Расчет производной в excel

---

5.1. Вычисление производной функции одного переменного

Известно, что численными приближенными методами производная функции в заданной точке может быть вычислена с использованием формулы конечных разностей. Выражение для вычисления производной функции одного переменного, записанное в конечных разностях, имеет вид:

При достаточно малых приращениях х, можно с приемлемой точностью получить величину производной Для вычисления производной в MS Excel будем использовать приведенную зависимость. Рассмотрим методику вычисления производной на примере упражнения.

Пример 17. Найти производную функции Y= 2x 3 + x 2 в точке x= 3. Производная, вычисленная аналитическим методом, равна 60.

Решение:

1. Ведите в ячейку рабочего листа формулу правой части заданной функцио-нальной зависимости, например в ячейку В2, как показано на рисунке 27 , делая ссылку на ячейку, где будет находиться значение х, например А2: = 2*А2^3+A2^2 2. Определите окрестность точки х=3 достаточно малого размера, например значение слева Х _k = 2,9999999, а справа Х_k+1 = 3,00000001 и введите эти зна-чения в ячейку А2 и А3 соответственно.

3. В ячейку С2 введите формулу вычисления производной (см рис. 27):

= (В3-В2)/(A3-A2).

Рисунок 27

В результате в ячейке С2 будет вычислено приближенное значение производной заданной функции в точке х=3, величина которой равна 60, что соответствует результату, полученному аналитически.

Как делать производные в Excel

Microsoft Excel не имеет возможности генерировать производное уравнение по заданной формуле, но вы все равно можете использовать программу для вычисления значений как для формулы, так и для ее производной и построения их на графике. Это позволяет сравнивать формулу с ее производной, даже если вы не знаете самой производной. Поскольку Excel берет на себя все вычисления, вы можете использовать этот метод, даже если вы не знаете исчисления.

Введите нижнюю границу горизонтального диапазона, который вы хотите построить, в ячейке A1. Например, чтобы построить график от -2 до 2, введите «-2» в A1 (опуская кавычки здесь и на всех этапах).

Введите расстояние между точками графика в ячейку D1. Чем меньше расстояние, тем точнее будет выглядеть ваш график, но использование слишком большого количества точек может замедлить обработку. Для этого примера введите «0,1», что даст 41 точку графика из -2 и 2. Если вы используете меньший или больший диапазон, измените расстояние соответственно, чтобы получить как минимум несколько десятков точек, но не более нескольких тысяч. .

Введите формулу «= A1 + $ D $ 1» в ячейку A2. Перетащите маркер заполнения в углу ячейки вниз, чтобы повторить формулу для такого количества точек, которое необходимо для достижения желаемого верхнего диапазона.

Поместите исходную формулу в ячейку B1, начиная со знака равенства и заменив переменную на «A1». Например, чтобы использовать уравнение «y = 2x ^ 2», введите «= 2 * A1 ^ 2». Обратите внимание, что Excel не умножает смежные члены автоматически, поэтому для умножения необходимо ввести звездочку.

Дважды щелкните маркер заполнения в ячейке B1, чтобы заполнить все необходимые ячейки в столбце B.

Введите «= (B2-B1) / $ D $ 1» в ячейку C1. Это уравнение находит производную для вашей формулы в каждой точке, используя определение производной «dy / dx»: разница между каждой строкой в ​​столбце B составляет «dy», а значение, которое вы выбрали для D1, представляет «dx». Дважды щелкните маркер заполнения в C1, чтобы заполнить столбец.

Прокрутите вниз и удалите последнее число в столбце C, чтобы избежать неточного значения для последней производной.

Щелкните и перетащите от заголовка столбца A к заголовку C, чтобы выделить первые три столбца. Откройте вкладку «Вставка» на ленте и нажмите «Диаграммы», «Точечная диаграмма», а затем «Точечная диаграмма с плавными линиями» или другой тип диаграммы разброса, если необходимо. Excel отобразит исходную формулу как «Серия 1», а производную — как «Серия 2».

Вычисление производной в Excel

Чем может помочь Excel при вычислении производной функции? Если функция задана уравнением, то после аналитического дифференцирования и получения формулы Excel поможет быстро рассчитать значения производной для любых интересующих пользователя значений аргумента.

