При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.
Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.
Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.
Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.
Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.
Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.
Признак (значение функции) – высота фигуры.
Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.
Функция – описание зависимости высоты от ширины.
Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.
Теория.
Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.
Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.
Площадь под кривой y = f ( x ) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y =f ( x ). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.
Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.
Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.
Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.
Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.
Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.
1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!
2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!
Практика вычисления интегралов в Excel.
Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.
Определение тепловой энергии.
Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.
Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Следите за анонсами, многим, я думаю, это будет интересно.
Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.
1. В столбец B вписываем время проведения измерения τi .
2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t2i , измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.
3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t1i , поступающего на вход коллекторов.
4. В столбце E вычисляем разности температур dti на выходе и входе
5. Зная удельную теплоемкость воздуха c =1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G =0,02031 кг/с, определяем мощность установки Ni в КВт в каждый из моментов времени в столбце F
Ni = c * G * dti
На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.
Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.
6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день
Q =Σ Qi =10,395 КВт*час
7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона
Q =Σ Qj =10,395 КВт*час
Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!
Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.
По методу трапеций: Q =10,220 КВт*час (-1,684%)
По методу Симпсона: Q =10,309 КВт*час (-0,827%)
Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.
Общие выводы.
Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.
Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.
Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!
Отзывы и комментарии к статье, уважаемые читатели, пишите в блоке, расположенном ниже статьи.
Чтобы получать информацию о выходе новых статей на блоге подпишитесь на анонсы в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи. Введите адрес своей электронной почты, нажмите на кнопку «Получать анонсы статей» и подтвердите подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту. С этого момента к вам на почтовый ящик будет пару раз в месяц приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи.
Прошу УВАЖАЮЩИХ труд автора скачать файл ПОСЛЕ ПОДПИСКИ на анонсы статей.
Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).
Примеры интегрирования по частям логарифма и обратных тригонометрических функций
Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций
1. Интегралы вида ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx ) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
2. Интегралы вида ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx , где n – целое.
Необходимо использовать формулы
3. Интегралы вида ∫ sin n x·cos m x dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x , если n – нечётное либо t=cos x , если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Интегралы вида
3. Интегралы вида ∫ sin n x·cos m x dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x , если n – нечётное либо t=cos x , если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. Интегралы вида
Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x . Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. ∫ sin(nx)·cos(mx)dx , ∫ cos(mx)·cos(nx)dx , ∫ sin(mx)·sin(nx)dx
Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму:
- sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
- cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
- sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
Примеры
1. Вычислить интеграл ∫ cos 4 x·sin 3 xdx .
Делаем замену cos(x)=t . Тогда ∫ cos 4 x·sin 3 xdx =
2. Вычислить интеграл 
.
Делая замену sin x=t , получаем
3. Найти интеграл 
.
Делаем замену tg(x)=t . Подставляя, получаем
Основные тригонометрические формулы
Ниже приведены некоторые тригонометрические формулы, которые могут понадобится при интегрировании тригонометрических функций.
sin 2 a + cos 2 a = 1
sin ( a+b ) = sin a cos b + cos a sin b
cos ( a+b ) = cos a cos b – sin a sin b
sin 2 a = 2 sin a cos a
cos 2 a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a
Примеры интегрирования тангенса и котангенса
Пример 1. Найти интеграл от тангенса tan(4*x).
Вычисления: Применяем приведенную выше методику для интегрирования тангенса
Здесь в скобках мы сначала вычисляем дифференциал от косинуса, а дальше выделяем значение, которое нам нужно достать. Далее интегрирования сводим к логарифму.
Таким образом можем записать обобщенную формулу для интеграла tan(k*x)
Int(tan(k*x),x)=-1/k*(log(cos(x)).
По этой формуле интеграл от тангенса двойного угла равен логарифму косинуса двойного угла умноженному на -0,5 .
Для тангенса половины угла tan (phi / 2) интеграл равен -2 умножить на логарифм косинуса половины угла
По индукции получим формулу интеграла для тангенса одной третьей угла tan(phi/3)
Пример 2. Проинтегрировать котангенс двойного угла
Вычисления: По аналогии с формулами для тангенса мы могли бы выписать готовую формулу, но лучше выполнить промежуточные переходы чтобы Вы лучше поняли и заучили методику внесения под дифференциал
Таким образом, если имеем котангенс тройного угла то перед интегралом получим множителем 1/3
Интегралы от котангенса половины и трети угла будут иметь множителями перед логарифмом соответственно двойку и тройку
При нахождении первоначальной от тангенса и котангенса следует справа добавить постоянную
Зная данную методику, Вы знаете как найти интеграл от тангенса, аргумент которого содержит множителем произвольное число.
Вычисления определенных интегралов от тангенса и котангенса в данной статье рассматривать не будем. Если Вы вычисляли такие интегралы от простых функций то, зная синусы и косинусы углов найти определенный интеграл от тангенса или котангенса сможете без проблем.
Вычисление площадей отдельных трапеций
Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце “E” будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций. Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца “D”. Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).
Получаем формулу в ячейке “E3”: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что “×1” в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца “Е” посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.
Вычисление площадей прямоугольных трапеций за каждый промежуток времени
Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:
=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).
Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:
=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).
Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.
Теория.
Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.
Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.
Площадь под кривой y = f ( x ) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y =f ( x ). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.
Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.
Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.
Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.
Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.
Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.
1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!
2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!
Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций
Здесь мы рассмотрим стандартные подстановки, с помощью которых, в большинстве случаев, выполняется интегрирование тригонометрических функций.
Применение знаний, формирование умений и навыков
Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»
Состав задания:
- Ознакомиться с теоретической частью задания;
- Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
- Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
– постановку задачи;
– алгоритм расчета;
– таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
– результат расчета и его анализ.
Индивидуальное расчетное задание:
- Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x 4 ) 1/2 на отрезке [0; 4]
по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка. - Представьте графически поставленную задачу.
Постановка задачи:
Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.
Таблица Исходная информация
Представление в Excel
Анализ заданной функции и результаты вычислений в Ms Excel
Расчет площади
xi
f(xi)
Коэффициенты формулы трапеций
Вычисление Ci*f(xi)
N=2
N=4
N=8
N=2
N=4
N=8
N=2
N=4
N=8
Ответ: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций равна 1,60кв.мм, значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,008.
Задания для индивидуальной работы студентов по вариантам:
Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x) на отрезке [a; b] (см. таблицу ) по формуле трапеций, разбивая отрезок [a; b] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.
Представьте графически поставленную задачу.
отрезок [a; b]
Функция f(x)
(х 4 /(1+x 4 ) 1/2 ) 1/2
(х 5 /(1+x 4 ) 1/2 ) 1/2
На сегодняшнем занятии мы отработали навыки вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработали умения применять теоретические знания в практических расчетах.
Распространенные примеры интегрирования косинуса
Пример 1. Найти интеграл от cos(5*x).
Решение: По формуле интегрируем косинус
Пример 2. Вычислить интеграл от cos(7*x).
Решение: Выполняем интегрирование
Пример 3. Проинтегрировать выражение cos (11*x).
Решение: Вычисляем неопределенный интеграл
Пример 4. Найти интеграл функции y= cos (x/5).
Решение: Записываем неопределенный интеграл
Пример 5. Найти интеграл функции y= cos (x/6) .
Решение: Проинтегрируем по приведенной выше формуле
Как только Вы освоите методику интегрирования на простых примерах, смело можете переходить к определенным интегралам и первообразным. Для отискания определенного интеграла проводим интегрирование, а дальше подставляем пределы интегрирования и находим изменение первообразной функции.
Пример 6. Проинтегрировать косинус двойного угла y = cos (2 * x) от 0 до 45 градусов.
Решение: Находим указанный интеграл от косинуса
Пример 7. Найти интеграл от косинуса y = cos (x) от 0 до 60 градусов.
Решение: Вычисляем интеграл и подставляем пределы интегрирования
Пример 8. Найти первоначальную от cos (x), которая при 30 градусах равна 1 .
Решение: Находим первоначальную
С наложенного условия на первоначальную вычисляем постоянную
sin(Pi/6)+C=1; C=1-
sin(Pi/6)=1-0,5=0,5.
Подставляем полученную постоянную в уравнение
На этом задача решена. На таких простых примерах Вы четко должны знать, чему равный интеграл от косинуса.
Далее полученные знания можно применять для вычисления площадей криволинейных трапеций. Это достаточно абстрактное понятие, но с помощью интегрирования находить площадь фигур достаточно просто и быстро. Следует только помнить, что площадь всегда принимает положительное значение, в то время как определенный интеграл может принимать отрицательное значение.
