Расчет вероятности события в excel

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование proB
 Функция Microsoft Excel.

Описание

Возвращает вероятность того, что значение из интервала находится внутри заданных пределов. Если верхний_предел не задан, то возвращается вероятность того, что значения в аргументе x_интервал равняются значению аргумента нижний_предел.

Синтаксис

ВЕРОЯТНОСТЬ(x_интервал;интервал_вероятностей;[нижний_предел];[верхний_предел])

Аргументы функции ВЕРОЯТНОСТЬ описаны ниже.

• x_интервал    Обязательный. Диапазон числовых значений x, с которыми связаны вероятности.

• Интервал_вероятностей    Обязательный. Множество вероятностей, соответствующих значениям в аргументе «x_интервал».

• Нижний_предел    Необязательный. Нижняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

• Верхний_предел    Необязательный. Верхняя граница значения, для которого вычисляется вероятность.

Замечания

• Если значение в prob_range ≤ 0 или любое значение в prob_range > 1, функция PROB возвращает #NUM! (значение ошибки).

• Если сумма значений в prob_range не равна 1, функция PROB возвращает #NUM! (значение ошибки).

• Если верхний_предел опущен, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает вероятность равенства значению аргумента нижний_предел.

• Если x_интервал и интервал_вероятностей содержат различное количество точек данных, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ возвращает значение ошибки #Н/Д.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу Enter. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные
Значение x	Вероятность
0	0,2
1	0,3
2	0,1
3	0,4
Формула	Описание	Результат
=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;2)	Вероятность того, что x является числом 2.	0,1
=ВЕРОЯТНОСТЬ(A3:A6;B3:B6;1;3)	Вероятность того, что x находится в интервале от 1 до 3.	0,8

Очень часто при работе в Excel необходимо использовать вычисления вероятности появления некоторого события. Для этого используется статистическая функция ВЕРОЯТНОСТЬ.

Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel

Стоит отметить, что используются часто в Excel и другие статистические функции, к примеру:

• ДИСП;
• ГИПЕРГЕОМ.РАСП;
• СРЗНАЧ и другие.

Функция выполняет вычисление вероятности того, что значения с интервала находятся в заданных пределах. В случае, если верхний предел не будет задан, то будет возвращена вероятность того, что значения аргумента x_интервал будет равно значению аргумента под названием нижний_предел.



Вычисление процента вероятности события в Excel

Пример 1. Дана таблица диапазона числовых значений, а также вероятностей, которые им соответствуют:

Необходимо при использовании данной статистической функции вычислить вероятность события, что значение с указанного интервала входит в интервал [1;4].

Для этого введем функцию со следующими аргументами:

тут:

• х_интервал – это начальные данные (0, …, 4);
• интервал вероятностей является множеством вероятностей для начальных данных (0,15; 0,1; 0,15; 0,2; 0,4);
• нижний предел равен значению 1;
• верхний предел равен 4.

В результате выполненных вычислений получим:

Пример 2. В условии предыдущего примера нужно вычислить вероятность события «значение х равно 4».

Введем в ячейку С3 введем функцию с такими аргументами:

тут:

• х_интервал – начальные параметры (0, …, 4);
• интервал вероятностей – совокупность вероятностей для параметров (0,1; 0,15; 0,2; 0,15; 0,4);
• нижний предел – 4;

В данном примере верхний предел не указан, поскольку необходимо конкретное значение вероятности, а именно для значения 4.

Получим:

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ при нескольких условиях интервалов

Пример 3. В условии примера 1 нужно вычислить вероятность того, что значения интервала [0; 4] будут находится находятся внутри интервалов [0;1] и [3;4].

Введем формулу:

Описание формул аналогичные предыдущим примерам.

В результате выполненных вычислений получим:

Скачать примеры функции ВЕРОЯТНОСТЬ в Excel

Таким образом составив формулу можно с помощью данной функции вычислить процент вероятности при нескольких условиях.

---

Вероятность описывает вероятность того, что некоторое событие произойдет.

Мы можем рассчитать вероятности в Excel, используя функцию PROB , которая использует следующий синтаксис:

ПРОБ(x_диапазон, вероятностный_диапазон, нижний_предел, [верхний_предел])

куда:

• x_range: диапазон числовых значений x.
• prob_range: диапазон вероятностей, связанных с каждым значением x.
• нижний_предел: нижний предел значения, для которого вы хотите получить вероятность.
• upper_limit: Верхний предел значения, для которого вы хотите получить вероятность. По желанию.

В этом руководстве представлено несколько примеров использования этой функции на практике.

Пример 1: Вероятность игры в кости

На следующем изображении показана вероятность выпадения кубика с определенным значением при данном броске:

Поскольку кости с одинаковой вероятностью выпадут на каждом значении, вероятность одинакова для каждого значения.

На следующем рисунке показано, как найти вероятность того, что кубик выпадет на число от 3 до 6:

Вероятность оказывается равной 0,5 .

Обратите внимание, что аргумент верхнего предела является необязательным. Таким образом, мы могли бы использовать следующий синтаксис, чтобы найти вероятность того, что кости приземлятся только на 4:

Вероятность оказывается равной 0,166667 .

Пример 2: Вероятность продаж

На следующем изображении показана вероятность того, что компания продаст определенное количество товаров в предстоящем квартале:

На следующем рисунке показано, как найти вероятность того, что компания совершит 3 или 4 продажи:

Вероятность оказывается равной 0,7 .

Дополнительные ресурсы

Как рассчитать относительную частоту в Excel
Как рассчитать кумулятивную частоту в Excel
Как создать частотное распределение в Excel

Формула Бернулли в Excel

В этой статье я расскажу о том, как решать задачи на применение формулы Бернулли в Эксель. Разберем формулу, типовые задачи — решим их вручную и в Excel. Вы разберетесь со схемой независимых ипытаний и сможете использовать расчетный файл эксель) для решения своих задач. Удачи!

Схема независимых испытаний

В общем виде схема повторных независимых испытаний записывается в виде задачи:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых (вероятность успеха) равна $p$, вероятность ненаступления (неуспеха) — соответственно $q=1-p$. Найти вероятность, что событие $A$ наступит в точности $k$ раз в $n$ опытах.

Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли:

$$
P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k}=C_n^k cdot p^k cdot q^{n-k}. qquad(1)
$$

Здесь $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Еще: онлайн калькуляторы для формулы Бернулли.

Данная схема описывает большой пласт задач по теории вероятностей (от игры в лотерею до испытания приборов на надежность), главное, выделить несколько характерных моментов:

• Опыт повторяется в одинаковых условиях несколько раз. Например, кубик кидается 5 раз, монета подбрасывается 10 раз, проверяется 20 деталей из одной партии, покупается 8 однотипных лотерейных билетов.
• Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова. Этот пункт связан с предыдущим, рассматриваются детали, которые могут оказаться с одинаковой вероятностью бракованными или билеты, которые выигрывают с одной и той же вероятностью.
• События в каждом опыте наступают или нет независимо от результатов предыдущих опытов. Кубик падает случайно вне зависимости от того, как упал предыдущий и т.п.

Если эти условия выполнены — мы в условиях схемы Бернулли и можем применять одноименную формулу. Если нет — ищем дальше, ведь классов задач в теории вероятностей существенно больше (и о решении некоторых написано тут): классическая и геометрическая вероятность, формула полной вероятности, сложение и умножение вероятностей, условная вероятность и т.д.

Подробнее про формулу Бернулли и примеры ее применения можно почитать в онлайн-учебнике. Мы же перейдем к вычислению с помощью программы MS Excel.

Формула Бернулли в Эксель

Для вычислений с помощью формулы Бернулли в Excel есть специальная функция =БИНОМ.РАСП(), выдающая определенную вероятность биномиального распределения.

Чтобы найти вероятность $P_n(k)$ в формуле (1) используйте следующий текст =БИНОМ.РАСП($k$;$n$;$p$;0).

Покажем на примере. На листе подкрашены ячейки (серые), куда можно ввести параметры задачи $n, k, p$ и получить искомую вероятность (текст полностью виден в строке формул вверху).

