Решение метод якоби excel

Решение СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения»

Систему линейных алгебраических уравнений можно также решить, используя надстройку «Поиск решения». При использовании данной надстройки строится последовательность приближений , i=0,1,…n.

Назовем вектором невязок следующий вектор:

Задача Excel заключается в том, чтобы найти такое приближение , при котором вектор невязок стал бы нулевым, т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы .

В качестве примера рассмотрим СЛАУ (3.27).

Последовательность действий:

1. Оформим таблицу, как показано на рис.3.4. Введем коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3:С5.

Рис.3.4. Решение СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения»

2. В ячейках А8:С8 будет сформировано решение системы (х₁, х₂, х₃). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. В дальнейшем будем их называть изменяемыми ячейками.. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например, единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, = (1, 1, 1).

3. В столбец D введем выражения для вычисления левых частей исходной системы. Для этого в ячейкуD3 введем и затем скопируем вниз до конца таблицы формулу:

Используемая функция СУММПРОИЗВ принадлежит категории Математические.

4. В столбец Е запишем значения правых частей системы (матрицу В).

5. В столбец F введем невязки в соответствии с формулой (3.29), т.е. введем формулу F3=D3-E3 и скопируем ее вниз до конца таблицы.

6. Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая = (1, 1, 1).

7. Выберем команду ДанныеАнализПоиск решения.

Рис. 3.5. Окно надстройки «Поиск решения»

В окне Поиск решения (рис.3.5) в поле Изменяемые ячейки укажем блок $А$8:$С$8, а в поле Ограничения – $F$3:$F$5=0. Далее щелкнем по кнопке Добавить и введем эти ограничения. И затем — кнопка Выполнить

Реализация метода Якоби средствами приложения MS Excel

В качестве примера рассмотрим систему уравнений (3.19), решение которой методом Якоби получено выше (пример 3.2)

Приведем эту систему к нормальному виду:

Последовательность действий

1. Оформим таблицу, как показано на рис.3.6.:

• Матрицы и (3.15)введем в ячейки В6:Е8.

• Значение e–в Н5.

• Номер итерации k сформируем в столбце А таблицы с помощью автозаполнения.

• В качестве нулевого приближения выберем вектор

= (0, 0, 0) и введем его в ячейки В11:D11.

2. Используя выражения (3.29), в ячейки В12:D12 запишем формулы для вычисления первого приближения:

Эти формулы можно записать иначе, используя функцию Excel СУММПРОИЗВ.

В ячейку Е12 введем формулу: E12=ABS(B11-B12) и скопируем ее вправо, в ячейки F12:G12.

Рис.3.6. Схема решения СЛАУ методом Якоби

3. В ячейку Н12 введем формулу для вычисления M (k) , используя выражение (3.18): Н12 = МАКС(E12:G12). Функция МАКС находится в категории статистические.

4. Выделим ячейки В12:Н12 и скопируем их вниз до конца таблицы. Таким образом, получим k приближений решения СЛАУ.

5. Определим приближенное решение системы и количество итераций, необходимое для достижения заданной точности e.

Для этого оценим степень близости двух соседних итераций по формуле (3.18). Воспользуемся Условным форматированиемв ячейках столбца.

Результат такого форматирования виден на рис.3.6. Ячейки столбца Н, значения которых удовлетворяют условию (3.18), т.е. меньше e=0,1, тонированы.

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью e=0,1 четвертую итерацию, т.е.

Исследуем характер итерационного процесса. Для этого выделим блок ячеек А10:D20 и, используя Мастер диаграмм, построим графики изменения каждой компоненты вектора решения в зависимости от номера итерации,

Приведенные графики (рис.3.7) подтверждают сходимость итерационного процесса.

Рис. 3.7. Иллюстрация сходящегося итерационного процесса

Изменяя значение eв ячейке Н5, получим новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Реализация метода прогонки средствами приложения Excel

Рассмотрим решение следующей системы линейных алгебраических уравнений методом «прогонки», используя таблицы Excel.

Векторы:

Последовательность действий

1. Оформим таблицу, как показано на рис.3.8. Исходные данные расширенной матрицы системы (3.30), т.е. вектора введем в ячейки B5:E10.

2. Про гоночные коэффициенты U₀=0 и V₀=0 введем в ячейки G4 и H4 соответственно.

3. Вычислим прогоночные коэффициенты L_i, U_i, V_i. Для этого в ячейках F5, G5, H5 вычислим L₁, U₁, V₁. по формуле (3.8). Для этого введем формулы:

F5 = B5*G4+C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5, и затем скопируем их вниз.

Рис.3.8. Расчетная схема метода «прогонки»

4. В ячейке I10 вычислим x₆ по формуле (3.10)

5. По формуле (3.7) вычислим все остальные неизвестные x₅ x₄, x₃, x₂, x₁. Для этого в ячейке I9 вычислим x₅ по формуле (3.6): I9=G9*I10+H9 . А далее копируем эту формуле вверх.

Контрольные вопросы

1. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Что является решением СЛАУ. Когда существует единственное решение СЛАУ.

2. Общая характеристика прямых (точных) методов решения СЛАУ. Методы Гаусса и прогонки.

3. Общая характеристика итерационных методов решения СЛАУ. Методы Якоби (простых итераций) и Гаусса-Зейделя.

4. Условия сходимости итерационных процессов.

5. Что понимают под терминами обусловленности задач и вычислений, корректности задачи решения СЛАУ.

Глава 4.

Численное интегрирование

При решении достаточно большого круга технических задач приходится сталкиваться с необходимостью вычисления определенного интеграла:

Вычисление площадей, ограниченных кривыми, работы, моментов инерции, перемножение эпюр по формуле Мора и т.д. сводится к вычислению определенного интеграла.

Если непрерывная на отрезке [a, b] функция y = f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x), т.е. F ’ (x) = f(x) , то интеграл (4.1) может быть вычислен по формуле Ньютона – Лейбница:

Однако, только для узкого класса функций y=f(x) первообразная F(x) может быть выражена в элементарных функциях. Кроме того, функция y=f(x) может задаваться графически или таблично. В этих случаях применяют различные формулы для приближенного вычисления интегралов.

Такие формулы называют квадратурными формулами или формулами численного интегрирования.

Формулы численного интегрирования хорошо иллюстрируются графически. Известно [1, 12], что значение определенного интеграла (4.1) пропорционально площади криволинейной трапеции, образованной подынтегральной функцией y=f(x), прямыми х=а и х=b, осью ОХ (рис.4.1).

Задачу вычисления определенного интеграла (4.1) заменяем задачей вычисления площади этой криволинейной трапеции. Однако задача нахождения площади криволинейной не является простой.

Отсюда идея численного интегрирования [3, 6] будет заключатся в замене криволинейной трапеции фигурой, площадь которой вычисляется достаточно просто.

Рис.4.1. Геометрическая интерпретация численного интегрирования

Для этого отрезок интегрирования [a, b] разобьем на n равных элементарных отрезков [x_i ,x_i+1] (i=0, 1, 2, …. n-1), с шагом h=(b-a)/n. При этом криволинейная трапеция разобьется на n элементарных криволинейных трапеций с основаниями равными h (рис.4.1).

Каждая элементарная криволинейная трапеция заменяется фигурой, площадь которой вычисляется довольно просто. Обозначим эту площадь S_i . Сумма всех этих площадей называется интегральной суммой и вычисляется по формуле

Тогда приближенная формула вычисления определенного интеграла (4.1) имеет вид

Точность вычисления по формуле (4.4) зависит от шага h, т.е. от числа разбиений n. С увеличением n интегральная сумма приближается к точному значению интеграла

Это хорошо проиллюстрировано на рис.4.2.

Точное значение интеграла

Рис.4.2. Зависимость точности вычисления интеграла

от числа разбиений

В математике доказывается теорема: если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы б_n существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на элементарные отрезки.

Формулу (4.4) можно использовать, если известна степень точности такого приближения. Существуют различные формулы для оценки погрешности выражения (4.4), но, как правило, они достаточно сложны. Будем проводить оценку точности приближения (4.4) методом половинного шага.

Решение системы уравнений в Microsoft Excel

Умение решать системы уравнений часто может принести пользу не только в учебе, но и на практике. В то же время, далеко не каждый пользователь ПК знает, что в Экселе существует собственные варианты решений линейных уравнений. Давайте узнаем, как с применением инструментария этого табличного процессора выполнить данную задачу различными способами.

Варианты решений

Любое уравнение может считаться решенным только тогда, когда будут отысканы его корни. В программе Excel существует несколько вариантов поиска корней. Давайте рассмотрим каждый из них.

Способ 1: матричный метод

Самый распространенный способ решения системы линейных уравнений инструментами Excel – это применение матричного метода. Он заключается в построении матрицы из коэффициентов выражений, а затем в создании обратной матрицы. Попробуем использовать данный метод для решения следующей системы уравнений:

Заполняем матрицу числами, которые являются коэффициентами уравнения. Данные числа должны располагаться последовательно по порядку с учетом расположения каждого корня, которому они соответствуют. Если в каком-то выражении один из корней отсутствует, то в этом случае коэффициент считается равным нулю. Если коэффициент не обозначен в уравнении, но соответствующий корень имеется, то считается, что коэффициент равен 1. Обозначаем полученную таблицу, как вектор A.

Отдельно записываем значения после знака «равно». Обозначаем их общим наименованием, как вектор B.

Аргумент «Массив» — это, собственно, адрес исходной таблицы.

Итак, выделяем на листе область пустых ячеек, которая по размеру равна диапазону исходной матрицы. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», расположенную около строки формул.

Выполняется запуск Мастера функций. Переходим в категорию «Математические». В представившемся списке ищем наименование «МОБР». После того, как оно отыскано, выделяем его и жмем на кнопку «OK».

Итак, после этого программа производит вычисления и на выходе в предварительно выделенной области мы имеем матрицу, обратную данной.

Теперь нам нужно будет умножить обратную матрицу на матрицу B, которая состоит из одного столбца значений, расположенных после знака «равно» в выражениях. Для умножения таблиц в Экселе также имеется отдельная функция, которая называется МУМНОЖ. Данный оператор имеет следующий синтаксис:

Выделяем диапазон, в нашем случае состоящий из четырех ячеек. Далее опять запускаем Мастер функций, нажав значок «Вставить функцию».

В категории «Математические», запустившегося Мастера функций, выделяем наименование «МУМНОЖ» и жмем на кнопку «OK».

Активируется окно аргументов функции МУМНОЖ. В поле «Массив1» заносим координаты нашей обратной матрицы. Для этого, как и в прошлый раз, устанавливаем курсор в поле и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем курсором соответствующую таблицу. Аналогичное действие проводим для внесения координат в поле «Массив2», только на этот раз выделяем значения колонки B. После того, как вышеуказанные действия проведены, опять не спешим жать на кнопку «OK» или клавишу Enter, а набираем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

После данного действия в предварительно выделенной ячейке отобразятся корни уравнения: X1, X2, X3 и X4. Они будут расположены последовательно. Таким образом, можно сказать, что мы решили данную систему. Для того, чтобы проверить правильность решения достаточно подставить в исходную систему выражений данные ответы вместо соответствующих корней. Если равенство будет соблюдено, то это означает, что представленная система уравнений решена верно.

Способ 2: подбор параметров

Второй известный способ решения системы уравнений в Экселе – это применение метода подбора параметров. Суть данного метода заключается в поиске от обратного. То есть, основываясь на известном результате, мы производим поиск неизвестного аргумента. Давайте для примера используем квадратное уравнение

Принимаем значение x за равное 0. Высчитываем соответствующее для него значение f(x), применив следующую формулу:

Вместо значения «X» подставляем адрес той ячейки, где расположено число 0, принятое нами за x.