Например вычислим площадь и интеграл от косинуса, если переменная принадлежит интервалу от 0 до 2*Pi.
По физическому содержанию площадь равна заштрихованным поверхностям.
Находим определенный интеграл в указанных пределах
Он равен нулю. Что касается площади, то сначала следует найти точки пересечения с осью абсцисс на этом интервале
Таким образом площадь необходимо искать на трех промежутках
Ось абсцисс можем записать функцией y = 0 . Таким образом на первом промежутке площадь равна интегралу от косинуса,
на втором 0-cos (x) = – cos (x) от минус косинуса и на третьем от косинуса. Все при вычислении площади зависит от того, какая функция принимает большее значение по оси ординат (Oy) . Вычисляем площадь интегрированием в указаных пределах
Таким образом искомая площадь равна 4. Если иметь график функции перед глазами, то данное значение можно получить как 4 площади косинус функции, которые периодически повторяются
На этом знакомство с интегрированием косинуса завершается. Приведенная методика интегрирования позволяет вычислить 80% основных задач на интегрирование косинуса. Остальные 20% Вы научитесь после изучения способов нахождения интегралов от функций вида
Мы научим Вас, какие свертки и замены переменных следует использовать, в каких случаях целесообразно интегрировать по частям.
Интегралы от других тригонометрических и обратных к ним функций Вы найдете в категории “ Интегрирование функций “.
Интегрирование обратных тригонометрических функций
Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции
arcsin φ , arctg φ , и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x , нередко интегрируются по частям, полагая u = arcsin φ , u = arctg φ , и т.д.
Общий подход
Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.
Например, если подынтегральное выражение зависит от sin( x+a ) и cos( x+b ) , то следует выполнить преобразование:
cos ( x+b ) = cos ( x+a – ( a–b ) ) = cos ( x+a ) cos ( b–a ) + sin ( x+a ) sin ( b–a ) .
После чего сделать замену z = x+a . В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z .
Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z ), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z , cos z , tg z , ctg z , то нужно сделать подстановку
.
Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.
Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.
Методика вычисленияопределённого интеграла
Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.
Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: Sтрап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.
Метод трапеций для вычисления значения определённого интеграла
Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)
Пример №1 . Вычислить интегралы: 
Решение.
а) Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx) , где R — рациональная функция от sin x и cos x , преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t .
Тогда имеем
Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида ∫ R(sinx, cosx) dx к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:
- Если выполняется равенство R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx , то применяется подстановка cos x = t .
- Если выполняется равенство R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx , то подстановка sin x = t .
- Если выполняется равенство R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx , то подстановка tgx = t или ctg x = t .
В данном случае для нахождения интеграла 
применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t .
Тогда
Так как дробь неправильная, то, выделяя целую часть, получим
Возвращась к исходной переменной будем иметь
b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение ∫ R(sinx, cosx) dx имеет вид ∫ sin m x·cos n xdx . В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t . Если нечетно n , следует применить подстановку sin x = t . Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам: 
В данном случае
Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel
Цель урока: Совершенствование умений и навыков по теме «Численное интегрирование», применяя возможности MS Excel по вычисление определенных интегралов методом трапеции. Отработать практическое освоение соответствующих умений и навыков.
Задачи урока:
- Образовательные – совершенствование умений студентов при вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработать умение применять теоретические знания в практических расчетах;
- Развивающие – познакомить студентов с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений. Развивать у студентов математическую речь: создать ситуацию для применения основных понятий в речи; творческого мышления через создание условий для самореализации творческого потенциала обучающихся;
- Воспитательные – выработать у студентов умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач. Воспитывать интерес к предмету через ситуацию успеха и взаимодоверия.
Тип урока: комбинированный урок.
Вид урока: практическое занятие, продолжительность – 2 часа.
Оборудование урока:
- Компьютеры с OS MS Windows;
- Программа Microsoft Excel;
- Презентация по теме, выполненная в программе PowerPoint;
- Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Структура урока:
1.Актуализация знаний:
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок;
1.2.Фронтальный опрос с целью выявления основных этапов решения задач интегрирования и методики решения;
1.3. Постановка задачи с целью повторения алгоритма вычисления определенных интегралов методом трапеции;
1.4.Подведение итогов 1 этапа урока.
2.Применение знаний, формирование умений и навыков:
2.1.Беседа с целью формулировки задания для самостоятельной работы и инструктажа по ее организации;
2.2.Самостоятельная работа в группах по выполнению задания вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
2.3.Подведение итога урока.
В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft PowerPoint.
ХОД УРОКА
1. Актуализация знаний
1.1. Мобилизующее начало, постановка целей и задач на урок.
На прошлых уроках мы с Вами изучили приближенное вычисление определенных интегралов, выделили методы их решения и решали данные интегралы ручным счетом. А на сегодняшнем занятии мы будем совершенствовать умения и навыки при вычислении определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.
— В чем заключается вычисление интеграла?
— Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница 
. Ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае подынтегральной функции. Поэтому применяют численные методы, позволяющие найти приближенное значение исходного интеграла с заданной точностью.
— Общий подход к ее решению состоит в том, чтобы аппроксимировать функцию 
какой-либо другой функцией 
, для которой интеграл вычисляется аналитически.
— Тогда для решения задачи строим 
с оценкой погрешности 
, и приближенно 
с очевидной оценкой погрешности 
.
— Введем на отрезке 
сетку 
, 
, где 
, и таблицу значений 
, 
.
— Рассмотрим простой вариант построения функции 
, приводящий к формуле трапеций.
— При этом функция 
строится как кусочно-линейная интерполяция значений 
, 
на равномерной сетке с шагом 
.
=
.
— Формулы такого рода (
) называют механическими квадратурами, 
– коэффициентами (весами) квадратуры, 
– ее узлами.
Точность формулы трапеций зависит от гладкости функции 
. Если она на 
имеет первую производную, ограниченную числом 
, то 
, и погрешность формулы трапеций не превосходит 
. Если 
на 
имеет вторую производную, ограниченную числом 
, то погрешность формулы итераций не превосходит 
, поскольку 
.
Теоретические оценки погрешностей не всегда применяются. Если требуется вычислить интеграл с погрешностью 
, то мало кто сначала оценит третью производную функции 
и вычислит шаг сетки 
. Эта оценка и значение константы 
завышены. Кроме того, само вычисление 
может быть трудным, особенно если 
задана некоторым сложным образом.
Поэтому, вычисляя интеграл с небольшим числом узлов 
, получают его значение 
; вычисляя интеграл с удвоенным 
, получают 
. Если модуль 
(где ε – предельное допустимое значение погрешности расчета), то задачу считают решенной. В противном случае вычисляют 
и т.д. Для гладких функций 
часто интеграл вычисляется очень точно при малом числе узлов.
— Объясните алгоритм вычисления интеграла различными методами?
2. Применение знаний, формирование умений и навыков
Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»
Состав задания:
- Ознакомиться с теоретической частью задания;
- Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
- Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
— постановку задачи;
— алгоритм расчета;
— таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
— результат расчета и его анализ.
Индивидуальное расчетное задание:
- Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x 4 ) 1/2 на отрезке [0; 4]
по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка. - Представьте графически поставленную задачу.
Постановка задачи:
Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.
history 20 ноября 2022 г.
- Группы статей
Вычислим в MS EXCEL определенный интеграл методом трапеций (англ. Trapezoidal Rule). Оценим ошибку интегрирования, построим график функции.
В интернете есть много сайтов по автоматическому вычислению интегралов аналитическими и численными методами. Но, как правило, про использованный метод численного интегрирования ничего не говорится, а корректность вычислений проверить невозможно. В данном примере все вычисления прозрачны и можно задать необходимое количество интервалов разбиения. Правда, данный метод имеет относительно невысокую точность по сравнению с другими методами (если сравнивать его с методом Симпсона и методом интерполяционного полинома Лагранжа).
Немного теории
Так как функция, стоящая под знаком интеграла в общем случае может быть любая, то значение интеграла не всегда можно вычислить аналитически. Однако, можно воспользоваться тем фактом, что согласно теории, значение интеграла численно равно площади фигуры образованной графиком функции и осью Х (фигура выделена цветом).
Таким образом, задача нахождения интеграла сводится к нахождению площади этой фигуры. Площадь фигуры в общем случае можно найти численными методами, разбивая ее на простые однотипные фигуры, например трапеции. Т.к. площадь каждой трапеции найти легко, то простым суммированием площадей можно найти и интеграл. Платой за универсальность является ошибка интегрирования, которую впрочем можно оценить (будет показано далее).
Фактически метод трапеций основан на линейной интерполяции, т.е. график функции y = f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (xi, yi) прямыми линиями.
Площадь каждой трапеции можно найти следующим образом (см. рисунок ниже).
Фактически задача по нахождению интеграла сводится в основном к построению таблицы значений функции y=f(x) для заданных Х и нахождению их суммы. Интеграл можно найти с помощью вот такой простой формулы:
Построение модели
Для определенности вычислим интеграл для функции-многочлена f(𝑥)=𝑥3−5𝑥2+6𝑥+1. График этой функции в диапазоне от 0 до 4 выглядит следующим образом (см. файл примера).
Примечание: про тонкости построения графика функции можно прочитать в этой статье https://excel2.ru/articles/grafik-vs-tochechnaya-diagramma-v-ms-excel.
В файле примера построим таблицу значений функции для 41 точки (от 0 до 40), что составляет 40 интервалов.
Напомним, что Интеграл методом трапеций можно найти с помощью вот такой простой формулы:
В MS EXCEL формула также будет очень простой =E13/2*СУММ(D20:D59).
Примечание: При вводе функции в столбец С нужно быть очень внимательным — ошибиться очень легко, т.к. формула будет выглядеть как месиво символов =B19^3-5*B19^2+6*B19+1.
Вычисленное приближенное значение интеграла для данной функции в интервале [0;4] равно 9,340, а точное 9,333, т.е. ошибка составляет менее 0,1%. Ниже показано как ее оценить.
В файле примера на листе «настраиваемый интервал» сделана форма для работы с разными количествами интервалов разбиения. При изменении количества интервалов график перестраивается автоматически, формулы для вычисления интеграла не нужно переписывать (как, впрочем, и расширять/ убавлять таблицу значений).
Ошибка вычисления
На рисунке ниже показано откуда появляется ошибка интегрирования. Для первых 2-х трапеций (образованы красными линиями) площадь меньше чем у истинной функции (синяя линия). Для следующих 2-х — площадь больше. Из этого следует, что метод трапеций хорошо работает для осциллирующих функций, когда ошибки компенсируют друг друга.
Простой многочлен был выбран в качестве демонстрационной функции, чтобы можно было вычислить интеграл точно и потом найти истинную ошибку, чтобы иметь возможность сравнить ее с оценкой.
К сожалению, для нахождения оценки ошибки потребуется вычислить первую производную. Сделать это чаще всего не сложно, но автоматизировать это в EXCEL не получится. Поэтому при изменении подинтегральной функции приходится вносить изменения в несколько формул на листе, а точнее — в 2 ячейки С19 и G31 (в файле примера они выделены красным). После ввода формул их нужно скопировать вниз.
В наем случае полученная оценка ошибки совпала с истинной ошибкой, что говорит о том что мы не ошиблись при вычислении производной и вводе формул на лист.
Совет: всегда оценивайте ошибку интегрирования.
Вычисления интеграла
методом Гаусса можно производить с
помощью табличного процессора Excel.
В данном случае пользуются той же
таблицей, что и при ручном счете. Выгода
использования Excel
в том, что можно увеличить количество
частей, на которые разбивается отрезок
интегрирования, тем самым, уменьшив
погрешность результата.
Вычисления методом
трапеций интеграла
с помощью Excel
представлено на рис. 6.5., 6.6.
Рисунок
6.5. Вычисление интеграла методом трапеций
в Excel
Рисунок
6.6. Вычисление интеграла методом трапеций
в режиме проверки
формул
Задания для самостоятельного решения
-
Приближенно
вычислить интеграл с использованием
метода Гаусса, при этом на всем отрезке
интегрирования использовать четыре
узла.
.
-
Приближенно
вычислить интеграл с использованием
метода Гаусса, при этом на всем отрезке
интегрирования использовать пять
узлов..
-
Приближенно
вычислить интеграл с использованием
метода Гаусса, при этом на всем отрезке
интегрирования использовать пять
узлов. Оценить погрешность результата
.
-
Приближенно
вычислить интеграл с использованием
метода Гаусса, при этом на всем отрезке
интегрирования использовать пять
узлов. Оценить погрешность результата
.
-
Приближенно
вычислить интеграл с использованием
метода Гаусса, при этом на всем отрезке
интегрирования использовать пять
узлов. Оценить погрешность результата
Практическая работа №8
Тема:
«Вычисление интегралов по формулам
Гаусса»
Цели:
освоение
вычисления интегралов приближенными
методами с помощью квадратурных формул
Гаусса; сравнение методов трапеций и
парабол с методом Гаусса.
Задание
1. Вычислить
интеграл от заданной функции f(x)
на отрезке [a;
b]
при делении отрезка на 10 равных частей
по формуле Гаусса.
Задание
2. Вычислить
интеграл от заданной функции f(x)
на отрезке [a;
b]
при h
= 0,01 с
помощью математических программных
средств
Задание
3. Сравнить
полученный в задании 1 результат с
результатами, полученными при
вычислении интеграла методами трапеций
и парабол.
Исходные данные:
Вариант 1.
;
Вариант 2.
Вариант
3.
;
Вариант 4.
Вариант
5.
;
Вариант 6.
Вариант 7.
;
Вариант 8.
Вариант 9.
;
Вариант 10.
Вариант
11.
; Вариант 12.
Вариант 13.
;
Вариант 14.
Вариант 15.
;
Вариант 16.
Вариант 17.
;
Вариант 18.
Вариант 19.
;
Вариант 20.
Примеры выполнения заданий работы
Задание 1.
Вычислить интеграл от заданной функции
f(x)
на отрезке [a;
b]
при делении отрезка на 10 равных частей
по формуле Гаусса.
Решение:
Оформим
вычисления в таблицу:
|
i |
xi |
хi1= |
хi2= |
yi (i |
yi (i |
|
0 |
0 |
0,02113249 |
0,078868 |
0,00000944 |
0,00049005 |
|
1 |
0,1 |
0,12113249 |
0,178868 |
0,00177304 |
0,00569215 |
|
2 |
0,2 |
0,22113249 |
0,278868 |
0,01072537 |
0,02140672 |
|
3 |
0,3 |
0,32113249 |
0,378868 |
0,3255086 |
0,05309115 |
|
4 |
0,4 |
0,42113249 |
0,478868 |
0,07250071 |
0,10566206 |
|
5 |
0,5 |
0,52113249 |
0,578868 |
0,13520907 |
0,18331848 |
|
6 |
0,6 |
0,62113249 |
0,678868 |
0,22452206 |
0,28938023 |
|
7 |
0,7 |
0,72113249 |
0,778868 |
0,34334373 |
0,42614496 |
|
8 |
0,8 |
0,82113249 |
0,878868 |
0,49350196 |
0,59476723 |
|
9 |
0,9 |
0,92113249 |
0,978868 |
0,67563779 |
0,79516236 |
|
10 |
1 |
||||
|
2,28273177 |
2,47511539 |
=
0,1/2(2,28273177+2,47511539)
= 0,22324447
Оценим
погрешность: F(4)(x)
= (x2–
12) sinx
– 8x
cosx
= 14;
=
0,223244±
0,000001.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Давайте разберёмся, как вычислить определённый интеграл таблично заданной функции с помощью программы Excel из состава Microsoft Office.
1Постановка физической задачина расчёт определённого интеграла
Допустим, у нас есть таблично заданная некоторая величина. Для примера пусть это будет накопленная доза радиации при авиаперелёте. Скажем, был такой эксперимент: человек с дозиметром летел на самолёте из пункта А в пункт Б и периодически измерял дозиметром мощность дозы (единицы измерений – микрозиверт в час, мкЗв/ч). Возможно, Вас это удивит, но при обычном перелёте на самолёте человек попадает под радиоактивное излучение, превышающее фоновый уровень до 10 раз и даже больше. Но воздействие это кратковременное, и поэтому не столь опасное. По результатам измерений у нас есть таблица вот такого формата: Время – Мощность дозы.
Необходимо посчитать суммарную накопленную за время полёта дозу.