Пример применения формулы на конкретных задачах мы рассмотрим ниже, а пока введем в лист Excel другие нужные формулы, которые пригодятся в решении:

Выше на скриншоте введены формулы для вычисления следующих вероятностей (помимо самих формул для Excel ниже записаны и исходные формулы теории вероятностей):

• Событие произойдет в точности $k$ раз из $n$:
  =БИНОМ.РАСП(k;n;p;0)
  $$P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot q^{n-k}$$
• Событие произойдет от $k_1$ до $k_2$ раз:
  =БИНОМ.РАСП(k_2;n;p;1) — БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;0)
  $$P_n(k_1le X le k_2)=sum_{i=k_1}^{k_2} C_n^i cdot p^i cdot q^{n-i}$$
• Событие произойдет не более $k_3$ раз:
  =БИНОМ.РАСП(k_3;n;p;1)
  $$P_n(0le X le k_3)=sum_{i=0}^{k_3} C_n^i cdot p^i cdot q^{n-i}$$
• Событие произойдет не менее $k_4$ раз:
  =1 — БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;0)
  $$P_n(k_4le X le n)=sum_{i=k_4}^{n} C_n^i cdot p^i cdot q^{n-i}$$
• Событие произойдет хотя бы один раз:
  =1-БИНОМ.РАСП(0;n;p;0)
  $$P_n( X ge 1)=1-P_n(0)=1-q^{n}$$
• Наивероятнейшее число наступлений события $m$:
  =ОКРУГЛВВЕРХ(n*p-q;0)
  $$np-q le m le np+p$$

Вы видите, что в задачах, где нужно складывать несколько вероятностей, мы уже используем функцию вида =БИНОМ.РАСП(k;n;p;1) — так называемая интегральная функция вероятности, которая дает сумму всех вероятностей от 0 до $k$ включительно.

Полезное: расчетный файл по формуле Бернулли

Примеры решений задач

Рассмотрим решение типовых задач.

Пример 1. Произвели 7 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 5 попаданий; от 6 до 7 попаданий в цель.

Решение. Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (выстрелах), всего их $n=7$, вероятность попадания при каждом одинакова и равна $p=0,75$, вероятность промаха $q=1-p=1-0,75=0,25$. Нужно найти, что будет ровно $k=5$ попаданий. Подставляем все в формулу (1) и получаем:

$$
P_7(5)=C_{7}^5 cdot 0,75^5 cdot 0,25^2 = 21cdot 0,75^5 cdot 0,25^2= 0,31146.
$$

Для вероятности 6 или 7 попаданий суммируем:

$$
P_7(6)+P_7(7)=C_{7}^6 cdot 0,75^6 cdot 0,25^1+C_{7}^7 cdot 0,75^7 cdot 0,25^0= \
= 7cdot 0,75^6 cdot 0,25+0,75^7=0,44495.
$$

А вот это решение в файле эксель:

Пример 2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье:
1. Ровно 2 мальчика
2. От 4 до 5 мальчиков
3. Не более 2 мальчиков
4. Не менее 7 мальчиков
5. Хотя бы один мальчик
Каково наиболее вероятное число мальчиков и девочек в семье?

Решение. Сначала запишем данные задачи: $n=10$ (число детей), $p=0,5$ (вероятность рождения мальчика). Формула Бернулли принимает вид: $$P_{10}(k)=C_{10}^k cdot 0,5^kcdot 0,5^{10-k}=C_{10}^k cdot 0,5^{10}$$
Приступим к вычислениям:

$$1. P_{10}(2)=C_{10}^2 cdot 0,5^{10} = frac{10!}{2!8!}cdot 0,5^{10} approx 0,044.$$

$$2. P_{10}(4)+P_{10}(5)=C_{10}^4 cdot 0,5^{10} + C_{10}^5 cdot 0,5^{10}=left( frac{10!}{4!6!} + frac{10!}{5!5!} right)cdot 0,5^{10} approx 0,451.$$

$$3. P_{10}(0)+P_{10}(1)+P_{10}(2)=C_{10}^0 cdot 0,5^{10} + C_{10}^1 cdot 0,5^{10}+ C_{10}^2 cdot 0,5^{10}=left( 1+10+ frac{10!}{2!8!} right)cdot 0,5^{10} approx 0,055.$$

$$4. P_{10}(7)+P_{10}(8)+P_{10}(9)+P_{10}(10)=\ = C_{10}^7 cdot 0,5^{10} + C_{10}^8 cdot 0,5^{10}+ C_{10}^9 cdot 0,5^{10}+ C_{10}^10 cdot 0,5^{10} =\=left(frac{10!}{3!7!}+ frac{10!}{2!8!} + 10 +1right)cdot 0,5^{10} approx 0,172.$$

$$5. P_{10}(ge 1)=1-P_{10}(0)=1-C_{10}^0 cdot 0,5^{10} = 1- 0,5^{10} approx 0,999.$$

Наивероятнейшее число мальчиков найдем из неравенства:

$$
10 cdot 0,5 — 0,5 le m le 10 cdot 0,5 + 0,5, \
4,5 le m le 5,5,\
m=5.
$$

Наивероятнейшее число — это 5 мальчиков и соответственно 5 девочек (что очевидно и по здравому смыслу, раз их рождения вероятность одинакова).

Проведем эти же расчеты в нашем шаблоне эксель, вводя данные задачи в серые ячейки:

Видно, что ответы совпадают.

Пример 3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,3. Куплено 8 билетов. Найти вероятность того, что а) хотя бы один билет выигрышный; б) менее трех билетов выигрышные. Какое наиболее вероятное число выигрышных билетов?

Решение. Полное решение этой задачи можно найти тут, а мы сразу введем данные в Эксель и получим ответы: а) 0,94235; б) 0,55177; в) 2 билета. И они совпадут (с точностью до округления) с ответами ручного решения.

Решайте свои задачи и советуйте наш сайт друзьям. Удачи!

Полезные ссылки

Расчетный файл эксель для расчетов по формуле Бернулли

Калькуляторы на формулу Бернулли Примеры решений задач

Как решать задачи по теории вероятностей? Решение заданий на заказ

Решебник задач по вероятности

A discrete distribution describes the probability of occurrence of a random variable that can take on only a certain number of values. Common examples for this are the probabilities in a dice roll or getting a certain card in a deck of regular cards. In this guide, we’re going to show you how to calculate discrete probability in Excel.

Download Workbook

What is probability?

Probability is a branch of mathematics that shows how likely an event is to occur. In a nutshell, it is the ratio of the number of occurrences of an event to the total number of occurrences.

Let’s look at rolling a dice. A standard dice has 6 sides and  each side has an equal chance to be on top. Thus, we can say each number has 1/6 = 0.1667 probability.

If you want to calculate the probability of getting 1 or 2 or 3 on a dice roll, you can sum up the probability values or use the PROB function.

PROB function

The PROB function is a statistical function that can calculate the probability associated with a given range. The function allows you to set lower and upper limits to be able to calculate probability between.

x_range	The range of numeric values which have associated probabilities.
prob_range	The range of probabilities associated with values in x_range.
lower_limit	The lower bound on the value for which you want to calculate the probability.
[upper_limit]	Optional. The lower bound on the value for which you want to calculate the probability. If this is omitted, the PROB function returns the probability for the x_range values equal to the lower_limit.

How to calculate discrete probability with PROB function

The first argument of the PROB function, x_range, accepts events by numerical values. Events, in this example, are the numbers of a dice. The second argument, prob_range, is for the probabilities of occurrences of the corresponding events. The rest of the arguments are for the lower and upper limits, respectively.

To return the probability of getting 1 or 2 or 3 on a dice roll, the data and formula should be like the following:

The formula returns 0.5, which means you have a 50% chance to get 1 or 2 or 3 from a single roll. Let’s check a more complex example for calculating discrete probability with 2 dices.

When you roll two dices, you can get numbers between 2 and 12. However, the probabilities of numbers are not equal this time. The table of numbers and probability values are below.

If your aim is to find the probability of a single event, you can use the COUNTIF function to count values above, based on the event value and divide it by the total number of events. You can find total number by multiplying dice numbers (6 * 6) or counting them using the COUNT function.

You can see that the most likely result is the number 7 with a probability of 0.1667.

События,
характеризующие данные, могут носить
случайный характер и появляться с разной
вероятностью.

Вероятность
события p
есть отношение числа благоприятных
исходов m
к числу всех возможных исходов n
этого
события:
p=m/n.
Например, вероятность появления туза
в наугад выбранной карте из колоды в 52
карты равна 4/52=0.0769, так как m=4,
а n=52.

Если
известно соответствие между появлениями
(величинами) x₁,
x₂,
…, x_n
случайного события (переменной)
X
и
соответствующими вероятностями их
реализации p₁,
p₂,
…, p_n,
то говорят, что известен закон
распределения случайной величины
F(x).
Большинство встречающихся на практике
распределений вероятностей реализовано
в Excel.

Распределения
вероятностей имеют числовые характеристики.

Функции
Excel
для вычисления числовых характеристик
распределения вероятностей. Они входят
в группу Статистические.
При вычислении функций в качестве
случайных величин используйте следующие
значения:

Математическое
ожидание
случайной величины (среднее арифметическое),
характеризующее центр распределения
вероятностей, вычисляется функцией
СРЗНАЧ. СРЗНАЧ(A1:A7)
= 9.

Дисперсия,
характеризует разброс случайной величины
относительно центра распределения
вероятностей и вычисляется функцией
ДИСПР. ДИСПР(A1:A7)
= 4.857.

Среднеквадратичное
отклонение
есть квадратный корень из дисперсии,
характеризует разброс случайной величины
в единицах случайной величины и
вычисляется функцией СТАНДОТКЛОНП.
СТАНДОТКЛОНП(A1:A7) = 2.203893.

Квантиль
случайной величины с законом распределения
F(x)
есть значение случайной величины x
при заданной вероятности p.,
т.е. есть решение уравнения F(x)=p.
Медиана
есть квантиль с вероятностью p=0.5.

Excel,
вместо квантилей содержит функции
вычисления х
для определенных уровней р:
квартили
(кварта – четверть), децили
(дециль
– десятая часть),
персентили
(персент – процент). Различают нижний
квартиль с вероятностью p=0.25
и верхний квартиль с вероятностью
p=0.75.
Децили это квантили с вероятностью 0.1,
0.2, …, 0.9.

Функцию
КВАРТИЛЬ используют, чтобы разбить
данные на группы. В качестве второго
аргумента указывают уровень (четверть),
для которого нужно вернуть решение: 0 –
минимальное значение распределения, 1
– первый, нижний квартиль, 2 – медиана,
3 – третий, верхний квартиль, 4 –
максимальное значение. Например,
КВАРТИЛЬ(A1:A7;3)
= 10, т.е. 75% всех значений меньше 10,
КВАРТИЛЬ(A1:A7;2) = 9.

Функция
ПЕРСЕНТИЛЬ вычисляет квантиль указанного
уровня вероятности и используется для
определения порога приемлемости
значений. В качестве второго аргумента
указывают уровень 0.1, 0.2, …, 0.9.
ПЕРСЕНТИЛЬ(A1:A7;0,9) = 11.8, т.е. 90% всех значений
меньше 11.8.

Excel
содержит инструмент Ранг
и персентиль,
который на основе набора данных формирует
выходную таблицу, содержащую порядковый
и процентный ранги для каждого значения
в наборе данных. См. справку по F1.
Ниже приведен пример установки надстройки
Пактет
анализа

Распределения
вероятностей, реализованные в Excel.

Каждый
закон распределения описывает процессы
разной вероятностной природы и
характеризуется специфическими
параметрами:

• равномерное
  распределение
  – n
  случайных чисел выпадает с одной и той
  же вероятностью p=1/n;
  характеризуется нижней и верхней
  границей; примером является появление
  чисел 1, 2, …, 6 при бросании игральной
  кости (p=1/6);

• биномиальное
  распределение
  моделирует взаимосвязь числа успешных
  испытаний m
  и вероятностей успеха каждого испытания
  p
  при общем количестве испытаний n
  — функции БИНОМРАСП и КРИТБИНОМ;

• нормальное
  (гауссово) распределение
  описывает процессы, в которых на
  результат воздействует большое число
  независимых случайных факторов, среди
  которых нет сильно выделяющихся –
  функции НОРМРАСП, НОРМСТРАСП, НОРМОБР,
  НОРМСТОБР и НОРМАЛИЗАЦИЯ;

• распределение
  Пуассона, предсказывает
  число случайных событий на определенном
  отрезке времени или на определенном
  пространстве, позволяет аппроксимировать
  биномиальное распределение – функция
  ПУАССОН;

• экспоненциальное
  (показательное) распределение,
  моделирует временные задержки между
  событиями, описывает процессы в задачах
  массового обслуживания и в задачах с
  «временем жизни» — ЭКСПРАСП;

• распределение
  хи-квадрат,
  связано с нормальным, возвращает
  одностороннюю вероятность распределения
  и используется для сравнения предполагаемых
  и наблюдаемых значений – функция
  ХИ2РАСП;

• распределение
  Стьюдента,
  связано с нормальным, возвращает
  вероятность для t-распределения Стьюдента
  и используется для проверки гипотез
  при малом объеме выборки – функция
  СТЬЮДРАСП;

• F-распределение
  (Фишера), связано с нормальным и может
  быть использовано в F-тесте, который
  сравнивает степени разброса двух
  множеств данных – fраспобр;

• гамма-распределение
  используется для изучения случайных
  величин, имеющих асимметричное
  распределение, в теории очередей –
  функция ГАММАРАСП;

• а
  также другие распределения – функции
  БЕТАРАСП, ВЕЙБУЛЛ, ОТРБИНОМРАСП,
  ГИПЕРГЕОМЕТ, ЛОГНОРМРАСП и др.

Биномиальное
распределение
характеризуется
числом успешных испытаний m,
вероятностью успеха каждого испытания
p
и общим количеством испытаний n.
Классическим примером использования
биномиального распределения является
выборочный контроль качества больших
партий товара, изделий в торговле, на
производстве, когда сплошная проверка
невозможна. Из партии выбирают n
образцов и регистрируют число бракованных
m.
Бракованными могут быть 1, 2, … , n
образцов, но вероятности реального
числа бракованных будут различными.
Если контрольная вероятность брака
ниже допустимой вероятности, то можно
гарантировать достаточное качество
всей партии.

В
Excel
функция БИНОМРАСП вычисляет вероятность
отдельного значения распределения по
заданным m,
n
и р,
а функция КРИТБИНОМ – случайное число
по заданной вероятности. Обычно функция
КРИТБИНОМ используется для определения
наибольшего допустимого числа брака.

В
качестве примера построим график
плотности вероятности биномиального
распределения для n=10
(1, 2, …, 10) и p=0.2.
Введите исходные данные, как показано
на рисунке:

Далее
в ячейку В4 введите статистическую
функцию БИНОМРАСП и заполните ее
параметры как показано на рисунке:

Здесь
параметр Число_s
есть число успешных испытаний m,
Испытания
– число независимых испытаний n,
Вероятность_s
–
вероятность успеха каждого испытания
p.
Параметр Интегральный
равен 0, если требуется получить плотность
распределения (вероятность для значения
m),
и равен 1, если требуется получить
вероятность с накоплением (вероятность
того, что число успешных испытаний не
меньше значения аргумента Число_s).

Формулу
из В4 размножьте в ячейки В5:В13. Ниже
показан результат:

В
колонке В вычислены вероятности успешных
испытаний m=1,
2, …, 10. Теперь по диапазону В4:В13 постройте
график или гистограмму биномиальной
функции плотности распределения –
результат на рисунке. Поэкспериментируйте,
изменяя значение вероятности в ячейке
В1: 0.3, 0.4, 0.8, проследите за изменениями
формы графика.

Для
иллюстрации функции КРИТБИНОМ используем
предыдущий пример – необходимо найти
число m,
для которого вероятность интегрального
распределения больше или равна 0.75.
Вызовите функцию КРИТБИНОМ и заполните
параметры. Вы должны получить значение
3. Это означает, что при вероятности
интегрального распределения >= 0.75
будет не менее трех (m>=3)
успешных испытаний.

Нормальное
распределение
характеризуется
средним арифметическим (математическим
ожиданием) m
и стандартным (среднеквадратичным)
отклонением r.
Дисперсия равна r².
Краткое обозначение распределения
N(m,r²).
График нормального распределения
симметричен относительно центра
распределения (точки m),
чем меньше r,
тем больше вероятность появления
случайной величины. В пределы [m—r,m+r]
нормально распределенная случайная
величина попадает с вероятностью 0,683 в
пределы [m-2r,m+2r]
— с вероятностью 0,955 и т.д.

При
m=0
и r=1
нормальное распределение называется
стандартным
или нормированным – N(0,1).

Нормальное
распределение имеет очень широкий круг
приложений. В качестве примера построим
график плотности вероятностей нормального
распределения при m=15
и r=1,5
в диапазоне [m-3r,m+3r]
c
шагом 0,5. Результат показан на рисунке.

Выполните
следующие действия:

• в
  ячейку А4 введите формулу =B1-3*B2, в ячейку
  А5 формулу =A4+B$3 и размножьте ее по ячейку
  А22;

• в
  ячейку В4 введите функцию НОРМРАСП из
  группы Статистические
  – параметры заполните как на рисунке;

• размножьте
  формулу из ячейки В4 по ячейку В22 и по
  диапазону В4:В22 постройте график; на
  2-ом шаге мастера диаграмм в закладке
  Ряд
  введите подписи к оси х
  из диапазона А4:А22.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта

www.excel2.ru

. Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL

.

Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.

Генеральная совокупность и случайная величина

Пусть у нас имеется

генеральная совокупность

(population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.

Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.

Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения

генеральная совокупность

представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.

В нашем примере, ГС — это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.

Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является

случайной величиной

. По определению, любая

случайная величина

имеет

функцию распределения

, которая обычно обозначается F(x).

Функция распределения

Функцией распределения

вероятностей

случайной величины

Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X

F(x) = P(X

Поясним на примере нашего станка. Хотя предполагается, что наш станок производит только один тип деталей, но, очевидно, что вес изготовленных деталей будет слегка отличаться друг от друга. Это возможно из-за того, что при изготовлении мог быть использован разный материал, а условия обработки также могли слегка различаться и пр. Пусть самая тяжелая деталь, произведенная станком, весит 200 г, а самая легкая — 190 г. Вероятность того, что случайно выбранная деталь Х будет весить меньше 200 г равна 1. Вероятность того, что будет весить меньше 190 г равна 0. Промежуточные значения определяются формой Функции распределения. Например, если процесс настроен на изготовление деталей весом 195 г, то разумно предположить, что вероятность выбрать деталь легче 195 г равна 0,5.

Типичный график

Функции распределения

для непрерывной случайной величины приведен на картинке ниже (фиолетовая кривая, см.

файл примера

):

В справке MS EXCEL

Функцию распределения

называют

Интегральной

функцией распределения

(

Cumulative

Distribution

Function

,

CDF

).

Приведем некоторые свойства

Функции распределения:

• 
  Функция распределения
  
  F(x) изменяется в интервале [0;1], т.к. ее значения равны вероятностям соответствующих событий (по определению вероятность может быть в пределах от 0 до 1);
• 
  Функция распределения
  
  – неубывающая функция;
• Вероятность того, что случайная величина приняла значение из некоторого диапазона [x1;x2): P(x
  
  ₁
  <=X
  2

  )=F(x
  
  ₂
  
  )-F(x
  
  ₁
  
  ).

Существует 2 типа распределений:

непрерывные распределения

и

дискретные распределения

.

Дискретные распределения

Если случайная величина может принимать только определенные значения и количество таких значений конечно, то соответствующее распределение называется

дискретным

. Например, при бросании монеты, имеется только 2 элементарных исхода, и, соответственно, случайная величина может принимать только 2 значения. Например, 0 (выпала решка) и 1 (не выпала решка) (см.

схему Бернулли

). Если монета симметричная, то вероятность каждого исхода равна 1/2. При бросании кубика случайная величина принимает значения от 1 до 6. Вероятность каждого исхода равна 1/6. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1.

Примечание

: В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности дискретных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.

Непрерывные распределения и плотность вероятности

В случае

непрерывного распределения

случайная величина может принимать любые значения из интервала, в котором она определена. Т.к. количество таких значений бесконечно велико, то мы не можем, как в случае дискретной величины, сопоставить каждому значению случайной величины ненулевую вероятность (т.е. вероятность попадания в любую точку (заданную до опыта) для

непрерывной случайной величины

равна нулю). Т.к. в противном случае сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины будет равна бесконечности, а не 1. Выходом из этой ситуации является введение так называемой

функции плотности распределения p(x)

. Чтобы найти вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а; b), необходимо найти приращение

функции распределения

на этом интервале:

Как видно из формулы выше

плотность распределения

р(х) представляет собой производную

функции распределения

F(x), т.е. р(х) = F’(x).

Типичный график

функции плотности распределения

для непрерывной случайно величины приведен на картинке ниже (зеленая кривая):

Примечание

: В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности непрерывных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.

В литературе

Функция плотности распределения

непрерывной случайной величины может называться:

Плотность вероятности, Плотность распределения, англ. Probability Density Function (PDF)

.

Чтобы все усложнить, термин

Распределение

(в литературе на английском языке —

Probability

Distribution

Function

или просто

Distribution

)

в зависимости от контекста может относиться как

Интегральной

функции распределения,

так и кее

Плотности распределения.

Из определения

функции плотности распределения

следует, что p(х)>=0. Следовательно, плотность вероятности для непрерывной величины может быть, в отличие от

Функции распределения,

больше 1. Например, для

непрерывной равномерной величины

, распределенной на интервале [0; 0,5]

плотность вероятности

равна 1/(0,5-0)=2. А для

экспоненциального распределения

с параметром

лямбда

=5, значение

плотности вероятности

в точке х=0,05 равно 3,894. Но, при этом можно убедиться, что вероятность на любом интервале будет, как обычно, от 0 до 1.

Напомним, что

плотность распределения

является производной от

функции распределения

, т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что

плотность распределения

>1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере

экспоненциального распределения

).

Примечание

: Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей

плотность распределения

, равна 1.

Примечание

: Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL

интегральной функцией распределения

. Этот термин присутствует в параметрах функций, например в

НОРМ.РАСП

(x; среднее; стандартное_откл;

интегральная

). Если функция MS EXCEL должна вернуть

Функцию распределения,

то параметр

интегральная

, д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить

плотность вероятности

, то параметр

интегральная

, д.б. ЛОЖЬ.

Примечание

: Для

дискретного распределения

вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL

плотность вероятности

может называть даже «функция вероятностной меры» (см. функцию

БИНОМ.РАСП()

).

Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL

Понятно, что чтобы вычислить

плотность вероятности

для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение.

Найдем

плотность вероятности

для

стандартного нормального распределения

N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу

=НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ)

=0,054 или

=НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ)

.

Напомним, что

вероятность

того, что

непрерывная случайная величина

примет конкретное значение x равна 0. Для

непрерывной случайной величины

Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b).

Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL

1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по

стандартному нормальному распределению

(см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству

Функции распределения

вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу

=НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)

=1-0,5. Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).

2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по

стандартному нормальному распределению

, приняла отрицательное значение. Согласно определения

Функции распределения,

вероятность равна F(0)=0,5.

В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу

=НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)

=0,5.

3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по

стандартному нормальному распределению

, примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу

=НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) — НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)

.

Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по

стандартному нормальному закону

N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

приведены распределения, для которых в MS EXCEL имеются соответствующие функции, позволяющие вычислить вероятности.

Обратная функция распределения (Inverse Distribution Function)

Вспомним задачу из предыдущего раздела:

Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, приняла отрицательное значение.

Вероятность этого события равна 0,5.

Теперь решим обратную задачу: определим х, для которого вероятность, того что случайная величина Х примет значение
медиану

или 50-ю

процентиль

).

Для этого необходимо на графике

функции распределения

найти точку, для которой F(х)=0,5, а затем найти абсциссу этой точки. Абсцисса точки =0, т.е. вероятность, того что случайная величина Х примет значение <0, равна 0,5.

В MS EXCEL используйте формулу

=НОРМ.СТ.ОБР(0,5)

=0.

Однозначно вычислить значение

случайной величины

позволяет свойство монотонности

функции распределения.

Обратите внимание, что для вычисления обратной функции мы использовали именно

функцию распределения

, а не

плотность распределения

. Поэтому, в аргументах функции

НОРМ.СТ.ОБР()

отсутствует параметр

интегральная

, который подразумевается. Подробнее про функцию

НОРМ.СТ.ОБР()

см. статью про

нормальное распределение

.

Обратная функция распределения

вычисляет

квантили распределения

, которые используются, например, при

построении доверительных интервалов

. Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем

нормального распределения

. В

файле примера

можно вычислить и другой

квантиль

этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84.

В англоязычной литературе

обратная функция распределения

часто называется как Percent Point Function (PPF).

Примечание

: При вычислении

квантилей

в MS EXCEL используются функции:

НОРМ.СТ.ОБР()

,

ЛОГНОРМ.ОБР()

,

ХИ2.ОБР(),

ГАММА.ОБР()

и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.