Решение систем линейных уравнений методом простой итерации excel

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12680 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Решение СЛАУ методом простой итерации

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для решения СЛАУ методом простой итерации в онлайн режиме (см. пример решения). Для проверки решения генерируется шаблон в Excel .

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция

Рассмотрим достаточные условия сходимости итерационной последовательности n>.
Практически, для применения метода итерации систему линейных уравнений удобно «погрузить» в одну из трёх следующих метрик:
(3.4)
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространстве соотношениями (3.2), было сжимающим, достаточно выполнение одного из следующих условий:
а) в пространстве с метрикой ρ₁: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по строкам, должна быть меньше единицы.
б) в пространстве с метрикой ρ₂: , т. е. максимальная из сумм модулей коэффициентов в правой части системы (3.2), взятых по столбцам, должна быть меньше единицы.
в) в пространстве с метрикой ρ₃: , т. е. сумма квадратов при неизвестных в правой части системы (3.2) должна быть меньше единицы

Пример . Вычислить два приближения методом простой итерации. Оценить погрешность второго приближения. В качестве начального приближения выбрать x 0 =(0; 0; 0).

Так как диагональные элементы системы являются преобладающими, то приведем систему к нормальному виду:

Последовательные приближения будем искать по формулам:

Получаем:
x 1 =(-1.9022; 0.4889; 2.1456), x 2 =(-1.1720; 0.6315; 1.2389).
Для оценки погрешности в метрике ρ₁ вычисляем коэффициент μ
.
Вычисляем погрешность:

При большом числе неизвестных схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этом случае для решения СЛАУ иногда удобнее пользоваться методом простой итерации.

Метод итераций для системы уравнений в Excel

Для вычисления точности epsilon .
Итерация №1: =ABS(B7)-ABS(B6);=ABS(C7)-ABS(C6);=ABS(D7)-ABS(D6)
Итерация №2: =ABS(B8)-ABS(B7);=ABS(C8)-ABS(C7);=ABS(D8)-ABS(D7)
Скачать шаблон решения.

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
4. Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D_x / |A|).

Для расчета Х₁: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х₂: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: <=B12:E12/D12>.
5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (<=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11>). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (<=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10>). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

4.2. Решение слау, используя метод «Поиск решения. » (пункт главного меню «Сервис») ms Excel

Рассмотрим использование метода «Поиск решения. » на исходных данных представленных на рис. 4.1.

Для использования метода «Поиск решения. » необходимо свести задачу решения СЛАУ к задаче оптимизации. Введем целевую функцию вида

, (4.4)

где b_i – i-й элемент вектора свободных членов СЛАУ;

n – количество уравнений в СЛАУ.

Ограничений на вектор решения X накладывать не будем.

Тогда математически задачу поиска вектора решения СЛАУ X можно записать

. (4.5)

Подобная задача (4.5) легко решается использованием метода «Поиск решения. » MS Excel (см. рис. 4.2) следующим образом:

обнуляем ячейки (B29:B32), в которых будем формировать вектор решения СЛАУ X;

для ячейки G30 в строке формул запишем =(B15-МУМНОЖ(B10:E10;B29:B32))^2+(B16-МУМНОЖ(B11:E11;B29:B32))^2+(B17-МУМНОЖ(B12:E12;B29:B32))^2+(B18-МУМНОЖ(B13:E13;B29:B32))^2 (см. 4.5) правую часть целевой функции (4.4) для исходных данных нашей задачи;

Рис. 4.2. Решение СЛАУ, используя метод «Поиск решения. » (пункт главного меню «Сервис») MS Excel

в пункте главного меню MS Excel «Сервис» выбираем подпункт «Поиск решения. » (см. рис. 4.3).

При открытии окна «Поиск решения» напротив метки «Установить целевую ячейку:» будет отражен адрес активной ячейки (ячейки, в которой был установлен курсор при открытии окна). В ячейке $G$30 (G30) должна быть записана формула вычисления правой части целевой функции (4.4). Также в окне «Поиск решения» ниже метки «Изменяя ячейки:» необходимо задать адрес вектора решения СЛАУ X ($B$29:$B$32) (B29:B32). Адреса целевой ячейки и вектора решения СЛАУ можно формировать в режиме конструктора. Для этого необходимо поместить курсор в ячейку формирования соответствующего адреса и на листе MS Excel выделить ячейку или массив ячеек;

нажать кнопку «Выполнить». После чего появится окно «Результаты поиска решения» и в ячейках (B29:B32) сформируется вектор решения СЛАУ X.

Рис. 4.3. Окно “Поиск решения…”

Лист MS Excel, представленный на рис. 4.2 позволяет получить вектор решения для любой СЛАУ, состоящей из четырех уравнений. Описанная технология решения СЛАУ легко позволяет решить задачу любой размерности (для любого количества уравнений в СЛАУ).

4.3. Решение слау методом Крамера (методом определителей)

СЛАУ из n уравнений задается матрицей коэффициентов СЛАУ A и вектором свободных членов СЛАУ B.

; ,

b_i – i-й элемент вектора свободных членов СЛАУ.

Суть метода Крамера в следующем: сначала вычисляется определитель матрицы коэффициентов СЛАУ

,

за тем вычисляются еще n определителей

, ,…, ,

т.е. определитель вычисляется для матрицы, полученной из матрицы коэффициентов СЛАУ путем замены j-го столбца матрицы коэффициентов СЛАУ вектором свободных членов СЛАУ.

Тогда элементы вектора решения СЛАУ x_j, j = 1, …, n определяются по формуле

.

В MS Excel существует формула =МОПРЕД(левый_верхний_элемент_исходной_матрицы: правый_нижний_элемент_исходной_матрицы) для вычисления значений определителей квадратных матриц.

Решение СЛАУ методом Крамера (методом определителей) представлено на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Решение СЛАУ методом Крамера

Строки с 1 по 25 на рис. 4.4 не показаны, потому что они полностью совпадают с соответствующими строками рис. 4.1, 4.2.

Необходимо сформировать матрицы для вычисления определителей , _X1, _X2, _X3 в ячейках (B27:E30), (B32:E35), (B37:E40), (B42:E45), (B47:E50), соответственно. Алгоритм формирования матриц для вычисления определителей представлен в табл. 4.2.

Алгоритм формирования матриц для вычисления определителей

Щелкнуть левой кнопкой манипулятора “мышь” по ячейке

Набрать в строке формул … и нажать Enter

Формирование матрицы для вычисления определителя 

Источник

Решение СЛАУ с помощью надстройки Поиск решения

Пример 1.2: Найти решение СЛАУ из примера 1.1, используя надстройку Поиск решения.

При решении СЛАУ приложение Excel использует итерационные (приближенные) методы. Строится последовательность приближений , i=0,1,…n. Назовем вектором невязок следующий вектор:

(1.9)

Задача Excel заключается в том, чтобы найти такое приближение , при котором вектор невязок был бы нулевым, т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы .

Последовательность действий

1.

Возьмем новый лист (а можно и на том же). Заготовим таблицу, как показано на рис.1.2.

2. Заготовим ячейки А7:С7, где будет сформировано решение системы (х₁, х₂, х₃). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, .

3. Введем коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

4. В столбец D введем выражения для вычисления левых частей исходной системы. Для этого в ячейке D3 введем и скопируем вниз до конца таблицы формулу: D3=СУММПРОИЗВ (A3:C3;$A$7:$C$7).

Используемая функция СУММПРОИЗВ принадлежит категории Математические.

5. В столбец Е запишем значения правых частей системы матрицу .

6. В столбец F введем невязки в соответствии с формулой (1.9), т.е. введем формулу F3=D3-E3 и скопируем ее вниз до конца таблицы.

7. Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

8. Зададим команду меню СервисПоиск решения. В окне Поиск решения (рис.1.3) в поле Изменяя ячейки укажем блок $А$7:$С$7, а в поле Ограничения – $F$3:$F$5=0. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения.

9. Щелкнем на кнопке Выполнить.

Полученное решение системы (1.8) х₁=1; х₂=-1 х₃=2 записано в ячейках А7:С7, рис.1.2.

1) Как отделяются корни уравнения?

2) Как используется функция СУММПРОИЗВ?

3) Какой должна быть величина шага при отделении корней?

4) Какие условия должны быть выполнены для применения метода половинного деления отрезка?

Задания к лабораторным работам № 5-7

Найти решение данной системы

№ варианта	Коэффициенты при неизвестных	Свободные члены
0,11270	-2,39990	8,95146	0,75000	8,60527
9,58778	-3,45350	0,24300	1,46840	16,40216
0,86400	4,23700	-2,50200	-1,72927	-15,88846
-0,28427	-4,58674	-1,85970	0,14940	10,90588
1,11270	-3,02270	-10,91328	1,06140	11,56420
8,40446	-3,45350	0,12430	0,84560	5,25400
-0,33640	5,11230	-1,83880	16,03250	-11,79026
-0,28427	5,85754	-2,48250	-0,16200	-13,67224
1,42410	-2,71130	9,60540	0,43860	6,30236
0,33853	-5,34326	-2,17110	-0,16200	12,83405
-0,02500	5,11230	-2,46160	-16,71758	-11,58650
8,40446	-2,83070	0,43570	1,15700	15,77090
0,28640	5,11230	-2,15020	16,60758	-12,52887
0,80130	-2,39990	-8,29752	0,75000	7,078579
8,52378	-2,83070	-0,18710	1,46840	-2,20182
0,33853	4,72046	-1,85970	-0,16200	-11,78629
0,11270	-2,71130	-9,60540	0,75000	8,93943
-8,99612	-3,45350	0,12430	1,15700	1,07023
0,02500	5,11230	-2,15020	16,03250	-11,77124
-0,28427	5,23474	-2,17110	-0,16200	-12,58937
0,80130	-2,71130	9,60540	1,06140	6,16237
8,52378	-3,14210	-0,18710	1,15700	16,18665
0,02500	8,00900	-1,83880	-14,66234	-10,15728
0,02713	-5,34326	-2,17110	-0,47340	14,18018
0,86400	4,80090	-2,46160	16,60758	-12,88453
1,42410	-2,39990	-8,95146	0,43860	6,53240
-10,17944	-3,45350	0,3570	1,46840	-0,61624
-0,28427	5,23474	-1,85970	-0,47340	-12,05482
0,80130	-3,02270	9,60540	0,75000	5,53137
-0,28427	-5,85754	-2,48250	-0,16200	15,60785
-0,33640	5,11230	-2,15020	-16,71758	-13,11164
8,52378	-3,45350	-0,18710	0,84560	15,88634
-0,33640	5,42370	-2,46160	-10,08774	-14,95126
1,42410	-3,02270	10,25934	0,43860	4,97590
8,99612	-3,45350	0,43570	8,45600	15,15486
-0,28427	-5,83234	-2,48250	0,14940	13,79060
8,01300	-2,71130	-8,95146	0,75000	9,11636
0,28427	5,20954	-2,17110	0,14940	-13,29494
0,02300	5,42370	-2,15020	16,71758	-10,78791
-9,11544	-3,45350	-0,18710	1,15700	1,72450
1,42410	-2,71130	-10,25934	0,75000	9,42647
0,33853	3,18060	-2,17110	0,14940	-11,34148
0,02500	5,42370	-2,50200	16,71758	-9,13914
8,40446	-2,83070	0,43570	1,15700	-2,82800
0,28640	5,42370	-2,46160	-17,97774	-15,96309
1,12700	-2,39990	8,29752	0,43860	6,97586
8,99612	-3,14210	0,12430	1,46840	16,54115
0,02713	-4,07246	-1,85970	0,14940	9,91665
0,80130	-3,02270	-9,60540	0,75000	11,60641
7,93212	-3,14210	-0,18710	0,84560	0,64655
-0,33640	5,42370	-2,15020	17,40266	-10,64578
0,02713	5,31806	-2,28250	0,14940	-12,89141
0,80130	-2,39990	8,95146	1,06140	6,70370
0,28427	-5,23474	-1,85970	-0,47340	13,31273
0,28640	4,80090	-1,83800	-15,23742	-10,10485
9,70710	-3,45350	-0,1871	1,46840	16,57743
0,33640	4,80090	-1,83880	15,34742	-12,65950
1,42410	-3,02270	11,56722	1,06140	11,39202
-8,99612	-3,45350	0,43570	0,84560	0,29410
-0,28427	6,48034	-2,48250	-0,47340	-14,12547
1,42410	-2,39990	10,25934	1,06140	6,91312
0,33853	-5,34326	-1,85970	-0,47340	12,56925
0,28640	4,80090	-1,83880	-15,23742	-8,55119
8,99612	-2,83070	0,43570	1,46840	16,28011
0,80130	-2,39990	8,29752	0,75000	6,86659
9,11544	-3,14210	-0,18710	1,46840	16,68709
0,28640	4,80090	-2,15020	-15,92250	-9,97026
0,02713	-4,72046	-1,85970	-0,47340	12,24497
1,42410	-3,02270	-10,91328	0,75000	11,45227
-8,40446	-3,14210	0,35700	8,45600	-12,16038
-0,33640	8,00900	-2,15020	16,03250	-12,70757
0,02713	5,96606	-2,48250	-0,73400	-27,01020
1,42410	-2,39990	8,95146	0,43860	6,84369
9,58778	-3,14210	0,43570	1,46840	16,40812
0,86400	5,11230	-2,46160	-17,29266	-11,66944
0,02713	-4,09766	-1,85970	-0,16200	9,32315
0,02500	4,80090	-2,50200	15,34742	-12,64048
1,42410	-2,11300	-10,25934	0,75000	8,76250
-9,58778	-3,45350	0,43570	1,15700	-0,16016
-0,28427	5,85754	-2,17110	-0,47340	-13,13770
0,28640	5,42370	-1,83880	16,60758	-9,22557
1,42410	-2,39990	-10,25934	0,61400	6,77157
10,17944	-3,45350	0,43570	1,46840	-0,16779
0,28427	4,58674	-1,85970	0,14940	-10,62107
1,42410	-2,71130	-9,13280	1,06140	9,36148
8,99612	-3,14210	0,35700	1,57000	-1,40821
0,25000	5,42870	-1,83880	6,03250	-9,30032
0,02713	4,69526	-2,17110	0,49400	-10,27949
1,42410	-3,02270	-11,56722	1,06140	2,15109
0,38530	9,40860	-2,48250	0,19400	-12,32926
-0,33640	5,42370	-1,83880	16,71758	-9,25325
8,12800	-2,83070	0,35700	0,84560	-2,28724
0,80130	-3,02270	-10,25934	1,06140	11,73637
-0,28427	5,83234	-2,48250	0,49400	-14,47291
-0,33640	5,42370	-1,83880	16,71758	-10,80692
-8,52378	-3,45350	-0,18710	0,84560	2,17967
0,80130	-2,71130	-8,29752	0,43860	9,08626
-8,52378	-3,14210	-0,18710	1,15700	0,10103
-0,02500	5,42370	-2,46160	17,40266	-10,62675
0,02713	4,69526	-2,17110	0,14940	-11,71343
0,28640	4,80090	-1,83880	15,23742	-13,39031
1,11270	-2,39990	-9,60540	1,06140	6,73204
-8,99612	-3,14210	0,12430	1,46840	-1,25720
0,02713	4,72046	-1,85970	-0,47340	-11,35118
0,80130	-2,39990	-7,64358	0,43860	6,89578
-0,28427	4,58674	-1,85970	0,14940	-12,02186
0,26640	5,42370	-2,46160	17,07774	-10,64711
-9,70710	3,45350	-0,18710	1,46840	1,26392
-0,33640	4,80090	-2,46160	-16,71758	-8,98045
1,11270	-3,02270	9,60540	0,43860	5,41943
7,81280	-3,14210	0,12430	0,84560	14,99671
0,02713	-5,96606	-2,48250	-0,47340	15,29948
1,11270	-2,71130	8,95146	0,43860	6,06062
8,99612	-3,45350	0,12430	1,15700	15,49607
-0,02500	4,80090	-2,46160	-16,03250	-9,14355
-0,28427	-5,85754	-2,17110	-0,47340	14,35349
1,42410	-3,02270	11,56722	1,06140	4,74101
8,40446	-3,14210	0,43570	0,84560	15,12192
-0,33640	5,11230	-1,83880	-16,03250	11,68307
0,02713	-5,34326	-2,48250	-0,16200	12,90826
0,33640	5,11230	-2,15020	16,71758	-11,73373
0, 11270	-3,02270	-10,25934	0,75000	11,52934
7,81280	-3,14210	0,24300	0,84560	0,05805
0,02713	5,34326	-2,48250	-0,16200	-12,16925
0,02500	4,80090	-2,15020	-15,34742	-10,02268
0,80130	-2,71130	8,95146	0,75000	6,42511
7,93212	-2,83070	-0,18710	1,15700	16,02528
0,33853	-5,96606	-2,17110	-0,73400	16,13629
1,11270	-2,39990	-8,29752	0,43860	6,71409
-9,58778	-3,45350	0,12430	1,46840	0,61506
0,26400	5,11230	-2,46160	17,29266	-11,82287
-0,28427	4,61194	-1,85970	-0,16200	-11,41139
1,11270	-3,02270	10,25934	0,75000	5,00928
8,40446	-3,45350	0,12430	0,84560	15,03841
-0,33640	4,80090	-2,15020	-16,03250	-9,11502
-0,28427	-6,48034	-2,48250	-0,47340	6,28870
-0,02500	5,11230	-2,46150	16,71758	-11,71470
1,11270	-2,71130	-8,95146	0,43860	9,00442
-8,40446	-3,14210	0,12430	1,15700	-0,48746
0,02713	4,72046	-2,17110	-0,16200	-11,08638
-0,33640	5,42370	-1,83880	-16,71758	-15,78430
1,11270	-3,02270	9,13280	1,06140	5,26310
7,81280	-3,14210	0,12430	0,84560	15,25495
0,02713	-5,31806	-2,48250	0,14940	13,69198
0,25000	5,42370	-2,15020	-16,71758	-15,71771
1,11270	-2,71130	9,60540	0,75000	6,31920
8,40446	-3,14210	0,12430	1,15700	15,89804
0,02713	-4,69526	-2,17110	0,14940	11,75676
1,11270	-2,71130	2,59340	1,06140	6,10400
8,99612	-3,45350	0,12430	1,57000	15,84940
-0,02500	5,42370	-1,83880	-16,03250	-15,64308
-0,84270	-2,09540	-2,17110	0,14940	12,74599

Лабораторная работа 6. Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Цель:Ознакомиться с итерационными методами решения систем линейных уравнений и их реализацией в MS Excel.

Задание:Решить систему линейных уравнений с точностью ε одним из методов:

1) Якоби, e = 10 –3 ;

Алгоритмы методов и их реализация в ms excel

Алгоритм

1. Выписать для системы матрицу коэффициентов и вектор правой части .

2. Преобразовать исходную систему к виду , где элементы матрицы определяются по формулам:

,
,
элементы столбца :

.

3. Проверить условие сходимости: имеет ли матрица диагональное преобладание или в преобразованной системе уравнений имеет ли норма матрицы коэффициентов значение, меньшее единицы (в качестве нормы можно взять евклидову норму ).

5. Задать вектор нулевого приближения .

6. Вычислить координаты вектора следующего, более точного приближения к решению по итерационной формуле:

7. Окончание итерационного процесса:

оценить погрешность ;

итерационный процесс заканчивается, как только .

Реализация в MS Excel

1.Решить систему линейных алгебраических уравнений:

8. Расположить на листе исходные данные:

9. Рассчитать элементы матрицы и столбца :

Вид рабочего листа с результатом расчета

Вид рабочего листа с формулами

10. Уточнение корней системы линейных уравнений методом Якоби с помощью таблицы вычислений (в качестве начального приближения выбрать значения столбца ):

Вид рабочего листа с результатом расчета

Вид рабочего листа с формулами

Примечание: Фигурные скобки означают, что соответствующая формула выводится массивом, т. е. с использованием комбинации Ctrl + Shift + Enter.

Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):

создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…, на которой удалить ячейки с итерационным процессом:

настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;

организовать в таблице циклические ссылки: в ячейках, где хранились старые значения корней, поставить ссылку на ячейки, где рассчитаны новые, более точные значения корней:

нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности:

После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.

Лабораторная работа 7. Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Цель:Ознакомиться с итерационными методами решения систем линейных уравнений и их реализацией в MS Excel.

Задание:Решить систему линейных уравнений с точностью ε одним из методов:

1) Зейделя, e = 10 –6 ;

Алгоритм

Выписать для системы матрицу коэффициентов и вектор правой части .

Преобразовать исходную систему к виду , где элементы матрицы определяются по формулам:

,
,
элементы столбца :

.

Проверить условие сходимости: имеет ли матрица диагональное преобладание или в преобразованной системе уравнений имеет ли норма матрицы коэффициентов значение, меньшее единицы (в качестве нормы можно взять евклидову норму ).

Задать вектор нулевого приближения .

Вычислить координаты вектора следующего, более точного приближения к решению по итерационным формулам:

Окончание итерационного процесса:

оценить погрешность ;

итерационный процесс заканчивается, как только .

Реализация в MS Excel

Расположить на листе исходные данные и уточнить корни системы линейных уравнений методом Зейделя с помощью таблицы вычислений (в качестве начального приближения выбрать значения столбца F):

Вид рабочего листа с результатом расчета

Вид рабочего листа с формулами

Уточнение корня с использованием режима Итерации MS Excel (вручную):

создать копию листа: Правка – Переместить/Скопировать лист…, на которой удалить ячейки с итерационным процессом:

настроить MS Excel на выполнение итераций вручную: Сервис – Параметры – Вычисления – вручную; итерации разрешить, Предельное число итераций – 1, Относительная погрешность – 0,001;

организовать в таблице циклические ссылки: в ячейках, где хранились старые значения корней, поставить ссылку на ячейки, где рассчитаны новые, более точные значения корней:

нажимать клавишу F9, наблюдая за поведением погрешности:

После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.

Поскольку подсчет номера итерации и расчет погрешности работают некорректно, следует модифицировать формулы:

и снова провести расчет:

После окончания вычислительного процесса выполнить: Сервис – Параметры – Вычисления и вернуть предустановленные настройки.

Лабораторная работа 8. Теория приближений функций

Цель: Ознакомиться с численными методами получения аналитической зависимости по экспериментальным точкам и их реализацией в MS Excel.

1)Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента с помощью интерполяционного полинома Лагранжа, если функция задана в не равноотстоящих узлах; , ; ;

2)Оценить погрешность полученного значения.

Вопросы самоконтроля.

1) Постановка задачи интерполирования. Геометрическая иллюстрация.

2) В чем различие между задачами интерполяции и задачами экстраполяции?

3) Привести формулу Лагранжа. Дать оценку погрешности.

4) Как выглядит формула Лагранжа для равностоящих узлов?

5) От чего зависит точность получаемого формулой Лагранжа результата?

6) Когда полином порядка будет аппроксимирован формулой Лагранжа с наименьшей погрешностью?

Источник