Решение нелинейной задачи средствами excel

Решение нелинейного уравнения в Excel

Разберём решение нелинейного уравнения в Excel вида:

y=4x 3 +2x–7

Ячейку A4 оставим пустой, а в ячейки B4 запишем формулу вида

Затем в Excel перейдём на вкладку Данные -> Поиск Решения

Открывается окно Параметры поиска решения. В поле оптимизировать целевую функцию выбираем ячейку B4, ставим Значения 0, ячейку переменной указываем A4, ставим галочку сделать переменные без ограничений неотрицательными, выбираем метод решения — поиск решения нелинейных задач методом ОПГ (обобщенного приведенного градиента) и жмем Найти решение

Получаем решение искомой задачи

x=1,06744215530327

Отчет результатов вычисления в Excel

Решение уравнения с помощью инструмента «Поиск решения».

Практическая работа № 17.

Тема: Решение линейных и нелинейных уравнений с помощью MS Excel.

Цель: научиться решать линейные и нелинейные уравнения различными способами.

Теоретические сведения и задания:

Графический метод решения уравнения.

Известно, что графическим решением уравнения f(x)=0 является точка пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, т.е. такое значение x, при котором функция обращается в ноль.

Разберем графический метод решения уравнения на примере: пусть необходимо решить уравнение x 3 — 0,01x 2 — 0,7044x + 0,139104 = 0.

На листе 1 проведем табулирование нашей функции на интервале от -1 до 1 с шагом 0,2, для этого построим таблицу значений. Затем по таблице построим точечную диаграмму. Результаты вычислений приведены на рисунке, где в ячейку В2 была введена формула: = A2^3 — 0,01*A2^2 — 0,7044*A2 + 0,139104. На графике видно, что функция три раза пересекает ось Оx, а так как полином третьей степени имеет не более трех вещественных корней, то графическое решение поставленной задачи найдено. Иначе говоря, была проведена локализация корней, т.е. определены интервалы, на которых находятся корни данного полинома: [-1,-0.8], [0.2,0.4] и [0.6,0.8] (можно получить более точное решение если выбрать шаг 0,1).

Лист 1 переименовать в Задание1 и сохранить работу в своей папке с именем Фамилия пр17.xls

Решение уравнения с помощью инструмента «Подбор параметра».

Перейти на лист 2.

Чтобы решить нелинейное уравнение можно воспользоваться средством Подбор параметра, выбрав команду Подбор параметра в меню Сервис. При подборе параметра Excel изменяет значение в одной конкретной ячейке до тех пор, пока вычисления по формуле, ссылающейся на эту ячейку, не дадут нужного результата.

Возьмем в качестве примера квадратное уравнение х 2 -5х+6=0. Для нахождения корней уравнения выполним следующие действия:

В ячейку С3 введем формулу для вычисления значения функции, стоящей в уравнении слева от знака равенства. В качестве аргумента используем ссылку на ячейку С2, т.е. =С2^2-5*C2+6.

Окно диалога Подбор параметра

· В окне диалога Подбор параметра в поле Установить в ячейке введем ссылку на ячейку с формулой, в поле Значение — ожидаемый результат, в поле Изменяя значения ячейки — ссылку на ячейку, в которой будет храниться значение подбираемого параметра (содержимое этой ячейки не может быть формулой).

· После нажатия на кнопку Ok Excel выведет окно диалога Результат подбора параметра. Если подобранное значение необходимо сохранить, то нажмите на Оk, и результат будет сохранен в ячейке, заданной ранее в поле Изменяя значения ячейки. Для восстановления значения, которое было в ячейке С2 до использования команды Подбор параметра, нажмите кнопку Отмена.

При подборе параметра Excel использует итерационный (циклический) процесс. Количество итераций и точность устанавливаются в меню Сервис/Параметры/вкладка Вычисления. Если Excel выполняет сложную задачу подбора параметра, можно нажать кнопку Пауза в окне диалога Результат подбора параметра и прервать вычисление, а затем нажать кнопку Шаг, чтобы выполнить очередную итерацию и просмотреть результат. При решении задачи в пошаговом режиме появляется кнопка Продолжить — для возврата в обычный режим подбора параметра.