2Геометрический смыслопределённого интеграла
Как мы помним из курса школьной алгебры, определённый интеграл – это площадь под графиком измеряемой величины. Чтобы определить накопленную дозу радиации в рассматриваемом примере, нужно определить площадь фигуры под графиком таблично заданной мощности дозы. Накопленная доза радиации равна площади фигуры под графиком мощности дозы
3Методика вычисленияопределённого интеграла
Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.
Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: Sтрап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.
4Согласованиеединиц измерения
В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час, а шкала времени – с точностью до минут. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, для величины, измеряемой в часах. Поэтому необходимо перевести мкЗв/час в мкЗв/мин.
Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на количество минут в часе, т.е. на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации это столбец «D». В столбце «D» в строке 2 вписываем =С2/60 А потом с помощью маркера заполнения распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце «D», (т.е. тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки). Таким образом, в столбце «D» у нас появятся значения мощности дозы радиации, измеряемые в микрозивертах в минуту для каждой минуты перелёта.
5Вычисление площадей отдельных трапеций
Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце «E» будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций.
Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца «D». Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).
Получаем формулу в ячейке «E3»: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что «×1» в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца «Е» посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.
Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:
=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).
Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:
=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).
Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.
5Определение площадипод графиком функции
Осталось найти сумму вычисленных площадей трапеций. Можно в ячейке «F2» написать формулу: =СУММ(E:E) Это и будет сумма всех значений в столбце «E», т.е. численное значение искомого определённого интеграла. Но давайте сделаем вот что: определим накопленную дозу в разные моменты полёта. Для этого в ячейку «F4» впишем формулу =СУММ(E$3:E4) и маркером заполнения распространим на весь столбец «F».
Обозначение E$3 говорит программе Excel, что увеличивать индекс ячейки «3» в столбце «E» при переносе формулы на следующие строки не нужно. Т.е. в строке 4 формула будет определять сумму в ячейках с «Е3» по «Е4», в строке 5 – сумму с «Е3» по «Е5», в строке 6 – с «Е3» по «Е6» и т.д.
Построим график по столбцам «F» и «A». Это график изменения накопленной дозы радиации во времени. Наглядно видно монотонное увеличение накопленной дозы радиации за время полёта. Это говорит о том, что мы правильно рассчитали интеграл. И окончательное значение накопленной за двухчасовой полёт дозы радиации, которое получается в последней ячейке этого столбца, равно примерно 4,5 микрозиверт.
Таким образом, мы только что нашли определённый интеграл таблично заданной функции в программе Excel на реальном физическом примере. В качестве приложения к статье – файл Excel с нашим примером.
Введение.
Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.
Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.
Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.
Также понятие определенного интеграла широко используется в физике.
Если же говорить о программе Excel, которая является одной из наиболее известных в обработке электронных таблиц, то без преувеличения можно утверждать, что ее возможности практически неисчерпаемы.
Обработка текста, управление базами данных — программа настолько мощна, что во многих случаях превосходит специализированные программы — редакторы или программы баз данных. Такое многообразие функций может поначалу запутать, нежели заставить применять их на практике. Но по мере приобретения опыта начинаешь по достоинству ценить то, что границ возможностей Excel тяжело достичь.
За всю историю табличных расчетов с применением персональных компьютеров требования пользователей к подобным программам существенно изменились. В начале основной акцент в такой программе, как, например, Visi Calc, ставился на счетные функции. Сегодня, положение другое. Наряду с инженерными и бухгалтерскими расчетами организация и графическое изображение данных приобретают все возрастающее значение. Кроме того, многообразие функций, предлагаемое такой расчетной и графической программой, не должно осложнять работу пользователя. Программы для Windows создают для этого идеальные предпосылки.
Ряд технологических задач требует увязки в математическое описание всей информации о процессе. Например, для математических моделей химико-технологических процессов одними из основных параметров, характеризующих процессы, являются концентрации реагирующих веществ, температура процесса и др. Как правило, большинство балансовых уравнений в химической технологии представлены системой интегральных и дифференциальных уравнений, в результате решения которых могут быть получены зависимости, характеризующие протекание процесса.
Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования.
Постановка задачи
Вычислить определенный интеграл
при условии, что а и b конечны и F(х) является непрерывной функцией х на всем интервале х[a,b]. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
Однако этой формулой часто нельзя воспользоваться по следующим причинам:
- первообразная функция f(x) слишком сложна и ее нельзя выразить в элементарных функциях;
- функция f(x) задана в виде таблицы, что особенно часто встречается в задачах химической технологии при обработке экспериментальных данных.
В этих случаях используются методы численного интегрирования.
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям.
Общий подход к решению задачи будет следующим. Определенный интеграл I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью х и переменными х=а и х=b. Необходимо вычислить интеграл, разбивая интервал [a,b] на множество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их.
В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол, сплайнов и др.).
Все методы будут рассматриваться на примере вычисления следующего интеграла:
Метод прямоугольников.
Существует несколько видов формул прямоугольников:
Формула левых прямоугольников.
В общем виде формула левых прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:
Формула правых прямоугольников.
В общем виде формула правых прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:
В данной формуле x0=a, xn=b.
Формула средних прямоугольников.
В общем виде формула средних прямоугольников на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:
где xi=xi-1+h.
В данной формуле, как и в предыдущих, требуется h умножать сумму значений функции f(x), но уже не просто подставляя соответствующие значения x0,x1,…,xn-1 в функцию f(x), а прибавляя к каждому из этих значений h/2 (x0+h/2, x1+h/2,…, xn-1+h/2), а затем только подставляя их в заданную функцию.
На практике данные способы реализуются следующим образом:
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле левых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Ввести в ячейку A1 текст a=.
Ввести в ячейку B1 число 0.
Ввести в ячейку A2 текст b=.
Ввести в ячейку B2 число 3,2.
Ввести в ячейку A3 текст n=.
Ввести в ячейку B3 число 10.
Ввести в ячейку A4 текст h=.
Ввести в ячейку B4 формулу =(B2-B1)/B3.
Вести в ячейку A6 текст i, в B6 — x, в C6 — y0,…,y(n-1).
Ввести в ячейку A7 число 0.
Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.
Ввести в ячейку B7 число 0.
Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.
Ввести в ячейку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек C8:C16.
Ввести в ячейку B18 текст сумма:.
Ввести в ячейку B19 текст интеграл=.
Ввести в ячейку C18 формулу =СУММ(C7:C16).
Ввести в ячейку C19 формулу =B4*C18.
Ввести в ячейку C20 текст левых.
В итоге получаем следующее:
Ответ: значение заданного интеграла равно 12,500377.
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формуле левых прямоугольников.
В ячейку D6 ввести текст y1,…,yn.
Ввести в ячейку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D9:D17
Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D7:D17).
Ввести в ячейку D19 формулу =B4*D18.
Ввести в ячейку D20 текст правых.
В итоге получаем следующее:
Ответ: значение заданного интеграла равно 14,45905.
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Продолжить работу в том же документе, что и при вычислении интеграла по формулам левых и правых прямоугольников.
В ячейку E6 ввести текст xi+h/2, а в F6 — f(xi+h/2).
Ввести в ячейку E7 формулу =B7+$B$4/2, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек E8:E16
Ввести в ячейку F7 формулу =КОРЕНЬ(E7^4-E7^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек F8:F16
Ввести в ячейку F18 формулу =СУММ(F7:F16).
Ввести в ячейку F19 формулу =B4*F18.
Ввести в ячейку F20 текст средних.
В итоге получаем следующее:
Ответ: значение заданного интеграла равно 13,40797.
Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что формула средних прямоугольников является наиболее точной, чем формулы правых и левых прямоугольников.
Метод трапеций.
В общем виде формула трапеций на отрезке [x0;xn] выглядит следующим образом:
В данной формуле x0=a, xn=b, так как любой интеграл в общем виде выглядит:
h можно вычислить по следующей формуле: h=(b-a)/n (19).
y0, y1,…, yn — это значения соответствующей функции f(x) в точках x0, x1,…, xn (xi=xi-1+h)» [3].
На практике данный способ реализуется следующим образом:
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле трапеций в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Ввести в ячейку A1 текст n=.
Ввести в ячейку B1 число 10.
Ввести в ячейку A2 текст a=.
Ввести в ячейку B2 число -1.
Ввести в ячейку A3 текст b=.
Ввести в ячейку B3 число 1.
Ввести в ячейку A4 текст h=(b-a)/n.
Ввести в ячейку B4 формулу =(B3-B2)/B1.
Заполнить диапазон ячеек A6:D6 следующим образом:
Ввести в ячейку A7 число 0.
Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.
Ввести в ячейку B7 число -1.
Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.
Ввести в ячейку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), а в ячейку C17 формулу =КОРЕНЬ(B17^4-B17^3+8).
Ввести в ячейку D8 формулу =КОРЕНЬ(B8^4-B8^3+8), скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек D8:B16.
Ввести в ячейку B18 текст суммы:.
Ввести в ячейку C18 формулу =СУММ(C7;C17).
Ввести в ячейку D18 формулу =СУММ(D8:D16).
Ввести в ячейку A19 текст интеграл=.
Ввести в ячейку B19 формулу =B4*(C18/2+D18).
Метод парабол или Симпсона.
Этот метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций, а поэтому наиболее широко известный и применяемый метод численного интегрирования.
Метод аналогичен рассмотренным ранее методам прямоугольников и трапеций: интервал интегрирования разбивается на множество более мелких отрезков; однако для вычисления площади под каждым из отрезков через три последовательных ординаты разбиения проводится квадратичная парабола.
Формулу Симпсона получаем, проводя параболу через три ординаты на концах двух соседних интервалов и складывая получившиеся при этом площади.
Поскольку в методе Симпсона парабола проводится через три ординаты на концах двух соседних интервалов, то при реализации этого метода необходимо требовать, чтобы «n» было четным числом.
На практике данный способ реализуется следующим образом:
Для того, чтобы вычислить интеграл по формуле Симпсона в Excel, необходимо выполнить следующие действия:
Ввести в ячейку A1 текст n=.
Ввести в ячейку B1 число 10.
Ввести в ячейку A2 текст a=.
Ввести в ячейку B2 число 0.
Ввести в ячейку A3 текст b=.
Ввести в ячейку B3 число 3,2.
Ввести в ячейку A4 текст h=.
Ввести в ячейку B4 формулу =(B3-B2)/B1.
Заполнить диапазон ячеек A6:D6 следующим образом:
Ввести в ячейку A7 число 0.
Ввести в ячейку A8 формулу =A7+1, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек A8:A17.
Ввести в ячейку B7 число 0.
Ввести в ячейку B8 формулу =B7+$B$4, скопировать эту формулу методом протягивания в диапазон ячеек B8:B17.
Ввести в ячейку C7 формулу =КОРЕНЬ(B7^4-B7^3+8), а в ячейку C17 формулу =КОРЕНЬ(B17^4-B17^3+8).
Заполнить нижеприведенные ячейки:
Ввести в ячейку C18 формулу =(C7-C17)/2.
Ввести в ячейку D18 формулу =2*D8+2*D10+2*D12+2*D14+2*D16.
Ввести в ячейку E18 формулу =E9+E11+E13+E15+E17.
Ввести в ячейку A19 текст интеграл=.
Ввести в ячейку B19 формулу =(2*B4/3)*(C18+D18+E18).
В итоге получаем следующее:
Заключение
Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости.
Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности. Так в процессе выполнения работы нами были рассмотрены примеры практических задач в области физики, геометрии, механики, биологии и экономики. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список наук, которые используют интегральный метод для поиска устанавливаемой величины при решении конкретной задачи, и установлении теоретических фактов.
Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл — это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.
Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.
Литература
- Волков Е.А. Численные методы. М., Наука, 1988.
- Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М., Интеграл-Пресс, 2004. Т. 1.
- Шипачев В.С. Высшая математика. М., Высшая школа, 1990.
- Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по высшей математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука , 1981 . — 718 с.
- Белецкий Я. Excel с графикой для персональных компьютеров перевод с польского Д.И.Юренкова. -М.: Машиностроение , 1991. — 320 с.
- Самарский А.А, Гулин А.В. Численные методы.М.:Наука,1989. – 430 с.
- http://tgspa.ru/info/education/faculties
- http://www.machinelearning.ru/wiki
Содержание
- — Есть ли в Excel функция интеграции?
- — Какая формула интеграла?
- — Можете ли вы проводить расчеты в Excel?
- — Что значит решить интеграл?
- — Что такое стандартный интеграл?
- — Что такое интеграл от 1?
- — Как вы различаете данные в Excel?
Функции численного интегрирования в Excel
Используйте QUADF для вычисления правильного или неправильного интеграла любой формулы или пользовательской функции VBA с использованием высокоточных адаптивных алгоритмов. Использовать QUADXY для интеграции дискретного набора точек данных (x, y) с использованием линейных или кубических сплайнов.
Какая формула интеграла?
∫f (x) dx = F (x) + C, если F ′ (x) = f (x). В этом определении называется интегральным символом, f (x) называется подынтегральным выражением, x называется переменной интегрирования, dx называется дифференциалом переменной x, а C называется константой интегрирования.
Можете ли вы проводить расчеты в Excel?
Программа электронных таблиц Microsoft Excel содержит множество математических функций, но имеет нет включить исчисление в стандартную версию. … Эти пакеты расширяют математические возможности Excel, позволяя использовать вычисления в электронных таблицах. Некоторые из этих функций работают с уравнениями; другие выполняют вычисления на числовых данных.
Что значит решить интеграл?
Нахождение интеграла. функции по x означает нахождение площади до оси x от кривой. Интеграл обычно называют. антипроизводная, потому что интегрирование — это процесс, обратный дифференциации.
Что такое стандартный интеграл?
Стандартный интеграл — это один из списка общих интегралов, которые, как ожидается, вы выучили или которые можно найти в таблице. Очень распространенные примеры: ∫1xdx = ln | x | + C. ∫exdx = ex + C.
Что такое интеграл от 1?
Определенный интеграл от 1 равен площадь прямоугольника между x_lo и x_hi, где x_hi> x_lo. В общем случае неопределенный интеграл от 1 не определен, за исключением неопределенности аддитивной действительной константы C. Однако в частном случае, когда x_lo = 0, неопределенный интеграл от 1 равен x_hi.
Как вы различаете данные в Excel?
Рассчитать разница между два числа, введя формулу в новую пустую ячейку. Если A1 и B1 являются числовыми значениями, вы можете использовать формулу «= A1-B1». Ваши ячейки не обязательно должны быть в том же порядке, что и ваша формула. Например, вы также можете использовать формулу «= B1-A1» для вычисления другого значения.
Интересные материалы:
Какая самая тяжелая чума в Plague Inc?
Какая самая тяжелая машина в мире?
Какая самая тяжелая жидкость на Земле?
Какая самая удобная пригородная машина?
Какая самая важная роль BIOS?
Какая самая важная роль дискретной математики?
Какая самая важная сила дома?
Какая самая важная сила FCC?
Какая самая важная цель общения?
Какая самая высокая башня в Москве?
Опубликовано 10 Авг 2015
Рубрика: Справочник Excel | 13 комментариев
При стремлении постичь нечто сложное, громоздкое, непонятное следует «разбить» его на как можно большее количество простых, мелких, понятных частей, изучить их с помощью существующих инструментов, а затем «сложить» эти результаты и получить итоговый ответ.
Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования.
Интеграл чего-либо – это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта.
Интегрирование применимо для изучения свойств физических и философских объектов при условии, что эти свойства остаются неизменными как для «мелкой» части, так и для всего объекта в целом.
Функция – это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента.
Например:
Объект – плоская фигура между графиком функции и осью абсцисс.
Признак (значение функции) – высота фигуры.
Аргумент (независимая переменная) – ширина фигуры.
Функция – описание зависимости высоты от ширины.
Определенный интеграл функции – площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных – высоты и ширины – и представляет собой качественно иной новый признак.
Теория.
Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.
Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.
Площадь под кривой y = f (x) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y=f (x). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.
Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.
Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.
Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.
Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.
Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.
1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!
2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!
Практика вычисления интегралов в Excel.
Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров – лучший способ устранения подобных препятствий.
Определение тепловой энергии.
Мой знакомый из города Улан-Удэ Алексей Пыкин проводит испытания воздушных солнечных PCM-коллекторов производства КНР. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток.
Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье.
Многим, я думаю, это будет интересно.
Запускаем MS Excel и начинаем работу – выполняем вычисление интеграла.
Заполним таблицу.
1. В столбец B вписываем время проведения измерения τi.
2. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t2i, измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия.
3. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t1i, поступающего на вход коллекторов.
4. В столбце E вычисляем разности температур dti на выходе и входе
dti=t2i-t1i
5. Зная удельную теплоемкость воздуха c=1005 Дж/(кг*К) и его постоянный массовый расход (измеренная производительность вентилятора) G=0,02031 кг/с, определяем мощность установки Niв КВт в каждый из моментов времени в столбце F
Ni=c*G*dti
На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени.
Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени – это интеграл этой функции, и значение интеграла – это заштрихованная площадь под кривой.
6. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день
Qi=(Ni+1+Ni)*(τi+1-τi)/2
Q=ΣQi=10,395 КВт*час
7. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона
Qj=(Ni+4*Ni+1+Ni+2)*(τi+1-τi)/3
Q=ΣQj=10,395 КВт*час
Как видим, значения не отличаются друг от друга. Оба метода демонстрируют одинаковые результаты!
Исходная таблица содержит 421 строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут.
По методу трапеций: Q=10,220 КВт*час (-1,684%)
По методу Симпсона: Q=10,309 КВт*час (-0,827%)
Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона.
Общие выводы.
Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов.
Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь – это интеграл функции скорости (аргумент – время), площадь плотины – это интеграл функции высоты (аргумент – длина), и т.д.
Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира!
Ссылка на скачивание файла с примером: vychisleniye-integralov (xls 216,0KB).
Другие статьи автора блога
На главную
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
Интегрирование в MS EXCEL. Метод трапеций
history 20 ноября 2022 г.
- Группы статей
file_download Файл примера
Вычислим в MS EXCEL определенный интеграл методом трапеций (англ. Trapezoidal Rule). Оценим ошибку интегрирования, построим график функции.
В интернете есть много сайтов по автоматическому вычислению интегралов аналитическими и численными методами. Но, как правило, про использованный метод численного интегрирования ничего не говорится, а корректность вычислений проверить невозможно. В данном примере все вычисления прозрачны и можно задать необходимое количество интервалов разбиения. Правда, данный метод имеет относительно невысокую точность по сравнению с другими методами (если сравнивать его с методом Симпсона и методом интерполяционного полинома Лагранжа).
Так как функция, стоящая под знаком интеграла в общем случае может быть любая, то значение интеграла не всегда можно вычислить аналитически.
Однако, можно воспользоваться тем фактом, что согласно теории, значение интеграла численно равно площади фигуры образованной графиком функции и осью Х (фигура выделена цветом).
Таким образом, задача нахождения интеграла сводится к нахождению площади этой фигуры. Площадь фигуры в общем случае можно найти численными методами, разбивая ее на простые однотипные фигуры, например трапеции. Т.к. площадь каждой трапеции найти легко, то простым суммированием площадей можно найти и интеграл. Платой за универсальность является ошибка интегрирования, которую впрочем можно оценить (будет показано далее).
Фактически метод трапеций основан на линейной интерполяции, т.е. график функции y = f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (xi, yi) прямыми линиями.
Площадь каждой трапеции можно найти следующим образом (см. рисунок ниже).
Фактически задача по нахождению интеграла сводится в основном к построению таблицы значений функции y=f(x) для заданных Х и нахождению их суммы._m.jpg)
2+6*B19+1.
Вычисленное приближенное значение интеграла для данной функции в интервале [0;4] равно 9,340, а точное 9,333, т.е. ошибка составляет менее 0,1%. Ниже показано как ее оценить.
В файле примера на листе «настраиваемый интервал» сделана форма для работы с разными количествами интервалов разбиения. При изменении количества интервалов график перестраивается автоматически, формулы для вычисления интеграла не нужно переписывать (как, впрочем, и расширять/ убавлять таблицу значений).
На рисунке ниже показано откуда появляется ошибка интегрирования. Для первых 2-х трапеций (образованы красными линиями) площадь меньше чем у истинной функции (синяя линия). Для следующих 2-х — площадь больше. Из этого следует, что метод трапеций хорошо работает для осциллирующих функций, когда ошибки компенсируют друг друга.
Простой многочлен был выбран в качестве демонстрационной функции, чтобы можно было вычислить интеграл точно и потом найти истинную ошибку, чтобы иметь возможность сравнить ее с оценкой.
К сожалению, для нахождения оценки ошибки потребуется вычислить первую производную. Сделать это чаще всего не сложно, но автоматизировать это в EXCEL не получится. Поэтому при изменении подинтегральной функции приходится вносить изменения в несколько формул на листе, а точнее — в 2 ячейки С19 и G31 (в файле примера они выделены красным). После ввода формул их нужно скопировать вниз.
В наем случае полученная оценка ошибки совпала с истинной ошибкой, что говорит о том что мы не ошиблись при вычислении производной и вводе формул на лист.
Совет: всегда оценивайте ошибку интегрирования.
Функция интеграции с Excel
Функция интеграции с Excel
Синтаксис
Свернуть все
Описание
Используйте QUADF для вычисления правильного или неправильного интеграла.
с использованием высокоточных адаптивных алгоритмов.
С необязательными аргументами вы можете переопределить алгоритм интегрирования по умолчанию, а также указать особые точки для подынтегральной функции f(x) , если применимо.
∫abfx⋅dx
QUADF может быть вложен для вычисления нескольких интегралов любого порядка.
∫ab∫ly(x)uy(x)∫lz(x,y)uz(x,y)fx,y,z dzdydx
Входы
Требуемые входные данные
f ссылка на формулу под интегралом.
Если подынтегральная функция слишком сложна для представления формулами, вы можете закодировать ее в функции VBA (см. пример 6).
x ссылка на переменную интегрирования.
a нижний предел интеграла.
b верхний предел интеграла.
Для ввода бесконечных пределов используйте строку «INF» или «-INF» (без учета регистра).
Дополнительные входы
ctrl набор пар ключ/значение для алгоритмического управления, как описано ниже.
Описание пар ключ/значение для алгоритмического управления
Выбор алгоритма интегрирования
| Key | ALGOR |
| Admissible Values (String) | QNG,QAG,QAGS,QK15,QK21,QK31,QK41,QK51,QK61 |
| Default Value | QAG |
| Remarks |
|
Абсолютные и относительные допуски погрешности
| Ключи | ATOL, RTOL |
| Допустимых значений (Реал) | > = 0 |
| По умолчанию | ATOL = 1. 0E-7, RTOL = 1,062 |
|
3 3 3 3
Верхний предел количества разделов интервала интегрирования
| Ключ | MAXDIV | |||||||||||||||||||||||
| Допустимых значений (Integer) | > = 1 | |||||||||||||||||||||||
| DEFAUT
Правило интегрирования Гаусса-Кронрода
9001
⇒
Примечание для пользователей ExceLab 365. Определите любое ненулевое значение для пустого X1 , чтобы разрешить начальный #DIV/0! ошибка в A1 или Excel не будет выполнять зависимую формулу в A2 .
Пример 2: Интегрирование функции с делением на ноль
∫01lnxx⋅dx=-4 Решение
⇒ Примечание для пользователей ExceLab 365.
Пример 3: Интегрирование функции с известными особенностями
∫01|x-17|-17⋅|x-23|-1120⋅dx Раствор
Подынтегральная функция в этом примере имеет две особенности при |
=1/7 | |||||||||||||||||||||||
| 6 | =QUADF(A5,X1,0,1,B5:B6) | =11/20 |
Не требуется для надстройки ExceLab 7 или Google Таблиц 
Определите любое положительное значение для пустого X1 , чтобы разрешить начальное значение #ЧИСЛО! ошибка в A3 или Excel не будет выполнять зависимую формулу в A4 . Не требуется для надстройки ExceLab 7 или Google Таблиц 0 40 5090 0 4 0 5 9 0 0 9 0 0 0 5
| A | |
| 5 | 2,032940662 |
| 6 | 4,253687688 |
9 4.
253687688
7687688
4. точность округления 1/7. 92) 8 =QUADF(A7,X1,0,»inf»)
⇒
| А | ||||||||||||||||||||
| 7 | 1 | |||||||||||||||||||
| 8 | 1.570796327
3
Пример 5: Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами
∫-∞∞e-x2⋅dx=π Решение
⇒
|
Мы передаем переменную интегрирования и любые другие параметры.
Он использует правило Гаусса-Кронрода с 21 точкой. 
Писсенс, Э. де Донкер-Капенга, К.В. Юберхубер, Д.К. Каханер. QUADPACK Пакет подпрограмм для автоматической интеграции. Springer Verlag, 1983. 
