Решение задач по линейной алгебре в excel

Среда
MS
Excel
представляет собой набор инструментов
для обработки данных, как правило,
числовых. Ядром данной прикладной
программы являются функции MS
Excel
(финансовые, математические, статистические,
баз данных и т.д.), предназначение которых
ясно из названий. В этом параграфе мы
применим средства Excel
для выполнения действий над матрицами,
что, надеемся, облегчит студентам решение
задач.

Итак,
в Excel
существуют следующие функции действий
над матрицами:

МУМНОЖ
– возвращает произведение матриц
(матрицы хранятся в массивах). Результатом
является массив с таким же числом строк,
как массив 1, и с таким же числом столбцов,
как массив 2.

МОПРЕД
– возвращает определитель матрицы
(матрица хранится в массиве).

ТРАНСП
– транспонирование матрицы.

МОБР
– возвращает обратную матрицу для
матрицы, хранящейся в массиве.

Для
простейших действий над матрицами,
такими как:

• сложение/вычитание
  двух матриц;

• умножение
  матрицы на число –

использование
встроенных функций MS
Excel
не требуется. Для выполнения арифметических
действий, но не над числами, а над
массивами чисел (матрицами), достаточно
составить необходимую формулу для
одного из элементов, а затем скопировать
ее для всех остальных. За счет индексации
(адреса) каждой ячейки листа MS
Excel
будет получен корректный результат.

Пример
2.15.
Найдем матрицу С = А + В и D
= 4*A,
где А и В – матрицы вида:

Решение. В данном случае необходимо
ввести значения матрицы А и В (рис. 2.1).

К оформлению никаких строгих правил
не предъявляется:

Рис.
2.1.
Исходные
данные для примера

Для
нахождения матрицы С запишем в первый
элемент результирующей матрицы формулу.
Поскольку сложение матриц происходит
поэлементно, то первый элемент матрицы
С будет суммой первых элементов матриц
А и В (рис. 2.2).

Рис.2.2.
Сумма
первых элементов

После
нажатия клавиши «ENTER»
в первой ячейке области, отведенной под
матрицу С, появится результат сложения.
Формулу, составленную для первого
элемента, используем для нахождения
оставшихся элементов. Для этого формулу
необходимо скопировать и «забить» в
нужные ячейки. Копирование и вставку
можно провести тремя способами:

– поставив
курсор в первую клетку, вызвать в пункте
главного меню «Правка» подпункт
«Копировать/Вставить»;

– правой
кнопкой «мышки» нажать на первую ячейку
и в появившемся меню выбрать
«Копировать/Вставить»;

– воспользоваться
«горячими» клавишами: копировать –
Ctrl+C;
вставить – Ctrl+V.

После
копирования (занесения в буфер памяти)
формулы, необходимо выделить область
результирующей матрицы, в данном случае
3 клетки х 3 клетки, и вставить формулу
перечисленными тремя способами или
просто нажав клавишу «ENTER».

В
результате должна получиться результирующая
матрица С (рис. 2.3).

Рис.
2.3.
Результат
сложения матриц

Аналогичным
образом получим матрицу D
= 4*A
(рис. 2.4).

Рис.
2.4.
Результат
умножения матрицы на число

Все
перечисленные выше функции можно найти
в полном алфавитном списке функций MS
Excel,
который можно вызвать тремя способами:

– в
пункте главного меню «Вставка» выбрать
пункт «Функции» (рис. 2.5).

Рис.
2.5.

– нажатием
на панели инструментов иконки со значком
f^х
(рис.
2.6).

Рис.
2.6.

– после
ввода в желаемую ячейку символа «=»
справа под панелью инструментов
появляется выпадающее меню, в котором
отображены последние 10 использованных
функций (рис. 2.7 и рис. 2.8).

Рис.
2.7

Рис.
2.8

Рассмотрим
использование данных функций на примерах.

Пример
2.16. Найти
произведение
матриц
А и В из примера 2.15.

Решение.
В
задаче перемножения матриц прежде всего
необходимо определить размерность
итоговой матрицы. В нашем случае, матрица
Е = А*В будет содержать 3 строки и 3 столбца.
На листе Excel
необходимо
выделить область 3х3 и в первой ячейке
вызвать функцию МУМНОЖ (рис. 2.9).

Рис.
2.9.
Вызов
функции МУМНОЖ

В
окне функции МУМНОЖ заносятся адреса
перемножаемых массивов. Для этого в
верхнем окне для адреса первого массива
необходимо нажать кнопку
и указать выделением на рабочем листе
расположение элементов первого массива
(рис. 2.10 и 2.11).

Рис.
2.10

Рис.
2.11

Аналогично
заполнить адрес второго массива в строке
«Массив 2» (рис. 2.12).

Рис.
2.12

Следующей
задачей является перенос полученных
результатов на рабочий лист. Поскольку
в данном действии результатом является
не одна ячейка, а девять, то вместо
клавиши «ENTER»
нажимается комбинация клавиш
Ctrl+Shift+Enter.
В результате должен получиться заполненный
массив Е (рис. 2.13).

Рис.
2.13

Аналогичным
образом производится работа с функцией
МОБР, которая служит для нахождения
обратной матрицы.

Пример
2.17. С
помощью Excel
найти обратную матрицу для матрицы В
из примера 2.15.

Решение.
Для
отыскания матрицы В^-1
выделить на рабочем листе область 3х3 и
вызвать функцию МОБР. Синтаксис этой
функции предполагает адрес одного
массива (рис. 2.14).

Рис.
2.14.
Нахождение
обратной матрицы

В
результате нажатия комбинации клавиш
(поскольку требуется заполнить не одну
ячейку) Ctrl+Shift+Enter
в выделенной области будет размещаться
обратная матрица для массива В (рис.
2.15).

Рис.
2.15

Аналогично
выполняется транспонирование матрицы
с единственным отличием – используется
функция ТРАНСП.

Пример
2.18.
Найти определитель матрицы А из примера
2.15.

Решение.
Для
нахождения определителей любых порядков
используется функция МОПРЕД. Поскольку
опредилитель – это число,
характеризующее квадратную матрицу,
нет необходимости в выделении области
для ответа. Решением будет число,
помещенное в одну ячейку (рис. 2.16).

Рис.
2.16.

Необходимо
помнить, что в случае, когда в результате
действий над матрицами ответом будет
являться массив, а не число, следует
следить за выполнением двух требований:

1. перед
   вызовом функции выделять область, в
   которой ожидается решение;

2. после
   заполнения необходимой информации в
   окне таких функций, как МУМНОЖ, МОБР и
   ТРАНСП, следует нажимать комбинацию
   Ctrl+Shift+Enter.

Контрольные
вопросы

1. Дайте
   определение матрицы.

2. Перечислите
   виды матриц.

3. Какие
   матрицы можно складывать, умножать?

4. Дайте
   определение n-мерного вектора.

5. Является
   ли вектор матрицей или наоборот?

6. Что
   такое минор M_ij
   матрицы А?

7. Что
   такое алгебраическое дополнение A_ij?

8. Что
   такое определитель матрицы?

9. Как
   вычислить определитель квадратной
   матрицы второго порядка, третьего
   порядка?

10. Для
    всех ли матриц существует понятие
    определителя?

11. Дайте
    определение обратной матрицы.

12. Что
    такое неособенная матрица?

13. Как
    вычислить обратную матрицу?

14. Как
    проверить, является ли матрица В обратной
    к А?

15. Запишите
    СЛАУ в матричной форме.

16. Как
    решить СЛАУ методом Крамера?

17. Как
    решить СЛАУ методом обратной матрицы?

18. Запишите
    решение матричного уравнения AX = B.

19. Какие
    системы можно решать методом Гаусса?

20. Какие
    случаи возможны при решении СЛАУ?

21. Что
    такое однородная СЛАУ?

22. Дайте
    определение общего решения СЛАУ.

23. Дайте
    определение частного решения СЛАУ.

24. Дайте
    определение базисного решения СЛАУ.

25. Сколько
    базисных решений может иметь СЛАУ.

26. Что
    называется линейной комбинацией системы
    векторов?

27. Какая
    система векторов называется
    линейно-зависимой (независимой)?

28. Что
    называется базисом n-мерного пространства?

29. Как
    определить линейную зависимость или
    независимость системы векторов?

30. Как
    перейти от одного базиса векторного
    пространства к другому?

Задание
№2

Для
матриц А
и В
определить:

а)
3А
+
4В;

б)
АВ
– ВА;

в)
(А—В)^-1.

Задание
№3

Вычислить
следующие определители:

Задание
№4

Решите
систему линейных уравнений двумя
способами (после решения необходимо
выполнить проверку):

• по
  формулам Крамера;

• матричным
  способом.

