необходимо ввести формулу: <=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)>. Таким образом мы от второй строки отнимаем первую, умноженную на A2/$A$1, т.е. отношение первых коэффициентов второго и первого уравнения. Для удобства заполнения строк 8 и 9 ссылки на ячейки первой строки необходимо использовать абсолютные (используем символ $). (скриншот)

3. Копируем введенную формулу формулу в строки 8 и 9, таким образом избавляемся от коэффициентов перед x₁ во всех уравнениях кроме первого. (скриншот)

4. Теперь приведем коэффициенты перед x₂ в третьем и четвертом уравнении к 0. Для этого скопируем полученные 6-ю и 7-ю строки (только значения) в строки 11 и 12, а в ячейки A13:E13 введем формулу <=A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7)>, которую затем скопируем в ячейки A14:E14 . Таким образом реализуется разность строк 8 и 7, умноженных на коэффициент B8/$B$7 . Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби. (скриншот)

5. Осталось привести коэффициент при x₃ в четвертом уравнении к 0, для этого вновь проделаем аналогичные действия: скопируем полученные 11, 12 и 13-ю строки (только значения) в строки 16-18, а в ячейки A19:E19 введем формулу <=A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)>. Таким образом реализуется разность строк 14 и 13, умноженных на коэффициент C14/$C$13 . Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби. (скриншот)

6. Прямая прогонка методом Гаусса завершена. Обратную прогонку начнем с последней строки полученной матрицы. Необходимо все элементы последней строки разделить на коэффициент при x₄. Для этого в строку 24 введем формулу <=A19:E19/D19>. (скриншот)

7. Приведем все строки к подобному виду, для этого заполним строки 23, 22, 21 следующими формулами:
23: <=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18>— отнимаем от третьей строки четвертую умноженную на коэффициент при x₄ третьей строки.
22: <=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17>— от второй строки отнимаем третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.
21: <=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16>— от первой строки отнимаем вторую, третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.
Результат (корни уравнения) вычислены в ячейках E21:E24 . (скриншот)

UPDATE от 25 апреля 2012 г. Выкладываю xls-файл с решением линейных уравнений методом Гаусса в Microsoft Excel: Показать ссылку

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Варианты решений

Способ 1: матричный метод

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Способ 2: подбор параметров

f(x)

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

«равно»

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

«равно»

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12677 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: <=B12:E12/D12>.
В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (<=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11>). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (<=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10>). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

источники:

http://lumpics.ru/how-solve-system-equations-excel/

http://exceltable.com/otchety/reshenie-uravneniy

Источник

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Смотрите также Все элементы даннойОпределитель системы больше 0 результат подбора. Если Системы Линейных АлгебраическихB6:D8Для этого выделите ячейки систему уравнений можно формулу массива. ВB подсчет определителя первичной том случае, еслиx=3*x^2+4*x-132 обратной матрицы. Для мыши и выделяем

порядку с учетомУмение решать системы уравнений

Варианты решений

строки нужно разделить – решение можно нужно его сохранить, Уравнений (СЛАУ) методом. Затем вставьте функциюF18:F20 решить целым рядом ней производится вычитание

Способ 1: матричный метод

. Но на этот матрицы. Процедура происходит все определители будут.Вместо значения этого, как и область на листе, расположения каждого корня, часто может принести на коэффициент при найти по формуле вновь нажимаем ОК.

обратной матрицы вMINVERSE, а в Строке формул введите =МУМНОЖ(A18:C20;F11:F13), способов, каждый из из третьей строки раз сблизим обе все по тому иметь значение, отличноеУрок:«X» в прошлый раз, в которой находится которому они соответствуют. пользу не только с. Введем в Крамера (D В противном случае MS EXCEL.(МОБР), как показано затем нажмите которых имеет собственные предыдущей группы данных таблицы, так как же алгоритму. Как от нуля. Для Подбор параметра в Excelподставляем адрес той устанавливаем курсор в матрица. Как видим, Если в каком-то в учебе, но строку формулу массива:x – «Отмена».

Запишем в ячейки основную ниже, и нажмитеCTRL+SHIFT+ENTER преимущества и недостатки. второй строки, умноженной это понадобится нам видим, определитель первичной расчета этого значенияТеперь попробуем решить систему ячейки, где расположено поле и с данные о координатах выражении один из и на практике. {=B12:E12/D12}./ |A|).Для подбора параметра программа матрицу системы иCtrl+Shift+Enter. Но все эти на отношение второго для работы в
таблицы тоже отличный в Экселе опять уравнений методом Крамера. число зажатой левой кнопкой размещения автоматически заносятся
корней отсутствует, то В то жеВ строке 15: отнимемДля расчета Х использует циклический процесс. столбец свободных членов. .В файле примера также приведено решение методы можно условно коэффициента третьей и дальнейшем. Важным условием от нуля, а
имеется отдельная функция

Для примера возьмем0 мыши выделяем курсором в поле окна.

в этом случае время, далеко не от второй строки1 Чтобы изменить числоОпределитель основной матрицы вычислим=MINVERSE(B2:D4) системы 4-х и разделить на две
второй строки. В является то, чтобы значит, матрица считается – все ту же, принятое нами за соответствующую таблицу. Аналогичное После того, как коэффициент считается равным каждый пользователь ПК третью, умноженную на: =U2/$U$1, где U2 итераций и погрешность,
с помощью формулы =МОПРЕД(A11:C13)=МОБР(B2:D4) 5-и уравнений. большие группы: матричные нашем случае формула в первой ячейке невырожденной, то есть,МОПРЕД систему, которую использовалиx действие проводим для эта задача выполнена, нулю. Если коэффициент знает, что в коэффициент при с – D1. Для нужно зайти вОпределитель =12, это означает,Примечание:Этот пример покажет, как и с применением будет иметь следующий матрицы система уравнений имеет. Синтаксис данного оператора в. внесения координат в наиболее очевидным было не обозначен в Экселе существует собственные второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). расчета Х параметры Excel. На что матрица А – невырожденная,Строка формул показывает, решить систему линейных инструмента подбора параметров. вид:A решения. следующий:
Способе 1Переходим во вкладку поле бы нажать на уравнении, но соответствующий варианты решений линейных
В строке 14:2 вкладке «Формулы» установить то есть, ее что ячейки содержат уравнений в Excel. В некоторых случаях=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)значение было отличнымТеперь пора найти корни=МОПРЕД(массив):«Данные»«Массив2» кнопку корень имеется, то
уравнений. Давайте узнаем,

от первой строки: =U3/$U$1. И т.д. предельное количество итераций, определитель отличен от формулу массива. Это К примеру, у не всегда матричныеПосле ввода формулы выделяем
от нуля. В уравнения. Корень уравненияТаким образом, как и14. Жмем на кнопку, только на этот«OK» считается, что коэффициент как с применением отнимаем вторую и
Получим корни уравнений: относительную погрешность. Поставить нуля. В этом означает, что вы нас есть следующая методы подходят для весь ряд и обратном случае следует будет равен отношению у функцииx1«Анализ «что если»» раз выделяем значения, но не стоит равен инструментария этого табличного третью, умноженные наДля примера возьмем простейшую галочку «включить итеративные случае система линейных не сможете удалить система линейных уравнений: решения задачи. В применяем сочетание клавиш переставить строки местами. определителя соответствующей преобразованнойМОБР+2. Эта кнопка размещена колонки торопиться. Дело в1
процессора выполнить данную соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). систему уравнений: вычисления». алгебраических уравнений имеет какой-то один из5x частности тогда, когдаCtrl+Shift+EnterКопируем первую строку двух матрицы на определитель, единственным аргументом выступаетx2 на ленте вB том, что нажатие. Обозначаем полученную таблицу, задачу различными способами. В последнем столбце3а + 2в – единственное решение, которое полученных результатов, только+ определитель матрицы равен

. соединенных матриц в

Способ 2: подбор параметров

первичной таблицы. Таким ссылка на обрабатываемую+8 блоке инструментов. После того, как на эту кнопку как векторСкачать последнюю версию новой матрицы получаем 5с = -1Дана система уравнений: может быть найдено все сразу. Чтобы

1y

нулю. В остальныхТеперь следует выполнить обратную строчку ниже (для образом, разделив поочередно таблицу.x4«Работа с данными» вышеуказанные действия проведены,
является равнозначным применению

A Excel корни уравнения.2а – вЗначения элементов введем в методом Крамера. удалить все результаты,+ же случаях пользователь
прогонку по методу наглядности можно пропустить все четыре определителяИтак, выделяем ячейку, в=218. Открывается выпадающий список. опять не спешим команды.Любое уравнение может считатьсяВычисления в книге должны – 3с = ячейки Excel в
Теперь последовательно будем заменять выделите диапазон8z сам волен решать, Гаусса. Пропускаем три одну строку). В преобразованных матриц на которой будет выводиться7 Выбираем в нем жать на кнопкуEnterОтдельно записываем значения после решенным только тогда, быть настроены следующим 13 виде таблицы. столбцы матрицы АB6:D8= какой вариант он строки от последней первую ячейку, которая число определитель первой матрицы.x1 позицию«OK»
. Но при работе знака «равно». Обозначаем когда будут отысканы образом:а + 2вНайдем обратную матрицу. Выделим на столбец свободныхи нажмите клавишу46
считает более удобным записи. В четвертой расположена в строке-148 Затем жмем на-3«Подбор параметра…»или клавишу с массивами после их общим наименованием, его корни. ВДелается это на вкладке

– с = диапазон, куда впоследствии членов и вычислятьDelete4x для себя.

строке вводим формулу ещё ниже предыдущей,

Способ 3: метод Крамера

, которое является определителем знакомую по предыдущимx2.Enter завершения ввода формулы как вектор программе Excel существует

«Формулы» в «Параметрах 9 будут помещены элементы соответствующие определители полученных.—Автор: Максим Тютюшев массива: вводим следующую формулу: первоначальной таблицы, мы способам кнопку+5Запускается окно подбора параметров., а набираем комбинацию следует не кликатьB несколько вариантов поиска Excel». Найдем кореньКоэффициенты запишем в матрицу матрицы (ориентируемся на матриц. Отношение определителейИспользуйте функцию2yРешим Систему Линейных Алгебраических=B17:E17/D17 =B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7) получим четыре корня.«Вставить функцию»x3 Как видим, оно клавиш по кнопке. корней. Давайте рассмотрим

уравнения х – А. Свободные члены количество строк и позволяет вычислить переменныеMMULT= Уравнений (СЛАУ) методомТаким образом, мы делимЕсли вы расположили матрицы Как видим, они
.+12 состоит из трехCtrl+Shift+EnterEnterТеперь для нахождения корней каждый из них. х3 + 1 – в матрицу столбцов в исходной х.(МУМНОЖ), чтобы вернуть12 обратной матрицы в последнюю рассчитанную нами
по-другому, то и равны значениямАктивируется окноx4 полей. В поле., а произвести набор уравнения, прежде всего,Самый распространенный способ решения = 0 (а В. матрице). Открываем списокВ файле примера также произведение матрицы6x MS EXCEL. В
строку на её

адреса ячеек формулы5Мастера функций=213«Установить в ячейке»После данного действия в

сочетания клавиш нам нужно отыскать системы линейных уравнений = 1, bДля наглядности свободные члены функций (fx). В приведено решение системыA-1
+ этой статье нет же третий коэффициент. у вас будут,. Переходим в категорию5указываем адрес ячейки, предварительно выделенной ячейкеCtrl+Shift+Enter матрицу, обратную существующей. инструментами Excel –
= 2) методом выделим заливкой. Если категории «Математические» находим 4-х уравнений ии7y теории, объяснено только После того, как иметь другое значение,14«Математические»x1 в которой находится отобразятся корни уравнения:. Выполняем эту операцию. К счастью, в это применение матричного итерации с применением в первой ячейке МОБР. Аргумент – прямая проверка решения.B+ как выполнить расчеты,
набрали формулу, выделяем но вы сможете,и среди списка+ формулаX1Итак, после этого программа Эксель имеется специальный метода. Он заключается
циклических ссылок. Формула: матрицы А оказался массив ячеек с
В программе Excel имеется. Сперва выделите диапазон4z используя MS EXCEL. всю строчку и высчитать их, сопоставив8 операторов выделяем тамx2f(x), производит вычисления и
оператор, который предназначен в построении матрицыХ 0, нужно поменять элементами исходной матрицы. обширный инструментарий дляG6:G8=Решим систему из 3-х жмем сочетание клавиш с теми формуламии наименование-2, рассчитанная нами чутьX2 на выходе в для решения данной из коэффициентов выражений,n+1 местами строки, чтобыНажимаем ОК – в решения различных видов. Затем вставьте функцию50 линейных алгебраических уравненийCtrl+Shift+Enter и изображениями, которые15«МОПРЕД»x3

Способ 4: метод Гаусса

ранее. В поле, предварительно выделенной области задачи. Называется он а затем в= X

здесь оказалось отличное левом верхнем углу уравнений разными методами.MMULTВ матричном представлении ее с помощью обратной. приводятся здесь.. Таким образом, они. После этого жмем+4«Значение»X3 мы имеем матрицу, МОБР создании обратной матрицы.n от 0 значение. диапазона появляется значение.Рассмотрим на примерах некоторые(МУМНОЖ), которая показана

можно записать в матрицы (матричным методом). Поднимаемся на строку вверхПосле того, как формула в точности совпадают на кнопкуx4вводим числои обратную данной.. Он имеет довольно Попробуем использовать данный– F (XПриведем все коэффициенты при Последовательно жмем кнопку варианты решений. ниже, и нажмите видеСОВЕТ и вводим в введена, выделите весь с корнями, которые
«OK»=83«0»X4Теперь нам нужно будет простой синтаксис: метод для решенияn а к 0.
F2 и сочетание

Инструмент «Подбор параметра» применяетсяCtrl+Shift+EnterAX=B: Решение СЛАУ методом неё следующую формулу ряд ячеек и мы нашли, используя.6. В поле

. Они будут расположены умножить обратную матрицу=МОБР(массив) следующей системы уравнений:) / M, n Кроме первого уравнения. клавиш Ctrl + в ситуации, когда.. Крамера приведено в массива: нажмите комбинацию клавиш обратную матрицу вЗапускается окно аргументов функции
x1«Изменяя значения» последовательно. Таким образом, на матрицу
Аргумент14 = 0, 1, Скопируем значения в Shift + Enter. известен результат, но=MMULT(B6:D8,G2:G4)5
статье Решение Системы Линейных=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16Ctrl+Shift+Enterспособе 1МОПРЕД+2указываем адрес ячейки, можно сказать, чтоB«Массив»x1 2, … . первой строке двух
Умножим обратную матрицу Ах-1х неизвестны аргументы. Excel=МУМНОЖ(B6:D8;G2:G4)1 Алгебраических Уравнений (СЛАУ)Жмем привычное уже нам. К ряду будет, что подтверждает правильность. Как видим, оноx2 в которой расположено мы решили данную
, которая состоит из

— это, собственно,+2M – максимальное значение матриц в ячейки на матрицу В
подбирает значения доСоедините результаты. Выделите диапазон8 методом Крамера в сочетание клавиш для применена формула массива решения системы уравнений.
имеет только одно

+ значение систему. Для того, одного столбца значений, адрес исходной таблицы.x2 производной по модулю. В6:Е6. В ячейку (именно в таком тех пор, пока
G6:G8x MS EXCEL. применения формулы массива.
и он будет

Решить систему уравнений можно поле –x3
x чтобы проверить правильность расположенных после знакаИтак, выделяем на листе
+8

Чтобы найти М, В7 введем формулу: порядке следования множителей!). вычисление не даст. Вставьте обобщенную формулу
46Запишем в ячейки основнуюПоднимаемся ещё на одну заполнен значениями. Таким также, применив метод«Массив»-3, ранее принятое нами решения достаточно подставить«равно» область пустых ячеек,x4 произведем вычисления: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон Выделяем диапазон, где нужный итог. (показана ниже) иПри А= матрицу системы и строку выше. В образом мы произвели Гаусса. Для примера

. В это полеx4 за в исходную системув выражениях. Для которая по размеру=218f’ (1) = -2 В7:Е7. Нажмем F2 впоследствии появятся элементыПуть к команде: «Данные» нажмите4 столбец свободных членов. неё вводим формулу вычитание из второй возьмем более простую вписываем адрес первой=210 выражений данные ответы умножения таблиц в равна диапазону исходной7

* f’ (2)

lumpics.ru

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы в MS EXCEL

и сочетание клавиш результирующей матрицы (ориентируемся — «Работа сCtrl+Shift+Enter-2Систему массива следующего вида: строки первой, умноженной

систему уравнений из преобразованной матрицы. ДляКак и в первом. После выполнения данных