Переходим во вкладку «Данные». Жмем на кнопку «Анализ «что если»». Эта кнопка размещена на ленте в блоке инструментов «Работа с данными». Открывается выпадающий список. Выбираем в нем позицию «Подбор параметра…».

Запускается окно подбора параметров. Как видим, оно состоит из трех полей. В поле «Установить в ячейке» указываем адрес ячейки, в которой находится формула f(x), рассчитанная нами чуть ранее. В поле «Значение» вводим число «0». В поле «Изменяя значения» указываем адрес ячейки, в которой расположено значение x, ранее принятое нами за 0. После выполнения данных действий жмем на кнопку «OK».

После этого Эксель произведет вычисление с помощью подбора параметра. Об этом сообщит появившееся информационное окно. В нем следует нажать на кнопку «OK».

Результат вычисления корня уравнения будет находиться в той ячейке, которую мы назначили в поле «Изменяя значения». В нашем случае, как видим, x будет равен 6.

Этот результат также можно проверить, подставив данное значение в решаемое выражение вместо значения x.

Способ 3: метод Крамера

Теперь попробуем решить систему уравнений методом Крамера. Для примера возьмем все ту же систему, которую использовали в Способе 1:

Как и в первом способе, составляем матрицу A из коэффициентов уравнений и таблицу B из значений, которые стоят после знака «равно».

Далее делаем ещё четыре таблицы. Каждая из них является копией матрицы A, только у этих копий поочередно один столбец заменен на таблицу B. У первой таблицы – это первый столбец, у второй таблицы – второй и т.д.

Теперь нам нужно высчитать определители для всех этих таблиц. Система уравнений будет иметь решения только в том случае, если все определители будут иметь значение, отличное от нуля. Для расчета этого значения в Экселе опять имеется отдельная функция – МОПРЕД. Синтаксис данного оператора следующий:

Таким образом, как и у функции МОБР, единственным аргументом выступает ссылка на обрабатываемую таблицу.

Итак, выделяем ячейку, в которой будет выводиться определитель первой матрицы. Затем жмем на знакомую по предыдущим способам кнопку «Вставить функцию».

Активируется окно Мастера функций. Переходим в категорию «Математические» и среди списка операторов выделяем там наименование «МОПРЕД». После этого жмем на кнопку «OK».

Запускается окно аргументов функции МОПРЕД. Как видим, оно имеет только одно поле – «Массив». В это поле вписываем адрес первой преобразованной матрицы. Для этого устанавливаем курсор в поле, а затем выделяем матричный диапазон. После этого жмем на кнопку «OK». Данная функция выводит результат в одну ячейку, а не массивом, поэтому для получения расчета не нужно прибегать к нажатию комбинации клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Функция производит подсчет результата и выводит его в заранее выделенную ячейку. Как видим, в нашем случае определитель равен -740, то есть, не является равным нулю, что нам подходит.

Аналогичным образом производим подсчет определителей для остальных трех таблиц.

На завершающем этапе производим подсчет определителя первичной матрицы. Процедура происходит все по тому же алгоритму. Как видим, определитель первичной таблицы тоже отличный от нуля, а значит, матрица считается невырожденной, то есть, система уравнений имеет решения.

Теперь пора найти корни уравнения. Корень уравнения будет равен отношению определителя соответствующей преобразованной матрицы на определитель первичной таблицы. Таким образом, разделив поочередно все четыре определителя преобразованных матриц на число -148, которое является определителем первоначальной таблицы, мы получим четыре корня. Как видим, они равны значениям 5, 14, 8 и 15. Таким образом, они в точности совпадают с корнями, которые мы нашли, используя обратную матрицу в способе 1, что подтверждает правильность решения системы уравнений.

Способ 4: метод Гаусса

Решить систему уравнений можно также, применив метод Гаусса. Для примера возьмем более простую систему уравнений из трех неизвестных:

Опять последовательно записываем коэффициенты в таблицу A, а свободные члены, расположенные после знака «равно» — в таблицу B. Но на этот раз сблизим обе таблицы, так как это понадобится нам для работы в дальнейшем. Важным условием является то, чтобы в первой ячейке матрицы A значение было отличным от нуля. В обратном случае следует переставить строки местами.

Копируем первую строку двух соединенных матриц в строчку ниже (для наглядности можно пропустить одну строку). В первую ячейку, которая расположена в строке ещё ниже предыдущей, вводим следующую формулу:

Если вы расположили матрицы по-другому, то и адреса ячеек формулы у вас будут иметь другое значение, но вы сможете высчитать их, сопоставив с теми формулами и изображениями, которые приводятся здесь.

После того, как формула введена, выделите весь ряд ячеек и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. К ряду будет применена формула массива и он будет заполнен значениями. Таким образом мы произвели вычитание из второй строки первой, умноженной на отношение первых коэффициентов двух первых выражений системы.

После этого копируем полученную строку и вставляем её в строчку ниже.

Выделяем две первые строки после пропущенной строчки. Жмем на кнопку «Копировать», которая расположена на ленте во вкладке «Главная».

Пропускаем строку после последней записи на листе. Выделяем первую ячейку в следующей строке. Кликаем правой кнопкой мыши. В открывшемся контекстном меню наводим курсор на пункт «Специальная вставка». В запустившемся дополнительном списке выбираем позицию «Значения».

В следующую строку вводим формулу массива. В ней производится вычитание из третьей строки предыдущей группы данных второй строки, умноженной на отношение второго коэффициента третьей и второй строки. В нашем случае формула будет иметь следующий вид:

После ввода формулы выделяем весь ряд и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь следует выполнить обратную прогонку по методу Гаусса. Пропускаем три строки от последней записи. В четвертой строке вводим формулу массива:

Таким образом, мы делим последнюю рассчитанную нами строку на её же третий коэффициент. После того, как набрали формулу, выделяем всю строчку и жмем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Поднимаемся на строку вверх и вводим в неё следующую формулу массива:

Жмем привычное уже нам сочетание клавиш для применения формулы массива.

Поднимаемся ещё на одну строку выше. В неё вводим формулу массива следующего вида:

Опять выделяем всю строку и применяем сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Теперь смотрим на числа, которые получились в последнем столбце последнего блока строк, рассчитанного нами ранее. Именно эти числа (4, 7 и 5) будут являться корнями данной системы уравнений. Проверить это можно, подставив их вместо значений X1, X2 и X3 в выражения.

Как видим, в Экселе систему уравнений можно решить целым рядом способов, каждый из которых имеет собственные преимущества и недостатки. Но все эти методы можно условно разделить на две большие группы: матричные и с применением инструмента подбора параметров. В некоторых случаях не всегда матричные методы подходят для решения задачи. В частности тогда, когда определитель матрицы равен нулю. В остальных же случаях пользователь сам волен решать, какой вариант он считает более удобным для себя.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12677 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Решение систем линейных уравнений

Эта страничка поможет решить Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, матричным методом или методом Крамера, исследовать их на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определить количество решений, найти общее, частное и базисные решения.

Введите коэффициенты при неизвестных в поля. Если Ваше уравнение имеет меньшее количество неизвестных, то оставьте пустыми поля при переменных, не входящих в ваше уравнение. Можно использовать дроби ( 13/31 ).

---

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо описаны
в учебнике «Основы вычислительной математики. Демидович Б.П., Марон И.А. 1966».
Скачать — 11Мб

1. Метод обратной матрицы (решение в Excel)

Если дано уравнение:
A*X = B, где A — квадратная матрица, X,B — вектора;
причем B — известный вектор (т е столбец чисел), X — неизвестный вектор,

то решение X можно записать в виде:
X = A^-1*B, где A^-1 — обратная от А матрица.
В MS Excel обратная матрица вычисляется функцией МОБР(), а перемножаются матрицы
(или матрица на вектор) — функцией МУМНОЖ().

Имеются «тонкости» использования этих матричных действий в Excel. Так, чтобы вычислить
обратную матрицу от матрицы А, нужно:

1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет размещена
   обратная матрица.
2. Начать вписывать формулу =МОБР(
3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишется 
   соответствующий диапазон клеток.
4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter
5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназначенную 
   для неё область

Чтобы умножить матрицу на вектор:

1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещён результат
   умножения
2. Начать вписывать формулу =МУМНОЖ(
3. Выделить мышкой матрицу - первый сомножитель. При этом правее скобки впишется 
   соответствующий диапазон клеток.
4. С клавиатуры ввести разделитель ; (точка с запятой)
5. Выделить мышкой вектор- второй сомножитель. При этом правее скобки впишется 
   соответствующий диапазон клеток.
6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter
7. Должно вычислиться произведение и заполнить предназначенную 
   для него область

Есть и другой спососб, при котором используется кнопка построителя функции Excel.

Пример СЛАУ 4-го порядка

Скачать документ Excel, в котором этот пример решён различными методами.

2. Метод Гаусса

Метод Гаусса подробно (по шагам) выполняется только в учебных целях, когда нужно показать, что Вы это умеете. А чтобы решить реальную СЛАУ, лучше применить в Excel метод обратной матрицы
или воспользоваться специальными программами, например, этой

Краткое описание.

1. Решаю систему уравнений: A*X=B, где A — квадратная матрица n-го порядка,
   X,B — вектора
2. К матрице A справа приписываю вектор B. Получаю расширенную матрицу A
3. В дальнейшем A обозначает расширенную матрицу (n строк, n+1 столбец)
4. Aij — обозначает элемент матрицы, находящийся на i-й строке и j-м столбце
5. Делю 1-ю строку на A11, т е A’1j = A1j/A11 (j = 1..n+1). В результате A’11 = 1. A’ обозначает преобразованную строку
6. Преобразую остальные строки по формуле: A’ij = Aij — A’1j*Ai1 (i = 2..n; j = 1..n+1)
7. В результате 1-й столбец в строках 2..n заполнится нулями
8. Отметим, что все эти преобразования не нарушают правильность уравнений
9. Аналогичные действия проводим для обнуления 2-го столбца в строках 3..n, то есть:
10. Делю 2-ю строку на A’22, т е A»2j = A’2j/A’22 (j = 2..n+1). В результате A»22 = 1. A» обозначает резельтат 2-го преобразования строки
11. Преобразую остальные строки по формуле: A»ij = A’ij — A»2j*A’i2 (i = 3..n; j = 2..n+1)
12. В результате 2-й столбец в строках 3..n заполнится нулями
13. Аналогичные действия проводим далее
14. В результате левые n столбцов матрицы A превращаютс в верхнюю треугольную
    матрицу, т е ниже главной диагонали находятся только нули (а на главной диагонали — единицы) — см Рис 1. На этом рисунке вектор B — слева, S — номер шага



15. Затем выполняется «обратный ход», начиная с нижней строки, из которой можно вычислить Xn = Bn/Ann, например: Х4 = 9,55741/68,6388 = 0,13924 (рис. 1)
16. Затем можно вычислить X3 = (0,9065 — 2,40919*0,13924) = 0,57059
17. Затем из второй строки: X2 + 2,83562*X3 + 8,17808*X4 = 2,47945 вычисляю X2, и т д

3. Метод Якоби (метод простых итераций)

Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.

