Давайте разберем на примерах основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки без повторений и научимся вычислять их с помощью встроенных функций Excel.
Ниже вы найдете для каждой формулы инструкции по вычислению в эксель, пример задачи, ссылку на калькулятор и видеоурок и шаблон Excel. Удачи в изучении!
Спасибо за ваши закладки и рекомендации
Как выбрать формулу комбинаторики?
Нужно последовательно (см. схему выше) ответить на несколько вопросов:
- Сколько у нас есть объектов (число $n$)?
- Важен ли их порядок в комбинации?
- Могут ли встречаться повторяющиеся элементы?
- Нужно выбрать все элементы или только $klt n$?
Отвечая на эти вопросы, двигаемся по стрелкам схемы и получаем название формулы комбинаторики:
Схема выбора формул с примерами задач
Консультируем по решению задач комбинаторики
Перестановки в Excel
Пусть имеется $n$ различных объектов. Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно
$$P_n=n!=1cdot 2cdot 3 cdot … cdot (n-1) cdot n$$
Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$.
Подробнее: факториал в эксель.
Для нахождения числа перестановок в Excel можно использовать одну из двух функций:
=ПЕРЕСТ($n$;$n$) или =ФАКТР($n$), где $n$ — число переставляемых объектов.
Задача. Сколькими способами можно расставить 10 различных книг на одной полке?
Вводим число объектов 10 и получаем ответ: 3628800 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Еще: онлайн калькулятор перестановок.
Перестановки с повторениями в Excel
Пусть имеется $n$ объектов различных типов: $n_1$ объектов первого типа, $n_2$ объектов второго типа,… $n_k$ объектов $k$-го типа. Сколькими способами можно переставить все объекты между собой?
Будем переставлять $n$ объектов всеми возможными способами (их будет $n!$). Но так как некоторые объекты совпадают, итоговое число будет меньше. В частности, $n_1$ объектов первого типа можно переставлять между собой $n_1!$ способами, но они не меняют итоговую перестановку. Аналогично для всех остальных объектов, поэтому число перестановок с повторениями есть
$$ P_n (n_1,n_2,…,n_k)=frac{n!}{n_1! cdot n_2!cdot … cdot n_k!}. $$
Для нахождения числа перестановок в Excel будем использовать функцию =ФАКТР(), которая находит факториал чисел и обычные действия (умножение, деление).
Задача. Сколько различных слов можно составить из букв слова «колокол»?
Вводим число букв $n=7$, а также $n_1=2$ (2 буквы «к»), $n_2=3$ (3 буквы «о»), $n_3=2$ (2 буквы «л»), и получаем ответ: 210 слов.
В режиме формул это выглядит так:
Еще: онлайн калькулятор перестановок c повторениями.
Размещения в Excel
Пусть имеется $n$ различных объектов. Будем выбирать из них $k$ объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из $n$ объектов по $k$, а их число равно
$$A_n^k=frac{n!}{(n-k)!}=ncdot (n-1)cdot … cdot (n-k+1) $$
Для нахождения числа размещений в Excel используем функцию =ПЕРЕСТ($n$;$k$).
Задача. В группе учится 10 студентов. Нужно выбрать из них 3 человек на должности старосты, заместителя и дежурного. Сколькими способами можно это сделать?
Вводим $n=10$, $k=3$ и получаем ответ: 720 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Еще: онлайн калькулятор размещений.
Размещения с повторениями в Excel
Число размещений с повторениями из $n$ объектов по $k$ можно найти по формуле
$$overline{A}_n^k=ncdot ncdot … cdot n = n^k. $$
Для вычисления в Excel используем функцию =СТЕПЕНЬ($n$;$k$).
Задача. Сколько трехзначных номеров можно составить для автомобилей, используя все возможные цифры от 0 до 9?
Вводим $n=10$ (количество возможных цифр), $k=3$ (количество цифр в номере) и получаем ответ: 1000 номеров.
В режиме формул это выглядит так:
Еще: онлайн калькулятор размещений с повторениями.
Сочетания в Excel
Пусть имеется $n$ различных объектов. Будем выбирать из них $k$ объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из $n$ объектов по $k$, а их число равно
$$C_n^k=frac{n!}{(n-k)!cdot k!} $$
Для нахождения числа сочетаний в Excel используем функцию =ЧИСЛКОМБ($n$;$k$).
Задача. В поход пошло 10 учеников. Нужно выбрать из них 3, которые понесут флажки. Сколькими способами можно это сделать?
Вводим $n=10$, $k=3$ и получаем ответ: 120 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Еще: онлайн калькулятор сочетаний.
Сочетания с повторениями в Excel
Количество сочетаний с повторениями из $n$ объектов по $k$ можно найти по формуле
$$overline{C}_n^k=C_{k+n-1}^k=frac{(k+n-1)!}{(n-1)!cdot k!}$$
Для вычисления в Excel используем функцию =ЧИСЛКОМБ($n+k-1$;$k$).
Задача. В магазине продаются мячики трех цветов: желтые, красные и синие. Родительский комитет собирается купить 10 мячиков. Сколько возможных вариантов выбора у них есть?
Вводим $n=3$ (вида объектов), $k=10$ (нужно выбрать) и получаем ответ: 66 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Еще: онлайн калькулятор сочетаний с повторениями.
Полезные ссылки
Для собственных расчетов скачайте файл: Комбинаторика в Excel.
|
|
Решебник задач по комбинаторике
Подсчитаем в MS EXCEL количество Размещений с повторениями из n по k (выборка с возвращением). Также с помощью формул выведем на лист соответствующие варианты Размещений (английский перевод термина: sequence with repetition или permutations with repetition).
Размещение с повторениями (выборка с возвращением) — это
Размещение
n объектов по k в предположении, что
каждый объект может участвовать в размещении несколько раз
.
Примечание
: О Размещениях без повторений (т.е. без возвращения элементов) можно прочитать в статье
Размещения без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL
Например, из множества содержащего 3 (n) различных элемента (
a, b, c
) можно сформировать 9 (=3^2) упорядоченных наборов по 2 (k) элемента (т.е. 9 размещений с повторениями из 3 по 2):
аа
,
ab, ac, ba, bb
,
bc, ca, cb, сс
. В отличие от
Размещений без повторений
наборы
аа
,
bb
и
сс
допустимы. В отличие от
Сочетаний
наборы
ac
и
ca
считаются различными (важен порядок).
В отличие от
Размещений без повторений
, k может быть меньше или больше n. Например, из множества содержащего 2 (n) различных элемента (
a, b
) можно сформировать 8 (=2^3) упорядоченных наборов по 3 (k) элемента (т.е. 8 размещений с повторениями из 2 по 3):
аа
a
, а
ab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb
. В отличие от
Размещений без повторений
наборы
аа
a
,
a
bb
и пр. допустимы. В отличие от
Сочетаний
наборы
abb
и
bba
считаются различными (важен порядок).
В
файле примера
MS EXCEL приведен подсчет количества Размещений с повторениями и создана универсальная формула для вывода всех размещений для заданных n и k.
Задавая с помощью
элемента управления Счетчик
количество элементов множества (n) и количество элементов, которое мы из него выбираем (k), с помощью
формулы массива
можно вывести все размещения с повторениями.
Задача
Богатый автолюбитель решил сделать подарки своим 3 любимым родственницам: жене, маме и сестре. К сожалению, женщины не смогли однозначно определиться с марками машин, но указали 4 марки, которые им всем троим нравятся в одинаковой степени: Volkswagen Polo, Hyundai Solaris, KIA Rio и Renault Duster. Автолюбитель решает довериться случаю и делает 4 записки, с указанием марок машин. Все записки кладет в мешок. После каждого выбора, автолюбитель кладет выбранную записку обратно в мешок. Определить число различных вариантов распределения марок между родственницами.
Нам нужно определить число размещений с повторениями 4-х марок машин 3-м родственницам. Т.е. n=4, а k=3. Оказывается, что таких вариантов
=4^3
равно 64.
Воспользуемся
файлом примера
, чтобы убедиться, что мы решили задачу правильно.
По аналогии с решением задачи в статье
Размещений без повторений
сопоставим произвольным образом маркам машин числовые значения и сделаем сокращения названий марок: Hyundai Solaris (HS=1), KIA Rio (KR=2), …
Выставив в ячейках
В5
и
В6
значения 4 и 3 соответственно, определим все варианты размещений.
Примечание
: О перестановках можно прочитать в статье
Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL
, а о сочетаниях в статье
Сочетания без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL
.
Примечание
: В данной статье рассмотрена выборка элементов из одного массива, в котором содержится n элементов. В статье
Комбинации элементов из нескольких множеств
составлены все возможные комбинации элементов таким образом, чтобы в комбинации присутствовал один и только один элемент из каждого множества. Если все множества идентичны (состоят из одинаковых элементов), то задача сводится к рассмотренному в этой статье Размещению с повторениями.
Комбинаторика в Excel
Комбинаторика — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения элементов) и отношения на них. Термин комбинаторика был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Excel поддерживает ряд функций комбинаторики. Чтобы разобраться, какую формулу использовать, следует ответить на ряд вопросов:
- Исходное множество содержит только уникальные элементы, или некоторые из них могут повторяться?
- Операция выполняется со всеми элементами множества, или только с некоторой выборкой из них?
- Важен ли порядок элементов в выборке?
- После выбора элемента мы его возвращаем назад?
Рис. 1. Дерево решений, какую формулу комбинаторики использовать
Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel
Перестановки без повторений
Возьмем несколько различных элементов (предметов) и будем переставлять их всевозможными способами, оставляя неизменным их число и меняя только их порядок (рис. 2). Каждая из получившихся таким образом комбинаций носит название перестановки. Перестановкой из n элементов называется упорядоченное множество, составленное из всех элементов множества.
Рис. 2. Перестановки (картинка взята здесь)
Если все n элементы разные, то число перестановок обозначается Pn от perturbation.
С другой стороны, произведение n первых натуральных чисел называется n-факториал и обозначается n!
Например
По определению: 1! = 1; 0! = 1.
Функция в Excel =ФАКТР(n). Факториал растет очень быстро. Существенно быстрее экспоненты (рис. 3).
Рис. 3. Расчет числа перестановок без повторений с помощью факториала
Перестановки с повторениями
Если в основном n множестве не все элементы разные, то число перестановок будет меньше n! Например, если наше множество состоит из трех яблок и одной груши, то всего возможно 4 перестановки (рис. 4). Груша может быть первой, второй, третьей или четвертой, а яблоки неразличимы).
Рис. 4. Перестановки с повторениями (картинка найдена здесь)
В общем случае, можно сказать: последовательность длины n, составленная из k разных символов, первый из которых повторяется n1 раз, второй – n2 раз, третий – n3 раз, …, k-й – nk раз (где n1 + n2 + … + nk = n) называется перестановкой с повторениями из n элементов.
Пример. Сколько различных пятибуквенных слов можно составить из букв слова «манна»?
Решение. Буквы а и н повторяются 2 раза, а буква м один раз.
Размещение без повторений
Размещением из n элементов по m называется упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из n-элементного множества (все элементы множества уникальны; позиции элементов в выборке важны). Число размещений обозначается 
от arrangement.
Например, два элемента из трех можно выбрать и расположить шестью способами (рис. 4):
Рис. 5. Размещение без повторений (картинка из презентации)
Если m = n количество элементов совпадает с количеством имеющихся мест для размещения. Знаменатель в формуле (4) превращается в 0! = 1. Остается только числитель n! А это – изученная выше перестановка без повторений; см. формулу (1).
Название функции в Excel несколько обескураживает. Но… что поделаешь: =ПЕРЕСТ(n;m)
Рис. 6. Размещение без повторений; обратите внимание на смешанные ссылки, которые позволяют протянуть формулу на всю таблицу
Размещение с повторениями
Размещение с повторениями по смыслу отличается от перестановок с повторением. Перестановки с повторением – это операция над множеством, которое состоит из нескольких видов элементов, так что каждый вид представлен несколькими одинаковыми элементами. Размещение с повторениями – выборки из множества с возвращением выбранного элемента назад перед каждым новым выбором.
Например, если у вас множество, включающее грушу, яблоко и лимон, и вам нужно выбрать два элемента, так что после первого выбора вы возвращаете выбранный предмет назад, то существует девять различных комбинаций (рис. 7).
Рис. 7. Размещение с повторениями
В общем случае размещение с повторениями или выборка с возвращением – это размещение «предметов» в предположении, что каждый «предмет» может участвовать в размещении несколько раз. По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k:
В Excel используется функция ПЕРЕСТА(n;k).
Задача. Сколько различных номеров можно составить в одном коде региона?
Подсказка. В номере используется 12 букв алфавита, также существующих и в латинском алфавите (А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х).
Рис. 8. Номер автомобиля
Решение. Можно воспользоваться формулой для размещения с повторениями:
Каждую цифру можно выбрать 10 способами, а всего цифр 3, при этом они могут повторяться, и их порядок важен. Каждую букву можно выбрать 12 способами, при этом буквы могут повторяться, и их порядок важен.
Сочетания без повторений
Сочетаниями из n множества по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (в сочетаниях не учитывается порядок элементов).
Например, два элемента из 4 сочетаются 6 способами (порядок следования не важен):
Рис. 9. Сочетания без повторений из 4 по 2
Сочетания без повторений образуют знаменитый треугольник Паскаля (рис. 10). В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Числа в строках, составляющие треугольник Паскаля, являются сочетаниями
где n – номер строки, m – номер элемента в строке, начиная с нулевого. Например, в строке 7:
Рис. 10. Треугольник Паскаля; чтобы увеличить изображение кликните на нем правой кнопкой мыши и выберите Открыть картинку в новой вкладке
В Excel используется функция =ЧИСЛКОМБ(n;m).
Сочетания с повторениями
Сочетания с повторениями по смыслу похожи на размещение с повторениями – это выборки из множества с возвращением выбранного элемента назад перед каждым новым выбором. При этом порядок в выборке не важен.
Например, два предмета из четырех можно выбрать 10 способами, если после каждого выбора предмет возвращается назад (рис. 11).
Рис. 11. Сочетания с повторениями
В общем случае, число сочетаний с повторениями:
Для нашего примера с фруктами
В Excel для подсчета числа сочетаний с повторениями используется функция =ЧИСЛКОМБА(n;m). В нашем примере =ЧИСЛКОМБА(4;2) = 10.
Содержание
- Размещения c повторениями: Комбинаторика в EXCEL
- Задача
- Комбинаторика в Excel
- Как выбрать формулу комбинаторики?
- Перестановки в Excel
- Перестановки с повторениями в Excel
- Размещения в Excel
- Размещения с повторениями в Excel
- Сочетания в Excel
- Сочетания с повторениями в Excel
- Полезные ссылки
- Комбинаторика в Excel
- Как выбрать формулу комбинаторики?
- Перестановки в Excel
- Перестановки с повторениями в Excel
- Размещения в Excel
- Размещения с повторениями в Excel
- Сочетания в Excel
- Сочетания с повторениями в Excel
- Полезные ссылки
Размещения c повторениями: Комбинаторика в EXCEL
history 2 февраля 2016 г.
Подсчитаем в MS EXCEL количество Размещений с повторениями из n по k (выборка с возвращением). Также с помощью формул выведем на лист соответствующие варианты Размещений (английский перевод термина: sequence with repetition или permutations with repetition).
Размещение с повторениями (выборка с возвращением) — это Размещение n объектов по k в предположении, что каждый объект может участвовать в размещении несколько раз .
Примечание : О Размещениях без повторений (т.е. без возвращения элементов) можно прочитать в статье Размещения без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL
Например, из множества содержащего 3 (n) различных элемента ( a, b, c ) можно сформировать 9 (=3^2) упорядоченных наборов по 2 (k) элемента (т.е. 9 размещений с повторениями из 3 по 2): аа , ab, ac, ba, bb , bc, ca, cb, сс . В отличие от Размещений без повторений наборы аа , bb и сс допустимы. В отличие от Сочетаний наборы ac и ca считаются различными (важен порядок).
В отличие от Размещений без повторений , k может быть меньше или больше n. Например, из множества содержащего 2 (n) различных элемента ( a, b ) можно сформировать 8 (=2^3) упорядоченных наборов по 3 (k) элемента (т.е. 8 размещений с повторениями из 2 по 3): аа a , а ab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb . В отличие от Размещений без повторений наборы аа a , a bb и пр. допустимы. В отличие от Сочетаний наборы abb и bba считаются различными (важен порядок).
В файле примера MS EXCEL приведен подсчет количества Размещений с повторениями и создана универсальная формула для вывода всех размещений для заданных n и k.
Задавая с помощью элемента управления Счетчик количество элементов множества (n) и количество элементов, которое мы из него выбираем (k), с помощью формулы массива можно вывести все размещения с повторениями.
Задача
Богатый автолюбитель решил сделать подарки своим 3 любимым родственницам: жене, маме и сестре. К сожалению, женщины не смогли однозначно определиться с марками машин, но указали 4 марки, которые им всем троим нравятся в одинаковой степени: Volkswagen Polo, Hyundai Solaris, KIA Rio и Renault Duster. Автолюбитель решает довериться случаю и делает 4 записки, с указанием марок машин. Все записки кладет в мешок. После каждого выбора, автолюбитель кладет выбранную записку обратно в мешок. Определить число различных вариантов распределения марок между родственницами.
Нам нужно определить число размещений с повторениями 4-х марок машин 3-м родственницам. Т.е. n=4, а k=3. Оказывается, что таких вариантов =4^3 равно 64.
Воспользуемся файлом примера , чтобы убедиться, что мы решили задачу правильно.
По аналогии с решением задачи в статье Размещений без повторений сопоставим произвольным образом маркам машин числовые значения и сделаем сокращения названий марок: Hyundai Solaris (HS=1), KIA Rio (KR=2), …
Выставив в ячейках В5 и В6 значения 4 и 3 соответственно, определим все варианты размещений.
Примечание : О перестановках можно прочитать в статье Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL , а о сочетаниях в статье Сочетания без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL . Примечание : В данной статье рассмотрена выборка элементов из одного массива, в котором содержится n элементов. В статье Комбинации элементов из нескольких множеств составлены все возможные комбинации элементов таким образом, чтобы в комбинации присутствовал один и только один элемент из каждого множества. Если все множества идентичны (состоят из одинаковых элементов), то задача сводится к рассмотренному в этой статье Размещению с повторениями.
Источник
Комбинаторика в Excel
Давайте разберем на примерах основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки без повторений и научимся вычислять их с помощью встроенных функций Excel.
Ниже вы найдете для каждой формулы инструкции по вычислению в эксель, пример задачи, ссылку на калькулятор и видеоурок и шаблон Excel. Удачи в изучении!
Как выбрать формулу комбинаторики?
Нужно последовательно (см. схему выше) ответить на несколько вопросов:
- Сколько у нас есть объектов (число $n$)?
- Важен ли их порядок в комбинации?
- Могут ли встречаться повторяющиеся элементы?
- Нужно выбрать все элементы или только $klt n$?
Отвечая на эти вопросы, двигаемся по стрелкам схемы и получаем название формулы комбинаторики:
Перестановки в Excel
Пусть имеется $n$ различных объектов. Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно
$$P_n=n!=1cdot 2cdot 3 cdot . cdot (n-1) cdot n$$
Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$.
Для нахождения числа перестановок в Excel можно использовать одну из двух функций:
=ПЕРЕСТ($n$;$n$) или =ФАКТР($n$) , где $n$ — число переставляемых объектов.
Задача. Сколькими способами можно расставить 10 различных книг на одной полке?
Вводим число объектов 10 и получаем ответ: 3628800 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Перестановки с повторениями в Excel
Пусть имеется $n$ объектов различных типов: $n_1$ объектов первого типа, $n_2$ объектов второго типа. $n_k$ объектов $k$-го типа. Сколькими способами можно переставить все объекты между собой?
Будем переставлять $n$ объектов всеми возможными способами (их будет $n!$). Но так как некоторые объекты совпадают, итоговое число будет меньше. В частности, $n_1$ объектов первого типа можно переставлять между собой $n_1!$ способами, но они не меняют итоговую перестановку. Аналогично для всех остальных объектов, поэтому число перестановок с повторениями есть
Для нахождения числа перестановок в Excel будем использовать функцию =ФАКТР() , которая находит факториал чисел и обычные действия ( умножение, деление ).
Задача. Сколько различных слов можно составить из букв слова «колокол»?
Вводим число букв $n=7$, а также $n_1=2$ (2 буквы «к»), $n_2=3$ (3 буквы «о»), $n_3=2$ (2 буквы «л»), и получаем ответ: 210 слов.
В режиме формул это выглядит так:
Размещения в Excel
Пусть имеется $n$ различных объектов. Будем выбирать из них $k$ объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из $n$ объектов по $k$, а их число равно
Для нахождения числа размещений в Excel используем функцию =ПЕРЕСТ($n$;$k$) .
Задача. В группе учится 10 студентов. Нужно выбрать из них 3 человек на должности старосты, заместителя и дежурного. Сколькими способами можно это сделать?
Вводим $n=10$, $k=3$ и получаем ответ: 720 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Размещения с повторениями в Excel
Число размещений с повторениями из $n$ объектов по $k$ можно найти по формуле
Для вычисления в Excel используем функцию =СТЕПЕНЬ($n$;$k$) .
Задача. Сколько трехзначных номеров можно составить для автомобилей, используя все возможные цифры от 0 до 9?
Вводим $n=10$ (количество возможных цифр), $k=3$ (количество цифр в номере) и получаем ответ: 1000 номеров.
В режиме формул это выглядит так:
Сочетания в Excel
Пусть имеется $n$ различных объектов. Будем выбирать из них $k$ объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из $n$ объектов по $k$, а их число равно
Для нахождения числа сочетаний в Excel используем функцию =ЧИСЛКОМБ($n$;$k$) .
Задача. В поход пошло 10 учеников. Нужно выбрать из них 3, которые понесут флажки. Сколькими способами можно это сделать?
Вводим $n=10$, $k=3$ и получаем ответ: 120 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Сочетания с повторениями в Excel
Количество сочетаний с повторениями из $n$ объектов по $k$ можно найти по формуле
Для вычисления в Excel используем функцию =ЧИСЛКОМБ($n+k-1$;$k$) .
Задача. В магазине продаются мячики трех цветов: желтые, красные и синие. Родительский комитет собирается купить 10 мячиков. Сколько возможных вариантов выбора у них есть?
Вводим $n=3$ (вида объектов), $k=10$ (нужно выбрать) и получаем ответ: 66 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Полезные ссылки
Для собственных расчетов скачайте файл: Комбинаторика в Excel.
Источник
Комбинаторика в Excel
Давайте разберем на примерах основные формулы комбинаторики: сочетания, размещения, перестановки без повторений и научимся вычислять их с помощью встроенных функций Excel.
Ниже вы найдете для каждой формулы инструкции по вычислению в эксель, пример задачи, ссылку на калькулятор и видеоурок и шаблон Excel. Удачи в изучении!
Как выбрать формулу комбинаторики?
Нужно последовательно (см. схему выше) ответить на несколько вопросов:
- Сколько у нас есть объектов (число $n$)?
- Важен ли их порядок в комбинации?
- Могут ли встречаться повторяющиеся элементы?
- Нужно выбрать все элементы или только $klt n$?
Отвечая на эти вопросы, двигаемся по стрелкам схемы и получаем название формулы комбинаторики:
Перестановки в Excel
Пусть имеется $n$ различных объектов. Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно
$$P_n=n!=1cdot 2cdot 3 cdot . cdot (n-1) cdot n$$
Символ $n!$ называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от $1$ до $n$. По определению, считают, что $0!=1, 1!=1$.
Для нахождения числа перестановок в Excel можно использовать одну из двух функций:
=ПЕРЕСТ($n$;$n$) или =ФАКТР($n$) , где $n$ — число переставляемых объектов.
Задача. Сколькими способами можно расставить 10 различных книг на одной полке?
Вводим число объектов 10 и получаем ответ: 3628800 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Перестановки с повторениями в Excel
Пусть имеется $n$ объектов различных типов: $n_1$ объектов первого типа, $n_2$ объектов второго типа. $n_k$ объектов $k$-го типа. Сколькими способами можно переставить все объекты между собой?
Будем переставлять $n$ объектов всеми возможными способами (их будет $n!$). Но так как некоторые объекты совпадают, итоговое число будет меньше. В частности, $n_1$ объектов первого типа можно переставлять между собой $n_1!$ способами, но они не меняют итоговую перестановку. Аналогично для всех остальных объектов, поэтому число перестановок с повторениями есть
Для нахождения числа перестановок в Excel будем использовать функцию =ФАКТР() , которая находит факториал чисел и обычные действия ( умножение, деление ).
Задача. Сколько различных слов можно составить из букв слова «колокол»?
Вводим число букв $n=7$, а также $n_1=2$ (2 буквы «к»), $n_2=3$ (3 буквы «о»), $n_3=2$ (2 буквы «л»), и получаем ответ: 210 слов.
В режиме формул это выглядит так:
Размещения в Excel
Пусть имеется $n$ различных объектов. Будем выбирать из них $k$ объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из $n$ объектов по $k$, а их число равно
Для нахождения числа размещений в Excel используем функцию =ПЕРЕСТ($n$;$k$) .
Задача. В группе учится 10 студентов. Нужно выбрать из них 3 человек на должности старосты, заместителя и дежурного. Сколькими способами можно это сделать?
Вводим $n=10$, $k=3$ и получаем ответ: 720 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Размещения с повторениями в Excel
Число размещений с повторениями из $n$ объектов по $k$ можно найти по формуле
Для вычисления в Excel используем функцию =СТЕПЕНЬ($n$;$k$) .
Задача. Сколько трехзначных номеров можно составить для автомобилей, используя все возможные цифры от 0 до 9?
Вводим $n=10$ (количество возможных цифр), $k=3$ (количество цифр в номере) и получаем ответ: 1000 номеров.
В режиме формул это выглядит так:
Сочетания в Excel
Пусть имеется $n$ различных объектов. Будем выбирать из них $k$ объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из $n$ объектов по $k$, а их число равно
Для нахождения числа сочетаний в Excel используем функцию =ЧИСЛКОМБ($n$;$k$) .
Задача. В поход пошло 10 учеников. Нужно выбрать из них 3, которые понесут флажки. Сколькими способами можно это сделать?
Вводим $n=10$, $k=3$ и получаем ответ: 120 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Сочетания с повторениями в Excel
Количество сочетаний с повторениями из $n$ объектов по $k$ можно найти по формуле
Для вычисления в Excel используем функцию =ЧИСЛКОМБ($n+k-1$;$k$) .
Задача. В магазине продаются мячики трех цветов: желтые, красные и синие. Родительский комитет собирается купить 10 мячиков. Сколько возможных вариантов выбора у них есть?
Вводим $n=3$ (вида объектов), $k=10$ (нужно выбрать) и получаем ответ: 66 способов.
В режиме формул это выглядит так:
Полезные ссылки
Для собственных расчетов скачайте файл: Комбинаторика в Excel.
Источник
Друзья,
создал новую тему для решения задач, связанных с комбинаторикой.
Решения интересны, как с помощью формул, так и c помощью VBA.
Формул для решения задач по комбинаторике в интернете много,
но вот способов генерации всех вариантов в Excel мало, а формулами еще меньше.
Задачу №1 вытащил отсюда.
У меня получилось 384 варианта(ручками).
Позиции 11, 12 и 59, 60 поправь.
Идея хорошая
Количество вариантов (формула массива):
=ПРОИЗВЕД(СТРОКА(A1:ИНДЕКС(A1:A20;B1))*2)
где В1 — количество пар (труб)
Отлично, Dmitr68
сдвинулись с мертвой точки.
=ПРОИЗВЕД(СТРОКА(ДВССЫЛ(«1:»&B1))*2)
формула массива
Интересная тема, оказалась эта КОМБИНАТОРИКА!
Пролистал эти книжки:
Р. Стенли «Перечислительная комбинаторика»;
Я.С. Бродский «Статистика. Вероятность. Комбинаторика»;
В.Я. Гельман «Решение математических задач средствами Excel»
Надо вникать!?
А здесь http://algolist.manual.ru/maths/combinat/sequential.php есть методы программирования комбинаторики (правда не в VBA).
Уважаемый Zorro2005, объясните, пожалуйста, 8!=40320, а по какому принципу Вы исключили ненужные перестановки до 384? Может все это возможно сделать с функциями ПЕРЕСТ, ФАКТ и ЧИСЛКОМБ, а не в ручную? Извините если что не так спросил, знаний своих пока не хватает!
Я все-таки хочу докопаться до истины для того, чтобы можно было использовать эту программу для стыковки любого количества труб (а не только 6 как в примере).
Спасибо за ответ!
=ПРОИЗВЕД(СТРОКА(ДВССЫЛ(«1:»&B1))*2)
формула массива
Куда внести изменения? В столбец R (Конец)?
Цитата: rusttemm от 05.01.2011, 23:07
…а по какому принципу Вы исключили ненужные перестановки до 384? Может все это возможно сделать с функциями ПЕРЕСТ, ФАКТ и ЧИСЛКОМБ, а не в ручную? Извините если что не так спросил, знаний своих пока не хватает!
Я все-таки хочу докопаться до истины для того, чтобы можно было использовать эту программу для стыковки любого количества труб (а не только 6 как в примере).
Так мы и пытаемся сделать не в ручную.
Мне тоже знаний не хватает, но я учусь. 
Перестановки я делал только для 4 труб.
Для большего кол-ва труб еще раз советую дождаться специалистов по макросам.
Спасибо Zorro2005! Буду дальше пытыться разобраться. 
Смотрю! 
Вот вариант с макросом для 1…4 труб (если одна труба — тоже ведь о двух концах 
).
Для 5-ти и более труб нужны двузначные числа для обозначения концов труб, и код, видимо, д.б. совсем другой.
Цитата: rusttemm от 05.01.2011, 23:07
Уважаемый Zorro2005, объясните, пожалуйста, 8!=40320, а по какому принципу Вы исключили ненужные перестановки до 384? Может все это возможно сделать с функциями ПЕРЕСТ, ФАКТ и ЧИСЛКОМБ, а не в ручную? Извините если что не так спросил, знаний своих пока не хватает!
Я все-таки хочу докопаться до истины для того, чтобы можно было использовать эту программу для стыковки любого количества труб (а не только 6 как в примере).
Считаем:
Число_перестановок_труб = Число_перестановок_без_повторений = N! = 4! = 24;
Число_поворотов_труб = Число_размещений_с_повторениями = K^N (K = 2 — два конца у трубы) = 2^4 = 16;
Итого вариантов = N!*2^N = 24*16 = 384.
А 7 труб (= 645120) на 2003-ем листе уже не поместятся.
Прикрепил мой вариант генератора перестановок:
Эксель изощрён, но не злонамерен.
С.М. спасибо за пояснение!
А теперь надо как то связать генератор перестановок с таблицей замеров с изменяющимся количеством труб (кроме первой и последней трубы). В таблицу ЗАМЕРЫ внес данные, в СТЫКОВКА – получил наилучший вариант. Т. е. довести программу до рабочего состояния.
С миру по нитке…
Всем спасибо!
Попробовал «разогнать» подход, предложенный С.М. для генератора перестановок. Получилось побыстрее, но в обоих случаях дальше 6-й трубы не идет
Я в VBA не рзбираюсь, но может увеличить здесь (не миллион, а больше):
If IterationCount > 1000000 Then
MsgBox «Число итераций больше предельного», vbExclamation, «ПодгоняемТрубы»
On Error GoTo 0
Exit Sub
Извиняюсь, если что не так ляпныл! 
И что значит «Число итераций больше предельного», если не трудно?
Спасибо!
Можно ли создать динамичную таблицу, верхняя и нижняя труба остаются, а количество промежуточных труб (ну и соответственно строки в таблице) изменяются в зависимости от значения ячейки Н1(количество труб)? Т.е вставка данных происходит в середину таблицы, две нижние строки (нижняя труба) сдвигаются вниз. Пока смог создать только такую таблицу (с помощью условного форматирования). Новые данные вставляются снизу.
Так же посчитал, что при количестве средних труб =7, количество необходимых строк для таблиц сравнения значений вариантов составит 12257280 (12 млн.). Можно ли будет их продолжить на последующем листе? И сможет ли Excel все это хозяйство посчитать? (См. тему «Стыковка профильных труб», файл Трубы_2_2.rar).
Цитата: ZORRO2005 от 05.01.2011, 02:06
Формул для решения задач по комбинаторике в интернете много,
но вот способов генерации всех вариантов в Excel мало, а формулами еще меньше.
Один из способов генерации всех вариантов к данной задаче формулами,
работает от 1 до 4 труб (от 2 до 384 вариантов), но не сложно переделать и для 6 труб, правда будет тормозить
ЗЫ: немного изменил последовательность генерации, что позволило чуть сократить формулу,
файл перезалил
Воплотил идею Казанского-ZORRO2005 (поиск перестановки с минимальной суммой квадратов разностей размеров стыкуемых труб) в макрос.
Но на 7-и трубах мой PC завис.
Всё-таки перебор всех перестановок — тупик: большая часть вариантов подгона
практически
не отличаются друг от друга. Должен быть какой-то эвристический алгоритм. Если перебирать перестановки «случайно», и должен быть критерий по которому макрос решит, что найден вполне оптимальный вариант и Бог с ними — 24735 другими вариантами-близнецами.
Эксель изощрён, но не злонамерен.
Ну и еще вариант (почти как у С.М.). Да, более 6-ти труб — никак.
Наверное, можно задать какие-то нормы. Например, если смещение кромок стыкуемых элементов менее 30% толщины тонкой детали, то принимаем такой вариант, не перебирая все остальные. Если более — отправляем на калибровку (т.е. используем кувалду, а не Excel ).
Всем БОЛЬШОЕ СПАСИБО! Вы ПРОФЕССИОНАЛЫ!
Цитата: ZORRO2005 от 05.01.2011, 02:06
Друзья,
создал новую тему для решения задач, связанных с комбинаторикой.
Спасибо за тему. Лет 30 таких пасьянсов не раскладывал. Выкладываю свой вариант. Формулами только для 4.
Через VBA для любого числа труб, насколько места хватит. Три дня назад почему-то выложить не получилось.
Ну и а) извиняюсь, что без красивой кнопки запуска макроса. б) есть о чем в этой еще в этой теме поговорить (будут след. сообщения).
|
Группа: Пользователи Ранг: Прохожий Сообщений: 3
Замечаний: |
У Вас как раз пример, когда не нужно генерировать все сочетания и выводить их на лист, можно фильтровать данные в процессе генерации
(ЧИСЛКОМБ(70;5) = 12103014, генерация 12 миллионов комбинаций — пара секунд, можно сразу макросом с ними производить вычисления)
MCH, так и я о том же: нужен макрос, который фильтрует сочетания именно в процессе их генерации
Задача: имеется числовая лотерея, в которой надо угадать 5 из 70 чисел.
Число возможных сочетаний более 12 млн. Чтобы уменьшить их количество отбрасываем числа из последних 2-3 тиражей, из оставшихся чисел формируем массив (допустим, в столбце А).
В параметрах фильтров устанавливаем граничные условия (минимальное и максимальное значение полосы прорускания)
Запускаем макрос, который генерирует сочетания, удовлетворяющие условиям фильтров.
Фильтры основаны на анализе всех теоретически возможных сочетаний и результатов уже прошедших тиражей. Ширина полосы пропускания выбирается пользователем: для «жёсткого» фильтра это 2 стандартных отклонения от значения моды (остаётся ~ 65% всех возможных сочетаний), для «мягкого» — 4 стандартных отклонения (95%), возможен и произвольный диапазон.
Чтобы осталось разумное число сочетаний количество фильтров должно быть достаточно большим, поэтому фильтры разумнее делать в виде подключаемых модулей.
Нечто подобное вами было реализовано в 2013 году (макрос LimitBtuteForce), который выполняет подбор чисел под заданную сумму. При использовании этого макроса и ~ 40 фильтров время обработки массива для лотереи «5 из 36» составляет не более 2 минут, при этом число сочетаний сокращается до полутора десятков.