Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы в excel - Word и Excel

Решим Систему Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы в MS EXCEL. В этой статье нет теории, объяснено только как выполнить расчеты, используя MS EXCEL.

Решим систему из 3-х линейных алгебраических уравнений с помощью

обратной матрицы

(матричным методом).

СОВЕТ

: Решение СЛАУ методом Крамера приведено в статье

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Крамера в MS EXCEL

Запишем в ячейки основную матрицу системы и столбец свободных членов.

Систему

n

линейных алгебраических уравнений с

n

неизвестными можно решать матричным методом только тогда, когда

определитель основной матрицы

системы отличен от нуля (в противном случае мы имеем линейно зависимые уравнения и соответственно решение систем не единственное). В нашем случае определитель =12.

Вычислим

обратную матрицу

с помощью

формулы массива

МОБР()

.

Для этого выделите ячейки

A18:C20

, а в

Строке формул

введите

=МОБР(A11:C13)

, затем нажмите

CTRL+SHIFT+ENTER

.

Решение системы уравнений получим умножением обратной матрицы и столбца свободных членов.

Перемножить матрицы

можно с помощью

формулы массива

=МУМНОЖ()

.

Для этого выделите ячейки

F18:F20

, а в

Строке формул

введите

=МУМНОЖ(A18:C20;F11:F13)

, затем нажмите

CTRL+SHIFT+ENTER

.

В

файле примера

также приведено решение системы 4-х и 5-и уравнений.

Источник

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы в EXCEL

history 12 ноября 2015 г.

Системы линейных уравнений

Решим систему из 3-х линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы (матричным методом).

Запишем в ячейки основную матрицу системы и столбец свободных членов.

Систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными можно решать матричным методом только тогда, когда определитель основной матрицы системы отличен от нуля (в противном случае мы имеем линейно зависимые уравнения и соответственно решение систем не единственное). В нашем случае определитель =12.

Для этого выделите ячейки A18:C20 , а в Строке формул введите =МОБР(A11:C13) , затем нажмите CTRL+SHIFT+ENTER .

Решение системы уравнений получим умножением обратной матрицы и столбца свободных членов. Перемножить матрицы можно с помощью формулы массива =МУМНОЖ() .

Для этого выделите ячейки F18:F20 , а в Строке формул введите =МУМНОЖ(A18:C20;F11:F13) , затем нажмите CTRL+SHIFT+ENTER .

В файле примера также приведено решение системы 4-х и 5-и уравнений.

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Теперь для нахождения корней уравнения, прежде всего, нам нужно отыскать матрицу, обратную существующей. К счастью, в Эксель имеется специальный оператор, который предназначен для решения данной задачи. Называется он МОБР. Он имеет довольно простой синтаксис:

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОБР. Оно по числу аргументов имеет всего одно поле – «Массив». Тут нужно указать адрес нашей таблицы. Для этих целей устанавливаем курсор в это поле. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем область на листе, в которой находится матрица. Как видим, данные о координатах размещения автоматически заносятся в поле окна. После того, как эта задача выполнена, наиболее очевидным было бы нажать на кнопку «OK», но не стоит торопиться. Дело в том, что нажатие на эту кнопку является равнозначным применению команды Enter. Но при работе с массивами после завершения ввода формулы следует не кликать по кнопке Enter, а произвести набор сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter. Выполняем эту операцию.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

f(x)

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

«равно»

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

«равно»

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12768 полезных инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Решение системы уравнений в excel

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Смотрите также Все элементы даннойОпределитель системы больше 0 результат подбора. Если Системы Линейных АлгебраическихB6:D8Для этого выделите ячейки систему уравнений можно формулу массива. ВB подсчет определителя первичной том случае, еслиx=3*x^2+4*x-132 обратной матрицы. Для мыши и выделяем

порядку с учетомУмение решать системы уравнений

Варианты решений

строки нужно разделить – решение можно нужно его сохранить, Уравнений (СЛАУ) методом. Затем вставьте функциюF18:F20 решить целым рядом ней производится вычитание

Способ 1: матричный метод

. Но на этот матрицы. Процедура происходит все определители будут.Вместо значения этого, как и область на листе, расположения каждого корня, часто может принести на коэффициент при найти по формуле вновь нажимаем ОК.

обратной матрицы вMINVERSE, а в Строке формул введите =МУМНОЖ(A18:C20;F11:F13), способов, каждый из из третьей строки раз сблизим обе все по тому
иметь значение, отличноеУрок:«X» в прошлый раз, в которой находится которому они соответствуют. пользу не только с. Введем в Крамера (D
В противном случае MS EXCEL.(МОБР), как показано затем нажмите  которых имеет собственные предыдущей группы данных таблицы, так как же алгоритму. Как от нуля. Для
Подбор параметра в Excelподставляем адрес той устанавливаем курсор в матрица. Как видим, Если в каком-то в учебе, но строку формулу массива:x – «Отмена».

Ctrl+Shift+Enter

 на отношение второго

таблицы тоже отличный в Экселе опять уравнений методом Крамера. число зажатой левой кнопкой размещения автоматически заносятся

корней отсутствует, то В то жеВ строке 15: отнимемДля расчета Х использует циклический процесс. столбец свободных членов. .В файле примера также приведено решение методы можно условно коэффициента третьей и дальнейшем. Важным условием от нуля, а

имеется отдельная функция

Для примера возьмем0 мыши выделяем курсором в поле окна.

в этом случае время, далеко не от второй строки1 Чтобы изменить числоОпределитель основной матрицы вычислим=MINVERSE(B2:D4) системы 4-х и разделить на две

второй строки. В является то, чтобы значит, матрица считается – все ту же, принятое нами за соответствующую таблицу. Аналогичное После того, как коэффициент считается равным каждый пользователь ПК третью, умноженную на: =U2/$U$1, где U2 итераций и погрешность,

с помощью формулы =МОПРЕД(A11:C13)=МОБР(B2:D4) 5-и уравнений. большие группы: матричные нашем случае формула в первой ячейке невырожденной, то есть,МОПРЕД систему, которую использовалиx действие проводим для эта задача выполнена, нулю. Если коэффициент знает, что в коэффициент при с – D1. Для нужно зайти вОпределитель =12, это означает,Примечание:Этот пример покажет, как и с применением будет иметь следующий матрицы система уравнений имеет. Синтаксис данного оператора в. внесения координат в наиболее очевидным было не обозначен в Экселе существует собственные второй строки (<=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11>). расчета Х параметры Excel. На что матрица А – невырожденная,Строка формул показывает, решить систему линейных инструмента подбора параметров. вид:A решения. следующий:

Способе 1Переходим во вкладку поле бы нажать на уравнении, но соответствующий варианты решений линейных

В строке 14:2 вкладке «Формулы» установить то есть, ее что ячейки содержат уравнений в Excel. В некоторых случаях=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)значение было отличнымТеперь пора найти корни=МОПРЕД(массив):«Данные»«Массив2» кнопку корень имеется, то

уравнений. Давайте узнаем,

от первой строки: =U3/$U$1. И т.д. предельное количество итераций, определитель отличен от формулу массива. Это К примеру, у не всегда матричныеПосле ввода формулы выделяем

от нуля. В уравнения. Корень уравненияТаким образом, как и14. Жмем на кнопку, только на этот«OK» считается, что коэффициент как с применением отнимаем вторую и

Получим корни уравнений: относительную погрешность. Поставить нуля. В этом означает, что вы нас есть следующая методы подходят для весь ряд и обратном случае следует будет равен отношению у функцииx1«Анализ «что если»» раз выделяем значения, но не стоит равен инструментария этого табличного третью, умноженные наДля примера возьмем простейшую галочку «включить итеративные случае система линейных не сможете удалить система линейных уравнений: решения задачи. В применяем сочетание клавиш переставить строки местами. определителя соответствующей преобразованнойМОБР+2. Эта кнопка размещена колонки торопиться. Дело в1

процессора выполнить данную соответствующие коэффициенты (<=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10>). систему уравнений: вычисления». алгебраических уравнений имеет какой-то один из5x частности тогда, когдаCtrl+Shift+EnterКопируем первую строку двух матрицы на определитель, единственным аргументом выступаетx2 на ленте вB том, что нажатие. Обозначаем полученную таблицу, задачу различными способами. В последнем столбце3а + 2в – единственное решение, которое полученных результатов, только+ определитель матрицы равен

. соединенных матриц в

Способ 2: подбор параметров

первичной таблицы. Таким ссылка на обрабатываемую+8 блоке инструментов. После того, как на эту кнопку как векторСкачать последнюю версию новой матрицы получаем 5с = -1Дана система уравнений: может быть найдено все сразу. Чтобы

Теперь следует выполнить обратную

 образом, разделив поочередно

«Работа с данными»

является равнозначным применению

A Excel корни уравнения.2а – вЗначения элементов введем в методом Крамера. удалить все результаты,+ же случаях пользователь

прогонку по методу наглядности можно пропустить все четыре определителяИтак, выделяем ячейку, в=218. Открывается выпадающий список. опять не спешим команды.Любое уравнение может считатьсяВычисления в книге должны – 3с = ячейки Excel в

Теперь последовательно будем заменять выделите диапазон8z сам волен решать, Гаусса. Пропускаем три одну строку). В преобразованных матриц на которой будет выводиться7 Выбираем в нем жать на кнопкуEnterОтдельно записываем значения после решенным только тогда, быть настроены следующим 13 виде таблицы. столбцы матрицы АB6:D8= какой вариант он строки от последней первую ячейку, которая число определитель первой матрицы.x1 позицию«OK»

. Но при работе знака «равно». Обозначаем когда будут отысканы образом:а + 2вНайдем обратную матрицу. Выделим на столбец свободныхи нажмите клавишу46

считает более удобным записи. В четвертой расположена в строке-148 Затем жмем на-3«Подбор параметра…»или клавишу с массивами после их общим наименованием, его корни. ВДелается это на вкладке

– с = диапазон, куда впоследствии членов и вычислятьDelete4x для себя.

строке вводим формулу ещё ниже предыдущей,

Способ 3: метод Крамера

, которое является определителем знакомую по предыдущимx2.Enter завершения ввода формулы как вектор программе Excel существует

«Формулы» в «Параметрах 9 будут помещены элементы соответствующие определители полученных.—Автор: Максим Тютюшев
массива: вводим следующую формулу: первоначальной таблицы, мы способам кнопку+5Запускается окно подбора параметров., а набираем комбинацию следует не кликатьB
несколько вариантов поиска Excel». Найдем кореньКоэффициенты запишем в матрицу матрицы (ориентируемся на матриц. Отношение определителейИспользуйте функцию2yРешим Систему Линейных Алгебраических=B17:E17/D17
=B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7) получим четыре корня.«Вставить функцию»x3 Как видим, оно клавиш по кнопке. корней. Давайте рассмотрим

 количество строк и

=

Если вы расположили матрицы

.+12 состоит из трехCtrl+Shift+EnterEnterТеперь для нахождения корней каждый из них. х3 + 1 – в матрицу столбцов в исходной х.(МУМНОЖ), чтобы вернуть12 обратной матрицы в последнюю рассчитанную нами

по-другому, то и равны значениямАктивируется окноx4 полей. В поле., а произвести набор уравнения, прежде всего,Самый распространенный способ решения = 0 (а В. матрице). Открываем списокВ файле примера также произведение матрицы6x MS EXCEL. В

адреса ячеек формулы5Мастера функций=213«Установить в ячейке»После данного действия в

сочетания клавиш нам нужно отыскать системы линейных уравнений = 1, bДля наглядности свободные члены функций (fx). В приведено решение системыA-1

+ этой статье нет же третий коэффициент. у вас будут,. Переходим в категорию5указываем адрес ячейки, предварительно выделенной ячейкеCtrl+Shift+Enter матрицу, обратную существующей. инструментами Excel –

= 2) методом выделим заливкой. Если категории «Математические» находим 4-х уравнений ии7y теории, объяснено только После того, как иметь другое значение,14«Математические»x1 в которой находится отобразятся корни уравнения:. Выполняем эту операцию. К счастью, в это применение матричного итерации с применением в первой ячейке МОБР. Аргумент – прямая проверка решения.B+ как выполнить расчеты,

набрали формулу, выделяем но вы сможете,и среди списка+ формулаX1Итак, после этого программа Эксель имеется специальный метода. Он заключается

циклических ссылок. Формула: матрицы А оказался массив ячеек с

В программе Excel имеется. Сперва выделите диапазон4z используя MS EXCEL. всю строчку и высчитать их, сопоставив8 операторов выделяем тамx2f(x), производит вычисления и

оператор, который предназначен в построении матрицыХ 0, нужно поменять элементами исходной матрицы. обширный инструментарий дляG6:G8=Решим систему из 3-х жмем сочетание клавиш с теми формуламии наименование-2, рассчитанная нами чутьX2 на выходе в для решения данной из коэффициентов выражений,n+1 местами строки, чтобыНажимаем ОК – в решения различных видов. Затем вставьте функцию50 линейных алгебраических уравненийCtrl+Shift+Enter и изображениями, которые15«МОПРЕД»x3

Способ 4: метод Гаусса

ранее. В поле, предварительно выделенной области задачи. Называется он а затем в= X

здесь оказалось отличное левом верхнем углу уравнений разными методами.MMULTВ матричном представлении ее с помощью обратной.
приводятся здесь.. Таким образом, они. После этого жмем+4«Значение»X3 мы имеем матрицу,
МОБР создании обратной матрицы.n от 0 значение. диапазона появляется значение.Рассмотрим на примерах некоторые(МУМНОЖ), которая показана

Поднимаемся на строку вверх

 на кнопку

вводим число

 виде

«OK»=83«0»X4Теперь нам нужно будет простой синтаксис: метод для решенияn а к 0.

Инструмент «Подбор параметра» применяетсяCtrl+Shift+EnterAX=B: Решение СЛАУ методом неё следующую формулу ряд ячеек и мы нашли, используя.6. В поле

. Они будут расположены умножить обратную матрицу=МОБР(массив) следующей системы уравнений:) / M, n Кроме первого уравнения. клавиш Ctrl + в ситуации, когда.. Крамера приведено в массива: нажмите комбинацию клавиш обратную матрицу вЗапускается окно аргументов функции

x1«Изменяя значения» последовательно. Таким образом, на матрицу

Аргумент14 = 0, 1, Скопируем значения в Shift + Enter. известен результат, но=MMULT(B6:D8,G2:G4)5

статье Решение Системы Линейных=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16Ctrl+Shift+Enterспособе 1МОПРЕД+2указываем адрес ячейки, можно сказать, чтоB«Массив»x1 2, … . первой строке двух

Умножим обратную матрицу Ах-1х неизвестны аргументы. Excel=МУМНОЖ(B6:D8;G2:G4)1 Алгебраических Уравнений (СЛАУ)Жмем привычное уже нам. К ряду будет, что подтверждает правильность. Как видим, оноx2 в которой расположено мы решили данную

, которая состоит из

— это, собственно,+2M – максимальное значение матриц в ячейки на матрицу В

подбирает значения доСоедините результаты. Выделите диапазон8 методом Крамера в сочетание клавиш для применена формула массива решения системы уравнений.

имеет только одно

+ значение систему. Для того, одного столбца значений, адрес исходной таблицы.x2 производной по модулю. В6:Е6. В ячейку (именно в таком тех пор, пока

G6:G8x MS EXCEL. применения формулы массива.

Решить систему уравнений можно поле –x3

x чтобы проверить правильность расположенных после знакаИтак, выделяем на листе

Чтобы найти М, В7 введем формулу: порядке следования множителей!). вычисление не даст. Вставьте обобщенную формулу

46Запишем в ячейки основнуюПоднимаемся ещё на одну заполнен значениями. Таким также, применив метод«Массив»-3, ранее принятое нами решения достаточно подставить«равно» область пустых ячеек,x4 произведем вычисления: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон Выделяем диапазон, где нужный итог. (показана ниже) иПри А= матрицу системы и строку выше. В образом мы произвели Гаусса. Для примера

. В это полеx4 за в исходную системув выражениях. Для которая по размеру=218f’ (1) = -2 В7:Е7. Нажмем F2 впоследствии появятся элементыПуть к команде: «Данные» нажмите4 столбец свободных членов. неё вводим формулу вычитание из второй возьмем более простую вписываем адрес первой=210 выражений данные ответы умножения таблиц в равна диапазону исходной7

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы в MS EXCEL

и сочетание клавиш результирующей матрицы (ориентируемся — «Работа сCtrl+Shift+Enter-2Систему массива следующего вида: строки первой, умноженной

систему уравнений из преобразованной матрицы. ДляКак и в первом. После выполнения данных

 вместо соответствующих корней. Экселе также имеется матрицы. Щелкаем поx1 = -11. Ctrl + Shift на число строк

n =(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15 на отношение первых трех неизвестных: этого устанавливаем курсор способе, составляем матрицу действий жмем на Если равенство будет отдельная функция, которая кнопке-3Полученное значение меньше 0. + Enter. Мы и столбцов матрицы «что-если»» — «Подбор

=MMULT(MINVERSE(B2:D4),G2:G4),линейных алгебраических уравнений с

Опять выделяем всю строку коэффициентов двух первых14 в поле, аA кнопку соблюдено, то это

называется«Вставить функцию»x2 Поэтому функция будет отняли от второй В). Открываем диалоговое

параметра».=МУМНОЖ(МОБР(B2:D4);G2:G4)X=n и применяем сочетание выражений системы.

x1 затем выделяем матричныйиз коэффициентов уравнений

Система линейных уравнений в Excel

«OK» означает, что представленнаяМУМНОЖ, расположенную около строки+5 с противоположным знаком:

строки первую, умноженную	окно математической функции	Рассмотрим на примере решение	Урок подготовлен для Вас	y	неизвестными можно решать матричным	клавиш
После этого копируем полученную	+2	диапазон. После этого	и таблицу	.
система уравнений решена	. Данный оператор имеет	формул.	x3	f (х) =	на отношение первых	МУМНОЖ. Первый диапазон

квадратного уравнения х2 командой сайта office-guru.ru, методом только тогда,Ctrl+Shift+Enter

строку и вставляем	x2	жмем на кнопку	B	После этого Эксель произведет
верно.	следующий синтаксис:	Выполняется запуск	+12	-х + х3	элементов второго и	– обратная матрица.	+ 3х +	Источник: http://www.excel-easy.com/examples/system-of-linear-equations.html	B=
когда определитель основной	.	её в строчку	+8	«OK»

из значений, которые вычисление с помощьюУрок:=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)Мастера функцийx4 – 1. М первого уравнения. Второй – матрица 2 = 0.Перевела: Ольга Гелих12

Теперь смотрим на числа,

. Данная функция выводит

 подбора параметра. Об

Выделяем диапазон, в нашем

 = 11.

В.
Порядок нахождения корня

Автор: Антон Андронов6 от нуля (в которые получились вВыделяем две первые строки=110 результат в одну«равно» этом сообщит появившеесяВторой известный способ решения случае состоящий из«Математические»5В ячейку А3 введем 8 и 9

 средствами Excel:

 противном случае мы

 после пропущенной строчки.

 ячейку, а не

 информационное окно. В

. В представившемся списке

значение: а =
строки. Так мы

функции нажатием кнопкиВведем в ячейку В2 Уравнений (СЛАУ) методом4 имеем линейно зависимые блока строк, рассчитанного Жмем на кнопку

x1
массивом, поэтому для

Далее делаем ещё четыре нем следует нажать
Экселе – это
опять запускаем

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Крамера в MS EXCEL

+ 1. Точность – избавились от коэффициентов ОК. Последовательно нажимаем формулу для нахождения Крамера в MSz уравнения и соответственно

нами ранее. Именно«Копировать»-3 получения расчета не таблицы. Каждая из на кнопку применение метода подбораМастер функций

 три знака после перед а. Сохранили кнопку F2 и значения функции. В EXCEL. В этой50 решение систем не эти числа (

, которая расположена наx2 нужно прибегать к

них является копией«OK»

параметров. Суть данного, нажав значок. После того, как-2 запятой. Для расчета только первое уравнение. комбинацию Ctrl + качестве аргумента применим статье нет теории,Если

единственное). В нашем4 ленте во вкладке+5 нажатию комбинации клавиш матрицы. метода заключается в

«Вставить функцию» оно отыскано, выделяемx3 текущего значения х

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

Приведем к 0 коэффициенты Shift + Enter. ссылку на ячейку объяснено только как

А-1 случае определитель =12.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

,«Главная»x3Ctrl+Shift+EnterAРезультат вычисления корня уравнения поиске от обратного..

его и жмем+4 в соседнюю ячейку перед в вПолучены корни уравнений.

В1. выполнить расчеты, используя(обратное А) существует,Вычислим обратную матрицу с7.

=32., только у этих будет находиться в То есть, основываясьВ категории
на кнопкуx4 (В3) введем формулу: третьем и четвертомВозьмем систему уравнений изОткрываем меню инструмента «Подбор MS EXCEL. мы можем умножить помощью формулы массиваиПропускаем строку после последней5Функция производит подсчет результата копий поочередно один
той ячейке, которую на известном результате,«Математические»«OK»=83 =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

уравнении. Копируем строки предыдущего примера: параметра». В графеМетод Крамера применяется для обе части на МОБР().5 записи на листе.x1 и выводит его столбец заменен на

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

мы производим поиск

, запустившегося.6
В ячейке С3 проконтролируем 6 и 7Для их решения методом «Установить в ячейку» решения систем линейныхА-1Для этого выделите ячейки ) будут являться корнями Выделяем первую ячейку+ в заранее выделенную таблицу
поле неизвестного аргумента. ДавайтеМастера функцийЗапускается окно аргументов функцииx1 значение f (x): (только значения). Переносим
Крамера вычислим определители — ссылка на алгебраических уравнений (СЛАУ),, чтобы получитьA18:C20 данной системы уравнений. в следующей строке.x2 ячейку. Как видим,B«Изменяя значения» для примера используем, выделяем наименованиеМОБР+2
с помощью формулы их ниже, в матриц, полученных заменой ячейку В2, где в которых числоX=A-1B

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Проверить это можно, Кликаем правой кнопкой

-2 в нашем случае. У первой таблицы. В нашем случае, квадратное уравнение«МУМНОЖ»

. Оно по числуx2 =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1. строки 10 и

одного столбца в находится формула. В неизвестных переменных равно

. Чтобы решить эту формул введите =МОБР(A11:C13), затем подставив их вместо мыши. В открывшемся_x3 определитель равен

– это первый_{как видим,}3x^2+4x-132=0и жмем на аргументов имеет всего₊Корень уравнения – 1,179. 11. Эти данные

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

матрице А на поле «Значение» вводим

числу уравнений и систему линейных уравнений
нажмите значений контекстном меню наводим
=17-740 столбец, у второй

xПринимаем значение кнопку одно поле –

x3 Введем в ячейку должны остаться неизменными. столбец-матрицу В. 0. Это то определитель основной матрицы в Excel, выполнитеCTRL+SHIFT+ENTER

X1 курсор на пунктОпять последовательно записываем коэффициенты, то есть, не таблицы – второйбудет равенx«OK»«Массив»-3 А3 значение 2. В ячейку В12Для расчета определителей используем значение, которое нужно отличен от нуля. следующие действия:.,
«Специальная вставка» в таблицу является равным нулю, и т.д.6за равное
.. Тут нужно указатьx4 Получим тот же вводим формулу массива. функцию МОПРЕД. Аргумент получить. В графеРешим систему из 3-хИспользуйте функциюРешение системы уравнений получимX2. В запустившемся дополнительном
A что нам подходит.Теперь нам нужно высчитать.0Активируется окно аргументов функции адрес нашей таблицы.=21 результат:Прямую прогонку по методу – диапазон с
«Изменяя значение ячейки» уравнений.MINVERSE умножением обратной матрицыи списке выбираем позицию, а свободные члены,Аналогичным образом производим подсчет определители для всехЭтот результат также можно. Высчитываем соответствующее дляМУМНОЖ Для этих целей

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Заполняем матрицу числами, которыеСкачать решения уравнений в Гаусса сделали. В

соответствующей матрицей. — В1. ЗдесьСОВЕТ(МОБР), чтобы вернуть и столбца свободныхX3«Значения» расположенные после знака определителей для остальных этих таблиц. Система

проверить, подставив данное_{него значение}. В поле_{устанавливаем курсор в} являются коэффициентами уравнения._Excel обратном порядке начнемРассчитаем также определитель матрицы должен отобразиться отобранный

: Решение СЛАУ методом обратную матрицу членов. Перемножить матрицыв выражения.

.«равно» трех таблиц.

уравнений будет иметь значение в решаемоеf(x)«Массив1» это поле. Затем Данные числа должныКорень на заданном промежутке

прогонять с последней А (массив – параметр. обратной матрицы приведеноА можно с помощьюКак видим, в ЭкселеВ следующую строку вводим— в таблицу

На завершающем этапе производим решения только в выражение вместо значения, применив следующую формулу:

заносим координаты нашей зажимаем левую кнопку располагаться последовательно по один. строки полученной матрицы.

диапазон матрицы А).После нажатия ОК отобразится

в статье Решение. Сначала выделите диапазон

источники:

http://lumpics.ru/how-solve-system-equations-excel/

http://my-excel.ru/excel/reshenie-sistemy-uravnenij-v-excel.html

Источник

Возможно вы слышали о нобелевском лауреате, психологе и исследователе по имени Дэниель Канеман. Канеман занимался наукой, которую называют термином «поведенческая экономика», т.е. изучал реакции, поведение и суждения людей в типовых жизненных (и экономических) ситуациях и условиях неопределенности.

В его книге, которая называется «Думай медленно — решай быстро» (очень рекомендую, кстати) в качестве одного из примеров когнитивных искажений — несознательной автоматической реакции — приводится следующая задача:

Бейсбольная бита и мяч стоят вместе 1 доллар 10 центов.
Бита дороже мяча на 1 доллар.
Сколько стоит мяч?

Подозреваю, что вашей первой рефлекторной мыслью, скорее всего, будет «10 центов!» Но весьма скоро, я уверен, вы сообразите, что на самом деле всё не так примитивно и для получения ответа нужно решить простую систему уравнений (здесь b — это бита, а m — это мяч):

Конечно можно «тряхнуть стариной» и решить всё вручную на бумажке через подстановку переменных — как-то так:

Но, во-первых, на практике уравнения могут быть сложнее и переменных может оказаться сильно больше двух и, во-вторых, у нас с вами есть Microsoft Excel — универсальный мега-инструмент, величайшее изобретение человечества. Так что давайте-ка лучше разберём как решить нашу задачу с его помощью.

Способ 1. Матричные функции МУМНОЖ и МОБР

Само собой, изобретать велосипед тут не надо — прогрессивное человечество в лице математиков давным-давно придумало кучу способов для решения подобных задач. В частности, если уравнения в нашей системе линейные (т.е. не используют степени, логарифмы, тригонометрические функции типа sin, cos и т.д.), то можно использовать метод Крамера.

Сначала записываем числовые коэффициенты, стоящие перед нашими переменными в виде матрицы (в нашем случае — размером 2х2, в общем случае — может быть и больше).

Затем находим для неё так называемую обратную матрицу , т.е. матрицу, при умножении которой на исходную матрицу коэффициентов получается единица. В Excel это легко сделать с помощью стандартной математической функции МОБР (MINVERSE):

Здесь важно отметить, что если у вас свежая версия Excel 2021 или Excel 365, то достаточно ввести эту функцию обычным образом в первую ячейку (G7) — сразу получится динамический массив с обратной матрицей 2х2. Если же у вас более старая версия Excel, то эту функцию нужно обязательно вводить как формулу массива, а именно:

Выделить диапазон для результатов — G7:H8
Ввести функцию =МОБР(B7:C8) в строку формул
Нажать на клавиатуре сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter

Замечательное свойство обратной матрицы состоит в том, что если умножить её на значения правых частей наших уравнений (свободные члены), то мы получим значения переменных, при которых левые и правые части уравнений будут равны, т.е. решения нашей задачи. Выполнить такое матричное умножение можно с помощью ещё одной стандартной экселевской функции МУМНОЖ (MMULT):

Если у вас старая версия Excel, то не забудьте также ввести её в режиме формулы массива, т.е. сначала выделить диапазон K7:K8, а после ввода функции нажать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Само собой, уравнений и переменных может быть больше, да и посчитать всё можно сразу в одной формуле, вложив используемые функции одна в другую:

Не так уж и сложно, правда? Однако надо понимать, что этот метод подходит только для решения систем линейных уравнений. Если у вас в уравнениях используются функции посложнее четырех базовых математических действий, то зачастую проще будет пойти другим путем — через подбор.

Способ 2. Подбор надстройкой «Поиск решения» (Solver)

Принципиально другой способ решения подобных задач — это итерационные методы, т.е. последовательный подбор значений переменных, чтобы после подстановки их в наши уравнения мы получили верные равенства. Само собой, подбор имеется ввиду не тупой и долгий (брутфорс), а умный и быстрый, благо математики, опять же, давным-давно придумали кучу различных методов для решения таких задач буквально за несколько итераций.

В Microsoft Excel некоторые из этих методов реализованы в стандартной надстройке Поиск решения (Solver). Её можно подключить через Файл — Параметры — Надстройки — Перейти (File — Options — Add-ins — Go to) или на вкладке Разработчик — Надстройки (Developer — Add-ins).

Давайте рассмотрим её использование на следующей задаче. Предположим, что нам с вами нужно решить вот такую систему из двух нелинейных уравнений:

Подготавливаем основу для оптимизации в Excel:

Здесь:

В жёлтых ячейках C9:C10 лежат текущие значения наших переменных, которые и будут подбираться в процессе оптимизации. В качестве стартовых можно взять любые значения, например, нули или единицы — роли не играет. Для удобства, кстати, этим ячейкам можно дать имена, назвав их именами переменных x и y, — для этого выделите диапазон C9:C10 и выберите команду Формулы — Создать из выделенного — Слева (Formulas — Create from selection — Left column).
В зелёных ячейках E9:E10 введены наши уравнения с использованием либо прямых ссылок на жёлтые ячейки переменных, либо созданных имён (так нагляднее). В результате мы видим, чему равны наши уравнения при текущих значениях переменных.
В синих ячейках F9:F10 введены значения правых частей наших уравнений, к которым мы должны стремиться.

Теперь запускаем нашу надстройку на вкладке Данные — Поиск решения (Data — Solver) и вводим в появившемся диалоговом окне следующие параметры:

Оптимизировать целевую функцию (Set target cell) — любая из двух наших зелёных ячеек с уравнениями, например E9.
Изменяя ячейки переменных (By changing cells) — жёлтые ячейки с текущими значениями переменных, которыми мы «играем».
Добавляем ограничение с помощью кнопки Добавить (Add) и задаём равенство левой и правой части наших уравнений, т.е. зелёного и голубого диапазонов.
В качестве метода решения выбираем Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ, т.к. уравнения у нас нелинейные. Для линейных можно смело выбирать симплекс-метод.

После нажатия на кнопку Найти решение (Solve) через пару мгновений (или не пару — это зависит от сложности задачи) мы должны увидеть окно с результатами. Если решение найдено, то в жёлтых ячейках отобразятся подобранные значения наших переменных:

Обратите внимание, что поскольку мы здесь используем итерационные, а не аналитические методы, то зеленые ячейки не совсем равны голубым, т.е. найденное решение не абсолютно точно. На практике, конечно же, такой точности вполне достаточно для большинства задач, и если необходимо, её можно настроить, вернувшись в окно Поиск решения и нажав кнопку Параметры (Options).

Источник

Содержание

Варианты решений
- Способ 1: матричный метод
- Способ 2: подбор параметров
- Способ 3: метод Крамера
- Способ 4: метод Гаусса
Вопросы и ответы

Варианты решений

Способ 1: матричный метод

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Теперь для нахождения корней уравнения, прежде всего, нам нужно отыскать матрицу, обратную существующей. К счастью, в Эксель имеется специальный оператор, который предназначен для решения данной задачи. Называется он МОБР. Он имеет довольно простой синтаксис:
=МОБР(массив)

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОБР. Оно по числу аргументов имеет всего одно поле – «Массив». Тут нужно указать адрес нашей таблицы. Для этих целей устанавливаем курсор в это поле. Затем зажимаем левую кнопку мыши и выделяем область на листе, в которой находится матрица. Как видим, данные о координатах размещения автоматически заносятся в поле окна. После того, как эта задача выполнена, наиболее очевидным было бы нажать на кнопку «OK», но не стоит торопиться. Дело в том, что нажатие на эту кнопку является равнозначным применению команды Enter. Но при работе с массивами после завершения ввода формулы следует не кликать по кнопке Enter, а произвести набор сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter. Выполняем эту операцию.

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Урок: Обратная матрица в Excel

Способ 2: подбор параметров

3x^2+4x-132=0

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:
=3*x^2+4*x-132

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Урок: Подбор параметра в Excel

Способ 3: метод Крамера

14x1+2x2+8x4=218 7x1-3x2+5x3+12x4=213 5x1+x2-2x3+4x4=83 6x1+2x2+x3-3x4=21

Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:
=МОПРЕД(массив)

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

14x1+2x2+8x3=110 7x1-3x2+5x3=32 5x1+x2-2x3=17

Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:
=B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:
=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:
=B17:E17/D17

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:
=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:
=(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Еще статьи по данной теме:

Помогла ли Вам статья?

Источник

Решение системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ) в MS Excel

Матрицей размера n×m называется
прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк
и m столбцов, заполненная числами (элементами).

В MS
Excel предусмотрены следующие функции для выполнения операций над матрицами
(см.табл.):

Русифицированное имя функции	Выполняемое действие
МОБР(параметр)	обращение матрицы
МОПР(параметр)	вычисление определителя матрицы
МУМНОЖ(список параметров1; список параметров2)	умножение матриц

Пример.
Найдите решение СЛАУ а) методом обратной матрицы, б) методом Крамера:

а) Решение системы уравнений методом
обратной матрицы.

Матрица
А имеет коэффициенты, стоящие перед неизвестными переменными, матрица В –
свободные коэффициенты.

Для нахождения корней системы уравнений методом
обратной матрицы необходимо:

– вычислить определитель матрицы А (функция МОПРЕД).
Если определитель матрицы равен нулю, то обратной матрицы не существует;

– найти обратную матрицу А^-1 (функция МОБР);

– найти произведение матриц А^-1В (функция МУМНОЖ).

Введем
данные значения в ячейки А2:С4 – матрица А и ячейки D2:D4 – матрица В.

Найдем
матрицу, обратную матрице А. Для этого выделяем диапазон ячеек А9:С11, в ячейку
А9 введем формулу =МОБР(A2:C4). После этого нажимаем комбинацию клавиш
CTRL+SHIFT+ENTER. После этого в каждой ячейке формула будет записана в фигурных
скобках: {=МОБР(A2:C4)}.

Найдем
произведение матриц A^-1*B. В
ячейки F9:F11 введем формулу: =МУМНОЖ(A9:C11;D2:D4) как формулу массива. Далее нажимаем
комбинацию клавиш CTRL+SHIFT+ENTER. В ячейках F9:F11 получим корни уравнения:

б) Решение системы уравнений методом Крамера.

Для нахождения
определителя матрицы в ячейку В15 введем формулу =МОПРЕД(A2:C4).

Для поиска решения вычислим 3 дополнительных определителя
матриц, в каждом из которых вместо одного из столбцов подставляется матрица B.

В ячейку
В16 введем формулу =МОПРЕД(D15:F17),

В
ячейку В17 введем формулу =МОПРЕД(D19:F21).

В
ячейку В18 введем формулу =МОПРЕД(D23:F25).

Найдем
корни уравнения, для этого в ячейки введем:

В21:
=B16/$B$15,

В22:
=B17/$B$15,

В23:
=B18/$B$15.

В ячейках B21:В23 получим
корни уравнения (результат одинаковый):

Задания
для практической работы.

Решите СЛАУ: а) методом обратной матрицы, б) методом Крамера.

Источник

Решение СЛАУ в MS EXCEL

С системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) часто приходится сталкиваться не только в курсе математики. Их решение пригодится в других науках, например, физике или химии.

Систему из двух уравнений часто можно решить способом подстановки. Системы трех и более уравнений приходится решать другими способами. К ним относятся:

метод обратной матрицы;
метод Крамера;
метод Гаусса.

В общем виде систему линейных уравнений можно представить в виде:
A⋅X=BAcdot X = B,

где AA – матрица коэффициентов;

XX – вектор-столбец неизвестных;

BB – вектор-столбец свободных коэффициентов.

Мы рассмотрим решение одной и той же простой системы уравнений первыми двумя способами, чтобы сравнить результаты. Если при решении разными способами ответы будут совпадать, значит СЛАУ решена верно.

Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы (матричный метод) используется для квадратных матрицы, чей определитель равен нулю.

Для того чтобы найти корни уравнения этим способом, в первую очередь находят обратную матрицу, которую перемножают на свободные коэффициенты. Рассмотрим, как это будет выглядеть в MS Excel.

Возьмем для примера матрицу (рис.1):

Рисунок 1

Запишем нашу систему уравнений в следующем виде (рис.2):

Рисунок 2

Скопируем матрицу коэффициентов и таблицу свободных коэффициентов в Excel (рис.3):

Рисунок 3

Для нахождения обратной матрицы выделяем нужные ячейки, в которых будет новая матрица, в строке формул пишем функцию «=мобр» и указываем в скобках массив матрицы, для которой мы и находим обратную матрицу. В нашем случае это будет «=мобр(C2:E4)». После этого нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter (рис.4):

Рисунок 4

После этого в каждой ячейке формула будет записана в фигурных скобках.

Для нахождения неизвестных необходимо перемножить обратную матрицу и свободные коэффициенты. Делается это так же, как и нахождение обратной матрицы: выделяем ячейки, куда будут записаны ответы, в строке формул записываем функцию «=мумнож», в скобках указываем массив матрицы и вектор свободных коэффициентов. В нашем случае это будет выглядеть «=мумнож(C7:E9;F2:F4)»:

Рисунок 5

Для тренировки можно скачать файл с данным примером и подставить другие значения. Таким же способом решают СЛАУ из 4, 5 и более уравнений.

Если тема осталась для вас непонятной, изучайте подробно матрицы и методы работы с ними в этой статье с пошаговым разбором.

Метод Крамера

Метод Крамера несколько отличается от предыдущего. Для этого нам нужно найти определитель основной матрицы, после чего в матрице коэффициентов каждый столбец заменить на вектор свободных коэффициентов и для полученных таблиц найти определитель. Рассмотрим наглядно это на рисунке 6:

Рисунок 6

Для каждой матрицы находим определитель с помощью функции «МОПРЕД». Корнями системы уравнений будут частные определителя основной и новых матриц (рис.7):

Рисунок 7

Такими простыми способами можно решать системы линейных квадратных уравнений.

Тест по теме «Решение СЛАУ в MS Excel»

Источник

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо описаны
в учебнике «Основы вычислительной математики. Демидович Б.П., Марон И.А. 1966».
Скачать — 11Мб

1. Метод обратной матрицы (решение в Excel)

Если дано уравнение:
A*X = B, где A — квадратная матрица, X,B — вектора;
причем B — известный вектор (т е столбец чисел), X — неизвестный вектор,

то решение X можно записать в виде:
X = A^-1*B, где A^-1 — обратная от А матрица.
В MS Excel обратная матрица вычисляется функцией МОБР(), а перемножаются матрицы
(или матрица на вектор) — функцией МУМНОЖ().

Имеются «тонкости» использования этих матричных действий в Excel. Так, чтобы вычислить
обратную матрицу от матрицы А, нужно:

1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет размещена
   обратная матрица.
2. Начать вписывать формулу =МОБР(
3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишется 
   соответствующий диапазон клеток.
4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter
5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназначенную 
   для неё область

Чтобы умножить матрицу на вектор:

1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещён результат
   умножения
2. Начать вписывать формулу =МУМНОЖ(
3. Выделить мышкой матрицу - первый сомножитель. При этом правее скобки впишется 
   соответствующий диапазон клеток.
4. С клавиатуры ввести разделитель ; (точка с запятой)
5. Выделить мышкой вектор- второй сомножитель. При этом правее скобки впишется 
   соответствующий диапазон клеток.
6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter
7. Должно вычислиться произведение и заполнить предназначенную 
   для него область

Есть и другой спососб, при котором используется кнопка построителя функции Excel.

Пример СЛАУ 4-го порядка

Скачать документ Excel, в котором этот пример решён различными методами.

2. Метод Гаусса

Метод Гаусса подробно (по шагам) выполняется только в учебных целях, когда нужно показать, что Вы это умеете. А чтобы решить реальную СЛАУ, лучше применить в Excel метод обратной матрицы
или воспользоваться специальными программами, например, этой

Краткое описание.

Решаю систему уравнений: A*X=B, где A — квадратная матрица n-го порядка,
X,B — вектора
К матрице A справа приписываю вектор B. Получаю расширенную матрицу A
В дальнейшем A обозначает расширенную матрицу (n строк, n+1 столбец)
Aij — обозначает элемент матрицы, находящийся на i-й строке и j-м столбце
Делю 1-ю строку на A11, т е A’1j = A1j/A11 (j = 1..n+1). В результате A’11 = 1. A’ обозначает преобразованную строку
Преобразую остальные строки по формуле: A’ij = Aij — A’1j*Ai1 (i = 2..n; j = 1..n+1)
В результате 1-й столбец в строках 2..n заполнится нулями
Отметим, что все эти преобразования не нарушают правильность уравнений
Аналогичные действия проводим для обнуления 2-го столбца в строках 3..n, то есть:
Делю 2-ю строку на A’22, т е A»2j = A’2j/A’22 (j = 2..n+1). В результате A»22 = 1. A» обозначает резельтат 2-го преобразования строки
Преобразую остальные строки по формуле: A»ij = A’ij — A»2j*A’i2 (i = 3..n; j = 2..n+1)
В результате 2-й столбец в строках 3..n заполнится нулями
Аналогичные действия проводим далее
В результате левые n столбцов матрицы A превращаютс в верхнюю треугольную
матрицу, т е ниже главной диагонали находятся только нули (а на главной диагонали — единицы) — см Рис 1. На этом рисунке вектор B — слева, S — номер шага

Затем выполняется «обратный ход», начиная с нижней строки, из которой можно вычислить Xn = Bn/Ann, например: Х4 = 9,55741/68,6388 = 0,13924 (рис. 1)
Затем можно вычислить X3 = (0,9065 — 2,40919*0,13924) = 0,57059
Затем из второй строки: X2 + 2,83562*X3 + 8,17808*X4 = 2,47945 вычисляю X2, и т д

3. Метод Якоби (метод простых итераций)

Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.

Далее номер в скобках означает номер строки.
Новую первую строку получаю сложением старой первой строки с другими строками, умноженными на специально подобранные коэффициенты. Записываю это в виде формулы:

(1)’ = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4)   
(2)’ = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12*(4) 
(3)’ = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) 
(4)’ = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3)  

Примечание: подбор коэффицентов выполнен на листе "Анализ". 
Решаются системы уравнений, цель которых - обратить внедиагональные
элементы в нуль. Коэффиценты - это округлённые результаты решения
таких систем уравнений. Конечно, это не дело.

В результате получаю систему уравнений:

Для применения метода Якоби систему уравнений нужно преобразовать к виду:

X = B2 + A2*X Преобразую:

Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид :

А вектор В2:

Скачать

Источник

Цель
работы: Изучение возможностей пакета
MS
Excel
при решении задач линейной алгебры.
Приобретение навыков решения систем
линейных алгебраических уравнений.

Задание:
Решить систему линейных уравнений:

a)
Методом обратной матрицы (на листе 1);

b)
Методом Крамера (на листе 2).

Варианты
задания

Порядок
работы:

При
выполнении лабораторной работы систему
линейных алгебраических уравнений
необходимо решать методом обратной
матрицы и методом Крамера. Вспомним
основные формулы, используемые в этих
методах.

Метод
обратной матрицы.

Систему
линейных алгебраических уравнений AX=b
умножим слева на матрицу, обратную к А.
Система уравнений примет вид: A^-1AX=A^-1b,
EX=A^-1b
(E
— единичная матрица).

Таким
образом, вектор неизвестных вычисляется
по формуле X=A^-1b.

Метод
Крамера.

В
этом случае неизвестные x1,x2,…, xn
вычисляются по формуле:

Метод
Крамера.

В
этом случае неизвестные x₁,x₂,…,
x_n
вычисляются по формуле:

x_i
=∆_i/∆
,i=1,…,n

где
∆ – определитель матрицы A;

∆_i–определитель
матрицы, получаемой из матрицы А
путем
замены i-го столбца вектором b.

Обратите
внимание на особенность работы с
матричными формулами: необходимо
предварительно выделять область, в
которой будет храниться результат, а
после получения результата преобразовывать
его к матричному виду, нажав клавиши F2
и Ctrl+Shift+Enter.

Теперь
рассмотрим решение системы линейных
уравнений методом обратной матрицы и
методом Крамера на конкретных примерах.
Решим следующую систему линейных
алгебраических уравнений методом
обратной матрицы:

В
этом случае матрица коэффициентов А
и вектор свободных коэффициентов b
имеют вид:

Введём
матрицу A
и вектор b
в рабочий лист MS
Excel.

Ввод
матрицы A
и вектора b

В
нашем случае матрица А
находится в ячейках B1:Е4,
а вектор b
в диапазоне G1:G4.
Для решения системы методом обратной
матрицы необходимо вычислить матрицу,
обратную к A.
Для этого выделим ячейки для хранения
обратной матрицы (это нужно сделать
обязательно!!!); пусть в нашем случае это
будут ячейки B6:E9.
Теперь обратимся к мастеру функций, и
в категории «Математические» выберем
функцию МОБР,
предназначенную для вычисления обратной
матрицы, щелкнув по кнопке OK,
перейдём ко второму шагу мастера функций.
В диалоговом окне, появляющемся на
втором шаге мастера функций, необходимо
заполнить поле ввода «Массив». Это поле
должно содержать диапазон ячеек, в
котором хранится исходная матрица – в
нашем случае B1:E4.
Данные в поле ввода «Массив» можно
ввести, используя клавиатуру или выделив
их на рабочем листе, удерживая левую
кнопку мыши.

Мастер
функций

Нахождение
обратной матрицы

Если
поле «Массив» заполнено, можно нажать
кнопку OK.
В первой ячейке, выделенного под обратную
матрицу диапазона, появится некое число.
Для того чтобы получить всю обратную
матрицу, необходимо нажать клавишу F2
для перехода в режим редактирования, а
затем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.
В нашем случае рабочая книга MS
Excel
примет следующий вид.

Фрагмент
рабочего листа с полученной обратной
матрицей A_обр

Теперь
необходимо умножить полученную обратную
матрицу на вектор b.
Выделим ячейки для хранения результирующего
вектора, например G6:G9.
Обратимся к мастеру функций, и в категории
Математические
выберем функцию МУМНОЖ,
которая предназначена для умножения
матриц. Напомним, что умножение матриц
происходит по правилу строка на столбец
и матрицу А
можно умножить на матрицу В
только в том случае, если количество
столбцов матрицы А
равно количеству строк матрицы В.
Кроме того, при умножении матриц важен
порядок сомножителей, т.е. АВ≠ВА

Перейдём
ко второму шагу мастера функций.
Появившееся диалоговое окно содержит
два поля ввода Массив1
и Массив2.
В поле Массив1
необходимо ввести диапазон ячеек, в
котором содержится первая из перемножаемых
матриц, в нашем случае B6:E9
(обратная матрица), а в поле Массив2
ячейки, содержащие вторую матрицу, в
нашем случае G1:G4
(вектор b)

Перемножение
обратной матрицы Aо_бр
и вектора В

Если
поля ввода заполнены, можно нажать
кнопку OK.
В первой ячейке выделенного диапазона
появится соответствующее число
результирующего вектора. Для того чтобы
получить весь вектор, необходимо нажать
клавишу F2,
а затем одновременно клавиши
Ctrl+Shift+Enter.
В нашем случае результаты вычислений
(вектор X),
находится в ячейках G6:G9.

Фрагмент
рабочего листа с найденным вектором X

Таким
образом, мы решили систему линейных
алгебраических уравнений методом
обратной матрицы. Корни: X1, X2, X3, X4 будут,
в нашем случае, соответствовать ячейкам
G6, G7, G8 и G9.

Для
того чтобы проверить, правильно ли
решена система уравнений,

необходимо
умножить матрицу A
на вектор Х
и получить в результате вектор b. Умножение
матрицы A на вектор Х осуществляется
при помощи функции МУМНОЖ(В1:Е4;G6:G9)
так, как было описано выше.

В
результате проведенных вычислений
рабочий лист примет следующий вид

Фрагмент
рабочего листа с результатом проверки
решения

Теперь
рассмотрим пример решения этой же
системы линейных алгебраических
уравнений методом Крамера. Введём
матрицу А и вектор b на рабочий лист.
Кроме того, сформируем четыре
вспомогательные матрицы, заменяя
последовательно столбцы матрицы A на
столбец вектора b.

Фрагмент
рабочего листа с результатом решения
системы методом Крамера

Для
дальнейшего решения необходимо вычислить
определитель матрицы A.
Установим курсор в ячейку H6 и обратимся
к мастеру функций. В категории
Математические
выберем
функцию МОПРЕД,
предназначенную для вычисления
определителя матрицы, и перейдём ко
второму шагу мастера функций. Диалоговое
окно, появляющееся на втором шаге,
содержит поле ввода Массив.
В этом поле указывают диапазон матрицы,
определитель которой вычисляют. В нашем
случае это ячейки B1:E4.

Для
вычисления вспомогательных определителей
введем формулы:

H7=МОПРЕД(B6:E9),

H8=МОПРЕД(B11:E14),

H9=МОПРЕД(B16:E19),

H10=МОПРЕД(B21:E24).

В
результате в ячейке H6
хранится главный определитель, а в
ячейках H7:H10
– вспомогательные.

Воспользуемся
формулами Крамера и разделим последовательно
вспомогательные определители на главный.
В ячейку H12
введём формулу =H7/$H$6.
Затем скопируем её содержимое в ячейки
H13,
H14
и H15.
Система решена.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник