Расчет математического ожидания в excel

Вычислим среднее значение выборки и математическое ожидание случайной величины в MS EXCEL.

Выборочное среднее

Среднее выборки

или

выборочное среднее

(sample average, mean) представляет собой

среднее

арифметическое

всех значений

выборки

.

В MS EXCEL для вычисления

среднего выборки

можно использовать функцию

СРЗНАЧ()

. В качестве аргументов функции нужно указать ссылку на диапазон, содержащий значения

выборки

.

Выборочное среднее

является «хорошей» (несмещенной и эффективной) точечной оценкой

математического ожидания

случайной величины (см.

ниже

), т.е.

среднего значения

исходного распределения, из которого взята

выборка

.

Примечание

: О вычислении

доверительных интервалов

при оценке

математического ожидания

можно прочитать, например, в статье

Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL

.

Некоторые свойства

среднего арифметического

:

• Сумма всех отклонений от
  
  среднего значения
  
  равна 0:

• Если к каждому из значений x
  
  _i
  
  прибавить одну и туже константу
  
  с
  
  , то
  
  среднее арифметическое
  
  увеличится на такую же константу;
• Если каждое из значений x
  
  _i
  
  умножить на одну и туже константу
  
  с
  
  , то
  
  среднее арифметическое
  
  умножится на такую же константу.

Математическое ожидание

Среднее значение

можно вычислить не только для выборки, но для случайной величины, если известно ее

распределение

. В этом случае

среднее значение

имеет специальное название —

Математическое ожидание.

Математическое ожидание

характеризует «центральное» или среднее значение случайной величины.

Примечание

: В англоязычной литературе имеется множество терминов для обозначения

математического ожидания

: expectation, mathematical expectation, EV (Expected Value), average, mean value, mean, E[X] или first moment M[X].

Если случайная величина имеет

дискретное распределение

, то

математическое ожидание

вычисляется по формуле:

где x

_i

– значение, которое может принимать случайная величина, а р(x

_i

) – вероятность, что случайная величина примет это значение.

Если случайная величина имеет

непрерывное распределение

, то

математическое ожидание

вычисляется по формуле:

где р(x) –

плотность вероятности

(именно

плотность вероятности

, а не вероятность, как в дискретном случае).

Для каждого распределения, из представленных в MS EXCEL,

Математическое ожидание

можно вычислить аналитически, как функцию от параметров распределения (см. соответствующие

статьи про распределения

). Например, для

Биномиального распределения

среднее значение

равно произведению его параметров: n*p (см.

файл примера

).

Свойства математического ожидания

E[a*X]=a*E[X], где а — const

E[X+a]=E[X]+a

E[a]=a

E[E[X]]=E[X] — т.к. величина E[X] — является const

E[X+Y]=E[X]+E[Y] — работает даже для случайных величин не являющихся независимыми.

СОВЕТ

: Про другие показатели распределения —

Дисперсию

и

Стандартное отклонение,

можно прочитать в статье

Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL

.

Вычислим среднее значение выборки и математическое ожидание случайной величины в MS EXCEL.

Выборочное среднее

Среднее выборки или выборочное среднее (sample average, mean) представляет собой среднее арифметическое всех значений выборки.

В MS EXCEL для вычисления среднего выборки можно использовать функцию СРЗНАЧ() . В качестве аргументов функции нужно указать ссылку на диапазон, содержащий значения выборки.

Выборочное среднее является «хорошей» (несмещенной и эффективной) точечной оценкой математического ожидания случайной величины (см. ниже), т.е. среднего значения исходного распределения, из которого взята выборка.

Примечание: О вычислении доверительных интервалов при оценке математического ожидания можно прочитать, например, в статье Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL.

Некоторые свойства среднего арифметического:

• Сумма всех отклонений от среднего значения равна 0:

• Если к каждому из значений x_i прибавить одну и туже константу с, то среднее арифметическое увеличится на такую же константу;
• Если каждое из значений x_i умножить на одну и туже константу с, то среднее арифметическое умножится на такую же константу.

Математическое ожидание

Среднее значение можно вычислить не только для выборки, но для случайной величины, если известно ее распределение. В этом случае среднее значение имеет специальное название – Математическое ожидание. Математическое ожидание характеризует «центральное» или среднее значение случайной величины.

Примечание: В англоязычной литературе имеется множество терминов для обозначения математического ожидания: expectation, mathematical expectation, EV (Expected Value), average, mean value, mean, E[X] или first moment M[X].

Если случайная величина имеет дискретное распределение, то математическое ожидание вычисляется по формуле:

где x_i – значение, которое может принимать случайная величина, а р(x_i) – вероятность, что случайная величина примет это значение.

Если случайная величина имеет непрерывное распределение, то математическое ожидание вычисляется по формуле:

где р(x) – плотность вероятности (именно плотность вероятности, а не вероятность, как в дискретном случае).

Для каждого распределения, из представленных в MS EXCEL, Математическое ожидание можно вычислить аналитически, как функцию от параметров распределения (см. соответствующие статьи про распределения). Например, для Биномиального распределения среднее значение равно произведению его параметров: n*p (см. файл примера ).

Функция СРОТКЛ в Excel используется для анализа числового ряда, передаваемого в качестве аргумента, и возвращает число, соответствующее среднему значению, рассчитанному для модулей отклонений относительно среднего арифметического для исследуемого ряда.

Смысл данной функции становится предельно ясен после рассмотрения примера. Допустим, на протяжении суток каждые 3 часа фиксировались показатели температуры воздуха. Был получен следующий ряд значений: 16, 14, 17, 21, 25, 26, 22, 18. С помощью функции СРЗНАЧ можно определить среднее значение температуры – 19,88 (округлим до 20).

Для определения отклонения каждого значения от среднего необходимо вычесть из него полученное среднее значение. Например, для первого замера температуры это будет равно 16-20=-4. Получаем ряд значений: -4, -6, -3, 1, 5, 6, 2, -2. Поскольку СРОТКЛ по определению работает с модулями отклонений, итоговый ряд значений имеет вид: 4, 6, 3, 1, 5, 6, 2, 2. Теперь нужно получить среднее значение для данного ряда с помощью функции СРЗНАЧ – примерно 3,63. Именно таков алгоритм работы рассматриваемой функции.

Таким образом, значение, вычисляемое функцией СРОТКЛ, можно рассчитать с помощью формулы массива без использования этой функции. Допустим, перечисленные результаты замеров температур записаны в столбец (ячейки A1:A8). Тогда для определения среднего значения отклонений можно использовать формулу =СРЗНАЧ(ABS(A1:A8-СРЗНАЧ(A1:A8))). Однако, рассматриваемая функция значительно упрощает расчеты.

Пример 1. Имеются два ряда значений, представляющих собой результаты наблюдений одного и того же физического явления, сделанные в ходе двух различных экспериментов. Определить, среднее отклонение от среднего значения результатов для какого эксперимента является максимальным?

Вид таблицы данных:

Используем следующую формулу:

Сравниваем результаты, возвращаемые функцией СРОТКЛ для первого и второго ряда чисел с использованием функции ЕСЛИ, возвращаем соответствующий результат.

В результате мы получили среднее отклонение от среднего значения. Это весьма интересная функция для технического анализа финансовых рынков, прогнозов курсов валют и даже позволяет повысить шансы выигрышей в лотереях.

Формула расчета линейного коэффициента вариации в Excel

Пример 2. Студенты сдали экзамены по различным предметам. Определить число студентов, которые удовлетворяют следующему критерию успеваемости – линейный коэффициент вариации оценок не превышает 15%.

Вид таблицы данных:

Линейный коэффициент вариации определяется как отношение среднего отклонения к среднему значению. Для расчета используем следующую формулу:

Растянем ее вниз по столбцу и получим следующие значения:

Для определения числа неуспешных студентов по указанному критерию используем функцию:

Правила использования функции СРОТКЛ в Excel

Функция имеет следующий синтаксис:

=СРОТКЛ( число1 ;[число2];. )

• число1 – обязательный, принимает числовое значение, характеризующее первый член ряда значений, для которых необходимо определить среднее отклонение от среднего;
• [число2];… – необязательный, принимает второе и последующие значения из исследуемого числового ряда.

1. При использовании функции СРОТКЛ удобнее задавать первый аргумент в виде ссылки на диапазон ячеек, например =СРОТКЛ(A1:A8) вместо перечисления (=СРОТКЛ(A1;A2:A3…;A8)).
2. В качестве аргумента функции может быть передана константа массива, например =СРОТКЛ(<2;5;4;7;10>).
3. Для получения достоверного результата необходимо привести все значения ряда к единой системе измерения величин. Например, если часть длин указана в мм, а остальные – в см, результат расчетов будет некорректен. Необходимо преобразовать все значения в мм или см соответственно.
4. Если в качестве аргументов функции переданы нечисловые данные, которые не могут быть преобразованы к числам, функция вернет код ошибки #ЧИСЛО!. Если хотя бы одно значение из ряда является числовым, функция выполнит расчет, не возвращая код ошибки.
5. Не преобразуемые к числам текстовые строки и пустые ячейки не учитываются в расчете. Если ячейка содержит значение 0 (нуль), оно будет учтено.
6. Логические данные автоматически преобразуются к числовым: ИСТИНА – 1, ЛОЖЬ – 0 соответственно.

1. Вычислить математическое ожидание:

1) Пуск > Все программы > Microsoft Office > Microsoft Excel

2) Так как функция математического ожидания – это т оже самое, что и функция среднего арифметического, то: в пустой ячейке вводим «=», далее нажимаем fx, выбираем функцию СРЗНАЧ, выделяем числовые данные нашей исходной таблицы.

2. Вычислить дисперсию:

Вводим =, далее – fx, “Статистические” – “ДИСП”, выделить числовые данные нашей исходной таблицы.

3. Среднее квадратичесое отклонение (не смещённое):

Вводим =, далее – fx, “Статистические” – “СТАНДТОТКЛОН”, выделить числовые данные нашей исходной таблицы.

4. Среднее квадратическое отклонение (смещённое):

Вводим =, далее – fx, “Статистические” – “СТАНДТОТКЛОН”, выделить числовые данные нашей исходной таблицы.

Вывод: Microsoft Excel является одной из самых удобных компьютерных программ, с помощью которых можно высчитать статические данные. В этом я убедился, когда высчитывал вышеуказанные данные.

1.
Выборочная оценка математического
ожидания – выборочное среднее
в Excel
вычисляется с помощью
функция СРЗНАЧ,
при этом
реализуется формула
.

2.
Оценка дисперсии – несмещенная
(исправленная) выборочная дисперсияможет быть получена с помощью функцииДИСП.
В Excel
реализована формула
.

3.
Несмещенное выборочное средние
квадратические отклонения (стандартное
отклонение)
вычисляется
с помощью функции
СТАНДОТКЛОН.
Вычисления
в Excel
выполнены по формуле

.

4.
Выборочная (смещенная) оценка дисперсии

вычисляется с помощью
функция ДИСПР.

Результат
вычисления выборочных оценок
,

,
и
показан на рис.1.

… … … …
… … …

Рис.
1. Фрагмент листа Excel
с исходными данными и выборочными
оценками параметров.

2. Описательная статистика.

Выполните
процедуру Описательная
статистика.

В
главном меню Excel
выбрать: Данные
→ Анализ данных → Описательная статистика
→ ОК.

В
появившемся окне Описательная
статистика
ввести:

Входной
интервал –
100 случайных чисел в ячейках $A$3:
$A$102;

Группирование
— по столбцам;

Выходной
интервал –
адрес ячейки, с которой начинается
таблица Описательная
статистика – например,
$D$8;

Итоговая
статистика
– поставить галочку. ОК.

Рис.
2. Диалоговое окно Описательная
статистика
с заполненными полями ввода.

На
листе Excel
появится таблица – Столбец
1. В
таблице даются все необходимые параметры,
кроме моды Mo(X).

Рис.
3. Таблица Описательная
статистика

Таблица содержит
описательные статистики, в частности:

Среднее
– оценка математического ожидания
;

Стандартное
отклонение
– оценка среднего квадратического
отклонения;

Дисперсия
– выборочная исправленная дисперсия
;

Эксцесс
и Асимметричность
– оценки эксцесса и асимметрии;

Медиана
– оценка
медианы;

Мода
– оценка
моды, #Н/Д – нет данных (наиболее часто
встречающееся значение случайной
величины в выборке).

Приблизительное
равенство нулю оценок эксцесса и
асимметрии, и приблизительное равенство
оценки среднего оценке медианы дает
предварительное основание выбрать в
качестве основной гипотезы H₀
распределения элементов генеральной
совокупности — нормальный закон.

Интервал
– размах выборки;

Минимум
– минимальное значение случайной
величины в выборке ;

Максимум
– максимальное значение случайной
величины в выборке .

Результаты
процедуры Описательная
статистика
потребуются в дальнейшем при построении
теоретического закона распределения.

3. Построение гистограммы

В
главном меню Excel
выбрать Данные
→ Анализ данных → Гистограмма → ОК.

Далее
необходимо заполнить поля ввода в
диалоговом окне Гистограмма.

Входной
интервал:
100 случайных чисел в ячейках $A$3:
$A$102;

Интервал
карманов:
не
заполнять;

Выходной
интервал:
адрес ячейки, с которой начинается вывод
результатов процедуры Гистограмма;

Вывод
графика –
поставьте галочку.

Если
поле ввода Интервал
карманов не
заполняется, то процедура вычисляет
число интервалов группировки k
и границы интервалов автоматически по
формуле.

,

где,
скобки
означают – округление до целой части
числа в меньшую сторону.

В
рассматриваемом варианте n
= 100,
следовательно, k
= 11.
Действительно:

Рис.
4. Диалоговое окно Гистограмма.

В
результате выполнения процедуры
Гистограмма
появляется таблица, содержащая границы
x_i
интервалов
группировки (столбец – Карман)
и частоту попадания случайных величин
выборки m_i
в i–ый
интервал (столбец
–
Частота).

Справа от таблицы
– график гистограммы.

Рис.
5. Фрагмент листа Excel
с результатами процедуры Гистограмма.

По
виду гистограммы можно предположить
(принять гипотезу) о том, что выборка
случайных чисел подчиняется нормальному
закону распределения.

Далее,
для того чтобы убедиться в правильности
выбранной гипотезы (по крайней мере
визуально) надо, первое – построить
график гипотетического нормального
закона распределения, выбрав в качестве
параметров (математического ожидания
и среднего квадратического отклонении)
их оценки (среднее и стандартное
отклонение), и совместить график
гипотетического распределения с графиком
гистограммы.

И,
второе – используя критерий согласия
Пирсона установить справедливость
выбранной гипотезы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Среднее и Математическое ожидание в EXCEL

history 4 октября 2016 г.

Вычислим среднее значение выборки и математическое ожидание случайной величины в MS EXCEL.

Выборочное среднее

Среднее выборки или выборочное среднее (sample average, mean) представляет собой среднее арифметическое всех значений выборки .

В MS EXCEL для вычисления среднего выборки можно использовать функцию СРЗНАЧ() . В качестве аргументов функции нужно указать ссылку на диапазон, содержащий значения выборки .

Выборочное среднее является «хорошей» (несмещенной и эффективной) точечной оценкой математического ожидания случайной величины (см. ниже ), т.е. среднего значения исходного распределения, из которого взята выборка .

Примечание : О вычислении доверительных интервалов при оценке математического ожидания можно прочитать, например, в статье Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL .

Некоторые свойства среднего арифметического :

• Сумма всех отклонений от среднего значения равна 0:

• Если к каждому из значений x _i прибавить одну и туже константу с , то среднее арифметическое увеличится на такую же константу;
• Если каждое из значений x _i умножить на одну и туже константу с , то среднее арифметическое умножится на такую же константу.

Математическое ожидание

Среднее значение можно вычислить не только для выборки, но для случайной величины, если известно ее распределение . В этом случае среднее значение имеет специальное название — Математическое ожидание. Математическое ожидание характеризует «центральное» или среднее значение случайной величины.

Примечание : В англоязычной литературе имеется множество терминов для обозначения математического ожидания : expectation, mathematical expectation, EV (Expected Value), average, mean value, mean, E[X] или first moment M[X].

Если случайная величина имеет дискретное распределение , то математическое ожидание вычисляется по формуле:

где x _i – значение, которое может принимать случайная величина, а р(x _i ) – вероятность, что случайная величина примет это значение.

Если случайная величина имеет непрерывное распределение , то математическое ожидание вычисляется по формуле:

где р(x) – плотность вероятности (именно плотность вероятности , а не вероятность, как в дискретном случае).

Для каждого распределения, из представленных в MS EXCEL, Математическое ожидание можно вычислить аналитически, как функцию от параметров распределения (см. соответствующие статьи про распределения ). Например, для Биномиального распределения среднее значение равно произведению его параметров: n*p (см. файл примера ).