Вернемся к примеру. Возникает вопрос: как получить второй корень? Для того чтобы найти второй корень, достаточно в качестве начального приближения в ячейку C2 поместить константу 5 и после этого запустить процесс Подбор параметра.

Лист 2 переименовать в Задание2.

Решение уравнения с помощью инструмента «Поиск решения».

Команда Подбор параметра является удобной для решения простых уравнений. Для более сложных задач следует использовать команду Поиск решения, доступ к которой реализован через пункт меню Сервис/Поиск решения. При решении уравнений с помощью Поиска решений можно учитывать различные дополнительные ограничения, например, ОДЗ (область допустимых значений).

Перейти на лист 3.

Рассмотрим, как воспользоваться Поиском решения на примере того же квадратного уравнения.

Окно диалога Поиск решения

После открытия диалога Поиск решения необходимо выполнить следующие действия:

1. в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, содержащей формулу для вычисления значений оптимизируемой функции, в нашем примере целевая ячейка — это С4, а формула в ней имеет вид: = C3^2 — 5*C3 + 6;

2. для максимизации значения целевой ячейки, установить переключатель максимальному значению, для минимизации используется переключатель минимальному значению, в нашем случае устанавливаем переключатель в положение значению и вводим значение 0;

3. в поле Изменяя ячейки ввести адреса изменяемых ячеек, т.е. аргументов целевой функции (С3), разделяя их знаком «;» (или щелкая мышью при нажатой клавише Сtrl на соответствующих ячейках), для автоматического поиска всех влияющих на решение ячеек используется кнопка Предположить;

4. в поле Ограничения с помощью кнопки Добавить ввести все ограничения, которым должен отвечать результат поиска: для нашего примера ограничений задавать не нужно;

5. для запуска процесса поиска решения нажать кнопку Выполнить.

Результаты поиска

Для сохранения полученного решения необходимо использовать переключатель Сохранить найденное решение в открывшемся окне диалога Результаты поиска решения. После чего рабочий лист примет вид, как на рисунке. Полученное решение зависит от выбора начального приближения, которое задается в ячейке С4 (аргумент функции). Если в качестве начального приближения в ячейку С4 ввести значение, равное 1,0, то с помощью Поиска решения найдем второй корень, равный 2,0.

1. Решение нелинейных уравнений в MS Excel

1.1 Отделение корней

В общем виде любое уравнение одной переменной принято записывать так , при этом корнем (решением) называется такое значение x *, что оказывается верным тождеством. Уравнение может иметь один, несколько (включая бесконечное число) или ни одного корня. Как легко видеть, для действительных корней задача отыскания решения уравнения легко интерпретируется графически: корень есть такое значение независимой переменной, при котором происходит пересечение графика функции, стоящей в левой части уравнения f ( x ) , с осью абсцисс.

Например , для уравнения выполним преобразование и приведем его к виду f ( x )= 0 т.е. . График этой функции представлен на рисунке 1. Очевидно, что данное уравнение имеет два действительных корня – один на отрезке [-1, 0] , а второй – [1, 2].

Рисунок 1. График функции

1.2 Решение уравнений, используя инструмент “Подбор параметра”

Используя возможности Excel , можно находить корни нелинейного уравнения вида f ( x )=0 в допустимой области определения переменной. Последовательность операций нахождения корней следующая:

1. Производится вычисление значений функции в диапазоне вероятного существования корней от значений аргумента, изменяющегося с определенным шагом;

2. В таблице выделяются ближайшие приближения к значениям корней (пары соседних значений функции с разными знаками);

3. Используя средство Excel Подбор параметра, вычисляются корни уравнения.

2. Работа с матрицами в MS Excel . Решение систем уравнений.

Нахождение определителя матрицы

Перед нахождением определителя необходимо ввести матрицу в диапазон ячеек Excel в виде таблицы.

Для нахождения определителя матрицы в Excel необходимо:

· сделать активной ячейку, в которой в последующем будет записан результат;

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МОПРЕД и нажать OK ;

· на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы матрицы, и нажать OK .

Нахождение обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы необходимо

· выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы матрицы ( количество строк и количество столбцов должны равняться соответствующим параметрам исходной матрицы).

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МОБР и нажать OK ;

· на втором шаге задать диапазон ячеек, в котором содержатся элементы исходной матрицы, и нажать OK .

· после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F 2 и комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter .

Для перемножения матриц необходимо

· выделить диапазон ячеек, в которых в последующем будут записаны элементы результирующей матрицы.

· в меню Вставка – Функция в категории Математические выбрать функцию МУМНОЖ и нажать OK ;

· на втором шаге задать два диапазона ячеек с элементами перемножаемых матриц, и нажать OK .

· после появления значения в левом верхнем углу выделенного диапазона последовательно нажать клавишу F 2 и комбинацию клавиш Ctrl + Shift + Enter .

Решение системы уравнений в Excel .

Решение системы уравнений при помощи нахождения обратной матрицы.

Пусть дана линейная система уравнений.

Данную систему уравнений можно представить в матричной форме:

Матрица неизвестных вычисляется по формуле

где A -1 – обратная матрица по отношению к A .

Для вычисления уравнения в Excel необходимо:

· ввести матрицу A;

· ввести матрицу B;

· вычислить обратную матрицу по отношению к А ;

· перемножить полученную обратную матрицу с матрицей B .

Порядок выполнения работы

Задание 1

Найти все корни уравнения 2x 3 -15sin( x )+0,5x-5=0 на отрезке [-3 ; 3].

1. Построить таблицу значений функции f ( x ) для значений x от –3 до 3, шаг 0,2.

Для этого ввести первые два значения переменной x , выделить эти две ячейки, с помощью маркера автозаполнения размножить значения до 3.

Затем ввести формулу для вычисления f ( x ). Скопировать формулу с использованием маркера автозаполнения на весь столбец.

Из полученной таблицы находим, что значение функции трижды меняет знак, следовательно, исходное уравнение имеет на заданном отрезке три корня.

2. Выделить цветом пары значений x и f ( x ), где f ( x ) меняет знак (см .р исунок 2).

3. Построить график функции f ( x ).

Рисунок 2. Поиск приближенных значений корней уравнения

4. Скопировать рядом с таблицей произвольную пару выделенных значений x и f ( x ) (см .р исунок 3).

5. Выполнить команду меню Сервис/Подбор параметра. В диалоговом окне (рисунок 3) заполнить следующие поля:

þ Установить в ячейке : в поле указывается адрес ячейки, в которой записана формула правой части функции;

þ Значение : в поле указывается значение, которое должен получить полином в результате вычислений, т.е. правая часть уравнения (в нашем случае 0);

þ Изменяя значение : в поле указывается адрес ячейки (где записано начальное приближение), в которой будет вычисляться корень уравнения и на которую ссылается формула.

Рисунок 3. Диалоговое окно Подбор параметра для поиска первого корня

6. После щелчка на ОК должно получиться значение первого корня -1,65793685 .

7. Выполнить последовательно операции, аналогичные предыдущим, для вычисления значений остальных корней: -0,35913476 и 2,05170101 .

Задание 2

Решить систему уравнений:

1. Ввести значения элементов матриц A и B уравнения в ячейки Excel .

2. Вычислить обратную матрицу с помощью матричной функции МОБР.

3. Перемножить обратную матрицу A -1 на матрицу B с помощью матричной функции МУМНОЖ (Порядок умножения важен ­– первой должна идти матрица A -1 а второй B .)

4. Проверить правильность полученной матрицы корней X .

Контрольные вопросы

1. Порядок действий для решения нелинейного уравнения с помощью инструмента Подбор параметра MS Excel .

2. Порядок действий для решения системы уравнений матричным методом в MS Excel .

Нелинейное программирование в Excel

Задачи нелинейного программирования в Excel решаются с помощью знакомых уже опций Сервис – Поиск решения. Однако в диалоговом окне Параметры поиска решенияне надо устанавливать флажок Линейная модель.

Рассмотрим пример.

Минимизировать функцию f(x)=(х₁-2) 4 +(х₁-2х₂) 2 при ограничениях х_1,2>0

Введем в ячейки А3 и В3 начальные значения искомых переменных (рис.1.), в ячейку С3 – целевую функцию через адреса ячеек, в которых присвоены начальные значения искомых переменных, в ячейки D3 и E3 производные (для контроля).

Рис. 1. Ввод начальных значений и формул

Тогда получим вид листа, приведенный на рис.2.