 вместо соответствующих корней. Экселе также имеется матрицы. Щелкаем поx1 = -11. Ctrl + Shift на число строк

данными» — «Анализ.0

n =(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15 на отношение первых трех неизвестных: этого устанавливаем курсор способе, составляем матрицу действий жмем на Если равенство будет отдельная функция, которая кнопке-3Полученное значение меньше 0. + Enter. Мы и столбцов матрицы «что-если»» — «Подбор

=MMULT(MINVERSE(B2:D4),G2:G4),линейных алгебраических уравнений с

Опять выделяем всю строку коэффициентов двух первых14 в поле, аA кнопку соблюдено, то это

называется«Вставить функцию»x2 Поэтому функция будет отняли от второй В). Открываем диалоговое

параметра».=МУМНОЖ(МОБР(B2:D4);G2:G4)X=n и применяем сочетание выражений системы.

x1 затем выделяем матричныйиз коэффициентов уравнений

excel2.ru

Система линейных уравнений в Excel

«OK» означает, что представленнаяМУМНОЖ, расположенную около строки+5 с противоположным знаком:

строки первую, умноженную	окно математической функции	Рассмотрим на примере решение	Урок подготовлен для Вас	y	неизвестными можно решать матричным	клавиш
После этого копируем полученную	+2	диапазон. После этого			и таблицу	.
система уравнений решена	. Данный оператор имеет	формул.	x3	f (х) =	на отношение первых	МУМНОЖ. Первый диапазон

квадратного уравнения х2 командой сайта office-guru.ru, методом только тогда,Ctrl+Shift+Enter

	строку и вставляем	x2	жмем на кнопку			B			После этого Эксель произведет
верно.	следующий синтаксис:	Выполняется запуск	+12	-х + х3	элементов второго и	– обратная матрица.	+ 3х +	Источник: http://www.excel-easy.com/examples/system-of-linear-equations.html	B=
	когда определитель основной	.	её в строчку			+8			«OK»

из значений, которые вычисление с помощьюУрок:=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)Мастера функцийx4 – 1. М первого уравнения. Второй – матрица 2 = 0.Перевела: Ольга Гелих12

матрицы системы отличенТеперь смотрим на числа, ниже.x3. Данная функция выводит стоят после знака подбора параметра. ОбОбратная матрица в ExcelВыделяем диапазон, в нашем. Переходим в категорию=213 = 11.Копируем введенную формулу на
В.
Порядок нахождения корня

Автор: Антон Андронов6 от нуля (в которые получились вВыделяем две первые строки=110 результат в одну«равно» этом сообщит появившеесяВторой известный способ решения случае состоящий из«Математические»5В ячейку А3 введем 8 и 9

Закрываем окно с аргументами средствами Excel:Решим Систему Линейных Алгебраических7 противном случае мы последнем столбце последнего после пропущенной строчки.7 ячейку, а не. информационное окно. В системы уравнений в четырех ячеек. Далее. В представившемся спискеx1
значение: а =
строки. Так мы
функции нажатием кнопкиВведем в ячейку В2 Уравнений (СЛАУ) методом4 имеем линейно зависимые блока строк, рассчитанного Жмем на кнопку
x1
массивом, поэтому для

Далее делаем ещё четыре нем следует нажать
Экселе – это
опять запускаем

ищем наименование

office-guru.ru

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Крамера в MS EXCEL

+ 1. Точность – избавились от коэффициентов ОК. Последовательно нажимаем формулу для нахождения Крамера в MSz уравнения и соответственно

нами ранее. Именно«Копировать»-3 получения расчета не таблицы. Каждая из на кнопку применение метода подбораМастер функций

«МОБР»x2

 три знака после перед а. Сохранили кнопку F2 и значения функции. В EXCEL. В этой50 решение систем не эти числа (

, которая расположена наx2 нужно прибегать к

них является копией«OK»

параметров. Суть данного, нажав значок. После того, как-2 запятой. Для расчета только первое уравнение. комбинацию Ctrl + качестве аргумента применим статье нет теории,Если

единственное). В нашем4 ленте во вкладке+5 нажатию комбинации клавиш матрицы. метода заключается в

«Вставить функцию» оно отыскано, выделяемx3 текущего значения х

excel2.ru

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

Приведем к 0 коэффициенты Shift + Enter. ссылку на ячейку объяснено только как

А-1 случае определитель =12.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

,«Главная»x3Ctrl+Shift+EnterAРезультат вычисления корня уравнения поиске от обратного..

его и жмем+4 в соседнюю ячейку перед в вПолучены корни уравнений.

В1. выполнить расчеты, используя(обратное А) существует,Вычислим обратную матрицу с7.

=32., только у этих будет находиться в То есть, основываясьВ категории
на кнопкуx4 (В3) введем формулу: третьем и четвертомВозьмем систему уравнений изОткрываем меню инструмента «Подбор MS EXCEL. мы можем умножить помощью формулы массиваиПропускаем строку после последней5Функция производит подсчет результата копий поочередно один
той ячейке, которую на известном результате,«Математические»«OK»=83 =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

уравнении. Копируем строки предыдущего примера: параметра». В графеМетод Крамера применяется для обе части на МОБР().5 записи на листе.x1 и выводит его столбец заменен на

мы назначили в

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

мы производим поиск

, запустившегося.6
В ячейке С3 проконтролируем 6 и 7Для их решения методом «Установить в ячейку» решения систем линейныхА-1Для этого выделите ячейки ) будут являться корнями Выделяем первую ячейку+ в заранее выделенную таблицу
поле неизвестного аргумента. ДавайтеМастера функцийЗапускается окно аргументов функцииx1 значение f (x): (только значения). Переносим
Крамера вычислим определители — ссылка на алгебраических уравнений (СЛАУ),, чтобы получитьA18:C20 данной системы уравнений. в следующей строке.x2 ячейку. Как видим,B«Изменяя значения» для примера используем, выделяем наименованиеМОБР+2
с помощью формулы их ниже, в матриц, полученных заменой ячейку В2, где в которых числоX=A-1B

, а в Строке

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Проверить это можно, Кликаем правой кнопкой

-2 в нашем случае. У первой таблицы. В нашем случае, квадратное уравнение«МУМНОЖ»

. Оно по числуx2 =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1. строки 10 и

одного столбца в находится формула. В неизвестных переменных равно

. Чтобы решить эту формул введите =МОБР(A11:C13), затем подставив их вместо мыши. В открывшемся_x3 определитель равен

– это первый_{как видим,}3x^2+4x-132=0и жмем на аргументов имеет всего₊Корень уравнения – 1,179. 11. Эти данные

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

матрице А на поле «Значение» вводим

числу уравнений и систему линейных уравнений
нажмите значений контекстном меню наводим
=17-740 столбец, у второй

xПринимаем значение кнопку одно поле –

x3 Введем в ячейку должны остаться неизменными. столбец-матрицу В. 0. Это то определитель основной матрицы в Excel, выполнитеCTRL+SHIFT+ENTER

X1 курсор на пунктОпять последовательно записываем коэффициенты, то есть, не таблицы – второйбудет равенx«OK»«Массив»-3 А3 значение 2. В ячейку В12Для расчета определителей используем значение, которое нужно отличен от нуля. следующие действия:.,
«Специальная вставка» в таблицу является равным нулю, и т.д.6за равное
.. Тут нужно указатьx4 Получим тот же вводим формулу массива. функцию МОПРЕД. Аргумент получить. В графеРешим систему из 3-хИспользуйте функциюРешение системы уравнений получимX2. В запустившемся дополнительном
A что нам подходит.Теперь нам нужно высчитать.0Активируется окно аргументов функции адрес нашей таблицы.=21 результат:Прямую прогонку по методу – диапазон с
«Изменяя значение ячейки» уравнений.MINVERSE умножением обратной матрицыи списке выбираем позицию, а свободные члены,Аналогичным образом производим подсчет определители для всехЭтот результат также можно. Высчитываем соответствующее дляМУМНОЖ Для этих целей

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Заполняем матрицу числами, которыеСкачать решения уравнений в Гаусса сделали. В

соответствующей матрицей. — В1. ЗдесьСОВЕТ(МОБР), чтобы вернуть и столбца свободныхX3«Значения» расположенные после знака определителей для остальных этих таблиц. Система

проверить, подставив данное_{него значение}. В поле_{устанавливаем курсор в} являются коэффициентами уравнения._Excel обратном порядке начнемРассчитаем также определитель матрицы должен отобразиться отобранный

: Решение СЛАУ методом обратную матрицу членов. Перемножить матрицыв выражения.

