Ранее я писал, что для принятия решений с учетом ограничивающих факторов может использоваться линейное программирование. Напомню, что этот метод решает проблему распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими видами деятельности с тем, чтобы максимизировать или минимизировать некоторые численные величины, такие как маржинальная прибыль или расходы.
При решении задач линейного программирования, во-первых, необходимо составить модель, то есть сформулировать условия на математическом языке. После этого решение может быть найдено графически (см., например, здесь), с использованием надстройки Excel «Поиск решения» (рассмотрено в настоящей заметке) или с помощью специализированных компьютерных программ (см., например, здесь).
Рассмотрим линейное программирование в Excel на примере задачи, ранее решенной графическим методом.
Задача. Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно. Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд. На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц. Необходимо определить количество единиц продуктов А и В, которые Николай доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.
Скачать заметку в формате Word, пример в формате Excel
1. Воспользуемся математической моделью построенной в упомянутой заметке. Вот эта модель:
Максимизировать: Z = 2500 * х1 + 3500 *х2
При условии, что: 3 * х1 + 10 * х2 ≤ 330
16 * х1 + 4 * х2 ≤ 400
6 * х1 + 6 * х2 ≤ 240
х2 ≥ 12
х1 ≥ 0
2. Создадим экранную форму и введем в нее исходные данные (рис. 1).
Рис. 1. Экранная форма для ввода данных задачи линейного программирования
Обратите внимание на формулу в ячейке С7. Это формула целевой функции. Аналогично, в ячейки С16:С18 введены формулы для расчета левой части ограничений.
3. Проверьте, если у вас установлена надстройка «Поиск решения» (рис. 2), пропустите этот пункт.
Рис. 2. Надстройка Поиск решения установлена; вкладка «Данные», группа «Анализ»
Если надстройки «Поиск решения» вы на ленте Excel не обнаружили, щелкните на кнопку Microsoft Office, а затем Параметры Excel (рис. 3).
Рис. 3. Параметры Excel
Выберите строку Надстройки, а затем в самом низу окна «Управление надстройками Microsoft Excel» выберите «Перейти» (рис. 4).
Рис. 4. Надстройки Excel
В окне «Надстройки» установите флажок «Поиск решения» и нажмите Ok (рис. 5). (Если «Поиск решения» отсутствует в списке поля «Надстройки», чтобы найти надстройку, нажмите кнопку Обзор. В случае появления сообщения о том, что надстройка для поиска решения не установлена на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить ее.)
Рис. 5. Активация надстройки «Поиск решения»
После загрузки надстройки для поиска решения в группе Анализ на вкладке Данные становится доступна команда Поиск решения (рис. 2).
4. Следующим этапом заполняем окно Excel «Поиск решения» (рис. 6)
Рис. 6. Заполнение окна «Поиск решения»
В поле «Установить целевую ячейку» выбираем ячейку со значением целевой функции – $C$7. Выбираем, максимизировать или минимизировать целевую функцию. В поле «Изменяя ячейки» выбираем ячейки со значениями искомых переменных $C$4:$D$4 (пока в них нули или пусто). В области «Ограничения» с помощью кнопки «Добавить» размещаем все ограничения нашей модели. Жмем «Выполнить». В появившемся окне «Результат поиска решения» выбираем все три типа отчета (рис. 7) и жмем Ok. Эти отчеты нужны для анализа полученного решения. Подробнее о данных, представленных в отчетах, можно почитать здесь.
Рис. 7. Выбор типов отчета
На основном листе появились значения максимизированной целевой функции – 130 000 руб. и изменяемых параметров х1 = 10 и х2 = 30. Таким образом, для максимизации маржинального дохода Николаю в следующем месяце следует произвести 10 единиц продукта А и 30 единиц продукта В.
Если вместо окна «Результат поиска решения» появилось что-то иное, Excel`ю найти решение не удалось. Проверьте правильность заполнения окна «Поиск решения». И еще одна маленькая хитрость. Попробуйте уменьшить точность поиска решения. Для этого в окне «Поиск решения» щелкните на Параметры (рис. 8.) и увеличьте погрешность вычисления, например, до 0,001. Иногда из-за высокой точности Excel не успевает за 100 итераций найти решение. Подробнее о параметрах поиска решения можно почитать здесь.
Рис. 8. Увеличение погрешности вычислений
Лабораторная работа №2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
“ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ ” 2.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения задач линейного программирования графическим методом.
2.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Согласно номеру своего варианта выберите условие задачи и найдите оптимальное решение графическим методом.
2. Найдите оптимальное решение задачи в Excel.
3. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:
-
титульный лист;
-
исходные данные варианта;
-
решение задачи;
-
результаты решения задачи.
2.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ Microsoft Excel ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛП ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Рассмотрим пример нахождения оптимального решения графическим методом для следующей задачи линейного программирования:
Для того чтобы решить задачу ЛП в табличном редакторе Microsoft Excel, необходимо выполнить следующие действия.
1. В столбце А, начиная с ячейки А2, задаем последовательность значений переменной x1 как арифметическую прогрессию с первым членом, равным нулю, разностью 0,2, предельным значением 6.
2. В ячейке В2 вводим формулу =10-А2 и копируем ее в столбце В. Прямые х1=6, х2=8 зададим позже, как границы рисунка.
3. Вводим в ячейку С2 формулу линии уровня =($D$2-5-A2)/3 и копируем ее в столбце С.
4. В ячейке D2 вводим значение 0.
5. Выделяем диапазон А2:С32 и «Мастером диаграмм» строим точечную диаграмму:
6. Убираем лишнее через контекстное меню:
Командами Формат оси Шкала открываем диалоговое окно:
Устанавливаем в нем максимальное значение: 6, нажимаем ОК. Аналогично по оси Y задаем минимальное значение 0, максимальное значение 8.
Приводим диаграмму к виду, показанному на рисунке:
7. Изменяя значения ячейки D2, передвигаем линию уровня в сторону выхода из области допустимых решений:
Из диаграммы видно, что точкой выхода линии уровня из многоугольника допустимых решений является точка (2; 
.
Графическим методом можно решить задачи ЛП, записанные в каноническом виде и удовлетворяющие условию 
, где n – число неизвестных системы ограничений; r – ранг системы векторов условий.
Рассмотрим пример решения задачи ЛП:
Графический метод применим, так как 
. Методом Жордана-Гаусса приведем систему уравнений-ограничений задачи к равносильной разрешенной.
Введем расширенную матрицу системы ограничений и коэффициенты целевой функции в диапазон B2:G5:
В ячейке В7 зададим формулу =B2/$B$2 и методом «протаскивания» маркера заполнения скопируем ее в ячейки С7:G7:
Тем самым первая строка расширенной матрицы системы ограничений разделена на -1 и выделен разрешающий элемент 1.
Замечание. Если в диапазоне В7:G7 окажутся результаты в форме десятичных дробей, то откройте контекстное меню и в диалоговом окне «Формат ячеек» установите формат числа «Дробный», со знаменателем до двух (или трех) цифр.
Далее в ячейку В8 вводим формулу =B3-B$7*$B3. Копируем ее, методом «протаскивания» маркера заполнения, в остальные ячейки диапазона С8:G8, делаем такие же элементарные преобразования диапазонов (строк) В4:G4 и В5:G5, получаем нули ниже разрешающего элемента:
В ячейку С13 вводим формулу =C8/$C$8 и методом «протаскивания» маркера заполнения копируем ее в остальные ячейки диапазона В13:G13, что дает:
В ячейке С14 задаем формулу =C9-C$13*$C9 и копируем ее в остальные ячейки диапазона В14:G14. Далее проводим аналогичные элементарные преобразования диапазонов В12:G12 и В15:G15:
Повторяя алгоритм, приходим к окончательному результату:
Задача ЛП после преобразований имеет вид:
Отбросим в уравнениях-ограничениях неотрицательные разрешенные неизвестные х1, х2, х3 и заменим знак равенства знаками неравенства «», получим вспомогательную задачу ЛП с двумя переменными
Далее она решается аналогично, как в первом примере, графическим методом.
2.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Каковы основные этапы решения задач ЛП графическим методом?
2. Как определить, какая полуплоскость отвечает линейному неравенству?
3. Что называется областью допустимых решений?
4. Какая линия называется линией уровня?
5. Как определить максимальное и минимальное значения линейной целевой функции в области допустимых решений?
6. Какие случаи возможны при решении задачи ЛП графическим методом?
7. В каких случаях задачу линейного программирования можно решить графическим методом?
2.5. ВАРИАНТЫ
Используя MS Excel, найти решение графическим методом для задачи ЛП, соответствующей заданному варианту (табл.3.1).
Таблица 3.1
Варианты задач к лабораторной работе №3
|
№ варианта |
Математическая модель |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
9
Графический
метод решения задач линейного программирования
в табличном процессоре Excel
Цель работы: освоение технологии графического
решения задач линейного программирования в табличном процессоре Excel.
Содержание лабораторной работы
Дана
задача линейного программирования на плоскости. Требуется найти решение ЗЛП в
табличном процессоре Excel. Воспользоваться условиями задач лабораторной работы
№ 2.
Задача
Предприятие
выпускает продукцию двух типов: П1 и П2. Запас сырья и нормы расхода сырья на
условную единицу продукции каждого типа заданы в таблице:
|
Вид |
Запас |
Расход |
Прибыль |
||
|
П1 |
П2 |
Д1 |
Д2 |
||
|
1 2 3 |
90 300 168 |
3 0 5 |
6 0 4 |
5 |
10 |
Прибыль
от реализации продукции типа П1 составляет Д1 (ден. ед.), а прибыль от реализации
продукции типа П2 составляет Д2 (ден. ед.). Как следует спланировать
выпуск продукции, чтобы прибыль была наибольшей?
Решение
Составим
математическую модель задачи. Обозначим через 
и 
количество продукции каждого типа,
выпускаемой предприятием. Заданы ограничения по запасу сырья: 
, 
(второй
вид сырья при производстве продукции не используется). По смыслу задачи,
количество произведённой продукции не может быть отрицательным значением: 
, 
.
В
принятых обозначениях цель задачи – максимизировать прибыль:
.
Задача
сводится к определению таких значений и , при которых целевая функция достигает
максимума:
при
следующих ограничениях:
Решим
задачу графическим методом.
1.
Строим оси 
и 
,
которые задаются соответственно уравнениями 
и 
. Для построения любой прямой достаточно
двух точек.
Ø
Построим ось через
точки (0, 0) и (40, 0), ось через
точки (0, 50) и (0, ‑20). Для этого зададим в столбце E в ячейках
E2:E3 и в ячейках E6:E7 значения , а в столбце F в
ячейках F2:F3 и в ячейках F6:F7 –
значения .
Ø
Выберем из меню пункт «Вставка» – «Диаграмма»,
выберем тип «Точечная» и «Вид» – один из графиков.
Ø
В появившемся окне выберем пункт «Данные», в окне
«Выбор источника данных» нажать клавишу «Добавить», в появившемся окне набрать
«имя ряда» – «Ось », добавить значения X и Y
и нажать «ОК».
Ø
Аналогично строим ось .
2.
Строим прямые из системы ограничений, уравнения которых получаются в результате
замены в ограничениях знака неравенства на знак точного равенства, т. е. 
, 
.
Ø
Для этого зададим в столбце A, начиная с ячейки A2,
последовательность значений с интервалом 1,0 и
первым значением, равным нулю (по условию неотрицательности).
Ø
В ячейку B2 запишем формулу 
и
методом «протаскивания» маркера копируем её в соответствующий диапазон столбца B.
Ø
В ячейку C2 запишем формулу 
и
методом «протаскивания» маркера копируем её в соответствующий диапазон столбца
C.
3.
Нахождение полуплоскостей, определяемых каждым из ограничений задачи.
Ø
Исследуем полуплоскость для первого ограничения: .
Ø
Если в данное неравенство подставить координаты
точки (0, 0), то получится верное неравенство 
,
т. е. данное неравенство содержит эту точку. Поэтому для первой прямой
проводятся стрелки, направленные в сторону к точке (0, 0) и указывающие
направление рассматриваемой области. Аналогично строятся другие зависимости в
соответствии с приведёнными неравенствами. Для второго ограничения стрелки проводятся также в направлении к
точке (0, 0).
Ø
Полученный треугольник OAB – есть область
допустимых решений задачи.
4.
Построение линий уровня.
Ø
Для построения линии уровня можно принять 
, тогда уравнение целевой функции примет
вид: 
, отсюда 
.
Ø
Переменную представим
в виде табличных значений. В ячейку H2 запишем формулу 
.
Методом «протаскивания» маркера копируем эту формулу в соответствующий диапазон
ячеек столбца H.
Ø
Задавая различные значения целевой функции, можно
построить несколько линий уровня (на рисунке линии уровня обозначены пунктирной
линией).
5.
Нахождение точки (точек), в которых целевая функция принимает максимальное
значение либо устанавливает неограниченность сверху функции на множестве
планов.
Ø
Чтобы найти оптимальный план, достаточно
«переходить» с одной линии уровня на другую в направлении возрастания
целевой функции, если решается задача на нахождение максимума функции
или в направлении убывания целевой функции, если решается задача на
нахождение минимума функции. Линия уровня 1 двигается вверх,
т. е. к линии уровня 2, т. к. решается задача на нахождение
максимума функции.
Ø
Прямая 
: оказалась параллельной линиям уровня.
Всякая точка любой прямой из того же семейства, проходящей «выше» линии , доставляет целевой функции большее
значение, однако всякая такая прямая не будет иметь с областью допустимых
решений общих точек. А прямая, проходящая ниже линии ,
пересекает область допустимых решений, но значение целевой функции 
будет на всех этих точках прямой меньше,
чем значения в каждой точке прямой . Вследствие этого, любая точка,
принадлежащая отрезку прямой от точки A до точки B и
есть оптимальный план.
Ø
Определим координаты точек A и B. Поскольку эти точки лежат на
пересечении прямой с осями координат, то находим
их координаты, решая системы уравнений.
Решая
систему, получаем , 
. Имеем
.
Решая
систему, получаем 
, . Имеем
.
Обе
эти точки, как и все другие точки, принадлежащие отрезку AB, являются оптимальным планом, доставляющим максимальную прибыль.
Значение
целевой функции при оптимальном плане: 
.
Вернёмся
к экономической задаче.
Итак,
для расчёта оптимального выпуска продукции с целью максимизации прибыли следует
воспользоваться формулой: количество продукции первого вида должно быть от 0 до
30, количество продукции второго вида должно рассчитываться из уравнения: 
, или 
.
Максимальная прибыль будет составлять 150 ден. ед.
Контрольные вопросы
- Дайте
геометрическое истолкование задачи линейного программирования.
Геометрически
задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки
многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции
максимальное (минимальное) значение, причём допустимыми решениями случат все
точки многогранника решений.
- В какой точке
многогранника решений линейная функция задачи линейного программирования
достигает своего оптимального значения?
Целевая
функция задачи линейного программирования достигает своего максимального
(минимального) значения в угловой точке многогранника решений. Если целевая
функция принимает максимальное (минимальное) значение более чем в одной угловой
точке, то она достигает того же значения в любой точке отрезка, соединяющего
эти точки.
- Какие планы
необходимо исследовать, чтобы найти оптимальное значение линейной функции?
Каждый
опорный план соответствует угловой точке многогранника решений. Поэтому для
решения задачи линейного программирования необходимо исследовать только угловые
точки многогранника решений, т.е. только опорные планы.
- На чём основан
графический метод решения задачи линейного программирования?
Графический
метод решения задачи линейного программирования основан на геометрической
интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при
решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трёхмерного
пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который
образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства
размерности больше трёх изобразить графически невозможно.
- Как определить по
рисунку, имеет задача линейного программирования решение или её оптимум
находится в
?
Для
некоторых задач линейного программирования не существует оптимального решения.
Это значит, что для любого допустимого решения можно найти другое допустимое
решение, которому соответствует лучшее значение целевой функции. Например,
область допустимых решений не ограничена сверху (если ищется максимум) или
снизу (если задача состоит в определении минимума целевой функции).
- Какие задачи
линейного программирования можно решать графическим методом?
Задачи
линейного программирования, содержащие не более двух переменных и имеющие
простую геометрическую интерпретацию, могут быть решены графически с учётом
некоторых правил, позволяющих наглядно изобразить область допустимых решений и
максимальное или минимальное значение функции. При трёх переменных применение
графического метода становится затруднительным, так как допустимым множеством
решений является многогранник, но уже в трёхмерном пространстве. Задачу
пространства размерности больше трёх изобразить графически вообще невозможно.
Задачи линейного программирования относятся к широко распространённому классу задач, встречающихся в различных сферах деятельности: в бизнесе, на производстве, в быту. Как оптимально распорядиться бюджетом или за минимальное время добраться до нужного места в городе, как наилучшим образом спланировать деловые встречи, минимизировать риски капитальных вложений, определить оптимальные запасы сырья на складе – это те задачи, в которых нужно найти наилучшее из всех возможных решений.
Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!
Линейное программирование
Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Слово «программирование» заимствовано из зарубежной литературы, где оно используется в смысле «планирование».
Решение задач линейного программирования с использованием microsoft excel
Цель работы
Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном редакторе Microsoft Excel.
Порядок выполнения работы
Для модели линейного программирования, соответствующей номеру Вашего варианта, найдите оптимальное решение в табличном редакторе Microsoft Excel и продемонстрируйте его преподавателю.
Инструкция по использованию microsoft excel для решения задач линейного программирования
Для того чтобы решить задачу линейного программирования в табличном редакторе Microsoft Excel, необходимо выполнить следующие действия.
Ввести условие задачи:
a) создать экранную форму для ввода условия задачи:
- переменных,
- целевой функции (ЦФ),
- ограничений,
- граничных условий;
b) ввести исходные данные в экранную форму:
- коэффициенты ЦФ,
- коэффициенты при переменных в ограничениях,
- правые части ограничений;
c) ввести зависимости из математической модели в экранную форму:
- формулу для расчета ЦФ,
- формулы для расчета значений левых частей ограничений;
d) задать ЦФ (в окне «Поиск решения»):
- целевую ячейку,
- направление оптимизации ЦФ;
e) ввести ограничения и граничные условия (в окне «Поиск решения»):
- ячейки со значениями переменных,
- граничные условия для допустимых значений переменных,
- соотношения между правыми и левыми частями ограничений.
Решить задачу:
a) установить параметры решения задачи (в окне «Поиск решения»);
b) запустить задачу на решение (в окне «Поиск решения»);
с) выбрать формат вывода решения (в окне «Результаты поиска решения»).
Возможно эта страница вам будет полезна:
Одноиндексные задачи линейного программирования
Рассмотрим пример нахождения решения для следующей одноиндексной задачи ЛП:
Ввод исходных данных
Создание экранной формы и ввод в нее условия задачи
Экранная форма для ввода условий задачи (1.1) вместе с введенными в нее исходными данными представлена на рис. 1.1.
В экранной форме на рис. 1.1 каждой переменной и каждому коэффициенту задачи поставлена в соответствие конкретная ячейка в Excel. Имя ячейки состоит из буквы, обозначающей столбец, и цифры, обозначающей строку, на пересечении которых находится объект задачи линейного программирования. Так, например, переменным задачи (1.1) соответствуют ячейки 
, коэффициентам ЦФ соответствуют ячейки
правым частям ограничений соответствуют ячейки
Ввод зависимостей из математической модели в экранную форму
Зависимость для ЦФ
В ячейку F6, в которой будет отображаться значение ЦФ, необходимо ввести формулу, по которой это значение будет рассчитано. Согласно (1.1) значение ЦФ определяется выражением
Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel (см. рис. 1.1), формулу для расчета ЦФ (1.2) можно записать как сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (ВЗ, СЗ, D3, ЕЗ), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов ЦФ (В6, С6, D6, Е6), то есть
Чтобы задать формулу (1.3) необходимо в ячейку F6 ввести следующее выражение и нажать клавишу «Enter»
где символ $ перед номером строки 3 означает, что при копировании этой формулы в другие места листа Excel номер строки 3 не изменится;
символ : означает, что в формуле будут использованы все ячейки, расположенные между ячейками, указанными слева и справа от двоеточия (например, запись В6:Е6 указывает на ячейки В6, С6, D6 и Е6). После этого в целевой ячейке появится 0 (нулевое значение) (рис. 1.2).
Примечание 1.1. Существует другой способ задания функций в Excel с помощью режима «Вставка функций», который можно вызвать из меню «Вставка» или при нажатии кнопки «
» на стандартной панели инструментов. Так, например, формулу (1.4) можно задать следующим образом:
• курсор в поле F6;
• нажав кнопку ««, вызовите окно «Мастер функций — шаг 1 из 2»;
• выберите в окне «Категория» категорию «Математические»;
• в окне «Функция» выберите функцию СУММПРОИЗВ;
• в появившемся окне «СУММПРОИЗВ» в строку «Массив 1» введите выражение В$3:Е$3, а в строку «Массив 2» — выражение В6:Е6 (рис. 1.3);
• после ввода ячеек в строки «Массив 1» и «Массив 2» в окне «СУММПРОИЗВ» появятся числовые значения введенных массивов (см. рис. 1.3), а в экранной форме в ячейке F6 появится текущее значение, вычисленное по введенной формуле, то есть 0 (так как в момент ввода формулы значения переменных задачи нулевые).
Зависимости для левых частей ограничений
Левые части ограничений задачи (1.1) представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (ВЗ, СЗ, D3, ЕЗ), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (В 10, СЮ, D10, ЕЮ — 1-е ограничение; В11, С11, D11, El 1 — 2-е ограничение и В12, С12, D12, Е12 — 3-е ограничение). Формулы, соответствующие левым частям ограничений, представлены в табл. 1.1.
Как видно из табл. 1.1, формулы, задающие левые части ограничений задачи (1.1), отличаются друг от друга и от формулы (1.4) в целевой ячейке F6 только номером строки во втором массиве. Этот номер определяется той строкой, в которой ограничение записано в экранной форме. Поэтому для задания зависимостей для левых частей ограничений достаточно скопировать формулу из целевой ячейки в ячейки левых частей ограничений. Для этого необходимо:
• поместить курсор в поле целевой ячейки F6 и скопировать в буфер содержимое ячейки F6 (клавишами «Ctrl-Insert»);
• помещать курсор поочередно в поля левой части каждого из ограничений, то есть в F10, F11 и F12, и вставлять в эти поля содержимое буфера (клавишами «Shift-Insert») (при этом номер ячеек во втором массиве формулы будет меняться на номер той строки, в которую была произведена вставка из буфера);
• на экране в полях F10, F11 и F12 появится 0 (нулевое значение) (см. рис. 1.2).
Проверка правильности введения формул
Для проверки правильности введенных формул производите поочередно двойное нажатие левой клавиши мыши на ячейки с формулами. При этом на экране рамкой будут выделяться ячейки, используемые в формуле (рис. 1.4 и 1.5).
Задание ЦФ
Дальнейшие действия производятся в окне «Поиск решения», которое вызывается из меню «Сервис» (рис. 1.6):
• поставьте курсор в поле «Установить целевую ячейку»;
• введите адрес целевой ячейки $F$6 или сделайте одно нажатие левой клавиши мыши на целевую ячейку в экранной форме — это будет равносильно вводу адреса с клавиатуры;
• введите направление оптимизации ЦФ, щелкнув один раз левой клавишей мыши по селекторной кнопке «максимальному значению».
Ввод ограничений и граничных условий
Задание ячеек переменных
В окно «Поиск решения» в поле «Изменяя ячейки» впишите адреса $BS3:$E$3. Необходимые адреса можно вносить в поле «Изменяя ячейки» и автоматически путем выделения мышью соответствующих ячеек переменных непосредственно в экранной форме.
Задание граничных условий для допустимых значений переменных
В нашем случае на значения переменных накладывается только граничное условие неотрицательности, то есть их нижняя граница должна быть равна нулю (см. рис. 1.1).
• Нажмите кнопку «Добавить», после чего появится окно «Добавление ограничения» (рис. 1.7).
• В поле «Ссылка на ячейку» введите адреса ячеек переменных $BS3:$E$3. Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью всех ячеек переменных непосредственно в экранной форме.
• В поле знака откройте список предлагаемых знаков и выберите >.
• В поле «Ограничение» введите адреса ячеек нижней границы значений переменных, то есть $В$4:$Е$4. Их также можно ввести путем выделения мышью непосредственно в экранной форме.
Задание знаков ограничений <. >, =
• Нажмите кнопку «Добавить» в окне «Добавление ограничения».
• В поле «Ссылка на ячейку» введите адрес ячейки левой части конкретного ограничения, например $F$10. Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения мышью нужной ячейки непосредственно в экранной форме.
• В соответствии с условием задачи (1.1) выбрать в поле знака необходимый знак, например =.
• В поле «Ограничение» введите адрес ячейки правой части рассматриваемого ограничения, например $Н$10.
• Аналогично введите ограничения: $F$11>=$Н$11, $F$12<=$H$12.
• Подтвердите ввод всех перечисленных выше условий нажатием кнопки ОК.
Окно «Поиск решения» после ввода всех необходимых данных задачи (1.1) представлено на рис. 1.6.
Если при вводе условия задачи возникает необходимость в изменении или удалении внесенных ограничений или граничных условий, то это делают, нажав кнопки «Изменить» или «Удалить» (см. рис. 1.6).
Решение задачи
Установка параметров решения задачи
Задача запускается на решение в окне «Поиск решения». Но предварительно для установления конкретных параметров решения задач оптимизации определенного класса необходимо нажать кнопку «Параметры» и заполнить некоторые поля окна «Параметры поиска решения» (рис. 1.8).
Параметр «Максимальное время» служит для назначения времени (в секундах), выделяемого на решение задачи. В поле можно ввести время, не превышающее 32 767 секунд (более 9 часов).
Параметр «Предельное число итераций» служит для управления временем решения задачи путем ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести количество итераций, не превышающее 32 767.
Параметр «Относительная погрешность» служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 до 1. Чем меньше количество десятичных знаков во введенном числе, тем ниже точность. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошелся процесс оптимизации.
Параметр «Допустимое отклонение» служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения в целочисленных задачах. При указании большего допуска поиск решения заканчивается быстрее.
Параметр «Сходимость» применяется только при решении нелинейных задач.
Установка флажка «Линейная модель» обеспечивает ускорение поиска решения линейной задачи за счет применение симплекс-метода.
Подтвердите установленные параметры нажатием кнопки «ОК».
Запуск задачи на решение
Запуск задачи на решение производится из окна «Поиск решения» путем нажатия кнопки «Выполнить».
После запуска на решение задачи линейного программирования на экране появляется окно «Результаты поиска решения» с одним из сообщений, представленных на рис. 1.9, 1.10 и 1.11.
Иногда сообщения, представленные на рис. 1.10 и 1.11, свидетельствуют не о характере оптимального решения задачи, а о том, что при вводе условий задачи в Excel были допущены ошибки, не позволяющие Excel найти оптимальное решение, которое в действительности существует (см. ниже подразд.1.3.5).
Если при заполнении полей окна «Поиск решения» были допущены ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс-метод для решения задачи или довести ее решение до конца, то после запуска задачи на решение на экран будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой решение не найдено. Иногда слишком малое значение параметра «Относительная погрешность» не позволяет найти оптимальное решение. Для исправления этой ситуации увеличивайте погрешность поразрядно, например от 0,000001 до 0,00001 и т.д.
В окне «Результаты поиска решения» представлены названия трех типов отчетов: «Результаты», «Устойчивость», «Пределы». Они необходимы при анализе полученного решения на чувствительность (см. ниже подразд.3.3). Для получения же ответа (значений переменных, ЦФ и левых частей ограничений) прямо в экранной форме просто нажмите кнопку «ОК». После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи (рис. 1.12).
Целочисленное программирование
Допустим, что к условию задачи (1.1) добавилось требование целочисленности значений всех переменных. В этом случае описанный выше процесс ввода условия задачи необходимо дополнить следующими шагами.
