Решение систем уравнений при помощи excel

Возможно вы слышали о нобелевском лауреате, психологе и исследователе по имени Дэниель Канеман. Канеман занимался наукой, которую называют термином «поведенческая экономика», т.е. изучал реакции, поведение и суждения людей в типовых жизненных (и экономических) ситуациях и условиях неопределенности.

В его книге, которая называется «Думай медленно — решай быстро» (очень рекомендую, кстати) в качестве одного из примеров когнитивных искажений — несознательной автоматической реакции — приводится следующая задача:

Бейсбольная бита и мяч стоят вместе 1 доллар 10 центов.
Бита дороже мяча на 1 доллар.
Сколько стоит мяч?

Подозреваю, что вашей первой рефлекторной мыслью, скорее всего, будет «10 центов!»  Но весьма скоро, я уверен, вы сообразите, что на самом деле всё не так примитивно и для получения ответа нужно решить простую систему уравнений (здесь b — это бита, а m — это мяч):

Конечно можно «тряхнуть стариной» и решить всё вручную на бумажке через подстановку переменных — как-то так:

Но, во-первых, на практике уравнения могут быть сложнее и переменных может оказаться сильно больше двух и, во-вторых, у нас с вами есть Microsoft Excel — универсальный мега-инструмент, величайшее изобретение человечества. Так что давайте-ка лучше разберём как решить нашу задачу с его помощью.

Способ 1. Матричные функции МУМНОЖ и МОБР

Само собой, изобретать велосипед тут не надо — прогрессивное человечество в лице математиков давным-давно придумало кучу способов для решения подобных задач. В частности, если уравнения в нашей системе линейные (т.е. не используют степени, логарифмы, тригонометрические функции типа sin, cos и т.д.), то можно использовать метод Крамера.

Сначала записываем числовые коэффициенты, стоящие перед нашими переменными в виде матрицы (в нашем случае — размером 2х2, в общем случае — может быть и больше).

Затем находим для неё так называемую обратную матрицу , т.е. матрицу, при умножении которой на исходную матрицу коэффициентов получается единица. В Excel это легко сделать с помощью стандартной математической функции МОБР (MINVERSE):

Здесь важно отметить, что если у вас свежая версия Excel 2021 или Excel 365, то достаточно ввести эту функцию обычным образом в первую ячейку (G7) — сразу получится динамический массив с обратной матрицей 2х2. Если же у вас более старая версия Excel, то эту функцию нужно обязательно вводить как формулу массива, а именно:

1. Выделить диапазон для результатов — G7:H8
2. Ввести функцию =МОБР(B7:C8) в строку формул
3. Нажать на клавиатуре сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter

Замечательное свойство обратной матрицы состоит в том, что если умножить её на значения правых частей наших уравнений (свободные члены), то мы получим значения переменных, при которых левые и правые части уравнений будут равны, т.е. решения нашей задачи. Выполнить такое матричное умножение можно с помощью ещё одной стандартной экселевской функции МУМНОЖ (MMULT):

Если у вас старая версия Excel, то не забудьте также ввести её в режиме формулы массива, т.е. сначала выделить диапазон K7:K8, а после ввода функции нажать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Само собой, уравнений и переменных может быть больше, да и посчитать всё можно сразу в одной формуле, вложив используемые функции одна в другую:

Не так уж и сложно, правда? Однако надо понимать, что этот метод подходит только для решения систем линейных уравнений. Если у вас в уравнениях используются функции посложнее четырех базовых математических действий, то зачастую проще будет пойти другим путем — через подбор.

Способ 2. Подбор надстройкой «Поиск решения» (Solver)

Принципиально другой способ решения подобных задач — это итерационные методы, т.е. последовательный подбор значений переменных, чтобы после подстановки их в наши уравнения мы получили верные равенства. Само собой, подбор имеется ввиду не тупой и долгий (брутфорс), а умный и быстрый, благо математики, опять же, давным-давно придумали кучу различных методов для решения таких задач буквально за несколько итераций.

В Microsoft Excel некоторые из этих методов реализованы в стандартной надстройке Поиск решения (Solver). Её можно подключить через Файл — Параметры — Надстройки — Перейти (File — Options — Add-ins — Go to) или на вкладке Разработчик — Надстройки (Developer — Add-ins). 

Давайте рассмотрим её использование на следующей задаче. Предположим, что нам с вами нужно решить вот такую систему из двух нелинейных уравнений:

Подготавливаем основу для оптимизации в Excel:

Здесь:

• В жёлтых ячейках C9:C10 лежат текущие значения наших переменных, которые и будут подбираться в процессе оптимизации. В качестве стартовых можно взять любые значения, например, нули или единицы — роли не играет. Для удобства, кстати, этим ячейкам можно дать имена, назвав их именами переменных x и y, — для этого выделите диапазон C9:C10 и выберите команду Формулы — Создать из выделенного — Слева (Formulas — Create from selection — Left column). 
• В зелёных ячейках E9:E10 введены наши уравнения с использованием либо прямых ссылок на жёлтые ячейки переменных, либо созданных имён (так нагляднее). В результате мы видим, чему равны наши уравнения при текущих значениях переменных.
• В синих ячейках F9:F10 введены значения правых частей наших уравнений, к которым мы должны стремиться.

Теперь запускаем нашу надстройку на вкладке Данные — Поиск решения (Data — Solver) и вводим в появившемся диалоговом окне следующие параметры:

• Оптимизировать целевую функцию (Set target cell) — любая из двух наших зелёных ячеек с уравнениями, например E9.
• Изменяя ячейки переменных (By changing cells) — жёлтые ячейки с текущими значениями переменных, которыми мы «играем».
• Добавляем ограничение с помощью кнопки Добавить (Add) и задаём равенство левой и правой части наших уравнений, т.е. зелёного и голубого диапазонов.
• В качестве метода решения выбираем Поиск решения нелинейных задач методом ОПГ, т.к. уравнения у нас нелинейные. Для линейных можно смело выбирать симплекс-метод.

Обратите внимание, что поскольку мы здесь используем итерационные, а не аналитические методы, то зеленые ячейки не совсем равны голубым, т.е. найденное решение не абсолютно точно. На практике, конечно же, такой точности вполне достаточно для большинства задач, и если необходимо, её можно настроить, вернувшись в окно Поиск решения и нажав кнопку Параметры (Options).

Помогла ли Вам статья?

Цели урока:

обучающие:

• повторение и закрепление знаний учащихся
  правил записи арифметических выражений и формул
  в электронных таблицах;
• повторение алгоритма решения систем уравнений;
• формирование знаний и умений в решении систем
  уравнений, используя возможности электронных
  таблиц;

развивающие:

• формирование умений анализировать, выделять
  главное, сравнивать, строить аналогии;

воспитывающие:

• осуществление эстетического воспитания;
• воспитание аккуратности, добросовестности.

Тип урока: урок закрепления изученного
материала и объяснения нового.

Здравствуйте! Все мы знаем, что одну и
ту же информацию можно закодировать любым
способом. Перед вами набор чисел. Известно, что
каждому числу ставится в соответствие буква в
русском алфавите. Расшифруйте эту информацию,
кто быстрее!

Ответ: “Знание – сила!”

Молодцы! А знаете, кому принадлежит это
выражение? (Если нет, то один ученик ищет ответ в
Интернете. Остальные отвечают на вопросы:
Для чего предназначена программа Excel? (Программа
Excel предназначена для хранения и обработки
данных, представленных в табличном виде) Что
собой представляет документ в Excel? (Каждый
документ в Excel представляет собой набор таблиц –
рабочую книгу, которая состоит из одного или
многих рабочих листов) Какая функция
используется для подсчета суммы чисел? (Функция
СУММ). Как определить адрес ячейки? (Excel вводит
номера ячеек автоматически. Адрес ячейки
составляется как объединение номеров столбца и
строки без пробела между ними)

Выражение английского философа Френсиса
Бэкона “Знание – сила!” и будет эпиграфом к
нашему уроку. («Нравственные и политические
очерки», 1597).

II. Повторение пройденного материала.

Мы уже знакомы с программой Microsoft Excel,
умеем записывать арифметические выражения и
различные формулы, находить значения
арифметических выражений и построить графики
функций. Чтобы проверить выполнение домашнего
задания, предлагаю каждому пройти тестирование. (Приложение 1)

Хорошо, все справились и каждому
поставим соответствующие оценки в журнал. А
давайте устроим путешествие в математику и
вспомним, что мы понимаем под понятием: “Решить
систему уравнений”? (Найти такие значения х и у,
которые будут удовлетворять и первое уравнение и
второе). Какие способы существуют для решения
систем уравнений (метод подстановки, метод
сложения и графический способ). Сегодня мы с
вами научимся решать системы уравнений,
используя возможности электронных таблиц.

III. Объяснение нового.

А. Решим систему графическим способом. Преобразуем
данную систему .
Для решения воспользуемся диаграммой, на которой
отобразим графики обеих функций. Заполняем
столбец А: заполняем ячейки А2:А22 числами от -5 до 5
с шагом 0,5. (в ячейку А2 заносим число -5, в ячейку А3
– число -4,5, выделяем ячейки А2 и А3, установим
курсор мыши на правый нижний угол рамки
(указатель примет форму черного крестика) и
растягиваем рамку вниз, пока последнее значение
не станет равным 5). При заполнении столбца В в
ячейку В2 заносим формулу =А2*А2, которую затем
копируем до ячейки В22. (протянем формулу за
правый нижний угол). При заполнении столбца С в
ячейку С2 заносим формулу =1-2*А2, копируем ее до
ячейки С22. Выделим блок с данными, с помощью
Мастера диаграмм выберем тип диаграммы Точечная
и построим графики функций. Координаты точек
пересечения графиков – решения системы. {(-2,5; 6);
(0,5; 0)}

Получены приближенные значения
решений. Чем меньше шаг, тем точнее значение
координат точек пересечения.

Запишем алгоритм решения систем
уравнений графическим способом:

1. Преобразовать систему уравнений,
если это необходимо.

2. Задать начальные значения для Х.

3. Найти значение первой функции при
заданных Х.

4. Найти значение второй функции при
тех же Х.

5. Выделить блок с данными и построить
графики функций, используя точечный тип
диаграммы.

6. Решение системы — точка пересечения
графиков функций.

7. Для нахождения координат точек
пересечения с заданной точностью построить
новый график на том отрезке, где находится
решение, с шагом, равным значению точности.

Б. Решить систему уравнений . Занесем в
электронную таблицу исходные данные и расчетные
формулы следующим образом:.

Для решения системы уравнений
воспользуемся надстройкой Поиск решения,
которая запускается через Сервис (-Надстройки) и
заполним диалоговое окно следующим образом:

При нажатии на кнопку Выполнить
происходит решение системы уравнений и в ячейках
B3 и B4 высвечивается результат.

Запишем примерный алгоритм решения
системы уравнений, используя Поиск решения

1. Преобразовать систему уравнений,
если это необходимо

2. Записать исходные данные (в ячейку А1
ввести текст “Решите уравнение”, в ячейку В1
записать первое уравнение, в ячейку В2 второе
уравнение, в ячейку А3 ввести текст “Х=”, в ячейку
А4 “Y=”, в ячейку А5 “уравнение 1”, в ячейку А6
“уравнение 2”. В ячейке B3 хотим получить
значение Х, в ячейке В4 – значение Y, их оставляем
пустыми.

3. В ячейку В5 переписать уравнение 1,
используя правило записи арифметических
выражений, следующим образом: в левой части
вместо Х указывать ячейку В3, вместо Y ячейку В4,
правую часть отбросить. Таким же образом
переписать левую часть второго уравнения в
ячейку В6.

4. Выбрать команду Сервис – Поиск
решения.

5. Установить целевую ячейку — ту
ячейку, в которой содержится формула, например, В5
и задать значение, равное значению правой части
первого уравнения

6. В поле “изменяя ячейки” указать
ячейки, в которых хотим увидеть ответ (В3 и В4)

7. Вести ограничение $B$6 = -3. Для этого
щелкнуть на кнопке Добавить и в полученном окне
установить реквизиты следующим образом: в поле
Ссылка на ячейку указать ячейку, в которой
записана левая часть другого уравнения, в другом
поле выбрать знак “=”, в третьем ввести число,
равное значению правой части. Закрыть окно
Добавить ограничение, щелкнув кнопкой ОК

8. Решить систему уравнений, щелкнув
кнопкой Выполнить

IV. Практическая работа на компьютере.

Вариант I

А. Решите систему уравнений графическим
способом

Б. Решите систему уравнения, воспользовавшись
командой Поиск решения:

Вариант II

А. Решите систему уравнений графическим
способом

Б. Решите систему уравнения, воспользовавшись
командой Поиск решения:

V. Подведение итогов.

Повторить алгоритмы решения систем уравнений

Выставить оценки за тестирование в журнал

VI. Домашнее задание.

Решить рациональным способом системы
уравнений:

;

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

​Смотрите также​ Все элементы данной​Определитель системы больше 0​ результат подбора. Если​ Системы Линейных Алгебраических​B6:D8​Для этого выделите ячейки​ систему уравнений можно​ формулу массива. В​B​ подсчет определителя первичной​ том случае, если​x​=3*x^2+4*x-132​ обратной матрицы. Для​ мыши и выделяем​

​ порядку с учетом​Умение решать системы уравнений​

Варианты решений

​ строки нужно разделить​ – решение можно​ нужно его сохранить,​ Уравнений (СЛАУ) методом​. Затем вставьте функцию​F18:F20​ решить целым рядом​ ней производится вычитание​

Способ 1: матричный метод

​. Но на этот​ матрицы. Процедура происходит​ все определители будут​.​Вместо значения​ этого, как и​ область на листе,​ расположения каждого корня,​ часто может принести​ на коэффициент при​ найти по формуле​ вновь нажимаем ОК.​


​ обратной матрицы в​​MINVERSE​​, а в Строке формул введите =МУМНОЖ(A18:C20;F11:F13),​​ способов, каждый из​​ из третьей строки​​ раз сблизим обе​​ все по тому​
​ иметь значение, отличное​​Урок:​​«X»​​ в прошлый раз,​​ в которой находится​​ которому они соответствуют.​​ пользу не только​​ с. Введем в​​ Крамера (D​
​ В противном случае​​ MS EXCEL.​​(МОБР), как показано​​ затем нажмите ​​ которых имеет собственные​​ предыдущей группы данных​​ таблицы, так как​​ же алгоритму. Как​​ от нуля. Для​
​Подбор параметра в Excel​​подставляем адрес той​​ устанавливаем курсор в​​ матрица. Как видим,​​ Если в каком-то​​ в учебе, но​​ строку формулу массива:​​x​​ – «Отмена».​


1. ​Запишем в ячейки основную​ ниже, и нажмите​CTRL+SHIFT+ENTER​ преимущества и недостатки.​ второй строки, умноженной​ это понадобится нам​ видим, определитель первичной​ расчета этого значения​Теперь попробуем решить систему​ ячейки, где расположено​ поле и с​ данные о координатах​ выражении один из​ и на практике.​ {=B12:E12/D12}.​/ |A|).​Для подбора параметра программа​ матрицу системы и​​Ctrl+Shift+Enter​​.​ Но все эти​​ на отношение второго​​ для работы в​

   

2. ​ таблицы тоже отличный​ в Экселе опять​ уравнений методом Крамера.​ число​​ зажатой левой кнопкой​​ размещения автоматически заносятся​

   

3. ​ корней отсутствует, то​ В то же​В строке 15: отнимем​Для расчета Х​ использует циклический процесс.​ столбец свободных членов. ​.​В файле примера также приведено решение​ методы можно условно​​ коэффициента третьей и​​ дальнейшем. Важным условием​ от нуля, а​

   ​ имеется отдельная функция​

   ​ Для примера возьмем​​0​​ мыши выделяем курсором​ в поле окна.​

   ​ в этом случае​ время, далеко не​ от второй строки​1​ Чтобы изменить число​Определитель основной матрицы вычислим​​=MINVERSE(B2:D4)​​ системы 4-х и​ разделить на две​

   

4. ​ второй строки. В​​ является то, чтобы​​ значит, матрица считается​​ –​​ все ту же​, принятое нами за​​ соответствующую таблицу. Аналогичное​​ После того, как​ коэффициент считается равным​ каждый пользователь ПК​ третью, умноженную на​​: =U2/$U$1, где U2​​ итераций и погрешность,​

   

5. ​ с помощью формулы =МОПРЕД(A11:C13)​​=МОБР(B2:D4)​​ 5-и уравнений.​ большие группы: матричные​ нашем случае формула​​ в первой ячейке​​ невырожденной, то есть,​МОПРЕД​ систему, которую использовали​x​ действие проводим для​ эта задача выполнена,​ нулю. Если коэффициент​ знает, что в​ коэффициент при с​ – D1. Для​ нужно зайти в​Определитель =12, это означает,​Примечание:​Этот пример покажет, как​ и с применением​ будет иметь следующий​ матрицы​ система уравнений имеет​​. Синтаксис данного оператора​​ в​.​ внесения координат в​ наиболее очевидным было​ не обозначен в​ Экселе существует собственные​​ второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}).​​ расчета Х​ параметры Excel. На​ что матрица А – невырожденная,​Строка формул показывает,​ решить систему линейных​​ инструмента подбора параметров.​​ вид:​A​​ решения.​​ следующий:​

   

6. ​Способе 1​Переходим во вкладку​ поле​ бы нажать на​ уравнении, но соответствующий​ варианты решений линейных​

   

7. ​ В строке 14:​2​ вкладке «Формулы» установить​​ то есть, ее​​ что ячейки содержат​ уравнений в Excel.​ В некоторых случаях​​=B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)​​значение было отличным​Теперь пора найти корни​=МОПРЕД(массив)​:​«Данные»​​«Массив2»​​ кнопку​ корень имеется, то​

   ​ уравнений. Давайте узнаем,​

   ​ от первой строки​: =U3/$U$1. И т.д.​ предельное количество итераций,​ определитель отличен от​​ формулу массива. Это​​ К примеру, у​​ не всегда матричные​​После ввода формулы выделяем​

   

8. ​ от нуля. В​​ уравнения. Корень уравнения​​Таким образом, как и​​14​​. Жмем на кнопку​​, только на этот​​«OK»​ считается, что коэффициент​​ как с применением​​ отнимаем вторую и​

   

9. ​ Получим корни уравнений:​​ относительную погрешность. Поставить​​ нуля. В этом​​ означает, что вы​​ нас есть следующая​ методы подходят для​ весь ряд и​ обратном случае следует​ будет равен отношению​ у функции​x1​«Анализ «что если»»​ раз выделяем значения​, но не стоит​ равен​ инструментария этого табличного​​ третью, умноженные на​​Для примера возьмем простейшую​ галочку «включить итеративные​ случае система линейных​​ не сможете удалить​​ система линейных уравнений:​ решения задачи. В​ применяем сочетание клавиш​ переставить строки местами.​​ определителя соответствующей преобразованной​​МОБР​​+2​​. Эта кнопка размещена​ колонки​​ торопиться. Дело в​​1​

   

10. ​ процессора выполнить данную​ соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}).​ систему уравнений:​​ вычисления».​​ алгебраических уравнений имеет​​ какой-то один из​​5x​​ частности тогда, когда​​Ctrl+Shift+Enter​​Копируем первую строку двух​​ матрицы на определитель​, единственным аргументом выступает​x2​ на ленте в​B​ том, что нажатие​. Обозначаем полученную таблицу,​ задачу различными способами.​ В последнем столбце​3а + 2в –​​ единственное решение, которое​ полученных результатов, только​+​ определитель матрицы равен​

​.​​ соединенных матриц в​

Способ 2: подбор параметров

​ первичной таблицы. Таким​ ссылка на обрабатываемую​+8​ блоке инструментов​. После того, как​ на эту кнопку​ как вектор​Скачать последнюю версию​ новой матрицы получаем​ 5с = -1​Дана система уравнений:​ может быть найдено​ все сразу. Чтобы​

​1y​

1. ​ нулю. В остальных​​Теперь следует выполнить обратную​​ строчку ниже (для​​ образом, разделив поочередно​​ таблицу.​x4​​«Работа с данными»​​ вышеуказанные действия проведены,​

   ​ является равнозначным применению​

   ​A​​ Excel​​ корни уравнения.​2а – в​Значения элементов введем в​​ методом Крамера.​​ удалить все результаты,​​+​​ же случаях пользователь​

   

2. ​ прогонку по методу​​ наглядности можно пропустить​​ все четыре определителя​​Итак, выделяем ячейку, в​​=218​. Открывается выпадающий список.​ опять не спешим​​ команды​​.​Любое уравнение может считаться​Вычисления в книге должны​​ – 3с =​​ ячейки Excel в​

   

3. ​Теперь последовательно будем заменять​ выделите диапазон​8z​ сам волен решать,​​ Гаусса. Пропускаем три​​ одну строку). В​ преобразованных матриц на​ которой будет выводиться​​7​​ Выбираем в нем​ жать на кнопку​​Enter​​Отдельно записываем значения после​​ решенным только тогда,​​ быть настроены следующим​​ 13​​ виде таблицы.​ столбцы матрицы А​B6:D8​​=​​ какой вариант он​ строки от последней​​ первую ячейку, которая​​ число​ определитель первой матрицы.​x1​​ позицию​​«OK»​

   

4. ​. Но при работе​ знака «равно». Обозначаем​ когда будут отысканы​ образом:​а + 2в​Найдем обратную матрицу. Выделим​ на столбец свободных​​и нажмите клавишу​​46​

   

5. ​ считает более удобным​ записи. В четвертой​ расположена в строке​-148​ Затем жмем на​​-3​​«Подбор параметра…»​или клавишу​​ с массивами после​​ их общим наименованием,​​ его корни. В​​Делается это на вкладке​

​ – с =​ диапазон, куда впоследствии​ членов и вычислять​Delete​​4x​​ для себя.​

​ строке вводим формулу​​ ещё ниже предыдущей,​

Способ 3: метод Крамера

​, которое является определителем​ знакомую по предыдущим​x2​.​Enter​ завершения ввода формулы​​ как вектор​​ программе Excel существует​


​ «Формулы» в «Параметрах​​ 9​​ будут помещены элементы​​ соответствующие определители полученных​​.​​—​​Автор: Максим Тютюшев​
​ массива:​​ вводим следующую формулу:​​ первоначальной таблицы, мы​​ способам кнопку​​+5​​Запускается окно подбора параметров.​​, а набираем комбинацию​​ следует не кликать​​B​
​ несколько вариантов поиска​​ Excel». Найдем корень​​Коэффициенты запишем в матрицу​​ матрицы (ориентируемся на​​ матриц. Отношение определителей​​Используйте функцию​​2y​​Решим Систему Линейных Алгебраических​​=B17:E17/D17​
​=B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)​​ получим четыре корня.​​«Вставить функцию»​​x3​​ Как видим, оно​​ клавиш​​ по кнопке​​.​​ корней. Давайте рассмотрим​


1. ​ уравнения х –​ А. Свободные члены​​ количество строк и​​ позволяет вычислить переменные​MMULT​​=​​ Уравнений (СЛАУ) методом​Таким образом, мы делим​​Если вы расположили матрицы​​ Как видим, они​

   

2. ​.​+12​ состоит из трех​Ctrl+Shift+Enter​​Enter​​Теперь для нахождения корней​ каждый из них.​ х3 + 1​ – в матрицу​​ столбцов в исходной​​ х.​(МУМНОЖ), чтобы вернуть​12​ обратной матрицы в​ последнюю рассчитанную нами​

   

3. ​ по-другому, то и​ равны значениям​Активируется окно​x4​ полей. В поле​.​, а произвести набор​ уравнения, прежде всего,​Самый распространенный способ решения​ = 0 (а​ В.​ матрице). Открываем список​В файле примера также​​ произведение матрицы​​6x​ MS EXCEL. В​

   ​ строку на её​

   ​ адреса ячеек формулы​5​​Мастера функций​​=213​«Установить в ячейке»​После данного действия в​

   ​ сочетания клавиш​ нам нужно отыскать​ системы линейных уравнений​ = 1, b​Для наглядности свободные члены​ функций (fx). В​​ приведено решение системы​​A-1​

   

4. ​+​​ этой статье нет​​ же третий коэффициент.​​ у вас будут​​,​. Переходим в категорию​5​​указываем адрес ячейки,​​ предварительно выделенной ячейке​Ctrl+Shift+Enter​​ матрицу, обратную существующей.​​ инструментами Excel –​

   

5. ​ = 2) методом​​ выделим заливкой. Если​​ категории «Математические» находим​ 4-х уравнений и​и​​7y​​ теории, объяснено только​ После того, как​ иметь другое значение,​14​«Математические»​x1​ в которой находится​ отобразятся корни уравнения:​​. Выполняем эту операцию.​​ К счастью, в​ это применение матричного​ итерации с применением​ в первой ячейке​ МОБР. Аргумент –​ прямая проверка решения.​B​​+​​ как выполнить расчеты,​

   

6. ​ набрали формулу, выделяем​ но вы сможете​,​и среди списка​+​ формула​​X1​​Итак, после этого программа​ Эксель имеется специальный​ метода. Он заключается​

   

7. ​ циклических ссылок. Формула:​ матрицы А оказался​ массив ячеек с​

   

8. ​В программе Excel имеется​. Сперва выделите диапазон​4z​ используя MS EXCEL.​ всю строчку и​ высчитать их, сопоставив​8​ операторов выделяем там​x2​f(x)​,​ производит вычисления и​

   

9. ​ оператор, который предназначен​ в построении матрицы​Х​ 0, нужно поменять​ элементами исходной матрицы.​ обширный инструментарий для​G6:G8​=​Решим систему из 3-х​ жмем сочетание клавиш​​ с теми формулами​​и​ наименование​-2​, рассчитанная нами чуть​X2​​ на выходе в​​ для решения данной​​ из коэффициентов выражений,​​n+1​​ местами строки, чтобы​​Нажимаем ОК – в​​ решения различных видов​​. Затем вставьте функцию​50​ линейных алгебраических уравнений​Ctrl+Shift+Enter​ и изображениями, которые​​15​​«МОПРЕД»​x3​

Способ 4: метод Гаусса

​ ранее. В поле​,​ предварительно выделенной области​ задачи. Называется он​ а затем в​= X​


​ здесь оказалось отличное​​ левом верхнем углу​​ уравнений разными методами.​​MMULT​​В матричном представлении ее​​ с помощью обратной​​.​
​ приводятся здесь.​​. Таким образом, они​​. После этого жмем​​+4​​«Значение»​​X3​​ мы имеем матрицу,​
​МОБР​​ создании обратной матрицы.​​n​​ от 0 значение.​​ диапазона появляется значение.​​Рассмотрим на примерах некоторые​​(МУМНОЖ), которая показана​


1. ​ можно записать в​ матрицы (матричным методом). ​​Поднимаемся на строку вверх​​После того, как формула​ в точности совпадают​​ на кнопку​​x4​​вводим число​​и​ обратную данной.​. Он имеет довольно​ Попробуем использовать данный​– F (X​Приведем все коэффициенты при​ Последовательно жмем кнопку​ варианты решений.​ ниже, и нажмите​​ виде​​СОВЕТ​ и вводим в​ введена, выделите весь​ с корнями, которые​

   

2. ​«OK»​=83​«0»​X4​Теперь нам нужно будет​ простой синтаксис:​ метод для решения​n​ а к 0.​

   ​ F2 и сочетание​

   ​Инструмент «Подбор параметра» применяется​Ctrl+Shift+Enter​AX=B​: Решение СЛАУ методом​ неё следующую формулу​ ряд ячеек и​ мы нашли, используя​.​6​. В поле​

   ​. Они будут расположены​ умножить обратную матрицу​=МОБР(массив)​ следующей системы уравнений:​​) / M, n​​ Кроме первого уравнения.​ клавиш Ctrl +​ в ситуации, когда​.​.​ Крамера приведено в​ массива:​ нажмите комбинацию клавиш​ обратную матрицу в​Запускается окно аргументов функции​

   

3. ​x1​«Изменяя значения»​ последовательно. Таким образом,​ на матрицу​

   

4. ​Аргумент​14​ = 0, 1,​​ Скопируем значения в​​ Shift + Enter.​ известен результат, но​​=MMULT(B6:D8,G2:G4)​​5​

   

5. ​ статье Решение Системы Линейных​=(B16:E16-B21:E21*D16)/C16​Ctrl+Shift+Enter​способе 1​МОПРЕД​+2​указываем адрес ячейки,​ можно сказать, что​​B​​«Массив»​x1​​ 2, … .​​ первой строке двух​

   

6. ​Умножим обратную матрицу Ах-1х​ неизвестны аргументы. Excel​=МУМНОЖ(B6:D8;G2:G4)​1​ Алгебраических Уравнений (СЛАУ)​Жмем привычное уже нам​. К ряду будет​, что подтверждает правильность​. Как видим, оно​x2​ в которой расположено​ мы решили данную​

   ​, которая состоит из​

   ​— это, собственно,​+2​M – максимальное значение​​ матриц в ячейки​​ на матрицу В​

   

7. ​ подбирает значения до​Соедините результаты. Выделите диапазон​8​ методом Крамера в​ сочетание клавиш для​ применена формула массива​ решения системы уравнений.​

   ​ имеет только одно​

   ​+​ значение​ систему. Для того,​ одного столбца значений,​ адрес исходной таблицы.​x2​ производной по модулю.​ В6:Е6. В ячейку​​ (именно в таком​​ тех пор, пока​

   

8. ​G6:G8​x​ MS EXCEL.​ применения формулы массива.​

   ​ и он будет​

   ​Решить систему уравнений можно​ поле –​x3​

   

9. ​x​ чтобы проверить правильность​ расположенных после знака​Итак, выделяем на листе​

   ​+8​

   ​ Чтобы найти М,​ В7 введем формулу:​ порядке следования множителей!).​​ вычисление не даст​​. Вставьте обобщенную формулу​

   

10. ​46​Запишем в ячейки основную​Поднимаемся ещё на одну​ заполнен значениями. Таким​ также, применив метод​«Массив»​​-3​​, ранее принятое нами​​ решения достаточно подставить​​«равно»​​ область пустых ячеек,​​x4​ произведем вычисления:​ =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон​ Выделяем диапазон, где​ нужный итог.​​ (показана ниже) и​​При А=​​ матрицу системы и​​ строку выше. В​​ образом мы произвели​​ Гаусса. Для примера​

​. В это поле​x4​ за​ в исходную систему​в выражениях. Для​ которая по размеру​=218​f’ (1) = -2​ В7:Е7. Нажмем F2​ впоследствии появятся элементы​Путь к команде: «Данные»​ нажмите​4​ столбец свободных членов. ​ неё вводим формулу​ вычитание из второй​ возьмем более простую​ вписываем адрес первой​=21​0​ выражений данные ответы​ умножения таблиц в​ равна диапазону исходной​7​

​ * f’ (2)​

lumpics.ru

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом обратной матрицы в MS EXCEL

​ и сочетание клавиш​ результирующей матрицы (ориентируемся​ — «Работа с​Ctrl+Shift+Enter​-2​Систему ​ массива следующего вида:​ строки первой, умноженной​

​ систему уравнений из​ преобразованной матрицы. Для​Как и в первом​. После выполнения данных​

​ вместо соответствующих корней.​​ Экселе также имеется​ матрицы. Щелкаем по​x1​ = -11.​ Ctrl + Shift​ на число строк​

​ данными» — «Анализ​.​0​

​n ​​=(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15​​ на отношение первых​​ трех неизвестных:​​ этого устанавливаем курсор​ способе, составляем матрицу​ действий жмем на​ Если равенство будет​ отдельная функция, которая​ кнопке​-3​Полученное значение меньше 0.​ + Enter. Мы​ и столбцов матрицы​ «что-если»» — «Подбор​

​=MMULT(MINVERSE(B2:D4),G2:G4)​,​линейных алгебраических уравнений с ​

​Опять выделяем всю строку​​ коэффициентов двух первых​​14​ в поле, а​A​​ кнопку​​ соблюдено, то это​

​ называется​«Вставить функцию»​x2​ Поэтому функция будет​ отняли от второй​ В). Открываем диалоговое​

​ параметра».​​=МУМНОЖ(МОБР(B2:D4);G2:G4)​​X=​n​​ и применяем сочетание​​ выражений системы.​

​x1​ затем выделяем матричный​из коэффициентов уравнений​

excel2.ru

Система линейных уравнений в Excel

​«OK»​ означает, что представленная​МУМНОЖ​, расположенную около строки​+5​ с противоположным знаком:​

​ квадратного уравнения х2​ командой сайта office-guru.ru​,​​ методом только тогда,​​Ctrl+Shift+Enter​

​из значений, которые​​ вычисление с помощью​​Урок:​=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)​Мастера функций​​x4​​ – 1. М​​ первого уравнения.​​ Второй – матрица​ 2 = 0.​Перевела: Ольга Гелих​12​

1. ​ матрицы системы отличен​​Теперь смотрим на числа,​​ ниже.​x3​​. Данная функция выводит​​ стоят после знака​​ подбора параметра. Об​​Обратная матрица в Excel​​Выделяем диапазон, в нашем​​. Переходим в категорию​=213​​ = 11.​​Копируем введенную формулу на​

   ​ В.​
​ Порядок нахождения корня​

   

​Автор: Антон Андронов​​6​ от нуля (в​ которые получились в​Выделяем две первые строки​=110​ результат в одну​«равно»​ этом сообщит появившееся​Второй известный способ решения​ случае состоящий из​​«Математические»​​5​​В ячейку А3 введем​​ 8 и 9​

1. ​Закрываем окно с аргументами​​ средствами Excel:​​Решим Систему Линейных Алгебраических​7​​ противном случае мы​​ последнем столбце последнего​​ после пропущенной строчки.​​7​​ ячейку, а не​​.​​ информационное окно. В​​ системы уравнений в​ четырех ячеек. Далее​​. В представившемся списке​​x1​

   ​ значение: а =​
​ строки. Так мы​

   

2. ​ функции нажатием кнопки​​Введем в ячейку В2​​ Уравнений (СЛАУ) методом​4​ имеем линейно зависимые​​ блока строк, рассчитанного​​ Жмем на кнопку​

   ​x1​
​ массивом, поэтому для​

   

​Далее делаем ещё четыре​ нем следует нажать​
​ Экселе – это​
​ опять запускаем​

​ ищем наименование​

office-guru.ru

Решение Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Крамера в MS EXCEL

​+​ 1. Точность –​ избавились от коэффициентов​ ОК. Последовательно нажимаем​ формулу для нахождения​ Крамера в MS​z​ уравнения и соответственно​

​ нами ранее. Именно​«Копировать»​-3​ получения расчета не​ таблицы. Каждая из​ на кнопку​ применение метода подбора​Мастер функций​

​«МОБР»​x2​

​ три знака после​​ перед а. Сохранили​ кнопку F2 и​ значения функции. В​ EXCEL. В этой​50​ решение систем не​ эти числа (​

​, которая расположена на​x2​ нужно прибегать к​

​ них является копией​«OK»​

​ параметров. Суть данного​, нажав значок​. После того, как​-2​ запятой. Для расчета​ только первое уравнение.​ комбинацию Ctrl +​ качестве аргумента применим​ статье нет теории,​Если​

​ единственное). В нашем​4​ ленте во вкладке​+5​ нажатию комбинации клавиш​ матрицы​.​ метода заключается в​

​«Вставить функцию»​ оно отыскано, выделяем​x3​ текущего значения х​

excel2.ru

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

​Приведем к 0 коэффициенты​ Shift + Enter.​ ссылку на ячейку​ объяснено только как​

​А-1​ случае определитель =12.​

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

​,​«Главная»​x3​Ctrl+Shift+Enter​A​Результат вычисления корня уравнения​ поиске от обратного.​.​

​ его и жмем​+4​ в соседнюю ячейку​ перед в в​Получены корни уравнений.​

​ В1.​ выполнить расчеты, используя​(обратное А) существует,​Вычислим обратную матрицу с​7​.​

1. ​=32​.​, только у этих​ будет находиться в​ То есть, основываясь​В категории​
2. ​ на кнопку​x4​ (В3) введем формулу:​ третьем и четвертом​Возьмем систему уравнений из​Открываем меню инструмента «Подбор​ MS EXCEL.​ мы можем умножить​ помощью формулы массива​и​Пропускаем строку после последней​5​Функция производит подсчет результата​ копий поочередно один​
3. ​ той ячейке, которую​ на известном результате,​«Математические»​«OK»​=83​ =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).​

​ уравнении. Копируем строки​ предыдущего примера:​ параметра». В графе​Метод Крамера применяется для​ обе части на​ МОБР().​5​ записи на листе.​x1​ и выводит его​ столбец заменен на​

​ мы назначили в​

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

​ мы производим поиск​

1. ​, запустившегося​.​6​
2. ​В ячейке С3 проконтролируем​ 6 и 7​Для их решения методом​ «Установить в ячейку»​ решения систем линейных​А-1​Для этого выделите ячейки ​) будут являться корнями​ Выделяем первую ячейку​+​ в заранее выделенную​ таблицу​
3. ​ поле​ неизвестного аргумента. Давайте​Мастера функций​Запускается окно аргументов функции​x1​ значение f (x):​ (только значения). Переносим​
4. ​ Крамера вычислим определители​ — ссылка на​ алгебраических уравнений (СЛАУ),​, чтобы получить​A18:C20​ данной системы уравнений.​ в следующей строке.​x2​ ячейку. Как видим,​B​«Изменяя значения»​ для примера используем​, выделяем наименование​МОБР​+2​
5. ​ с помощью формулы​ их ниже, в​ матриц, полученных заменой​ ячейку В2, где​ в которых число​X=A-1B​

​, а в Строке​

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

​ Проверить это можно,​ Кликаем правой кнопкой​

​-2​ в нашем случае​. У первой таблицы​. В нашем случае,​ квадратное уравнение​«МУМНОЖ»​

​. Оно по числу​x2​ =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.​ строки 10 и​

​ одного столбца в​ находится формула. В​ неизвестных переменных равно​

​. Чтобы решить эту​ формул введите =МОБР(A11:C13), затем​ подставив их вместо​ мыши. В открывшемся​_​x3​​ определитель равен​

​ – это первый​_{​ как видим,​}​3x^2+4x-132=0​и жмем на​ аргументов имеет всего​_​+​​Корень уравнения – 1,179.​ 11. Эти данные​

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

​ матрице А на​ поле «Значение» вводим​

​ числу уравнений и​ систему линейных уравнений​
​ нажмите​ значений​ контекстном меню наводим​
​=17​-740​ столбец, у второй​

​x​Принимаем значение​ кнопку​ одно поле –​

​x3​ Введем в ячейку​ должны остаться неизменными.​ столбец-матрицу В.​ 0. Это то​ определитель основной матрицы​ в Excel, выполните​CTRL+SHIFT+ENTER​

1. ​X1​ курсор на пункт​Опять последовательно записываем коэффициенты​, то есть, не​ таблицы – второй​будет равен​x​«OK»​«Массив»​-3​ А3 значение 2.​ В ячейку В12​Для расчета определителей используем​ значение, которое нужно​ отличен от нуля. ​ следующие действия:​.​,​
2. ​«Специальная вставка»​ в таблицу​ является равным нулю,​ и т.д.​6​за равное​
3. ​.​. Тут нужно указать​x4​ Получим тот же​ вводим формулу массива.​ функцию МОПРЕД. Аргумент​ получить. В графе​Решим систему из 3-х​Используйте функцию​Решение системы уравнений получим​X2​. В запустившемся дополнительном​
4. ​A​ что нам подходит.​Теперь нам нужно высчитать​.​0​Активируется окно аргументов функции​ адрес нашей таблицы.​=21​ результат:​Прямую прогонку по методу​ – диапазон с​
5. ​ «Изменяя значение ячейки»​ уравнений.​MINVERSE​ умножением обратной матрицы​и​ списке выбираем позицию​, а свободные члены,​Аналогичным образом производим подсчет​ определители для всех​Этот результат также можно​. Высчитываем соответствующее для​МУМНОЖ​ Для этих целей​

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

​Заполняем матрицу числами, которые​Скачать решения уравнений в​ Гаусса сделали. В​

​ соответствующей матрицей.​ — В1. Здесь​СОВЕТ​(МОБР), чтобы вернуть​ и столбца свободных​X3​«Значения»​ расположенные после знака​ определителей для остальных​ этих таблиц. Система​

​ проверить, подставив данное​_{​ него значение​}​. В поле​_{​ устанавливаем курсор в​}​ являются коэффициентами уравнения.​_{​ Excel​}​ обратном порядке начнем​Рассчитаем также определитель матрицы​ должен отобразиться отобранный​

​: Решение СЛАУ методом​ обратную матрицу​ членов. Перемножить матрицы​в выражения.​

​.​«равно»​ трех таблиц.​

​ уравнений будет иметь​ значение в решаемое​f(x)​«Массив1»​ это поле. Затем​ Данные числа должны​Корень на заданном промежутке​

​ прогонять с последней​ А (массив –​ параметр.​ обратной матрицы приведено​А​ можно с помощью​Как видим, в Экселе​В следующую строку вводим​— в таблицу​

​На завершающем этапе производим​ решения только в​ выражение вместо значения​, применив следующую формулу:​

​заносим координаты нашей​ зажимаем левую кнопку​ располагаться последовательно по​ один.​ строки полученной матрицы.​

​ диапазон матрицы А).​После нажатия ОК отобразится​

​ в статье Решение​. Сначала выделите диапазон​

exceltable.com

​ формулы массива =МУМНОЖ().​

Решение систем уравнений с двумя
переменными с помощью надстройки Поиск решений

Пусть необходимо решить систему уравнений

Решение:

1.      
Создать
книгу в MS Excel
и назвать его решение систем уравнений

2.      
Лист1
назвать Решение систем уравнений

3.      
В
ячейке A1 ввести X=, в ячейке B1 ввести 0, в ячейке A2 ввести Y=, в ячейке B2 ввести 0

4.      
 Далее
в ячейке A3 вводим левую часть
первого уравнения =5*В1*В1+В2

5.      
В
ячейке A4 вводим левую часть
второго уравнения =В1+3*В2*В2

6.      
В
ячейке В3 вводим 30 — правая часть первого уравнения

7.      
В
ячейке В4 вводим 20 — правая часть второго уравнения

8.      
Добавляем
на вкладку Данные надстройку Поиск решений. Для этого В меню Файл – Параметры –
Надстройки нажимаем перейти

В
данном окне ставим флажок Поиск решений

9.      
Вызываем
диалоговое окно Параметры поиска решений

Параметр
«Оптимизировать целевую функцию»     ссылка на левую часть первого уравнения — $A$4

До
выбираем Значение  —  вводим правую часть первого уравнения – 30

Изменяя
ячейки переменных – выбираем значения переменных X
и Y — $B$1;$B$2

В
соответствии с ограничениями

Нажимаем
Добавить ссылку на левую часть второго уравнения – А5 знак выбираем равно = и
ограничение – 20 – правая часть второго уравнения

Когда
все параметры введены то нажимаем кнопку Найти решение.

Получили
решение

Решение СЛАУ в MS EXCEL

С системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) часто приходится сталкиваться не только в курсе математики. Их решение пригодится в других науках, например, физике или химии.

Систему из двух уравнений часто можно решить способом подстановки. Системы трех и более уравнений приходится решать другими способами. К ним относятся:

• метод обратной матрицы;
• метод Крамера;
• метод Гаусса.

В общем виде систему линейных уравнений можно представить в виде:
A⋅X=BAcdot X = B,

где AA – матрица коэффициентов;

XX – вектор-столбец неизвестных;

BB – вектор-столбец свободных коэффициентов.

Мы рассмотрим решение одной и той же простой системы уравнений первыми двумя способами, чтобы сравнить результаты. Если при решении разными способами ответы будут совпадать, значит СЛАУ решена верно.

Метод обратной матрицы

Метод обратной матрицы (матричный метод) используется для квадратных матрицы, чей определитель равен нулю.

Для того чтобы найти корни уравнения этим способом, в первую очередь находят обратную матрицу, которую перемножают на свободные коэффициенты. Рассмотрим, как это будет выглядеть в MS Excel.

Возьмем для примера матрицу (рис.1):

Рисунок 1

Запишем нашу систему уравнений в следующем виде (рис.2):

Рисунок 2

Скопируем матрицу коэффициентов и таблицу свободных коэффициентов в Excel (рис.3):

Рисунок 3

Для нахождения обратной матрицы выделяем нужные ячейки, в которых будет новая матрица, в строке формул пишем функцию «=мобр» и указываем в скобках массив матрицы, для которой мы и находим обратную матрицу. В нашем случае это будет «=мобр(C2:E4)». После этого нажимаем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter (рис.4):

Рисунок 4

После этого в каждой ячейке формула будет записана в фигурных скобках.

Для нахождения неизвестных необходимо перемножить обратную матрицу и свободные коэффициенты. Делается это так же, как и нахождение обратной матрицы: выделяем ячейки, куда будут записаны ответы, в строке формул записываем функцию «=мумнож», в скобках указываем массив матрицы и вектор свободных коэффициентов. В нашем случае это будет выглядеть «=мумнож(C7:E9;F2:F4)»:

Рисунок 5

Для тренировки можно скачать файл с данным примером и подставить другие значения. Таким же способом решают СЛАУ из 4, 5 и более уравнений.

Если тема осталась для вас непонятной, изучайте подробно матрицы и методы работы с ними в этой статье с пошаговым разбором.

Метод Крамера

Метод Крамера несколько отличается от предыдущего. Для этого нам нужно найти определитель основной матрицы, после чего в матрице коэффициентов каждый столбец заменить на вектор свободных коэффициентов и для полученных таблиц найти определитель. Рассмотрим наглядно это на рисунке 6:

Рисунок 6

Для каждой матрицы находим определитель с помощью функции «МОПРЕД». Корнями системы уравнений будут частные определителя основной и новых матриц (рис.7):

Рисунок 7

Такими простыми способами можно решать системы линейных квадратных уравнений.

Тест по теме «Решение СЛАУ в MS Excel»

Введение

Программный продукт MS Excel считается отличным инструментальным набором, позволяющим выполнять обработку и анализ больших информационным объёмов, а, помимо этого, осуществлять несложные вычислительные операции и даже решать системы уравнений. Основой великолепных достоинств приложения Excel может считаться использование сеточной совокупности ячеек, в которые могут быть записаны информационные данные в виде чисел, текста, и даже формул. Для начала работы следует выполнить запись информации в ячейки и её группировку в виде столбцов и строк. Далее имеется возможность исполнения различных вычислительных операций с данными, их сортировки и фильтрации, а также использования табличного формата данных и формирования профессиональных диаграмм.

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Способность выполнять решение системы уравнений может оказаться полезной не только пользователям, проходящим обучение в разных учебных заведениях, но и при решении многих практических задач. При этом, ещё далеко не всем пользователям персональных компьютеров известно, что в программе MS Excel имеется собственный набор методов для решения линейных уравнений. Каждое уравнение считается решённым лишь в том случае, когда станут известны его корни. Программа MS Excel обладает целым набором способов отыскания корней.

Наиболее известным способом решения системы линейных уравнений при помощи инструментов программы Excel является использование матричной методики. Она состоит в формировании матрицы, состоящей из коэффициентов выражений, а далее в переходе к обратной матрице. Покажем использование данного метода на примере решения приведённой ниже системы уравнений:

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

$14X_1 + 2X_2 + 8X_4 = 218$

$7X_1 — 3X_2 + 5X_3 +12X_4 = 213$

$5X_1 + X2 — 2X_3 + 4X_4 = 83$

$6X_1 + 2X_2 + X_3 — 3X_4 = 21$

Сначала надо заполнить матрицу числами, являющимися коэффициентами уравнения. Эти числа следует расположить в последовательном порядке, учитывая расположение всех корней, которым они соответствуют. Когда в каком-либо выражении одного из корней нет, тогда коэффициент приравнивается к нулю. Когда коэффициент не имеет обозначения в уравнении, а корень, соответствующий ему, есть, то тогда коэффициент принимается равным единице. Введём обозначение сформированной таблицы, как вектор А.

Далее следует отдельно записать величины, которые расположены за знаком «равно». Присвоим им общее наименование вектор В.

Затем, чтобы найти корни уравнения, следует определить матрицу, которая является обратной существующей. Для выполнения такой задачи в программе Excel предусмотрен специальный оператор, который именуется как МОБР. Его синтаксис достаточно прост:

=МОБР(массив).

В аргументе «массив» следует указать непосредственно адрес исходной таблицы.

То есть, необходимо выделить на листе область незаполненных ячеек, равную по размерам исходной матрице. Далее сделать щелчок указателем мыши по клавише «Вставить функцию», которая расположена рядом со строкой формул. По этому действию запускается Мастер функций. Затем нужно перейти в категорию «Математические». В выпадающем перечне следует выбрать необходимый нам «МОБР», выделить его и нажать «ОК».

После этого запуститься окно аргументов функции МОБР, в котором есть единственное поле, обозначенное как «Массив». Здесь следует задать адрес таблицы, установив курсор на это поле. Далее надо зажать левую клавишу мышки и выделить область листа, где расположена матрица. После этого информация о координатах матрицы автоматически запишется в поле окна. После завершения этой процедуры следует нажать комбинацию кнопок Ctrl+Shift+Enter. Программа Excel выполнит необходимые вычисления и выдаст, в предусмотрительно выделенную область, матрицу, являющуюся обратной к исходной.

Далее следует выполнить умножение обратной матрицы на матрицу, именуемую как В, состоящую из одного столбика значений, располагающихся за знаком «равно» в выражениях. Чтобы исполнить умножение таблиц в программе Excel предусмотрена специальная функция, обозначаемая как МУМНОЖ. Этот оператор записывается следующим образом:

=МУМНОЖ(Массив1;Массив2)

Затем необходимо выделить диапазон, который для данного примера состоит из четырёх ячеек, после чего нужно снова запустить Мастер функций, используя значок «Вставить функцию». В категории «Математические», запущенного Мастера функций, следует выделить имя «МУМНОЖ», после чего нажать клавишу «ОК».

Осуществляется активация окна аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» следует ввести координаты сформированной обратной матрицы. Эта операция выполняется аналогично, рассмотренному выше варианту. Точно также по аналогии с вышерассмотренным вариантом заносятся координаты в поле «Массив2», но в этом случае нужно выделить значения колонки В. По завершении всех этих процедур следует нажать клавишный набор Ctrl+Shift+Enter.

Итогом этой операции станет отображение в заранее назначенной ячейке корней уравнения, то есть, это $Х_1, Х_2, Х_3 и Х_4$. Они будут располагаться в последовательном порядке, то есть, поставленная задача полностью решена:

Для проверки правильности решения можно выполнить подстановку в исходную систему уравнений полученные ответы вместо переменных Х. В случае, когда равенство выполняется, можно уверено сказать, что заданная система уравнений решена правильно.

Известен и ещё один метод решения системы уравнений в программе Excel. Суть его заключается в использовании способа, основанного на подборе параметров, то есть, в выполнении поиска от обратного.