Решается несколько примеров, включая фиксированные пределы, бесконечные пределы и особые точки. Видео также демонстрирует, как вложить QUADF для вычисления нескольких интегралов любого порядка.
Содержание
- Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций
- Основные тригонометрические формулы
- Примеры интегрирования тангенса и котангенса
- Вычисление площадей отдельных трапеций
- Теория.
- Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций
- Применение знаний, формирование умений и навыков
- Распространенные примеры интегрирования косинуса
- Интегрирование обратных тригонометрических функций
- Общий подход
- Методика вычисленияопределённого интеграла
- Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)
- Согласованиеединиц измерения
Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций
1. Интегралы вида ∫sinnxdx, ∫cosnxdx, n>0
a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени 2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
2. Интегралы вида ∫tgnxdx, ∫ctgnxdx, где n – целое.
Необходимо использовать формулы 
3. Интегралы вида ∫sinnx·cosmx dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n – нечётное либо t=cos x, если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени 2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
4. Интегралы вида 
3. Интегралы вида ∫sinnx·cosmx dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n – нечётное либо t=cos x, если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени 2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
4. Интегралы вида
Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x. Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. ∫sin(nx)·cos(mx)dx, ∫cos(mx)·cos(nx)dx, ∫sin(mx)·sin(nx)dx
Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму:
- sin α·cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
- cos α·cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
- sin α·sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word. Также рекомендуется ознакомиться с возможностью нахождения интегралов онлайн.
Примеры
1. Вычислить интеграл ∫cos4x·sin3xdx.
Делаем замену cos(x)=t. Тогда ∫cos4x·sin3xdx = 
2. Вычислить интеграл .
Делая замену sin x=t, получаем
3. Найти интеграл .
Делаем замену tg(x)=t. Подставляя, получаем
Заметим, что замена ctg(x)=t здесь удобнее, так как тогда 
, 
, и поэтому 
Основные тригонометрические формулы
Ниже приведены некоторые тригонометрические формулы, которые могут понадобится при интегрировании тригонометрических функций.
sin2 a + cos2 a = 1
sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2 a – sin2 a = 2 cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2 a
Примеры интегрирования тангенса и котангенса
Пример 1. Найти интеграл от тангенса tan(4*x).
Вычисления: Применяем приведенную выше методику для интегрирования тангенса
Здесь в скобках мы сначала вычисляем дифференциал от косинуса, а дальше выделяем значение, которое нам нужно достать. Далее интегрирования сводим к логарифму.
Таким образом можем записать обобщенную формулу для интегралаtan(k*x)
Int(tan(k*x),x)=-1/k*(log(cos(x)).
По этой формуле интеграл от тангенса двойного угла равен логарифму косинуса двойного угла умноженному на -0,5.
Для тангенса половины угла tan (phi / 2) интеграл равен -2 умножить на логарифм косинуса половины угла
По индукции получим формулу интеграла для тангенса одной третьей угла tan(phi/3) 
Пример 2. Проинтегрировать котангенс двойного угла
Вычисления: По аналогии с формулами для тангенса мы могли бы выписать готовую формулу, но лучше выполнить промежуточные переходы чтобы Вы лучше поняли и заучили методику внесения под дифференциал
Таким образом, если имеем котангенс тройного угла то перед интегралом получим множителем 1/3
Интегралы от котангенса половины и трети угла будут иметь множителями перед логарифмом соответственно двойку и тройку
При нахождении первоначальной от тангенса и котангенса следует справа добавить постоянную
Зная данную методику, Вы знаете как найти интеграл от тангенса, аргумент которого содержит множителем произвольное число.
Вычисления определенных интегралов от тангенса и котангенса в данной статье рассматривать не будем. Если Вы вычисляли такие интегралы от простых функций то, зная синусы и косинусы углов найти определенный интеграл от тангенса или котангенса сможете без проблем.
Вычисление площадей отдельных трапеций
Теперь нужно найти площади трапеций за каждый промежуток времени. В столбце “E” будем вычислять по приведённой выше формуле площади трапеций. Полусумма оснований – это половина суммы двух последовательных мощностей дозы из столбца “D”. Так как данные идут с периодом 1 раз в минуту, а мы берём интеграл по времени, выраженному в минутах, то высота каждой трапеции будет равна единице (разница времени между каждыми двумя последовательными измерениями, например, 17ч31мин — 17ч30мин = 0ч1мин = 1мин).
Получаем формулу в ячейке “E3”: =1/2*(D3+D2)*1. Понятно, что “×1” в этой формуле можно не писать. И аналогично, с помощью маркера заполнения, распространяем формулу на весь столбец. Теперь в каждой ячейке столбца “Е” посчитана накопленная доза за 1 минуту полёта.
Если бы данные шли не через 1 минуту, то нам нужно было бы написать формулу так:
=1/2*(D3+D2)*(МИНУТЫ(A3) – МИНУТЫ(A2)).
Правда при этом, если есть переход на следующий час, то получится отрицательное значение. Чтобы этого не произошло, впишем в формулу часы:
=1/2*(D3+D2)*(ЧАС(A3)*60+МИНУТЫ(A3)) – (ЧАС(A2)*60+МИНУТЫ(A2)).
Если переходим на следующие сутки, то нужно будет уже добавлять даты, и т.д.
Теория.
Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной – метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности.
Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке.
Площадь под кривой y = f (x) разбиваем на n-1 криволинейных трапеций, у которых три стороны – это прямые линии, а одна сторона – участок кривой y=f (x). Суммарная площадь под графиком функции на участке от x1 до xn – это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций.
Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно.
Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру – обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций.
Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона.
Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов.
Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия.
1. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом!
2. Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми!
Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций
Здесь мы рассмотрим стандартные подстановки, с помощью которых, в большинстве случаев, выполняется интегрирование тригонометрических функций.
Применение знаний, формирование умений и навыков
Практическое задание «Вычисление определенных интегралов методом трапеции в среде Microsoft Excel.»
Состав задания:
- Ознакомиться с теоретической частью задания;
- Провести расчет для своего варианта индивидуального задания в Microsoft Excel
- Оформить презентацию в Ms PowerPoint, включающую:
– постановку задачи;
– алгоритм расчета;
– таблицу с расчетом из Ms Excel, график исходной функции;
– результат расчета и его анализ.
Индивидуальное расчетное задание:
- Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x)= 1/(1+x4)1/2 на отрезке [0; 4]
по формуле трапеций, разбивая отрезок [0; 4] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка. - Представьте графически поставленную задачу.
Постановка задачи:
Дано: f(x)= 1/(1+x4)1/2 на отрезке [0; 4]
Найти: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций, приняв предельное значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,02.
|
Таблица Исходная информация |
|||
|
Отрезок [a;b] |
Функция f(x) |
||
|
a |
b |
Аналитическая запись |
Представление в Excel |
|
0 |
4 |
1/(1+x4)1/2 |
=СТЕПЕНЬ((1+СТЕПЕНЬ(B16;4));-1/2) |
Анализ заданной функции и результаты вычислений в Ms Excel
|
Расчет площади |
|||||||
|
xi |
f(xi) |
Коэффициенты формулы трапеций |
Вычисление Ci*f(xi) |
||||
|
N=2 |
N=4 |
N=8 |
N=2 |
N=4 |
N=8 |
||
|
0 |
1,000 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
0,500 |
0,500 |
0,500 |
|
0,5 |
0,970 |
0 |
0 |
1 |
0,000 |
0,000 |
0,970 |
|
1 |
0,707 |
0 |
1 |
1 |
0,000 |
0,707 |
0,707 |
|
1,5 |
0,406 |
0 |
1 |
0,000 |
0,000 |
0,406 |
|
|
2 |
0,243 |
1 |
1 |
1 |
0,243 |
0,243 |
0,243 |
|
2,5 |
0,158 |
0 |
0 |
1 |
0,000 |
0,000 |
0,158 |
|
3 |
0,110 |
0 |
1 |
1 |
0,000 |
0,110 |
0,110 |
|
3,5 |
0,081 |
0 |
0 |
1 |
0,000 |
0,000 |
0,081 |
|
4 |
0,062 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
0,031 |
0,031 |
0,031 |
|
Сумма |
0,774 |
1,591 |
3,207 |
||||
|
Значения интеграла |
|||||||
|
Количество узлов |
N=2 |
N=4 |
N=8 |
||||
|
S |
1,55кв.мм |
1,59кв.мм |
1,60кв.мм |
||||
|
Погрешность |
0,028 |
0,008 |
Ответ: приближенное значение интеграла заданной функции по формуле трапеций равна 1,60кв.мм, значение погрешности приближенного вычисления интеграла равным ε=0,008.