1)
2X₁
+ 5X₂
— 8X₃
= 8 2) X₁
+ 8X₂
— 7X₃
= 12

4X₁
+ 3X₂
— 9X₃
= 9 2X₁
+ 3X₂
— 5X₃
= 7

2X₁
+ 3X₂
— 5X₃
= 7 6X₁
+ 8X₂
-17X₃
= 17

3)
2X₁
+ 3X₂
— 5X₃
= 7 4) 6X₁
+ 6X₂
-14X₃
= 16

5X₁
+11X₂
-16X₃
= 21 2X₁
+ 5X₂
— 8X₃
= 8

4X₁
+ 3X₂
— 9X₃
= 9 4X₁
+ 3X₂
+ 9X₃
= 9

5)
-7X₁
+ 3X₂
+8X₃
= 75 6) 13X₁
— 6X₂
= 32

9X₁
— 4X₂
= -3 8X₁
+4X₂
+ 1X₃
= 12

X₁
— 7X₂
— 3X₃
= 12 2X₁
+ 9X₂
+ 5X₃
= -5

7)
7X₁
— 4X₂
= 61 6X₁
+ 3X₂
+ 9X₃
= -111

8X₁
+9X₂
— 6X₃
= 48 -7X₁
— 4X₂
— 2X₃
=
52

9X₁
— 6X₂
— 2X₃
= 99 X₁
— 7X₂
+ 3X₃
= -47

9)
-5X₁
+ 7X₂
+11X₃
= -2 10) 2X₁
+ X₂
+ 3X₃
= 11

2X₁
+ 6X₂
+ 3X₃
= 11 3X₁
+ 2X₂
— 5X₃
= -20

3X₁
— 5X₂
+ 4X₃
= 11 5X₁
— 2X₂
+3X₃
= -4

11)
2X₁
+ 3X₂
— 6X₃
= 18 12) X₁
+ 7X₂
— 5X₃
= 25

4X₁
+ 3X₂
— 9X₃
= 9 X₁
+ 3X₂
— 5X₃
= 15

2X₁
+ 2X₂
— 5X₃
= 10 6X₁
+ 8X₂
-17X₃
= 17

13)
2X₁
+ 5X₂
— 5X₃
= 25 14) 6X₁
+ 2X₂
-X₃
= 16

5X₁
+11X₂
-16X₃
= 21 2X₁
+ X₂
— 8X₃
= 36

4X₁
+ 2X₂
— X₃
= 8 4X₁
+ 3X₂
+ 9X₃
= 90

15)
-X₁
+ 3X₂
+8X₃
= 24 16) 12X₁
— 6X₂
= 45

9X₁
— 4X₂
= -36 8X₁
+X₂
+ 7X₃
= 56

X₁
— 7X₂
— 3X₃
= 12 2X₁
+ 9X₂
+ 5X₃
= -5

17)
7X₁
— 4X₂
= 60 18) 6X₁
+ 2X₂
+ 9X₃
= -81

8X₁
+9X₂
— 3X₃
= 48 -7X₁
— 4X₂
— 2X₃
=
52

9X₁
— 6X₂
— 2X₃
= 99 X₁
— 5X₂
+ 3X₃
= -45

19)
-3X₁
+ 7X₂
+5X₃
= -20 20) 2X₁
+ 5X₂
+ 3X₃
= 110

2X₁
+ 6X₂
+ 2X₃
= 120 3X₁
+ 2X₂
— 3X₃
= -20

3X₁
— 5X₂
+ 4X₃
= 90 5X₁
— 12X₂
+3X₃
= -4

21)
2X₁
+ 7X₂
— 8X₃
= 80 22) X₁
+ 8X₂
— 3X₃
= 90

14X₁
+ 3X₂
— 9X₃
= 90 2X₁
+ 3X₂
— 5X₃
= 70

2X₁
+ 3X₂
— 5X₃
= 70 X₁
+ 8X₂
-15X₃
= 120

23)
2X₁
+ 3X₂
— X₃
= 7 24) 6X₁
+ 6X₂
-X₃
= 16

5X₁
+5X₂
-16X₃
= 25 5X₁
+ 5X₂
— 8X₃
= 80

X₁
+ 3X₂
— 9X₃
= 9 4X₁
+ 3X₂
+ 9X₃
= 90

25)
-7X₁
+ 3X₂
+8X₃
= 64

9X₁
— 4X₂
= -30

X₁
— 7X₂
— 2X₃
= 14

Задание
№5

Решить
системы линейных уравнений методом
Жордана–Гаусса

Вариант
№1 – решить системы №1, 6, 11

Вариант
№2 – решить системы №2, 7, 12

Вариант
№3 – решить системы №3, 8, 13

Вариант
№4 – решить системы №4, 9, 14

Вариант
№5 – решить системы №5, 10, 15

Вариант
№6 – решить системы №1, 7, 13

Вариант
№7 – решить системы №2, 8, 14

Вариант
№8 – решить системы №3, 9, 15

Вариант
№9 – решить системы №4, 10, 11

Вариант
№10 – решить системы №5, 6, 12

Вариант
№11 – решить системы №1, 7, 12

Вариант
№12 – решить системы №2, 9, 13

Вариант
№13 – решить системы №3, 10, 11

Вариант
№14 – решить системы №4, 8, 14

Вариант
№15 – решить системы №5, 9, 12

Вариант
№16 – решить системы №1, 8, 14

Вариант
№17 – решить системы №2, 10, 12

Вариант
№18 – решить системы №3, 9, 15

Вариант
№19 – решить системы №4, 7, 11

Вариант
№20 – решить системы №5, 6, 13

Вариант
№21 – решить системы №1, 6, 15

Вариант
№22 – решить системы №2, 8, 15

Вариант
№23 – решить системы №3, 6, 14

Вариант
№24 – решить системы №4, 10, 15

Вариант
№25 – решить системы №5, 7, 11

1.
2Х₁
+ Х₂
+ Х₃
= 2 2. 2Х₁
— Х₂
+ 3Х₃
= 3

Х₁+3Х₂
+ Х₃
= 5 3Х₁
+ Х₂
— 5Х₃
= 0

Х₁
+Х₂
+5Х₃
= -7 4Х₁
— Х₂
+ Х₃
= 3

2Х₁+3Х₂
— 3Х₃
= 14 Х₁
+ 3Х₂
-13Х₃
= -6

3.
Х₁
+ Х₂
+ Х₃
+ Х₄
= 6 4. 2Х₁
— Х₂
+ Х₃
— Х₄
= 1

Х₁
+ Х₂
— Х₃
— Х₄
= 0 2Х₁
— Х₂
— 3Х₄
= 2

Х₁
— Х₂
+ Х₃
— Х₄
= 4 3Х₁
— Х₃
+ Х₄
= -3

Х₁
— Х₂
— Х₃
+ Х₄
= 2 2Х₁+2Х₂
-2Х₃+
5Х₄
= -6

11Х₁
-Х₂
— Х₃+
Х₄
= -5

5.
Х₁
+ Х₂
+ Х₃
+ Х₄
= 0 6. Х₁
+5Х₂
— 9Х₃
+ 8Х₄
= 1

Х₂
+ Х₃
+Х₄
+Х₅
= 0 5Х₁+18Х₂
+ 4Х₃
+ 5Х₄
= 12

Х₁
+2Х₂
+3Х₃
= 2 2Х₁
+7Х₂
+3Х₃
+ 4Х₄
= 5

Х₂
+ Х₃+3Х₄
= -2 1Х₁
+3Х₂
+5Х₃
— 2Х₄
= 3

Х₃+2Х₄
+Х₅
= 2

7. 2Х₁
+ 3Х₂
+ 9Х₃
-7Х₄
= 3 8. 9Х₁
+4Х₂
+ Х₃
+ 7Х₄
= 2

8Х₁
+12Х₂
— 9Х₃
+8Х₄
= 3 2Х₁+
7Х₂
+ 3Х₃
+ Х₄
= 6

4Х₁
+ 6Х₂
+
3Х₃
— 2Х₄
= 3 3Х₁
+5Х₂
+2Х₃
+ 2Х₄
=4

2Х₁+
3Х₂
— Х₃
+
Х₄
= 1

9.
2Х₁
— 3Х₂
— 11Х₃
-15Х₄
= 1 10. 9Х₁+12Х₂
+ 3Х₃
+10Х₄
= 13

2Х₁
— 3Х₂
+ 5Х₃
+ 7Х₄
= 1 3Х₁+
4Х₂
+ Х₃
+ 2Х₄
= 3

4Х₁
— 6Х₂
+
2Х₃
+ 3Х₄
= 2 6Х₁
+ 8Х₂
+2Х₃
+ 5Х₄
= 7

11.
7Х₁
— 4Х₂
+ Х₃
+ 3Х₄
= 5 12. 3Х₁+3Х₂
+ 5Х₃
-2Х₄+3Х₅
= 1

3Х₁
—
5Х₂
+2Х₃
+4Х₄
= 2 2Х₁+2Х₂
+ 4Х₃
-Х₄
+3Х₅
= 2

5Х₁
+ 7Х₂
— 4Х₃
— 6Х₄
= 3 Х₁
+ Х₂
+
3Х₃
-2Х₄+5Х₅
= 1

2Х₁+2Х₂
+
8Х₃
-3Х₄+9Х₅
= 2

13.
Х₁
+ 2Х₂
+ 3Х₃
= 2 14. Х₁
+
Х₂
— 3Х₃
= -1

Х₁
+
Х₂
+ 2Х₃
= 1 2Х₁
+
Х₂
— 2Х₃
= 1

3Х₁
+ 5Х₂
+ 8Х₃
= 0 Х₁
+ Х₂
+
Х₃
= 3

-Х₁
+ Х₂
+ 4Х₃
= 2 Х₁
+2Х₂
-3Х₃
= 1

15.
2Х₁
— Х₂
+ Х₃
— 3Х₄
= 4

3Х₁
—
2Х₂
+2Х₃
— 3Х₄
= 2

2Х₁
+ Х₂
— Х₃
+ Х₄
= 1

5Х₁
+ Х₂
— Х₃
+ 2Х₄
= 1

Задание
№6

В
естественном базисе заданы векторы.
Установить, составляют ли они базис.
Если составляют, то найти связь между
новым и старым базисами, а также в новом
базисе найти компоненты вектора
.