Если функция получена практическими измерениями и задана табличными значениями, то Excel может оказать в этом случае более существенную помощь при выполнении численного дифференцирования и последующей обработке и анализе результатов.

На практике задача вычисления производной методом численного дифференцирования может возникнуть и в механике (при определении скорости и ускорения объекта по имеющимся замерам пути и времени) и в теплотехнике (при расчете теплопередачи во времени). Это также может быть необходимо, например, при бурении скважин для анализа плотности проходимого буром слоя грунта, при решении целого ряда баллистических задач, и т. д.

Похожая ситуация имеет место при «обратной» задаче расчета сложно нагруженных балок, когда по прогибам возникает желание найти значения действующих нагрузок.

Во второй части статьи на «живом» примере рассмотрим вычисление производной по приближенной формуле численного дифференцирования с применением выражений в конечных разностях и разберемся в вопросе – можно ли используя приближения производных конечными разностями по прогибам балки определять действующие в сечениях нагрузки?

Минимум теории.

Производная определяет скорость изменения функции, описывающей какой-либо процесс во времени или в пространстве.

Предел отношения изменения в точке функции к изменению переменной при стремлении изменения переменной к нулю называется производной непрерывной функции.

y’ ( x )=lim ( Δy / Δx ) при Δx →0

Геометрический смысл производной функции в точке – это тангенс угла наклона к оси x касательной к графику функции в этой точке.

tg ( α )= Δy / Δx

Если функция дискретная (табличная), то приближенное значение ее производной в точке находят с помощью конечных разностей.

Конечными разности называют потому, что они имеют конкретное, измеримое, конечное значение в отличие от величин, стремящихся к нулю или бесконечности.

В таблице ниже представлен ряд формул, которые пригодятся при численном дифференцировании табличных функций.

Центрально-разностные формулы дают, как правило, более точные результаты, но часто их нельзя применить на краях диапазонов значений. Для этих случаев пригодятся приближения левыми и правыми конечными разностями.

Вычисление производной второго порядка на примере расчета моментов в сечениях балки по известным прогибам.

На балку длиной 8 метров с шарнирными опорами по краям изготовленную из двух спаренных стальных (Ст3) двутавров 30М опираются 7 прогонов с шагом 1 метр. К центральной части балки крепится площадка с оборудованием. Предположительно усилие от покрытия, передаваемое через прогоны на балку, во всех точках одинаково и равно F₁ . Подвесная площадка имеет вес 2* F₂ и крепится к балке в двух точках.

Предполагается, что балка до приложения нагрузок была абсолютно прямой, а после нагружения находится в зоне упругих деформаций.

На рисунке ниже показана расчетная схема задачи и общий вид эпюр.

На следующем скриншоте представлены исходные данные.

Расчетные исходные данные:

3. Погонная масса двутавра 30М:

γ =50,2 кг/м

Сечение балки составлено из двух двутавров:

n =2

Удельный вес балки:

q = γ * n * g =50,2*2*9,81/1000=0,985 Н/мм

5. Момент инерции сечения двутавра 30М:

I_x1 =95 000 000 мм 4

Момент инерции составного сечения балки:

I_x = I_x1 * n =95 000 000*2=190 000 000 мм 4

10. Так как балка нагружена симметрично относительно своей середины, то реакции обеих опор одинаковы и равны каждая половине суммарной нагрузки:

R =( q * z_max +8* F₁ +2* F₂ )/2=(0,985*8000+8*9000+2*50000)/2=85 440 Н

В расчете учитывается собственный вес балки!

Задача:

Найти значения изгибающего момента M_xi в сечениях балки аналитически по формулам сопротивления материалов и методом численного дифференцирования расчетной линии прогибов. Сравнить и проанализировать полученные результаты.

Решение:

Первое, что мы сделаем, это выполним расчет в Excel поперечных сил Q_y , изгибающих моментов M_x , углов поворота U_x оси балки и прогибов V_x по классическим формулам сопромата во всех сечениях с шагом h . (Хотя, в принципе, значения сил и углов нам в дальнейшем не понадобятся.)

Результаты вычислений находятся в ячейках I5-L54. На скриншоте ниже показана половина таблицы, так как значения во второй ее части зеркальны или аналогичны представленным значениям.

Использованные в расчетах формулы можно посмотреть здесь.

Ссылка для скачивания файла с рассмотренным в статье примером: vychisleniye-proizvodnoy (xls 250,0KB).

Итак, нам известны точные значения моментов и прогибов.

Из теории мы знаем, что:

Угол поворота – это первая производная прогиба U = V’ .

Момент – это вторая производная прогиба M = V’’ .

Сила – это третья производная прогиба Q = V’’’ .

Предположим, что столбец точных значений прогибов получен не аналитическими расчетами, а замерами на реальной балке и у нас больше нет никаких других данных. Вычислим вторые производные от точных значений прогибов, используя формулу (6) из таблицы предыдущего раздела статьи, и найдем значения моментов методом численного дифференцирования.

Итог расчетов мы видим в ячейках M5-M54.

Точные значения моментов, рассчитанные по аналитическим формулам сопромата с учетом веса самой балки, отличаются от найденных по приближенным формулам вычисления производных незначительно. Моменты определены весьма точно, судя по относительным погрешностям, рассчитанным в процентах в ячейках N5-N54.

Поставленная задача решена. Мы выполнили вычисление производной второго порядка по приближенной формуле с использованием центральных конечных разностей и получили отличный результат.

Зная точные значения прогибов можно методом численного дифференцирования с высокой точностью найти действующие в сечениях моменты и определить степень нагруженности балки!

Однако.

Увы, не стоит думать, что на практике легко получить необходимые высокоточные результаты измерений прогибов сложно нагруженных балок!

Дело в том, что измерения прогибов требуется выполнять с точностью

1 мкм и стараться максимально уменьшать шаг замеров h , «устремляя его к нулю», хотя и это может не помочь избежать ошибок.

Зачастую уменьшение шага замеров при значительных погрешностях измерений прогибов может привести к абсурдным результатам. Следует быть очень внимательными при численном дифференцировании, чтобы избежать фатальных ошибок.

Сегодня есть приборы — лазерные интерферометры, обеспечивающие высокую скорость, стабильность и точность измерений до 1 мкм, программно отсеивающие шум, и еще много чего программно умеющие, но их цена – более 300 000$.

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы просто округлим точные значения прогибов из нашего примера до двух знаков после запятой – то есть до сотых долей миллиметра и заново по той же формуле вычисления производной пересчитаем моменты в сечениях.

Если раньше максимальная ошибка не превышала 0,7%, то сейчас (в сечении i =4) превышает 23%, хотя и остается приемлемой в наиболее опасном сечении ( ε₂₁ =1,813%).

Кроме рассмотренного численного метода вычисления производных с помощью конечных разностей можно (а часто и нужно) применить другой способ — аппроксимировать замеры степенным многочленом и найти производные аналитически, а затем сверить результаты, полученные разными путями. Но следует понимать, что дифференцирование аппроксимационного степенного многочлена – это тоже в конечном итоге приближенный метод, существенно зависящий от степени точности аппроксимации.

Исходные данные – результаты измерений – в большинстве случаев перед использованием в расчетах следует обрабатывать, удаляя выбивающиеся из логического ряда значения.

Вычисление производной численными методами всегда необходимо выполнять очень осторожно!

Источник

Алгоритм нахождения производной

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение

Высшего образования

«ФИНАН

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий

Р.М.Магомедов, Е.В.Маевский

Приближенное вычисление производной функции в заданной точке ( Excel )

Учебно-методические рекомендации для проведения

семинара №5 по компьютерному практикуму

Для бакалавров направления 38.03.01 «Экономика»

Москва 2017

Приближенное вычисление производной

Функции в заданной точке ( Excel )

Введение

Пусть функция определена в окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется .

Простейшими формулами для приближенного численного вычисления производной являются так называемые двухточечные формулы, которые можно получить непосредственно из определения производной: , . Такое название связано с тем, что указанные формулы позволяют оценить значение производной в точке по значениям функции в двух точках.

Если зафиксировать функцию и точку и исследовать зависимость погрешности двухточечной оценки производной от малого шага , то можно доказать, что погрешность будет пропорциональна величине .

Более точная оценка получится, если использовать значения функции в трех точках: , , . Первая из этих формул используется при оценке производной на левой границе промежутка, вторая ­– во всех внутренних точках промежутка, а третья – на правой границе. Погрешности трехточечных формул пропорциональны .

Еще более точными являются формулы, оценивающие производную по большему количеству точек (4 и более). Однако следует иметь в виду, что увеличение количества участвующих в формуле точек усложняет вычисление по формуле и увеличивает ошибку округления, возникающую при этом вычислении. Потому, хотя и возможно теоретически использовать для оценки производной в данной точке весь массив известных значений функции, но на практике этого никогда не делают.

Другой способ уточнения значения производной – уменьшение шага . Такой подход представляется более рациональным для функций, заданных аналитическим выражением, но неприменим к функции, заданной таблицей значений.

Задание 1. Вычислить в Excel приближенно производную функцию в заданной точке по следующему алгоритму.

Алгоритм нахождения производной

1. Составим таблицу значений функции при , где , .

1.1. Вводим в диапазон ячеек A3:A23 рабочего листа Excel числа от -10 до 10 с шагом 1, как показано на рисунке. В ячейку C1 вводим число 1. В ячейку B3 вводим формулу для нахождения значений функции при , где , .:

1.2. Копируем формулу до ячейки B23.

2. В каждой точке при оценим значение производной по двухточечной формуле . Изобразим соответствующую ломанную.

2.1. В ячейку C3 водим формулу:

2.2. Копируем формулу до ячейки C23.

2.3. Для оформления и построения ломанной в ячейки A2, B2, C2 водим соответственно x, f(x), fᶦ(x) — в 2-х т., как показано на рисунке.

2.4. Выделяем диапазон ячеек A2:C23. Задаем команду ВСТАВКА/ДИАГРАММЫ и выбираем тип диаграммы Точечная с прямыми отрезками., как показано на рисунке:

2.5. Нажимаем Ок.

2.6. В результате получиться ломанная как показано на рисунке выше.

3. В каждой точке при оценим значение производной по соответствующей трехточечной формуле. Изобразим ломанную.

3.1. В ячейку D3 водим формулу:

3.2. Копируем формулу до ячейки D23.

3.3. Для оформления и построения ломанной в ячейку D2 водим fᶦ(x) — в 3-х т., как показано на рисунке.

3.4. Выделяем диаграмму.

3.5. Из контекстного меню выбираем команду Выбрать данные.

3.6. В окне Выбор источника данных задаем команду Добавить.

3.7. Заполняем окно Изменение ряда как показано на рисунке:

3.8. В результате получиться ломанная как показано на рисунке выше.

4. Составим таблицу точных значений производной при тех же значениях .

4.1. В ячейку E3 водим формулу:

4.2. Копируем формулу до ячейки E23.

4.3. Для оформления и построения ломанной в ячейку E2 водим fᶦ(x) точ, как показано на рисунке.

4.4. Как показано в пункте 3 в область диаграммы добавляем новые данные из диапазона E3:E23.

4.5. В результате должна получиться диаграмма как показано на рисунке:

5. Сравним точные значения производной с приближенными, построив три ломанные на одном графике.

5.1. Выделяем диапазон ячеек A2:A23, C2:E23, как показано на рисунке:

5.2. Задаем команду ВСТАВКА/ДИАГРАММЫ и выбираем тип диаграммы Точечная с прямыми отрезками. В результате должна получиться диаграмма как показано на рисунке:

6. Повторим вычисления пунктов 1-5, взяв величину шага .

6.1. Для этого на новом листе рабочей книги оформляем таблицу как показано на рисунке:

6.2. В ячейке B3 введена формула:

6.3. В ячейке C3 введена формула:

6.4. В ячейке D3 введена формула:

6.5. В ячейке E3 введена формула:

6.6. В ячейке F3 введена формула:

6.7. Выделяем диапазон ячеек A2:A23, D2:F23/

6.8. Задаем команду ВСТАВКА/ДИАГРАММЫ и выбираем тип диаграммы Точечная с прямыми отрезками. В результате должна получиться диаграмма как показано на рисунке:

7. Составим таблицу погрешностей двухточечной приближенной формулы, вычисляя разность при , где , .

7.1. На новом листе рабочей книги Excel вводим в диапазон ячеек A4:A103 числа от -50, -49,…,-1,1,2,…,50 с шагом 1, как показано на рисунке (начало таблицы):

7.2. В ячейку C1 вводим число 0. В ячейку E1 вводим число 0,01.

7.3. В ячейку В4 вводим формулу:

7.4. В ячейку С4 вводим формулу:

8. Исследуем зависимость погрешности от , построив график по предыдущей таблице.

8.1. Выделяем диапазон ячеек A3:A103, C3:C103.

8.2. Задаем команду ВСТАВКА/ДИАГРАММЫ и выбираем тип диаграммы Точечная с прямыми отрезками. В результате должна получиться диаграмма как показано на рисунке (см. пункт 9).

9. Повторим шаги 7-8 для погрешности трехточечной формулы .

9.1. В ячейку D4 вводим формулу:

9.2. Выделяем диапазон ячеек A3:A103, C3:D103.

9.3. Задаем команду ВСТАВКА/ДИАГРАММЫ и выбираем тип диаграммы Точечная с прямыми отрезками. В результате должна получиться диаграмма как показано на рисунке:

Задание 2. Найти первую производную функции в точке . Заметим, что производная приведенной функции в точке , вычисленная аналитическим методом, равна 12 – это значение нам понадобится для проверки результата, полученного путем вычисления численным методом в электронной таблице.

Из вышесказанного известно, что выражение для вычисления производной функции одной переменной в точке x, имеет вид:

где – очень малая конечная величина. То есть вместо выражения можно взять достаточно маленькое число, например, 0,00001.

Примечание. Количество точек после запятой для выражения h зависить от того с какой заданной точностью нужно вычислить производную, если, например, производную нужно вычислить с точностью до 2 знаков после запятой, то достаточно взять h равной 0,0001.

Решение

Решим задачу двумя способами.

Способ 1

1. Вводим в ячейку C2 рабочего листа заданное значение аргумента, равное 2, в другой ячейке – C3 укажем достаточно малое приращение аргумента – например 0,00001, в ячейке C4 вычисляем сумму C3=C1+C2.

2. В ячейку E3 вводим формулу для вычисления производной:

3. После нажатия клавиши Enter получаем результат вычисления 12,00004 (см. рис.).

Способ 2

1. Зададим окрестность точки достаточно малого размера, например, значение слева =1,99999, а значение справа =2,00001 и введем эти значения в ячейку B3 и B4 соответственно.

2. Вводим в ячейку рабочего листа формулу правой части заданной функциональной зависимости, например, в ячейку C3, как показано на рис., делая ссылку на ячейку B3, где находится значение х:

3. Копируем эту формулу в ячейку C4.

4. В ячейку E3 вводим формулу вычисления производной (рис.):

В результате вычисления в ячейке E3 будет выведено приближенное значение производной заданной функции в точке , величина которой равна 12, что соответствует результату, полученному аналитически.

Задание 3. Найти первую производную функции в точке .

Из вышесказанного известно, что выражение для вычисления первой производной функции одной переменной в точке x, имеет вид:

где – очень малая конечная величина. То есть вместо выражения h можно взять достаточно маленькое число, например, 0,00001.

Решение

1. Вводим в ячейку B2 рабочего листа заданное значение аргумента, равное =3*пи()/4, в другой ячейке – B3 укажем достаточно малое приращение аргумента – например 0,00001, в ячейке В3 вычисляем сумму В3=В1+В2.

2. В ячейку E3 вводим формулу для вычисления производной:

3. После нажатия клавиши Enter получаем результат вычисления 0,0000213 (см. рис.).

Задание 4. Найти вторую производную функции в точке . Заметим, что вторая производная приведенной функции в точке , вычисленная аналитическим методом, равна 44 – это значение нам понадобится для проверки результата, полученного путем вычисления численным методом в электронной таблице.

Из математики известно, что выражение для вычисления второй производной функции одной переменной в точке , имеет вид:

где – очень малая конечная величина. То есть вместо выражения можно взять достаточно маленькое число, например, 0,00001.

Решение

1. Вводим в ячейку B2 рабочего листа заданное значение аргумента, равное 2, в другой ячейке – B3 укажем достаточно малое приращение аргумента – например 0,00001, в ячейке В4 вычисляем сумму В3=В1+В2.

2. В ячейку E3 вводим формулу для вычисления второй производной:

3. После нажатия клавиши Enter получаем результат вычисления 44,00003917 (см. рис.).

Источник