Задания для индивидуальной работы студентов по вариантам:
Найдите приближенное значение интеграла заданной функции f(x) на отрезке [a; b] (см. таблицу ) по формуле трапеций, разбивая отрезок [a; b] на 8 равных частей. Оцените погрешность приближенного вычисления интеграла при таком разбиении отрезка.
Представьте графически поставленную задачу.
| N |
отрезок [a; b] |
Функция f(x) |
|
1 |
1/(1+x²)1/2 |
|
|
2 |
5x4+2x²-х |
|
|
3 |
ех/(х+5) + x³/(х+4) |
|
|
4 |
(4+x³)1/2 |
|
|
5 |
1/(5x4+2x²+2) |
|
|
6 |
[10; 18] |
(х4/(1+x4)1/2)1/2 |
|
7 |
6/(1+x²)1/2 |
|
|
8 |
5x4+2x²-х |
|
|
9 |
(х5/(1+x4)1/2)1/2 |
|
|
10 |
12/(5x²+x+6) |
|
|
11 |
е1/(х+5) + 1/(х+4) |
|
|
12 |
(х+x5)1/2 |
|
|
13 |
1/(1+x4)1/2 |
|
|
14 |
2+(х/(1+x4)1/2) |
На сегодняшнем занятии мы отработали навыки вычисления определенных интегралов методом трапеции в среде электронных таблиц MS Excel. Выработали умения применять теоретические знания в практических расчетах.
Распространенные примеры интегрирования косинуса
Пример 1. Найти интеграл от cos(5*x).
Решение: По формуле интегрируем косинус
Пример 2. Вычислить интеграл от cos(7*x).
Решение: Выполняем интегрирование
Пример 3. Проинтегрировать выражение cos (11*x).
Решение: Вычисляем неопределенный интеграл
Пример 4. Найти интеграл функции y= cos (x/5).
Решение: Записываем неопределенный интеграл
Пример 5. Найти интеграл функции y= cos (x/6).
Решение: Проинтегрируем по приведенной выше формуле
Как только Вы освоите методику интегрирования на простых примерах, смело можете переходить к определенным интегралам и первообразным. Для отискания определенного интеграла проводим интегрирование, а дальше подставляем пределы интегрирования и находим изменение первообразной функции.
Пример 6. Проинтегрировать косинус двойного угла y = cos (2 * x) от 0 до 45 градусов.
Решение: Находим указанный интеграл от косинуса
Пример 7. Найти интеграл от косинуса y = cos (x) от 0 до 60 градусов.
Решение: Вычисляем интеграл и подставляем пределы интегрирования
Пример 8. Найти первоначальную от cos (x), которая при 30 градусах равна 1.
Решение: Находим первоначальную
С наложенного условия на первоначальную вычисляем постоянную
sin(Pi/6)+C=1; C=1-
sin(Pi/6)=1-0,5=0,5.
Подставляем полученную постоянную в уравнение 
На этом задача решена. На таких простых примерах Вы четко должны знать, чему равный интеграл от косинуса.
Далее полученные знания можно применять для вычисления площадей криволинейных трапеций. Это достаточно абстрактное понятие, но с помощью интегрирования находить площадь фигур достаточно просто и быстро. Следует только помнить, что площадь всегда принимает положительное значение, в то время как определенный интеграл может принимать отрицательное значение.
Например вычислим площадь и интеграл от косинуса, если переменная принадлежит интервалу от 0 до 2*Pi.
По физическому содержанию площадь равна заштрихованным поверхностям.
Находим определенный интеграл в указанных пределах
Он равен нулю. Что касается площади, то сначала следует найти точки пересечения с осью абсцисс на этом интервале
Таким образом площадь необходимо искать на трех промежутках
Ось абсцисс можем записать функцией y = 0. Таким образом на первом промежутке площадь равна интегралу от косинуса,
на втором 0-cos (x) = – cos (x) от минус косинуса и на третьем от косинуса. Все при вычислении площади зависит от того, какая функция принимает большее значение по оси ординат (Oy). Вычисляем площадь интегрированием в указаных пределах
Таким образом искомая площадь равна 4. Если иметь график функции перед глазами, то данное значение можно получить как 4 площади косинус функции, которые периодически повторяются
На этом знакомство с интегрированием косинуса завершается. Приведенная методика интегрирования позволяет вычислить 80% основных задач на интегрирование косинуса. Остальные 20% Вы научитесь после изучения способов нахождения интегралов от функций вида
Мы научим Вас, какие свертки и замены переменных следует использовать, в каких случаях целесообразно интегрировать по частям.
Интегралы от других тригонометрических и обратных к ним функций Вы найдете в категории “Интегрирование функций“.
Интегрирование обратных тригонометрических функций
Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции
arcsin φ, arctg φ, и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x, нередко интегрируются по частям, полагая u = arcsin φ, u = arctg φ, и т.д.
Общий подход
Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.
Например, если подынтегральное выражение зависит от sin(x+a) и cos(x+b), то следует выполнить преобразование:
cos (x+b) = cos (x+a – (a–b) ) = cos (x+a) cos (b–a) + sin ( x+a ) sin (b–a).
После чего сделать замену z = x+a. В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z.
Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z, cos z, tg z, ctg z, то нужно сделать подстановку
.
Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.
Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.
Методика вычисленияопределённого интеграла
Вычислять интеграл мы будем самым простым, но довольно точным методом – методом трапеций. Напомню, площадь фигуры под графиком любой кривой можно разделить на прямоугольные трапеции. Сумма площадей этих трапеций и будет искомым значением определённого интеграла.
Площадь трапеции определяется как полусумма оснований, умноженная на высоту: Sтрап = (A + B) / 2 × h Основания в нашем случае – это табличные измеренные значения мощности дозы за 2 последовательных промежутка времени, а высота – это разница времени между двумя измерениями.
Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)
Пример №1. Вычислить интегралы:
Решение.
а) Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx), где R — рациональная функция от sin x и cos x, преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.
Тогда имеем
Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида ∫R(sinx, cosx) dx к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:
- Если выполняется равенство
R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx, то применяется подстановка cos x = t. - Если выполняется равенство
R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx, то подстановка sin x = t. - Если выполняется равенство
R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx, то подстановка tgx = tили ctg x = t.
В данном случае для нахождения интеграла
применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t.
Тогда
Так как дробь неправильная, то, выделяя целую часть, получим
Возвращась к исходной переменной будем иметь
b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение ∫R(sinx, cosx) dx имеет вид ∫sinmx·cosnxdx. В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t. Если нечетно n, следует применить подстановку sin x = t. Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам:
В данном случае
Ответ:
Согласованиеединиц измерения
В нашем примере измерения мощности дозы радиации даётся в мкЗв/час, а шкала времени – с точностью до минут. Мы не можем брать интеграл по времени, измеряемому в минутах, для величины, измеряемой в часах. Поэтому необходимо перевести мкЗв/час в мкЗв/мин.
Для перевода просто разделим мощность дозы в мкЗв/час построчно на количество минут в часе, т.е. на 60. Добавим ещё один столбец в нашу таблицу. На иллюстрации это столбец “D”. В столбце “D” в строке 2 вписываем =С2/60 А потом с помощью маркера заполнения распространяем эту формулу на все остальные ячейки в столбце “D”, (т.е. тянем мышью чёрный прямоугольник в правом нижнем углу ячейки). Таким образом, в столбце “D” у нас появятся значения мощности дозы радиации, измеряемые в микрозивертах в минуту для каждой минуты перелёта
Источники
- https://math.semestr.ru/math/integration-trigonometric.php
- https://1cov-edu.ru/mat_analiz/integrali/neopredelennie/trigonometricheskie/
- https://yukhym.com/ru/integrirovanie-funktsii/integral-tangensa-i-kotangensa.html
- https://soltau.ru/index.php/themes/kompyutery-i-programmy/item/369-kak-v-excel-vychislit-opredeljonnyj-integral
- http://al-vo.ru/spravochnik-excel/vychislenie-integralov-v-excel.html
- https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/674768/
- https://yukhym.com/ru/integrirovanie-funktsii/integral-kosinusa.html