Расчет квантили в excel


Рассмотрим вычисление квантилей для некоторых функций распределений, представленных в

MS

EXCEL

.

Понятие

Квантиля

основано на определении

Функции распределения

. Поэтому, перед изучением

Квантилей

рекомендуем освежить в памяти понятия из статьи

Функция распределения вероятности

.

Содержание статьи:

  • Определение
  • Квантили специальных видов
  • Квантили стандартного нормального распределения
  • Квантили распределения Стьюдента
  • Квантили распределения ХИ-квадрат
  • Квантили F-распределения
  • Квантили распределения Вейбулла
  • Квантили экспоненциального распределения

Сначала дадим формальное определение

квантиля,

затем приведем примеры их вычисления в MS EXCEL.

Определение

Пусть случайная величина

X

, имеет

функцию распределения

F

(

x

).

α-квантилем

(

альфа-

квантиль,

x

a

,

квантиль

порядка

α, нижний

α-

квантиль

) называют решение уравнения

x

a

=F

-1

(α), где

α

— вероятность, что случайная величина х примет значение меньшее или равное x

a

, т.е. Р(х<= x

a

)=

α.

Из определения ясно, что нахождение

квантиля

распределения является обратной операцией нахождения вероятности. Т.е. если при вычислении

функции распределения

мы находим вероятность

α,

зная x

a

, то при нахождении

квантиля

мы, наоборот, ищем

x

a

зная

α

.

Чтобы пояснить определение, используем график функции

стандартного нормального распределения

(см.

файл примера Лист Определение

):


Примечание

: О построении графиков в MS EXCEL можно прочитать статью

Основные типы диаграмм в MS EXCEL

.

Например, с помощью графика вычислим 0,21-ю

квантиль

, т.е. такое значение случайной величины, что Р(X<=x

0,21

)=0,21.

Для этого найдем точку пересечения горизонтальной линии на уровне вероятности равной 0,21 с

функцией распределения

. Абсцисса этой точки равна -0,81. Соответственно, 0,21-я

квантиль

равна -0,81. Другими словами, вероятность того, что случайная величина, распределенная

стандартному нормальному закону,

примет значение

меньше

-0,81, равна 0,21 (21%).


Примечание

: При вычислении

квантилей

в MS EXCEL используются

обратные функции распределения

:

НОРМ.СТ.ОБР()

,

ЛОГНОРМ.ОБР()

,

ХИ2.ОБР(),

ГАММА.ОБР()

и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

.

Точное значение

квантиля

в нашем случае можно найти с помощью формулы

=НОРМ.СТ.ОБР(0,21)


СОВЕТ

: Процедура вычисления

квантилей

имеет много общего с вычислением

процентилей

выборки

(см. статью

Процентили в MS EXCEL

).

Квантили специальных видов

Часто используются

Квантили

специальных видов:

  • процентили

    x

    p/100

    , p=1, 2, 3, …, 99

  • квартили

    x

    p/4

    , p=1, 2, 3

  • медиана

    x

    1/2

В качестве примера вычислим

медиану (0,5-квантиль)

логнормального распределения

LnN(0;1) (см.

файл примера лист Медиана

).

Это можно сделать с помощью формулы

=ЛОГНОРМ.ОБР(0,5; 0; 1)

Квантили стандартного нормального распределения

Необходимость в вычислении квантилей

стандартного нормального распределения

возникает при

проверке статистических гипотез

и при

построении доверительных интервалов.


Примечание

: Про

проверку статистических гипотез

см. статью

Проверка статистических гипотез в MS EXCEL

. Про

построение доверительных интервалов

см. статью

Доверительные интервалы в MS EXCEL

.

В данных задачах часто используется специальная терминология:


  • Нижний квантиль уровня

    альфа

    (

    α

    percentage point)

    ;

  • Верхний квантиль уровня альфа (upper

    α

    percentage point)

    ;

  • Двусторонние квантили уровня

    альфа

    .


Нижний квантиль уровня альфа

— это обычный

α-квантиль.

Чтобы пояснить название «

нижний» квантиль

, построим график

плотности вероятности

и

функцию вероятности

стандартного нормального

распределения

(см.

файл примера лист Квантили

).

Выделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение меньше

α-квантиля

. Из определения

квантиля

эта вероятность равна

α

. Из графика

функции распределения

становится понятно, откуда происходит название »

нижний квантиль» —

выделенная область расположена в нижней части графика.

Для

α=0,05,

нижний 0,05-квантиль

стандартного нормального распределения

равен -1,645. Вычисления в MS EXCEL можно сделать по формуле:

=НОРМ.СТ.ОБР(0,05)

Однако, при

проверке гипотез

и построении

доверительных интервалов

чаще используется «верхний»

α-квантиль.

Покажем почему.


Верхним

α

—

квантилем

называют такое значение x

α

, для которого вероятность, того что случайная величина X примет значение

больше или равное

x

α

равна

альфа:

P(X>= x

α

)=

α

. Из определения понятно, что

верхний альфа

—

квантиль

любого распределения равен

нижнему (1-

α)

—

квантилю.

А для распределений, у которых

функция плотности распределения

является четной функцией,

верхний

α

—

квантиль

равен

нижнему

α

—

квантилю

со знаком минус

.

Это следует из свойства четной функции f(-x)=f(x), в силу симметричности ее относительно оси ординат.

Действительно, для

α=0,05,

верхний 0,05-квантиль

стандартного нормального распределения

равен 1,645. Т.к.

функция плотности вероятности

стандартного нормального

распределения

является четной функцией, то вычисления в MS EXCEL

верхнего квантиля

можно сделать по двум формулам:

=НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05)


=-НОРМ.СТ.ОБР(0,05)

Почему применяют понятие

верхний

α

—

квантиль?

Только из соображения удобства, т.к. он при

α<0,5

всегда положительный (в случае

стандартного нормального

распределения

). А при проверке гипотез

α

равно

уровню значимости

, который обычно берут равным 0,05, 0,1 или 0,01. В противном случае, в процедуре

проверки гипотез

пришлось бы записывать условие отклонения

нулевой гипотезы

μ>μ

0

как Z

0

>Z

1-

α

, подразумевая, что Z

1-

α

–

обычный

квантиль

порядка

1-

α

(или как Z

0

>-Z

α

). C верхнем квантилем эта запись выглядит проще Z

0

>Z

α

.


Примечание

: Z

0

— значение

тестовой статистики

, вычисленное на основе

выборки

. Подробнее см. статью

Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о равенстве среднего значения распределения (дисперсия известна)

.

Чтобы пояснить название «

верхний»

квантиль

, построим график

плотности вероятности

и

функцию вероятности

стандартного нормального

распределения

для

α=0,05.

Выделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение больше

верхнего 0,05-квантиля

, т.е.

больше

значения 1,645. Эта вероятность равна 0,05.

На графике

плотности вероятности

площадь выделенной области равна 0,05 (5%) от общей площади под графиком (равна 1). Из графика

функции распределения

становится понятно, откуда происходит название «верхний»

квантиль

—

выделенная область расположена в верхней части графика. Если Z

0

больше

верхнего квантиля

, т.е. попадает в выделенную область, то

нулевая гипотеза

отклоняется.

Также при

проверке двухсторонних гипотез

и построении соответствующих

доверительных интервалов

иногда используется понятие «двусторонний»

α-квантиль.

В этом случае условие отклонения

нулевой гипотезы

звучит как |Z

0

|>Z

α

/2

, где Z

α

/2

–

верхний

α/2-квантиль

. Чтобы не писать

верхний

α/2-квантиль

, для удобства используют «двусторонний»

α-квантиль.

Почему двусторонний? Как и в предыдущих случаях, построим график

плотности вероятности стандартного нормального распределения

и график

функции распределения

.

Невыделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение

между

нижним квантилем уровня α

/2 и

верхним квантилем

уровня α

/2, т.е. будет между значениями -1,960 и 1,960 при α=0,05. Эта вероятность равна в нашем случае 1-(0,05/2+0,05/2)=0,95. Если Z

0

попадает в одну из выделенных областей, то

нулевая гипотеза

отклоняется.

Вычислить

двусторонний

0,05

—

квантиль

это можно с помощью формул MS EXCEL:

=НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2)

или

=-НОРМ.СТ.ОБР(0,05/2)

Другими словами,

двусторонние α-квантили

задают интервал, в который рассматриваемая случайная величина попадает с заданной вероятностью α.

Квантили распределения Стьюдента

Аналогичным образом

квантили

вычисляются и для

распределения Стьюдента

. Например, вычислять

верхний

α/2-

квантиль

распределения Стьюдента с

n

-1 степенью свободы

требуется, если проводится

проверка двухсторонней гипотезы

о

среднем значении

распределения при

неизвестной

дисперсии

(

см. эту статью

).

Для

верхних квантилей

распределения Стьюдента

часто используется запись t

α/2,n-1

. Если такая запись встретилась в статье про

проверку гипотез

или про построение

доверительного интервала

, то это именно

верхний квантиль

.


Примечание

:

Функция плотности вероятности распределения Стьюдента

, как и

стандартного нормального распределения

, является четной функцией.

Чтобы вычислить в MS EXCEL

верхний

0,05/2

—

квантиль

для t-распределения с 10 степенями свободы (или тоже самое

двусторонний

0,05-квантиль

), необходимо записать формулу

=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05; 10)

или

=СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 10)

или

=СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-0,05/2; 10)

или

=-СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,05/2; 10)

.2X означает 2 хвоста, т.е.

двусторонний квантиль

.

Квантили распределения ХИ-квадрат

Вычислять

квантили

распределения ХИ-квадрат

с

n

-1 степенью свободы

требуется, если проводится

проверка гипотезы

о

дисперсии нормального распределения

(см. статью

Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о дисперсии нормального распределения

).

При

проверке таких гипотез

также используются

верхние квантили.

Например, при

двухсторонней гипотезе

требуется вычислить 2

верхних

квантиля

распределения

ХИ

2

: χ

2

α/2,n-1

и

χ

2

1-

α/2,n-1

. Почему требуется вычислить два

квантиля

, не один, как при

проверке гипотез о среднем

, где используется

стандартное нормальное распределение

или

t-распределение

?

Дело в том, что в отличие от

стандартного нормального распределения

и

распределения Стьюдента

, плотность распределения

ХИ

2

не является четной (симметричной относительно оси х). У него все

квантили

больше 0, поэтому

верхний альфа-квантиль

не равен

нижнему (1-альфа)-квантилю

или по-другому:

верхний альфа-квантиль

не равен

нижнему альфа-квантилю

со знаком минус.

Чтобы вычислить

верхний

0,05/2

—

квантиль

для

ХИ

2

-распределения

с

числом степеней свободы

10, т.е.

χ

2

0,05/2,n-1

, необходимо в MS EXCEL записать формулу

=ХИ2.ОБР.ПХ(0,05/2; 10)

или

=ХИ2.ОБР(1-0,05/2; 10)

Результат равен 20,48. .ПХ означает правый хвост распределения, т.е. тот который расположен вверху на графике

функции распределения

.

Чтобы вычислить

верхний

(1-0,05/2)-

квантиль

при том же

числе степеней свободы

, т.е.

χ

2

1-0,05/2,n-1

и необходимо записать формулу

=ХИ2.ОБР.ПХ(1-0,05/2; 10)

или

=ХИ2.ОБР(0,05/2; 10)

Результат равен 3,25.

Квантили F-распределения

Вычислять

квантили

распределения Фишера

с

n

1

-1 и

n

2

-1 степенями свободы

требуется, если проводится

проверка гипотезы

о равенстве

дисперсий двух нормальных распределений

(см. статью

Двухвыборочный тест для дисперсии: F-тест в MS EXCEL

).

При

проверке таких гипотез

используются, как правило,

верхние квантили.

Например, при

двухсторонней гипотезе

требуется вычислить 2

верхних

квантиля

F

-распределения:

F

α/2,n1-1,

n

2

-1

и

F

1-α/2,n1-1,

n

2

-1

. Почему требуется вычислить два

квантиля

, не один, как при

проверке гипотез о среднем

? Причина та же, что и для распределения ХИ

2

– плотность

F-распределения

не является четной

.

Эти

квантили

нельзя выразить один через другой как для

стандартного нормального распределения

.

Верхний альфа-квантиль

F

-распределения

не равен

нижнему альфа-квантилю

со знаком минус.

Чтобы вычислить

верхний

0,05/2-квантиль

для

F

-распределения

с

числом степеней свободы

10 и 12, необходимо записать формулу

=F.ОБР.ПХ(0,05/2;10;12) =FРАСПОБР(0,05/2;10;12) =F.ОБР(1-0,05/2;10;12)

Результат равен 3,37. .ПХ означает правый хвост распределения, т.е. тот который расположен вверху на графике

функции распределения

.

Квантили распределения Вейбулла

Иногда

обратная функция распределения

может быть представлена в явном виде с помощью элементарных функций, например как для

распределения Вейбулла

. Напомним, что функция этого распределения задается следующей формулой:

После логарифмирования обеих частей выражения, выразим x через соответствующее ему значение F(x) равное P:


Примечание

: Вместо обозначения

α-квантиль

может использоваться

p

—

квантиль.

Суть от этого не меняется.

Это и есть обратная функция, которая позволяет вычислить

P

—

квантиль

(

p

—

quantile

). Для его вычисления в формуле нужно подставить известное значение вероятности P и вычислить значение х

p

(вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х

p

равна P).

Квантили экспоненциального распределения


Задача

:

Случайная величина имеет

экспоненциальное распределение

:


Требуется выразить

p

-квантиль

x

p

через параметр распределения λ и заданную вероятность

p

.


Примечание

: Вместо обозначения

α-квантиль

может использоваться

p-квантиль

. Суть от этого не меняется.


Решение

: Вспоминаем, что

p

-квантиль

– это такое значение x

p

случайной величины X, для которого P(X<=x

p

)=

p

. Т.е. вероятность, что случайная величина X примет значение меньше или равное x

p

равна

p

. Запишем это утверждение с помощью формулы:

По сути, мы записали

функцию вероятности экспоненциального распределения

: F(x

p

)=

p

.

Из определения

квантиля

следует, что для его нахождения нам потребуется

обратная функция распределения

.

Проинтегрировав вышеуказанное выражение, получим:

Используя это уравнение, выразим x

p

через λ и вероятность

p

.

Конечно, явно выразить

обратную функцию распределения

можно не для всех

функций распределений

.

Источник

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше

Возвращает квартиль множества данных. Квартиль часто используются при анализе продаж для разбиения генеральной совокупности на группы. Например, можно воспользоваться функцией КВАРТИЛЬ, чтобы найти среди всех предприятий 25 процентов наиболее доходных.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.

Дополнительные сведения о новых функциях см. в разделах Функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ и Функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ.

Синтаксис

КВАРТИЛЬ(массив;часть)

Аргументы функции КВАРТИЛЬ описаны ниже.

  • Массив     Обязательный. Массив или диапазон ячеек с числовыми значениями, для которых определяется значение квартиля.

  • Часть     Обязательный. Значение, которое требуется вернуть.

Если часть равна

КВАРТИЛЬ возвращает

0

Минимальное значение

1

Первую квартиль (25-ю персентиль)

2

Значение медианы (50-ю персентиль)

3

Третью квартиль (75-ю персентиль)

4

Максимальное значение

Замечания

  • Если массив пуст, КВАРТИЛЬ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

  • Если значение аргумента «часть» не является целым числом, то оно усекается.

  • Если кварт < 0 или > 4, кВАРТИЛЬ возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.

  • Функции МИН, МЕДИАНА и МАКС возвращают то же значение, что и функция КВАРТИЛЬ, если аргумент «часть» равен соответственно 0, 2 или 4.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Данные

1

2

4

7

8

9

10

12

Формула

Описание (результат)

Результат

=КВАРТИЛЬ(A2:A9;1)

Первая квартиль (25-я процентиль) для приведенных выше данных (3,5)

3,5

Нужна дополнительная помощь?

Источник

Содержание

  1. Доверительный интервал для оценки дисперсии в EXCEL
  2. Задача
  3. Функция распределения и плотность вероятности в EXCEL
  4. Генеральная совокупность и случайная величина
  5. Функция распределения
  6. Непрерывные распределения и плотность вероятности
  7. Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL
  8. Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL
  9. Обратная функция распределения (Inverse Distribution Function)

Доверительный интервал для оценки дисперсии в EXCEL

history 27 ноября 2016 г.

Построим доверительный интервал для оценки дисперсии случайной величины, распределенной по нормальному закону, в MS EXCEL .

Построение доверительного интервала для оценки среднего приведено в статье Доверительный интервал для оценки среднего (дисперсия известна) в MS EXCEL . Процедура построения доверительного интервала для оценки дисперсии имеет много общего с процедурой для оценки среднего , поэтому в этой статье она изложена менее подробно, чем в указанной статье.

Формулировка задачи. Предположим, что из генеральной совокупности имеющей нормальное распределение с неизвестным средним значением μ и неизвестной дисперсией σ 2 взята выборка размера n. Необходимо на основании этой выборки оценить дисперсию распределения и построить доверительный интервал .

Примечание : Построение доверительного интервала для оценки среднего относительно нечувствительно к отклонению генеральной совокупности от нормального закона . А вот при построении доверительного интервала для оценки дисперсии требование нормальности является строгим.

СОВЕТ : Для построения Доверительного интервала нам потребуется знание следующих понятий:

В качестве точечной оценкой дисперсии распределения, из которого взята выборка , используют Дисперсию выборки s 2 .

Также, перед процедурой проверки гипотезы , исследователь устанавливает требуемый уровень значимости – это допустимая для данной задачи ошибка первого рода , т.е. вероятность отклонить нулевую гипотезу , когда она верна ( уровень значимости обозначают буквой α (альфа) и чаще всего выбирают равным 0,1; 0,05 или 0,01)

В статье про ХИ2-распределение показано, что выборочное распределение статистики y=(n-1) s 2 /σ 2 , имеет ХИ2-распределение с n-1 степенью свободы.

Воспользуемся этим свойством и построим двухсторонний доверительный интервал для оценки дисперсии :

где χ 2 α/2,n-1 – верхний α/2-квантиль распределения ХИ-квадрат с n -1 степенью свободы ( такое значение случайной величины χ 2 n-1 , что P ( χ 2 n-1 >= χ 2 α/2,n-1 )=α/2) . Чтобы найти этот квантиль в MS EXCEL используйте формулу =ХИ2.ОБР.ПХ(α; n-1) . χ 2 1-α/2,n-1 – верхний 1-α/2-квантиль , который равен нижнему α/2- квантилю. Чтобы найти этот квантиль в MS EXCEL используйте формулу =ХИ2.ОБР(α; n-1) .

Примечание : В файле примера на листе Квантили показан расчет квантилей для распределения ХИ2 . На рисунке выделена область соответствующая уровню доверия 95%, которая ограничена верхним и нижним квантилем . Обратите внимание, что в отличие от нормального и t-распределения распределение ХИ2 несимметрично, поэтому для двустороннего доверительного интервала потребуется вычислить два квантиля , значения которых будут отличаться.

Примечание : Доверительный интервал для стандартного отклонения может быть получен путем извлечения квадратного корня из вышеуказанного выражения.

В файле примера на листе 2х сторонний создана форма для расчета и построения двухстороннего доверительного интервала .

Для построения односторонних доверительных интервалов используйте нижеследующие выражения:

Задача

В следующей задаче найдем верхний односторонний доверительный интервал для дисперсии .

Автоматический аппарат заполняет емкости с растворителем. Предполагается, что объемы налитой жидкости в емкостях распределены по нормальному закону . Если разброс значений объемов будет слишком велик, то значительная часть емкостей будет существенно переполнена или не заполнена. Для оценки дисперсии в качестве выборки взято 20 наполненных жидкостью емкостей. На основе выборки была вычислена дисперсия выборки s 2 , которая составила 0,0153 (литров 2 ). Принято решение оценить верхний уровень дисперсии с уровнем доверия 95%.

Для решения задачи воспользуемся выражением

Сначала найдем верхний (1-α)-квантиль (или равный ему нижний α-квантиль ) ХИ2-распределения с n-1 степенью свободы при у ровне значимости α равном 1-0,95=0,05. Это можно сделать в MS EXCEL по формулам: =ХИ2.ОБР.ПХ(1-0,05; 20-1) или =ХИ2.ОБР(0,05; 20-1)

В результате получим верхний доверительный интервал для дисперсии: σ 2 файле примера на листе 1 сторонний .

СОВЕТ : О построении других доверительных интервалов см. статью Доверительные интервалы в MS EXCEL .

Источник

Функция распределения и плотность вероятности в EXCEL

history 13 октября 2016 г.

Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта ]]> www.excel2.ru ]]> . Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL .

Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.

Генеральная совокупность и случайная величина

Пусть у нас имеется генеральная совокупность (population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.

Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.

Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.

В нашем примере, ГС — это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.

Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной . По определению, любая случайная величина имеет функцию распределения , которая обычно обозначается F(x).

Функция распределения

Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X файл примера ):

В справке MS EXCEL Функцию распределения называют Интегральной функцией распределения ( Cumulative Distribution Function , CDF ).

Приведем некоторые свойства Функции распределения:

  • Функция распределения F(x) изменяется в интервале [0;1], т.к. ее значения равны вероятностям соответствующих событий (по определению вероятность может быть в пределах от 0 до 1);
  • Функция распределения – неубывающая функция;
  • Вероятность того, что случайная величина приняла значение из некоторого диапазона [x1;x2): P(x 1 Примечание : В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности дискретных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Непрерывные распределения и плотность вероятности

В случае непрерывного распределения случайная величина может принимать любые значения из интервала, в котором она определена. Т.к. количество таких значений бесконечно велико, то мы не можем, как в случае дискретной величины, сопоставить каждому значению случайной величины ненулевую вероятность (т.е. вероятность попадания в любую точку (заданную до опыта) для непрерывной случайной величины равна нулю). Т.к. в противном случае сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины будет равна бесконечности, а не 1. Выходом из этой ситуации является введение так называемой функции плотности распределения p(x) . Чтобы найти вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а; b), необходимо найти приращение функции распределения на этом интервале:

Как видно из формулы выше плотность распределения р(х) представляет собой производную функции распределения F(x), т.е. р(х) = F’(x).

Типичный график функции плотности распределения для непрерывной случайно величины приведен на картинке ниже (зеленая кривая):

Примечание : В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности непрерывных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

В литературе Функция плотности распределения непрерывной случайной величины может называться: Плотность вероятности, Плотность распределения, англ. Probability Density Function (PDF) .

Чтобы все усложнить, термин Распределение (в литературе на английском языке — Probability Distribution Function или просто Distribution ) в зависимости от контекста может относиться как Интегральной функции распределения, так и кее Плотности распределения.

Из определения функции плотности распределения следует, что p(х)>=0. Следовательно, плотность вероятности для непрерывной величины может быть, в отличие от Функции распределения, больше 1. Например, для непрерывной равномерной величины , распределенной на интервале [0; 0,5] плотность вероятности равна 1/(0,5-0)=2. А для экспоненциального распределения с параметром лямбда =5, значение плотности вероятности в точке х=0,05 равно 3,894. Но, при этом можно убедиться, что вероятность на любом интервале будет, как обычно, от 0 до 1.

Напомним, что плотность распределения является производной от функции распределения , т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что плотность распределения >1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере экспоненциального распределения ).

Примечание : Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения , равна 1.

Примечание : Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения . Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная ). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения, то параметр интегральная , д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности , то параметр интегральная , д.б. ЛОЖЬ.

Примечание : Для дискретного распределения вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности может называть даже «функция вероятностной меры» (см. функцию БИНОМ.РАСП() ).

Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL

Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение.

Найдем плотность вероятности для стандартного нормального распределения N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ) =0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ) .

Напомним, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b).

Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL

1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению (см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =1-0,5. Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).

2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению , приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения, вероятность равна F(0)=0,5.

В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =0,5.

3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению , примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) — НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) .

Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье Распределения случайной величины в MS EXCEL приведены распределения, для которых в MS EXCEL имеются соответствующие функции, позволяющие вычислить вероятности.

Обратная функция распределения (Inverse Distribution Function)

Вспомним задачу из предыдущего раздела: Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, приняла отрицательное значение.

Вероятность этого события равна 0,5.

Теперь решим обратную задачу: определим х, для которого вероятность, того что случайная величина Х примет значение =НОРМ.СТ.ОБР(0,5) =0.

Однозначно вычислить значение случайной величины позволяет свойство монотонности функции распределения.

Обратите внимание, что для вычисления обратной функции мы использовали именно функцию распределения , а не плотность распределения . Поэтому, в аргументах функции НОРМ.СТ.ОБР() отсутствует параметр интегральная , который подразумевается. Подробнее про функцию НОРМ.СТ.ОБР() см. статью про нормальное распределение .

Обратная функция распределения вычисляет квантили распределения , которые используются, например, при построении доверительных интервалов . Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем нормального распределения . В файле примера можно вычислить и другой квантиль этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84.

В англоязычной литературе обратная функция распределения часто называется как Percent Point Function (PPF).

Примечание : При вычислении квантилей в MS EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР() , ЛОГНОРМ.ОБР() , ХИ2.ОБР(), ГАММА.ОБР() и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Источник

Источник

Содержание

  1. Медиана и квартили
  2. Математическое описание
  3. Среднее значение
  4. Отклонение от среднего
  5. Квантиль
  6. Построение интервалов
  7. Двусторонний доверительный интервал
  8. Первый квартиль
  9. Третий квартиль
  10. Квартили непрерывного распределения
  11. Квартили в MS EXCEL
  12. Моменты случайной величины
  13. Статистический анализ роста доли дохода в Excel за период
  14. Анализ статистики случайно сгенерированных чисел в Excel
  15. Расчет квартилей в R и SAS
  16. Расчет децилей для дискретного ряда
  17. Квантили специальных видов
  18. Квантили стандартного нормального распределения
  19. Квантили распределения Стьюдента
  20. Квантили распределения ХИ-квадрат

Квантили нормального распределения

Основная статья: Медиана (статистика)

  • 0,25-квантиль называется первым (или нижним) квартилем (от лат. quarta — четверть);
  • 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым квартилем
  • 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) квартилем.


Интерквартильным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями. Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Математическое описание

Смотря на закон распределения, мы можем понять, какова вероятность того или иного события, можем сказать, какова вероятность, что произойдёт группа событий, а в этой статье мы рассмотрим, как наши выводы “на глаз” перевести в математически обоснованное утверждение.

Крайне важное определение: математическое ожидание – это площадь под графиком распределения. Если мы говорим о дискретном распределении – это сумма событий умноженных на соответсвующие вероятности, также известно как момент:

(2) E(X) = Σ(pi•Xi) E – от английского слова Expected (ожидание)
Для математического ожидания справедливы равенства:
(3) E(X + Y) = E(X) + E(Y)
(4) E(X•Y) = E(X) • E(Y)

Момент степени k:

(5) νk = E(Xk)

Центральный момент степени k:

(6) μk = E[X – E(X)]k

Среднее значение

Среднее значение (μ) закона распределения – это математическое ожидание случайной величины (случайная величина – это событие), например, сколько в среднем посетителей заходит в магазин в час:

Кол-во посетителей 0 1 2 3 4 5 6
Количество наблюдений 114 115 52 52 24 13 30
Таблица 1. Количество посетителей в час

График 1. Количество посетителей в час

Чтобы найти среднее значение всех результатов необходимо сложить всё вместе и разделить на количество результатов:

μ = (114 • 0 + 115 • 1 + 52 • 2 + 52 • 3 + 24 • 4 + 13 • 5 + 30 • 6) / 400 = 716/400 = 1.79

То же самое мы можем проделать используя формулу 2:

μ = M(X) = Σ(Xi•pi) = 0 • 0.29 + 1 • 0.29 + 2 • 0.13 + 3 • 0.13 + 4 • 0.06 + 5 • 0.03 + 6 • 0.08 = 1.79 Момент первой степени, формула (5)

Собственно, формула 2 представляет собой среднее арифметическое всех значений
Итог: в среднем, 1.79 посетителя в час

Количество посетителей 0 1 2 3 4 5 6
Вероятность (%) 28.5 28.8 13 13 6 3.3 7.5
Таблица 2. Закон распределения количества посетителей

Отклонение от среднего

Посмотрите на это распределение, можно предположить, что в среднем случайная величина равна 100±5, поскольку кажется, что таких значений несравнимо больше чем тех, что меньше 95 или больше 105:

График 2. График функции вероятности. Распределение ≈ 100±5

Среднее значение по формуле (2): μ = 99.95, но как посчитать, насколько далеко все значения находятся от среднего? Вам должна быть знакома запись 100±5. Что бы получить это значение ±, нам необходимо определить диапазон значений вокруг среднего. И мы могли бы использовать в качестве меры удалённости “разность” между средним и случайными величинами:

(7) xi – μ

но сумма таких расстояний, а следовательно и любое производное от этого числа, будет равно нулю, поэтому в качестве меры выбрали квадрат разниц между величинами и средним значением:

(8) (xi – μ)2

Соответственно, среднее значение удалённости – это математическое ожидание квадратов удалённости:

(9) σ2 = E[(X – E(X))2] Поскольку вероятности любой удалённости равносильны – вероятность каждого из них – 1/n, откуда: (10) σ2 = E[(X – E(X))2] = ∑[(Xi – μ)2]/n Она же формула центрального момента (6) второй степени

σ возведена в квадрат, поскольку вместо расстояний мы взяли квадрат расстояний. σ2 называется дисперсией. Корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением, или среднеквадратическим отклоненим, и его используют в качестве меры разброса:

(11) μ±σ
(12) σ = √(σ2) = √[∑[(Xi – μ)2]/n]

Возвращаясь к примеру, посчитаем среднеквадратическое отклонение для графика 2:

σ = √(∑(x-μ)2/n) = √{[(90 – 99.95)2 + (91 – 99.95)2 + (92 – 99.95)2 + (93 – 99.95)2 + (94 – 99.95)2 + (95 – 99.95)2 + (96 – 99.95)2 + (97 – 99.95)2 + (98 – 99.95)2 + (99 – 99.95)2 + (100 – 99.95)2 + (101 – 99.95)2 + (102 – 99.95)2 + (103 – 99.95)2 + (104 – 99.95)2 + (105 – 99.95)2 + (106 – 99.95)2 + (107 – 99.95)2 + (108 – 99.95)2 + (109 – 99.95)2 + (110 – 99.95)2]/21} = 6.06
Итак, для графика 2 мы получили:
X = 99.95±6.06 ≈ 100±6 , что немного отличается от полученного “на глаз”

Квантиль

График 3. Функция распределения. Медиана

График 4. Функция распределения. 4-квантиль или квартиль

График 5. Функция распределения. 0.34-квантиль

Для анализа функции распределения ввели понятие квантиль. Квантиль – это случайная величина при заданном уровне вероятности, т.е.: квантиль для уровня вероятности 50% – это случайная величина на графике плотности вероятности, которая имеет вероятность 50%. На примере с графиком 3, квантиль уровня 0.5 = 99 (ближайшее значение, поскольку распределение дискретно и события со значением 99.3 просто не существует)

  • 2-квантиль – медиана
  • 4-квантиль – квартиль
  • 10-квантиль – дециль
  • 100-квантиль – перцентиль

То есть, если мы говорим о дециле (10-квантиле), то это означает, что мы разбили график на 10 частей, что соответствует девяти линяям, и для каждого дециля нашли значение случайной величины.

Также, используется обозначение x-квантиль, где х – дробное число, например, 0.34-квантиль, такая запись означает значение случайной величины при p = 0.34.

Для дискретного распределения квантиль необходимо выбирать следующим образом: квантиль гарантирует вероятность, поэтому, если рассчитанный квантиль не совпадает с одним и значений, необходимо выбирать меньшее значение.

Построение интервалов

Квантили используют для построения доверительных интервалов, которые необходимы для исследования статистики не одного конкретного события (например, интерес – случайное число = 98), а для группы событий (например, интерес – случайное число между 96 и 99). Доверительный интервал бывает двух видов: односторонний и двусторонний. Параметр доверительного интервала – уровень доверия. Уровень доверия означает процент событий, которые можно считать успешными.

Двусторонний доверительный интервал

Двусторонний доверительный интервал строится следующим образом: мы задаёмся уровнем значимости, например, 10%, и выделяем область на графике так, что 90% всех событий попадут в эту область. Поскольку интервал двусторонний, то мы отсекаем по 5% с каждой стороны, т.е. мы ищем 5й перцентиль, 95й перцентиль и значения случайной величины между ними будут являться доверительной областью, значения за пределами доверительной области называются “критическая область“

Первый квартиль

Значение квартиля Q1 находится в интервале 68,98 – 71,70, соответствующего частоте fQ1 = 150:4 = 37,5

Третий квартиль

Значение квартиля находится в интервале 68,98 – 71,70, соответствующего частоте fQ3 = (3*150):4 = 112,5

Квартили непрерывного распределения

Если функция распределения F (х) случайной величины х непрерывна, то 1-й квартиль является решением уравнения F(х) =0,25, второй – F(х) =0,5, а третий F(х) =0,75.

Примечание : Подробнее о Функции распределения см. статью Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL .

Если известна функция плотности вероятности p (х) , то 1-й квартиль можно найти из уравнения:

Например, решив аналитическим способом это уравнение для Логнормального распределения lnN(μ; σ 2 ), получим, что медиана (2-й квартиль ) вычисляется по формуле e μ или в MS EXCEL =EXP(μ). При μ=1, медиана равна 2,718.

Обратите внимание на точку Функции распределения , для которой F(х)=0,5 (см. картинку выше или файл примера , лист Квартиль-распределение) . Абсцисса этой точки равна 2,718. Это и есть значение 2-го квартиля ( медианы ), что естественно совпадает с ранее вычисленным значением по формуле e μ .

Примечание : Напомним, что интеграл от функции плотности вероятности по всей области задания случайной величины равен единице:

Поэтому, линии квартилей ( х=квартиль ) делят площадь под графиком функции плотности вероятности на 4 равные части.

Квартили в MS EXCEL

Чтобы вычислить в MS EXCEL квартили заданного распределения необходимо использовать соответствующую обратную функцию распределения .

При вычислении квартилей в MS EXCEL используются обратные функции распределения : НОРМ.СТ.ОБР() , ЛОГНОРМ.ОБР() , ХИ2.ОБР() , ГАММА.ОБР() и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL .

Например, в MS EXCEL 1-й квартиль для логнормального распределения LnN(1;1) можно вычислить по формуле =ЛОГНОРМ.ОБР(0,25;1;1) , а 3-й квартиль для стандартного нормального распределения по формуле =НОРМ.СТ.ОБР(0,75) .

Моменты случайной величины

Моменты случайно величины описывают различные аспекты характера и формы нашего распределения.

#1 — первый момент случайной величины — среднее значение данных, которое показывает место распределения.

#2 — второй момент случайной величины — дисперсия, которая показывает разброс распределения. Большие значения имеют больший размах, чем маленькие.

#3 — третий момент случайной величины — коэффициент асимметрии — мера того, насколько неравномерным является распределение. Коэффициент асимметрии положителен, если распределение наклонено влево и левый хвост короче правого. То есть среднее значение находится правее. И наоборот:

Асимметрия

#4 — четвертый момент случайной величины — коэффициент эксцесса, который описывает то, насколько толстый хвост и насколько острый пик распределения. Этот коэффициент показывает, насколько вероятно найти точки экстремума в данных. Чем выше значение, тем вероятнее выбросы. Это похоже на разброс (дисперсию), но между ними есть отличия.

Коэффициент эксцесса трех кривых

Как видно на графике, чем выше значение пики, тем выше коэффициент эксцесса, т.е. у верхней кривой коэффициент эксцесса выше, чем у нижней.

Статистический анализ роста доли дохода в Excel за период

Пример 2. В таблице приведены данные о доходах предпринимателя за год. Доказать, что примерно 75% значений меньше, чем третий квартиль доходов.

Вид исходной таблицы:

Определим 3-й по формуле:

Определим соотношение чисел, меньше полученного числа, к общему количеству значений по формуле:

=СЧЁТЕСЛИ(B2:B13;”<“&B15)/СЧЁТ(B2:B13)

Полученные результаты:

Анализ статистики случайно сгенерированных чисел в Excel

Пример 3. Имеется диапазон случайных чисел, отсортированный в порядке возрастания. Определить соотношение суммы чисел, которые меньше 1-го квартиля, к сумме чисел, которые превышают значение 1-го квартиля.

Чтобы сгенерировать случайное число в Excel воспользуемся функцией:

=СЛУЧМЕЖДУ(0;1000)

После генерации отсортируем случайно сгенерированные числа по возрастанию. Вид исходной таблицы данных со случайными числами:

Формула для расчета имеет следующий вид (формула массива CTRL+SHIFT+ENTER):

Функции СУММ с вложенными функциями ЕСЛИ выполняют расчет суммы только тех чисел, которые меньше и больше соответственно значения, возвращаемого функцией для исследуемого диапазона. Из полученных значений вычисляется частное. Результат расчетов:

Общая сумма чисел исследуемого диапазона, которые меньше 1-го квартиля, составляет всего 8,57% от общей суммы чисел, которые больше 1-го квартиля.

Расчет квартилей в R и SAS

Функция quantile в R использует все девять алгоритмов расчета квантилей, в соответствии с нумерацией, предложенной Hyndman and Fan в работе 1996 г. (рис. 15; если вы не знакомы с R, рекомендую начать с Алексей Шипунов. Наглядная статистика. Используем R!). Квантиль при i-м методе расчета:

где i – номер метода, 1 ≤ i ≤ 9, (j–m)/n ≤ p < (j–m+1)/n, хj – j-ый порядковый элемент упорядоченного ряда, n – размер выборки, γ является функцией двух параметров: j = floor(np + m) и g = np + m – j, где floor – функция возвращающая наибольшее целое, но всё еще меньшее, чем аргумент функции (аналог в Excel – ОКРВНИЗ.МАТ), m – константа, определяемая типом алгоритма расчета квантиля. Если вас интересуют подробности, обратитесь к справочной системе R.

SAS предлгает 5 методов расчета квантилей.

Расчет децилей для дискретного ряда

  1. Определяем номер дециля по формуле: ,

  2. Если номер дециля – целое число, то значение дециля будет равно величине элемента ряда, которое обладает накопленной частотой равной номеру дециля. Например, если номер дециля равен 20, его значение будет равно значению признака с S =20 (накопленной частотой равной 20).

Если номер дециля – нецелое число, то дециль попадает между двумя наблюдениями. Значением дециля будет сумма, состоящая из значения элемента, для которого накопленная частота равна целому значению номера дециля, и указанной части (нецелая часть номера дециля) разности между значением этого элемента и значением следующего элемента.

Например, если номер дециля равна 20,25, дециль попадает между 20-м и 21-м наблюдениями, и его значение будет равно значению 20-го наблюдения плюс 1/4 разности между значением 20-го и 21-го наблюдений.

Квантили специальных видов

Часто используются Квантили специальных видов:

  • процентили x p/100 , p=1, 2, 3, …, 99
  • квартили x p/4 , p=1, 2, 3
  • медиана x 1/2

В качестве примера вычислим медиану (0,5-квантиль) логнормального распределения LnN(0;1) (см. файл примера лист Медиана ).

Это можно сделать с помощью формулы =ЛОГНОРМ.ОБР(0,5; 0; 1)

Квантили стандартного нормального распределения

Необходимость в вычислении квантилей стандартного нормального распределения возникает при проверке статистических гипотез и при построении доверительных интервалов.

Примечание : Про проверку статистических гипотез см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL . Про построение доверительных интервалов см. статью Доверительные интервалы в MS EXCEL .

В данных задачах часто используется специальная терминология:

  • Нижний квантиль уровня альфа ( α percentage point)
  • Верхний квантиль уровня альфа (upper α percentage point)
  • Двусторонние квантили уровня альфа .


Нижний квантиль уровня альфа – это обычный α-квантиль. Чтобы пояснить название « нижний» квантиль , построим график плотности вероятности и функцию вероятности стандартного нормального распределения (см. файл примера лист Квантили ).

Выделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение меньше α-квантиля . Из определения квантиля эта вероятность равна α . Из графика функции распределения становится понятно, откуда происходит название ” нижний квантиль” – выделенная область расположена в нижней части графика.

Для α=0,05, нижний 0,05-квантиль стандартного нормального распределения равен -1,645. Вычисления в MS EXCEL можно сделать по формуле:

=НОРМ.СТ.ОБР(0,05)

Однако, при проверке гипотез и построении доверительных интервалов чаще используется “верхний” α-квантиль. Покажем почему.

Верхним α – квантилем называют такое значение x α , для которого вероятность, того что случайная величина X примет значение больше или равное x α равна альфа: P(X>= x α )= α . Из определения понятно, что верхний альфа – квантиль любого распределения равен нижнему (1- α) – квантилю. А для распределений, у которых функция плотности распределения является четной функцией, верхний α – квантиль равен нижнему α – квантилю со знаком минус . Это следует из свойства четной функции f(-x)=f(x), в силу симметричности ее относительно оси ординат.

Действительно, для α=0,05, верхний 0,05-квантиль стандартного нормального распределения равен 1,645. Т.к. функция плотности вероятности стандартного нормального распределения является четной функцией, то вычисления в MS EXCEL верхнего квантиля можно сделать по двум формулам:

=НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05)

=-НОРМ.СТ.ОБР(0,05)

Почему применяют понятие верхний α – квантиль? Только из соображения удобства, т.к. он при α всегда положительный (в случае стандартного нормального распределения ). А при проверке гипотез α равно уровню значимости , который обычно берут равным 0,05, 0,1 или 0,01. В противном случае, в процедуре проверки гипотез пришлось бы записывать условие отклонения нулевой гипотезы μ>μ 0 как Z 0 >Z 1- α , подразумевая, что Z 1- α – обычный квантиль порядка 1- α (или как Z 0 >-Z α ). C верхнем квантилем эта запись выглядит проще Z 0 >Z α .

Примечание : Z 0 – значение тестовой статистики , вычисленное на основе выборки . Подробнее см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о равенстве среднего значения распределения (дисперсия известна) .

Чтобы пояснить название « верхний» квантиль , построим график плотности вероятности и функцию вероятности стандартного нормального распределения для α=0,05.

Выделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение больше верхнего 0,05-квантиля , т.е. больше значения 1,645. Эта вероятность равна 0,05.

На графике плотности вероятности площадь выделенной области равна 0,05 (5%) от общей площади под графиком (равна 1). Из графика функции распределения становится понятно, откуда происходит название “верхний” квантиль – выделенная область расположена в верхней части графика. Если Z 0 больше верхнего квантиля , т.е. попадает в выделенную область, то нулевая гипотеза отклоняется.

Также при проверке двухсторонних гипотез и построении соответствующих доверительных интервалов иногда используется понятие “двусторонний” α-квантиль. В этом случае условие отклонения нулевой гипотезы звучит как |Z 0 |>Z α /2 , где Z α /2 – верхний α/2-квантиль . Чтобы не писать верхний α/2-квантиль , для удобства используют “двусторонний” α-квантиль. Почему двусторонний? Как и в предыдущих случаях, построим график плотности вероятности стандартного нормального распределения и график функции распределения .

Невыделенная площадь на рисунке соответствует вероятности, что случайная величина примет значение между нижним квантилем уровня α /2 и верхним квантилем уровня α /2, т.е. будет между значениями -1,960 и 1,960 при α=0,05. Эта вероятность равна в нашем случае 1-(0,05/2+0,05/2)=0,95. Если Z 0 попадает в одну из выделенных областей, то нулевая гипотеза отклоняется.

Вычислить двусторонний 0,05 – квантиль это можно с помощью формул MS EXCEL: =НОРМ.СТ.ОБР(1-0,05/2) или =-НОРМ.СТ.ОБР(0,05/2)

Другими словами, двусторонние α-квантили задают интервал, в который рассматриваемая случайная величина попадает с заданной вероятностью α.

Квантили распределения Стьюдента

Аналогичным образом квантили вычисляются и для распределения Стьюдента . Например, вычислять верхний α/2- квантиль распределения Стьюдента с n -1 степенью свободы требуется, если проводится проверка двухсторонней гипотезы о среднем значении распределения при неизвестной дисперсии ( см. эту статью ).

Для верхних квантилей распределения Стьюдента часто используется запись t α/2,n-1 . Если такая запись встретилась в статье про проверку гипотез или про построение доверительного интервала , то это именно верхний квантиль .

Примечание : Функция плотности вероятности распределения Стьюдента , как и стандартного нормального распределения , является четной функцией.

Чтобы вычислить в MS EXCEL верхний 0,05/2 – квантиль для t-распределения с 10 степенями свободы (или тоже самое двусторонний 0,05-квантиль ), необходимо записать формулу =СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05; 10) или =СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 10) или =СТЬЮДЕНТ.ОБР(1-0,05/2; 10) или =-СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,05/2; 10)

.2X означает 2 хвоста, т.е. двусторонний квантиль .

Квантили распределения ХИ-квадрат

Вычислять квантили распределения ХИ-квадрат с n -1 степенью свободы требуется, если проводится проверка гипотезы о дисперсии нормального распределения (см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL о дисперсии нормального распределения ).

При проверке таких гипотез также используются верхние квантили. Например, при двухсторонней гипотезе требуется вычислить 2 верхних квантиля распределения ХИ 2 : χ 2 α/2,n-1 и χ 2 1- α/2,n-1 . Почему требуется вычислить два квантиля , не один, как при проверке гипотез о среднем , где используется стандартное нормальное распределение или t-распределение ?

Дело в том, что в отличие от стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента , плотность распределения ХИ 2 не является четной (симметричной относительно оси х). У него все квантили больше 0, поэтому верхний альфа-квантиль не равен нижнему (1-альфа)-квантилю или по-другому: верхний альфа-квантиль не равен нижнему альфа-квантилю со знаком минус.

Чтобы вычислить верхний 0,05/2 – квантиль для ХИ 2 -распределения с числом степеней свободы 10, т.е. χ 2 0,05/2,n-1 , необходимо в MS EXCEL записать формулу =ХИ2.ОБР.ПХ(0,05/2; 10) или =ХИ2.ОБР(1-0,05/2; 10)

Результат равен 20,48. .ПХ означает правый хвост распределения, т.е. тот который расположен вверху на графике функции распределения .

Чтобы вычислить верхний (1-0,05/2)- квантиль при том же числе степеней свободы , т.е. χ 2 1-0,05/2,n-1 и необходимо записать формулу =ХИ2.ОБР.ПХ(1-0,05/2; 10) или =ХИ2.ОБР(0,05/2; 10)

Результат равен 3,25.

Источники

  • https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/291015
  • https://k-tree.ru/articles/statistika/analiz_dannyh/svoistva_raspredeleniia
  • https://univer-nn.ru/zadachi-po-statistike-primeri/kvartili-v-statistike/
  • https://excel2.ru/articles/kvartili-i-interkvartilnyy-interval-iqr-v-ms-excel
  • https://nuancesprog.ru/p/3307/
  • https://exceltable.com/funkcii-excel/primery-funkcii-kvartil
  • https://baguzin.ru/wp/kvartil-kakie-formuly-rascheta-ispol/
  • https://studfile.net/preview/5316597/page:4/
  • https://excel2.ru/articles/kvantili-raspredeleniy-ms-excel

Источник


В статье проведена оценка показателей надежности безотказной работы системы. На примере показан расчет основных показателей средствами Excel.



Ключевые слова:



безотказная работа, доверительный интервал, испытания, нормальный закон распределения, число отказов.

Определение показателей надёжности необходимо для формулирования требования по надежности к проектируемым устройствам или системам. Показатель надежности — это количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта [1].

Поскольку отказы и сбои элементов являются случайными событиями, то теория вероятностей и математическая статистика являются основным аппаратом, используемым при исследовании надежности, а сами характеристики надежности должны выбираться из числа показателей, принятых в теории вероятностей [2, с.

13].

Количественные характеристики надежности при нормальном законе распределения отказов могут быть определены из следующих выражений:

(1)

P(t)=

(2)

λ(

)=

(3),

где

нормированная и центрированная функция Лапласа.

Произведем расчет параметров надежности испытаний, проведенных в течение 100 часов на 100 деталях, 34 из которых вышли из строя.

Для построения статистического ряда время испытаний разбивают на интервалы (разряды) и подсчитывают частоту, интенсивность и вероятность отказов, используя выражения (1), (2) и (3). Определяют доверительные интервалы математического ожидания и среднеквадратичного отклонения при нормальном законе распределения отказов и заданном коэффициенте доверия [3, с. 60].

Результаты вычислений представлены в таблице Excel (Таблица 1).

Таблица 1


Результаты расчета основных показателей испытаний


Параметр


Разряды


1


2


3


4


5


6


7


8


9


10


t

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


n*

5

3

5

2

2

3

3

3

5

3


Pн(t)

0,935

0,917

0,896

0,870

0,841

0,805

0,767

0,725

0,680

0,633


fн(t)

0,983

0,986

0,988

0,990

0,991

0,992

0,993

0,993

0,994

0,994



λн(t)

1,050

1,074

1,102

1,137

1,178

1,232

1,294

1,369

1,460

1,570


Qн(t)

0,064

0,082

0,103

0,129

0,158

0,194

0,232

0,274

0,319

0,366


Dн

0,014

0,002

0,026

0,020

0,011

0,005

0,002

0,014

0,009

0,026


λн

0,085065269

Листинг фрагмента программы расчета показателей при нормальном законе распределения:

‘Вычислим 43 строку таблицы(45)=============================Рн(t)

СтрокаТаблицы = 45

‘a=(t-Tср)/Сигма

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

a = Abs(Sheets(«ОсновнаяТаблица»). Cells(3, n).Value — Tcp) / Сигма

‘b=Фо

СтрокаТаблФункцЛапласа = 2

While Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> «»

СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

Wend

If a <= Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(2, 1).Value Then

ф0 = Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(2, 2).Value

GoTo далее

End If

If a >= Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа — 1, 1).Value Then

ф0 = Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа — 1, 2).Value

GoTo далее

End If

СтрокаТаблФункцЛапласа = 2

While Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value <> «»

If Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value = a Then

ф0 = Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 2).Value

GoTo далее3

End If

If a < Sheets(«Таблица функции Лапласа»). Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value And a > Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа — 1, 1).Value Then

If Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 1).Value — a < a — Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа — 1, 1).Value Then

ф0 = Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа, 2).Value

Else

ф0 = Sheets(«Таблица функции Лапласа»).Cells(СтрокаТаблФункцЛапласа — 1, 2).Value

End If

GoTo далее3

End If

СтрокаТаблФункцЛапласа = СтрокаТаблФункцЛапласа + 1

Wend

далее3:

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = 0.5 + ф0

Next

‘Вычислим 44 строку таблицы(46)=============================fн(t)

СтрокаТаблицы = 46

СтолбецТаблицы = 4

Pi = Application.WorksheetFunction.Pi

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»). 2)))

Next

‘Заполним 45 строку таблицы(47)=============================Лямбда н(t)

СтрокаТаблицы = 47

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(46, n).Value / Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(45, n).Value

Next

Для определения доверительного интервала для математического ожидания по таблице квантилей распределения Стьюдента находят квантиль вероятности. Используя выражения (4) и (5) проводят расчеты

(4)

(5)

‘Заполним 30 строку таблицы(32)=============================Tср min

СтрокаТаблицы = 32

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Next

СтепеньСвободыПриНормРаспред = КоличествоСтолбцовТаблицы + 1 — 2

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, 4). Value = Tcp — Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(31, 4).Value * Сигма / Sqr(СтепеньСвободыПриНормРаспред)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).MergeCells = True

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

‘Заполним 31 строку таблицы(33)=============================Tср max

СтрокаТаблицы = 33

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Next

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Tcp + Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(31, 4).Value * Сигма / Sqr(СтепеньСвободыПриНормРаспред)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).MergeCells = True

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

Тср, min =

79,29380755 ч.

Тср, max =

172,43129 ч.

Для определения доверительного интервала для среднеквадратичного отклонения по таблице квантилей χ

2

– квадрат распределения определяют квантили для заданных вероятностей

P


1

и

P


2

.

(0,05) =

3,32511

(0,95) =

16,919

‘Заполним 32 строку таблицы(34)=============================X1(0,05)

СтрокаОсновнойТаблицы = 34

СтрокаТаблКвантили = 4

ВходнаяСтрочнаяВеличина = СтепеньСвободыПриНормРаспред

While Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> «»

СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

Wend

If ВходнаяСтрочнаяВеличина <= Sheets(«Квантили распределения хи»). Cells(4, 1).Value Then

СтрокаТабл = 4

GoTo СледующийПоиск10

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина >= Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили — 1, 1).Value Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили — 1

GoTo СледующийПоиск10

End If

СтрокаТаблКвантили = 4

While Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> «»

If Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value = ВходнаяСтрочнаяВеличина Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

GoTo СледующийПоиск10

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value And ВходнаяСтрочнаяВеличина > Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили — 1, 1).Value Then

If Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value — ВходнаяСтрочнаяВеличина < ВходнаяСтрочнаяВеличина — Sheets(«Квантили распределения хи»). Cells(СтрокаТаблКвантили — 1, 1).Value Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

Else

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили — 1

End If

GoTo СледующийПоиск10

End If

СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

Wend

СледующийПоиск10:

СтолбецТаблКвантили = 2

ВходнаяВертикальнаяВеличина = 0.05

While Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> «»

СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

Wend

If ВходнаяВертикальнаяВеличина <= Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, 2).Value Then

СтолбецТабл = 2

GoTo СледующийПоиск11

End If

If ВходнаяВертикальнаяВеличина >= Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили — 1).Value Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили — 1

GoTo СледующийПоиск11

End If

СледующийПоиск11:

СтолбецТаблКвантили = 11

While Sheets(«Квантили распределения хи»). Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> «»

If Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value = ВходнаяВертикальнаяВеличина Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

GoTo СледующийПоиск12

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value And ВходнаяВертикальнаяВеличина > Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили — 1).Value Then

If Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value — ВходнаяВертикальнаяВеличина < ВходнаяВертикальнаяВеличина — Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили — 1).Value Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

Else

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили — 1

End If

GoTo СледующийПоиск12

End If

СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

Wend

СледующийПоиск12:

x1 = Sheets(«Квантили распределения хи»). Cells(СтрокаТабл, СтолбецТабл).Value

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4).Value = x1

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n — 1)).MergeCells = True

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n — 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

‘Заполним 33 строку таблицы(35)=============================X2(0,95)

СтрокаОсновнойТаблицы = 35

СтрокаТаблКвантили = 4

ВходнаяСтрочнаяВеличина = СтепеньСвободыПриНормРаспред

While Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> «»

СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

Wend

If ВходнаяСтрочнаяВеличина <= Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(4, 1).Value Then

СтрокаТабл = 4

GoTo СледующийПоиск13

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина >= Sheets(«Квантили распределения хи»). Cells(СтрокаТаблКвантили — 1, 1).Value Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили — 1

GoTo СледующийПоиск13

End If

СтрокаТаблКвантили = 4

While Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value <> «»

If Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value = ВходнаяСтрочнаяВеличина Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

GoTo СледующийПоиск13

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value And ВходнаяСтрочнаяВеличина > Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили — 1, 1).Value Then

If Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили, 1).Value — ВходнаяСтрочнаяВеличина < ВходнаяСтрочнаяВеличина — Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТаблКвантили — 1, 1).Value Then

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили

Else

СтрокаТабл = СтрокаТаблКвантили — 1

End If

GoTo СледующийПоиск13

End If

СтрокаТаблКвантили = СтрокаТаблКвантили + 1

Wend

СледующийПоиск13:

СтолбецТаблКвантили = 2

ВходнаяВертикальнаяВеличина = 0. 95

While Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> «»

СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

Wend

If ВходнаяВертикальнаяВеличина <= Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, 2).Value Then

СтолбецТабл = 2

GoTo СледующийПоиск14

End If

If ВходнаяВертикальнаяВеличина >= Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили — 1).Value Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили — 1

GoTo СледующийПоиск14

End If

СледующийПоиск14:

СтолбецТаблКвантили = 2

While Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value <> «»

If Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value = ВходнаяВертикальнаяВеличина Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

GoTo СледующийПоиск15

End If

If ВходнаяСтрочнаяВеличина < Sheets(«Квантили распределения хи»). Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value And ВходнаяВертикальнаяВеличина > Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили — 1).Value Then

If Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили).Value — ВходнаяВертикальнаяВеличина < ВходнаяВертикальнаяВеличина — Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(3, СтолбецТаблКвантили — 1).Value Then

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили

Else

СтолбецТабл = СтолбецТаблКвантили — 1

End If

GoTo СледующийПоиск15

End If

СтолбецТаблКвантили = СтолбецТаблКвантили + 1

Wend

СледующийПоиск15:

x1 = Sheets(«Квантили распределения хи»).Cells(СтрокаТабл, СтолбецТабл).Value

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4).Value = x1

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n — 1)).MergeCells = True

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, 4), Cells(СтрокаОсновнойТаблицы, n — 1)). HorizontalAlignment = xlCenter

Получим минимальное σ

min

и максимальное σ

max

значения среднеквадратического отклонения:

(6)

(7)

‘Заполним 34 строку таблицы(36)=============================Сигма min

СтрокаТаблицы = 36

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Next

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Сигма * Sqr((СтепеньСвободыПриНормРаспред — 1) / Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(35, 4).Value)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).MergeCells = True

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

‘Заполним 35 строку таблицы(37)=============================Сигма max

СтрокаТаблицы = 37

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Next

СтепеньСвободыПриНормРаспред = КоличествоСтолбцовТаблицы + 1 — 2

Sheets(«ОсновнаяТаблица»). Cells(СтрокаТаблицы, 4).Value = Сигма * Sqr((СтепеньСвободыПриНормРаспред — 1) / Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(34, 4).Value)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).MergeCells = True

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

Число разрядов, на которые следует группировать статистический ряд, не должно быть слишком большим (тогда ряд распределения становится невыразительным, и часто в нем обнаруживают незакономерные колебания), с другой стороны, оно не должен быть слишком малым (свойства распределения при этом описываются статистическим рядом слишком грубо).

Литература:

  1. ГОСТ 27. 002-89 Надежность в технике (ССНТ). Основные понятия. Термины и определения.
  2. Федотов, А. В. Основы теории надежности и технической диагностики: конспект лекций / А. В. Федотов, Н. Г. Скабкин. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010 – 64 с.
  3. Коваленко, В. Н. Надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики : учеб. пособие / В. Н. Коваленко. – Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2013. – 87 с.

Основные термины (генерируются автоматически): Таблица функции, строка таблицы, доверительный интервал, Сигма, математическое ожидание, распределение отказов, среднеквадратичное отклонение, статистический ряд, таблица, теория вероятностей.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ В EXCEL

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПАРНОЙ
КОРРЕЛЯЦИИ В ПРОГРАММЕ EXCEL

t-статистика=0,99*(КОРЕНЬ(20-2)/КОРЕНЬ(1-0,99*0,99))=29,7745296027549

Коэффициент корреляции=0,991477169252612

Распределение Стьюдента=2,10092204024104

Расчетное значение t-статистики больше квантиля распределения Стьюдента, следовательно величина коэффициента корреляции является значимой.

2. ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ СВЯЗИ
МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕЛИЧИНАМИ

1-ый способ

 a1= 0,5014 a0= 2,5326 
 Se1= 0,0155  Se0= 0,7075
 R2= 0,9830 Se= 0,5561 
 Se= 0,5561 n-k-1= 18 
 QR= 322,4250 Qe= 5,5670 

Для проверки адекватности
модели нашли квантиль распределения Фишера Ff. с помощью функции FРАСПОБР

FРАСПОБР=4,4139

Проверили адекватность
построенной модели, используя расчетный уровень значимости (P):

2,18499711496499E-17

2 –й способ


а=2,532579627

в=0,50139175

Для данного примера
уравнение модели имеет вид:Y=2,53+0,5X

Проверка адекватности модели выполняется по расчетному уровню значимости P,
указанному в столбце Значимость F. Если
расчетный уровень значимости меньше заданного уровня значимости α =0,05, то модель адекватна.

Проверка статистической значимости коэффициентов модели выполняется по расчетным
уровням значимости P, указанным в столбце P-значение. Если расчетный уровень значимости меньше заданного
уровня значимости α =0,05, то соответствующий
коэффициент модели статистически значим.

Множественный R – коэффициент корреляции. Чем ближе его величина к 1, тем более
тесная связь между изучаемыми показателями. Для данного примера R= 0,99. Это позволяет сделать
вывод, что качество земли – один из основных факторов, от которого зависит
урожайность зерновых культур.

R-квадрат – коэффициент
детерминации. Он получается возведением в квадрат коэффициента корреляции –
R2=0,98. Он
показывает, что урожайность зерновых культур на 98% зависит от качества почвы,
а на долю других факторов приходится 0,02%.

3-ий способ (графический)


Расчет квантилей или процентилей в Excel

В этом руководстве показано, как вычислять квантили или процентили, связанные с доверительными интервалами, в Excel с помощью программного обеспечения XLSTAT.

Квантиль и процентили

XLSTAT имеет полный инструмент для вычисления квантилей или процентилей, их доверительного интервала и графического представления.

Квантили являются важными статистическими показателями, их легко понять. Квантиль 0,5 — это значение, при котором половина выборки находится ниже, а другая половина — выше. Его еще называют средним. Квантиль называется процентилем, если он основан на шкале от 0 до 100. 0,95-квантиль эквивалентен 95-процентилю и таков, что 95 % выборки ниже его значения, а 5 % выше.

Набор данных для создания квантиля

Набор данных был получен от [Lewis T. and Taylor L.R. (1967). Введение в экспериментальную экологию, Нью-Йорк: Academic Press, Inc. Это касается 237 детей, описанных по полу и росту в сантиметрах (1 см = 0,4 дюйма).

Настройка расчета определенного квантиля

После открытия XLSTAT выберите XLSTAT / Description / Quantiles , или нажмите на соответствующую кнопку панели инструментов «Описание» (см. ниже).

После нажатия кнопки появится диалоговое окно Quantile . Выберите данные на листе Excel.

В нашем случае; переменная — это «Высота». Данные должны быть количественными .

Поскольку для переменных был выбран заголовок столбца, необходимо активировать опцию Метки переменных .

Мы выбираем метод оценки по умолчанию ( средневзвешенное значение при x(Np) ) и оба типа доверительных интервалов с доверительной вероятностью 95 % .

Подробную информацию о статистических методах можно найти в справке XLSTAT.

Во вкладке диаграммы выбираем все диаграммы и нас интересует 67-процентиль (две трети детей меньше, а одна треть выше).

Вычисления начинаются после того, как вы нажмете на ОК . Затем будут отображены результаты.

Интерпретация результатов генерации квантилей

В первой таблице показаны некоторые описательные статистические данные о переменной высоты. Во второй таблице отображаются квантили и связанные с ними доверительные интервалы для различных часто используемых значений. Например, медиана 159,9 см. 95-процентиль показывает, что 95% детей меньше 174,98 см.

Затем отображается значение 67-процентиля. Две трети детей меньше 164,58 см.

Первый график (см. ниже) позволяет нам визуализировать эмпирическую кумулятивную функцию распределения со значением 67-го процентиля.

Вторая и третья диаграммы представляют собой коробчатую диаграмму и диаграмму рассеяния. 67-процентиль отображается синей линией.

Вы также можете использовать подвыборки, например пол можно использовать в качестве групповой переменной. Веса, связанные с наблюдениями, также могут быть включены.

Была ли эта статья полезной?

  • Да
  • №

Квантиль (квартиль, дециль и процентиль): расчет вручную + Microsoft

Квантиль — важная статистическая концепция, позволяющая разделить данные на равные группы. Они часто используются для выявления и анализа шаблонов данных и проведения значимых сравнений между различными наборами данных. В этом кратком руководстве мы рассмотрим основы квантилей и более подробно рассмотрим некоторые из наиболее распространенных типов: квартили, децили и процентили.

Квантиль

Квантиль — это мера, указывающая значение, ниже которого падает определенная доля наблюдений в группе наблюдений. Квантиль используется в статистике для разделения группы наблюдений на группы одинакового размера. Например, квантиль 0,25 — это значение, ниже которого падают 25% наблюдений; квантиль 0,50 — это значение, ниже которого падает 50%, и так далее. Другим родственным измерением является медиана, которая совпадает с квантилем 0,50, поскольку 50% данных находятся ниже медианы.

Какие общие квантили существуют?

Некоторые распространенные квантили включают:

1. Квартиль

Квартиль — это тип квантиля, который делит группу наблюдений на четыре группы одинакового размера. Например, в группе наблюдений первый квартиль (Q1) — это значение, ниже которого опускаются первые 25 % наблюдений, второй квартиль (Q2, также известный как медиана) — это значение, ниже которого средние 50 % наблюдений падают, а третий квартиль (Q3) — это значение, ниже которого падают последние 25% наблюдений.

2. Дециль

Дециль – это мера, которая делит группу наблюдений на десять групп одинакового размера. Например, в группе наблюдений первый дециль (D1) — это значение, ниже которого попадают первые 10% наблюдений, второй дециль (D2) — это значение, ниже которого попадают первые 20% наблюдений, и скоро. 9-й дециль (D9) — это значение, ниже которого опускаются последние 10% наблюдений.

3. Процентиль

Процентиль — это мера, указывающая значение, ниже которого находится определенный процент наблюдений в группе наблюдений. Например, в группе наблюдений 20-й процентиль (P20) — это значение, ниже которого опускаются первые 20% наблюдений, 50-й процентиль (P50) — это значение, ниже которого опускаются средние 50% наблюдений, и 95-й процентиль (P95) — это значение, ниже которого падают последние 95% наблюдений.

50-й процентиль также является медианой, вторым квартилем и 5-м децилем.

Процентиль: Расчет вручную / Microsoft Excel

Процентиль — это мера, используемая в статистике для указания значения, ниже которого находится определенный процент наблюдений в группе наблюдений.

Чтобы найти местоположение определенного процентиля, такие программы, как Minitab, Python, R и Excel, используют следующие шаги:

  1. Расположите наблюдения в порядке возрастания.
  2. Используйте формулу для определения положения процентиля, чтобы вычислить положение, в котором будет располагаться значение процентиля, используя желаемое значение процентиля и общее количество наблюдений в качестве входных данных. Существует два подхода: EXC (Exclusive) и INC (Inclusive). Процентное положение в подходе EXC определяется формулой (K(N+1)), а положение в подходе INC определяется формулой (K(N-1)+1).
  3. Если местоположение процентиля является целым числом, значение в этой позиции в упорядоченном списке наблюдений является значением процентиля.
  4. Если местоположение процентиля не является целым числом, значение процентиля рассчитывается путем вычисления значения на пропорциональной основе между этими двумя числами.

Чтобы найти 65-й процентиль в группе из 8 наблюдений, вы должны сначала расположить наблюдения в порядке возрастания: 8, 9, 12, 22, 23, 33, 55, 61.

Затем вы должны использовать формулу для местоположения процентиля, чтобы вычислить положение, в котором будет расположен 65-й процентиль:

Для ПРОЦЕНТИЛЬ.ИСКЛ рассчитанный ранг равен (K(N+1)).

Расположение в процентиле (с использованием эксклюзивного подхода) = (left(frac{65}{100}right)(8+1)) = 5,85

Поскольку положение в процентиле не является целым числом, 65-й процентиль будет между 5-м пунктом (номер 23) и 6-м пунктом (номер 33) на пропорциональной основе. Это будет (23+0,85(33-23) = 31,5).

Для PERCENTILE.INC (и PERCENTILE) рассчитанный ранг равен (K(N-1)+1).

Расположение в процентах (с использованием инклюзивного подхода) = ((65/100) (8-1)+1) = 5,55

Поскольку местоположение процентиля не является целым числом, 65-й процентиль будет почти посередине между 5-м элементом (число 23) и 6-м элементом (число 33). Пропорционально получится (23+0,55(33-23)) = 28,5.

Квартиль: пример расчета вручную

Квартиль — это статистическое значение, которое делит набор данных на четыре равные части или четверти. Первый квартиль, также известный как нижний квартиль или Q1, — это значение, которое отделяет самые низкие 25 % данных от остальных. Второй квартиль, также известный как медиана или Q2, представляет собой значение, которое отделяет самые низкие 50% данных от самых высоких 50% данных. Третий квартиль, также известный как верхний квартиль или Q3, — это значение, которое отделяет самые высокие 25% данных от остальных.

Например, если у нас есть следующие числа: 14, 9, 10, 11, 11 и 6, мы можем разделить данные на четыре равные группы, найдя первый, второй и третий квартили.

Чтобы найти квартили набора данных, нам сначала нужно расположить данные в порядке возрастания следующим образом: 6, 9, 10, 11, 11, 14.

Затем нам нужно найти медиану, или Q2, которая является средним значением в наборе данных. В этом случае в наборе данных шесть чисел, поэтому медиана — это среднее значение третьего и четвертого значений, равное 10,5.

Чтобы найти нижний квартиль или Q1, мы берем медиану значений ниже медианы. В данном случае это будет медиана 9. Чтобы найти верхнюю квартиль или Q3, мы берем медиану значений выше медианы. В данном случае это будет медиана 11, 11 и 14, что равно 11.

Таким образом, для этого набора данных квартили: эти числа расчета квартиля не совпадают с расчетом Excel?

Квартиль Использование Excel:

Для расчета квартилей такие программы, как Microsoft Excel и Minitab, используют метод процентилей, как объяснялось ранее. Q1 рассчитывается как 25-й процентиль, Q2 — как 50-й и Q3 — как 75-й процентиль. Это приводит к тому, что значение квартиля иногда отличается от значения, рассчитанного с использованием обычного ручного метода расчета.

Возьмем тот же пример, который мы использовали ранее в ручном расчете для расчета первого квартиля (Q1).

Чтобы найти квартили набора данных, нам сначала нужно расположить данные в порядке возрастания следующим образом: 6, 9, 10, 11, 11, 14.

Вы можете использовать функцию КВАРТИЛЬ.ИСКЛ или КВАРТИЛЬ.ВКЛ. найти квартили набора чисел в Excel.

Quartile.Exc

Для QUARTILE.EXC расчетный ранг равен K*(N+1). Чтобы рассчитать положение Q1 (или 25-го процентиля), подставим в эту формулу соответствующие значения.

Местоположение 1-го квартиля (с использованием эксклюзивного подхода) = (25/100) * (6+1) = 1,75

Поскольку положение процентиля не является целым числом, 1-й квартиль будет между 1-м элементом (номер 6) и 2-м элементом (номер 9) на пропорциональной основе. Получится (6 + (9-6)*0,75) = 8,25.

Использование Minitab: Если вы используете Minitab для расчета Q1, это значение (8,25), которое вы получите в описательной статистике. Minitab использует метод EXC для расчета процентилей и квартилей.

Квартиль.Вкл

Для КВАРТИЛЬ.

Источник

Все, рассмотренные в этом разделе инструменты вычисляют значения квантилей как значения функций, обратных соответствующим функциям распределения. Все эти функции – библиотечные функции Excel из группы функций «Статистические»,.

Функция вычисления критических точек распределения Лапласа

Функция возвращает (вычисляет) значения квантили уровня, равного значению, введенному в поле «Вероятность» (понятно, что это число из промежутка (0б 1)) стандартного нормального распределения.

Функция вычисления критических точек распределения Стьюдента

Функция возвращает (вычисляет) значения квантили уровня, равного значению, введенному в поле «Вероятность» (понятно, что это число из промежутка (0б 1)) распределения Стьюдента с числом степеней свободы, равным значению, введенному в поле «Степени свободы» (понятно, что это натуральное число).

Важно знать, что функция Excel СТЬЮДРАСПОБР( p , k ) возвращает значение t , при котором P (| x | > t ) = p , x — значение случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с k степенями свободы.

Поэтому решение уравнения в Excel возвращает функция СТЬЮДРАСПОБР( a , n – 1).

Функция вычисления критических точек распределения

Функция возвращает (вычисляет) значения квантили уровня, равного значению, введенному в поле «Вероятность» (понятно, что это число из промежутка (0б 1)) распределения с числом степеней свободы, равным значению, введенному в поле «Степени свободы» (понятно, что это натуральное число).

В Excel функция распределения случайной величины определена нестандартно: F x ( x ) = P ( x > x ). Поэтому для вычисления квантиля вводим в качестве аргумента функции ХИ2ОБР значение вероятности, равное , а для вычисления – .

Функция КВАРТИЛЬ

Возвращает квартиль множества данных. Квартиль часто используются при анализе продаж для разбиения генеральной совокупности на группы. Например, можно воспользоваться функцией КВАРТИЛЬ, чтобы найти среди всех предприятий 25 процентов наиболее доходных.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.

Дополнительные сведения о новых функциях см. в разделах Функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ и Функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ.

Синтаксис

Аргументы функции КВАРТИЛЬ описаны ниже.

Массив Обязательный. Массив или диапазон ячеек с числовыми значениями, для которых определяется значение квартиля.

Часть Обязательный. Значение, которое требуется вернуть.

Источник

Квартиль — одна из статистик, используемая при описании выборок (подробнее о различных статистиках см. Определение среднего значения, вариации и формы распределения. Описательные статистики). В то время как медиана разделяет упорядоченный массив пополам, квартили разбивают набор данных на четыре части. Первый квартиль – это число, разделяющее выборку на две части: 25% элементов меньше, а 75% — больше значения первого квартиля. Третий квартиль — это число, разделяющее выборку также на две части: 75% элементов меньше, а 25% — больше третьего квартиля.

Рис. 1. 5-числовые сводки: М – медиана, Н1 и Н2 – сгибы (они же квартили)

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel (файл содержит код VBA).

Для расчета квартилей в Excel2007 и более ранних версиях использовалась функция КВАРТИЛЬ. Начиная с версии Excel2010 применяются две функции: КВАРТИЛЬ.ВКЛ и КВАРТИЛЬ.ИСКЛ (функция КВАРТИЛЬ оставлена для совмещения с более ранними версиями Excel; эта функция возвращает те же значения, что и КВАРТИЛЬ.ВКЛ). Эти две функции возвращают различные значения, но я нигде не нашел, какой алгоритм они используют при расчетах. Замечу, что для корректной работы функций данные можно не упорядочивать.

Изучение литературы показало, что в отличие от большинства других статистик, единодушия в методике расчета квартилей нет)) Я нашел упоминание о девяти различных подходах…

Начнем с метода Джона Тьюки, описанного им в, уже ставшем классическом, труде Анализ результатов наблюдений. Разведочный анализ, изданном в 1977 г. Он начинает с введения трех сводок, характеризующих выборку: минимальное, максимальное значения и медиана. Далее он продолжает: «Если мы хотим добавить еще два числа, чтобы образовать 5-числовую сводку, то естественно определять их подсчетом до половины расстояния от каждого из концов к медиане. Процесс нахождения медианы, а затем и этих новых значений можно представить себе, как складывание листа бумаги. Поэтому эти новые значения естественно назвать сгибами» (англ. – hinge; рис. 1). Мы их называем квартилями.

Такие рисунки выглядят очень аккуратно, если число элементов выборки N = 4k + 1, например, 9, 13, 17… Но как быть, если в выборке 12 или 19 элементов? Наглядную картину представил Jon Peltier в серии заметок в своем блоге. Упорядочим элементы случайной выборки и разместим их над линейкой (рис. 2; случайная выборка, элементы которой упорядочены называется вариационным рядом). Серые числа под линейкой – индекс ряда (Джон зачем-то в качестве выборки – над линейкой – взял ряд целых чисел; наверное, чтобы запутать нас). Красное число над рядом – значение сводки; если оно дробное, значит полученное значение является интерполяцией между соседними значениями. Мы определяем медиану, как среднее значение набора данных, а первую квартиль – как медиану нижней половины данных.

Рис. 2. Инклюзивные квартили

Когда Джон Тьюки впервые предложил такой подход, он решил, что медиана (если число элементов в выборке нечетное) должна быть включена как в нижнюю (левую на рисунке), так и в верхнюю половинку данных при определении медиан этих половинок, то есть сгибов. Поэтому такой подход и называется инклюзивным (с включением).

Эксклюзивный подход. Некоторым статистикам не нравится, что медиана учитывается дважды. Они решили, что сгибы должны быть определены как медианы верхней и нижней половин набора данных, из которых срединное значение исключено (рис. 3). Такой взгляд отстаивали Moore и McCabe, или кратко M&M. Если набор данных содержит четное количество значений, инклюзивные и эксклюзивные квартили равны, так как нет элемента выборки (соответствующего центральной медиане), который можно было бы включить или исключить из рассмотрения. Для нечетного числа элементов, инклюзивные сгибы всегда ближе к медиане.

Рис. 3. Эксклюзивные квартили

Третий подход – компромисс между Тьюки и М&M – называется Эмпирическая функции распределения или Интегральная функция распределения (английская аббревиатура CDF). В случае нечетного числа значений в наборе данных, следует включить или исключить медиану, ориентируясь на то, чтобы оставшиеся половинки содержали нечетное число элементов. Например, если в выборке 9 элементов, медиану следует включить, а при 11 элементах – исключить. В обоих случаях половинки будут содержать по 5 элементов. Преимущество этого компромисса заключается в том, что в качестве значения квартиля всегда получается один из элементов набора данных (а не среднее значение двух соседних элементов). CDF является методом по умолчанию в статистическом пакете SAS.

Все возможные случаи N. Мы не всегда можем изобразить данные в W-образной форме, как на рис. 1, поэтому удобнее пользоваться линейкой. В общем случае возможны четыре варианта по числу элементов в выборке: N = 4k, N = 4k + 1, N = 4k + 2, N = 4k + 3… и три подхода к расчету квартилей: Тьюки, M&M, CDF (рис. 4–7).

Рис. 4. Число элементов в выборке N = 4k; все три метода дают одинаковые значения квартилей

Рис. 5. Число элементов в выборке N = 4k + 1; M&M дает значения, отстоящие дальше от медианы

Рис. 6. Число элементов в выборке N = 4k + 2; все три метода дают одинаковые значения квартилей

Рис. 7. Число элементов в выборке N = 4k + 3

Методы интерполяции. Помимо трех описанных выше методов, применяют и целый ряд индексных алгоритмов. Мы рассмотрим три из них. Первый индекс во всех методах равен 0, а последний – N–1, N, N + 1. Например, для N=8 индексированные ряды представлены на рис. 8.

Рис. 8. Индексные ряды на основе N–1, N и N + 1 для N = 8

Положение перцентиля р – доля длины индексной линии, или р(N–1), рN, р(N+1), соответственно. р = 0,25 соответствует первому квартилю, а р = 0,75 – третьему. Ниже наглядно представлен расчет квартилей при различном числе элементов в выборке и трех методах интерполяции на основе N–1, N и N + 1 (рис. 9, 11–13). Обратите внимание, что рассчитанные числа (по формулам справа от линеек) являются не значениями квартилей, а значениями индексов квартилей. Над линейками показано значение квартилей для ряда значений {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Рис. 9. Число элементов в выборке N = 4k

Если, например, наша выборка {2, 3, 5, 8, 11, 12, 14, 17}, то расчет квартилей на основе N–1-метода даст индексы 1,75, 3,5 и 5,25, и значения квартилей 4,5, 9,5 и 12,5 (рис. 10).

Рис. 10. От индексов к значениям квартилей для N–1-метода и N = 4k

Рис. 11. Число элементов в выборке N = 4k + 1

Рис. 12. Число элементов в выборке N = 4k + 2

Рис. 13. Число элементов в выборке N = 4k + 3

Какой алгоритм считать стандартным для вычисления квартилей?

В 1996 году Роб Дж. Хиндман и Янан Фан опубликовали статью в American Statistician под названием Квантили выборок в статистических пакетах. В ней они рассматривали различные алгоритмы расчета квантилей (квартили – это частный случай квантилей). Их целью было указать методологию, которая могла бы стать стандартом для поставщиков статистического программного обеспечения, чтобы расчет квартилей не зависел от типа пакета. В статье они описали девять методов для расчета квантилей. Таблица показывает некоторые статистические пакеты и используемые в них алгоритмы (рис. 14; таблица, этот раздел заметки и код VBA ниже базируются на тексте с сайта Bacon Bits). Обратите внимание, что R и Maple применяют весь спектр алгоритмов.

Рис. 14. Алгоритмы, используемые в статистических пакетах

Кстати, Хиндман и Фан в завершении своей статьи рекомендовали метод 8 в качестве стандарта для статистических пакетов. По их мнению, этот метод оценки квантиля не зависит от распределения, что делает его наиболее приемлемым для расчета.

Расчет квартилей в Excel

Функция Excel КВАРТИЛЬ.ИСКЛ использует следующую формулу для расчета квартилей:

где Qp – p-й квантиль: p = 0 – для минимального значения, 0,25 – для первого квартиля, 0,5 – для медианы, 0,75 – для третьего квартиля, 1 – для максимального значения;

x – индекс квантиля (может быть дробным); x = (n+1)p, где n – число элементов в выборке; обратите внимание на (n+1), поэтому метод и называется N+1-интерполяция;

i – индекс элемента в упорядоченной выборке; самое большое целое всё еще меньшее, чем x;

A1, A2, …, Ai, Ai+1, …, An – элементы случайной выборки, упорядоченной по возрастанию.

Формула для КВАРТИЛЬ.ВКЛ отличается только методом расчета х: x = (n-1)p+1; обратите внимание на (n–1), поэтому метод называется N–1-интерполяция. Подробнее с работой формул можно ознакомиться в приложенном Excel-файле на листе Формулы.

Расчет квартилей в R и SAS

Функция quantile в R использует все девять алгоритмов расчета квантилей, в соответствии с нумерацией, предложенной Hyndman and Fan в работе 1996 г. (рис. 15; если вы не знакомы с R, рекомендую начать с Алексей Шипунов. Наглядная статистика. Используем R!). Квантиль при i-м методе расчета:

где i – номер метода, 1 ≤ i ≤ 9, (j–m)/n ≤ p < (j–m+1)/n, хj – j-ый порядковый элемент упорядоченного ряда, n – размер выборки, γ является функцией двух параметров: j = floor(np + m) и g = np + m – j, где floor – функция возвращающая наибольшее целое, но всё еще меньшее, чем аргумент функции (аналог в Excel – ОКРВНИЗ.МАТ), m – константа, определяемая типом алгоритма расчета квантиля. Если вас интересуют подробности, обратитесь к справочной системе R.

SAS предлгает 5 методов расчета квантилей. И вновь за подробностями я отсылаю вас к справочной системе.

Рис. 15. Расчет квартилей в R девятью способами

Расчет квартилей в Excel любым методом с помощью VBA

Ниже представлен код пользовательской функции, которая позволяет воспроизвести любой из шести методов, перечисленных в таблице на рис. 14. Даже если у вас Excel 2007, и вам недоступна функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ, вы сможете рассчитать квартиль шестым методом с помощью этой функции.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

Function Quantile(MyRange As Range, p As Double, Optional m As Variant)

‘Mike Alexander: www.datapigtechnologies.com

‘Based on Code originally posted by Jerry W. Lewis (former Excel MVP)

‘*********************************************************************

‘This function will replicate various quantile calcuations found

‘in statistical software packages.

‘Calculation is determined by the Hyndman—Fan method used.

‘Hyndman-Fan Method 4 Replicates:

‘SAS(PCTLDEF=1), R(type=4), Maple(method=3)

‘Hyndman-Fan Method 5 Replicates: R(type=5), Maple(method=4)

‘Hyndman—Fan Method 6 Replicates: Excel(QUARTILE.EXC), SAS(PCTLDEF=4),

‘R(type=6), Minitab, SPSS, BMDP, JMP, Maple(method=5)

‘Hyndman—Fan Method 7 Replicates: Excel (QUARTILE and QUARTILE.INC),

‘R(type=7), S-Plus, Maxima, Maple(method=6)

‘Hyndman—Fan Method 8 Replicates: R(type=8), Maple(method=7)

‘Hyndman-Fan Method 9 Replicates: R(type=9), Maple(method=8)

‘**********************************************************************

‘Call function from Excel Spreadhseet by entering

‘=Quantile(Range, p, m)

‘Enter p as the fraction of the population

‘(.25 for quartile 1, .75 for quartile 3, etc....)

‘Enter m as the Hyndman-Fan Quantile method number (4, 5, 6, 7, 8 or 9)

‘If m is left blank, the function will use method 6 by default

‘**********************************************************************

Dim n As Long

Dim i As Long

Dim QDef As Double

Dim x As Double

‘Identify method and set the interpolation basis used

Select Case m

    Case Is = 4

        QDef = 0

    Case Is = 5

        QDef = 0.5

    Case Is = 6

        QDef = p

    Case Is = 7

        QDef = 1 — p

    Case Is = 8

        QDef = (p + 1) / 3

    Case Is = 9

        QDef = (p + 1.5) / 4

    Case Else ‘Use Hyndman-Fan 6 by default

        QDef = p

End Select

‘Count values within MyRange and calculate the required position index

n = WorksheetFunction.Count(MyRange)

x = n * p + QDef

i = WorksheetFunction.Max(WorksheetFunction.Min(Fix(x), n), 1)

‘Perform interpolation and return answer

If (x — i) >= 0 And i < n Then

    Quantile = (1 — (x — i)) * WorksheetFunction.Small(MyRange, i) + _

    (x — i) * WorksheetFunction.Small(MyRange, i + 1)

Else

    Quantile = WorksheetFunction.Small(MyRange, i)

End If

End Function

После того, как вставите код в стандартный модуль книги, вы сможете использовать функцию (рис. 16): =Quantile(MyRange; P; M), где MyRange – диапазон, включающий выборку (можно оставить его неупорядоченным); Р – статистика: 0 – минимум, 0,25 – 1-й квартиль, 0,5 – медиана, 0,75 – 3-й квартиль, 1 – максимум; возможно введение иных значений в диапазоне от 0 до 1; М – номер метода из таблицы на рис. 14.

Рис. 16. Синтаксис пользовательской функции Quantile

В таблице (рис. 17) приведен расчет квартилей по всем методам. Обратите внимание, как метод 8 (который Хиндман и Фан рекомендуют в качестве стандарта) вычисляет квартили, которые ложатся между значениями, вычисляемыми по методам 6 и 7. Действительно, метод 8 дает наиболее сбалансированный набор квартилей.

Рис. 17. Значения квартилей, вычисленные различными методами

Сравнение алгоритмов вычисления квартилей

Стандартом де-факто вычисления квартилей в статистических пакетах и Excel является метод 6 на основе N+1-интерполяции. Если вы хотите, чтобы ваши данные были одинаковыми при использовании различных инструментов, используйте именно этот метод. В Excel он лежит в основе работы функции КВАРТИЛЬ.ИСКЛ. К сожалению, этот метод приводит к увеличению межквартильного интервала. Для нашего примера (рис. 17) с 13,0 до 15,5. Если сравнить все пять методов расчета (рис. 18), то видно, что минимальный межквартильный интервал соответствует методу 7, а максимальный – методу 6. На что это влияет мы рассмотрим в заметке Визуализация статистических данных с помощью диаграммы ящик с усами. Если же вы используете только Excel рекомендую метод 7 на основе N–1-интерполяции. Это позволит вам оперировать с самым узким межквартильным интервалом.

Рис. 18. Влияние алгоритма расчета квартилей на межквартильный интервал; цифры от 5 до 9 – номера методов

Источник

Функция КВАРТИЛЬ в Excel используется для расчета квартиля диапазона числовых данных и возвращает соответствующее числовое значение.

Функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ вычисляет на основе указанной процентили в качестве второго аргумента функции. Полностью соответствует первой функции. Последняя используется в Excel 2007 и более ранних версиях и оставлена для совместимости.

Функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ используется для расчета квартили диапазона числовых значений на основе известной процентили, за исключением граничных значений (минимального и максимального значения в диапазоне).

Квартили используются для распределения диапазона чисел на четыре равные части:

  1. Первый квартиль является числом из диапазона исследуемых значений, которое делит данный диапазон на две части так, что около 25% данного диапазона являются числами, которые меньше первого квартиля, а остальные (75%) – больше. Рассматриваемые функции могут возвращать результат интерполяции двух соседних значений из диапазона.
  2. Второй квартиль эквивалентен медиане выборки (исследуемого числового диапазона), то есть числовому значению, которое делит диапазон на две части: 50% чисел меньше медианы, остальные 50% чисел больше медианы. Так, запись =КВАРТИЛЬ.ВКЛ(A1:A10;2) возвращает значение, эквивалентное результату вычисления функции =МЕДИАНА(A1:A10), при условии, что ячейки из диапазона A1:A10 содержат числовые значения.
  3. Третий квартиль – числовое значение, делящее диапазон на две части, в первой из которой содержатся 75% чисел диапазона, которые меньше полученного значения, а во второй (25%) – больше.

Функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ может быть использована не только для определения медианы выборки (второго квартиля), а и нахождения минимального и максимального значений соответственно. При работе с большими диапазонами чисел для подобных расчетов рекомендуется использовать функции МИН и МАКС соответственно.

Существует несколько алгоритмов расчета квартилей. Все рассмотренные функции используют следующую формулу:

Qp=(1-(x-i)∙Ai+(x-i)∙A(i+1), где:

  • Qp – p-й квантиль (является частным случаем квантиля);
  • x – индекс квантиля;
  • i – индекс элемента из выборки;
  • A1,A2…Ai – элементы выборки, отсортированной по возрастанию значений.

Для расчета индекса квантиля (x) функция КВАРТИЛЬ.ВКЛ используют формулу:

x=(n-1)p, где n – количество элементов в диапазоне.

Функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ использует формулу x=(n+1)p.

В Excel принято так, что первые выше указанные 2 функции используют метод N-1-интерполяцию, а третья функция – N+1-интерполяцию.



Примеры использования функций КВАРТИЛЬ в Excel

Пример 1. В столбце таблицы содержится числовая последовательность. Определить число, которое делит последовательность на 2 части, 25% первой – числа меньше полученного значения, а 75% — больше. Использовать N+1-интерполяцию.

Вид таблицы данных:

Пример 1.

Для определения 1-го квартиля используем функцию:

КВАРТИЛЬ.ИСКЛ.

Описание аргументов:

  • A2:A15 – диапазон ячеек с исследуемыми числами;
  • 1 – номер вычисляемого квартиля.

Полученный результат:

определения 1-го квартиля.

Проверим утверждение о том, что второй квартиль соответствует медиане выборке. Определим 2-й по формуле:

2-й квартиль.

Вычислим медиану:

=МЕДИАНА(A2:A15)

Полученные значения совпадают:

МЕДИАНА.

В результате расчетов мы получили первый, второй квартили и медиану для исходного диапазона чисел.

Статистический анализ роста доли дохода в Excel за период

Пример 2. В таблице приведены данные о доходах предпринимателя за год. Доказать, что примерно 75% значений меньше, чем третий квартиль доходов.

Вид исходной таблицы:

Пример 2.

Определим 3-й по формуле:

КВАРТИЛЬ.ВКЛ.
Определим 3-й квартиль.

Определим соотношение чисел, меньше полученного числа, к общему количеству значений по формуле:

=СЧЁТЕСЛИ(B2:B13;»<«&B15)/СЧЁТ(B2:B13)

Полученные результаты:

СЧЁТЕСЛИ.

Анализ статистики случайно сгенерированных чисел в Excel

Пример 3. Имеется диапазон случайных чисел, отсортированный в порядке возрастания. Определить соотношение суммы чисел, которые меньше 1-го квартиля, к сумме чисел, которые превышают значение 1-го квартиля.

Чтобы сгенерировать случайное число в Excel воспользуемся функцией:

=СЛУЧМЕЖДУ(0;1000)

После генерации отсортируем случайно сгенерированные числа по возрастанию. Вид исходной таблицы данных со случайными числами:

Пример 3.

Формула для расчета имеет следующий вид (формула массива CTRL+SHIFT+ENTER):

Функции СУММ с вложенными функциями ЕСЛИ выполняют расчет суммы только тех чисел, которые меньше и больше соответственно значения, возвращаемого функцией для исследуемого диапазона. Из полученных значений вычисляется частное. Результат расчетов:

Анализ статистики.

Общая сумма чисел исследуемого диапазона, которые меньше 1-го квартиля, составляет всего 8,57% от общей суммы чисел, которые больше 1-го квартиля.

Особенности использования функций расчета квартиля в Excel

Все рассматриваемые функции имеют одни и те же аргументы:

=КВАРТИЛЬ(массив;часть)

Описание аргументов:

  • массив – обязательный аргумент, принимающий константу массива или ссылку на диапазон ячеек с числовыми значениями, для которых будет рассчитан требуемый квартиль;
  • часть – обязательный аргумент, принимающий числовые значения, указывающие номер возвращаемого квартиля. В зависимости от используемой функции, может принимать числа из диапазонов:
  1. От 0 до 4 (КВАРТИЛЬ.ВКЛ), при этом числа 0 и 1 характеризуют минимальное и максимальное значения из исследуемого диапазона соответственно. Число 1 соответствует 1-й квартили, 2 – медиане, 3 – 3-й квартили.
  2. От 1 до 3 (функция КВАРТИЛЬ.ИСКЛ), соответствующие 1-й, 2-й и 3-й квартилям.

Примечания:

  1. Все рассматриваемые функции не учитывают имена и текстовые строки, которые не могут быть преобразованы к числам, логические значения и пустые ячейки. Ячейки, содержащие значение 0 (нуль), в расчет включаются.
  2. Если в качестве первого аргумента функций передан пустой массив или ссылка на диапазон пустых значений, все функции вернут код ошибки #ЧИСЛО!.
  3. Если в качестве второго аргумента функций было передано нецелое число из диапазона допустимых значений, дробная часть будет усечена.
  4. Если второй аргумент задан числом, взятым из вне диапазона допустимых значений, в результате вычислений будет возвращен код ошибки #ЧИСЛО!.
Источник

В статье подробно показано, что такое нормальный закон распределения случайной величины и как им пользоваться при решении практически задач.

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График плотности нормального распределения

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

Различные вероятности у нормально распределенных данных

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Функция Гаусса

Формула состоит из двух математических констант:

π – число пи 3,142;

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

σ2 – дисперсия;

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ2). Кратко обозначается N(m, σ2) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

Влияние матожидания на нормальное распределение

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Влияние сигмы на нормальное распределение

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:

Функция нормального распределения
Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как

P(a ≤ X < b) = Ф(b) – Ф(a)

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение зависит от параметров средней и дисперсии, из-за чего плохо видны его свойства. Хорошо бы иметь некоторый эталон распределения, не зависящий от масштаба данных. И он существует. Называется стандартным нормальным распределением. На самом деле это обычное нормальное нормальное распределение, только с параметрами математического ожидания 0, а дисперсией – 1, кратко записывается N(0, 1).

Любое нормальное распределение легко превращается в стандартное путем нормирования:

Нормирование

где z – новая переменная, которая используется вместо x;
m – математическое ожидание;
σ – стандартное отклонение.

Для выборочных данных берутся оценки:

Нормирование по оценкам параметров

Среднее арифметическое и дисперсия новой переменной z теперь также равны 0 и 1 соответственно. В этом легко убедиться с помощью элементарных алгебраических преобразований.

В литературе встречается название z-оценка. Это оно самое – нормированные данные. Z-оценку можно напрямую сравнивать с теоретическими вероятностями, т.к. ее масштаб совпадает с эталоном.

Посмотрим теперь, как выглядит плотность стандартного нормального распределения (для z-оценок). Напомню, что функция Гаусса имеет вид:

Функция Гаусса

Подставим вместо (x-m)/σ букву z, а вместо σ – единицу, получим функцию плотности стандартного нормального распределения:

Плотность стандартного нормального распределения

График плотности:

График плотности стандартного нормального распределения

Центр, как и ожидалось, находится в точке 0. В этой же точке функция Гаусса достигает своего максимума, что соответствует принятию случайной величиной своего среднего значения (т.е. x-m=0). Плотность в этой точке равна 0,3989, что можно посчитать даже в уме, т.к. e0=1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.

Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже. Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения. Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные. Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.

Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.

Функция стандартного нормального распределения

Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.

Таблица нормального распределения

Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:

— таблица плотности;

— таблица функции (интеграла от плотности).

Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1, т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы. 

Таблица плотности стандартного нормального распределения

В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец 0, т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен). 

Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z), т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1, что отчетливо видно на рисунке.

График функции Гаусса

Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.

На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z.

В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения.

Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:

Свойство 1

Это факт показан на картинке:

Свойство нормального распределения 1

Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z). Получится равенство, указанное чуть выше.

Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z), то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:

Свойство 2

Для наглядности можно взглянуть на рисунок.

Свойство нормального распределения 2

На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z.

Свойство нормального распределения 2 на кривой Гаусса

Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:

Свойство 3

Рисунок ниже.

Свойство нормального распределения 3

Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.

Свойство нормального распределения 3 на кривой Гаусса

Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу.

Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:

Функция стандартного нормального распределения

Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.

Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z: 1,64, 1,96 и 3.

Таблица функции Лапласа

Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64, для которого табличное значение составляет 0,4495. Проще всего пояснить смысл на рисунке.

Значение функции Лапласа для z=1,64 в правую сторону

То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от 0 до 1,64, равна 0,4495. При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.

Значение функции Лапласа для z=1,64 под кривой Гаусса

Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64, т.к. окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для проверки статистических гипотез и расчета доверительных интервалов. Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).

Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).

Значение функции Лапласа для z=1,96 в правую сторону

Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.

Значение функции Лапласа для z=1,96 под кривой Гаусса

Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3, оно равно по нашей таблице 0,4986. Умножим на 2 и получим 0,997. Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.

Значение функции Лапласа для z=3 под кривой Гаусса

Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.

С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.

В Excel есть несколько функций для подсчета вероятностей или обратных значений нормального распределения.

Функции нормального распределения в Excel

Функция НОРМ.СТ.РАСП

Функция НОРМ.СТ.РАСП предназначена для расчета плотности ϕ(z) или вероятности Φ(z) по нормированным данным (z).

=НОРМ.СТ.РАСП(z;интегральная)

z – значение стандартизованной переменной

интегральная – если 0, то рассчитывается плотность ϕ(z), если 1 – значение функции Ф(z), т.е. вероятность P(Z<z).

Рассчитаем плотность и значение функции для различных z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (их укажем в ячейке А2).

Для расчета плотности потребуется формула =НОРМ.СТ.РАСП(A2;0). На диаграмме ниже – это красная точка.

Для расчета значения функции =НОРМ.СТ.РАСП(A2;1). На диаграмме – закрашенная площадь под нормальной кривой.

Расчет плотности и функции нормального распределения в Excel

В реальности чаще приходится рассчитывать вероятность того, что случайная величина не выйдет за некоторые пределы от средней (в среднеквадратичных отклонениях, соответствующих переменной z), т.е. P(|Z|<z).

Вероятность отклонения при заданном z

Определим, чему равна вероятность попадания случайной величины в пределы ±1z, ±2z и ±3z от нуля. Потребуется формула 2Ф(z)-1, в Excel =2*НОРМ.СТ.РАСП(A2;1)-1.

Расчет вероятности отклонения от средней

На диаграмме отлично видны основные основные свойства нормального распределения, включая правило трех сигм. Функция НОРМ.СТ.РАСП – это автоматическая таблица значений функции нормального распределения в Excel.

Может стоять и обратная задача: по имеющейся вероятности P(Z<z) найти стандартизованную величину z ,то есть квантиль стандартного нормального распределения.

Функция НОРМ.СТ.ОБР

НОРМ.СТ.ОБР рассчитывает обратное значение функции стандартного нормального распределения. Синтаксис состоит из одного параметра:

=НОРМ.СТ.ОБР(вероятность)

вероятность – это вероятность.

Данная формула используется так же часто, как и предыдущая, ведь по тем же таблицам искать приходится не только вероятности, но и квантили.

Обратная функция стандартного нормального распределения

Например, при расчете доверительных интервалов задается доверительная вероятность, по которой нужно рассчитать величину z.

Расчет предельного отклонения при нормальном распределении

Учитывая то, что доверительный интервал состоит из верхней и нижней границы и то, что нормальное распределение симметрично относительно нуля, достаточно получить верхнюю границу (положительное отклонение). Нижняя граница берется с отрицательным знаком. Обозначим доверительную вероятность как γ (гамма), тогда верхняя граница доверительного интервала рассчитывается по следующей формуле.

Формула расчета предельного отклонения с помощью обратной функции нормального стандартного распределения

Рассчитаем в Excel значения z (что соответствует отклонению от средней в сигмах) для нескольких вероятностей, включая те, которые наизусть знает любой статистик: 90%, 95% и 99%. В ячейке B2 укажем формулу: =НОРМ.СТ.ОБР((1+A2)/2). Меняя значение переменной (вероятности в ячейке А2) получим различные границы интервалов.

Расчет предельного отклонения при заданной вероятности

Доверительный интервал для 95% равен 1,96, то есть почти 2 среднеквадратичных отклонения. Отсюда легко даже в уме оценить возможный разброс нормальной случайной величины. В общем, доверительным вероятностям 90%, 95% и 99% соответствуют доверительные интервалы ±1,64, ±1,96 и ±2,58 σ.

В целом функции НОРМ.СТ.РАСП и НОРМ.СТ.ОБР позволяют произвести любой расчет, связанный с нормальным распределением. Но, чтобы облегчить и уменьшить количество действий, в Excel есть несколько других функций. Например, для расчета доверительных интервалов средней можно использовать ДОВЕРИТ.НОРМ. Для проверки статистической гипотезы о средней арифметической есть формула Z.ТЕСТ. 

Рассмотрим еще пару полезных формул с примерами.

Функция НОРМ.РАСП

Функция НОРМ.РАСП отличается от НОРМ.СТ.РАСП лишь тем, что ее используют для обработки данных любого масштаба, а не только нормированных. Параметры нормального распределения указываются в синтаксисе.

=НОРМ.РАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)

x – значение (или ссылка на ячейку), для которого рассчитывается плотность или значение функции нормального распределения

среднее – математическое ожидание, используемое в качестве первого параметра модели нормального распределения

стандартное_откл – среднеквадратичное отклонение – второй параметр модели

интегральная – если 0, то рассчитывается плотность, если 1 – то значение функции, т.е. P(X<x).

Например, плотность для значения 15, которое извлекли из нормальной выборки с матожиданием 10, стандартным отклонением 3, рассчитывается так:

Расчет плотности для нормальных данных

Если последний параметр поставить 1, то получим вероятность того, что нормальная случайная величина окажется меньше 15 при заданных параметрах распределения. Таким образом, вероятности можно рассчитывать напрямую по исходным данным.

Функция НОРМ.ОБР

Это квантиль нормального распределения, т.е. значение обратной функции. Синтаксис следующий.

=НОРМ.ОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл)

вероятность – вероятность

среднее – матожидание

стандартное_откл – среднеквадратичное отклонение

Назначение то же, что и у НОРМ.СТ.ОБР, только функция работает с данными любого масштаба.

Пример показан в ролике в конце статьи.

Моделирование нормального распределения

Для некоторых задач требуется генерация нормальных случайных чисел. Готовой функции для этого нет. Однако В Excel есть две функции, которые возвращают случайные числа: СЛУЧМЕЖДУ и СЛЧИС. Первая выдает случайные равномерно распределенные целые числа в указанных пределах. Вторая функция генерирует равномерно распределенные случайные числа между 0 и 1. Чтобы сделать искусственную выборку с любым заданным распределением, нужна функция СЛЧИС. 

Допустим, для проведения эксперимента необходимо получить выборку из нормально распределенной генеральной совокупности с матожиданием 10 и стандартным отклонением 3. Для одного случайного значения напишем формулу в Excel.

=НОРМ.ОБР(СЛЧИС();10;3)

Протянем ее на необходимое количество ячеек и нормальная выборка готова.

Для моделирования стандартизованных данных следует воспользоваться НОРМ.СТ.ОБР.

Процесс преобразования равномерных чисел в нормальные можно показать на следующей диаграмме. От равномерных вероятностей, которые генерируются формулой СЛЧИС, проведены горизонтальные линии до графика функции нормального распределения. Затем от точек пересечения вероятностей с графиком опущены проекции на горизонтальную ось.

Преобразование равномерной случайной величины в нормальную

На выходе получаются значения с характерной концентрацией около центра. Вот так обратный прогон через функцию нормального распределения превращает равномерные числа в нормальные. Excel позволяет за несколько секунд воспроизвести любое количество выборок любого размера.

Как обычно, прилагаю ролик, где все вышеописанное показывается в действии.

Скачать файл с примером.

Поделиться в социальных сетях:

Источник

В нашей повседневной учебе или работе вам может потребоваться вычислить конкретное число на основе некоторых критериев. Например, с набором доходов и задачей найти число, при котором 30 процентов введенных доходов меньше, чем показано на скриншоте. В этом случае нам нужно применить формулы ПРОЦЕНТИЛЬ и КВАРТИЛЬ в Excel.
doc процентиль квартиль 1

Процентильная функция

Квартильная функция

стрелка синий правый пузырь Процентильная функция

Вы можете сделать следующее, чтобы применить функцию ПРОЦЕНТИЛЬ.

Выберите пустую ячейку, введите эту формулу = ПРОЦЕНТИЛЬ (A1: A10,0.3; XNUMX), нажмите Enter key, теперь вы можете видеть, что 30 процентов введенных доходов ниже 3700. Смотрите скриншот:
doc процентиль квартиль 2

Примечание:

1. В формуле A1: A10 — это набор доходов, который вы хотите использовать, 0.3 указывает, чтобы найти число, которое на 30 процентов ниже, чем вы, вы можете изменить их по своему усмотрению.

2. Второй аргумент функции ПРОЦЕНТИЛЬ должен быть десятичным числом от 0 до 1.

стрелка синий правый пузырь Квартильная функция

С помощью функции КВАРТИЛЬ вы также можете найти число, превышающее верхние 25 процентов доходов в списке.

Выберите пустую ячейку, введите эту формулу = КВАРТИЛЬ (A1: A10,3), нажмите Enter ключ, теперь вы можете обнаружить, что 75 процентов введенных доходов ниже 6750, что также означает, что 25 процентов введенных доходов выше 6750. См. снимок экрана:
doc процентиль квартиль 3

Ноты:

1. В приведенной выше формуле A1: A10 — это набор доходов, который вы используете, 3 указывает, чтобы найти число, ниже которого 75 процентов доходов. Вы можете изменить их по своему усмотрению.

2. Второй аргумент функции КВАРТИЛЬ должен быть целым числом от 0 до 4.

Наконечник.Если вы хотите быстро рассчитать возраст по датам, попробуйте использовать Kutools for ExcelАвтора Рассчитать возраст по дню рождения как показано на следующем снимке экрана. Полная функция без ограничений в течение 60 дней, пожалуйста, скачайте и получите бесплатную пробную версию сейчас.

док вычислить возраст

Лучшие инструменты для работы в офисе

Kutools for Excel Решит большинство ваших проблем и повысит вашу производительность на 80%

  • Снова использовать: Быстро вставить сложные формулы, диаграммы и все, что вы использовали раньше; Зашифровать ячейки с паролем; Создать список рассылки и отправлять электронные письма …
  • Бар Супер Формулы (легко редактировать несколько строк текста и формул); Макет для чтения (легко читать и редактировать большое количество ячеек); Вставить в отфильтрованный диапазон…
  • Объединить ячейки / строки / столбцы без потери данных; Разделить содержимое ячеек; Объединить повторяющиеся строки / столбцы… Предотвращение дублирования ячеек; Сравнить диапазоны…
  • Выберите Дубликат или Уникальный Ряды; Выбрать пустые строки (все ячейки пустые); Супер находка и нечеткая находка во многих рабочих тетрадях; Случайный выбор …
  • Точная копия Несколько ячеек без изменения ссылки на формулу; Автоматическое создание ссылок на несколько листов; Вставить пули, Флажки и многое другое …
  • Извлечь текст, Добавить текст, Удалить по позиции, Удалить пробел; Создание и печать промежуточных итогов по страницам; Преобразование содержимого ячеек в комментарии…
  • Суперфильтр (сохранять и применять схемы фильтров к другим листам); Расширенная сортировка по месяцам / неделям / дням, периодичности и др .; Специальный фильтр жирным, курсивом …
  • Комбинируйте книги и рабочие листы; Объединить таблицы на основе ключевых столбцов; Разделить данные на несколько листов; Пакетное преобразование xls, xlsx и PDF…
  • Более 300 мощных функций. Поддерживает Office/Excel 2007-2021 и 365. Поддерживает все языки. Простое развертывание на вашем предприятии или в организации. Полнофункциональная 30-дневная бесплатная пробная версия. 60-дневная гарантия возврата денег.

вкладка kte 201905

Вкладка Office: интерфейс с вкладками в Office и упрощение работы

  • Включение редактирования и чтения с вкладками в Word, Excel, PowerPoint, Издатель, доступ, Visio и проект.
  • Открывайте и создавайте несколько документов на новых вкладках одного окна, а не в новых окнах.
  • Повышает вашу продуктивность на 50% и сокращает количество щелчков мышью на сотни каждый день!

офисный дно

Комментарии (0)


Оценок пока нет. Оцените первым!

Источник

Like this post? Please share to your friends:
  • Расчет квадратный уравнений в excel
  • Расчет кредита аннуитетными платежами калькулятор excel
  • Расчет коэффициента корреляции пирсона в excel
  • Расчет квадратного корня excel
  • Расчет коэффициента корреляции в microsoft excel