Далее номер в скобках означает номер строки.
Новую первую строку получаю сложением старой первой строки с другими строками, умноженными на специально подобранные коэффициенты. Записываю это в виде формулы:

(1)’ = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4)   
(2)’ = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12*(4) 
(3)’ = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) 
(4)’ = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3)  

Примечание: подбор коэффицентов выполнен на листе "Анализ". 
Решаются системы уравнений, цель которых - обратить внедиагональные
элементы в нуль. Коэффиценты - это округлённые результаты решения
таких систем уравнений. Конечно, это не дело.

В результате получаю систему уравнений:

Для применения метода Якоби систему уравнений нужно преобразовать к виду:

X = B2 + A2*X Преобразую:

Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид :

А вектор В2:


Скачать

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)
Приближенные методы решения СЛАУ. Метод Якоби Матричные функции в MS Excel Решение СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения» Реализация метода в MS Excel
3.1. Приближенные методы решения СЛАУ. Метод Якоби
Метод Якоби является одним из приближенных методов решения СЛАУ. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в общем случае имеет вид: , (3.1) В некоторых случаях эту систему удобнее записывать в матричной форме: , (3.2) где А — матрица системы, — вектор решения, — вектор свободных членов. Система (3.1—3.2) имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной, т.е. определитель матрицы не равен 0 (detA¹0). Предполагаем, что выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов» матрицы системы А, т.е. (3.3) т.е. модули диагональных элементов каждой строки больше суммы модулей всех остальных элементов. Что обеспечивает сходимость итерационного процесса. Предполагаем, что диагональные элементы матрицы А отличны от нуля. Преобразуем систему (3.1) к эквивалентной ей, выражая неизвестное xi из i-ого уравнения: (3.4) Система (3.4) называется системой, приведенной к нормальному виду. Введём обозначения: Систему (3.4) можно записать в матричной форме: (3.5) где (3.6) Систему (3.6) решаем методом последовательных приближений (итераций). За начальное приближение (нулевую итерацию) принимаем столбец свободных членов , т.е. Используя выражение (3.6), строим последовательность приближений (итераций): (3.7) Таким образом, получили последовательность приближений: . (3.8) Если эта последовательность (4.9) имеет предел , то он является точным решением системы (3.1). На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими. Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом: (3.9) Если условие (3.9) выполнено, то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы (3.1) с заданной точностью e принимается k-ое приближение, т.е. . Условия сходимости итерационного процесса. Прежде чем применять итерационные методы для решения какой-либо системы, необходимо убедиться, что решение может быть получено, т.е. итерационный процесс сходится к точному решению. Доказывается теорема, что итерационный процесс для СЛАУ (3.1) сходится к точному решению, если матрица системы А обладает свойством «преобладания диагональных коэффициентов», т.е. выполняется условие (3.9). Если detA≠0, то с помощью линейного комбинирования уравнениями исходной системы, ее всегда можно заменить эквивалентной системой, для которой свойство «преобладания диагональных коэффициентов» выполняется.
3.2. Матричные функции в MS Excel
Для решения задач линейной алгебры используются матричные функции Excel из категории математические: МУМНОЖ(<матрица1>;<матрица2>) – возвращает произведение матриц. МОБР(<матрица>) – возвращает матрицу, обратную к данной. МОПРЕД(<матрица>) – вычисляет определитель исходной квадратной матрицы. Порядок обращения к матричным функциям: выделить блок, где будет размещен результат матричной операции; в мастере функций выбрать нужную категорию и нужную функцию; убрать окно соответствующей функции (с помощью кнопки ) или отбуксировать его в сторону от исходных данных; выделить исходную матрицу (бегущая пунктирная линия); одновременно нажать клавиши Shift+Ctrl+Enter. Кроме матричных функций в MS Excel имеются ряд функций для вычисления суммы произведений элементов массива, перемножая соответствующие элементы заданных массивов. С помощью данной функции в частности можно найти произведение вектора на вектор: СУММПРОИЗВ(<вектор1>,<вектор2>) – возвращает число.
Решение СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения»
Задание 3.1. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений. (3.10) 1. Вычислите определитель системы (3.10) и сделайте вывод о существовании и единственности решения системы. Используйте матричные функции Excel. 2. Решите СЛАУ (3.10), используя надстройку Excel «Поиск решения». В MS Excel имеется возможность решения СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения». Приложение MS Excel использует итерационные (приближенные) методы. Назовем вектором невязок следующий вектор: (3.11) Задача Excel заключается в том, чтобы найти такое приближение , при котором вектор невязок был бы нулевым, т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы . Последовательность действий при использовании надстройки Excel «Поиск решения»:
Оформите таблицу , как показано на рис.3.1. Введите В ячейки А3:С5 коэффициенты системы (матрицу А) В столбец D — выражения для вычисления левых частей исходной системы . Для этого можно использовать функцию СУММПРОИЗВ, из категории Математические. В столбец Е запишите значения правых частей системы (матрицу В). В ячейках А7:С7 будет сформировано решение системы (х1, х2, х3). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы . В столбец F введите невязки в соответствии с формулой (3.11). Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .	Рис.3.1. Решение СЛАУ с помощью надстройки
Выберите вкладку ДанныеАнализПоиск решения (рис. 3.2.). В поле Изменяемые ячейки укажите блок $А$7:$С$7, В поле Ограничения – $F$3:$F$5=0. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения. Щелкните на кнопке Выполнить. Решение системы (3.10.) х1=1; х2=-1 х3=2 получено в ячейках А7:С7, рис.3.1.	Рис. 3.2. Окно Поиск решения
3.4. Реализация метода Якоби в MS Excel
Задание 3.2. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений (3.10) методом Якоби. Проверим, можно ли использовать изложенный выше итерационный метод для заданной системы, т.е. выполняется ли условие «преобладания диагональных коэффициентов» (3.3), что обеспечивает сходимость этого метода (|А11|=8, |А22|=6, |A33|=4) Приведем эту систему к нормальному виду: , (3.12) или в матричной форме , где , Последовательность действий: Оформим таблицу, как показано на рис. 3.3. Введем в ячейки В6:Е8 — исходные данные матрицы и, в ячейку Н5 — значение e. В столбце А сформируем номер итерации n с помощью автозаполнения. В ячейки В11:D11 введем начальное приближение решения. В ячейках В12:D12 запишем формулы для вычисления первого приближения, используя выражение (4.4). Эти формулы имеют вид: B12 = $E$6 + B11*$B$6 + C11*$C$6 + D11*$D$6, C12 = $E$7 + B11*$B$7 + C11*$C$7 + D11*$D$7, D12 = $E$8 + B11*$B$8 + C11*$C$8 + D11*$D$8. Эти формулы можно записать иначе, используя функцию Excel СУММПРОИЗВ. Введем формулы в ячейки Е12 = ABS(B11-B12) и скопируем ее вправо, в ячейки F12:G12. Н12 = МАКС (E12:G12) (формулу для вычисления M(k). Для этого используем выражение (3.9)), Функция МАКС находится в категории статистические. Выделим ячейки В12:Н12 и скопируем их вниз до конца таблицы. Таким образом, получим k-ое приближение решения СЛАУ. Рис.3.3. Расчетная схема метода Якоби Определим количество итераций, необходимое для достижения заданной точности e и приближенное решение системы. Для этого оценим степень близости двух соседних итераций по формуле (3.9). В ячейках столбца Н установим Условное форматирование, о котором уже говорилось при изучении раздела1 (Решение нелинейного уравнения). Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью е=0.1 4-ую итерацию, т.е. Изменяя значение e в ячейке Н5, получим новое приближенное решение исходной системы с новой точностью. Исследуем характер итерационного процесса. Для этого выделим блок ячеек А10:D20 и построим графики, отражающие сходимость итерационного процесса, используя Мастер диаграмм. Приведенные графики подтверждают сделанный ранее вывод о сходимости итерационного процесса.

Соседние файлы в папке Информатика_2

• #
• #
• #
• #
• #
• #