Для
вариантов 1–10

Для
вариантов 11–20

Для
вариантов 21–30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Решение задач линейной алгебры в Ms Excel

Содержание

Введение

1. Метод Гаусса и одно из его приложений в экономике (задача
о рационе)

1.1 Простейшая задача о рационе

.2 Метод Гаусса

.3 Метод Гаусса в Excel

2.   Модель Леонтьева межотраслевого баланса

.     Метод наименьших квадратов (МНК)

3.1 Алгебраический метод наименьших квадратов

3.1.1 Анализ данных эксперимента

3.2 МНК в Excel

Заключение

Список литературы

Введение

Данная работа посвящена решению задач линейной алгебры в Excel,точнее решению систем линейных
уравнений. Будут рассмотрены три метода: метод Гаусса, метод, основанный на
нахождении обратной матрицы и метод наименьших квадратов.

В первом параграфе работы в качестве примера использования систем
линейных уравнений в экономике приведена простейшая задача о рационе и её
решение методом Гаусса в частном случае, когда количество неизвестных совпадает
с количеством уравнений.

Во втором параграфе рассматривается модель Леонтьева межотраслевого
баланса. Это модель, позволяющая анализировать состояние экономики и
моделировать различные сценарии ее развития. Возникающая в этом методе система
линейных уравнений традиционно решается нахождением обратной матрицы. Чтобы
пояснить, запишем модель Леонтьева в матричной форме:

(E-A)*X=Y

Если у нас имеется матрица (Е-А)^-1 ,то умножая обе части
равенства на эту матрицу, получим: Х=(Е-А)^-1*У.

Третий параграф описывает решение задач, сводящихся к решению систем
линейных уравнений, при помощи МНК (метода наименьших квадратов).

.        Метод Гаусса и одно из его приложений в экономике  (задача о
рационе)

1.1 Простейшая задача о рационе

Формулировка задачи. Допустим, на ферме занимаются выращиванием телят.
Известно, что для хорошего роста теленка в день ему необходимо потреблять m веществ в количестве  ,…, соответственно.

На ферму ежедневно завозится n кормов в количестве,…,. Известно, что доля итогового вещества в j-ом корме равна . Тогда общее количество вещества
определяется по формуле

 

(слагаемое — количество итогового вещества в j корме; i=1,…,n).

В результате получаем систему

 (1)

1.2 Метод Гаусса

Алгоритм Метода Гаусса состоит из двух основных частей: прямой ход и
обратный ход.

Прямой ход заключается в том, что система приводится к треугольному виду
(верхняя унитреугольная форма). Обратный ход — непосредственное нахождение
неизвестных. Причем, корни находятся в обратном порядке: сначала , затем  и т.д.

)        Прямой ход состоит из следующих шагов.

На первом шаге элементарными преобразованиями исключается из всех уравнений, начиная со
второго.

Второй шаг заключается в исключение  из всех уравнений, начиная с
третьего.

На s шаге  исключается из всех уравнений,
начиная с s+1 (s=1,…,n-1).

При этом каждый шаг начинается с обработки s уравнения: строка под номером sделится на,чтобы коэффициент при  стал равен 1.

Описанный алгоритм носит циклический характер.

После завершения этого процесса получаем систему:

 (2)

)        Обратный ход.

В результате выполнения алгоритма прямого хода система (1) приняла
треугольный вид (2). Для нахождения решения остается из системы (2) найти , , …, . Метод нахождения достаточно
очевиден: из последнего уравнения находим .

Затем, подставив найденное значение  в (n-1)-ое уравнение, найдем , и т.д. Таким образом, s-ое неизвестное  находим из s-го уравнения:

.         1.0.

Причем, если условиться считать, что значение суммы, в которой нижний
индекс суммирования больше верхнего (пустая сумма), равно нулю, в формуле 1.0.
можно считать, что индекс s
принимает натуральные значения от n до 1.

1.3 Метод Гаусса в Excel

В Excel Метод Гаусса подробно (по шагам)
выполняется только в учебных целях, когда нужно показать, что Вы это умеете.
Существует более рациональный способ реализации данного метода в Excel.

Решим задачу о рационе в Excel.

Формулировка:    

Допустим, на ферме занимаются выращиванием телят. Известно, что для
хорошего роста теленка в день ему необходимо потреблять 4 вещества в количестве
,, , соответственно.

На ферму ежедневно завозится 4 корма в количестве ,…,. Известно, что доля итогового
вещества в j-ом корме равна . Тогда общее количество вещества
определяется по формуле

(слагаемое — количество итогового вещества в j корме; i=1,…,n).

В результате получаем систему

(1)

Введем исходные данные в Excel:

Отображение в режиме формул:

Где А — матрица коэффициентов,

F-
вектор свободных членов,

F’
содержит формулу, вычисляющую левую часть уравнения.

Результат вычислений:

2.      Модель Леонтьева межотраслевого баланса

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует
баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является
производителем, а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими
отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями
через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была
сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного
американского экономиста В.В.Леонтьева, который попытался проанализировать
причины экономической депрессии США 1929-1932 гг. Эта модель основана на
алгебре матриц.

Суть сводится к следующему.

Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса
составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных
затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой
экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что производствао единицы продукции в j-й отрасли требует определенное
количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное а_ij. Оно не зависит от объема
производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени.
Величины а_ij называются коэффициентами
прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество
продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать
только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

Систему уравнений баланса можно переписать в виде

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных
затрат А= (а_ij),
вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец
конечной продукции Y:

,                      ,

то система уравнений в матричной форме примет вид:

Х=АХ + У.

Полученная система уравнений называется экономико-математической моделью
межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты-выпуск»).
С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

o   Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X_i), можно определить объемы конечной
продукции каждой отрасли (Y_i):

 = (Е —
А)Х (2).

o   Задав величины конечной продукции всех отраслей (У_г),
можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Х)

o   Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для
всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины
конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е — А)^-1 обозначает матрицу,
обратную к матрице (Е — А). Если определитель матрицы (Е — А) не равен нулю,
т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим
эту обратную матрицу через В=(Е -А)^-1, тогда систему уравнений в
матричной форме (2) можно записать в виде

= ВY.

Элементы матрицы В будем обозначать через b_ij, тогда из матричного уравнения для
любой i-й отрасли можно получить следующее
соотношение:

Из последних соотношений следует, что валовая продукция выступает как
взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты
b_ij, которые показывают, сколько всего
нужно произвести продукции i-й
отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от
коэффициентов прямых затрат а_ij коэффициенты b_ij называются коэффициентами полных материальных затрат и
включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые
затраты отражают количество средств производства, израсходованных
непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к
предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо,
а через другие (промежуточные) средства производства.

Пример нахождения вектора валовой продукции

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов
прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:

Найти вектор валовой продукции.

Решение.

1.      Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат.. Находим
матрицу (Е-А)

b.      Вычисляем определитель этой матрицы

c.       Транспонируем матрицу (Е-А)

d.      Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (Е-А)’

              

Таким образом, присоединенная матрица имеет вид:

e.       Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:

2.      Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор X),:

Нахождения вектора валовой продукции в Excel.

Модель Леонтьева межотраслевого баланса в режиме формул:

Результаты расчетов представленной модели:

Искомый вектор валового выпуска отраслей занимает диапазон Е12:Е14.

В процессе решения задачи использовались следующие функции:

. МОБР — возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

Синтаксис: МОБР (массив).

Массив — числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

После введения функции в левую верхнюю ячейку диапазона массива следует
выделить массив, начиная с ячейки, содержащей формулу, нажать клавишу F2, а
затем нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

. МУМНОЖ — возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах).
Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же
числом столбцов, как массив2.

Синтаксис: МУМНОЖ(массив1;массив2).

Массив1, массив2 — перемножаемые массивы.

3.      Метод наименьших квадратов (МНК)

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

 

Возможны три случая: m<n, m=n, m>n. Случай, когда m=n, рассматривался в предыдущих
параграфах. При m<n, если система mлинейных уравнений с nнеизвестными является совместной, то
она не определена и имеет бесконечно много решений.

В случае, если m>nи система является совместной, то
матрица А имеет по крайней мере m — nлинейно зависимых строк. Здесь
решение может быть получено отбором n любых линейно независимых уравнений (если они существуют)и применением
формулы Х=А^-1×В, то есть, сведением задачи к ранее решенной. При
этом полученное решение всегда будет удовлетворять и остальным m — nуравнениям.

Однако при применении компьютера удобнее использовать более общий подход
— метод наименьших квадратов.

.1
Алгебраический метод
наименьших квадратов

Под алгебраическим методом наименьших квадратов понимается метод решения
систем линейных уравнений

Ax∼= B (1.1)

путем минимизации евклидовой нормы

‖Ax − b‖ → inf . (1.2)

3.1.1
Анализ данных эксперимента

Рассмотрим некоторый эксперимент, в ходе которого в моменты времени

<<… <

производится, например, измерение температуры Q(t). Пусть результаты
измерений задаются массивом

, , …, .

Допустим, что условия проведения эксперимента таковы, что измерения
проводятся с заведомой погрешностью. В этих случаях закон изменения температуры
Q(t) ищут с помощью некоторого полинома

(t) = + + + … +,

определяя неизвестные коэффициенты , , …, из тех соображений, чтобы величина E(, …,), определяемая равенством

гаусс алгебраический exel аппроксимация

E(,…,) =

Если заменить P(t) его выражением, то получим

=

Поставим задачу определения массива так, чтобы величина была минимальна, т.е. определим
массив методом наименьших квадратов. Для
этого приравняем частные производные пок нулю:

 

Если ввести m × n матрицу A = (), i = 1, 2…, m; j = 1, 2, …, n,
где

=, i = 1, 2…, m; j = 1, 2, …, n,

то выписанное равенство примет вид

 (k=1,2,…,n)

 (k=1,2,…,n)

Перепишем написанное равенство в терминах операций с матрицами. Имеем по
определению умножения матрицы на столбец

Для транспонированной матрицы аналогичное соотношение выглядит так

 

Введем обозначение: i -ую
компоненту вектора Ax будем
обозначать В соответствии с выписанными матричными равенствами будем
иметь

=

(k=1,2,…,n)

В матричной форме это равенство перепишется в виде

A^Tx=A^TB
(1.3)

Здесь A — прямоугольная m× n матрица. Причем в задачах
аппроксимации данных, как правило, m > n. Уравнение (1.3) называется
нормальным уравнением.

Можно было с самого начала, используя евклидову норму векторов, записать
задачу в эквивалентной матричной форме:

==

=

Наша цель минимизировать эту функцию по x. Для того чтобы в точке решения
достигался минимум, первые производные по x в этой точке должны равняться нулю.
Производные данной функции составляют

−2A^TB + 2A^TAx

и поэтому решение должно удовлетворять системе линейных уравнений

(A^TA)x = (A^TB).

Эти уравнения называются нормальными уравнениями. Если A — m×
n матрица, то A>A — n
×
n — матрица, т.е.
матрица нормального уравнения всегда квадратная симметричная матрица. Более
того, она обладает свойством положительной определенности в том смысле, что
(A>Ax, x) = (Ax, Ax) ≥ 0.

Замечание. Иногда решение уравнения вида (1.3) называют решением систе-
мы Ax = В, где A прямоугольная m × n (m > n) матрица методом наименьших
квадратов.

Задачу наименьших квадратов можно графически интерпретировать как
минимизацию вертикальных расстояний от точек данных до модельной кривой (см.
рис.1.1). Эта идея основана на предположении, что все ошибки в аппроксимации
соответствуют ошибкам в наблюдениях. Если имеются также ошибки в
независимых переменных , то может оказаться более уместным минимизировать евклидово
расстояние от данных до модели.

рис.1.1.

3.2 МНК в Excel

Приведенный ниже алгоритм реализации МНК в Excel подразумевает, что все исходные данные уже известны.
Обе части матричного уравнения A×X=B системы умножаем
слева на транспонированную матрицу системы А^Т:

А^ТАХ=А^ТВ

Затем обе части уравнения умножаем слева на матрицу (А^ТА)^-1.
Если эта матрица существует, то система определена. С учетом того, что

(А^ТА)^-1*(А^ТА)=Е, получаем

Х=(А^ТА)^-1А^ТВ.

Полученное матричное уравнение является решением системы m линейных уравнений с nнеизвестными при m>n.

Рассмотрим применение вышеописанного алгоритма на конкретном примере.

Пример. Пусть необходимо решить систему

 

Решение.

Результаты расчетов:

Искомый вектор Х расположен в диапазоне Е11:Е12.

При решении заданной системы линейных уравнений использовались следующие
функции:

. МОБР — возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

Синтаксис: МОБР(массив).

Массив — числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

После введения функции в левую верхнюю ячейку диапазона массива следует
выделить массив, начиная с ячейки, содержащей формулу, нажать клавишу F2, а
затем нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

. МУМНОЖ — возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах).
Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же
числом столбцов, как массив2.

Синтаксис: МУМНОЖ(массив1;массив2).

Массив1, массив2 — перемножаемые массивы.

После введения функции в левую верхнюю ячейку диапазона массива следует
выделить массив, начиная с ячейки, содержащей формулу, нажать клавишу F2, а
затем нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

. ТРАНСП — преобразует вертикальный набор ячеек в горизонтальный, или
наоборот. В результате использования этой функции появляется массив с числом
строк, равным числу столбцов исходного массива, и числом столбцов, равным числу
строк начального массива.

Заключение

В курсовой работе описаны некоторые классические ([4],[7]) методы решения
систем линейных уравнений. Описан также метод наименьших квадратов и решение
системы с прямоугольной матрицей, в которой число уравнений больше, чем число
неизвестных. Решение этой системы также свелось к решению методом Гаусса
системы с квадратной матрицей, получаемой из исходной системы умножением обеих
частей на транспонированную матрицу.

Список литературы

[1] Гельман В.Я. Решение математических задач средствами
Excel.-Москва-

Санкт-Петербург : Питер,2003.

[2] Каханер Д. Моулер К., Нэш С. Численные методы и
программное обеспечение.-М.: Мир, 1998.

[3] Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. АЛГОРИТМЫ (построение
и анализ). — М.: МЦНМО, 2000.

[4] Райс Дж. Матричные вычисления и математическое
обеспечение.- М.: Мир, 1984.

[5] Васильев А.Н. Научные вычисления в Microsoft Excel .-
Москва-Киев: Диалектика, 2004.

[6] Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы
математических вычислений. — М.:Мир, 1980.

[7] Press W.H., Teukolsky S.A., Flannery B.P.
Numerical Recipes in C.- Cambridge University Press, 1991.

Цель работы: познакомиться с приемами решения задач линейной алгебры.

Типичными задачами линейной алгебры являются задачи, связанные с решением систем линейных уравнений. При этом приходится работать с массивами чисел. Для их обработки в Excel предусмотрен ряд математических функций:

• МОПРЕД(массив) — функция для нахождения определителя квадратной матрицы. Здесь массив — числовой массив с равным количеством строк и столбцов;
• МОБР(массив) — функция для нахождения обратной матрицы. Здесь массив — числовой массив с равным количеством строк и столбцов;
• МУМНОЖ(массив1;массив2) — функция для нахождения произведения массива1на массив2.Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1, и с таким же числом столбцов, как массив2. При этом если обозначить буквой С результат произведения двух массивов А и В, то элементы массива С определяются по формуле , где i — номер строки, а j — номер столбца;
• ТРАНСП(массив) — функция для транспонирования массива ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т.д.

Особенностью вычислений, связанных с массивами, является то, что результат вычисления распространяется в виде формулы на целый блок ячеек. Такие формулы называются формулами массива. При вводе формул массива необходимо соблюдать определенную последовательность действий:

Шаг 1. Сначала формула вводится в первую ячейку результирующего массива.

Шаг 2.Выделяется весь блок ячеек результирующего массива.

Шаг 3.Нажимается клавишаклавиатуры.

Шаг 4.Нажимается комбинация клавиш Ctrl+Shift+Enter. При этом формула распознается как формула массива и заключается в фигурные скобки { }.

Важно!

При работе с массивами чисел всегда контролируйте размерность результирующего массива!

ЗАДАНИЕ 1. Решение задач линейной алгебры

Рассмотрим решение некоторых задач линейной алгебры на простейших примерах. Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка .

• Найдите матрицу А-1, обратную к данной матрице А.
• Найдите определитель матрицы А.
• Проверьте, что найденная матрица А-1 действительно является обратной для матрицы А.

1. Откройте чистый рабочий лист. Переименуйте его в Обратная матрица.

2. Заполните рабочий лист исходными данными, как показано на рис. 14:

Рис. 14

3. Установите курсор в ячейку Е2 и введите формулу =МОБР(А2:С4). После нажатия клавиши Enter в ячейке Е2 появится число 0,4.

4. Для получения обратной матрицы формулу в этом примере необходимо ввести как формулу массива. Для этого выделите диапазон ячеек Е2:G4, соответствующий обратной матрице (размерность матрицы А-1 очевидно будет такая же, как и у матрицы А). Нажмите клавишу , а затем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В результате ячейки Е2:G4 будут заполнены элементами обратной матрицы.

5. В ячейку А6 введите текст Определитель(A).

6. Установите курсор в ячейку В6 и введите формулу = МОПРЕД(А2:С4). Нажмите клавишу Enter. В ячейке должно получиться значение определителя матрицы А, равное 5. Внимание!В этом случае формулу для расчета определителя не нужно вводить как формулу массива, так как определитель является не массивом, а одним числом.

7. Для проверки правильности нахождения обратной матрицы вспомним, что должно выполняться условие: А А-1=Е, где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Установите курсор в ячейку Е6 и введите текст Произведение матриц.

8. В ячейку Е7 введите формулу = МУМНОЖ(А2:С4; Е2:G4). Нажмите клавишу Enter.

9. Формулу в этом случае также вводим как формулу массива. В результате ячейки Е7:G9 будут заполнены элементами единичной матрицы (по главной диагонали будут записаны 1, остальные элементы будут равны 0). Если числа имеют много десятичных знаков, то выделите ячейки Е7:G9 и уменьшите разрядность либо при помощи команды меню Формат/Ячейки/закладка Число, либо при помощи кнопки Уменьшить разрядность .

ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Решение систем линейных уравнений

Вариант вашего задания задает преподаватель!

Откройте чистый рабочий лист. Переименуйте его в Тест 1.Решите систему линейных уравнений (см. табл. 5) по формулам Крамера.

Формулы Крамера имеют вид:

.

Здесь D- определитель системы, а Di — вспомогательный определитель, который получается из исходного определителя D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов уравнений системы.

Таблица 5

№	Решить систему	№	Решить систему

ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ 2. Решение уравнений, записанных в матричной форме

Вариант вашего задания задает преподаватель!

Откройте чистый рабочий лист. Переименуйте его в Тест 2.Решите матричные уравнения, выбрав свой вариант из таблицы 6.

Примечание. Заданное уравнение нужно свести к одному из двух видов:

1) А Х=В, здесь решение находится по формуле Х=А-1 В

или

2) Х А =В, в этом случае решение находится по формуле Х=В А-1.

Если исходное уравнение имеет вид С Х А =В, то его предварительно приведите к виду: Х А = С-1 В, рассчитайте правую часть системы и затем воспользуйтесь предложенными формулами для нахождения решения системы.

Таблица 6

№	Уравнение	№	Уравнение

Статьи к прочтению:

• Лабораторная работа № 6. шифрование данных на жестком диске при помощи системы pgp
• Лабораторная работа №6. создание idef3-диаграммы

Курс Excel_Базовый — Урок №8. Абсолютные и относительные ссылки

Похожие статьи:

• Лабораторная работа №1. основы работы с программой ms excel

  САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра информатики ИНФОРМАТИКА Табличный процессор MS Excel Методические указания к выполнению…

• Лабораторная работа №5. вычисление сумм и произведений в ms excel

  Цель работы: познакомиться с возможностями организации циклических вычислений на примере расчетов сумм и произведений. Обычно при расчетах сумм или…

Тема “Решение математических задач средствами
EXCEL”, является значимой в курсе “Информатика и
информационные технологии”, которая возникает
на различных этапах изучения предмета. Например,
вычисления алгебраических выражений, решения
квадратных уравнений в различных средах,
построение графиков функций и т.д.

На протяжении почти всего курса математики
учащиеся изучают различные методы решения
уравнений и систем уравнений. Когда школьники
изучат методы решения систем уравнений на уроках
алгебры, на уроках информатики целесообразно
рассмотреть дополнительные, более эффективные,
по времени, инструменты для выполнения таких
заданий. Данная тема не является сложной для
учащихся, но очень трудоемкая для учителя,
необходимо делать много записей на доске,
фактически учитель весь урок стоит спиной к
учащимся. Для оптимизации и эффективности
учебной деятельности учителя на уроке была
создана презентация, которая может применяться
на любом этапе прохождения темы фрагментарно или
полностью учителями математики, а особенно
полезна учителям информатики из-за
ограниченного количества часов по предмету.

Данный урок можно отнести к интегрированным
урокам, построенным на деятельной основе с
применением проблемно-исследовательской
технологии. Ценность урока заключается в том, что
ученики решают стандартные математические
задачи нестандартным способом – применяя
современные компьютерные технологии. Этим
достигается мотивационная цель – побуждение
интереса, показ необходимости знаний по
математике и информатики в реальной жизни. На
уроке ученики покажут владение компьютером,
умение работать с пакетом программ Microsoft Office,
знания, умения и навыки, полученные на уроках
математики. В результате будет достигнута
образовательная цель урока: по математики
обобщение знаний по темам: “Матрицы. Действия с
матрицами. Решение систем линейных уравнений
методом Крамера, Гаусса”, по информатике у
учащихся формируется навык работы с табличными
формулами, познакомятся с возможностями Excel для
решения различных уравнений и систем уравнений.

11 класс, информатика.

Тема: “Применение табличного процессора MS
Excel для решения систем линейных алгебраических
уравнений”.

Тема рассчитана на два урока.

Тип урока: комбинированный урок,
совершенствование знаний, умений и навыков.

Вид урока: интегрированный.

Цели урока:

обучающие:

• повторение и закрепление знаний учащихся
  математического аппарата по теме;
• отработать умение переходить от математической
  записи выражений к записи в среде электронных
  таблиц;
• продемонстрировать учащимся рациональность
  использования электронных таблиц для решения
  систем п линейных уравнений с п неизвестными;

Развитие внимания, памяти, представления,
мышления, речи. Развитие интереса к предмету,
навыка самостоятельной работы.

Развивающие и воспитательные:

• формирование умений анализировать, выделять
  главное, сравнивать, строить аналогии;




• развитие умения применять имеющиеся знания и
  умения в новой ситуации;
• развивать гибкость мышления, отыскивать
  наиболее краткий путь достижения цели развивать
  целенаправленность, рациональность, критичность
  мышления.
• умение устанавливать межпредметные связи.
• формирование способностей, позволяющих
  осуществлять быструю смену видов учебной
  деятельности.

Формы организации познавательной
деятельности: фронтальная, индивидуальная,
групповая, коллективная.

Методы и приемы обучения:
объяснительно-иллюстративный, проблемного
изложения, наглядно-иллюстративный,
практический, эвристическая беседа.

Оборудование: доска, компьютеры,
мультимедийный проектор и экран, презентация,
карточки с индивидуальным заданием, папка с
электронным материалом для урока.

Средства обучения: презентация учителя MS
PowerPoint “Решение математических задач средствами
Excel”, ресурсы Интернет.

Компьютерное программное обеспечение: пакет
программ Microsoft Office 2007.

Структура урока

Приложение 1

Описание урока

1. Организационный момент.

• Учитель сообщает учащимся тему и цель урока.
  Учащиеся записывают тему урока Слайд Титульный
  лист.
• Рассказывает о том, как будет построен урок.
• Знакомит с задачами, которые должны быть решены
  в ходе урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Учитель. Для успешного проведения занятия по
теме нам необходимо будет вспомнить и повторить
материал из уроков математики “Методы решения
линейных систем уравнений” и из информатики
“Работа с формулами в Excel. Логические формулы.
Относительные и абсолютные ссылки”.

Откройте файл D://Уроки_11/Решение
СЛАУ/Приложение 2. У учащихся файл без листа
Решение.

Заполните все поля таблицы.

Фронтальная работа с учащимися по проверки
знаний и умений работы с формулами и функциями в
Excel. На экране демонстрируется пример таблицы,

в которой необходимо заполнить все поля.
Учащиеся предлагают алгоритмы заполнения полей.
В тетради выписывают формулу для заполнения
столбца K (победители, призеры), далее сравнивают
свое решение с решением, представленным на
экране (лист Решение, Приложение 2).

3. Изучение нового материала.

Учитель

Какие методы решения линейных уравнений вы
знаете? Если не просмотрели файл выложенный в
домашнее задание предыдущего урока, то можете
открыть файл D://Уроки_11/Решение СЛАУ/Приложение
1.

Учащиеся

Метод последовательного исключения
неизвестных, метод Крамера.

Учитель

Посмотрите описание метода Крамера, с какими
элементами нужно уметь работать при применении
этого метода?

Учащиеся

С определителями.

Учитель

Т.е. с матрицами, на экране демонстрируется
пример матрицы . Откройте файл D://Уроки_11/Решение
СЛАУ/Приложение 3, лист Пример и выполните
задание.

Учащиеся открывают документ Приложение
3 (лист Пример 1).

Выполняются задания, представленные на экране.

Учитель

Для работы с матрицами в Excel существуют
специальные формулы, формулы для работы с
массивом или их ещё называют табличные формулы.

Презентация. Слайд 3, 4. Учащиеся записывают
понятие табличной формулы и особенности её
ввода.

4. Подготовка к осмысление и применение
изученного материала. Практическая работа.

Эвристическая беседа.

Учитель

1. Для решения, каких задач можно применять
табличные формулы?

Ответ может быть предопределен заданием,
которое они выполняли – действия с матрицами,
если решением должна получиться тоже матрица.

2. Дайте понятие матрицы? Может ли сказать, что
любая прямоугольная таблица, заполненная
числовыми значениями, есть матрица?

Ответ утвердительный. Слайд 5

3. Какие виды матриц вы знаете, чем они
отличаются друг от друга? (заполнение,
размерность и т.д.)

После обсуждения представить Слайд 6.

4. Можно ли с матрицами производить какие-либо
действия?

Учащиеся могу перечислить некоторые действия с
матрицами, сложение, умножение на число и т.д.
Слайд 7.

Учитель информирует учащихся , о широких
возможностях табличного процессора Excel для
работы с матрицами.

Ученики записывают тему пункта темы Слайд8.

Повторение, обобщение математических знаний,
дополненных демонстрацией новых функций Excel.

Презентация Слайды 9-14.

Демонстрация каждого слайда предопределяется
вопросами по теме слайда.

В тетрадь учащиеся записывают только функции
Excel для работы с матрицами и одновременно
выполняют тренировочные практические задания из
Приложение 3 Листы: пример 2, пример 3, пример 4.
Подробно остановиться на примере 5, Приложение 3,
Слайд 14.

Учитель

Теперь непосредственно перейдем к решению СЛАУ
и познакомимся с методом, который вы
рассматривали на уроках математики, это
матричный метод. Слайд 16. Как вы думаете
почему вы не решали системы матричным методом?

Учащиеся

Сложность вычисления обратной матрицы

Учитель

Запишите в тетрадь алгоритм решения системы
матричным способом.

Откройте новую книгу Excel и решим вместе систему
представленную на экране. Слайды 18-21.

Учитель открывает файл – заготовку упражнения
и вместе с учащимися решает упражнение.

Решение сопровождается подробным объяснением.
Решение учащихся сравнивается с предложенным
решением в презентации. Слайды 18-21.

Учитель

Рассмотрим теперь решение СЛАУ методом
Крамера, этот метод вам знаком, но на уроках
математики вы решали, в основном, системы из двух
уравнений с двумя неизвестными, почему? Слайд
22.

Ученики

Нужно много времени для вычисления
определителей.

Учитель

Возможности Excel решают эту проблему.
Откройте новый лист в книге и вместе решим
систему уравнений представленную на экране.

Свои решения учащиеся сравнивают с решением,
представленным в презентации. Слайды 23-25.

5. Закрепление (эвристическая беседа,
тренировка, отработка умений).

Обсуждение темы по вопросам. Презентация. Слайд
26.

Практическая работа по группам: группа
(практики) Приложение 3 Листы пример 6, пример 7,
группа (технологи) Лист пример 8 решить систему
методом Гаусса ( можно воспользоваться
Интернет-ресурсами), группа (программисты)
создать программу на языке программирования
Паскаль или С# решение системы уравнений методом
Крамера, можно для ограниченного количества
строк и столбцов.

6. Итог урока.

Проверка практической работы, обсудить
проблемы в выполнении с каждой группой, если были
выполнены не все задания, то откорректировать
домашнее задание. Выставление оценок за урок.

Домашнее задание. На выбор:

1. (Приложение 4) Выполнить один из
вариантов из карточки , разобрать программы
решения систем уравнений на языке Паскаль из
теоретического материала (Приложение 1)

2. Выполнить один из вариантов из карточки.
Создать отдельно программу для решения систем
методом Гаусса или матричным методом, группе
программистов доработать программу метод
Крамера.

7. Заключение.

Опыт работы с интегрированными уроками
показывает, что у учащихся повышается качество
знаний, оно может и не выражаться в оценках, но
расширяется кругозор, развиваются творческие
способности, повышается интерес к предметам, и
вообще интерес к обучению, формируется
убеждение, что учащиеся могут изучить больше, чем
дается по программе.

Предложенное занятие по содержанию и
выполнению заданий, кажется, насыщенным и
перегруженным теорией и практическими
упражнениями, но применение презентации,
заготовок файлов (приложение 3) помогает
выполнить все запланированные действия. Такое
занятие рекомендуется проводить в
математических классах, когда учащиеся уже
изучили методы решения СЛАУ. За неделю до
изучения этой темы выложить в эл. дневник, для
ознакомления, информационный материал по
методам решения систем уравнений и описание
создания программ для решения систем уравнений
на языке программирования.

Литература

1. Воронина Т.П. Образование в эпоху новых
информационных технологий / Т.П. Воронина.- М.: АМО,
2008. -147 с.

2. Глинская Е. А. Межпредметные связи в обучении /
Е.А. Глинская, С.В. Титова. – 3-е изд. – Тула: Инфо,
2007. — 44 с.

3. Данилюк Д. Я. Учебный предмет как
интегрированная система /Д.Я. Данилюк
//Педагогика. — 2007. — № 4. — С. 24-28.

4. Иванова М.А. Межпредметные связи на уроках
информатики / М.А. Иванова, И.Л. Карева //
Информатика и образование. – 2005. — №5. – С. 17-20.

5. А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер
«Информатика», Москва, ACADEMA, 2000 г.

6. С.А. Немнюгин, «Турбо ПАСКАЛЬ», Практикум,
Питер, 2002 г.

Ресурсы Интернет

http://www.excelworld.ru/publ/hacks/tools/solver/27-1-0-122

http://www.uchportal.ru/publ/23-1-0-1832

http://math.immf.ru/lections/003.html