• В экранной форме укажите, на какие переменные накладывается требование целочисленности (этот шаг делается для наглядности восприятия условия задачи) (рис. 1.13).
• В окне «Поиск решения» (меню «Сервис»—>»Поиск решения»), нажмите кнопку «Добавить» и в появившемся окне «Добавление ограничений» введите ограничения следующим образом (рис.1.14):
- в поле «Ссылка на ячейку» введите адреса ячеек переменных задачи, то есть $В$3:$Е$3;
- в поле ввода знака ограничения установите «целое»;
- подтвердите ввод ограничения нажатием кнопки «ОК».
На рис. 1.13 представлено решение задачи (1.1), к ограничениям которой добавлено условие целочисленности значений ее переменных.
Двухиндексные задачи линейного программирования
Двухиндексные задачи линейного программирования вводятся и решаются в Excel аналогично одноиндексным задачам. Специфика ввода условия двухиндексной задачи ЛП состоит лишь в удобстве матричного задания переменных задачи и коэффициентов ЦФ.
Рассмотрим решение двухиндексной задачи, суть которой заключается в оптимальной организации транспортных перевозок штучного товара со складов в магазины (табл. 1.2).
Целевая функция и ограничения данной задачи имеют вид
Экранные формы, задание переменных, целевой функции, ограничений и граничных условий двухиндексной задачи (1.5) и ее решение представлены на рис. 1.15, 1.16, 1.17 и в табл. 1.3.
Задачи с булевыми переменными
Частным случаем задач с целочисленными переменными являются задачи, в результате решения которых искомые переменные 
могут принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Такие переменные в честь предложившего их английского математика Джорджа Буля называют булевыми. На рис. 1.18 представлена экранная форма с решением некоторой двухиндексной задачи с булевыми переменными.
Рис. 1.18. Решение двухиндексной задачи с булевыми переменными
Помимо задания требования целочисленности (см. подразд.1.3.2) при вводе условия задач с булевыми переменными необходимо:
• для наглядности восприятия ввести в экранную форму слово «булевы» в качестве характеристики переменных (см. рис. 1.18);
• в окне «Поиск решения» добавить граничные условия, имеющие смысл ограничения значений переменных по их единичной верхней границе (рис. 1.19).
Вид окна «Поиск решения» для задачи с булевыми переменными, представленной на рис. 1.18, приведен на рис. 1.20.
Возможные ошибки при вводе условий задач линейного программирования
Если при решении задачи линейного программирования выдается сообщение о невозможности нахождения решения, то возможно, что причина заключается в ошибках ввода условия задачи в Excel.
Как решить задачу линейного программирования в excel
Цель работы
Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЗЛП) в табличном редакторе Microsoft Excel. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Для модели линейного программирования, соответствующей номеру Вашего варианта, найдите оптимальное решение в табличном редакторе Microsoft Excel и продемонстрируйте его преподавателю.
Инструкция по использованию microsoft excel для решения задач линейного программирования
Для того чтобы решить ЗЛП в табличном редакторе Microsoft Excel, необходимо выполнить следующие действия. 1. Ввести условие задачи:
a) создать экранную форму для ввода условия задачи:
- • переменных,
- • целевой функции (ЦФ),
- • ограничений,
- • граничных условий;
b) ввести исходные данные в экранную форму:
- • коэффициенты ЦФ,
- • коэффициенты при переменных в ограничениях,
- • правые части ограничений;
c) ввести зависимости из математической модели в экранную форму:
- • формулу для расчета ЦФ,
- • формулы для расчета значений левых частей ограничений; с!) задать ЦФ (в окне «Поиск решения»):
- • целевую ячейку,
- • направление оптимизации ЦФ;
е) ввести ограничения и граничные условия (в окне «Поиск решения»):
- • ячейки со значениями переменных,
- • граничные условия для допустимых значений переменных,
- • соотношения между правыми и левыми частями ограничений. 2. Решить задачу:
a)установить параметры решения задачи (в окне «Поиск решения»,);
b) запустить задачу на решение (в окне «Поиск решения»,);
c) выбрать формат вывода решения (в окне «Результаты поиска решения»).
Одноиндексные ЗЛП
Рассмотрим пример нахождения решения для следующей одноиндексной ЗЛП:
- Ввод исходных данных
Создание экранной формы и ввод в нее условия задачи
Экранная форма для ввода условий задачи (1) вместе с введенными в нее исходными данными представлена на рис.1.
В экранной форме на рис. 1 каждой переменной и каждому коэффициенту задачи поставлена в соответствие конкретная ячейка в Excel. Так, например, переменным задачи (1) соответствуют ячейки
коэффициентам ЦФ соответствуют ячейки
правым частям ограничений соответствуют ячейки
- Ввод зависимостей из математической модели в экранную форму
Зависимость для ЦФ.
В ячейку F6, в которой будет отображаться значение ЦФ, необходимо ввести формулу, по которой это значение будет рассчитано. Согласно (1 (значение ЦФ определяется выражением
Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel (см. рис. 1), формулу для расчета ЦФ (2) можно записать как сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (ВЗ, СЗ, D3, ЕЗ), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов ЦФ (В6, С6, D6,E6):
После этого в целевой ячейке появится 0 (нулевое значение) (рис. 2).
Зависимости для левых частей ограничений
Левые части ограничений задачи (1) представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи(ВЗ, СЗ, D3, ЕЗ), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (B10, С10, D10, Е10 — 1-е ограничение; В11, C11,D11, Е11 — 2-е ограничение и В12, С12, D12, Е12 — 3-е ограничение). Формулы, соответствующие левым частям ограничений, записать самостоятельно. Проверка правильности введения формул
Для проверки правильности введенных формул производите поочередно двойное нажатие левой клавиши мыши на ячейки с формулами. При этом на экране рамкой будут выделяться ячейки, используемые в формуле. Дальнейшие действия производятся в окне «Поиск решения», которое вызывается из меню «Сервис». Решение задачи
Установка параметров решения задачи
Задача запускается на решение в окне «Поиск решения». Но предварительно для установления конкретных параметров решения задач оптимизации определенного класса необходимо нажать кнопку «Параметры»и заполнить некоторые поля окна «Параметры поиска решения».
Параметр «Максимальное время» служит для назначения времени (в секундах), выделяемого на решение задачи. В поле можно ввести время, не превышающее 32 767 секунд (более 9 часов).
Параметр «Предельное число итераций» служит для управления временем решения задачи путем ограничения числа промежуточных вычислений. В поле можно ввести количество итераций, не превышающее32 767. Параметр «Относительная погрешность» служит для задания точности, с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из интервала от 0 до 1. Чем меньше количество десятичных знаков во введенном числе, тем ниже точность. Высокая точность увеличит время, которое требуется для того, чтобы сошелся процесс оптимизации.
Параметр «Допустимое отклонение» служит для задания допуска на отклонение от оптимального решения в целочисленных задачах. При указании большего допуска поиск решения заканчивается быстрее. Параметр «Сходимость» применяется только при решении нелинейных задач. Установка флажка «Линейная модель» обеспечивает ускорение поиска решения линейной задачи за счет применение симплекс-метода. Подтвердите установленные параметры нажатием кнопки «ОК». Запуск задачи на решение
Запуск задачи на решение производится из окна «Поиск решения» путем нажатия кнопки «Выполнить».
После запуска на решение задачи линейного программирования на экране появляется окно «Результаты поиска решения» с одним из сообщений:
• Сообщение об успешном решении задачи
• Сообщение при несовместной системе ограничений задачи
• Сообщение при неограниченности ЦФ в требуемом направлении Иногда второе и третье сообщения свидетельствуют не о характере оптимального решения задачи, а о том, что при вводе условийзадачи в Excel были допущены ошибки, не позволяющие Excel найти оптимальное решение, которое в действительности существует.
Если при заполнении полей окна «Поиск решения» были допущены ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс-метод для решения задачи или довести ее решение до конца, то после запуска задачи на решение на экран будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой решение не найдено. Иногда слишком малое значение параметра»Относительная погрешность» не позволяет найти оптимальное решение. Для исправления этой ситуации увеличивайте погрешность поразрядно, например от 0,000001 до 0,00001 и т.д.
В окне «Результаты поиска решения» представлены названия трех типов отчетов: «Результаты», «Устойчивость», «Пределы». Они необходимы при анализе полученного решения на чувствительность (будет рассмотрено позже). Для получения же ответа (значений переменных, ЦФ и левых частей ограничений) прямо в экранной форме просто нажмите кнопку «ОК». После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи (рис.3).
Целочисленное программирование
Допустим, что к условию задачи (1) добавилось требование целочисленности значений всех переменных. В этом случае описанный выше процесс ввода условия задачи необходимо дополнить следующими шагами.
• В экранной форме укажите, на какие переменные накладывается требование целочисленности (этот шаг делается для наглядности восприятия условия задачи) (рис. 4).
• В окне «Поиск решения» (меню «Сервис»—►»Поиск решения»), нажмите кнопку «Добавить» и в появившемся окне «Добавление ограничений» введите ограничения целочисленности. Сравните результаты.
Получите у преподавателя индивидуальные задания.
Примеры решения экономических задач Задача 1.
Средства очистки пола оценивают по следующим трем показателям:
- • очищающие свойства;
- • дезинфицирующие свойства;
- • раздражающее воздействие на кожу.
Каждый из этих показателей измеряется по линейной шкале от 0 до 100. Продукт на рынке должен иметь по крайней мере 60 ед. очищающих свойств и по крайней мере 60 ед. дезинфицирующих свойств по соответствующей шкале. При этом раздражающее воздействие на кожу должно быть минимальным. Конечный продукт должен быть смесью трех основных очистителей, характеристики которых приведены в таблице.
Составим математическую модель задачи. Пусть 
— доля очистителя 
в конечном продукте, 
— доля очистителя 
в конечном продукте, 
— доля очистителя 
в конечном продукте.
Целевая функция: 
(т.е. минимизируем раздражающее воздействие на кожу конечного продукта).
Ограничения:
Решение задачи с помощью MS Excel.
Заполним таблицу, содержащую исходные данные. Заполним диалоговое окно
«Поиск решения».
Щелкнув по кнопке ОК, мы получаем на месте исходной таблицы — таблицу с найденными оптимальными значениями. В результате в таблице получим значение целевой функции — 31,4 ед. раздражающего воздействия на кожу при
(т.е. очистители 
нужно брать в долях 30%, 10% и 60% соответственно).
Задача 2.
Фирме требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с примесью пепла не более 3,25%. Доступны 3 сорта угля по следующим ценам (за тонну):
Как следует их смешать, чтобы удовлетворить ограничениям на примеси и минимизировать цену?
Решение задач математического программирования с помощью надстройки «Поиск решения» ЭТ Excel
Задачи линейного программирования, целочисленного программирования и ряд задач нелинейного программирования могут быть решены с помощью стандартного прикладного программного обеспечения. Например, в ЭТ MS Excel для этого имеется модуль «Поиск решения», вызываемый командой меню «Сервис/Поиск решения». Для активизации данного модуля необходимо выполнить команду «Сервис/Надстройки» и установить флажок напротив строки меню «Поиск решения».
Рассмотрим пример применения «Поиска решения» на основе решения задачи оптимизации портфеля ценных бумаг — одной из классических задач управления финансовыми средствами.
Постановка задачи. Перед инвестором стоит задача на основе информации, представленной в таблице 1, разместить имеющиеся средства так, чтобы получить максимальную прибыль за 1 период планирования (1 год), при этом должны быть выполнены следующие условия:
- Суммарный объем капитала составляет 100 000 $;
- доля средств, вложенная в один из объектов, не может превышать 25%;
- более 40% всех средств должны быть вложены в долгосрочные активы;
- доля высокорисковых активов не может превышать трети от суммарного объема.
Таблица 1 — Информация об объектах инвестирования
Построим экономико-математическую модель задачи.
Искомые переменные — объемы средств, вложенные в активы: 
.
Прибыль, которую получит инвестор, задается целевой функцией:
Сформируем ограничения:
Ограничения на суммарный объем активов —
Ограничение на размер доли каждого актива
Необходимость долгосрочного инвестирования (например, более 3 лет)
Учет необходимости снижения риска —
Естественное экономическое ограничение — неотрицательность искомых переменных —
Для решения задачи выполним следующие шаги.
- На рабочем листе представим необходимую для решения информацию, согласно рисунку 1.
Ячейки В13, Н9-Н11 должны содержать формулы, отражающие зависимость между искомыми переменными и условиями задачи. В данном случае целесообразно использовать функцию Суммпроизв(…), аргументами которой являются диапазоны B4-G4 и диапазоны соответствующих параметров.
Рисунок 1 — Исходные данные для решения ЗЛП
- Выполнить команду Сервис/Поиск решения и заполнить все поля диалогового окна:
Указать адрес ячейки (В 13), содержащей целевую функцию, указать тип целевой функции,
В поле «изменяя ячейки» указать адреса всех искомых переменных (от В4 до G4).
Затем последовательно заполнить все ограничения (Пример на рисунке 2.)
Если возникли ошибки ввода, то изменить или добавить ограничение можно с помощью командных кнопок «Добавить, изменить, удалить».
Далее, если это необходимо, устанавливаются особые значения параметров (кнопка «Параметры»).
Результаты отражаются на рабочем листе. Результаты решения представлены на рисунке 5.
Рисунок 5 — Результаты решения задачи
На рисунке 6 представлена структура инвестиционного портфеля.
На основе решения проводится анализ, и принимаются соответствующие управленческие решения.
Технология решения транспортной задачи
1. На рабочем листе представим необходимую для решения информацию, согласно рисунку 7.
Ячейки В15 содержит формулу Суммпроизв(…), аргументами которой являются диапазоны В4-Е6 и В9-Е11. Ячейки F9-F11 должны содержать формулы, отражающие зависимость между искомыми переменными и условиями задачи. В данном случае целесообразно использовать функцию Сумм(…), аргументами которой являются диапазоны В9-Е9, В10-Е 10 и В11 -Е11. Аналогично определяются формулы в В12-Е 12.
Рисунок 7 — Исходные данные для решения ЗЛП
- Выполнить команду Сервис/Поиск решения и заполнить все поля диалогового окна:
Указать адрес ячейки (В 15), содержащей целевую функцию, указать тип целевой функции (минимум),
В поле «изменяя ячейки» указать адреса всех искомых переменных (от В9 до Е11).
Затем последовательно заполнить все ограничения (Пример на рисунке 8.)
Если возникли ошибки ввода, то изменить или добавить ограничение можно с помощью командных кнопок «Добавить, изменить, удалить». Результаты отражаются на рабочем листе. Результаты решения представлены на рисунке 9.
Технология решения задачи нелинейного программирования
Построить математическую модель и решить задачу потребительского выбора для заданной функции полезности 
на товары 
, ценах 
и
доходе I. Найти максимальное значение функции полезности.
Построим математическую модель задачи потребительского выбора:
где 
— число потребляемых товаров или благ, 
— потребительский набор, 
— функция полезности потребителя.
Набор, который является решением задачи потребительского выбора, называется оптимальным потребительским набором, или точкой локального рыночного равновесия потребителя. Поставленная задача — задача потребительского выбора — является задачей нелинейного программирования.
- На рабочем листе представим необходимую для решения информацию, согласно рисунку 10.
Ячейки В5, В6 должны содержать формулы, отражающие зависимость между искомыми переменными и условиями задачи. В данном случае ячейка В5 содержит формулу «=D2B2+E2C2», а ячейка В6 содержит формулу «=2В2Л(3/4)(С2-4)А(1/4)».
Рисунок 10 — Исходные данные для решения ЗНП
- Выполнить команду Сервис/Поиск решения и заполнить все поля диалогового окна:
Аналитическое решение задачи нелинейного программирования.
В рассматриваемом случае ограничение можно записать в виде строгого равенства, так как оптимальное решение достигается при полном использовании имеющихся средств.
Для решения классической задачи нелинейного программирования применим метод множителей Лагранжа, для этого составим функцию Лагранжа:
Найдем точки экстремума функции Лагранжа.
Приравняем каждое уравнение к 0:
С помощью преобразований — разделим первое уравнение системы на второе, перейдем к системе:
Подставим второе уравнение в первое и построим аналитические функции спроса:
Максимальное значение функции полезности-
Решением задачи потребительского выбора будет набор 
Возможно эти страницы вам будут полезны:
- Решение задач по математическому программированиюПримеры решения задач по математическому программированиюЗаказать работу по математическому программированиюПомощь по математическому программированиюЗадачи математического программированияЗадача линейного программированияРешение задач по линейному программированиюМетоды решения задач линейного программированияГрафическое решение задач линейного программированияГрафический метод решения задач линейного программированияЗаказать работу по линейному программированиюПомощь по линейному программированиюКонтрольная работа по линейному программированиюКурсовая работа по линейному программированию