Свойства математического ожидания

E[a*X]=a*E[X], где а — const

E[E[X]]=E[X] — т.к. величина E[X] — является const

E[X+Y]=E[X]+E[Y] — работает даже для случайных величин не являющихся независимыми.

СОВЕТ : Про другие показатели распределения — Дисперсию и Стандартное отклонение, можно прочитать в статье Дисперсия и стандартное отклонение в MS EXCEL .

Источник

Основные статистики в EXCEL

События, характеризующие данные, могут носить случайный характер и появляться с разной вероятностью.

Вероятность события p есть отношение числа благоприятных исходов m к числу всех возможных исходов n этогособытия: p=m/n. Например, вероятность появления туза в наугад выбранной карте из колоды в 52 карты равна 4/52=0.0769, так как m=4, а n=52.

Если известно соответствие между появлениями (величинами) x₁, x₂, …, x_n случайного события (переменной) X и соответствующими вероятностями их реализации p₁, p₂, …, p_n, то говорят, что известен закон распределения случайной величины F(x). Большинство встречающихся на практике распределений вероятностей реализовано в Excel.

Распределения вероятностей имеют числовые характеристики.

Функции Excel для вычисления числовых характеристик распределения вероятностей. Они входят в группу Статистические. При вычислении функций в качестве случайных величин используйте следующие значения:

Математическое ожидание случайной величины (среднее арифметическое), характеризующее центр распределения вероятностей, вычисляется функцией СРЗНАЧ. СРЗНАЧ(A1:A7) = 9.

Дисперсия, характеризует разброс случайной величины относительно центра распределения вероятностей и вычисляется функцией ДИСПР. ДИСПР(A1:A7) = 4.857.

Среднеквадратичное отклонение есть квадратный корень из дисперсии, характеризует разброс случайной величины в единицах случайной величины и вычисляется функцией СТАНДОТКЛОНП. СТАНДОТКЛОНП(A1:A7) = 2.203893.

Квантиль случайной величины с законом распределения F(x) есть значение случайной величины x при заданной вероятности p., т.е. есть решение уравнения F(x)=p. Медиана есть квантиль с вероятностью p=0.5.

Excel, вместо квантилей содержит функции вычисления х для определенных уровней р: квартили (кварта – четверть), децили (дециль – десятая часть), персентили (персент – процент). Различают нижний квартиль с вероятностью p=0.25 и верхний квартиль с вероятностью p=0.75. Децили это квантили с вероятностью 0.1, 0.2, …, 0.9.

Функцию КВАРТИЛЬ используют, чтобы разбить данные на группы. В качестве второго аргумента указывают уровень (четверть), для которого нужно вернуть решение: 0 – минимальное значение распределения, 1 – первый, нижний квартиль, 2 – медиана, 3 – третий, верхний квартиль, 4 – максимальное значение. Например, КВАРТИЛЬ(A1:A7;3) = 10, т.е. 75% всех значений меньше 10, КВАРТИЛЬ(A1:A7;2) = 9.

Функция ПЕРСЕНТИЛЬ вычисляет квантиль указанного уровня вероятности и используется для определения порога приемлемости значений. В качестве второго аргумента указывают уровень 0.1, 0.2, …, 0.9. ПЕРСЕНТИЛЬ(A1:A7;0,9) = 11.8, т.е. 90% всех значений меньше 11.8.

Excel содержит инструмент Ранг и персентиль, который на основе набора данных формирует выходную таблицу, содержащую порядковый и процентный ранги для каждого значения в наборе данных. См. справку по F1. Ниже приведен пример установки надстройки Пактет анализа

Распределения вероятностей, реализованные в Excel.

Каждый закон распределения описывает процессы разной вероятностной природы и характеризуется специфическими параметрами:

— равномерное распределение – n случайных чисел выпадает с одной и той же вероятностью p=1/n; характеризуется нижней и верхней границей; примером является появление чисел 1, 2, …, 6 при бросании игральной кости (p=1/6);

— биномиальное распределение моделирует взаимосвязь числа успешных испытаний m и вероятностей успеха каждого испытания p при общем количестве испытаний n — функции БИНОМРАСП и КРИТБИНОМ;

— нормальное (гауссово) распределение описывает процессы, в которых на результат воздействует большое число независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся – функции НОРМРАСП, НОРМСТРАСП, НОРМОБР, НОРМСТОБР и НОРМАЛИЗАЦИЯ;

— распределение Пуассона, предсказывает число случайных событий на определенном отрезке времени или на определенном пространстве, позволяет аппроксимировать биномиальное распределение – функция ПУАССОН;

— экспоненциальное (показательное) распределение, моделирует временные задержки между событиями, описывает процессы в задачах массового обслуживания и в задачах с «временем жизни» — ЭКСПРАСП;

— распределение хи-квадрат, связано с нормальным, возвращает одностороннюю вероятность распределения и используется для сравнения предполагаемых и наблюдаемых значений – функция ХИ2РАСП;

— распределение Стьюдента, связано с нормальным, возвращает вероятность для t-распределения Стьюдента и используется для проверки гипотез при малом объеме выборки – функция СТЬЮДРАСП;

— F-распределение (Фишера), связано с нормальным и может быть использовано в F-тесте, который сравнивает степени разброса двух множеств данных – fраспобр;

— гамма-распределение используется для изучения случайных величин, имеющих асимметричное распределение, в теории очередей – функция ГАММАРАСП;

— а также другие распределения – функции БЕТАРАСП, ВЕЙБУЛЛ, ОТРБИНОМРАСП, ГИПЕРГЕОМЕТ, ЛОГНОРМРАСП и др.

Биномиальное распределениехарактеризуется числом успешных испытаний m, вероятностью успеха каждого испытания p и общим количеством испытаний n. Классическим примером использования биномиального распределения является выборочный контроль качества больших партий товара, изделий в торговле, на производстве, когда сплошная проверка невозможна. Из партии выбирают n образцов и регистрируют число бракованных m. Бракованными могут быть 1, 2, … , n образцов, но вероятности реального числа бракованных будут различными. Если контрольная вероятность брака ниже допустимой вероятности, то можно гарантировать достаточное качество всей партии.

В Excel функция БИНОМРАСП вычисляет вероятность отдельного значения распределения по заданным m, n и р, а функция КРИТБИНОМ – случайное число по заданной вероятности. Обычно функция КРИТБИНОМ используется для определения наибольшего допустимого числа брака.

В качестве примера построим график плотности вероятности биномиального распределения для n=10 (1, 2, …, 10) и p=0.2. Введите исходные данные, как показано на рисунке:

Далее в ячейку В4 введите статистическую функцию БИНОМРАСП и заполните ее параметры как показано на рисунке:

Здесь параметр Число_s есть число успешных испытаний m, Испытания – число независимых испытаний n, Вероятность_s – вероятность успеха каждого испытания p. Параметр Интегральный равен 0, если требуется получить плотность распределения (вероятность для значения m), и равен 1, если требуется получить вероятность с накоплением (вероятность того, что число успешных испытаний не меньше значения аргумента Число_s).

Формулу из В4 размножьте в ячейки В5:В13. Ниже показан результат:

В колонке В вычислены вероятности успешных испытаний m=1, 2, …, 10. Теперь по диапазону В4:В13 постройте график или гистограмму биномиальной функции плотности распределения – результат на рисунке. Поэкспериментируйте, изменяя значение вероятности в ячейке В1: 0.3, 0.4, 0.8, проследите за изменениями формы графика.

Для иллюстрации функции КРИТБИНОМ используем предыдущий пример – необходимо найти число m, для которого вероятность интегрального распределения больше или равна 0.75. Вызовите функцию КРИТБИНОМ и заполните параметры. Вы должны получить значение 3. Это означает, что при вероятности интегрального распределения >= 0.75 будет не менее трех (m>=3) успешных испытаний.

Нормальное распределениехарактеризуется средним арифметическим (математическим ожиданием) m и стандартным (среднеквадратичным) отклонением r. Дисперсия равна r 2 . Краткое обозначение распределения N(m,r 2 ). График нормального распределения симметричен относительно центра распределения (точки m), чем меньше r, тем больше вероятность появления случайной величины. В пределы [m-r,m+r] нормально распределенная случайная величина попадает с вероятностью 0,683 в пределы [m-2r,m+2r] — с вероятностью 0,955 и т.д.

При m=0 и r=1 нормальное распределение называется стандартным или нормированным – N(0,1).

Нормальное распределение имеет очень широкий круг приложений. В качестве примера построим график плотности вероятностей нормального распределения при m=15 и r=1,5 в диапазоне [m-3r,m+3r] c шагом 0,5. Результат показан на рисунке.

Выполните следующие действия:

— в ячейку А4 введите формулу =B1-3*B2, в ячейку А5 формулу =A4+B$3 и размножьте ее по ячейку А22;

— в ячейку В4 введите функцию НОРМРАСП из группы Статистические – параметры заполните как на рисунке;

— размножьте формулу из ячейки В4 по ячейку В22 и по диапазону В4:В22 постройте график; на 2-ом шаге мастера диаграмм в закладке Ряд введите подписи к оси х из диапазона А4:А22.

Источник

Равномерное непрерывное распределение в EXCEL

history 8 ноября 2016 г.

Рассмотрим равномерное непрерывное распределение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Сгенерируем случайные значения с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() и надстройки Пакет Анализа, произведем оценку среднего значения и стандартного отклонения.

Равномерно распределенная на отрезке [a; b] случайная величина имеет плотность распределения (вероятности) :

Функция распределения определяется следующим образом:

Равномерное непрерывное распределение (англ. Continuous uniform d istribution или Rectangular distribution ) часто встречается на практике.

Пример1. Например, известно, что гейзер извергается каждые 50 минут. Найти вероятность, того что турист увидит извержение, если будет ждать у гейзера 20 минут. В соответствии с вышеуказанными формулами вероятность увидеть извержение в течение времени наблюдения равна 20/50=0,4, т.е. 40%.

Пример2. Симметричный волчок после раскручивания падает набок. Вертикальная ось волчка после падения указывает на определенный угол от 0 до 360 градусов. Найти вероятность, того что ось волчка укажет на сектор от 90 до 180 градусов. Вероятность равна (180-90)/(360-0)=0,25.

В файле примера приведены графики плотности распределения вероятности и интегральной функции распределения .

Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание для равномерного непрерывного распределения вычисляется по формуле =(a+b)/2.

Генерация случайных чисел

Случайные числа, имеющие равномерное непрерывное распределение на отрезке [0; 1), можно сгенерировать с помощью функции MS EXCEL СЛЧИС() . В функции нельзя задать нижнюю и верхнюю границу интервала, но записав формулу =СЛЧИС()*(b-a)+a можно сгенерировать равномерно распределенные числа на любом интервале [a; b).

Примечание : Чтобы сгенерировать случайные числа, имеющие равномерное дискретное распределение , воспользуйтесь функцией СЛУЧМЕЖДУ() .

Сгенерировать случайные числа, извлеченные из непрерывного равномерного распределения, можно также с помощью надстройки Пакет анализа .

Сгенерируем массив из 50 чисел из диапазона [3,3; 7,5). Для этого в окне Генерация случайных чисел установим следующие параметры (см. файл примера лист Генерация ):

Как видно из рисунка выше, в поле Случайное рассеивание установлен необязательный параметр равный 2. Параметр Случайное рассеивание может принимать значение от 1 до 32767. Если установить этот параметр, то MS EXCEL будет каждый раз генерировать один и тот же массив чисел, соответствующий этот значению. Этот подход удобен для генерации одинаковых массивов, например, на различных компьютерах.

Оценка среднего и стандартного отклонения

Нижнюю и верхнюю границу интервала возьмем [3,3; 7,5) и разместим их в ячейках B4:B5 . Сгенерируем 50 чисел ( выборку ) и поместим их в диапазоне С14:С63 .

Математическое ожидание этого распределения =(B4+B5)/2 и равно 5,4. Стандартное отклонение распределения равно =КОРЕНЬ(((B5-B4)^2)/12)=1,21

Чтобы оценить математическое ожидание воспользуемся значениями выборки =СУММ(C14:C63)/СЧЁТ(C14:C63) .

Оценить стандартное отклонение можно с помощью формулы =СТАНДОТКЛОН.В(C14:C63) в MS EXCEL 2010 или =СТАНДОТКЛОН(C14:C63) для более ранних версий.

Чтобы оценить дисперсию используйте формулу =ДИСП.В(C14:C63) в MS EXCEL 2010 или =ДИСП(C14:C63) для более ранних версий. Также можно использовать формулу =СТАНДОТКЛОН.В(C14:C63)^2 .

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Источник