Задачи линейного программирования относятся к широко распространённому классу задач, встречающихся в различных сферах деятельности: в бизнесе, на производстве, в быту. Как оптимально распорядиться бюджетом или за минимальное время добраться до нужного места в городе, как наилучшим образом спланировать деловые встречи, минимизировать риски капитальных вложений, определить оптимальные запасы сырья на складе – это те задачи, в которых нужно найти наилучшее из всех возможных решений.
Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!
Линейное программирование
Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Слово «программирование» заимствовано из зарубежной литературы, где оно используется в смысле «планирование».
Решение задач линейного программирования с использованием microsoft excel
Цель работы
Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном редакторе Microsoft Excel.
Порядок выполнения работы
Для модели линейного программирования, соответствующей номеру Вашего варианта, найдите оптимальное решение в табличном редакторе Microsoft Excel и продемонстрируйте его преподавателю.
Инструкция по использованию microsoft excel для решения задач линейного программирования
Для того чтобы решить задачу линейного программирования в табличном редакторе Microsoft Excel, необходимо выполнить следующие действия.
Ввести условие задачи:
a) создать экранную форму для ввода условия задачи:
- переменных,
- целевой функции (ЦФ),
- ограничений,
- граничных условий;
b) ввести исходные данные в экранную форму:
- коэффициенты ЦФ,
- коэффициенты при переменных в ограничениях,
- правые части ограничений;
c) ввести зависимости из математической модели в экранную форму:
- формулу для расчета ЦФ,
- формулы для расчета значений левых частей ограничений;
d) задать ЦФ (в окне «Поиск решения»):
- целевую ячейку,
- направление оптимизации ЦФ;
e) ввести ограничения и граничные условия (в окне «Поиск решения»):
- ячейки со значениями переменных,
- граничные условия для допустимых значений переменных,
- соотношения между правыми и левыми частями ограничений.
Решить задачу:
a) установить параметры решения задачи (в окне «Поиск решения»);
b) запустить задачу на решение (в окне «Поиск решения»);
с) выбрать формат вывода решения (в окне «Результаты поиска решения»).
Возможно эта страница вам будет полезна:
Одноиндексные задачи линейного программирования
Рассмотрим пример нахождения решения для следующей одноиндексной задачи ЛП:
Ввод исходных данных
Создание экранной формы и ввод в нее условия задачи
Экранная форма для ввода условий задачи (1.1) вместе с введенными в нее исходными данными представлена на рис. 1.1.
В экранной форме на рис. 1.1 каждой переменной и каждому коэффициенту задачи поставлена в соответствие конкретная ячейка в Excel. Имя ячейки состоит из буквы, обозначающей столбец, и цифры, обозначающей строку, на пересечении которых находится объект задачи линейного программирования. Так, например, переменным задачи (1.1) соответствуют ячейки 
, коэффициентам ЦФ соответствуют ячейки
правым частям ограничений соответствуют ячейки
Ввод зависимостей из математической модели в экранную форму
Зависимость для ЦФ
В ячейку F6, в которой будет отображаться значение ЦФ, необходимо ввести формулу, по которой это значение будет рассчитано. Согласно (1.1) значение ЦФ определяется выражением
Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel (см. рис. 1.1), формулу для расчета ЦФ (1.2) можно записать как сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (ВЗ, СЗ, D3, ЕЗ), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов ЦФ (В6, С6, D6, Е6), то есть
Чтобы задать формулу (1.3) необходимо в ячейку F6 ввести следующее выражение и нажать клавишу «Enter»
где символ $ перед номером строки 3 означает, что при копировании этой формулы в другие места листа Excel номер строки 3 не изменится;
символ : означает, что в формуле будут использованы все ячейки, расположенные между ячейками, указанными слева и справа от двоеточия (например, запись В6:Е6 указывает на ячейки В6, С6, D6 и Е6). После этого в целевой ячейке появится 0 (нулевое значение) (рис. 1.2).
Примечание 1.1. Существует другой способ задания функций в Excel с помощью режима «Вставка функций», который можно вызвать из меню «Вставка» или при нажатии кнопки «
» на стандартной панели инструментов. Так, например, формулу (1.4) можно задать следующим образом:
• курсор в поле F6;
• нажав кнопку ««, вызовите окно «Мастер функций — шаг 1 из 2»;
• выберите в окне «Категория» категорию «Математические»;
• в окне «Функция» выберите функцию СУММПРОИЗВ;
• в появившемся окне «СУММПРОИЗВ» в строку «Массив 1» введите выражение В$3:Е$3, а в строку «Массив 2» — выражение В6:Е6 (рис. 1.3);
• после ввода ячеек в строки «Массив 1» и «Массив 2» в окне «СУММПРОИЗВ» появятся числовые значения введенных массивов (см. рис. 1.3), а в экранной форме в ячейке F6 появится текущее значение, вычисленное по введенной формуле, то есть 0 (так как в момент ввода формулы значения переменных задачи нулевые).
Зависимости для левых частей ограничений
Левые части ограничений задачи (1.1) представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (ВЗ, СЗ, D3, ЕЗ), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (В 10, СЮ, D10, ЕЮ — 1-е ограничение; В11, С11, D11, El 1 — 2-е ограничение и В12, С12, D12, Е12 — 3-е ограничение). Формулы, соответствующие левым частям ограничений, представлены в табл. 1.1.
Как видно из табл. 1.1, формулы, задающие левые части ограничений задачи (1.1), отличаются друг от друга и от формулы (1.4) в целевой ячейке F6 только номером строки во втором массиве. Этот номер определяется той строкой, в которой ограничение записано в экранной форме. Поэтому для задания зависимостей для левых частей ограничений достаточно скопировать формулу из целевой ячейки в ячейки левых частей ограничений. Для этого необходимо:
• поместить курсор в поле целевой ячейки F6 и скопировать в буфер содержимое ячейки F6 (клавишами «Ctrl-Insert»);
• помещать курсор поочередно в поля левой части каждого из ограничений, то есть в F10, F11 и F12, и вставлять в эти поля содержимое буфера (клавишами «Shift-Insert») (при этом номер ячеек во втором массиве формулы будет меняться на номер той строки, в которую была произведена вставка из буфера);
• на экране в полях F10, F11 и F12 появится 0 (нулевое значение) (см. рис. 1.2).
Проверка правильности введения формул
Для проверки правильности введенных формул производите поочередно двойное нажатие левой клавиши мыши на ячейки с формулами. При этом на экране рамкой будут выделяться ячейки, используемые в формуле (рис. 1.4 и 1.5).
Задание ЦФ
Дальнейшие действия производятся в окне «Поиск решения», которое вызывается из меню «Сервис» (рис. 1.6):
• поставьте курсор в поле «Установить целевую ячейку»;
• введите адрес целевой ячейки $F$6 или сделайте одно нажатие левой клавиши мыши на целевую ячейку в экранной форме — это будет равносильно вводу адреса с клавиатуры;
• введите направление оптимизации ЦФ, щелкнув один раз левой клавишей мыши по селекторной кнопке «максимальному значению».
Ввод ограничений и граничных условий
Задание ячеек переменных
В окно «Поиск решения» в поле «Изменяя ячейки» впишите адреса $BS3:$E$3. Необходимые адреса можно вносить в поле «Изменяя ячейки» и автоматически путем выделения мышью соответствующих ячеек переменных непосредственно в экранной форме.
Задание граничных условий для допустимых значений переменных
В нашем случае на значения переменных накладывается только граничное условие неотрицательности, то есть их нижняя граница должна быть равна нулю (см. рис. 1.1).
• Нажмите кнопку «Добавить», после чего появится окно «Добавление ограничения» (рис. 1.7).
• В поле «Ссылка на ячейку» введите адреса ячеек переменных $BS3:$E$3. Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью всех ячеек переменных непосредственно в экранной форме.
• В поле знака откройте список предлагаемых знаков и выберите >.
• В поле «Ограничение» введите адреса ячеек нижней границы значений переменных, то есть $В$4:$Е$4. Их также можно ввести путем выделения мышью непосредственно в экранной форме.
Задание знаков ограничений <. >, =
• Нажмите кнопку «Добавить» в окне «Добавление ограничения».
• В поле «Ссылка на ячейку» введите адрес ячейки левой части конкретного ограничения, например $F$10. Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью нужной ячейки непосредственно в экранной форме.
• В соответствии с условием задачи (1.1) выбрать в поле знака необходимый знак, например =.
• В поле «Ограничение» введите адрес ячейки правой части рассматриваемого ограничения, например $Н$10.
• Аналогично введите ограничения: $F$11>=$Н$11, $F$12<=$H$12.
• Подтвердите ввод всех перечисленных выше условий нажатием кнопки ОК.
Окно «Поиск решения» после ввода всех необходимых данных задачи (1.1) представлено на рис. 1.6.
Если при вводе условия задачи возникает необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений или граничных условий, то это делают, нажав кнопки «Изменить» или «Удалить» (см. рис. 1.6).
Решение задачи
Установка параметров решения задачи
Задача запускается на решение в окне «Поиск решения». Но предварительно для установления конкретных параметров решения задач оптимизации определенного класса необходимо нажать кнопку «Параметры» и заполнить некоторые поля окна «Параметры поиска решения» (рис. 1.8).
Параметр «Максимальное время» служит для назначения времени (в секундах), выделяемого на решение задачи. В поле можно ввести время, не превышающее 32 767 секунд (более 9 часов).
Параметр «Предельное число итераций» служит для управления временем решения задачи путем ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести количество итераций, не превышающее 32 767.
Параметр «Относительная погрешность» служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 до 1. Чем меньше количество десятичных знаков во введенном числе, тем ниже точность. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошелся процесс оптимизации.
Параметр «Допустимое отклонение» служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения в целочисленных задачах. При указании большего допуска поиск решения заканчивается быстрее.
Параметр «Сходимость» применяется только при решении нелинейных задач.
Установка флажка «Линейная модель» обеспечивает ускорение поиска решения линейной задачи за счет применение симплекс-метода.
Подтвердите установленные параметры нажатием кнопки «ОК».
Запуск задачи на решение
Запуск задачи на решение производится из окна «Поиск решения» путем нажатия кнопки «Выполнить».
После запуска на решение задачи линейного программирования на экране появляется окно «Результаты поиска решения» с одним из сообщений, представленных на рис. 1.9, 1.10 и 1.11.
Иногда сообщения, представленные на рис. 1.10 и 1.11, свидетельствуют не о характере оптимального решения задачи, а о том, что при вводе условий задачи в Excel были допущены ошибки, не позволяющие Excel найти оптимальное решение, которое в действительности существует (см. ниже подразд.1.3.5).
Если при заполнении полей окна «Поиск решения» были допущены ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс-метод для решения задачи или довести ее решение до конца, то после запуска задачи на решение на экран будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой решение не найдено. Иногда слишком малое значение параметра «Относительная погрешность» не позволяет найти оптимальное решение. Для исправления этой ситуации увеличивайте погрешность поразрядно, например от 0,000001 до 0,00001 и т.д.
В окне «Результаты поиска решения» представлены названия трех типов отчетов: «Результаты», «Устойчивость», «Пределы». Они необходимы при анализе полученного решения на чувствительность (см. ниже подразд.3.3). Для получения же ответа (значений переменных, ЦФ и левых частей ограничений) прямо в экранной форме просто нажмите кнопку «ОК». После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи (рис. 1.12).
Целочисленное программирование
Допустим, что к условию задачи (1.1) добавилось требование целочисленности значений всех переменных. В этом случае описанный выше процесс ввода условия задачи необходимо дополнить следующими шагами.
• В экранной форме укажите, на какие переменные накладывается требование целочисленности (этот шаг делается для наглядности восприятия условия задачи) (рис. 1.13).
• В окне «Поиск решения» (меню «Сервис»—>»Поиск решения»), нажмите кнопку «Добавить» и в появившемся окне «Добавление ограничений» введите ограничения следующим образом (рис.1.14):
- в поле «Ссылка на ячейку» введите адреса ячеек переменных задачи, то есть $В$3:$Е$3;
- в поле ввода знака ограничения установите «целое»;
- подтвердите ввод ограничения нажатием кнопки «ОК».
На рис. 1.13 представлено решение задачи (1.1), к ограничениям которой добавлено условие целочисленности значений ее переменных.
Двухиндексные задачи линейного программирования
Двухиндексные задачи линейного программирования вводятся и решаются в Excel аналогично одноиндексным задачам. Специфика ввода условия двухиндексной задачи ЛП состоит лишь в удобстве матричного задания переменных задачи и коэффициентов ЦФ.
Рассмотрим решение двухиндексной задачи, суть которой заключается в оптимальной организации транспортных перевозок штучного товара со складов в магазины (табл. 1.2).
Целевая функция и ограничения данной задачи имеют вид
Экранные формы, задание переменных, целевой функции, ограничений и граничных условий двухиндексной задачи (1.5) и ее решение представлены на рис. 1.15, 1.16, 1.17 и в табл. 1.3.
Задачи с булевыми переменными
Частным случаем задач с целочисленными переменными являются задачи, в результате решения которых искомые переменные 
могут принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Такие переменные в честь предложившего их английского математика Джорджа Буля называют булевыми. На рис. 1.18 представлена экранная форма с решением некоторой двухиндексной задачи с булевыми переменными.
Рис. 1.18. Решение двухиндексной задачи с булевыми переменными
Помимо задания требования целочисленности (см. подразд.1.3.2) при вводе условия задач с булевыми переменными необходимо:
• для наглядности восприятия ввести в экранную форму слово «булевы» в качестве характеристики переменных (см. рис. 1.18);
• в окне «Поиск решения» добавить граничные условия, имеющие смысл ограничения значений переменных по их единичной верхней границе (рис. 1.19).
Вид окна «Поиск решения» для задачи с булевыми переменными, представленной на рис. 1.18, приведен на рис. 1.20.
Возможные ошибки при вводе условий задач линейного программирования
Если при решении задачи линейного программирования выдается сообщение о невозможности нахождения решения, то возможно, что причина заключается в ошибках ввода условия задачи в Excel.
Как решить задачу линейного программирования в excel
Цель работы
Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЗЛП) в табличном редакторе Microsoft Excel. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Для модели линейного программирования, соответствующей номеру Вашего варианта, найдите оптимальное решение в табличном редакторе Microsoft Excel и продемонстрируйте его преподавателю.
Инструкция по использованию microsoft excel для решения задач линейного программирования
Для того чтобы решить ЗЛП в табличном редакторе Microsoft Excel, необходимо выполнить следующие действия. 1. Ввести условие задачи:
a) создать экранную форму для ввода условия задачи:
- • переменных,
- • целевой функции (ЦФ),
- • ограничений,
- • граничных условий;
b) ввести исходные данные в экранную форму:
- • коэффициенты ЦФ,
- • коэффициенты при переменных в ограничениях,
- • правые части ограничений;
c) ввести зависимости из математической модели в экранную форму:
- • формулу для расчета ЦФ,
- • формулы для расчета значений левых частей ограничений; с!) задать ЦФ (в окне «Поиск решения»):
- • целевую ячейку,
- • направление оптимизации ЦФ;
е) ввести ограничения и граничные условия (в окне «Поиск решения»):
- • ячейки со значениями переменных,
- • граничные условия для допустимых значений переменных,
- • соотношения между правыми и левыми частями ограничений. 2. Решить задачу:
a)установить параметры решения задачи (в окне «Поиск решения»,);
b) запустить задачу на решение (в окне «Поиск решения»,);
c) выбрать формат вывода решения (в окне «Результаты поиска решения»).
Одноиндексные ЗЛП
Рассмотрим пример нахождения решения для следующей одноиндексной ЗЛП:
- Ввод исходных данных
Создание экранной формы и ввод в нее условия задачи
Экранная форма для ввода условий задачи (1) вместе с введенными в нее исходными данными представлена на рис.1.
В экранной форме на рис. 1 каждой переменной и каждому коэффициенту задачи поставлена в соответствие конкретная ячейка в Excel. Так, например, переменным задачи (1) соответствуют ячейки
коэффициентам ЦФ соответствуют ячейки
правым частям ограничений соответствуют ячейки
- Ввод зависимостей из математической модели в экранную форму
Зависимость для ЦФ.
В ячейку F6, в которой будет отображаться значение ЦФ, необходимо ввести формулу, по которой это значение будет рассчитано. Согласно (1 (значение ЦФ определяется выражением
Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel (см. рис. 1), формулу для расчета ЦФ (2) можно записать как сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (ВЗ, СЗ, D3, ЕЗ), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов ЦФ (В6, С6, D6,E6):
После этого в целевой ячейке появится 0 (нулевое значение) (рис. 2).
Зависимости для левых частей ограничений
Левые части ограничений задачи (1) представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи(ВЗ, СЗ, D3, ЕЗ), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (B10, С10, D10, Е10 — 1-е ограничение; В11, C11,D11, Е11 — 2-е ограничение и В12, С12, D12, Е12 — 3-е ограничение). Формулы, соответствующие левым частям ограничений, записать самостоятельно. Проверка правильности введения формул
Для проверки правильности введенных формул производите поочередно двойное нажатие левой клавиши мыши на ячейки с формулами. При этом на экране рамкой будут выделяться ячейки, используемые в формуле. Дальнейшие действия производятся в окне «Поиск решения», которое вызывается из меню «Сервис». Решение задачи
Установка параметров решения задачи
Задача запускается на решение в окне «Поиск решения». Но предварительно для установления конкретных параметров решения задач оптимизации определенного класса необходимо нажать кнопку «Параметры»и заполнить некоторые поля окна «Параметры поиска решения».
Параметр «Максимальное время» служит для назначения времени (в секундах), выделяемого на решение задачи. В поле можно ввести время, не превышающее 32 767 секунд (более 9 часов).
Параметр «Предельное число итераций» служит для управления временем решения задачи путем ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести количество итераций, не превышающее32 767. Параметр «Относительная погрешность» служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 до 1. Чем меньше количество десятичных знаков во введенном числе, тем ниже точность. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошелся процесс оптимизации.
Параметр «Допустимое отклонение» служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения в целочисленных задачах. При указании большего допуска поиск решения заканчивается быстрее. Параметр «Сходимость» применяется только при решении нелинейных задач. Установка флажка «Линейная модель» обеспечивает ускорение поиска решения линейной задачи за счет применение симплекс-метода. Подтвердите установленные параметры нажатием кнопки «ОК». Запуск задачи на решение
Запуск задачи на решение производится из окна «Поиск решения» путем нажатия кнопки «Выполнить».
После запуска на решение задачи линейного программирования на экране появляется окно «Результаты поиска решения» с одним из сообщений:
• Сообщение об успешном решении задачи
• Сообщение при несовместной системе ограничений задачи
• Сообщение при неограниченности ЦФ в требуемом направлении Иногда второе и третье сообщения свидетельствуют не о характере оптимального решения задачи, а о том, что при вводе условийзадачи в Excel были допущены ошибки, не позволяющие Excel найти оптимальное решение, которое в действительности существует.
Если при заполнении полей окна «Поиск решения» были допущены ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс-метод для решения задачи или довести ее решение до конца, то после запуска задачи на решение на экран будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой решение не найдено. Иногда слишком малое значение параметра»Относительная погрешность» не позволяет найти оптимальное решение. Для исправления этой ситуации увеличивайте погрешность поразрядно, например от 0,000001 до 0,00001 и т.д.
В окне «Результаты поиска решения» представлены названия трех типов отчетов: «Результаты», «Устойчивость», «Пределы». Они необходимы при анализе полученного решения на чувствительность (будет рассмотрено позже). Для получения же ответа (значений переменных, ЦФ и левых частей ограничений) прямо в экранной форме просто нажмите кнопку «ОК». После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи (рис.3).
Целочисленное программирование
Допустим, что к условию задачи (1) добавилось требование целочисленности значений всех переменных. В этом случае описанный выше процесс ввода условия задачи необходимо дополнить следующими шагами.
• В экранной форме укажите, на какие переменные накладывается требование целочисленности (этот шаг делается для наглядности восприятия условия задачи) (рис. 4).
• В окне «Поиск решения» (меню «Сервис»—►»Поиск решения»), нажмите кнопку «Добавить» и в появившемся окне «Добавление ограничений» введите ограничения целочисленности. Сравните результаты.
Получите у преподавателя индивидуальные задания.
Примеры решения экономических задач Задача 1.
Средства очистки пола оценивают по следующим трем показателям:
- • очищающие свойства;
- • дезинфицирующие свойства;
- • раздражающее воздействие на кожу.
Каждый из этих показателей измеряется по линейной шкале от 0 до 100. Продукт на рынке должен иметь по крайней мере 60 ед. очищающих свойств и по крайней мере 60 ед. дезинфицирующих свойств по соответствующей шкале. При этом раздражающее воздействие на кожу должно быть минимальным. Конечный продукт должен быть смесью трех основных очистителей, характеристики которых приведены в таблице.
Составим математическую модель задачи. Пусть 
— доля очистителя 
в конечном продукте, 
— доля очистителя 
в конечном продукте, 
— доля очистителя 
в конечном продукте.
Целевая функция: 
(т.е. минимизируем раздражающее воздействие на кожу конечного продукта).
Ограничения:
Решение задачи с помощью MS Excel.
Заполним таблицу, содержащую исходные данные. Заполним диалоговое окно
«Поиск решения».
Щелкнув по кнопке ОК, мы получаем на месте исходной таблицы — таблицу с найденными оптимальными значениями. В результате в таблице получим значение целевой функции — 31,4 ед. раздражающего воздействия на кожу при
(т.е. очистители 
нужно брать в долях 30%, 10% и 60% соответственно).
Задача 2.
Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с примесью пепла не более 3,25%. Доступны 3 сорта угля по следующим ценам (за тонну):
Как следует их смешать, чтобы удовлетворить ограничениям на примеси и минимизировать цену?
Решение задач математического программирования с помощью надстройки «Поиск решения» ЭТ Excel
Задачи линейного программирования, целочисленного программирования и ряд задач нелинейного программирования могут быть решены с помощью стандартного прикладного программного обеспечения. Например, в ЭТ MS Excel для этого имеется модуль «Поиск решения», вызываемый командой меню «Сервис/Поиск решения». Для активизации данного модуля необходимо выполнить команду «Сервис/Надстройки» и установить флажок напротив строки меню «Поиск решения».
Рассмотрим пример применения «Поиска решения» на основе решения задачи оптимизации портфеля ценных бумаг — одной из классических задач управления финансовыми средствами.
Постановка задачи. Перед инвестором стоит задача на основе информации, представленной в таблице 1, разместить имеющиеся средства так, чтобы получить максимальную прибыль за 1 период планирования (1 год), при этом должны быть выполнены следующие условия:
- Суммарный объем капитала составляет 100 000 $;
- доля средств, вложенная в один из объектов, не может превышать 25%;
- более 40% всех средств должны быть вложены в долгосрочные активы;
- доля высокорисковых активов не может превышать трети от суммарного объема.
Таблица 1 — Информация об объектах инвестирования
Построим экономико-математическую модель задачи.
Искомые переменные — объемы средств, вложенные в активы: 
.
Прибыль, которую получит инвестор, задается целевой функцией:
Сформируем ограничения:
Ограничения на суммарный объем активов —
Ограничение на размер доли каждого актива
Необходимость долгосрочного инвестирования (например, более 3 лет)
Учет необходимости снижения риска —
Естественное экономическое ограничение — неотрицательность искомых переменных —
Для решения задачи выполним следующие шаги.
- На рабочем листе представим необходимую для решения информацию, согласно рисунку 1.
Ячейки В13, Н9-Н11 должны содержать формулы, отражающие зависимость между искомыми переменными и условиями задачи. В данном случае целесообразно использовать функцию Суммпроизв(…), аргументами которой являются диапазоны B4-G4 и диапазоны соответствующих параметров.
Рисунок 1 — Исходные данные для решения ЗЛП
- Выполнить команду Сервис/Поиск решения и заполнить все поля диалогового окна:
Указать адрес ячейки (В 13), содержащей целевую функцию, указать тип целевой функции,
В поле «изменяя ячейки» указать адреса всех искомых переменных (от В4 до G4).
Затем последовательно заполнить все ограничения (Пример на рисунке 2.)
Если возникли ошибки ввода, то изменить или добавить ограничение можно с помощью командных кнопок «Добавить, изменить, удалить».
Далее, если это необходимо, устанавливаются особые значения параметров (кнопка «Параметры»).
Результаты отражаются на рабочем листе. Результаты решения представлены на рисунке 5.
Рисунок 5 — Результаты решения задачи
На рисунке 6 представлена структура инвестиционного портфеля.
На основе решения проводится анализ, и принимаются соответствующие управленческие решения.
Технология решения транспортной задачи
1. На рабочем листе представим необходимую для решения информацию, согласно рисунку 7.
Ячейки В15 содержит формулу Суммпроизв(…), аргументами которой являются диапазоны В4-Е6 и В9-Е11. Ячейки F9-F11 должны содержать формулы, отражающие зависимость между искомыми переменными и условиями задачи. В данном случае целесообразно использовать функцию Сумм(…), аргументами которой являются диапазоны В9-Е9, В10-Е 10 и В11 -Е11. Аналогично определяются формулы в В12-Е 12.
Рисунок 7 — Исходные данные для решения ЗЛП
- Выполнить команду Сервис/Поиск решения и заполнить все поля диалогового окна:
Указать адрес ячейки (В 15), содержащей целевую функцию, указать тип целевой функции (минимум),
В поле «изменяя ячейки» указать адреса всех искомых переменных (от В9 до Е11).
Затем последовательно заполнить все ограничения (Пример на рисунке 8.)
Если возникли ошибки ввода, то изменить или добавить ограничение можно с помощью командных кнопок «Добавить, изменить, удалить». Результаты отражаются на рабочем листе. Результаты решения представлены на рисунке 9.
Технология решения задачи нелинейного программирования
Построить математическую модель и решить задачу потребительского выбора для заданной функции полезности 
на товары 
, ценах 
и
доходе I. Найти максимальное значение функции полезности.
Построим математическую модель задачи потребительского выбора:
где 
— число потребляемых товаров или благ, 
— потребительский набор, 
— функция полезности потребителя.
Набор, который является решением задачи потребительского выбора, называется оптимальным потребительским набором, или точкой локального рыночного равновесия потребителя. Поставленная задача — задача потребительского выбора — является задачей нелинейного программирования.
- На рабочем листе представим необходимую для решения информацию, согласно рисунку 10.
Ячейки В5, В6 должны содержать формулы, отражающие зависимость между искомыми переменными и условиями задачи. В данном случае ячейка В5 содержит формулу «=D2B2+E2C2», а ячейка В6 содержит формулу «=2В2Л(3/4)(С2-4)А(1/4)».
Рисунок 10 — Исходные данные для решения ЗНП
- Выполнить команду Сервис/Поиск решения и заполнить все поля диалогового окна:
Аналитическое решение задачи нелинейного программирования.
В рассматриваемом случае ограничение можно записать в виде строгого равенства, так как оптимальное решение достигается при полном использовании имеющихся средств.
Для решения классической задачи нелинейного программирования применим метод множителей Лагранжа, для этого составим функцию Лагранжа:
Найдем точки экстремума функции Лагранжа.
Приравняем каждое уравнение к 0:
С помощью преобразований — разделим первое уравнение системы на второе, перейдем к системе:
Подставим второе уравнение в первое и построим аналитические функции спроса:
Максимальное значение функции полезности-
Решением задачи потребительского выбора будет набор 
Возможно эти страницы вам будут полезны:
- Решение задач по математическому программированиюПримеры решения задач по математическому программированиюЗаказать работу по математическому программированиюПомощь по математическому программированиюЗадачи математического программированияЗадача линейного программированияРешение задач по линейному программированиюМетоды решения задач линейного программированияГрафическое решение задач линейного программированияГрафический метод решения задач линейного программированияЗаказать работу по линейному программированиюПомощь по линейному программированиюКонтрольная работа по линейному программированиюКурсовая работа по линейному программированию
Ранее я писал, что для принятия решений с учетом ограничивающих факторов может использоваться линейное программирование. Напомню, что этот метод решает проблему распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими видами деятельности с тем, чтобы максимизировать или минимизировать некоторые численные величины, такие как маржинальная прибыль или расходы.
При решении задач линейного программирования, во-первых, необходимо составить модель, то есть сформулировать условия на математическом языке. После этого решение может быть найдено графически (см., например, здесь), с использованием надстройки Excel «Поиск решения» (рассмотрено в настоящей заметке) или с помощью специализированных компьютерных программ (см., например, здесь).
Рассмотрим линейное программирование в Excel на примере задачи, ранее решенной графическим методом.
Задача. Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно. Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд. На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц. Необходимо определить количество единиц продуктов А и В, которые Николай доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.
Скачать заметку в формате Word, пример в формате Excel
1. Воспользуемся математической моделью построенной в упомянутой заметке. Вот эта модель:
Максимизировать: Z = 2500 * х1 + 3500 *х2
При условии, что: 3 * х1 + 10 * х2 ≤ 330
16 * х1 + 4 * х2 ≤ 400
6 * х1 + 6 * х2 ≤ 240
х2 ≥ 12
х1 ≥ 0
2. Создадим экранную форму и введем в нее исходные данные (рис. 1).
Рис. 1. Экранная форма для ввода данных задачи линейного программирования
Обратите внимание на формулу в ячейке С7. Это формула целевой функции. Аналогично, в ячейки С16:С18 введены формулы для расчета левой части ограничений.
3. Проверьте, если у вас установлена надстройка «Поиск решения» (рис. 2), пропустите этот пункт.
Рис. 2. Надстройка Поиск решения установлена; вкладка «Данные», группа «Анализ»
Если надстройки «Поиск решения» вы на ленте Excel не обнаружили, щелкните на кнопку Microsoft Office, а затем Параметры Excel (рис. 3).
Рис. 3. Параметры Excel
Выберите строку Надстройки, а затем в самом низу окна «Управление надстройками Microsoft Excel» выберите «Перейти» (рис. 4).
Рис. 4. Надстройки Excel
В окне «Надстройки» установите флажок «Поиск решения» и нажмите Ok (рис. 5). (Если «Поиск решения» отсутствует в списке поля «Надстройки», чтобы найти надстройку, нажмите кнопку Обзор. В случае появления сообщения о том, что надстройка для поиска решения не установлена на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить ее.)
Рис. 5. Активация надстройки «Поиск решения»
После загрузки надстройки для поиска решения в группе Анализ на вкладке Данные становится доступна команда Поиск решения (рис. 2).
4. Следующим этапом заполняем окно Excel «Поиск решения» (рис. 6)
Рис. 6. Заполнение окна «Поиск решения»
В поле «Установить целевую ячейку» выбираем ячейку со значением целевой функции – $C$7. Выбираем, максимизировать или минимизировать целевую функцию. В поле «Изменяя ячейки» выбираем ячейки со значениями искомых переменных $C$4:$D$4 (пока в них нули или пусто). В области «Ограничения» с помощью кнопки «Добавить» размещаем все ограничения нашей модели. Жмем «Выполнить». В появившемся окне «Результат поиска решения» выбираем все три типа отчета (рис. 7) и жмем Ok. Эти отчеты нужны для анализа полученного решения. Подробнее о данных, представленных в отчетах, можно почитать здесь.
Рис. 7. Выбор типов отчета
На основном листе появились значения максимизированной целевой функции – 130 000 руб. и изменяемых параметров х1 = 10 и х2 = 30. Таким образом, для максимизации маржинального дохода Николаю в следующем месяце следует произвести 10 единиц продукта А и 30 единиц продукта В.
Если вместо окна «Результат поиска решения» появилось что-то иное, Excel`ю найти решение не удалось. Проверьте правильность заполнения окна «Поиск решения». И еще одна маленькая хитрость. Попробуйте уменьшить точность поиска решения. Для этого в окне «Поиск решения» щелкните на Параметры (рис. 8.) и увеличьте погрешность вычисления, например, до 0,001. Иногда из-за высокой точности Excel не успевает за 100 итераций найти решение. Подробнее о параметрах поиска решения можно почитать здесь.
Рис. 8. Увеличение погрешности вычислений
15
Лабораторная
работа № 1
Цель работы:изучение современных программных
средств решения задачи линейного
программирования; практическое решение
задач линейного программирования
графическим методом, симплекс-методом
и средствами программыMicrosoftExcel; программная реализация
симплекс-метода на языке программирования
высокого уровня.
1. Теоретическая часть
Для решения задач
линейного программирования в программе
Microsoft
Excel
имеется надстройка Поиск
решения,
обращение
к которой производится из меню Сервис.
Если команда
Поиск решения
отсутствует в меню Сервис,
то требуется установить надстройку
«Поиск решения». Для этого в меню Сервис
выбирается команда Надстройки,
которая открывает диалоговое окно,
показанное на рис. 1.
Рис. 1
Далее в этом окне
устанавливается флажок той надстройки,
которую необходимо загрузить, и нажимается
кнопка OK.
Покажем использование
надстройки
«Поиск решения» на примере решения
следующей задачи.
Постановка задачи
Предприятие
изготавливает и реализует три вида
продукции – P1,
Р2
и Р3.
Для производства продукции используются
три вида ресурсов – комплектующие
изделия, сырье и материалы. Запасы
ресурсов и их расход на изготовление
единицы продукции каждого вида приведены
в табл. 1.
Таблица 1
|
Виды |
Расходы |
Запасы ресурсов, |
||
|
P1 |
P2 |
P3 |
||
|
Комплектующие |
4 |
6 |
8 |
3120 |
|
Сырье |
2 |
8 |
10 |
3000 |
|
Материалы |
6 |
9 |
4 |
3150 |
Прибыль от реализации
единицы продукции каждого вида составляет
240, 210 и 180 денежных единиц для P1,
Р2
и Р3
соответственно.
Требуется определить
производственную программу предприятия
таким образом, чтобы прибыль от реализации
продукции была максимальной.
Математическая модель задачи
Обозначим переменными
x1,
x2
и x3
искомые объемы производства продукции
видов P1,
Р2
и Р2,
а через F
– прибыль предприятия. Тогда математическая
постановка представленной задачи
принимает следующий вид.
Определить значения
переменных x1,
x2
и x3,
для которых достигается максимум целевой
функции
F
=
240 x1
+ 210 х2
+ 180 x3
при ограничениях:
Целевая функция
описывает суммарную прибыль от реализации
произведенной продукции всех трех
видов. Ограничения (1), (2) и (3) учитывают
расход и запасы комплектующих изделий,
сырья и материалов соответственно.
Поскольку объемы производства продукции
не могут быть отрицательными, добавляются
условия
x1
≥ 0; x2
≥ 0; x3
≥ 0.
Порядок оптимального решения задачи
Примерные действия,
необходимые для решения задачи линейного
программирования средствами программы
Excel,
представим в виде последовательности
шагов.
Шаг 1.
Исходные данные задачи записываются
на рабочем листе электронной таблицы.
Один из вариантов показан на рис. 2.
Рис. 2
Замечание.
Если известно исходное допустимое
базисное решение, то можно несколько
ускорить процесс поиска оптимального
решения. Для этого начальные значения
некоторых или всех переменных могут
быть заданы вручную. В данном примере
для их хранения используются ячейки
$B$2,
$C$2
и $D$2.
Если допустимое базисное решение не
задано, то программа Excel
автоматически определяет начальные
значения переменных задачи.
Шаг 2.
В ячейку E3
вводится формула
=СУММПРОИЗВ(В3:D3;
$B$2:$D$2)
для вычисления
текущего значения целевой функции,
которая находит сумму попарных
произведений ячеек (В3:D3)
с коэффициентами при переменных в
выражении целевой функции на ячейки
($B$2:$D$2)
с текущими значениями переменных.
Шаг 3.
Чтобы задать ограничения решаемой
задачи, в ячейки E5,
E6
и E7
копируется формула из ячейки E3.
После этого в указанных ячейках должны
быть получены формулы, представленные
в табл. 2.
Таблица
2
-
Ячейка
Содержание
(формула)E5
=СУММПРОИЗВ(В5:D5;
$B$2:$D$2)E6
=СУММПРОИЗВ(В6:D6;
$B$2:$D$2)E7
=СУММПРОИЗВ(В7:D7;
$B$2:$D$2)
Шаг 4.
После создания таблицы с исходными
данными курсор устанавливается в ячейку
E3,
содержащую формулу для вычисления
целевой функции. Далее в меню Сервис
выбирается
команда Поиск
решения,
которая открывает диалоговое окно,
приведенное на рис. 3.
Рис. 3
В поле Установить
целевую ячейку
окна «Поиск решения», показанного на
рис. 3, должен
появиться адрес ячейки с формулой
целевой функции (в данном примере это
ячейка $E$3).
Затем в этом окне
(рис. 3) заполняются следующие поля этого
окна:
— в поле Равной
переключатель вида экстремума целевой
функции устанавливается в положение
максимальное
значение
(или минимальное
значение
при
соответствующей постановке задачи);
— в поле Изменяя
ячейки
указывается
диапазон ячеек со значениями переменных
задачи, выделяемый на рабочем листе
электронной таблицы (в примере это
ячейки $B$2:$D$2);
— в поле Ограничения
задаются
ограничения исходной задачи. Для этого
курсор устанавливается в поле ввода
ограничений и нажимается кнопка Добавить.
В результате
выводится диалоговое окно «Добавление
ограничения», показанное на рис. 4.
Рис. 4
В этом окне в поле
Ссылка на
ячейку
вводится
адрес ячейки
с формулой соответствующего ограничения
(например, для ограничения (1) это будет
ячейка E5),
а в поле Ограничение
указывается
предельное значение, которое может
принимать выбранное ограничение (в
данном примере правая часть ограничения
(1) находится в ячейке G5).
Следует заметить,
что заполнение полей Ссылка
на ячейку
и Ограничение
в окне «Добавление
ограничения» можно выполнить выделением
соответствующих ячеек рабочего листа
электронной таблицы.
Затем выбирается
вид отношения, связывающего левую и
правую части ограничения, что показано
на рис. 5.
Рис. 5
После нажатия
кнопки Добавить
в окне
«Добавление ограничения»
(или кнопки
ОК
для ввода
последнего ограничения) данное ограничение
попадает в список ограничений решаемой
задачи. С помощью кнопок Удалить
и Изменить
можно удалять
выделенные в списке ограничения или
вносить в них исправления.
Замечание.
В окне «Добавление
ограничения» можно указать, что все или
некоторые переменные должны принимать
только целые значения (рис. 5). Это
позволяет получать решения задач
целочисленного линейного программирования
(полностью или частично целочисленных).
Шаг 5.
После заполнения всех полей окна «Поиск
решения» нажимается кнопка Параметры
(рис. 3),
которая открывает диалоговое окно
«Параметры поиска решения», показанное
на рис. 6.
Рис. 6
В этом окне требуется
установить флажки Линейная
модель
для решения
задачи линейного программирования и
Неотрицательные
значения,
если такое
условие накладываются на все переменные
задачи.
Здесь (рис. 6) также
можно определить параметры процесса
решения: предельное время поиска решения,
максимальное количество итераций,
точность и т.п. Флажок Показывать
результаты
итераций
позволяет по шагам следить за поиском
решения. Флажок Автоматическое
масштабирование
включается
в том случае, когда разброс значений
переменных очень велик.
Шаг 6.
Задав необходимые параметры в окне
«Параметры
поиска решения»,
следует нажать на кнопку Выполнить
для поиска
решения задачи (рис. 3) в
окне «Поиск решения».
Если решение найдено, то на экран
выводится окно с соответствующим
сообщением (рис. 7).
Рис. 7
Полученные
результаты отображаются на рабочем
листе электронной таблицы, как это
показано на рис. 8. В частности, значения
переменных — в ячейках $B$2:$D$2,
значение целевой функции – в ячейке
E3.
Рис. 8
Таким образом,
получено оптимальное решение исходной
задачи в виде вектора
,
где
,
и
,
для которого значение целевой функцииF
максимально и составляет F*
= 129825.
Результаты решения
задачи линейного программирования
также можно сохранить в виде отдельных
рабочих листов с именами Отчет
по результатам,
Отчет
по устойчивости
и Отчет
по пределам.
Для сохранения
результатов в виде отчетов необходимо
предварительно в поле Тип
отчета
выделить
требуемые типы отчетов (рис. 7). В этом
же окне можно отказаться от полученных
решений и восстановить исходные значения
переменных.
Отчет по результатам
для рассмотренной задачи показан
на рис. 9.
Рис. 9
В данном отчете
представлены оптимальное решение задачи
линейного программирования и его
расположение в области допустимых
решений. В графах Результат
выводятся
оптимальные значения целевой функции
F*
и переменных задачи
,
а также их значения для исходного
базисного решения, с которого начинался
поиск оптимального решения (графаИсходное
значение).
Состояние
ограничений (графа Статус)
характеризует расположение точки
в области допустимых решений. ГрафаРазница
показывает разности между значениями
левых и правых частей ограничений
(невязки). Для связанного ограничения
невязка равна нулю, что свидетельствует
о расположение точки
на границе области допустимых решений,
которая задается этим ограничением.
Если ограничение являются не связанным,
то оно не влияет на оптимальное решение.
Замечание.
В экономической интерпретации связанные
ограничения соответствуют дефицитным
ресурсам. Для не связанных ограничений
графа Разница
показывает оставшиеся объемы
неиспользованных не дефицитных ресурсов.
В рассмотренной задаче ограничения (1)
и (3) соответствуют комплектующим изделиям
и материалам, которые являются дефицитными
ресурсами. Ограничение (2) является не
связанным, т.е. не влияет на оптимальный
план производства продукции по критерию
максимальной прибыли. Это означает, что
второй ресурс (сырье) не использован в
объеме 292,5 ед.
В
отчете по устойчивости (рис.
10) приведены
границы устойчивости переменных задачи
(графы Допустимое
увеличение
и Допустимое
уменьшение
коэффициентов целевой функции), а также
границы устойчивости теневых цен (т.е.
переменных двойственной задачи), в
пределах которых оптимальное решение
не изменяется. Большие
значения пределов (1Е+30)
означают фактическое
отсутствие соответствующих границ,
т.е. переменная может изменяться до
бесконечности.
Рис. 10
В графе Нормированная
стоимость
элемент во второй строке
(-150) показывает,
на сколько уменьшится значение функции,
если в решении переменную x2
увеличить на единицу. С другой стороны,
при допустимом увеличении коэффициента
функции при неизвестной x2
на 150 единиц значение этой переменной
не изменится, т.е. неизвестная x2
будет равна нулю, а если выйти за пределы
допустимого увеличения (коэффициент
при x2
увеличить более чем на 150), то неизвестная
x2
в решении будет больше нуля.
В
отчете
по пределам
(рис. 11) показаны нижние и верхние пределы
возможного изменения переменных (в
пределах области допустимых решений)
и соответствующие значения целевой
функции (графа Целевой
результат)
при этих изменениях. В частности, если
x1
= 0, а x2
и x3
остаются без изменений, то F
= 2400
+ 2100
+ 180191,25
= 34425; при x3
= 0 и неизменных x1
и x2
получим F
= 240397,5
+ 2100
+ 1800
= 95400.
Рис. 11
Соседние файлы в папке 3922
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Skip to content
Рассмотрим решение задачи линейного программирования с помощью симплекс-метода в Excel на примере
Целевая функция имеет вид
Z = 35∙x1+25∙x2+10∙x3+20∙x4→ max
Ограничения, записанные в виде системы линейных уравнений
4∙x1+1∙x2+2∙x3+0∙x4 ≤ 120
1∙x1+3∙x2+1∙x3+1∙x4 ≤ 160∙
2∙x1+1∙x2+1∙x3+3∙x4 ≤ 130
x1, x2, x3, x4 ≥ 0 – целые
Теперь данную задачу для решения запишем в Excel
В ячейке E4 вставим формулу
=A4*A5+B4*B5+C4*C5+D4*D5
Для ячейки E7, E8 и E9 формула будет иметь вид
=$A$4*A7+$B$4*B7+$C$4*C7+$D$4*D7
=$A$4*A8+$B$4*B8+$C$4*C8+$D$4*D8
=$A$4*A9+$B$4*B9+$C$4*C9+$D$4*D9
Также можно воспользоваться формулой:
=СУММПРОИЗВ(A4:D4;A7:D7)
На вкладке данные переходим в Поиск решения
Выбираем ячейку с целевой функцией, ставим галочку максимум, далее выбираем ячейки изменяемых переменных ($A$4:$D$4) и добавляем ограничения при помощи кнопки Добавить. Также ставим галочку переменные без ограничений неотрицательные, выбираем, выбираем метод решения – симплекс-метод решения линейных задач.
Можно также перейти в параметры и настроить точность.
Итак, нажимаем Найти решение, появляется окно результаты поиска решений, выбираем сохранить найденное решение.
В итоги получили решения задачи
Z=2015
x1=19; x2=42; x3=0; x4=15
21598
Изучив алгоритмы «ручного» решения задач линейного программирования, полезно познакомиться и со способом упростить этот процесс. Ясно, что чем сложнее задача, чем больше в ней переменных и условий, тем утомительнее и дольше ее решать. В таких случаях удобно использовать специальные математические пакеты, или доступную многим программу MS Excel (версии 2003, 2007, 2010, 2013 и др.).
Решить задачи линейного программирования в Excel достаточно просто:
- составить математическую модель задачи,
- внести исходные данные задачи и ограничения,
- выделить место под ячейки решения и целевую функцию, ввести ее формулу,
- запустить надстройку Поиск решения,
- установить нужные параметры решения и запустить выполнение.
Программа подберёт оптимальное решение и покажет его в нужных ячейках, вычислит значение целевой функции. При необходимости можно построить отчеты для анализа решения задачи.
Подробнее все эти этапы с пояснениями и скриншотами разобраны ниже в примерах на разных задачах линейного программирования — изучайте, ищите похожие, решайте.
Помогаем студентам: Работы по линейному программированию на заказ
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Линейное программирование: примеры в Excel
Задача 1. Построить математическую модель задачи и решить её средствами Excel. Записать сопряжённую задачу. Провести анализ и сделать выводы по полученным результатам.
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует различные ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в таблице.
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует выпускать, чтобы прибыль от реализации была максимальной.
Задача 2. Цех производит 8 различных видов деталей для двигателей A, B, C1, C2, C3, D, E6, F имея в своем распоряжении перечисленный ниже парк из 7 видов универсальных станков: 2 шт. -ADF, 3 шт. -SHG, 3 шт. -BSD, 1 шт. -AVP, 1 шт. -BFG, 3 шт. -ABM, 2 шт. -RL.
Время, требуемое для обработки единицы каждого продукта на каждом станке, вклад в прибыль от производства единицы каждого продукта и рыночный спрос на каждый продукт за месяц даны в таблице.
Цех работает 12 часов в день. Каждый месяц содержит 26 рабочих дней. Для упрощения задачи считаем, что возможен произвольный порядок обработки деталей на различных станках.
Составьте оптимальный план производства.
Определите, производство каких продуктов лимитировано рынком, и каких – техническими возможностями цеха. Какие машинные ресурсы должны быть увеличены в первую очередь, чтобы добиться максимального увеличения прибыли (при заданных потребностях рынка)?
Есть ли продукт, который невыгодно производить? Почему? Что нужно изменить, чтобы все продукты стало выгодно производить?
Может пригодиться: транспортные задачи в Excel
Задача 3. Необходимо составить самый дешевый рацион питания цыплят, содержащий необходимое количество определенных питательных веществ тиамина Т и ниацина Н. Пищевая ценность рациона (в калориях) должна быть не менее заданной. Смесь для цыплят изготавливается из двух продуктов — К и С. Известно содержание тиамина и ниацина в этих продуктах, а также питательная ценность К и С (в калориях). Сколько К и С надо взять для одной порции куриного корма, чтобы цыплята получили необходимую им дозу веществ Н и Т и калорий (или больше), а стоимость порции была минимальна? Исходные данные для расчетов приведены в таблице.
Задача 4. Фирма «Компьютер-сервис» поставляет компьютеры под ключ четырех базовых комплектаций: «домашний», «игровой», «офисный» и «экстрим». Известны средние затраты времени на сборку, проверку и подключение компьютеров. Каждый компьютер приносит определенный уровень прибыли, но спрос ограничен. Кроме того, в плановом периоде ограничен ресурс человеко-часов, отведенных на выполнение каждой производственной операции. Определить, сколько компьютеров каждого типа необходимо произвести в плановом периоде, имея целью максимизировать прибыль.
Задача 5. На лесопилку поступают доски длиной 10 м. По контракту лесопилка должна поставить клиенту не менее 100 досок длиной 5 м, не менее 200 досок длиной 4 м и не менее 300 досок длиной 3 м. Как работникам лесопилки выполнить условия контракта, разрезав наименьшее количество досок?
Помогаем с контрольными по линейному программированию
Задача 6. Компания «Евростройтур» организует экскурсионные автобусные туры по странам Европы. Компания получила 4 новых автобуса и предполагает направить их на маршруты во Францию, Италию, Чехию и Испанию.
Каждый автобус обслуживают 2 водителя. Компанией приглашены 8 водителей, в различной степени знакомых с дорогами европейских стран (в % от экскурсионного маршрута).
Необходимо распределить водителей так, чтобы общий показатель освоения маршрутов был максимальным.
Задача 7. Решить задачу методом ветвей и границ, решая отдельные задачи линейного нецелочисленного программирования с помощью функции «Поиск решения» в Microsoft Excel (в случае, если первая же задача ЛП выдает целочисленное решение, не позволяя ветвить задачу, немного изменить начальные условия).
Состав еды рядовых регламентируется верховной ставкой главнокомандующего, которая устанавливает нижние нормы питания в сутки по основным компонентам: 1500 килокалорий, 100 г белков, 280 г углеводов, 90 г жиров, 1 кг воды. На складах есть 4 вида продуктов, которые выдают защитникам Родины сухим пайком: лимонад, тушенка в маленьких банках, унифицированные наборы горбушек и пирожки с ежевикой. Стоимость этих четырех продуктов соответственно 12 руб., 34 руб., 3 руб. и 20 руб. Какова минимальная сумма, которую должен затратить прапорщик на питание одного солдата?
Задача 8. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие 1 и Изделие 2. На изготовление единицы Изделия 1 требуется затратить a11 кг сырья первого типа, a21 кг сырья второго типа, a31 кг сырья третьего типа.
На изготовление единицы Изделия 2 требуется затратить a12 кг сырья первого типа, a22 кг сырья второго типа, a32 кг сырья третьего типа.
Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве b1 кг, b2 кг, b3 кг соответственно.
Рыночная цена единицы Изделия 1 составляет c1 тыс. руб., а единицы Изделия 2 — c2 тыс.руб.
Требуется:
1) построить экономико – математическую модель задачи;
2) составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации при помощи графического метода решения задачи линейного программирования.
3) составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации при помощи табличного симплекс – метода решения задачи линейного программирования.
4) составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации, используя надстройку «Поиск решения» в среде MS EXCEL.
Полезные ссылки
|
|
Инфоурок
›
Другое
›Презентации›Решение задач линейного программирования в MS Excel
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 395 человек из 62 регионов
- Сейчас обучается 264 человека из 64 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Решение задач линейного программирования
в MS Excel -
2 слайд
Общая задача линейного программирования решается симплексным методом
Симплекс (лат. simplex — простой) – простейший выпуклый многогранник
в n-мерном пространстве с n+1 вершиной (например, тетраэдр в 3-мерном пространстве) -
3 слайд
Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений (и совпадает с одним из допустимых базисных решений системы ограничений)
На рисунке: оптимальное решение находится в одной из вершин многоугольника решений А, В, С, D -
4 слайд
Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника ограничений к соседней, в которой целевая функция принимает лучшее (по крайней мере, не худшее) значение
-
5 слайд
Впервые симплексный метод был предложен американским ученым Дж. Данцигом в 1949 г.
Джордж Бернард Данциг (1914-2005) – американский математик, разработал симплексный алгоритм, считается основоположником методов линейного программирования
Леонид Витальевич Канторович (1912-1986) – советский математик и экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1975 года «за вклад в теорию оптимального распределения ресурсов». Один из создателей линейного программирования
Идеи симплексного метода были разработаны в 1939 г. российским ученым Л.В.Канторовичем -
6 слайд
Симплексный метод позволяет решить любую задачу линейного программирования
В настоящее время он используется для компьютерных расчетовРассмотрим решение задачи линейного программирования в MS Excel
-
7 слайд
В MS Excel для решения задачи линейного программирования используется надстройка ПОИСК РЕШЕНИЯ
-
8 слайд
Сначала надстройку Поиск решения необходимо подключить (до первого использования)
В MS Excel 2003:
Сервис /
Надстройки /
Поиск решения /
OKПосле этого команда Поиск решения включена в меню Сервис
-
9 слайд
В MS Excel 2007:
1) Кнопка Office (левый верхний угол окна программы)
2) Кнопка Параметры Excel (внизу окна меню)
3) Надстройки
1
2
3 -
10 слайд
В MS Excel 2007:
4) Кнопка Перейти (внизу окна Параметры Excel)
4
3 -
11 слайд
В окне Надстройки установить флажок и нажать ОК
В MS Excel 2007 кнопка Поиск решения появится во вкладке Данные
-
12 слайд
В MS Excel 2007 кнопка Поиск решения появится во вкладке Данные
-
13 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
1
2 -
14 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
3
4
СРС
СРС -
-
16 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
1. Создадим область переменных
Ячейки В2:В6 будут играть роль переменных
(пока они пусты) -
17 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
2. Введем формулу вычисления значений целевой функцииНапример, в ячейку А8
-
18 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
3. Создадим область ограничений
В ячейках А11:А13 будем вычислять левые части ограничений в системеВ ячейках В11:В13 введем правые части ограничений системы
-
19 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
3. Создадим область ограничений
В ячейках А11:А13 будем вычислять левые части ограничений в системе
Первое ограничение -
20 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
3. Создадим область ограничений
В ячейках А11:А13 будем вычислять левые части ограничений в системе
Второе ограничение -
21 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
3. Создадим область ограничений
В ячейках А11:А13 будем вычислять левые части ограничений в системе
Третье ограничение -
22 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
4. Вызовем окно диалога Поиск решения
При этом удобно, если активной ячейкой является ячейка со значением целевой функции -
23 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
Устанавливаем целевую ячейку А8 (там где вычисляется значение целевой функции)
Указываем направление оптимизации – минимизация (по условию)
В поле Изменяя ячейки указываем ячейки переменных В2:В6 -
24 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
Укажем ограничения
4) Нажимаем кнопку ДобавитьПоявится окно Добавление ограничения
-
25 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
Укажем ограничения
5) Неотрицательность переменных:Нажать кнопку Добавить
6) Остальные ограничения:Нажать OK
-
26 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
Осталось нажать кнопку Выполнить -
27 слайд
Решим в MS Excel задачу линейного программирования
РезультатыОтвет:
-
28 слайд
Литература
Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Исследование операций в экономике. — М.: ЮНИТИ, 2003. — 407 с.
Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. — СПб.: Питер, 2005. — 464 с.
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 212 200 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 27.12.2020
- 3372
- 1
- 27.12.2020
- 4749
- 2
- 27.12.2020
- 4952
- 11
- 27.12.2020
- 5787
- 13
- 27.12.2020
- 5022
- 9
- 27.12.2020
- 4058
- 1
- 27.12.2020
- 3884
- 0
- 27.12.2020
- 3907
- 1
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Подростковый возраст — важнейшая фаза становления личности»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация и предоставление туристских услуг»
-
Курс профессиональной переподготовки «Клиническая психология: организация реабилитационной работы в социальной сфере»
-
Курс профессиональной переподготовки «Логистика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Правовое регулирование рекламной и PR-деятельности»
-
Курс повышения квалификации «Финансы предприятия: актуальные аспекты в оценке стоимости бизнеса»
-
Курс профессиональной переподготовки «Управление ресурсами информационных технологий»
-
Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»
-
Курс профессиональной переподготовки «Корпоративная культура как фактор эффективности современной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Осуществление и координация продаж»
-
Курс профессиональной переподготовки «Технический контроль и техническая подготовка сварочного процесса»
-
Настоящий материал опубликован пользователем Стринадко Ольга Эдуардовна. Инфоурок является
информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте
методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них
сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайтЕсли Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с
сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.Удалить материал
-
- На сайте: 2 года и 3 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 54232
-
Всего материалов:
217
history 7 февраля 2021 г.
- Группы статей
- Надстройка «Поиск решения»
Стандартная задача линейного программирования (ограничения на переменные выражены неравенствами) решена нами с помощью Поиска решения в предыдущей статье. Пример записи ограничений в такой задаче приведен ниже:
Как видно из картинки выше в задаче задано 3 ограничения (неравенства). Есть еще 4 ограничения (по числу переменных) — все переменные должны больше 0.
Примечание: В стандартной задаче все переменные больше 0. На то она и стандартная.
В этой статье сведем стандартную задачу к каноническому виду и решим ее с помощью Поиска решения (Solver) в MS EXCEL.
Дадим определение.
Канонической называется задача линейного программирования, которая состоит в нахождении максимального или минимального значения целевой функции при условии, что все ограничения являются равенствами.
Примечание: Каноническая форма необходима для решения задачи симплекс методом (SIMPLEX LP).
Теперь задача.
Пусть требуется максимизировать целевую функцию F(x1, x2, x3, x4) = 2*x1+3*x2+x3-5*x4
Примечание: Ограничения задачи заданы выше.
Для приведения задачи к канонической форме введем дополнительные (свободные) переменные (т.е. произведем эквивалентные преобразования). Так как у нас три ограничения, то и дополнительных переменных должно быть 3. Введение этих переменных позволяет избавиться от неравенств в ограничениях и заменить их на равенства.
Совет: для знакомства с Поиском решения см. эту статью.
Решение
Сначала на лист EXCEL поместим все коэффициенты из 3-х неравенств (3х4) и добавим еще коэффициенты для 3-х свободных переменных (в форме единичной матрицы 3х3).
Также нужно заполнить столбец свободных членов (правая часть неравенств, синие ячейки).
Теперь определим ячейки для хранения значений переменных х, выделим их зеленым цветом и расположим их в одном столбце (а не в строке). Значения этих ячеек Поиск решения будет изменять, чтобы максимизировать функцию F.
Напомним, что в задаче 4 переменных (x1, x2, x3, x4) и 3 дополнительных переменных (x5, x6, x7), необходимых для сведения задачи к каноническому виду, поэтому нам потребовалось 7 ячеек.
Теперь вычислим значения левых частей наших 3-х ограничений, то есть умножим коэффициенты Матрицы А на столбец переменных (Матрица Х, или просто столбец с переменными). Это можно сделать с помощью формулы =МУМНОЖ(B21:H23;B28:B34), т.е. использовав умножение матриц. Формулу нужно вводить как формулу массива, возвращающим сразу несколько значений.
Примечание. Альтернативным и интуитивно более понятным подходом является использование формулы =СУММПРОИЗВ(B21:H21;ТРАНСП($B$28:$B$34)) Это реализовано в файле примера. Формулу тоже нужно ввести как формулу массива, т.к. СУММПРОИЗВ() работает с массивами (векторами), которые оба размещены по строкам или по столбцам. В нашем случае это не так: коэффициенты размещены в одной строке, а значения х в столбце, поэтому использована функция ТРАНСП() для транспонирования столбца с переменными. Можно, конечно, предварительно транспонировать столбец в строку, в этом случае функцию СУММПРОИЗВ() можно вводить как обычную формулу.
Итак, у нас полностью сформировалось 3 ограничения: левая часть выражения (элементы Матрицы В) и правая часть (дано). Выделим эти ячейки синим цветом, чтобы было удобнее вводить условия в окно Поиска решения. Т.к. мы ввели дополнительные переменные, то ограничения теперь заданы в виде равенств — это канонический вид.
Осталось задать целевую функцию, умножив коэффициенты на ячейки с переменными (дополнительные переменные использовать не нужно). Это проще всего сделать формулой =СУММПРОИЗВ(B40:B43;B28:B31)
В окне Поиска решения задайте параметры оптимизации.
Совет: О том как установить Поиск решения см. эту статью.
Поиск решения сам предложил решить задачу Симплекс-методом, а также сделать переменные неотрицательными.
После запуска Поиска решения решение будет найдено и оно, конечно, совпадет с решением задачи, которая была решена в стандартной форме.