Решение задач по математической статистике в excel

Ростов-на-Дону — 2014

УДК [311:004.9](075.8) ББК32.973.26-018.2я73

А 19

Печатается по решению кафедры информатики и математики филиала ЮФУ в г. Новошахтинске

протокол №1 от 01.09.2014 г.;

учебно-методической комиссии филиала ЮФУ в г. Новошахтинске протокол № 3 от 02.12.2014 г.

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор Галушкин Н.Е.; кандидат технических наук, доцент Байдюк А.П.

А 19 Аверьянова С.Ю., Растеряев Н.В.

Лабораторный практикум по математической статистике в среде ЭТ MS Excel: учебное пособие; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2014. – 64 с.

ISBN 978-5-9275-1459-5

Учебное пособие предназначено для проведения лабораторных работ, а также организации управляемой самостоятельной работы студентов.

Пособие содержит краткие основные теоретические положения и примеры решения типовых задач статистической обработки выборки. Рассмотрены вопросы графического представления выборки, вычисления ее числовых характеристик и проверки близости эмпирической и теоретической функций распределения. Задачи решаются в среде электронных таблиц MS Excel. Представлены варианты заданий для самостоятельной работы студентов.

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Экономика», «Менеджмент», «Бизнес-информатика» и преподавателей высших учебных заведений.

Публикуется в авторской редакции

ISBN 978-5-9275-1459-5

УДК [311:004.9](075.8) ББК32.973.26-018.2я73

© Южный федеральный университет, 2014

2

3

Предисловие

Курс «Теории вероятностей и математической статистики» является одним из важнейших математических курсов для экономических специальностей. Весь комплекс социальноэкономических наук простроен и развивается на вероятностностатистической базе, и без соответствующей подготовки невозможно полноценное изучение этих дисциплин. Математическая статистика использует математический аппарат и выводы теории вероятностей, изучает математические методы систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Одной из важных сфер приложения теории вероятностей и математической статистики является экономика, так как при исследовании и прогнозировании экономических показателей используется эконометрика, опирающаяся на теорию вероятностей. Практическое значение вероятностных методов состоит в том, что они позволяют по известным характеристикам простых случайных явлений прогнозировать характеристики более сложных явлений. Знания и практические навыки, приобретенные в ходе изучения данного курса, могут найти применение при изучении дальнейшего цикла специальных финансовых дисциплин, а также в курсовом и дипломном проектировании.

Основная цель лабораторного практикума — дать краткие основные теоретические положения, рассмотреть примеры решения типовых задач статистической обработки выборки, вопросы графического представления выборки, вычисления ее числовых характеристик и проверки близости эмпирической и теоретической функций распределения. Рассмотрены способы решения задач в среде электронных таблиц MS Excel.

4

Лабораторная работа №1 ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ.

ВЫБОРОЧНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладеть навыками составления дискретных и

интервальных вариационных рядов выборки, построения выборочной (эмпирической) функции распределения в среде ЭТ MS.

Краткая теория

Для решения задач, связанных с анализом данных при наличии случайных непредсказуемых воздействий, разработан математический аппарат ‒ математическая статистика, что позволяет выявлять закономерности на основе случайностей, делать на их основе обоснованные выводы и прогнозы.

Важнейшими понятиями математической статистики являются понятия генеральной совокупности и выборки.

Генеральной совокупностью наблюдаемого признака (случайной величины) Х называют множество всевозможных значений, принимаемых наблюдаемым признаком Х.

Часть отобранных объектов из генеральной совокупности называется выборочной совокупностью, или выборкой. Результаты измерений изучаемого признака n объектов выборочной совокупности порождают n значений х1, х2, … , хn случайной величины X . Число n

называется объемом выборки.

Выборку можно рассматривать двояко:

а) как случайный вектор длины n, каждая компонента которого имеет такое же распределение, как и наблюдаемый признак;

б) как на результаты измерений, т.е. набор nчисел.

Случайная величина Х называется дискретной случайной величиной, если она принимает свое значение из некоторого конечного фиксированного набора, например, случайная величина Х ‒ число появления шестерки при двух бросках игрального кубика

Х: 0,1,2 .

Случайная величина Х называется непрерывной случайной величиной, если она принимает любое значение из некоторого интервала (в том числе ‒ ∞ и +∞), например, рост человека.

5

После получения выборки имеем данные, которые представляют собой множество чисел, расположенных в беспорядке. Анализ таких данных весьма затруднителен, и для изучения скрытых закономерностей их подвергают определенной обработке.

Простейшая операция – ранжирование опытных данных, результатом которого являются значения, расположенные в порядке не убывания. Если среди элементов встречаются одинаковые, то они объединяются в одну группу. Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантом, а изменение этого значения – варьированием. Варианты будем обозначать строчными буквами с соответствующими порядковому номеру группы индексами x(1) , x(2) , …, x(N) , где N– число групп. При этом x(1)<x(2)<… <x(N).

Численность отдельной группы сгруппированного ряда данных называется частотой ni, где i– индекс варианта, а отношение частоты данного варианта к общей сумме частот называется частностью (или относительной частотой) и обозначается ωi,i = 1, …,N, т.е.

∑,

Дискретным вариационным рядом называется ранжированная совокупность вариантов x(i) с соответствующими им частотами ni или частностями ωi .

Если число возможных значений дискретной случайной величины достаточно велико или наблюдаемая случайная величина является непрерывной, то строят интервальный вариационный ряд, под которым понимают упорядоченную совокупность интервалов варьирования значений случайной величины с соответствующими частотами или частностями попаданий в каждый из них значений случайной величины.

Как правило, частичные интервалы, на которые разбивается весь интервал варьирования, имеют одинаковую длину , которая может быть вычислена по следующей формуле

∆ .

6

где R – размах варьирования (изменения) случайной величины; xmax , xmin – наибольшее и наименьшее значения исследуемой

случайной величины;

N – число частичных интервалов группировки.

Некоторые авторы рекомендуют пользоваться следующими эмпирическими формулами для определения числа интервалов:

N n ,N = 5.lg(n) ,

N = 1 + 3,322.lg(n) ‒ формула Стерджеса.

В рекомендациях по стандартизации Р 50.1.033-2001 «Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть I. Критерии типа хи-квадрат» рекомендует следующие значения N в зависимости от объема выборки n:

В теории вероятностей для характеристики распределения случайной величины X служит функция распределения

F ( x) P( X x) ,

определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. равная вероятности события А {X x}, где x – любое действительное число.

Одной из основных характеристик выборки является выборочная

(эмпирическая) функция распределения

выборочная функция распределения Fn*(x) – относительную частоту этого события.

Свойства функции Fn*(x) :

1.0 Fn* (x) 1 .

2.Fn*(x) – неубывающая функция.

точках, которым соответствуют наблюдаемые значения вариантов. Величина скачка равна относительной частоте варианта.

Аналитически Fn*(x) задается следующим соотношением:

где i – соответствующие относительные частоты; x(i) – элементы вариационного ряда (варианты).

Замечание. В случае интервального вариационного ряда подx(i) понимается середина i-го частичного интервала. Эмпирическую функцию распределения непрерывной случайной величины так же называют «накопленная частота».

Перед вычислением Fn*(x) полезно построить дискретный или

интервальный вариационный ряд.

Пример выполнения Постановка задачи 1.На телефонной станции проводились

наблюдения над числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение 30 минут дали следующие результаты (табл. 1).

Таблица 1.

Требуется найти дискретный вариационный ряд, выборочную (эмпирическую) функцию распределения данной выборки и построить ее график в среде ЭТ MS Excel.

Решение.

Очевидно, что число X является дискретной случайной величиной,

аполученные данные есть значения этой случайной величины.

Врезультате выполнения операций ранжирования и группировки были получены шесть значений случайной величины (варианты): 0; 1; 2; 3; 4; 5. При этом значение 0 в этой группе встречается 4 раза, значение 1

– 5 раз, значение 2 – 8 раз, значение 3 – 6 раз, значение 4 – 5 раз, значение 5 – 2 раза. Вычисленные значения частот и частностей приведены в табл. 2.

Используя данный дискретный вариационный ряд (см. табл. 2), вычислим значения Fn*(x) по формуле, приведенной выше, и занесем их

в табл. 3.

Таблица 3.

По данным таблицы 3 построим график эмпирической функции распределения.

Решение задачи в среде ЭТ MS Excel. Для решения задачи в среде ЭТ MS Excel необходимо выполнить следующие действия:

1.Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.

2.Переименуйте Лист 2 в Дискретный. Наберите массив 30 значений исходных данных выборки.

3.Найдите величины хmax, хmin, n, используя встроенные функции

ExcelМАКС, МИН и СЧЕТ.

10

Понравилось? Добавьте в закладки

Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей