Решение оптимизационных задач с помощью excel - Word и Excel

во втором поле выбрать оператор ограничения (>, Поиск решения).

Найденные решения (значения изменяемых ячеек) можно сохранить в качестве сценария. Для этого нужно:

В диалоговом окне Результаты поиска решения выбрать Сохранить сценарий.
В поле Название сценария ввести имя сценария. Просмотреть сценарии можно с помощью команды Данные > Работа с данными > Анализ что-если > Диспетчер сценариев > Сценарии.

С помощью программы Поиск решения можно создать три типа отчетов по результатам, полученным при успешном завершении процедуры решения.

Каждый отчет создается на отдельном листе текущей рабочей книги.

Для создания отчета надо в диалоговом окне Результаты поиска решения выбрать нужный тип отчета в поле Тип отчета. Можно выбрать сразу несколько типов (при выделении нескольких строк используется клавиша ).

Результаты – отчет содержит целевую ячейку, список изменяемых ячеек, их исходные и конечные значения, ограничения и сведения о них.
Устойчивость – отчет содержит сведения о степени зависимости модели от изменений величин, входящих в формулы, применяемые в задаче (формулы модели и формулы ограничений).
Пределы – выводится целевая ячейка и ее значение, а также список изменяемых ячеек, их значений, нижних и верхних пределов и целевых результатов.

Рассмотрим применение процессора Excel для решения ЗЛП на примерах.

Задача 1. Планирование производства

Модель линейного программирования дает возможность определить наиболее выгодную производственную программу выпуска нескольких видов продукции при заданных ограничениях на ресурсы.

МП выпускает товары х₁,х₂,х₃,х₄, получая от реализации каждого прибыль в 60,70,120,130 руб. соответственно. Затраты на производство приведены в таблице.

Затраты	х₁	х₂	x₃	х₄	Всего
Трудовые	1	1	1	1	16
Сырьевые	6	5	4	1	110
Финансы	4	6	10	13	100

Максимум прибыли в зависимости от оптимального распределения затрат.
Минимум ресурсов, необходимых для получения максимальной прибыли.

Решение задачи средствами Excel состоит из 4 этапов:

Создание математической модели задачи ЛП.
Создание формы для ввода условий задачи, ввод в неё исходных данных и зависимостей из математической модели.
Ввод данных из формы в окно Excel Поиск решения из меню Данные.
Задание параметров поиска и решение задачи.

Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

— целевая функция прибыли.

— граничные условия модели, так как количество производимых товаров не может быть отрицательной величиной.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее первого рабочего листа на Задача о производстве.

Создание формы

Составление формы в виде:

A	B	C	D	E	F	G	H
1	Переменная	х₇	х₂	x₃	х₄	Формула	Знак	Св.член
2	Значение
3	Коэф. ЦФ	60	70	120	130	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В3:Е3)	Max
4	Трудовые	1	1	1	1	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В4:Е4)		16
5	Сырьевые	6	5	4	1	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В5:Е5)		110
6	Финансы	4	6	10	13	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В6:Е6)		100

Запись в ячейки В3:Е3 коэффициентов целевой функции F (1), в В4:Е6 коэффициентов из системы ограничений (2) и в ячейки Н4:Н6 – свободных членов из системы (2).
Ввод формул с помощью f_x – Мастера функций.

Для ввода формулы в целевую ячейку (целевой функции): щелкнуть левой клавишей мыши по ячейке F3 , затем по значку Мастера функций f_x на панели инструментов, в появившемся окне «Мастер функций, Шаг 1» выбрать категорию «Математические», далее выбрать функцию СУММПРОИЗВ, нажать клавишу ОК, в окне «Мастер функций Шаг 2» в поле Массив 1 ввести с клавиатуры В2:Е2 (ячейки, в которых будут варьироваться х₁..х₄), в поле Массив 2 ввести В3:Е3 (коэффициенты целевой функции ЦФ).

Примечание. Можно вводить В2:Е2 не с клавиатуры, а поставить курсор в окно Массив 1, а затем протащить курсор при нажатой левой клавише мыши по ячейкам В2:Е2, имена ячеек сами запишутся в окно. Аналогично поступить с полем Массив 2.

Нажать клавишу ОК, в ячейку F3 запишется формула 60х₁+70х₂+120х₃+ 130х₄ в виде СУММПРОИЗВ(В2:Е2;В3:Е3).

Чтобы не вводить формулы в другие ячейки, необходимо изменить тип адресации для ячеек В2:Е2 с относительной на абсолютную $B$2:$E$2 , установив курсор перед нужным адресом B2 и нажав функциональную клавишу F4 , затем повторить эти действия для адреса E2 . Формула примет следующий вид:

После внесенных изменений необходимо скопировать формулу в ячейки F4:F6 c помощью маркера заполнения. Для этого необходимо выделить ячейку F3 , содержащую нужную формулу, установить указатель мыши на черный квадратик в правом нижнем углу ячейки (он примет форму черного крестика) и протащить с помощью левой кнопки мыши на весь требуемый диапазон.

В результате копирования мы увидим следующие формулы:

в ячейке F4 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В4:Е4),
в ячейке F5 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В5:Е5),
в ячейке F6 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В6:Е6).

Заполнение окна Поиск решения

Выбрать в пункте меню Данные команду Поиск решения, поставить курсор в поле целевой функции, выделить ячейку F3 в форме (или ввести F3 с клавиатуры), поставить переключатель в положение «Максимальному значению» (см. рис. 12.1 рис. 12.1). В поле «Изменяя ячейки» ввести $В$2:$Е$2(с клавиатуры или протащив мышью).

Нажать клавишу «Добавить», в окне «Добавление ограничения» в поле «Ссылка на ячейку» ввести F4 , выбрать через «стрелка вниз» знак ««, в поле справа ввести Н4 (рис. 12. рис. 12.2).

Аналогично через «Добавить» ввести , для системы ограничений (2), а также , , и .

Также необходимо добавить ограничения для получения целочисленных величин по количеству товаров: B2=цел, C2=цел, D2=цел и Е2=цел.

После ввода последнего граничного условия вместо «Добавить» нажать клавишу ОК, появится окно «Поиск решения».

Для изменения или удаления ограничений и граничных условий используются клавиши Изменить, Удалить.

Параметры поиска

В окне «Поиск решения» нажать клавишу «Параметры», выбрать по умолчанию Максимальное время – 100 с, число итераций – 100 (для большинства задач это количество просчётов подходит с большим запасом), установить флажок в строке «Линейная модель», нажать ОК, в появившемся окне Поиск Решения нажать Выполнить (рис. 12. рис. 12.3).

Результаты поиска решения с таблицей результатов:

A	B	C	D	E	F	G	H
1	Переменная	X1	X₂	X₃	X₄	Формула	Знак	Св.член
2	Значение	10	0	6	0
3	Коэф. ЦФ	60	70	120	130	1320	Max
4	Трудовые	1	1	1	1	16		16
5	Сырьевые	6	5	4	1	84		110
6	Финансы	4	6	10	13	100		100

Таким образом оптимальный план Х(Х₁,Х₂,Х₃,Х₄)=(10,0,6,0) при минимальном использовании ресурсов

Трудовые – 16 (У₁)
Сырьевые – 84 (У₂)
Финансы – 100 (У₃)

даёт максимум прибыли F в 1320 руб.

_Вывод: Максимальная прибыль F в 1320 руб. получается при выпуске только товаров Х₁ и Х₃ в количестве 10 и 6 штук соответственно, товары Х₃ и Х₄ выпускать не нужно (это приведёт к снижению прибыли). Трудовые (У₁) и финансовые (У₃) ресурсы используются полностью, по сырьевым ресурсам (У₂) есть запас в 110-84=26 ед.

Кроме того, это означает, что изменение трудовых ( y₁ ) и финансовых ( y₃ ) ресурсов приведёт к изменению прибыли F , а изменение сырьевых ресурсов ( y₂ ) – нет.

Разности между плановыми ресурсами и использованными являются двойственными переменными y₁, y₂ и y₃ сопряжённой задачи линейного программирования. В данном случае y₁=y₃=0 , а y₂=26 ед. Таким образом, ресурс y₂ можно уменьшить на 26 ед., тогда план по сырью тоже будет оптимальным.

Задача 2. Задача об оптимальной диете

Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Ведем в рассмотрение следующие переменные: х – весовое количество продукта питания i-го типа в суточном рационе.

Тогда в общем случае математическая постановка задачи об оптимальной диете может быть сформулирована следующим образом:

где множество допустимых альтернатив формируется следующей системой ограничений типа неравенств:

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи.

Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград ( n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы ( m = 3).

Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая:с₁ = 2060,с₂= 2430,с₃= 3600,с₄= 890,с₅= 140,с₆= 230, с₇ = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме нижеприведенной таблицы.

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 100, в жирах b ₂= 70, в углеводах b3 = 400.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее второго рабочего листа на Задача о диете.

Таблица 1. Содержание питательных веществ в продуктах питания

Продукты/питательные вещества	Хлеб ржаной	Мясо баранина	Сыр «Российский»	Банан	Огурцы	Помидоры	Виноград
Белки	61	220	230	15	8	11	6
Жиры	12	172	290	1	1	2	2
Углеводы	420	0	0	212	26	38	155

Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

– целевая функция (суммарная калорийность продуктов).

– граничные условия

Создание формы

Для решения поставленной задачи выполним следующие подготовительные действия:

Внесем необходимые надписи в ячейки A1:I1, A2:A7, B4, I4, J4 .
В ячейки ВЗ:НЗ введем значения коэффициентов целевой функции: с₁ = 2060, с₂ = 2430, с₃ = 3600, с₄ = 890, с₅ = 140, с₆ = 230, с₇ = 650.
В ячейку I2 введем формулу: =СУММПРОИЗВ( b ₂:Н2;B3:H3), которая представляет целевую функцию (4).
В ячейки В5:Н7 введем значения коэффициентов ограничений, взятых из таблицы.

В ячейки J5 :J7 введем значения правых частей ограничений, соответствующих минимальной суточной потребности в питательных веществах: в белках b ₁=100 , жирах b ₂= 70 и углеводах b3 = 400.
В ячейку I5 введем формулу: =СУММПРОИЗВ($B$2:$H$2;В5:Н5), которая представляет левую часть первого ограничения (5).
Скопируем формулу, введенную в ячейку I5 , в ячейки I6 и I7 .
Внешний вид рабочего листа MS Office Excel с исходными данными для решения задачи об оптимальном рационе питания имеет следующий вид (pиc. 12.4).

Для отображения формул в ячейках рабочего листа необходимо выполнить команду меню: Формулы и на панели инструментов в группе Зависимости формул выбрать Показать формулы.

Заполнение окна Поиск решения

Для дальнейшего решения задачи следует вызвать мастер поиска решения, для чего необходимо выполнить операцию: Данные > Поиск решения.

После появления диалогового окна Поиск решения следует выполнить следующие действия:

В поле с именем Установить целевую ячейку: ввести абсолютный адрес ячейки $I$2 .
Для группы Равной: выбрать вариант поиска решения – минимальному значению.
В поле с именем Изменяя ячейки: ввести абсолютный адрес ячеек $B$2:$H$2 .
Добавить 3 ограничения, представляющие минимальные суточные потребности в питательных веществах. С этой целью выполнить следующие действия:
- для задания первого ограничения в исходном диалоговом окне Поиск решения нажать кнопку с надписью Добавить (рис. 12.5 рис. 12.5, а);
- в появившемся дополнительном окне выбрать ячейку $I$5 , которая должна отобразиться в поле с именем Ссылка на ячейку;
- в качестве знака ограничения из выпадающего списка выбрать нестрогое неравенство » «;
- в качестве значения правой части ограничения выбрать ячейку $J$5 ;
- для добавления первого ограничения в дополнительном окне нажать кнопку с надписью Добавить;
- аналогичным образом задать оставшиеся два ограничения (рис. 12.5 рис. 12.5, б).

Параметры

В окне «Поиск решения» нажать клавишу «Параметры», выбрать «Поиск решения Линейных задач симплекс-методом», нажать ОК, затем нажать Найти Решение (рис. 12.6 рис. 12.6, б).

После задания ограничений и целевой функции можно приступить к поиску численного решения, для чего следует нажать кнопку Выполнить. После выполнения расчетов программой MS Excel будет получено количественное решение, которое имеет вид, представленный на рис. 12. рис. 12.7.

Результатом решения задачи об оптимальной диете являются найденные оптимальные значения переменных: х₁ = 0, х₂ = 0,211, 3 = 0,109, х₄= 1,887, х₅ = 0, х₆ = 0, х₇ = 0, которым соответствует значение целевой функции: f_опт= 2587,140. При выполнении расчетов для ячеек В2:I2 был выбран числовой формат с 3 знаками после запятой.

Анализ найденного решения показывает, что для удовлетворения суточной потребности в питательных веществах (белки, жиры, углеводы) следует использовать 211 г мяса баранины, 109 г сыра и 1887 г бананов, совсем отказавшись от хлеба, огурцов, помидоров и винограда. При этом общая калорийность найденной оптимальной диеты будет приближенно равна 2590 ккал, что вполне соответствует малоактивному образу жизни без серьезных физических нагрузок. Напомним, что согласно медицинским данным, энергетические затраты работников интеллектуального труда (юристы, бухгалтера, врачи, педагоги) лежат в пределах 3000 ккал.

ЗАДАНИЕ

Составить математическую модель задачи линейного программирования.
Решить задачу линейного программирования в Excel с помощью Поиска решения.
Сохранить в виде модели установочные параметры.

Предприятие легкой промышленности выпускает две модели машин, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 80 изделий, второй линии – 85 изделий. На машину первой модели расходуются 12 однотипных элементов электронных схем, на машину второй модели – 6 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одной машины первой и второй моделей равна $30 и $40 соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех приборах. Время использования этих приборов для производства данных изделий ограничено 10 ч. в сутки. Найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукции, используя местные радио- и телевизионную сеть. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены $1000 в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в $5, а минута телерекламы – в $100. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное распределение ежемесячно отпускаемых средств между радио- и телерекламой.

Фирма производит два вида продукции – А и B . Объем сбыта продукции вида A составляет не менее 70% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 120 кг. Расход сырья на единицу продукции A составляет 3 кг, а на единицу продукции В – 5 кг. Цены продукции А и В равны $20 и $60 соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

Фирма выпускает женские шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 60 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 50 до 100 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна $6, а фасона 2 – $7. Определить какое количество шляп каждого фасона следует изготавливать, чтобы максимизировать прибыль.

Изделия четырех типов проходят последовательную обработку на двух станках. Время обработки одного изделия каждого типа на каждом из станков:

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $10 и $15 для станка 1 и 2 соответственно. Допустимое время для использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1,2,3 и 4 равны $65, $70, $55 и $45 соответственно. Составить план производства, максимизирующий чистую прибыль.

Завод выпускает изделия трех моделей ( I, II III ) Для их изготовления используется два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют – 5000 и 6000 единиц. Расходы ресурсов на одно изделие каждой модели:

Трудоемкость изготовления модели I вдвое больше, чем изделия модели II , и втрое больше, чем изделие модели III . Численность рабочих завода позволяет выпускать 1500 изделий I . Анализ условий сбыта показывает, что минимальный спрос на продукцию завода составляет 200, 200 и 150 изделий моделей I,II и III соответственно. Однако соотношение выпуска изделий моделей I,II и III должно быть равно 3:2:5. Удельная прибыль от реализации изделий моделей I,II и III составляет $30, $20 и $50 соответственно. Определить выпуск изделий, максимизирующий прибыль.

Требуется распределить имеющиеся денежные средства по четырем альтернативным вариантам. Игра имеет три исхода. Ниже приведены размеры выигрыша (или проигрыша) на каждый доллар, вложенный в соответствующий альтернативный вариант, для любого из трех исходов. У игрока имеется $500, причем, использовать в игре их можно только один раз. Точный исход игры заранее неизвестен, и, учитывая эту неопределенность, игрок решил распределить деньги так, чтобы максимизировать максимальную отдачу от этой суммы.

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 80000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный рацион цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт.

Для того чтобы цыплята достигли к восьмой неделе необходимых весовых кондиций, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов или ингредиентов. Ограничим наше рассмотрение только тремя ингредиентами: известняком, зерном и соевыми бобами. Ниже приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента.

Смесь должна содержать:

не менее 0.8%, но не более 1.2% кальция;
не менее 22% белка;
не более 5% клетчатки.

Необходимо определить количество каждого из трех ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и ее питательности.

Имеется n видов продуктов питания, в которых содержится m типов питательных веществ (белки, жиры, углеводы). В одной весовой единице продукта i-го типа содержится а_i единиц питательного вещества j-го вида . Известна минимальная суточная потребность b _j человека в каждом из видов питательных веществ. Задана калорийность сi одной весовой единицы i-го продукта ( i принадлежит <1, 2, . n >). Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи. Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград ( n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы ( m = 3). Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая:с₁ = 2060,с₂= 2430,с₃= 3600,с₄= 890,с₅= 140,с₆= 230, с₇ = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме следующей таблицы (см. табл.).

Таблица 1. Содержание питательных веществ в продуктах питания

Продукты/питательные вещества	Хлеб ржаной	Мясо баранина	Сыр «Российский»	Банан	Огурцы	Помидоры	Виноград
Белки	66	225	235	20	13	16	11
Жиры	17	177	295	1	1	7	7
Углеводы	425	0	0	217	31	43	200

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 105, в жирах b ₂ = 75, в углеводах b ₃ = 405.

Определить суточную потребности в питательных веществах (белки, жиры, углеводы) и общую калорийность оптимальной диеты.

Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуются 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна $30 и $20 соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей.

Процесс изготовления двух видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено 10 ч. в сутки. Найти оптимальный объем производства изделий каждого вида.

Фирма производит два вида продукции – A и B . Объем сбыта продукции вида A составляет не менее 60% общего объема реализации продукции обоих видов. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный запас которого ограничен величиной 100 кг. Расход сырья на единицу продукции A составляет 2 кг, а на единицу продукции В – 4 кг. Цены продукции А и В равны $20 и $40 соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

Фирма выпускает ковбойские шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготовления шляпы фасона 1 вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала только шляпы фасона 1, суточный объем производства мог бы составить 60 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен диапазоном от 50 до 100 штук. Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна $8, а фасона 2 – $5. Определить какое количество шляп каждого фасона следует изготавливать, чтобы максимизировать прибыль.

Затраты на производство одного изделия каждого типа определяются как величины, прямо пропорциональные времени использования станков (в машино-часах). Стоимость машино-часа составляет $10 и $15 для станка 1 и 2 соответственно. Допустимое время для использования станков для обработки изделий всех типов ограничено следующими значениями: 500 машино-часов – для станка 1 и 380 машино-часов для станка 2. Цены изделий типов 1,2,3 и 4 равны $65, $70, $55 и $45 соответственно. Составить план производства максимизирующий чистую прибыль.

Завод выпускает изделия трех моделей ( I, II III ). Для их изготовления используется два вида ресурсов (А и В), запасы которых составляют – 4000 и 6000 единиц. Расходы ресурсов на одно изделие каждой модели:

Некоторое производственное предприятие выпускает три вида клея. Для производства клея используется 4 типа химических веществ: крахмал, желатин, квасцы и мел. Расход этих веществ в кг для получения 1 кг каждого вида клея и их запас на складе предприятия представлены в таблице.

Таблица 1. Расход химических веществ на изготовления клея, их запас на складе

Вид клея /Химические вещества	Клей № 1	Клей № 2	Клей № 3	Запас на складе
Крахмал	0,4	0,3	0,2	20
Желатин	0,2	0,3	0,4	35
Квасцы	0,05	0,07	0,1	7
Мел	0,01	0,05	0,15	10

Стоимость каждого вида клея для оптовых покупателей следующая:с₁ = 380 руб/кг,с₂ =430 руб/кг,с₃ = 460 руб/кг. Требуется определить оптимальный объем выпуска клея каждого вида, обеспечивающий максимум общей стоимости готовой продукции.

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Хотя недельный рацион цыплят зависит от их возраста, в дальнейшем будем считать, что в среднем (за 8 недель) он составляет 1 фунт.

Смесь должна содержать:

не менее 0.8%, но не более 1.2% кальция;
не менее 22% белка;
не более 5% клетчатки.

Имеется конечное число видов продуктов питания: ананас, арбуз, грейпфрут, язык говяжий, сардельки говяжьи, хлеб «Бородинский», картофель ( n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы ( m = 3). Калорийность 1 кг каждого из продуктов следующая:с₁ = 470,с₂= 380,с₃ = 350,с₄ = 1460,с₅ = 2150,с₆ = 2070, с₇ = 800. Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 100, в жирах b ₂ = 70, в углеводах b3 = 400. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме нижеприведенной таблицы (табл.).

Требуется определить такой рацион питания, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Поиск решения задач в Excel с примерами

Пользователи Excel давно и успешно применяют программу для решения различных типов задач в разных областях.

Excel – это самая популярная программа в каждом офисе во всем мире. Ее возможности позволяют быстро находить эффективные решения в самых разных сферах деятельности. Программа способна решать различного рода задачи: финансовые, экономические, математические, логические, оптимизационные и многие другие. Для наглядности мы каждое из выше описанных решение задач в Excel и примеры его выполнения.

Решение задач оптимизации в Excel

Оптимизационные модели применяются в экономической и технической сфере. Их цель – подобрать сбалансированное решение, оптимальное в конкретных условиях (количество продаж для получения определенной выручки, лучшее меню, число рейсов и т.п.).

В Excel для решения задач оптимизации используются следующие команды:

Для решения простейших задач применяется команда «Подбор параметра». Самых сложных – «Диспетчер сценариев». Рассмотрим пример решения оптимизационной задачи с помощью надстройки «Поиск решения».

Условие. Фирма производит несколько сортов йогурта. Условно – «1», «2» и «3». Реализовав 100 баночек йогурта «1», предприятие получает 200 рублей. «2» — 250 рублей. «3» — 300 рублей. Сбыт, налажен, но количество имеющегося сырья ограничено. Нужно найти, какой йогурт и в каком объеме необходимо делать, чтобы получить максимальный доход от продаж.

Известные данные (в т.ч. нормы расхода сырья) занесем в таблицу:

На основании этих данных составим рабочую таблицу:

Количество изделий нам пока неизвестно. Это переменные.
В столбец «Прибыль» внесены формулы: =200*B11, =250*В12, =300*В13.
Расход сырья ограничен (это ограничения). В ячейки внесены формулы: =16*B11+13*B12+10*B13 («молоко»); =3*B11+3*B12+3*B13 («закваска»); =0*B11+5*B12+3*B13 («амортизатор») и =0*B11+8*B12+6*B13 («сахар»). То есть мы норму расхода умножили на количество.
Цель – найти максимально возможную прибыль. Это ячейка С14.

Активизируем команду «Поиск решения» и вносим параметры.

После нажатия кнопки «Выполнить» программа выдает свое решение.

Оптимальный вариант – сконцентрироваться на выпуске йогурта «3» и «1». Йогурт «2» производить не стоит.

Решение финансовых задач в Excel

Чаще всего для этой цели применяются финансовые функции. Рассмотрим пример.

Условие. Рассчитать, какую сумму положить на вклад, чтобы через четыре года образовалось 400 000 рублей. Процентная ставка – 20% годовых. Проценты начисляются ежеквартально.

Оформим исходные данные в виде таблицы:

Так как процентная ставка не меняется в течение всего периода, используем функцию ПС (СТАВКА, КПЕР, ПЛТ, БС, ТИП).

Ставка – 20%/4, т.к. проценты начисляются ежеквартально.
Кпер – 4*4 (общий срок вклада * число периодов начисления в год).
Плт – 0. Ничего не пишем, т.к. депозит пополняться не будет.
Тип – 0.
БС – сумма, которую мы хотим получить в конце срока вклада.

Вкладчику необходимо вложить эти деньги, поэтому результат отрицательный.

Для проверки правильности решения воспользуемся формулой: ПС = БС / (1 + ставка) кпер . Подставим значения: ПС = 400 000 / (1 + 0,05) 16 = 183245.

Решение эконометрики в Excel

Для установления количественных и качественных взаимосвязей применяются математические и статистические методы и модели.

Дано 2 диапазона значений:

Значения Х будут играть роль факторного признака, Y – результативного. Задача – найти коэффициент корреляции.

Для решения этой задачи предусмотрена функция КОРРЕЛ (массив 1; массив 2).

Решение логических задач в Excel

В табличном процессоре есть встроенные логические функции. Любая из них должна содержать хотя бы один оператор сравнения, который определит отношение между элементами (=, >, =, Пример задачи. Ученики сдавали зачет. Каждый из них получил отметку. Если больше 4 баллов – зачет сдан. Менее – не сдан.

Ставим курсор в ячейку С1. Нажимаем значок функций. Выбираем «ЕСЛИ».
Заполняем аргументы. Логическое выражение – B1>=4. Это условие, при котором логическое значение – ИСТИНА.
Если ИСТИНА – «Зачет сдал». ЛОЖЬ – «Зачет не сдал».

Решение математических задач в Excel

Средствами программы можно решать как простейшие математические задачки, так и более сложные (операции с функциями, матрицами, линейными уравнениями и т.п.).

Условие учебной задачи. Найти обратную матрицу В для матрицы А.

Делаем таблицу со значениями матрицы А.
Выделяем на этом же листе область для обратной матрицы.
Нажимаем кнопку «Вставить функцию». Категория – «Математические». Тип – «МОБР».
В поле аргумента «Массив» вписываем диапазон матрицы А.
Нажимаем одновременно Shift+Ctrl+Enter — это обязательное условие для ввода массивов.

Возможности Excel не безграничны. Но множество задач программе «под силу». Тем более здесь не описаны возможности которые можно расширить с помощью макросов и пользовательских настроек.

источники:

http://intuit.ru/studies/courses/3659/901/lecture/32717

http://exceltable.com/vozmojnosti-excel/poisk-resheniya-v-excel

Источник

Пользователи Excel давно и успешно применяют программу для решения различных типов задач в разных областях.

Решение задач оптимизации в Excel

В Excel для решения задач оптимизации используются следующие команды:

Известные данные (в т.ч. нормы расхода сырья) занесем в таблицу:

На основании этих данных составим рабочую таблицу:

Количество изделий нам пока неизвестно. Это переменные.
В столбец «Прибыль» внесены формулы: =200*B11, =250*В12, =300*В13.
Расход сырья ограничен (это ограничения). В ячейки внесены формулы: =16*B11+13*B12+10*B13 («молоко»); =3*B11+3*B12+3*B13 («закваска»); =0*B11+5*B12+3*B13 («амортизатор») и =0*B11+8*B12+6*B13 («сахар»). То есть мы норму расхода умножили на количество.
Цель – найти максимально возможную прибыль. Это ячейка С14.

Активизируем команду «Поиск решения» и вносим параметры.

После нажатия кнопки «Выполнить» программа выдает свое решение.

Оптимальный вариант – сконцентрироваться на выпуске йогурта «3» и «1». Йогурт «2» производить не стоит.

Решение финансовых задач в Excel

Чаще всего для этой цели применяются финансовые функции. Рассмотрим пример.

Оформим исходные данные в виде таблицы:

Заполнение аргументов:

Ставка – 20%/4, т.к. проценты начисляются ежеквартально.
Кпер – 4*4 (общий срок вклада * число периодов начисления в год).
Плт – 0. Ничего не пишем, т.к. депозит пополняться не будет.
Тип – 0.
БС – сумма, которую мы хотим получить в конце срока вклада.

Вкладчику необходимо вложить эти деньги, поэтому результат отрицательный.

Для проверки правильности решения воспользуемся формулой: ПС = БС / (1 + ставка)^кпер. Подставим значения: ПС = 400 000 / (1 + 0,05)¹⁶ = 183245.

Решение эконометрики в Excel

Дано 2 диапазона значений:

Для решения этой задачи предусмотрена функция КОРРЕЛ (массив 1; массив 2).

Решение логических задач в Excel

В табличном процессоре есть встроенные логические функции. Любая из них должна содержать хотя бы один оператор сравнения, который определит отношение между элементами (=, >, <, >=, <=). Результат логического выражения – логическое значение ИСТИНА или логическое значение ЛОЖЬ.

Пример задачи. Ученики сдавали зачет. Каждый из них получил отметку. Если больше 4 баллов – зачет сдан. Менее – не сдан.

Ставим курсор в ячейку С1. Нажимаем значок функций. Выбираем «ЕСЛИ».
Заполняем аргументы. Логическое выражение – B1>=4. Это условие, при котором логическое значение – ИСТИНА.
Если ИСТИНА – «Зачет сдал». ЛОЖЬ – «Зачет не сдал».

Решение математических задач в Excel

Условие учебной задачи. Найти обратную матрицу В для матрицы А.

Делаем таблицу со значениями матрицы А.
Выделяем на этом же листе область для обратной матрицы.
Нажимаем кнопку «Вставить функцию». Категория – «Математические». Тип – «МОБР».
В поле аргумента «Массив» вписываем диапазон матрицы А.
Нажимаем одновременно Shift+Ctrl+Enter — это обязательное условие для ввода массивов.

Скачать примеры

Источник

При решении
оптимизационных экономических задач
необходимо пройти через следующие
этапы:

Составить
математическую модель экономической
задачи;
Решить полученную
экстремальную математическую задачу;
Дать экономическую
интерпретацию ответу.

Рассмотрим
прохождение этих этапов на примере
задачи об использовании ресурсов.

Пример.
Для изготовления изделий двух видов А
и В на заводе используют сырье четырех
типов (І,
ІІ, ІІІ, IV).
Для выпуска изделия А необходимо 2
единицы сырья І
типа;
1 ед. сырья ІІ типа; 2 ед. сырья ІІІ
типа; 1 ед. сырья IV
типа. Для изготовления изделия В требуется
3 единицы сырья І
типа;
1 ед. сырья ІІ типа; 1 ед. сырья ІІІ
типа. Запасы сырья составляют: І
типа
– 21 ед., ІІ типа – 8 ед., ІІІ
типа – 12 ед., IV
типа – 5 ед. Выпуск одного изделия типа
А приносит 3 грн. прибыли, а одного изделия
типа В – 2 грн. прибыли. Составить план
производства, обеспечивающий наибольшую
прибыль.

Решение.

Составление
математической модели.

Вопрос
задачи, сформулированный в виде «составить
план производства, обеспечивающий
наибольшую прибыль»,
означает, что необходимо определить,
какое количество изделий А и В нужно
производить (для достижения наибольшей
прибыли).

Так
как необходимо определить количество
изделий А и В, то введем следующие
обозначения:

–количество изделий
А, планируемое к выпуску;

–количество изделий
В, планируемое к выпуску;

Z
(целевая функция задачи) по своему
экономическому смыслу – это прибыль.
(Т.к. из условия задачи мы видим, что
слово «наибольшая»,
связанное с экстремумом, соответствует
прибыли).

Получим:

–математическая
модель задачи.

Решение полученной
экстремальной задачи:

Для
решения задачи воспользуемся возможностями
Microsoft
Excel.

Откройте
Microsoft
Excel.
В
ячейки первой строки (в данном случае
А1 и В1) введите обозначения имеющихся
в задаче переменных
,(язык и шрифт значения не имеют, т. к.
обозначения необходимы для понимания
смыслов соответствующих им чисел).

В
ячейки второй строки (в данном случае
А2 и В2), соответствующие заполненным
ячейкам первой, введите произвольные
значения переменных (для простоты
возьмем значения 1, хотя на самом деле
это могут быть любые числа). Тем самым
мы присваиваем
ипока значения 1.

В
ячейку А4 введите обозначение целевой
функции Z=.

В ячейку В4 введите
формулу вычисления целевой функции из
математической модели задачи

(),
подставляя вместои,
соответствующие им значения из ячеек
А2 и В2. (Вспомните, что введение формулы
начинается со знака =)

После
нажатия кнопки Enter
на экране монитора должно быть следующее.
(Продумайте, как изменится картинка,
если ввести иные значения
и,
к примеру, не 1, а 2. А теперь поэкспериментируйте.
Оправдался ваш прогноз?)

В ячейки А5 и В5
введите соответственно слова: А5 –
Ограничение, В5 – Правая часть ограничения.

В
ячейку А6 введите формулу вычисления
левой части первого ограничения
,
подставляя вместои,
соответствующие им значения из ячеек
А2 и В2.
В
ячейку В6 введите свободный член первого
ограничения – 21. После нажатия кнопки
Enter
на экране монитора должно быть следующее.
Аналогично
в ячейку А7 введите формулу вычисления
левой части второго ограничения
,
а в В7 его свободный член – 8; в ячейку
А8 введите формулу вычисления левой
части третьего ограничения,
а в В8 его свободный член – 12; в ячейку
А9 введите формулу вычисления левой
части четвертого ограничения,
а в В9 его свободный член – 5;
После
нажатия кнопки Enter
на экране монитора должно быть следующее.

Таким
образом, мы ввели все данные условия
задачи в компьютер и подготовились к
тому, чтобы задачу решить.

В меню
Сервис
выберите команду Поиск
решения
(именно она является инструментом для
поиска решений задач оптимизации)
В этой
команде вам будет предложено установить
целевую ячейку. Именно слово «целевую»
поможет вам в дальнейшем вспомнить, о
чем идет речь. Конечно же, о значении
целевой функции. Введите это значение,
щелкнув левой кнопкой мышки на ячейке
В4 (содержащей в данном случае числовое
значение целевой функции). Получите:
Т.к.
в данной задаче функцияZ
исследуется на максимум, то оставляем
Равной:
•
максимальному
значению.

Если
решаем задачу на минимум, то нужно
поставить метку • перед словами
минимальному
значению.

Далее
нажмите на стрелку, расположенную в
правой части пространства ячейки
Изменяя
ячейки:,
в результате чего на экране должно
появиться следующее

В
полученное пространство необходимо
ввести диапазон изменяющихся в задаче
переменных (т.е. ячейки, содержащие
числовые значения
и,
т. к. именноимогут принимать различные числовые
значения, среди которых мы и пытаемся
отыскать оптимальное решение задачи).

Т.е. заполненная
ячейка должна принять вид:

После
этого заполняют пространство ячейки
Ограничения:
Для чего нужно щелкнуть по кнопке
Добавить,
в результате чего на экране появится
новое окно:

В
Ссылка
на ячейку:
введите номер ячейки, содержащей левую
часть ограничения (в данном случае для
первого ограничения – это ячейка А6).

Выберите
знак ограничения в соответствии с
математической моделью из предлагаемых
вариантов (в данном случае <=, т. к.
первое ограничение со знаком
)

В
Ограничение:
введите номер ячейки, содержащей
свободный член ограничения (в данном
случае для первого ограничения – это
ячейка В6).

Т.о. перед вами на
экране должна быть следующая картинка:

Это
вы ввели только первое ограничение, а
есть еще и другие, поэтому нажмите кнопку
Добавить
и аналогичным образом введите второе,
третье и четвертое ограничения.

Но
после того, как все ограничения системы
введены, еще рано нажимать ОК,
т. к. в математической модели имеется
условие неотрицательности переменных
(),
а в описании задачи для компьютера оно
еще не упоминалось.

Поэтому
после введения последнего ограничения
вновь нажмите кнопку Добавить
и в Ссылка
на ячейку:
введите номер ячейки, содержащей числовое
значение
;
выберите знак >=;
а в Ограничение:
введите
0.

Еще
раз нажмите Добавить
и аналогичным образом создайте условие
неотрицательности для
.

Таким
образом, компьютер получил все те
ограничения, которые есть в условии
задачи, поэтому теперь можно нажать
ОК.
В результате на экране появится
следующее:

Появилось?
Если ДА, то нажимайте Выполнить.

И
согласитесь на то, чтобы Сохранить
найденное решение.
Т.е. в появившемся окне нажмите ОК.

Обратите
внимание на то, какие теперь значения
принимают
,иZ.

= 4;
= 4;Z
= 20 –
Это
и есть найденное оптимальное решение
задачи ()
и соответствующее

экстремальное
значение целевой функции ().

Математически
задача решена. Осталось дать экономическую

интерпретацию
полученному.

Дадим экономическую
интерпретацию ответу.

Для достижения
наибольшей прибыли 20 грн. необходимо
производить 4 изделия А и 4 изделия В.

Источник

В данной статье рассматривается расчет инструмента Excel «Поиск решений». Освоение работы с надстройкой «Поиск решений» даст преимущество в решении многих экономических задач: минимизация расходов при формировании состава сырья и штатного расписания, оптимизация расходов на изготовление при выборе ассортимента продукции, максимизация прибыли при формировании инвестиционной программы.

Зачастую экономисты в своей практике встречаются с вопросами оптимизации расходов.

Рассмотрим пример оптимизации транспортных расходов с помощью инструмента Excel «Поиск решений».

Пример 1

На предприятии X осуществляются транспортные перевозки с помощью четырех компаний до пяти населенных пунктов. Руководство компании решило распределить все количество перевозок между поставщиками транспортных услуг (транспортными компаниями) в определенной пропорции, выраженной в процентном соотношении — удельный вес в общем количестве перевозок. Известны также тарифы транспортных компаний за одну ездку и количество плановых перевозок до каждого населенного пункта в планируемом периоде .

Необходимо оптимально распределить ездки в населенные пункты между транспортными компаниями таким образом, чтобы транспортные расходы были минимальными.

Для успешного решения этой задачи необходимо выбрать минимизируемую ячейку, определить ограничения, а также правильно сформировать таблицы с исходными и расчетными данными (рис. 1).

Рис. 1. Расчет оптимальных перевозок

На рис. 1 расположены две таблицы: с исходными данными и расчетными данными. В ячейках D8:H11 расположены тарифы за 1 ездку в разрезе транспортных компаний до пунктов назначения, в ячейках D12:H12 — плановое количество ездок за период до пунктов назначения, в ячейках I8:I11 — удельный вес перевозок каждой транспортной компании в общем количестве планируемых перевозок за период. Эти ячейки для удобства не раскрашены. В ячейках J8:J12 и Н13 рассчитано число ездок по каждой транспортной компании и в целом за период. Формулы в этих ячейках выглядят следующим образом:

Ячейка Н13: =СУММ(D12:H12),

Ячейка J8: =I8*$H$13.

Данную формулу из ячейки J8 протаскиваем (копируем) в ячейки J9, J10, J11.

Ячейка J12: =СУММ(J8:J11).

Следующая таблица на листе посвящена расчету и называется «Расчет». Ячейки D19:Н22 предназначены для распределения количества ездок до пунктов назначения между транспортными компаниями. На рис. 1 в ячейках дано такое распределение, заполненное вручную. В ячейках D23:I27 рассчитаны суммы расходов на транспортные перевозки в разрезе транспортных компаний, оказывающих транспортные услуги, и пунктов назначений, а также итоги.

Приведем формулы, представленные в этих ячейках.

Значения в ячейках D24:Н27 получены перемножением количества ездок (ячейки D19:Н22) на тарифы (ячейки D8:Н12). В ячейку D24 запишем формулу:

=D19*D8.

Протащим (скопируем) формулу в ячейки D25:D27 и E24:Н27.

В ячейках D23:I23 формируются итоговые суммы транспортных услуг в разрезе пунктов назначения. Запишем в ячейку D23 формулу:

=СУММ(D24:D27).

Протащим (скопируем) эту формулу в ячейки Е23:I23.

В ячейках I24:I27 формируются итоговые суммы транспортных услуг в разрезе компаний, оказывающих эти услуги. Запишем в ячейку I24 формулу:

=СУММ(D24:H24).

Протащим (скопируем) ее в ячейки I25:I27.

Таким образом, стоимость транспортных расходов по компании в целом формируется в ячейке I23. В первоначальном расчете, представленном на рис. 1, данная сумма равна 35 790 руб.

Скопируем данный лист в эту же книгу. Далее необходимо приступить непосредственно к оптимизации. Задача — подобрать в ячейках D19:Н22 такие значения, чтобы в ячейке I23 была рассчитана минимальная сумма расходов на транспорт. Для этого воспользуемся инструментом «Поиск решений».

Для начала надо выбрать оптимизируемую ячейку (I23). Затем вызовем диалоговое окно «Поиск решений», представленное на рис. 2.

Это важно. Надстройку «Поиск решений» не всегда можно обнаружить в меню рабочего стола компьютера, так как она может быть не подключена. Для ее подключения необходимо выполнить ряд действий, которые аналогичны во всех версиях MS Office: «Сервис — Надстройки — Поиск решений (установить флажок)». Теперь данный инструмент можно будет найти на панели инструментов рабочего стола.

Рис. 2. Использование надстройки «Поиск решений»

В строке «Оптимизировать целевую функцию» будет стоять адрес оптимизируемой ячейки, в данном случае — $I$23. Выберем цель, поставив флажок «Минимум». В строке «Изменяя ячейки переменных» помещаются адреса ячеек, которые необходимо будет подобрать для достижения желаемого результата ($D$19:$Н$22).

В поле запишем ограничения в соответствии с ограничениями. Для этого воспользуемся кнопкой «Добавить», которая откроет окно «Добавить ограничения». Введем одно из ограничений:

$D$19:$H$22 = целое,

$D$12:$H$12 = $D$18:$H$18,

$J$8:$J$11 = $I$19:$I22.

Чтобы добавить следующее ограничение, в этом же окне нажмите на кнопку «Добавить». Результатом этого действия будет добавление текущего ограничения в список ограничений, а поля окна «Добавить ограничения» будут очищены для ввода следующего ограничения. После того как введено последнее из ограничений, необходимо нажать на кнопку «ОК».

Порядок ввода ограничений не имеет значения. Главное — не забыть ни одно из ограничений.

В данном примере все ограничения представлены в виде равенств. Но существуют задачи, в которых требуются ввести ограничения в виде неравенств. Например, в транспортных компаниях объем перевозимого груза не может превышать грузоподъемности автомобиля (или время работы автотранспортного средства не может превышать количества часов в сутки за вычетом нормативных простоев).

Очень важно правильно сформулировать ограничения. Для того чтобы не забыть ни одно из ограничений, необходимо правильно поставить задачу и определить ее цели. Не бывает мелочей в постановке задачи. В задаче о поставке деталей необходимо учесть, что количество деталей на складе на начало периода плюс количество поступивших за планируемый период деталей должно равняться сумме их остатка на складе на конец периода плюс количество отгруженных деталей за планируемый период. Или, например, количество деталей на начало планируемого периода должно равняться количеству деталей на конец периода, предшествующему планируемому.

Необходимо также помнить о том, что некоторые показатели могут быть только положительными значениями (например, сумма поступления от покупателя на расчетный счет поставщик). В данном случае в ограничениях целесообразно указать, что эта величина не может быть отрицательной, иначе надстройка «Поиск решений», вполне возможно, предложит в качестве решения отрицательное число.

Далее следует выбрать метод решения. Для этого необходимо определить, является модель линейной или нелинейной. Напомним, что линейной моделью является такая модель, связи в которой между данными для расчета и результирующим показателем можно описать линейными функциями. Линейная функция имеет следующий вид:

F(x) = a1 × x1 + а2 × x2 + … + аn × xn,

где a1, а2, …, аn — константы;

x1, x2, …, xn — переменные.

Данная модель является линейной.

Примером нелинейной модели является оптимизация перевозок с целью минимизации расходов, когда тарифы на перевозки распределены по интервалам:

от 0 до 10 км — стоимость перевозки 200 руб.;
от 11 до 20 км — стоимость перевозки 250 руб.;
от 21 до 50 км — стоимость перевозки 500 руб. и т. д.

Вернемся к диалоговому окну «Параметры поиска решений». Далее нажимаем кнопку «Найти решение», в результате чего появится окно с результатом поиска решения. Так как нам необходимо сохранить найденный результат, то ставим флажок «Сохранить найденное решение», в результате чего на нашем листе сохранится найденное решение. Нажмем кнопку «ОК».

В ячейках $D$19:$Н$22 появляются подобранные системой значения, при которых в ячейке I23 формируется минимальное значение стоимости транспортных услуг — 35 000 руб.

В данном случае отклонения от подобранного нами вручную результата составляют лишь 2,2 %, или 790 руб., но это означает лишь то, что мы вручную удачно подобрали решение.

На рис. 3 представлены полученные при оптимизации данные.

Рис. 3. Результаты оптимизации

Для того чтобы использовать ссылки на ячейки в составе сценария, необходимо сохранить этот сценарий, нажав на кнопку «Сохранить сценарий» в окне «Результат поиска решения», введя имя сценария и нажав кнопку «ОК». При этом исходные данные сохраняются.

Таким образом, предоставлена возможность сохранить все варианты решений при изменении исходных данных. Затем можно создавать отчеты, по которым можно сравнивать влияние изменений исходных данных и ограничений на результат решения.

Существует одна важная деталь: при расчетах количества ездок лучше всего в ячейках J8:J11 использовать функцию округления, чтобы значения были целыми числами.

По этому случаю рассмотрим пример с другими исходными данными.

Пример 2

В ячейках J8:J11 запишем формулу, позволяющую округлить вычисляемые значения до целого числа, которая имеет вид:

Ячейка J8: =ОКРУГЛ(I8*$H$13;0).

Протащим (скопируем) эту формулу в ячейки J9:J11.

Как видим (рис. 4) плановое количество ездок в ячейке Н13 отличается от суммы в ячейках J8:J11, записанной в ячейке J12: значение в ячейке J12, полученное в результате суммирования округленных результатов расчетов числа ездок в ячейках J8:J11, не равно значению в ячейке Н13, полученному суммированием планового числа ездок до пунктов назначения. Это издержки примененной функции округления. Для того чтобы избежать данной ошибки, проделаем следующую процедуру. Для контроля и удобства вычислений введем проверочную ячейку J13. Формула в этой ячейке будет представлять собой разницу полученных значений в ячейках J12 и H13. Ячейка понадобится нам для коррекции вычислений.

Рис. 4. Пример с функцией округления расчетного числа ездок до целого числа

Используем для коррекции инструмент «Подбор параметра». Процедура подбора иллюстрируется на рис. 5.

Рис. 5. Использование инструмента «Подбор параметра»

Здесь необходимо применить следующую схему: подобрать в ячейке J13 значение равное 0, изменяя значение в ячейке I9 (доля в перевозках). Предварительно в ячейку I11 целесообразно ввести следующую формулу:

=100 % – I8 – I9 – I10.

Тогда при изменении значения в ячейке I9 в результате применения инструмента «Подбор параметра» автоматически изменится и значение в ячейке I11.

Так как в ячейках I8:I11 применено округление до целого значения, изменения в ячейках I9 и I11 на 0,25 % не обнаруживаются. Эти изменения будут видны, если мы добавим знаки после запятой.

Результат применения инструмента «Подбор параметра» приведен на рис. 6 (на с. …).

Необходимо проделать процедуры, что и в предыдущем примере (см. рис. 1, 2, 3). В ячейках D19:H22 распределим количество ездок для каждой транспортной компании до каждого пункта назначения, используя следующие ограничения:

D19:H22 = целое,

D12:H12 = D18:H18,

J8:J11 = I19:I22.

Сумма транспортных расходов в ячейке I23 на рис. 6 рассчиталась равной 49 540 руб., а наша задача — минимизировать ее.

Рис. 6. Скорректированный вариант

На рис. 7 представлена демонстрация использования инструмента «Поиск решений» для оптимизации результата.

Рис. 7. Минимизация значения в ячейке I23 с помощью надстройки «Поиск решения»

На рис. 8 в ячейках D19:Н22 представлены данные, полученные в ходе оптимизации с помощью инструмента «Поиск решений». В результате минимизации в ячейке I23 получено значение 44 990 руб. Отклонения от достигнутого при первоначальном распределении результата составило 9 %, или 4550 руб.

Возможно, имеет право на существование такой вопрос: «Для чего нужна табличная часть со стоимостями перевозок в разрезе транспортных компаний и пунктов назначений?». Ведь можно было бы просто в итоговую ячейку I23 ввести формулу:

=СУММПРОИЗВ(D8:D11;D19:D22)+СУММПРОИЗВ(E8:E11;E19:E22)+СУММПРОИЗВ(F8:F11;F19:F22)+СУММПРОИЗВ(G8:G11;G19:G22)+СУММПРОИЗВ(H8:H11;H19:H22).

Следует помнить следующее:

строк и столбцов может быть достаточно большое количество. Это значит, что написание самой формулы в ячейках будет слишком трудоемкой задачей;
потеряется возможность анализа данных по компаниям и пунктам назначения. Значит, целесообразнее использовать вспомогательную таблицу (в нашем примере это ячейки B23:I27), которая содержала бы множество простых формул. Эти формулы записываются всего в два мгновения: запись в одной из ячеек и копирование или протаскивание в остальные ячейки. Такая таблица несет в себе полезную для анализа информацию о стоимости транспортных услуг в разрезе перевозчиков и пунктов назначения.

Рис. 8. Результат оптимизации примера с округлением

Заключение

В данной статье рассмотрена простейшая задача, цель статьи — побудить экономистов использовать в расчетах инструмент Excel «Поиск решений», который удобен и прост в применении. Освоив и поняв данный инструмент, можно будет переходить к более сложным задачам.

Освоение работы с надстройкой «Поиск решений» даст преимущество в решении многих экономических задач: минимизация расходов при формировании состава сырья (например, на текстильных предприятиях), оптимизация раскроя (например, на швейных производствах), минимизация расходов при формировании штатного расписания, оптимизация расходов на изготовление при выборе ассортимента продукции, максимизация прибыли при формировании инвестиционной программы и др.

Статья опубликована в журнале «Планово-экономический отдел» № 11, 2012.

Источник

Конспект урока

Решение задач оптимизации с помощью
электронных таблиц Excel

Учитель информатики и ИКТ

Кабанова Татьяна Витальевна

ГБОУ школа №58

Приморского района Санкт-Петербурга

Тема. Решение
задач оптимизации в Excel.

Тип
урока: обобщение и систематизация
знаний.

Цели урока:

образовательные —
обобщение и систематизация знаний по теме «Обработка числовой информации»

Задачи:

1.
закрепление знаний об общих
принципах работы табличного процессора Microsoft Excel;

2.
практическое применение изученного
материала, приобретение навыков в составлении таблиц разного типа;

3.
развитие умения выбирать
наиболее оптимальную структуру таблицы, создать и оформить таблицу;

4.
формирование представления о
вычислениях в электронной таблице как наиболее важных в изучении информатики и
широко применяемых на практике.

развивающие — продолжить
развитие логического мышления, глубины и гибкости ума.

Задачи:

1.
развитие познавательного
интереса, речи и внимания учащихся;

2.
развитие способности логически
рассуждать;

3.
формирование информационной
культуры и потребности приобретения знаний;

4.
развитие умения применять
полученные знания для решения задач различных предметных областей.

5.
развивать
у школьников теоретическое мышление, формирование операционного мышления,
направленного на выбор оптимальных решений.

воспитательные — продолжать
воспитывать информационную культуру, общечеловеческие качества личности
школьника

Задачи:

1.
воспитание творческого подхода
к работе, желания экспериментировать;

2.
воспитание трудолюбия, чувства
уважения к науке;

3.
продолжить воспитывать культуру
общения;

4.
продолжить формировать чувство
долга, настойчивости, дисциплинированность; продолжить формирование творческих,
исследовательских качеств учащихся;

5.
продолжить воспитывать
эстетический вкус.

Ход урока:

I.
Организационный этап. (Цель: настроить учащихся на работу на уроке)

Сегодня мы продолжаем изучение темы «Обработка числовой
информации». На предыдущих занятиях мы узнали основные информационные единицы
электронной таблицы, типы и форматы данных, используемых в Excel, основные функций, используемых при записи формул, общие правила
подготовки электронной таблицы, а так же графические возможности табличного
процессора, учились решать задачи с использованием ЭТ.

Сегодня цель нашего урока: закрепить и обобщить знания,
полученные по этой теме, развивать умение применять полученные знания для
решения задач из различных предметных областей.

II. Актуализация знаний и фронтальный
опрос

– Итак, что мы с вами знаем и умеем делать: создавать
редактировать и формировать табличный документ, выполнять вычисления по
формулам, применять относительные и абсолютные ссылки, использовать функции.
Давайте вспомним и повторим то, что нам уже знакомо.

	Вопросы	Ответ
1	Как называется документ, созданный в электронных таблицах?	Книга
2	Что является основным элементом электронной таблицы?	Ячейка
3	Что не может включать в себя формула в электронных таблицах?	Текст
4	Как записывают в формуле адрес ячейки, если необходимо отменить принцип относительной адресации при переносе формулы?	Перед именем столбца и номером строки ставится символ $
	Какой формат числа вы примените для отображения: Количества товара? Времени начала уроков? Дней рождения знакомых? Порядковых номеров в списке?	число время дата число
5	Каким будет результат вычислений в ячейке С1?	15
	Какие виды адресации ячеек вы знаете?	Относительная, абсолютная, смешанная.
	В каких случаях необходимо использовать абсолютные адреса ячеек в формулах?	Для указания фиксированного адреса ячейки.
6	В ячейке электронной таблицы С5 записана формула =B5*А5. Какая формула будет получена из нее при копировании в ячейку С6?	= В6 А6*
7	Дан фрагмент электронной таблицы: Значение ячейки С1 вычисляется по формуле = В1+ $A$1. Чему будет равно после копирования формулы значение в ячейке С3?	25
	Перечислите области деятельности человека, к которым можно отнести использование возможностей табличного процессора MS Excel?	Это – наука, производство, бухгалтерия, торговля, статистика, экология

Таким образом, можно сделать вывод:
области применения электронных таблиц очень разнообразны, без них не может обойтись практически ни один современный специалист.

III.
Изложение нового материала

Человек,
совершая те или иные деяния, стремился вести себя таким образом, чтобы
результат, достигаемый как следствие некоторого поступка, оказался в
определенном смысле наилучшим. Двигаясь из одного пункта в другой, он стремился
найти кратчайший среди возможных путь. Строя жилище, он искал такую его
геометрию, которая при наименьшем расходе топлива, обеспечивала приемлемо
комфортные условия существования. Занимаясь строительством кораблей, он пытался
придать им такую форму, при которой вода оказывала бы наименьшее сопротивление.
Можно легко продолжить перечень подобных примеров.

Задачи
на отыскание оптимального решения называются задачами оптимизации.
Применяемые в процессе оптимизации методы получили название методов
оптимизации. При постановке и решении задач оптимизации возникают два
вопроса: что и как оптимизировать?

Ответ
на первый вопрос получается как результат глубокого изучения проблемы, которую
предстоит решить. Выявляется тот параметр, который определяет степень
совершенства решения возникшей проблемы. Этот параметр обычно называют целевой
функцией или критерием качества. Далее устанавливается совокупность
величин, которые определяют целевую функцию. Наконец, формулируются все
ограничения, которые должны учитываться при решении задачи. После этого
строится математическая модель, заключающаяся в установлении аналитической
зависимости целевой функции от всех аргументов и аналитической формулировки
сопутствующих задаче ограничений. Далее приступают к поиску ответа на второй
вопрос.

Понятие
«наилучший, оптимальный» может быть выражено количественными критериями – минимум
затрат, минимум времени, максимум прибыли и т.д. Для решения таких задач в ЭТ
используется надстройка Поиск решения.

При решении задач оптимизации с помощью MS Excel применяют алгоритм:

1)
разбор условия задачи;

2)
построение математической модели;

3)
выбор изменяемых данных (параметров);

4)
задание ограничений;

5)
выбор целевой функции;

6)
решение задачи на компьютере;

7)
анализ полученных результатов.

Виды задач, которые могут быть решены с помощью Поиска решения:

:
Составление оптимального плана производства;

:
Решение системы линейных уравнений;

:
Транспортная задача;

:
Задача о назначениях;

:
Решение уравнения регрессии

Предлагаю
для рассмотрения одну из таких задач.

На участке работает 20 человек; каждый из них в среднем
работает 1800 ч в год. Выделенные ресурсы: 32 т металла, 54 тыс. кВт∙ч
электроэнергии. План реализации: не менее 2 тыс. изделий А и не менее 3 тыс.
изделий Б. На выпуск 1 тыс. изделий А затрачивается 3 т металла, 3 тыс. кВт∙ч
электроэнергии и 3 тыс. ч рабочего времени. На выпуск 1 тыс. изделий Б
затрачивается 1 т металла, 6 тыс. кВт∙ч электроэнергии и 3 тыс. ч рабочего
времени. От реализации 1 тыс. изделий А завод получает прибыль 500 тыс. р., от
реализации 1 тыс. изделий Б – 700 тыс. р. Выпуск каждого количества изделий А и
Б (в тыс. штук) надо запланировать, чтобы прибыль от их реализации была
наибольшей. Составить модель и решить задачу.

Построим математическую модель:

Пусть
х(тыс. шт.) – искомое количество изделий А.

у(тыс.шт.) – искомое количество изделий Б.

Для
изготовления 1 тыс. изделий А и 1 тыс. изделий Б используется металла: 3∙х+1∙у.

Для
изготовления 1 тыс. изделий А и 1 тыс. изделий Б затрачивается электроэнергии:
3∙х+6∙у (тыс.кВт∙ч)

Для
изготовления 1 тыс. изделий А и 1 тыс. изделий Б затрачивается рабочего
времени: 3∙х+3∙у (тыс.кВт∙ч)

Прибыль
от реализации 1 тыс. изделий А и 1 тыс. изделий Б: х∙500+у∙700 (тыс.р.)

Зададим ограничения:

Использование
металла: (3∙х+1∙у)≤32.

Затрата
электроэнергии: (3∙х+6∙у)≤54.

Затрата
рабочего времени: (3∙х+3∙у)≤36 (т.к. 20 рабочих по 1800 часов в год, получается
20∙1800=36000. Поэтому ставим число 36 тыс. часов).

Прибыль
должна быть максимальной, то есть х∙500+у∙700 = max

Решение задачи на компьютере:

Внести данные в таблицу

Найдём
оптимальное решение, для этого:

Выделим
целевую ячейку

Выбрать
Данные→Поиск решения

Установим
целевую ячейку, равную максимальному значению;

Укажем
изменяемые ячейки (количество изделий А и изделий В)

Добавить
записи ограничений (затраты на использование металла, расход на электроэнергию
и затраты рабочего времени)

Таким
образом, с помощью электронной таблицы найдено оптимальное решение для
максимизации дохода данного кооператива.

Работа
с данной надстройкой вызывает наибольшее затруднение, так как для того, чтобы
Excel смоделировал «осмысленное» значение, необходимо правильно отобрать
входные данные и определить все ограничения. Другими словами, правильно
построить математическую модель. Основные проблемы, с которыми сталкиваются при
решении задач на оптимизацию, это определение изменяемых ячеек и указание
ограничений. Необходимо обратить внимание на то, что параметры должны быть
прямо, или косвенно связаны с целевой ячейкой формулой.

Рассмотренные
задачи позволяют сделать акцент на практическую значимость формализации
задачи, способов решения задач с помощью электронных таблиц.

III. Оперирование знаниям. (Практическая самостоятельная работа).

(Цель: проверить умение применения знаний при решении практической
задачи)

В
оставшееся время мы выполним практическую самостоятельную работу. Скопировать
задачу на Лист2 и решить задачу: Кооператив из 20 человек выпускает А и Б.
Кооператив намерен получать прибыль не менее 6,5 млн.р. в год. Ему выделили 54
тыс. кВт∙ч электроэнергии. Какое минимальное количество металла потребуется
кооперативу, чтобы обеспечить нужную прибыль?

‑
Сохраните свои работы в личных папках

IV. Подведение итогов.

Итак, сегодня на уроке мы в очередной раз
убедились в многофункциональности возможностей компьютерной техники. А именно,
в возможностях электронных таблиц Excel. Мы увидели, что с помощью этой
программы можно решить оптимизационные задачи, вспомнили, как выбирается
оптимальная структура таблицы, как используются различные виды ссылок. Т.е.
цель нашего урока полностью достигнута.

В качестве домашнего задания я предлагаю вам
выбрать любую дисциплину и составить задачу оптимизации с использованием
программы MS Excel.

Источник