Рис. 2. Вид листа после ввода формул

Далее из меню Сервис необходимо вызвать диалоговое окно Поиск решения (рис.3.). В нем в поле Установить целевую ячейку ввести адрес ячейки, где записана целевая функция, далее установить флажок по цели решения – на максимум или минимум.

Рис. 3. Диалоговое окно Поиск решения

В поле области Изменяя ячейки ввести адрес ячеек, где установлены начальные значения переменных, и в поле области Ограничения ввести ограничения модели. Нажать кнопку Параметры.В открывшемся диалоговом окне Параметры поиска решения (рис. 4.) снять флажок Линейная модель, если он установлен.

Рис. 4. Диалоговое окно Параметры поиска решения

Выбрать метод решения. В Excel существует два метода – квазиньютоновский метод и метод сопряженных градиентов. Под параметром Разности понимается метод численного дифференцирования, аппроксимация производных с помощью центральных разностей предпочтительней. Под командой Оценка понимается характер шага метода. Смысл остальных параметров очевиден.

Далее после нажатия кнопок ОК и Выполнить получим результат минимизации функции, приведенный на рис. 5.

Рис. 5. Результат минимизации функции

При желании увеличить точность, можно уменьшив относительную погрешность и сходимость (рис. 6.), и получить результат как на рис. 7.

Рис. 6. Окно Параметры поиска решения с меньшей относительной погрешностью и сходимостью

Рис. 7. Окно Результат вычислений после уменьшения относительной погрешности и сходимости

Рассмотрим другой пример – функцию Розенброка, часто используемую как тестовую. Необходимо минимизировать функцию f(x)=100(у-х 2 ) 2 +(1-х) 2

Функция Розенброка имеет минимум в точке х=1, у=1. Введем начальные значения и целевую функцию, как показано на рис. 8.

Рис. 8. Ввод начальных значений и целевой функции

После запуска решающего блока получим результат, представленный на рис. 9.

Рис. 9. Результат после первого запуска

Не меняя погрешности и сходимости, сделаем еще запуск решающего блока. Получим удовлетворительный результат, представленный на рис. 10.

Рис. 10. Результат минимизации функции Розенброка

Этого результата можно добиться, изменяя значения погрешности и сходимости.

Дата добавления: 2015-08-11 ; просмотров: 5281 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

6.4. Решение задач нелинейного программирования средствами табличного процессора Excel

Решение задач нелинейного программирования в Excel в основном аналогично решению задач линейного программирования (см. подраздел 2.5).

Рассмотрим решение примера 6.3 средствами Excel.

Предположим, что желательно получить результаты (значения переменных X 1 и X 2 ) вячейках B2 и C2. В ячейке B3 введем формулу целевой функции:

В ячейке B4 введем формулу первого ограничения (на расход платины): =13*B2+6*C2

В ячейке D4 введем правую часть этого ограничения: 90.

Аналогично в ячейке B5 введем формулу ограничения на расход палладия (=8*B2+11*C2), в ячейке D5 – правую часть этого ограничения (88).

Укажем также некоторые поясняющие надписи и обозначения (хотя это и необязательно). Рабочий лист будет иметь примерно такой вид, как показано на рис.6.1.

Примечание . Значения 0 в ячейках B3-B5 получены автоматически для начальных значений переменных, равных нулю.

Для решения задачи из меню “Сервис” выберем элемент “Поиск решения”. В поле “Установить целевую ячейку” указывается ячейка B3, где находится формула целевой функции. Используя переключатели, необходимо указать, что требуется установить ячейку B3 “равной максимальному значению” (так как целевая функция в этой задаче подлежит максимизации). В поле “Изменяя ячейки” указываются ячейки, в которых должны находиться значения переменных: B2:C2.

В области “Ограничения” указываются ограничения, как показано в подразделе 2.5. Необходимо ввести ограничения на расход платины и палладия, заданные на рабочем листе, а также ограничение на неотрицательность всех переменных (B2:C2>=0) и ограничение на их целочисленность (в поле “Ссылка на ячейку” указать B2:C2, а в поле знака ограничения выбрать отметку “цел”).

Для решения задачи следует нажать кнопку “Выполнить”. Рабочий лист с результатами решения показан на рис.6.2.

Рис.6.1. Рабочий лист Excel для решения

Рис.6.2. Рабочий лист Excel с результатами

решения примера 6.3

В ячейках B2 и C2 получены оптимальные значения переменных, в ячейке B3 – оптимальное значение целевой функции. Эти величины совпадают с результатами, полученными по методу Франка-Вульфа.

В ячейках B4 и B5 находятся значения левых частей ограничений. Видно, что на выпуск изделий будет израсходовано 90 г платины и 70 г палладия.

1. В табличном процессоре Excel для решения задач оптимизации (элемент меню “Поиск решения”) используются именно градиентные методы.

2. В некоторых случаях табличный процессор Excel не находит решения задачи при нулевых начальных значениях переменных. Обычно это происходит в случаях, когда в целевой функции или в каком-либо ограничении используется операция деления. При нулевых значениях переменных происходит деление на ноль и выводится сообщение об ошибке. В таких случаях в ячейках, в которых определяются значения переменных, перед началом решения задачи следует указать произвольные начальные значения (например, единицы).

Источник

Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel

Задание 2

Нелинейное программирование

Задача называется задачей нелинейного программирования, если её математическая модель имеет вид

в которой среди или есть нелинейные функции.

В отличие от задач линейного программирования не существует единого метода для решения задач нелинейного программирования.

Решение задач нелинейного программирования методом Лагранжа

Метод Лагранжа заключается в выполнении следующих действий.

1. Если в системе ограничений встречаются неравенства, то, вводя дополнительные переменные, преобразовать неравенства в равенства.

2. Для заданной системы ограничений и целевой функции составить функцию Лагранжа:

где есть неопределённые коэффициенты[1].

3. Приравнять к нулю все частные производные первого порядка функции L, и получить систему уравнений (в общем случае нелинейных уравнений):

4. Решить полученную систему и, тем самым, найти все стационарные точки функции , то есть такие точки, в которых функция может иметь экстремумы (минимумы или максимумы).

5. Исследовать каждую точку на наличие в ней экстремума функции , применяя следующую теорему:

если функция дважды дифференцируема в окрестности стационарной точки S = , причём все её вторые производные в этой окрестности непрерывны, то функция имеет в точке S:

минимум, если все числа D₁, D₂, …, D_n являются положительными,

максимум, если знаки чисел D₁, D₂, …, D_n чередуются, начиная с минуса,

Если же числа D_i не являются положительными или их знаки не чередуются, то вопрос о наличии экстремума функции в стационарной точке остаётся открытым и требует дополнительных исследований.

Пример. Решить методом Лагранжа следующую задачу нелинейного программирования:

1. Объявляем целевую функцию f и функцию Лагранжа L:

2. Находим стационарные точки:

а) объявляем все частные производные первого порядка функции L:

б) приравниваем к нулю все частные производные первого порядка функции Лагранжа L и получаем систему, которую

Таким образом, функция f имеет одну стационарную точку (91, 89).

3. Для каждой стационарной точки проверяем наличие у функции f минимума или максимума. Для этого:

а) объявляем все производные второго порядка целевой функции f:

б) вычисляем значения всех производных второго порядка функции f в каждой стационарной точке:

в) вычисляем значения членов последовательности

Так числа D1, D2 положительны, то функция f в точке (91, 89) имеет минимум, равный

Ответ. Функция при условии имеет минимум 17278, который достигается при x₁ = 91, x₂ = 89.

Решение задач нелинейного программирования в Microsoft Excel

Задачи нелинейного программирования в Microsoft Excel решаются так же как и задачи линейного программирования (см. 1.2), с той лишь разницей, что в окне «Параметры поиска решения» необходимо сбросить флаги «Линейная модель» и, если это необходимо, «Неотрицательные значения».

Пример. Решить в Microsoft Excel следующую задачу нелинейного программирования:

найти при условии

В данной модели система ограничений состоит из одного линейного уравнения и нелинейной целевой функции.

1. Заполняем ячейки на рабочем листе необходимыми переменными, целевой функцией и ограничениями:

2. В окне «Параметры поиска решения» сбрасываем флаги «Линейная модель» (так как решаемая задача есть задача нелинейного программирования)» и «Неотрицательные значения» (в условии задачи нет ограничений на знаки переменных).

3. После нажатия кнопки «Выполнить» получаем ответ:

из которого следует, что минимальное значение целевой функции равно 17278 и достигается при x₁ = 91 и x₂ = 89.

Источник