Решение уравнения в табличном процессоре excel - Word и Excel

Применение табличного процессора Excel для графического решения уравнений n-й степени

Цели урока:

Формирование умений и навыков, носящих в современных условиях общенаучный и обще интеллектуальный характер.
Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.
Научить учащихся применять современное программное обеспечение в решении нестандартных задач.
Повторение пройденного материала.

Задачи урока:

Воспитательная – развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.
Учебная – изучить и закрепить основные навыки работы с электронными таблицами.
Развивающая – развитие логического мышления, расширение кругозора.

Оборудование: персональные компьютеры (ПК), раздаточный материал, доска, маркеры, проектор.

План урока

Организационный момент.
Фронтальный опрос для проверки уровня подготовки учащихся к усвоению нового материала.

1) Какие дополнительные возможности есть у программы Excel?
2) Как вы понимаете термин деловая графика?
3) Какими возможностями для создания деловой графики обладает Excel?
4) При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Excel?
5) Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле?
6) Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее?

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Фронтальный опрос.

1) Для чего нужна программа Excel?

Ответ: для создания таблиц, вычисляемых таблиц, диаграмм и графиков (деловой графики).

2) Какими возможностями для создания деловой графики обладает Excel?

Ответ: с помощью библиотеки диаграмм можно составлять диаграммы и графики разных видов (гистограммы, круговые диаграммы, столбчатые, графики и др.), их можно снабжать заголовками и пояснениями, можно задавать цвет и вид штриховки в диаграммах, редактировать их, печатать их на бумаге, изменяя размеры и расположение на листе, вставлять диаграммы в нужное место листа.

3) При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Excel?

Ответ: с помощью вызова Мастера диаграмм (по команде Вставка-Диаграмма или с помощью кнопки Мастер диаграмм).

4) Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле?

Ответ: активизировать нужную ячейку, затем ввести знак «=» и формулу, которая может содержать адреса ячеек, знаки арифметических операций и функции. Контролировать и редактировать ввод формулы можно с помощью строки ввода формулы, которая расположена в верхней части окна программы.

5) Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее.

Ответ: ввести формулу в ячейку, установить курсор на нижнем правом маркере ячейки (при этом курсор должен принять вид маленького черного крестика) и протянуть его до последней ячейки в нужном диапазоне.

3. Объяснение нового материала (проводится одновременно с работой учеников на компьютерах синхронно с учителем).

Тема урока «Применение табличного процессора Excel для графического решения уравнений n-ой степени».

Из курса математики нам известно, что корнями уравнения являются значения точек пересечения графика функции (то есть нашего уравнения) с осью абсцисс. Если же мы решаем систему уравнений, то ее решениями будут координаты точек пересечения графиков функций. Этот метод нахождения корней называется графическим. На прошлом занятии мы узнали, что с помощью программы Excel можно строить практически любые графики. Воспользуемся этими знаниями для нахождения корней системы уравнений графическим методом.

Для примера рассмотрим решение следующей системы уравнений:

Y — X 2 = 0
Y – 2X = 9

Преобразуем данную систему в приведенную:

Y = X 2
Y = 2X + 9

Для оценки решений воспользуемся диаграммой, на которой отобразим графики обеих функций. Сначала построим таблицу 1 (рисунок 1).

Первая строка – строка заголовков. Далее для построения таблицы используем формулы.
При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х=-10, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу А2+1 и скопировать ее до ячейки А23.
При заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2, которая затем копируется до ячейки В23.
При заполнении столбца С в ячейку С2 заносится формула 2*А2+9, и также копируется до С23.
Выделяем таблицу вместе со строкой заголовка и помощью мастера диаграмм выберем тип диаграмм Точечная и построим черновую диаграмму первоначальной оценки решений.
Вводим заголовок «Диаграмма оценки решения» и обозначения осей x, y (поле ввода текста).
Добавляем основные линии сетки по оси X и по оси Y (выставляем флажки).
Размещаем легенду справа от графиков (выставляем флажок «добавить легенду» и включаем переключатель «размещение справа»).
Размещаем графики на имеющемся листе.
Подписываем лист 1 «Диаграмма оценки решения» (рисунок 2).

Диаграмма оценки решения

На диаграмме видно, что оба графика имеют точки пересечения – эти координаты точек и есть решения системы. Так как шаг изменения аргумента был достаточно велик, то мы получили приближенные значения решений. Уточним их, построив два графика в интервалах от –3 до 0, где находится первое решение, и от 3 до 5 – где находится второе. Составим новые таблицы.

Для первого решения (таблица 2, рисунок 3).

При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х=-3, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу А2+0,1(в этом случае мы уменьшаем шаг изменения аргумента для более точного построения) и скопировать ее до ячейки А23.
При заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2, которая затем копируется до ячейки В23.
При заполнении столбца С в ячейку С2 заносится формула 2*А2+9, и также копируется до С23.
Выделяем таблицу вместе со строкой заголовка и помощью мастера диаграмм
выберем тип диаграмм Точечная и построим диаграмму для первого решения.
Вводим заголовок «Первое решение» и обозначения осей x, y (поле ввода текста).
Добавляем основные линии сетки по оси X и по оси Y (выставляем флажки).
Размещаем легенду справа от графиков (выставляем флажок «добавить легенду» и включаем переключатель «размещение справа»).
Размещаем графики на имеющемся листе.
Подписываем лист 2 «Первое решение» (рисунок 4).

Первое решение

4. Самостоятельная работа.

Для второго решения ребята самостоятельно строят таблицу (таблица 3, рисунок 5), выбрав правильно промежуток. Затем по таблице строят диаграмму для второго решения (рисунок 6). Учитель проходит и проверяет правильность выполнения работы. И если нужна помощь, то в индивидуальном порядке оказывает ее.

Второе решение

Решением нашей системы будут координаты точек пересечения графиков: X1=-2,1; Y1=4,8; X2=4,2; Y2=17,4.

Как вы уже поняли, графическое решение системы дает приблизительные результаты.

5. Сравнение результатов, полученных графическим способом (Excel) и аналитическим (Qbasic).

Учитель предлагает решить данную систему уравнений аналитическим способом, используя ранее полученную на уроках информатики программу решения квадратного уравнения. К доске приглашается ученик, который преобразует систему в квадратное уравнение:

Выделяем коэффициенты a, b, c, (a=1, b=-2,c=-9) и подставляем в программу (ребята открывают программу, которая была составлена ранее на уроках программирования).

REM Решение квадратного уравнения
INPUT «Введите коэффициенты a, b, с»; a, b,c
d= b^2-4*a*c
IF d 2
Y=4X+12

2. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

3. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

4. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

5. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

6. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

7. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

8. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

9. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

10. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

11. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

12. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

7. Подведение итогов.

8. Выставление оценок.

9. Домашнее задание.

Проанализировать и проверить свои индивидуальные задания и оформить отчеты на листочках.

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12701 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Квадратное уравнение в Excel

В этой статье вы узнаете как решить квадратное уравнение в Excel на конкретном примере. Подробно разберем решение несложно задачи с картинками.

Ход решения

Запустим программу Microsoft Office Excel. Я пользуюсь 2007 версией. Для начала объединим ячейки A1:A5 и запишем в них формулу квадратного уравнения в виде ax2+bx+c=0.Далее нам нужно возвести x в квадрат, для этого нужно сделать цифру 2 надстрочным интервалом. Выделим двойку и нажмем правой кнопкой мыши.

Получим формулу вида ax 2 +bx+c=0

В ячейке A2 введем текстовое значение a= , в ячейке A3 b= и в ячейке A4 с= соответственно. Эти значения будут вводиться с клавиатуры в следующих ячейках (B2,B3,B4).

Введем текст для значений, которые будут считаться. В ячейке C2 d=, C3 x₁= C4 x₂=. Подстрочный интервал для xсделаем аналогично надстрочному интервалу в x 2

Перейдем к вводу формул для решения

Дискриминант квадратного трехчлена равен b 2 -4ac

В ячейку D2 введем соответствующую формулу для возведения числа во вторую степень:

Квадратное уравнение имеет два корня, в случае если дискриминант больше нуля. В ячейку C3 введем формулу для x₁

Для расчета x2 введем похожую формулу, но со знаком плюс

Соответственно при введенных значениях a,b,c сначала считается дискриминант, если его значения меньше нуля выводится сообщение «Корней нет», иначе получаем значения x₁ и x₂.

Защита листа в Excel

Нам нужно защитить лист, на котором мы производили расчеты. Без защиты нужно оставить ячейки, в которые можно вводить значения a,b,c, то есть ячейки B2 B3 B4. Для этого выделим данный диапазон и зайдем в формат ячеек, перейдем во вкладку Рецензирования, Защитить лист и уберем флажок с позиции Защищаемая ячейка. Нажмем кнопку OK, подтвердив внесенные изменения.

Этот диапазон ячеек будет не защищен при защите листа. Выполним защиту листа, для этого перейдем на вкладку Рецензирование пункт Защита листа. Пароль наберем 1234. Нажмем OK.

Теперь мы сможем изменять значения ячеек B2,B3,B4. При попытке изменения других ячеек мы получим сообщение следующего содержания: «Ячейка или диаграмма защищена от изменений. А так же совет по снятию защиты.

Так же вас может заинтересовать материал как закрепить область в Экселе.

источники:

http://lumpics.ru/how-solve-system-equations-excel/

http://abuzov.ru/kvadratnoe-uravnenie-v-excel-reseno/

Источник

Содержание

Варианты решений
- Способ 1: матричный метод
- Способ 2: подбор параметров
- Способ 3: метод Крамера
- Способ 4: метод Гаусса
Вопросы и ответы

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Теперь для нахождения корней уравнения, прежде всего, нам нужно отыскать матрицу, обратную существующей. К счастью, в Эксель имеется специальный оператор, который предназначен для решения данной задачи. Называется он МОБР. Он имеет довольно простой синтаксис:
=МОБР(массив)

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОБР. Оно по числу аргументов имеет всего одно поле – «Массив». Тут нужно указать адрес нашей таблицы. Для этих целей устанавливаем курсор в это поле. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем область на листе, в которой находится матрица. Как видим, данные о координатах размещения автоматически заносятся в поле окна. После того, как эта задача выполнена, наиболее очевидным было бы нажать на кнопку «OK», но не стоит торопиться. Дело в том, что нажатие на эту кнопку является равнозначным применению команды Enter. Но при работе с массивами после завершения ввода формулы следует не кликать по кнопке Enter, а произвести набор сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter. Выполняем эту операцию.

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Урок: Обратная матрица в Excel

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

3x^2+4x-132=0

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:
=3*x^2+4*x-132

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Урок: Подбор параметра в Excel

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:
=МОПРЕД(массив)

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

14x1+2x2+8x3=110 7x1-3x2+5x3=32 5x1+x2-2x3=17

Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:
=B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:
=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:
=B17:E17/D17

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:
=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:
=(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Еще статьи по данной теме:

Помогла ли Вам статья?

Источник

Цели урока:

Формирование умений и навыков, носящих в современных условиях общенаучный и обще интеллектуальный характер.
Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.
Научить учащихся применять современное программное обеспечение в решении нестандартных задач.
Повторение пройденного материала.

Задачи урока:

Воспитательная – развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.
Учебная – изучить и закрепить основные навыки работы с электронными таблицами.
Развивающая – развитие логического мышления, расширение кругозора.

Оборудование: персональные компьютеры (ПК), раздаточный материал, доска, маркеры, проектор.

План урока

Организационный момент.
Фронтальный опрос для проверки уровня подготовки учащихся к усвоению нового материала.

1) Какие дополнительные возможности есть у программы Excel?
2) Как вы понимаете термин деловая графика?
3) Какими возможностями для создания деловой графики обладает Excel?
4) При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Excel?
5) Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле?
6) Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее?
Объяснение нового материала. Проводится одновременно с работой учеников на ПК синхронно с учителем.
Самостоятельная работа учащихся на компьютерах.
Сравнение результатов, полученных графическим способом (Excel) и аналитическим (Qbasic).
Выполнение индивидуальных заданий.
Подведение итогов.
Выставление оценок.
Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Фронтальный опрос.

1) Для чего нужна программа Excel?

Ответ: для создания таблиц, вычисляемых таблиц, диаграмм и графиков (деловой графики).

2) Какими возможностями для создания деловой графики обладает Excel?

3) При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Excel?

4) Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле?

5) Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее.

Тема урока «Применение табличного процессора Excel для графического решения уравнений n-ой степени».

Для примера рассмотрим решение следующей системы уравнений:

Y — X² = 0
Y – 2X = 9

Преобразуем данную систему в приведенную:

Y = X²
Y = 2X + 9

Таблица 1

Рисунок 1

Первая строка – строка заголовков. Далее для построения таблицы используем формулы.
При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х=-10, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу А2+1 и скопировать ее до ячейки А23.
При заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2, которая затем копируется до ячейки В23.
При заполнении столбца С в ячейку С2 заносится формула 2*А2+9, и также копируется до С23.
Выделяем таблицу вместе со строкой заголовка и помощью мастера диаграмм выберем тип диаграмм Точечная и построим черновую диаграмму первоначальной оценки решений.
Вводим заголовок «Диаграмма оценки решения» и обозначения осей x, y (поле ввода текста).
Добавляем основные линии сетки по оси X и по оси Y (выставляем флажки).
Размещаем легенду справа от графиков (выставляем флажок «добавить легенду» и включаем переключатель «размещение справа»).
Размещаем графики на имеющемся листе.
Подписываем лист 1 «Диаграмма оценки решения» (рисунок 2).

Диаграмма оценки решения

Рисунок 2

Для первого решения (таблица 2, рисунок 3).

Таблица 2

Рисунок 3

При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х=-3, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу А2+0,1(в этом случае мы уменьшаем шаг изменения аргумента для более точного построения) и скопировать ее до ячейки А23.
При заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2, которая затем копируется до ячейки В23.
При заполнении столбца С в ячейку С2 заносится формула 2*А2+9, и также копируется до С23.
Выделяем таблицу вместе со строкой заголовка и помощью мастера диаграмм
выберем тип диаграмм Точечная и построим диаграмму для первого решения.
Вводим заголовок «Первое решение» и обозначения осей x, y (поле ввода текста).
Добавляем основные линии сетки по оси X и по оси Y (выставляем флажки).
Размещаем легенду справа от графиков (выставляем флажок «добавить легенду» и включаем переключатель «размещение справа»).
Размещаем графики на имеющемся листе.
Подписываем лист 2 «Первое решение» (рисунок 4).

Первое решение

Рисунок 4

4. Самостоятельная работа.

Таблица 3

Рисунок 5

Второе решение

Рисунок 6

Решением нашей системы будут координаты точек пересечения графиков: X1=-2,1; Y1=4,8; X2=4,2; Y2=17,4.

Как вы уже поняли, графическое решение системы дает приблизительные результаты.

5. Сравнение результатов, полученных графическим способом (Excel) и аналитическим (Qbasic).

X^2-2*X-9=0

Выделяем коэффициенты a, b, c, (a=1, b=-2,c=-9) и подставляем в программу
(ребята открывают программу, которая была составлена ранее на уроках программирования).

REM Решение квадратного уравнения
INPUT «Введите коэффициенты a, b, с»; a, b,c
d= b^2-4*a*c
IF d<0 THEN PRINT «Решений нет»: GOTO 90
IF d=0 THEN x=-b/(2*a): PRINT «x=»; x: GOTO 90
X1=(-b-SQR(d))/(2*a)
X2=(-b+SQR(d))/(2*a)PRINT “x1=”; x1, “x2=”; x2
90 END

Подставив коэффициенты в программу, получаем точное значение абсцисс:

x1=-2,162278
x2= 4,162278

Сравниваем решения системы, полученные графическим способом и аналитическим. Делаем выводы.

6. Выполнение индивидуальных заданий.

1. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²
Y=4X+12

2. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+5
Y=6X+12

3. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+4
Y=X+12

4. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+5
Y=4X+4

5. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+5
Y=3X+12

6. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=2X²+4X+12

7. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²
Y=8X+12

8. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=X+12

9. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+3
Y=5X+1

10. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+2
Y=X+12

11. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=4X²+12

12. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=X²+4X+12

7. Подведение итогов.

Распечатка отчетов.

8. Выставление оценок.

9. Домашнее задание.

Проанализировать и проверить свои индивидуальные задания и оформить отчеты на листочках.

Источник

Excel
для решения уравнений располагает
специальным средством Подбор
параметра
в меню Сервис.
Его алгоритм скрыт от пользователя, но
если важен именно результат, а не путь
к нему, то обращение к стандартному
средству оправдано.

В ячейке А1
записывается начальное значение х₀.

В ячейке В1– левая
часть уравнения.

После открытия
Подбор
параметра
в меню Сервис,
появляется диалоговое окно, куда вносятся
следующие сведения:

Установить в
ячейке –
В1;

Значение
– 0 (т.к. решение уравнения — это
нахождение значения х при нулевом
значении функции)

Изменяя значение
ячейки – А1 (меняются значения переменной).

Рисунок
3.6. Подготовка к решению уравнения в
Excel посредством опции

Подбор
параметра

После нажатия ОК,
появляется диалоговое окно, где под
надписью Текущее
значение
можно видеть значение функции, наиболее
близкое к нулю, для которого найдено
значение х.

Корень уравнения
появляется в ячейке В1.

Задания для самостоятельного решения

1. Найдите все
корни уравнения методом касательных с
точностью 0,001:

.

2. Найдите все
корни уравнения методом касательных с
точностью 0,001:

.

3. Найдите наименьший
положительный корень уравнения методом
хорд с точностью 0,001: .

4. Найдите все
корни уравнения методом хорд с точностью
0,001:

.

5. Найдите все
корни уравнения, используя компьютерные
программные средства (табличный процессор
Excel,
MATCAD,
MATLAB):

Практическая работа №3

Тема:
«Решение уравнений методами
Ньютона»

Цели: освоение
решения алгебраических и трансцендентных
уравнений методом касательных и методом
хорд; сравнение методов.

Задание 1. Найдите
один из кореней заданного уравнения, с
погрешностью ε
= 0,001 методом касательных;

Задание 2. Найдите
один из кореней заданного уравнения, с
погрешностью ε
= 0,001 методом хорд;

Задание 3. Сравните
метод касательных и метод хорд, а также
данные методы с методом простой итерации.

Задание 4. Используя
компьютерные программные средства
(табличный процессор Excel,
MATCAD,
MATLAB)
вычислите все корни заданного уравнения.

Исходные данные:

Вариант
1 0,008x³
– cos
x
= 0

Вариант
2

Вариант
3 х – 10 sin
x
= 0

Вариант
4 8 cos
x
– x
– 6 = 0

Вариант
5 ln(x
+ 6,1) – 2 sin(x
– 1,4) = 0

Вариант
6 2 ^–

х – sin
x
=0

Вариант
7 lg
(x+5)
– cos
x
= 0

Вариант
8

Вариант
9 2 ^x
– 2cos
x
= 0

Вариант
10 x∙sin
x
– 1 = 0

Вариант
11 10 cos
x
— 0,1x²
= 0

Вариант
12 3 sin
8x
– 0,7x
+ 0,9 = 0

Вариант
13 1,2 – ln
x
– 4 cos
2x
= 0

Вариант
14 sin
x
– 0,2x
= 0

Вариант
15 4 cos
x
+ 0,3x
= 0

Вариант
16 2 lg
(x+7)
– 5sin
x
= 0

Вариант
17 2x²
– 5 – 2^x
= 0

Вариант
18 1,2x⁴
+ 2x³
– 13x²–14,2x
– 24,1 = 0

Вариант
19 2^–^x
–10 + 0,5x²
= 0

Вариант
20 4x⁴
– 6,2 – cos(0,6x)
= 0

Примеры выполнения заданий работы

Задание 1. Найдите
один из кореней заданного уравнения, с
погрешностью ε
= 0,001 методом касательных;

sin
2x
– ln
x
= 0; [1,3; 1,4]

Решение:

1.
F(x)
= sin
2x
– ln
x

F'(x)
= 2cos
2x
– 1/ x

Получаем
итерационную формулу:

2.
F»(x)
= – 4sin
2x
+ 1/ x²

F(1,3)

0,25; F»(1,3)

–
1,47 знаки не совпадают

F(1,5)

– 0,26; F»(1,5)

– 0,12 знаки совпадают

значит
х₀
= 1,5

4.
Итерационный процесс удобно оформлять
в виде таблицы:

n	x_n
0	1,5	1,4001209	0,0007
1	1,4001209	1,399428	0,000001

Ответ:
х = 1, 3994 ± 0,0001

Задание 2. Найдите
один из кореней заданного уравнения, с
погрешностью ε
= 0,001 методом хорд;

sin
2x
– ln
x
= 0; [1,3; 1,4]

Решение:

1.
F»(x)
= – 4sin
2x
+ 1/ x²

F(1,3)

0,25; F»(1,3)

–
1,47 знаки не совпадают

F(1,5)

– 0,26; F»(1,5)

– 0,12 знаки совпадают

значит
с = 1,5,

х₀
= 1,3

2.
F(с)
= F(1,5)
= sin
2∙1,5 – ln
1,5 = – 0,264345

Итерационная
формула:

3.
Значение m
вычисляется так же как в методе
касательных, m
= 2,4

n	x_n
0	1,3	1,397834	0,002
1	1,397834	1,399410	0,00002

Ответ:
х = 1, 3994 ± 0,0001

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Решение уравнений в среде MS EXCEL

Одна из наиболее актуальных проблем компьютерного обучения – проблема отбора и использования педагогически целесообразных обучающих программ.

При изучении отдельных тем и решении некоторых задач на уроках математики в старших классах громоздкие вычисления как, например, при решении уравнений методом деления отрезка пополам или методом последовательных приближений, затмевают существо математической задачи, не дают увидеть красоту, рациональность применяемого метода решения.

В данной статье я представила те задачи, решение которых с помощью MS EXCEL позволяет получить наглядное, доступное для понимания учащимися решение, показать его логику, рациональность. Попутно учащиеся получают устойчивые навыки работы с программой.

Нахождение корней уравнения с помощью подбора параметра

Пример 1.

Пусть известно, что в штате больницы состоит 6 санитарок, 8 медсестер, 10 врачей, 3 заведующих отделениями, главный врач, заведующий аптекой, заведующая хозяйством и заведующий больницей. Общий месячный фонд зарплаты составляет 1000 000 условных единиц. Необходимо определить, какими должны быть оклады сотрудников больницы.

Решение такой задачи можно искать методом перебора. Однако в лучшем случае на это уходит много времени. Можно предложить другой способ решения. В EXCEL он реализован как поиск значения параметра формулы, удовлетворяющего ее конкретному значению.

Построим модель решения этой задачи. За основу возьмем оклад санитарки, а остальные оклады будем вычислять, исходя из него: во столько-то раз или на столько-то больше. Говоря математическим языком, каждый оклад является линейной функцией от оклада санитарки: Ai*С+Вi, где С — оклад санитарки; Аi и Вi — коэффициенты, которые для каждой должности определяют следующим образом:

медсестра получает в 1,5 раза больше санитарки (А2=1,5; В2=0);
врач — в 3 раза больше санитарки (А3=3; В3=0);
заведующий отделением — на 30 y.e. больше, чем врач (А4=3; B4=30);
заведующий аптекой — в 2 раза больше санитарки (А5=2; В5=0);
заведующий хозяйством — на 40 y.e. больше медсестры (А6=1,5; В6=40);
заведующий больницей — на 20 y.e. больше главного врача (А8=4; В8=20);
главный врач — в 4 раза больше санитарки (А7=4; В7=0);

Зная количество человек на каждой должности, нашу модель можно

записать как уравнение: N1*(A1*C+B1)+N2*(A2*C+B2)+…+N8*(A8*C+B8) = 1000000,

где N1 — число санитарок, N2 — число медсестер и т.д.

В этом уравнении нам известны A1…A8, B1…B8 и N1…N8, а С неизвестно. Анализ уравнения показывает, что задача вычисления заработной платы свелась к решению линейного уравнения относительно С. Предположим, что зарплата у санитарки 150,00 y.e.

Введите исходные данные в рабочий лист электронной таблицы, как показано ниже.

A	B	C	D	E	F
Оклад мед. Работников
Должность	Коэф. A	Коэф. B	Зарплата	Количество сотрудников	Суммарная зарплата
Санитарка	1	0,00	150,00	6
Медсестра	1,5	0,00		8
Врач	3	0,00		10
Зав. отделением	3	30,00		3
Зав. аптекой	2	0,00		1
Завхоз	1,5	40,00		1
Главврач	4	0,00		1
Зав. больницей	4	20,00		1
Общий фонд равен

В столбце D вычислите заработную плату для каждой должности. Например, для ячейки D4 формула расчета имеет вид =B4*$D$3+C4.

В столбце F вычислите заработную плату всех работников данной должности. Например, для ячейки F3 формула расчета имеет вид =D3*E3.

В ячейке F11вычислите суммарный фонд заработной платы больницы. Рабочий лист электронной таблицы будет выглядеть, как показано ниже.

A	B	C	D	E	F
Оклад мед. Работников
Должность	Коэф. A	Коэф. B	Зарплата	Количество сотрудников	Суммарная зарплата
Санитарка	1	0,00	150,00	6	900,00
Медсестра	1,5	0,00	225,00	8	1800,00
Врач	3	0,00	450,00	10	4500,00
Зав. отделением	3	30,00	480,00	3	1440,00
Зав. аптекой	2	0,00	300,00	1	300,00
Завхоз	1,5	40,00	265,00	1	265,00
Главврач	4	0,00	600,00	1	600,00
Зав. больницей	4	20,00	620,00	1	620,00
Общий фонд равен	10425,00

Чтобы определите оклад санитарки так, чтобы расчетный фонд был равен заданному надо:

Активизировать команду Подбор параметра во вкладке Данные / Работа с данными /Анализ «Что, если»;
В поле «Установить в ячейке» появившегося окна ввести ссылку на ячейку F11, содержащую формулу;
В поле «Значение» набрать искомый результат 1000000;
В поле «Изменяя значение ячейки» ввести ссылку на изменяемую ячейку D3 и щелкните на кнопке ОК.

Анализ задачи показывает, что с помощью Excel можно решать линейные уравнения. Конечно, такое уравнение может решить любой школьник. Однако, благодаря этому простому примеру стало, очевидным, что поиск значения параметра формулы, удовлетворяющего ее конкретному значению, – это не что иное, как численное решение уравнений. Другими словами, используя Excel, можно решать любые уравнения с одной переменной.

Приложение 1

Задание для учащихся:

Составить несколько вариантов штатного расписания с использованием функции Подбор параметра и оформить их в виде таблицы:

Изменить количество сотрудников на различных должностях;
Подобрать зарплату санитарки в новых условиях;
Составить таблицу нескольких вариантов штатного расписания.

Рассмотрим еще один пример нахождения корней уравнения с помощью подбора параметра. При решении этого уравнения используется также метод последовательных приближений. Учащиеся в классах с углубленным изучением математики знакомы с этим методом. Поэтому, чтобы этот пример был доступен для других учащихся, предлагаю краткую теорию этого метода.

Пусть дано уравнение, записанное в виде x=F(x). Выбирают некоторое начальное приближение x1 и подставляют его вместо x в F(x). Полученное значение x2=F(x1) этой функции считают вторым приближением. Далее находят третье приближение по формуле x3=F(x2) и так далее. Таким образом, получаем последовательность x1, x2, x3,…, xn,… чисел, имеющая предел α. Тогда если функция F(x) непрерывна, из равенства x n+1=F(xn) получаем α=F(α). Это означает, что α является решением уравнения x=F(x).

Пример 2.

Пусть нам дан многочлен третьей степени:

x³-0,01x²-0,7044x+0,139104=0.

Так как мы ищем корни полинома третьей степени, то имеются не более трех вещественных корней. Для нахождения корней их первоначально надо локализовать, то есть найти интервалы, на которых они существуют. Такими интервалами локализации корней могут служить промежутки, на концах которых функция имеет противоположный знак. С целью нахождения интервалов, на концах которых функция изменяет знак, необходимо построить ее график или протабулировать ее. Составим таблицу значений функции на интервале [-1;1] с шагом 0,2. Для этого необходимо:

Ввести в ячейку A2 значение -1, а в ячейку A3 значение -0,8.
Выбрать диапазон A2:A3, расположить указатель мыши на маркере заполнения этого диапазона и протянуть его на диапазон A4:A12, аргумент протабулирован.
В ячейку B2 ввести формулу:

=A2^3-0,01*A2^2-0,7044*A2+0,139104

Выбрать ячейку B2. Расположить указатель мыши на маркере заполнения этой ячейки и протянуть его на диапазон B3:B12. Функция также протабулирована.

Значение аргумента х	Значение функции у
-1,00	-0,1665
-0,8	0,1842
-0,60	0,3421
-0,4	0,3553
-0,20	0,2716
0	0,1391
0,20	0,0058
0,4	-0,0803
0,60	-0,0711
0,8	0,0812
1,00	0,4247

Из таблицы видно, что полином меняет знак на интервалах [-1; -0,8], [0,2; 0,4] и [0,6; 0,8], и поэтому на каждом из этих интервалов имеется свой корень. Так как полином третьей степени имеет не более трех корней, то они все локализованы.

Прежде чем приступить к нахождению корней при помощи подбора параметра, необходимо выполнить некоторую подготовительную работу:

Установить точность, с которой находится корень. Корень при помощи подбора параметра находится методом последовательных приближений. Для этого в Настройке панели быстрого доступа / Другие команды, и на вкладке Формулы диалогового окна Параметры Exel задайте в Параметрах вычислений относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000, соответственно.
Отвести на рабочем листе ячейку, например С2, под искомый корень. Эта ячейка будет играть двойную роль. До применения подбора параметра в ней находится начальное приближение к корню уравнения, а после применения – найденное приближенное значение корня.
Корень при помощи подбора параметра находим методом последовательных приближений. Поэтому в ячейку C2 надо ввести значение, являющееся приближением к искомому корню. В нашем случае, первым отрезком локализации корня является [-1;-0,8]. Следовательно, за начальное приближение к корню разумно взять среднюю точку этого отрезка -0,9.
Отвести ячейку, например D2, под функцию, для которой ведется поиск корня, причем вместо неизвестной у этой функции должна указываться ссылку на ячейку, отведенную под искомый корень. Таким образом, в ячейку D2 введите формулу:

=C2^3-0,01*C2^2-0,7044*C2+0,139104

Аналогично надо поступить с двумя другими искомыми корнями:

Отвести ячейку C8 под второй корень, ввести в нее начальное приближение 0,3, а в ячейку D8 ввести следующую формулу:

=C8^3-0,01*C8^2-0,7044*C8+0,139104

Отвести ячейку C10 под второй корень, ввести в нее начальное приближение 0,7, а в ячейку D10 ввести следующую формулу:

=C10^3-0,01*C10^2-0,7044*C10+0,139104

Результаты выполненных действий приведены в таблице.

Значение х	Значение у	Начальное приближение до применения метода	Значение функции
-1,00	-0,1665	-0,9	0,0360
-0,8	0,1842
-0,60	0,3421
-0,4	0,3553
-0,20	0,2716
0	0,1391
0,20	0,0058	0,3	-0,0461
0,4	-0,0803
0,60	-0,0711	0,7	-0,0159
0,8	0,0812
1,00	0,4247

Теперь можно переходить к нахождению первого корня уравнения:

Выберете команду Подбор параметра. На экране отобразится диалоговое окно Подбор параметра.

В поле Установить в ячейке введите ссылку на ячейку D2. В этом поле дается ссылка на ячейку, в которой введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. Для нахождения корня с помощью подбора параметра уравнение надо представить в таком виде, чтобы его правая часть не содержала переменную.
В поле Значение введите 0. Здесь указывается значение из правой части уравнения.
В поле Изменяя значение ячейки введите C2. В данном поле приводится ссылка на ячейку, отведенную под переменную.
Нажмите кнопку OK.

На экране отображается окно Результат подбора параметра с результатами работы команды Подбор параметра. Кроме того, рассматриваемое средство помещает найденное приближенное значение корня в ячейку C2. В данном случае оно равно -0,920. Аналогично в ячейках C8 и C10 находятся два оставшихся корня. Они равны 0,210 и 0,721.

Значение х	Значение у	Корень уравнения	Значение функции
-1,00	-0,1665	-0,920	0,00
-0,8	0,1842
-0,60	0,3421
-0,4	0,3553
-0,20	0,2716
0	0,1391
0,20	0,0058	0,210	0,00
0,4	-0,0803
0,60	-0,0711	0,721	0,00
0,8	0,0812
1,00	0,4247

Приложение 2

Задание для учащихся:

Найти все корни уравнений

1. Х3-2,92Х2+1,4355Х+0,791136=0

2. Х3-2,56Х2-1,3251Х+4,395006=0

3. Х3+2,84Х2-5,6064Х-14,766336=0

Нахождение корней уравнения методом деления отрезка пополам

Краткая теория метода. Пусть непрерывная функция F(x) имеет значения разных знаков на концах отрезка [a;b], то есть F(a)F(b)<0.Тогда уравнение F(x)=0 имеет корень внутри этого отрезка. Отрезок [a;b] отрезком локализации корня. Пусть c=(a+b)/2 — середина отрезка [a;b]. Если F(a)F(c)<=0, то корень находится на отрезке [a;c], который берем за новый отрезок локализации корня. Если F(a)F(c)>0, то за новый отрезок локализации корня берем [c;b].Отметим, что новый отрезок локализации корня в два раза меньше первоначального. Процесс деления отрезка для локализации корня продолжаем до тех пор, пока его длина не станет меньше ε, точности нахождения корня. В этом случае любая точка отрезка локализации отличается от корня не более чем на ε/2.

Найдем корни уравнения x²–2=0 с точностью до 0,001 методом деления отрезка пополам. За первоначальный отрезок локализации корня выбран [0;2]. Для реализации этого метода введите в ячейки рабочего листа формулы либо значения, приведенные ниже в таблице:

Ячейка	Формула или значение
B1	0,001
A3	0
B3	2
C3	=(A3+B3)/2
D3	=(A3^2-2)*(C3^2-2)
E3	=C3^2-2
F3	=ЕСЛИ(B3–A3<$B$1;»Корень найден и равен » & текст (C3;»0,000»); » »)
A4	=ЕСЛИ (D3<=0; A3;C3)
B4	= ЕСЛИ(D3<=0; C3; B3)
C4	=(A4+B4)/2
D4	=(A4^2-2)*(C4^2-2)
E4	C4^2-2
F4	=ЕСЛИ(B4-A4<$B$1; »Корень найден и равен » & текст(C4; »0,000»); » »)

Теперь осталось только выбрать диапазон A4:F4, расположить указатель мыши на маркере его заполнения и пробуксировать его вниз до тех пор, пока в столбце F не появится сообщение о том, что корень найден. В данном случае сообщение появится в ячейке F14, а значение корня с точностью до 0,001 равно 1,415.

Число шагов можно определить заранее и скопировать формулы в диапазон из необходимого числа строк. Число шагов до нахождения корня определяется по формуле: [log2((b-a)/(2*t))]+1 (1), где [x] есть целая часть числа х, t — заданная точность.

В заключение отмечу, что в рассмотренном примере использовались:

Операция конкатенации строк, которая объединяет несколько строк в одну (обозначается символом амперсанта &). При объединении двух строк вторая строка добавляется непосредственно в конец первой строки.
Функция рабочего листа из категории функций по работе с текстом ТЕКСТ (TEXT). Данная функция преобразует значение в текст в заданном числовом формате.

Приложение 3

Задание для учащихся:

Вычислить корень уравнения Cosx=x на отрезке [0;2] с точностью до 0,001. Число шагов для определения корня вычислить при помощи формулы (1).

Использование MS EXEL значительно расширяет круг задач, которые можно использовать в обучении. Это обусловлено возможностью передачи трудоемких операций компьютеру, например, при решении уравнений методами итераций и деления отрезка пополам.

Литература

Информатика в школе / Под ред. Макаровой Н. В. – СПб: Питер Ком, 1999.
Символоков Л. В. Решение бизнес задач в Microsoft Office – М.: ЗАО «Издательство БИНОМ», 2001.
Шохолович В. Ф. Информационные технологии обучения. Информатика и образование. 1998. – №2.
Игнекова Г. С. Методические аспекты подготовки учителя информатики. Информатика и образование. 1998. – №3.

Источник