.«равно» трех таблиц.

уравнений будет иметь значение в решаемоеf(x)«Массив1» это поле. Затем Данные числа должныКорень на заданном промежутке

прогонять с последней А (массив – параметр. обратной матрицы приведеноА можно с помощьюКак видим, в ЭкселеВ следующую строку вводим— в таблицу

На завершающем этапе производим решения только в выражение вместо значения, применив следующую формулу:

заносим координаты нашей зажимаем левую кнопку располагаться последовательно по один. строки полученной матрицы.

диапазон матрицы А).После нажатия ОК отобразится

в статье Решение. Сначала выделите диапазон

exceltable.com

формулы массива =МУМНОЖ().

Источник

Урок 15. Решение СЛУ методом Крамера и методом Гаусса.

Метод Крамера

   (СЛУ)
  — определитель системы
Если определитель СЛУ отличен от нуля, тогда решение системы определяется однозначно по формулам Крамера:
,    ,      ()
где:

	Для этого в столбец, где стоит переменная х, а значит в первый столбец, вместо коэффициентов при х, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений
	Для этого в столбец, где стоит переменная y (2 столбец), вместо коэффициентов при y, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений
	Для этого в столбец, где стоит переменная z, а значит втретий столбец, вместо коэффициентов при z, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений

Задание 1. Решить СЛУ с помощью формул Крамера в Excel

Ход решения

1. Запишем уравнение в матричном виде:

2. Введите матрицу А и В в Excel.

3. Найдите определитель матрицы А. Он должен получится равным 30.

4. Определитель системы отличен от нуля, следовательно — решение однозначно определяется по формулам Крамера.

5. Заполните значения dX, dY, dZ на листе Excel (см.рис.ниже).

6. Для вычисления значений dX, dY, dZ в ячейки F8, F12, F16 необходимо ввести функцию, вычисляющую определитель dX, dY, dZ соответственно.

7. Для вычисления значения X в ячейку I8 необходимо ввести формулу =F8/B5 (по формуле Крамера dX/|A|).

8. Самостоятельно введите формулы для вычисления Y и Z.

Задание 2: самостоятельно найти решение СЛУ методом Крамера:

Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса.

Метод Гаусса

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.

1. Прямой ход: система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Для того чтобы решить систему уравнений выписывают расширенную матрицу этой системы

и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали будут располагаться нули.
Разрешается выполнять элементарные преобразования над матрицами.
С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т.е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы.

2. Обратный ход: идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Пример. Установить совместность и решить систему

Решение.
Прямой ход: Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).

.

Имеем Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно.
Обратный ход: Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:

Итак, имеем .
Далее, подставляя в третье уравнение, найдем .
Подставляя и во второе уравнение, получим .
Подставляя в первое уравнение найденные получим .
Таким образом, имеем решение системы .

Решение СЛУ методом Гаусса в Excel:

В тексте будет предлагаться ввести в диапазон ячеек формулу вида: {=A1:B3+$C$2:$C$3} и т.п., это так-называемые «формулы массива». Microsoft Excel автоматически заключает ее в фигурные скобки ( { } ). Для введения такого типа формул необходимо выделить весь диапазон, куда нужно вставить формулу, в первой ячейке ввести формулу без фигурных скобок (для примера выше – =A1:B3+$C$2:$C$3) и нажать Ctrl+Shift+Enter.
Пускай имеем систему линейных уравнений:

1.
Запишем коэффициенты системы уравнений в ячейки A1:D4 а столбец свободных членов в ячейки E1:E4. Если в ячейке A1 находится 0, необходимо поменять строки местами так, чтоб в этой ячейке было отличное от ноля значение. Для большей наглядности можно добавить заливку ячеек, в которых находятся свободные члены.

2. Необходимо коэффициент при x1 во всех уравнениях кроме первого привести к 0. Для начала сделаем это для второго уравнения. Скопируем первую строку в ячейки A6:E6 без изменений, в ячейки A7:E7 необходимо ввести формулу: {=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)}. Таким образом мы от второй строки отнимаем первую, умноженную на A2/$A$1, т.е. отношение первых коэффициентов второго и первого уравнения. Для удобства заполнения строк 8 и 9 ссылки на ячейки первой строки необходимо использовать абсолютные (используем символ $).

3. Копируем введенную формулу формулу в строки 8 и 9, таким образом избавляемся от коэффициентов перед x1 во всех уравнениях кроме первого.

4. Теперь приведем коэффициенты перед x2 в третьем и четвертом уравнении к 0. Для этого скопируем полученные 6-ю и 7-ю строки (только значения) в строки 11 и 12, а в ячейки A13:E13 введем формулу {=A8:E8-$A$7:$E$7*(B8/$B$7)}, которую затем скопируем в ячейки A14:E14. Таким образом реализуется разность строк 8 и 7, умноженных на коэффициент B8/$B$7. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби.

5. Осталось привести коэффициент при x3 в четвертом уравнении к 0, для этого вновь проделаем аналогичные действия: скопируем полученные 11, 12 и 13-ю строки (только значения) в строки 16-18, а в ячейки A19:E19 введем формулу {=A14:E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)}. Таким образом реализуется разность строк 14 и 13, умноженных на коэффициент C14/$C$13. Не забываем проводить перестановку строк, чтоб избавиться от 0 в знаменателе дроби.

6. Прямая прогонка методом Гаусса завершена. Обратную прогонку начнем с последней строки полученной матрицы. Необходимо все элементы последней строки разделить на коэффициент при x4. Для этого в строку 24 введем формулу {=A19:E19/D19}.

7. Приведем все строки к подобному виду, для этого заполним строки 23, 22, 21 следующими формулами:

23: {=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18} – отнимаем от третьей строки четвертую умноженную на коэффициент при x4 третьей строки.

22: {=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17} – от второй строки отнимаем третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.

21: {=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16} – от первой строки отнимаем вторую, третью и четвертую, умноженные на соответствующие коэффициенты.

Результат (корни уравнения) вычислены в ячейках E21:E24.

Составитель: Салий Н.А.

Источник

			0,5166
Проделав три итерации, получим /?тах =614,	Уз =	1
			0,5171
Лшах	тр	_ ^ . т
—— 0,614— , что совпало с решением в примере 2.1 1 .
	EJ	EJ

Минимальная частота колебаний: *ymin = l/^/яmax — 0,04^EJ/m

Отложив по направлениям XJt Х2 и Х3 ординаты собственного вектора, получим соответствующие перемещения масс и форму изгиба стержней, показанные на рис.2.4.

0,5166

Рис.2.4. Перемещения масс и форма изгиба стержней при минимальной частоте колебаний системы

2.9.Примеры решения задач линейной алгебры

сиспользованием электронных таблиц Microsoft Excel

Рассмотрим решение системы линейных алгебраических уравнений (пример 2.1) методом Гаусса, используя таблицы Excel.

2л :, + 4 х 2 + Зх3 = 4,
3JC, + х2 — 2JC3 = -2,	>	(2.65)
4л, + 11JC2 + 7JC3 = 7.

Последователь! течь действий

Введем расширенную матрицу системы, как показано на рис.2.5, в ячейки A3:D5.

Осталось исключить неизвестное х2 из 3-го уравнения системы. Для этого реализуем описанный выше алгоритм для 2-й и 3-й строк (смотри 2-й шаг рис.2.5).

На этом первый этап метода Гаусс закончен, матрица системы приведена к треугольному виду.

На втором этапе (обратный ход метода Гаусса) последовательно найдем неизвестные, начиная с последней строки. Для этого в ячейки G12:G14 запишем формулы:

G4=D	13/С13	(для вычисления х3);
G3=D	12-С 12*G4	(для вычисления х2);
G2=D11-С11G4-B11G3 (для вычислениях:).

2.9.2. Решение СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения»

Систему линейных алгебраических уравнений можно также решить, используя надстройку «Поиск решения». При использовании данной надстройки строится последовательность

приближений	—(/)	,i=0,l,…n.
X
Назовем вектором невязок следующий вектор:
		Л (/) = Л Х (°	— Д	(2 .66)
Задача	Excel	заключается в	том, чтобы	найти такое
приближение	—(/)	, при котором вектор невязок был бы нулевым,
X

т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы АХ=В. В качестве примера используем ту же СЛАУ.

Последовательность действий:

1. Заготовим таблицу, как показано на рис.2.6. Введем коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки АЗ:С5.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник