Решение уравнений методом итерации в экселе
Найдем корень нелинейного уравнения в табличном процессоре Excel методом итерации с использованием циклических ссылок. Для включения режима циклических вычислений в Excel 2003 в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления следует поставить флажок Итерации и флажок выбора вида ведения вычислений: автоматически. В MS Excel 2010 следует зайти в меню Файл/Параметры/Формулы и поставить флажок в поле «Включить итеративные вычисления».
M – максимальное значение производной на промежутке (по модулю). Найдем М, для этого вычислим
Т. к. значение производных Меню сайта
Excel. Использование циклических ссылок для решения уравнений итерационным способом
Ранее я описал, как найти и исправить циклическую ссылку. Напомню, что циклическая ссылка появляется, если в ячейку Excel введена формула, содержащая ссылку на саму эту ячейку (напрямую или через цепочку других ссылок). Например (рис. 1), в ячейке С2 находится формула, ссылающаяся на саму ячейку С2.
Рис. 1. Пример циклической ссылки
Но. Не всегда циклическая ссылка является бедствием. Циклическую ссылку можно использовать для решения уравнений итерационным способом. Для начала нужно позволить Excel вести вычисления, даже при наличии циклической ссылки. В обычном режиме Excel, обнаружив циклическую ссылку, выдаст сообщение об ошибке, и потребует ее устранения. В обычном режиме Excel не может провести вычисления, так как циклическая ссылка порождает бесконечный цикл вычислений. Можно, либо устранить циклическую ссылку, либо допустить вычисления по формуле с циклической ссылкой, но ограничив число повторений цикла. Для реализации второй возможности щелкните на кнопке «Office» (в левом верхнем углу), а затем на «Параметры Excel» (рис. 2).
Скачать заметку в формате Word, примеры в формате Excel
Рис. 2. Параметры Excel
В открывшемся окне «Параметры Excel» перейдите на вкладку Формулы и отметьте «Включить итеративные вычисления» (рис. 3). Помните, что эта опция включается для приложения Excel в целом (а не для одного файла), и будет действовать, пока вы ее не отключите.
Рис. 3. Включить итеративные вычисления
На этой же вкладе, можно выбрать, как будут вестись вычисления: автоматически или вручную. При автоматическом вычислении Excel сразу рассчитает конечный результат, при вычислениях, вручную, можно будет наблюдать результат каждой итерации (простым нажатием F9 запуская каждый новый цикл вычисления).
Решим уравнение третьей степени: х 3 – 4х 2 – 4х + 5 = 0 (рис. 4). Для решения этого уравнения (и любого другого уравнения совершенно произвольного вида) понадобится всего одна ячейка Excel.
Рис. 4. График функции f(x)
Для решения уравнения нам понадобится рекуррентная формула (то есть, формула, выражающая каждый член последовательности через один или несколько предыдущих членов):
(1) x = x – f(x)/f’(x), где
f(x) – функция, задающая уравнение, корни которого мы ищем; f(x) = х 3 – 4х 2 – 4х + 5
f’(x) – производная нашей функции f(x); f’(x) = 3х 2 – 8х – 4; производные основных элементарных функций можно посмотреть здесь.
Если вы заинтересовались, откуда взялась формула (1), можете почитать, например, здесь.
Итоговая рекуррентная формула имеет вид:
(2) х = x – (х 3 – 4х 2 – 4х + 5)/(3х 2 – 8х – 4)
Выберем любую ячейку на листе Excel (рис. 5; в нашем примере это ячейка G19), присвоим ей имя х, и введем в нее формулу:
Можно вместо х использовать адрес ячейки… но согласитесь, что имя х, смотрится привлекательнее; следующую формулу я ввел в ячейку G20:
Рис. 5. Рекуррентная формула: (а) для поименованной ячейки; (б) для обычного адреса ячейки
Как только мы введем формулу и нажмем Enter, в ячейке сразу же появится ответ – значение 0,77. Это значение соответствует одному из корней уравнения, а именно второму (см. график функции f(x) на рис. 4). Поскольку начальное приближение не задавалось, итерационный вычислительный процесс начинался со значения, по умолчанию хранимого в ячейке х и равного нулю. Как же получить остальные корни уравнения?
Для изменения стартового значения, с которого рекуррентная формула начинает свои итерации, предлагается использовать функцию ЕСЛИ: [1]
Здесь значение «-5» – начальное значение для рекуррентной формулы. Изменяя его, можно выйти на все корни уравнения:
| Начальное значение | Корень уравнения |
| 1 | 0,77 |
| -5 | -1,40 |
| 8 | 4,63 |
[1] Идея подсмотрена здесь
7 комментариев для “Excel. Использование циклических ссылок для решения уравнений итерационным способом”
Офигенный сайт!
И как всегда когда не нужно все находишь!
Блин у меня по экономическому моделированию в Excell курсовик был в институте, вот время помню кучу потерял а тут все в одном флаконе:)
Все равно инфа пригодится, даже очень!
И нам зараза в этом гребанном институте мать их так этих учителей даже близко ничего подобного не рассказывали. Я не про этот пример говорю а про остальные..
«Вычисление стандартного отклонения для данных с тенденцией», «Нормальное распределение» и т.п.. даже объяснить не могли или не хотели как это все применять, а тут все наглядно и понятно! Огромное спасибо! Не зря я на этот сайт наткнулся, чую он мне еще окажет неплохую помощь))))
В упор не понимаю откуда берется предел для определения корней уравнения, если «Здесь значение «-5» – начальное значение для рекуррентной формулы. Изменяя его, можно выйти на все корни уравнения»
У меня график получается, который с осью Х не имеет вообще пересечений, мож где накосячила?
Пожалуйста подскажите, а то у меня взрыв мозга будет скоро…((((
Тамара, если Вы строите график на основе моих данных, откройте файл Excel; если Вы используете собственные данные, пришлите мне на mail Ваш файл, попробую помочь))
Спасибо заранее за беспокойство, вот такое уравнение у^3-20у^2-158у-420=0, если не трудно объясните пожалуйста как вы определяте предел в каких знчениях надо считать корни.
Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса
В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.
Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.
Решение уравнений методом подбора параметров Excel
Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.
Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».
Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:
- Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
- Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
- После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».
Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».
Как решить систему уравнений матричным методом в Excel
Дана система уравнений:
- Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
- Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
- Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
- Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
- Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.
Получены корни уравнений.
Решение системы уравнений методом Крамера в Excel
Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:
Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.
Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.
Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).
Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (Dx / |A|).
Для расчета Х1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:
Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel
Для примера возьмем простейшую систему уравнений:
3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9
Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.
Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.
- Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
- Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
- Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
- Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: <=B12:E12/D12>.
- В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (<=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11>). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (<=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10>). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.
Примеры решения уравнений методом итераций в Excel
Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:
Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:
M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:
f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.
Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.
В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).
В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.
Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:
источники:
http://baguzin.ru/wp/excel-ispolzovanie-tsiklicheskih-ssylok-d/
http://exceltable.com/otchety/reshenie-uravneniy
|
Решить нелинейное уравнение методом итераций |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
||||||||
Ответить |
Если не учитывать такую мелочь, что результат неверный. А если подставить так, как препод сказал (кстати, он про модуль забыл), то получится как раз то решение, которое у меня — 27 шагов
Реализация в Excel
Численные методы решения нелинейных уравнений
Постановка задачи
Дано уравнение F(x)=0. Это — общий вид нелинейного уравнения с одним неизвестным. Как правило, алгоритм нахождения корня состоит из двух этапов:
1.Отыскание приближенного значения корня или отрезка на оси абсцисс, его содержащего.
2.Уточнение приближенного значения корня до некоторой точности.
На первом этапе применяется шаговый метод отделения корней, на втором — один из методов уточнения (метод половинного деления, метод Ньютона, метод Хорд или метод простой итерации).
Шаговый метод
В качестве примера рассмотрим уравнение x2 — 11x + 30 = 0. Интервал поиска [3,5.4], шаг h = 0,3. Решим его, используя специальные возможности пакета Excel. Последовательность действий (см. рис. 1):
1.Оформить заголовок в строке 1 «Численные методы решения нелинейных уравнений».
2.Оформить заголовок в строке 3 «Шаговый метод».
3.В ячейки A6 и C6 и B6 записать данные по задаче.
4.В ячейки B9 и C9 записать заголовки рядов — соответственно x и F(x).
5.В ячейки B10 и B11 ввести первые два значения аргумента — 3 и 3.3.
6.Выделить ячейки B5-B6 и протащить ряд данных до конечного значения (3,3), убедившись в правильном выстраивании арифметической прогрессии.
7.В ячейку C10 ввести формулу «=B10*B10-11*B10+30».
8.Скопировать формулу на остальные элементы ряда, используя прием протаскивания. В интервале C10:C18 получен ряд результатов вычисления функции F(x). Видно, что функция один раз меняет знак. Корень уравнения расположен в интервале [4.8,5.1].
9.Для построения графика зависимости F(x) используем Вставка — Диаграмма (тип «Точечная», маркеры соединяются гладкими кривыми).
Метод деления отрезка пополам
В качестве примера рассмотрим уравнение x2 — 11x + 30 = 0. Интервал поиска [3,5.4], с точностью ε=0.01. Решим его, используя специальные возможности пакета Excel.
1. Ввести в ячейку B21 заголовок «Метод деления отрезков пополам».
2. Ввести в ячейку A23, C23, E23 данные по задачи.
3.В области B25:H25 оформить заголовок таблицы (ряд B — левая граница отрезка «a», ряд C — середина отрезка «x», ряд D — правая граница отрезка «b», ряд E — значение функции на левой границе отрезка «F(a)», ряд F — значение функции на середине отрезка «F(x)», ряд G — произведение «F(a)*F(x)», ряд H — проверка достижения точности «êF(x)ê<е».
4.Ввести первоначальные значения концов отрезка: в ячейку B26 «4.8», в ячейку D26 «5.1».
5.Ввести в ячейку C26 формулу «=(B26+D26)/2».
6.Ввести в ячейку E26 формулу «=B26*B26-11*B26+30».
7.Ввести в ячейку F26 формулу «=C26*C26-11*C26+30».
8.Ввести в ячейку G26 формулу «=E26*F26».
9.Ввести в ячейку H26 формулу «=ЕСЛИ(ABS(F26)<0.01;²корень²)».
1 0. Выделить область B21:H21 и протащить ее по вертикали вплоть до появления в ряду H сообщения «корень» (ячейка H29, H30).
Метод касательных (Ньютона)
В качестве примера рассмотрим уравнение x3 +2x2+3x+5= 0. Точность ε=0.01. Решим его, используя специальные возможности пакета Excel.
1. Ввести в ячейку J23 заголовок «Метод касательной (Ньютона)».
2.Ввести в ячейку L23 текст «е=», а в ячейку M23 значение точности «0.00001».
3.В области K25:N25 оформить заголовок таблицы (ряд K — значение аргумента «x», ряд L — значение функции «F(x)», ряд M — производная функции «F¢(x)», ряд N — проверка достижения точности «êF(x)ê<е».
4.В ячейку K26 ввести первоначальное значение аргумента «-2».
5.Ввести в ячейку L26 формулу «=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5».
6.Ввести в ячейку M26 формулу «=3*K26*K26+4*K26+3».
7.Ввести в ячейку N26 формулу «=ЕСЛИ(ABS(L26)<$M$23;»корень»)».
8.Ввести в ячейку K27 формулу «=K26-L26/M26».
9.Выделить область L27:N27 и протащить ее по вертикали вплоть до появления в ряду N сообщения «корень» (ячейка N30).
Метод хорд
В качестве примера рассмотрим уравнение x3 +2x2+3x+5= 0. Точность ε=0.01. Решим его, используя специальные возможности пакета Excel.
1. Ввести в ячейку B32 заголовок «Метод хорд».
2. Ввести в ячейку C34 текст «е=», а в ячейку E34 значение точности «0.00001».
3.В области B36:D36 оформить заголовок таблицы (ряд B — значение аргумента «x», ряд C — значение функции «F(x)», ряд D — проверка достижения точности «êF(x)ê<е».
4.В ячейку B37 и B38 ввести первоначальное значение аргумента «-2» и . «-1»
5.Ввести в ячейку С37 формулу «=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5».
6.Ввести в ячейку D37 формулу «=ЕСЛИ(ABS(B38-B37)<$D$34;»корень»)».
7.Ввести в ячейку B39 формулу «=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37)».
8.Выделить область C39:D39 и протащить ее по вертикали вплоть до появления в ряду D сообщения «корень» (ячейка D43).
Метод простой итерации
В качестве примера рассмотрим уравнение x2 — 11x + 30 = 0. Интервал поиска [4.8,5.1], с точностью e=0,05.
1. Ввести в ячейку K32 заголовок «Метод простой итерации»
2.Ввести в ячейку N34 текст «е=», а в ячейку O34 значение точности «0,05».
3.Выбрать функцию j(x), удовлетворяющую условию сходимости. В нашем случае такой функцией является функция S(x)=(x*x+30)/11.
4.В области K38:N38 оформить заголовок таблицы (ряд K — значение аргумента «x», ряд L — значение функции «F(x)», ряд M — значение вспомогательной функции «S(x)», ряд N — проверка достижения точности «êF(x)ê<е».
5.В ячейку K39 ввести первоначальное значение аргумента «4.8».
6.Ввести в ячейку L39 формулу «=K39*K39-11*K39+30».
7.Ввести в ячейку M39 формулу «=(K39*K39+30)/11».
8.Ввести в ячейку N39 формулу «=ЕСЛИ(ABS(L39)<$O$34;»корень»)».
9.Ввести в ячейку K40 формулу «=M39».
1 0. Скопировать ячейки L39:N39 в ячейки L40:N40.
1 1 . Выделить область L40:N40 и протащить ее по вертикали вплоть до появления в ряду N сообщения «корень» (ячейка N53).
Рис.1 Решение нелинейных уравнений в среде Excel
В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.
Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.
Решение уравнений методом подбора параметров Excel
Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.
Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».
Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:
- Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
- Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
- После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».
Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».
Как решить систему уравнений матричным методом в Excel
Дана система уравнений:
- Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
- Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
- Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
- Умножим обратную матрицу Ах-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
- Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.
Получены корни уравнений.
Решение системы уравнений методом Крамера в Excel
Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:
Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.
Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.
Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).
Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (Dx / |A|).
Для расчета Х1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:
Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel
Для примера возьмем простейшую систему уравнений:
3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9
Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.
Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.
- Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
- Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
- Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
- Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.
- В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.
Примеры решения уравнений методом итераций в Excel
Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:
Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:
Хn+1 = Xn– F (Xn) / M, n = 0, 1, 2, … .
M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:
f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.
Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х3 – 1. М = 11.
В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).
В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.
Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:
Скачать решения уравнений в Excel
Корень на заданном промежутке один.
Представленные методы решения нелинейных уравнений (дихотомии, простых итераций, Ньютона)
описаны здесь. Документ включает 4 листа, на первом из них выполняется графическое исследование функции
вида f(x)=D1*x3+D2*x2+D3*x+D4 с целью выделения интервалов поиска корней.
Для работы с другой функцией достаточно задать новые коэффициенты Di на листе «Исследование».
Всеми тремя методами выполняется одинаковое число шагов, что позволяет сравнить их по точности.
На скриншоте представлен лист «Исследование».
Решение нелинейных алгебраических уравнений — скачать пример в Excel XP/2003 (37 Кб)
