Решение задач на графы в excel

Скачать материал

Скачать материал

Необходимо найти кратчайший путь между 2-мя заданными городами. Построим линейную модель и с помощью надстройки Поиск решения решим задачу.

В статье

Поиск решения MS EXCEL (6.3). Задача коммивояжера (полный граф, линейная модель)

рассматривались модели, в которых  коммивояжёру требуется посетить все имеющиеся города. В этой задаче посещение всех городов не требуется.

Задача

Имеется 11 городов, координаты которых известны. Маршруты проложены только между некоторыми городами (неполный граф). Найти кратчайший путь между 2-мя заданными городами. Построить Линейную модель.

Создание модели

Так как даны координаты городов, то сначала найдем расстояния между ними (см.

файл примера

).

Расстояния рассчитаем с помощью формулы: =

КОРЕНЬ((ИНДЕКС($C$7:$D$17;ПОИСКПОЗ($A30;$A$7:$A$17;0);1)-ИНДЕКС($C$7:$D$17;ПОИСКПОЗ(B$29;$A$7:$A$17;0);1))^2 +(ИНДЕКС($C$7:$D$17;ПОИСКПОЗ($A30;$A$7:$A$17;0);2)-ИНДЕКС($C$7:$D$17;ПОИСКПОЗ(B$29;$A$7:$A$17;0);2))^2)

Теперь создадим линейную модель для решения задачи с помощью

Поиска решения

.

Совет

: Вводная статья про

Поиск решения

в MS EXCEL 2010

находится здесь

.

Обратите внимание, что не все города соединены сообщением (столбцы J:M), например нет прямого маршрута между Москвой и Парижем. Также для модели принципиально направление маршрута: Москва — Лондон, это не тоже самое, что Лондон-Москва (при необходимости список маршрутов можно расширить).

Переменные (выделено зеленым)

. В качестве переменных модели следует взять номера маршрутов между городами: если маршрут включен в кратчайший путь, то переменная =1, если нет, то =0.

Ограничения (выделено синим)

. Необходимо, чтобы из каждого города, в котором побывал путешественник, был входящий и выходящий маршрут. Так как входящий маршрут обозначается 1, а исходящий -1, то их сумма, равная 0, будет означать, что в город вошли и вышли (включен в кратчайший путь). Исключение составляют город – начальная точка путешествия (сумма =-1) и город – конечная точка (сумма =1). Изменяя ограничение в синем столбце, можно задавать начальные и конечные пункты путешествия.

Целевая функция (выделено красным)

.

Длина маршрута должна быть минимальной.

Примечание

: для удобства настройки

Поиска решения

используются

именованные диапазоны

.

Выберите Линейный метод поиска решения, т.к. созданная модель является линейной.

Найденное

Решение

Поиск решения

гарантировано найдет самый короткий маршрут, т.к. модель линейная.

Изменив начальный и конечный пункт путешествия, и перезапустив

Поиск решения

, получим другой маршрут.

Будьте внимательны, не все пары конечных и начальных пунктов допустимы. Например, задав путешествие из Москвы в Копенгаген,

Поиск решения

не найдет маршрут, т.к. для этого потребуется «двигаться назад», а в маршрутах между городами обратные пути не прописаны (маршруты, конечно, можно добавить в столбцы J:M, но не забудьте изменить и другие формулы).

Рассмотрим задачу
нахождения максимального поток в сети,
которая представляет модель системы
магистральных трубопроводов, связывающих
источник добычи некоторого жидкого
продукта (нефти, сжиженного газа) с
предприятием по его промышленной
переработке. Данная модель может быть
представлена в виде схемы, формально
представляющая собой ориентированный
граф без циклов, состоящий из 6 вершин
и 10 дуг (рис. 15.2). Предельные значения
пропускной способности каждого участка
рассматриваемой системы между двумя
соседними компрессорными станциями,
выраженные например в т/час,
равны значению весовой функции для
каждой дуги, которые указаны рядом с
изображением этой дуги в графе.

В предположении,
что источник, которому соответствует
вершина v₁=v_s,
обладает достаточными запасами продукта,
требуется определить количество
транспортируемого продукта по каждому
из участков трубопроводной системы до
стока, которому соответствует вершина
v₆=v_t,
так чтобы количество доставленного на
сток продукта было максимальным.

Рис.15.2. Исходный ориентированный граф
индивидуальной задачи о

максимальном потоке в сети

Переменными
математической модели данной индивидуальной
задачи о максимальном потоке в сети
являются 10 переменных: x₁₂,
x₁₃,
x₂₃,
x₂₄,
x₂₅,
x₃₄,
x₃₅,
x₄₅,
x₄₆,
x₅₆.
Каждая из этих переменных x_ij
может принимать неотрицательные
целочисленное значение, не превышающее
пропускной способности дуги c_ij
и
соответствующее величине потока
продукта, транспортируемого по отдельному
трубопроводу, связывающему компрессорные
станции – вершины сети. Тогда математическая
постановка рассматриваемой индивидуальной
задачи о максимальном потоке в сети
может быть записана в следующем виде:

(15.5)

где множество
допустимых альтернатив

формируется следующей системой
ограничений типа равенств и неравенств:

(15.6)

Заметим, что те
переменные x_ij,
для которых весовая функция дуг h
не определена или равна 0, не входят в
математическую постановку рассматриваемой
задачи (15.5) — (15.6).

Для решения
поставленной задачи воспользуемся
программой электронных таблиц MS
Excel
– компонентом офисного пакета MS
System
Office.
MS
Excel
позволяет выполнять быстрые расчеты и
содержит встроенные средства для решения
задач оптимизации. Также имеющиеся
возможности MS
Excel
могут быть расширены за счет использования
встроенного языка программирования
VBA
или вызова внешних функций из библиотек
динамической компоновки, разработанных
самим пользователем на таких языках
программирования как Borland
Delphi^®
и MS
Visual
C++^®.

Для решения
поставленной индивидуальной задачи
нахождения максимального потока в сети
с помощью программы MS
Excel
необходимо выполнить следующие действия.

1. Создать в книге
   «Оптимизация на графах» новый рабочий
   лист с именем «Максимальный поток».

2. Ввести необходимые
   надписи в ячейки A1:F1
   (рис. 15.3). Конкретное содержание этих
   надписей не оказывает влияния на решение
   рассматриваемой задачи.

3. В ячейки A2:A11
   ввести индексы начальных вершин, а в
   ячейки B2:B11
   – индексы конечных вершин всех имеющихся
   дуг исходного графа.

4. В ячейки C2:C11
   ввести значения пропускных способностей
   дуг исходного графа.

5. В ячейку F2
   ввести формулу: =СУММ(D2:D3),
   которая представляет целевую функцию
   (15.5).

6. В ячейку E2
   ввести формулу: =СУММ(D2:D3)-СУММ(D10:D11),
   которая представляет собой левую часть
   первого ограничения (15.6).

7. В ячейку E3
   ввести значение левой части второго
   ограничения: D2-СУММ(D4:
   D6).

8. В ячейку E4
   ввести значение левой части третьего
   ограничения: D3-СУММ(D7:
   D8).

9. В ячейку E5
   ввести значение левой части четвертого
   ограничения: СУММ(D5;
   D7)-СУММ(D9:
   D10).

10. В ячейку E6
    ввести значение левой части пятого
    ограничения: СУММ(D6;
    D8:D9)-D11.

Внешний вид рабочего
листа с исходными данными для решения
задачи о минимальном пути в графе имеет
следующий вид (рис 15. 3).

Рис. 15.3. Исходные данные для решения
задачи о максимальном потоке в сети

Для дальнейшего
решения задачи следует вызвать мастер
поиска решений для чего необходимо
выполнить операцию главного меню: Сервис
| Поиск решения.

После появления
диалогового окна Поиск
решения
следует выполнить следующие действия:

1. В поле с именем
   Установить
   целевую ячейку:
   ввести абсолютный адрес ячейки $F$2.

2. Для группы Равной:
   выбрать вариант поиска решения –
   максимальному
   значению.

3. В поле с именем
   Изменяя
   ячейки:
   ввести абсолютный адрес ячеек $D$2:$D$11.

4. Задать первых 5
   ограничений для рассматриваемой задачи.
   С этой целью выполнить следующие
   действия:

• для задания этих
  ограничений в исходном диалоговом
  окне Поиск
  решения
  нажать кнопку с надписью Добавить;

• в появившемся
  дополнительном окне выбрать диапазон
  ячеек $E$2:$E$11,
  который должен отобразиться в поле с
  именем Ссылка
  на ячейку;

• в качестве знака
  ограничения из выпадающего списка
  выбрать равенство «=»;

• в качестве значения
  правой части ограничения ввести с
  клавиатуры значение 0;

• для добавления
  первого ограничения в дополнительном
  окне нажать кнопку с надписью Добавить.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #