Проект бросание мячика в площадку в электронных таблицах microsoft excel

Проект «Бросание мячика в стенку» в
электронных таблицах Microsoft Office Excel

Построение траектории движения мячика

Для ввода начальной скорости бросания мячика v₀
будем использовать ячейку B1, а для ввода угла бросания —
ячейку B2.

Введём в ячейки A5:A18 значения времени t
с интервалом в 0,2 c и вычислим по формулам значения координат
тела x и y для заданных значений времени.

В электронных таблицах аргументы функций COS()
и SIN() задаются в радианах, поэтому необходимо преобразовать
значения углов из градусов в радианы с помощью функции РАДИАНЫ().

1. Ввести:
— в ячейку B5 формулу: =$B$1*COS(РАДИАНЫ($B$2))*A5;
— в ячейку C5 формулу: =$B$1*SIN(РАДИАНЫ($B$2))*A5-4,9*A5*
A5;

2. Скопировать введенные
формулы в ячейки B6:B18 и C6:C18
соответственно. Получим в столбце B значения координаты мячика
по оси X, а в столбце C — координаты мячика по оси Y,
вычисленные для определенных моментов времени. T²

Визуализируем модель, построив график зависимости координаты y
от координаты x (траектория движения тела). Для построения движения
мячика используем диаграмму типа График.

3. При построении
графика в качестве категорий использовать диапазон ячеек B5:B18,
а в качестве значений — диапазон ячеек C5:C18.

Компьютерный эксперимент.
Исследуем модель и определим с заданной точностью (например, 0,1°) диапазон
углов бросания, которые обеспечивают попадание мячика в стенку.
В качестве начальных условий бросания v₀ = 18 м/с, высота стенки h =
1 м, расстояние до стенки s = 30 м.

4. Ввести:
— в ячейку B21 — значение расстояния до стенки;
— в ячейку B22 — значение начальной скорости;
— в ячейку B23 — значение угла;
— в ячейку B25 — формулу для вычисления высоты мячика в момент
попадания в стену для заданных начальных условий; =B21*TAN(РАДИАНЫ(B23))-(9,81*B21^2)/(2*B22^2*COS(РАДИАНЫ(B23))^2)

Для заданных начальных условий (скорости бросания и расстояния
до стенки) проведем поиск углов, которые дают попадание в стенку на высотах 0 и
1 м. Используем для этого метод Подбор параметра.

Методом Подбор параметра будем сначала искать
значение угла бросания, которое обеспечит попадание мячика в стенку на
минимальной высоте 0 метров. В данном случае значение функции (высота мячика
при попадании в стенку) хранится в ячейке B25, а значение
аргумента (угла бросания) — в ячейке B23. Значит, необходимо
установить в ячейке B25 значение 0 и методом Подбор
параметра найти соответствующее значение аргумента в ячейке B23.

5. Выделить ячейку B25,
содержащую значение высоты мячика, и ввести команду [Вкладка: Данные
-> Категория: Работа с данными -> Анализ «что-если» ->
Подбор параметра…].

6. В появившемся
диалоговом окне ввести в поле Значение: наименьшую высоту
попадания в стенку (т.е. 0). В поле Изменяя значение ячейки:
ввести адрес ячейки $B$23, содержащей значение угла бросания.
Щелкнуть по кнопке ОК.

В ячейке B23 появится значение 32,6,
т.е. минимальное значение угла бросания мячика, которое обеспечивает попадание
в стеку при заданных начальных условиях.

Методом Подбор параметра найдём теперь угол
бросания, который обеспечит попадание мячика в стенку на максимальной высоте 1
метр.

7. Выделить ячейку B25,
содержащую значение высоты мячика, и ввести команду [Вкладка: Данные
-> Категория: Работа с данными -> Анализ «что-если» ->
Подбор параметра…].

8. В появившемся
диалоговом окне ввести в поле Значение: наибольшую высоту
попадания в стенку (т.е. 1).

9. В поле Изменяя
значение ячейки: ввести адрес ячейки $B$23,
содержащей значения угла бросания.
Щёлкнуть по кнопке ОК.
В ячейке B23 появится значение 36,1, т.е.
максимальное значение угла бросания мячика, которое обеспечивает попадание в
стенку при заданных начальных условиях.

Анализ результатов. Таким
образом, исследование компьютерной модели в электронных таблицах показало, что
существует диапазон значений угла бросания мячика от 32,6° до 36,1°,
при котором обеспечивается попадание в стенку высотой 1 м, находящуюся на
расстоянии 30 м, мячиком, брошенным со скорость 18 м/с.
Если повторить процедуру определения диапазона углов при начальном значении
угла в ячейке B23, равном 55°, то получим
значения предельных углов 55,8° и 57,4°, т.е.
второй диапазон углов.

С учётом точности вычислений в электронных таблицах оба
диапазона углов, обеспечивающие попадание в стенку при заданных начальных
условиях, совпадают с результатами, полученными при исследовании этой
компьютерной модели на языках программирования Visual Basic и Lazarus.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«Средняя общеобразовательная школа № 11»

Проект

на тему «Разработка компьютерной модели

 процесса бросания мячика в площадку»

Ученик 9 «Б» класса

Махортов Игорь Александрович

Руководитель: учитель информатики

Михайлова Галина Сергеевна

г. Воскресенск 2012 год

Содержание

1. Введение………………………………………………………3
2. Основная часть………………………………………………..4

1. Теоретическая часть…………………………….4
2. Модель прототип………………………………..6
3. Коррекция прототипа……………………………9
4. Построение собственной компьютерной

модели…………………………………………………………10

1. Исследование модели и анализ полученных

результатов……………………………………………………12

1. Практическая значимость……………………………………13
2. Выводы………………………………………………………..14
3. Список литературы…………………………………………..15
4. Приложение 1…………………………………………………16
5. Приложение 2…………………………………………………17

1. Введение

На практическом занятии по  информатики при изучении темы «Моделирование» требовалось провести компьютерный эксперимент с  готовой моделью [1], реализованной Microsoft Excel  и визуализирующей траекторию движения мячика, брошенного под углом к горизонту. Проанализировав результаты компьютерного эксперимента, мы должны были дать ответ, при каких значениях угла будет регистрироваться попадание мячиком в площадку, находящуюся на расстоянии 30 – 32 метра, при заданной начальной скорости мячика. Однако из-за плохой считываемости результата эксперимента у всех ребят в классе получились разные значения углов. Какие же значения углов правильные? Чтобы дать ответ на этот вопрос требовалось изменить – скорректировать модель с учетом особенностей построения графиков в Microsoft Excel.

Цель проекта:

Модель, визуализирующая  траекторию движения тела брошенного под углом к горизонту,  построенная  с  учетом особенностей построения графиков в Microsoft Excel, и позволяющая отчетливо считывать результат компьютерного  эксперимента.

Задачи проекта:

1. Скорректировать имеющуюся модель с  учетом  особенностей   построения графиков в Microsoft Excel.
2. Построение  компьютерной  модели в  Microsoft  Excel,  позволяющей отчетливо  считывать  результаты компьютерного эксперимента.

2. Основная часть

2.1. Теоретическая часть

Моделирование представляет собой один из основных методов познания, в котором исследователь (субъект моделирования) взаимодействует с изучаемым объектом (объектом моделирования). [1] В соответствии с поставленной задачей субъект моделирования генерирует цели моделирования и выделяет свойства объекта существенные для целей моделирования, строит модель (информационную или натурную), проверяет ее на соответствие (подобие) объекту моделирования, проводит эксперимент и получает информацию необходимую для решения задачи.

Информация об объекте, необходимая для решения задачи

Задача!

Объект моделирования

Субъект моделирования

Модель

Цель

Взаимодействие

Соответствие

(подобие)

Исследование

Конечным субъектом моделирования всегда является мыслящая система (человек). Объектом моделирования может быть либо предмет, либо явление, либо процесс.[2]

С появлением компьютера  человечество получило возможность использовать компьютер  для исследования информационных моделей различных объектов и систем, позволило изучать их изменения в зависимости от значения тех или иных параметров. Процесс разработки моделей и их исследования на компьютере можно разделить на несколько основных этапов:

1. Описательная информационная модель
2. Формализованная модель
3. Преобразование формализованной модели в компьютерную модель
4. Компьютерный эксперимент
5. Интерпретация и анализ полученных результатов
6. Корректировка исследуемой модели на любом из этапов.[3]

2.2. Модель прототип

Задача:

Выяснить при каких углах мячик попадает в зону 30 – 32 метра от точки броска при заданной начальной скорости мячика.

Цель:

Построение  модели, визуализирующей траекторию движения тела брошенного под углом к горизонту, и ее исследование.

1 этап построение описательной информационной модели: «Визуализация траектории движения  тела, брошенного под углом к горизонту.»

На 2-ом этапе Модель описывается формализованным (в нашем случае математическим) языком: 

На 3 этапе мы осуществили реализацию формализованной модели средствами ИКТ, в нашем случае с помощью электронных таблиц Microsoft Excel. Данная компьютерная модель подробно рассмотрена в Учебнике по Информатике и ИКТ за 9 класс, автор Николай Дмитриевич Угринович.[3]

t – заданное время, x и y  — координаты мячика в заданные моменты времени.

Для проведения вычислений в ячейки В6:В21 были введены с клавиатуры значения времени (в секундах), С2 – значение начальной скорости мячика в (м/с), С3 – значение угла (в градусах).

В ячейку С6 ввели формулу :

=$C$2*B6*COS(РАДИАНЫ($C$3))

Далее формула была скопирована на диапазоне С6:С21

А в ячейку D6 — формулу:

=$C$2*B6*SIN(РАДИАНЫ($3))-(9,8*B6^2/2)

Далее формула была скопирована на диапазоне D6:D21

После оформления области данных с помощью Мастера диаграмм [4] была построена  диаграмма по типу «График» для визуализации траектории движения мячика. (Приложение 1.)

На этапе компьютерного эксперимента у данной модели возникают проблемы со считыванием результатов эксперимента. При изменении угла броска мячика (значения ячейки С3) не возможно  точно зарегистрировать попадание мячиком в площадку. А при углах более 55 градусов требуется увеличение диапазона данных и корректировка диаграммы, так как время полета мячика становится больше 3 секунд (то есть превышает первоначально заданный диапазон).

Очевидно, что необходима коррекция модели.

2.3. Коррекция прототипа.

Корректировка модели была проведена на этапе формализации. Так как требовалось отступить от классического подхода в описании модели процесса, как функции от времени, необходимо было описать модель процесса как функцию от координаты х, учитывая особенности построения диаграмм  в Microsoft Excel.

2.4. Построение собственной компьютерной модели.

При построении компьютерной модели  x – заданные значения координаты по горизонтали, а t  и y – вычисляемые значения времени и  координаты мячика по вертикали.

Для проведения вычислений в ячейки С6:С41 были введены с клавиатуры значения координаты х (в метрах), С2 – значение начальной скорости мячика в (м/с), С3 – значение угла (в градусах).

Далее для проведения вычислений в ячейку В6 ввели формулу:

=C6/$C$2/COS(РАДИАНЫ($C$3))

Далее формула была скопирована на диапазоне В6:В41

А в ячейку D6 — формулу:

=$C$2*B6*SIN(РАДИАНЫ($C$3))-(9,8*B6^2/2)

Далее формула была скопирована на диапазоне D6:D41

С целью визуализировать не только траекторию движения мячика, но и зону, в которую требуется попасть, был введен дополнительный ряд значений у2.

Построение диаграммы также изменилось. (Приложение 2.) Был выбран другой тип диаграммы  — «Точечная». [4] После построения диаграммы  точки х=30, х=31 и х=32 ряда у2. были выделены красным цветом и соответствующей формой маркеров.

Построенная диаграмма позволила считывать результаты компьютерного эксперимента с достаточной точностью.

2.4. Исследование модели и анализ полученных результатов.

При скорости V0=18 м/с зарегистрированы попадания в зону 30 – 32 метра от точки броска при углах:

33° – 38° и  52° – 57°

Результат был получен путем изменения значений ячейки С3 без дополнительных коррекций области данных и диаграммы.

3. Практическая значимость

В дальнейшем наша модель может быть использована на практических занятиях по информатике при изучении темы «Моделирование» в 9 классе и на уроках физики при изучении темы «Движение тел».

Слайды презентации могут быть использованы при изучении темы «Модели и моделирование» на уроках информатики

4. Выводы

Проблемы в считывании результатов компьютерного эксперимента устранены путем коррекции модели на этапе формализованной записи  и построения новой компьютерной модели на этапе преобразования формализованной модели в компьютерную.  Цель достигнута.

5. Список литературы

1. Бешенков С.А., Кузьмина Н.В., Ракитина Е.А. «Информатика. Систематический курс». 10 класс, «БИНОМ», 2001-2003
2.  Босова Л. Л. Информатика: учебник для 7 класса: Бином. Лаборатория знаний, 2006
3. Угринович Н. Д. Семакин И. Г. Босова Л. Л. Информатика и ИКТ: учебник  для 9 класса, Бином. Лаборатория знаний, 2010
4. Справочная система Microsoft Excel

Приложение 1.

Приложение 2.

Урок 39-40, 9 класс

Учитель: Брух Т.В.

Дата:_____________

Тема: «Построение и исследование физических моделей из
курса физики. Проект «Бросание мячика в площадку»»

Цели  урока:

Общеобразовательные:

формирование умения
исследования физических моделей графическим

методом и методом Подбор
параметра;

Ознакомление со способами
представления  моделирования и формализации;

умение описывать окружающую
действительность с помощью

различных информационных
объектов;

Развитие умений строить
информационные модели различных объектов.

Воспитывающие:

Продолжение формирования и
развития информационного видения окружающего мира;

формирование
эмоционально-ценностного отношения к результатам

интеллектуального труда.

Развивающие:

овладение основными
логическими приемами работы с базовыми

понятиями информатики;

овладение навыками
представления объектов окружающей действительности.

Практические:

Умение применять полученные
знания, используя программу Microsoft Excel.

Ход урока:

а) организационный момент

Здравствуйте, ребята.  Садитесь,
пожалуйста.

Тема нашего урока «Построение
и исследование физических моделей».

Сегодня, вы узнаете, как
можно исследовать физические модели двумя методами:  графическим методом и
методом Подбор параметра  с помощью Microsoft Excel.

б) актуализация  знаний

1. Какие бывают модели?
Приведите примеры материальных и информационных моделей.

2. Что такое формализация?
Приведите примеры формальных моделей.

3.  Какие вы можете назвать
примеры моделирования в различных областях деятельности?

4. Может ли объект иметь
несколько моделей? Если да, то приведите примеры.

5. Могут ли разные объекты
описываться одной и той же моделью? Если да, то приведите примеры.

6.  Каковы основные этапы
разработки и исследования моделей на компьютере?

7. Какие программные средства
обычно используются для создания компьютерных моделей?

в) объяснение нового
материала

Построение формальной модели движения тела, брошенного
под углом к горизонту.

Задача: в процессе тренировок теннисистов используются
автоматы по бросанию мячика в определенно место площадки. Необходимо задать
автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в мишень
определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

Качественная описательная модель.

Из условия задачи можно
сформулировать следующие основные  предположения:

-мячик мал по сравнению с Землей,
поэтому его можно считать материальной точкой;

-изменение высоты мячика
мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной
величиной     g = 9,8 м/с , следовательно, движение по оси OУ
можно считать равноускоренным;

-скорость бросания мячика
мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь, следовательно, движение
по оси OХ можно считать равномерным.

Формальная модель

Для формализации модели
обозначим величины:

-начальную скорость мячика – v0;

-угол бросания мячика — α
;

-высоту стенки — h;

-расстояние до стенки —s.

Используем известные из курса
физики формулы  равномерного и равноускоренного движения для определения
координат мячика. Дальность x и высоту y при заданной начальной скорости
v0 и угле бросания α для
любого момента времени t можно вычислить по следующим формулам:

x= v0 *
cos α * t,     y= v0*sin
α * t — g * t2 / 2

Чтобы определить, попадет ли
мячик в стенку, необходимо вычислить его координату у в момент времени, когда
он будет находиться на расстоянии s. Из первой формулы выражаем
время, которое понадобится мячику, чтобы преодолеть расстояние s:                  
t = s / (v0*cos α).

Подставляем это значение
времени t в формулу для вычисления координаты  y. Получаем 
t — высоту мячика над землей на расстоянии s:

                                                   
l = s * tg α-g * s2 / (2* v02*
cos2 α).

Формализуем теперь условие
попадания мячика в мишень. Попадание произойдет, если значение высоты мячика  l будет
удовлетворять условию в форме неравенства: 0     l    h.Если  
l < 0, то это обозначает «недолет». А если  l
> h , то это означает «перелет».

1.Для ввода начальной
скорости будем использовать ячейку В1, а для ввода угла – ячейку В2.

2. Введем в ячейки А5:А18
значения времени с интервалом 0,2 с. 3. В ячейки В5 и С5 введем формулы:

=$B$1*COS(РАДИАНЫ($B$2))*A5

=$B$1*SIN(РАДИАНЫ($B$2))*A5-4,9*A5*A5

4. Скопируем формулы в ячейки
В6:В18 и С6:С18 соответственно.

Визуализируем модель,
построив график зависимости

координаты у от координаты х
(траекторию движения тела).

5. Построить диаграмму типа
График, в которой используется в качестве категории диапазон ячеек С5:С18.

Исследуем модель и определим
с заданной точностью 0,10 диапазон
изменений угла, который обеспечивает попадание в мишень, находящуюся на
расстоянии 30 м и имеющую высоту 1 м, при заданной начальной скорости 18 м/с.
Воспользуемся

для этого методом Подбор
параметра.

6.Установить для ячеек
точность один знак после запятой.

7.Внести в ячейки В21, В22 и
В23 значения расстояния до мишени      = 30м, начальной скорости   =18 м/с и
угла   = 35 ,

а в ячейку В25 – формулу для
вычисления высоты мячика над

поверхностью для заданных
начальных условий:

=$B$21*TAN(РАДИАНЫ(В23))
– (9,81*В21^2)/(2*B22^2*COS(РАДИАНЫ(В23))^2)

Для заданных начальных
условий определим углы, которые обеспечивают попадание в мишень на высотах 0 и 1
м.

8. Выделить ячейки В25 и
ввести команду (Сервис-Подбор параметра). На появившейся диалоговой панели
ввести в поле Значение: наименьшую высоту попадания в мишень (0). В поле
Изменяя ячейки: ввести адрес ячейки, содержащей значение угла  (в данном случае
$B$23).

9. В ячейке В23 появится
значение 32,6. Повторить процедуру подбора параметра для максимальной высоты
попадания в мишень – в ячейке В23 получится число 36,1.

Таким образом, исследование
компьютерной модели в электронных таблицах показало, что существует диапазон
значений угла бросания от 32,6 до 36,1 , который обеспечивает попадание в
мишень высотой 1 м, находящуюся на расстоянии 30
м, мячиком, брошенным со скоростью 18 м/с.

г) закрепление знаний

Задача:

Тело брошено вертикально
вверх с некоторой высоты. Определить через какое количество времени тело упадет
на поверхность земли.

(построение и исследование
физической модели проводится учащимися самостоятельно).

По завершению учащиеся
демонстрируют полученные результаты.

Качественная описательная модель.

Если начальная скорость
бросания тела v0 существенно меньше первой космической скорости и
высота бросания   h , существенно меньше радиуса Земли, можно
использовать модель, рассмотренную ранее.

Формализованная модель.

Движение по вертикали –
равноускоренное, поэтому изменение координаты у в зависимости от времени
описывается с помощью формулы:

   y = h0 + v0 * t – g * t2 / 2

1.Ввести начальные значения
высоты  h0  и скорости  v0 в ячейки В1 и В2
соответственно.

2. Создадим таблицу значений
зависимости координаты от времени. Введем в ячейки А5:А18 значения моментов
времени  t  (в секундах) от 0 до 2,6 с шагом 0,2 с.

3. В ячейки В5 введем формулу
уравнения движения: =$B$2+$B$3*A5-4,9*A5^2, в которой использованы абсолютные ссылки на
ячейки, содержащие начальные условия.

4. Скопируем формулы в ячейки
В6:В18.

5. Построить диаграмму типа
График, в которой используется в качестве категории диапазон ячеек В5:В18.

Точка пересечения графика с
осью  t соответствует времени падения тела (примерно 2,4с).

д) подведение итогов урока:

Итак, ребята, сегодня вы
научились исследовать физические модели двумя методами средствами  Microsoft Excel. Такое же исследование можно провести, используя язык
Visual Basic.

(работы учащихся оцениваются
по пятибалльной шкале).

е) домашнее задание:

Проект
«Бросание мячика в площадку» в электронных таблицах Microsoft Excel

 Аппаратное
и программное обеспечение. Компьютер с установленной операционной
системой  Windows или  Linux.

 Цель
работы. Научиться создавать компьютерные модели движения в электронных
таблицах и на языке объектно-ориентированного программирования Visual
Basic.

 Задание. Разработать
проект, в котором визуализируется траектория движения тела, брошенного под
углом к горизонту, и выясняется, попадет ли тело в площадку определенной длины,
находящуюся на заданном расстоянии.

Задание. Проект «Бросание мячика в площадку» в
электронных таблицах Microsoft Excel 

1. В операционной системе  Windows запустить
электронные таблицы Microsoft Excel командой [Пуск — Все
программы — Microsoft Office — Microsoft Excel]

Построение
траектории движения мячика.

Для
ввода начальной скорости и0 бросания мячика будем использовать ячейку В1, а для
ввода угла бросания — ячейку В2.

Введем
в ячейки А5:А18 значения времени t с интервалом 0,2 с, и вычислим по формулам
(2.1) значения координат тела х и y для
заданных значений времени.

2. Ввести:

•
в ячейку В5 формулу =$В$1*С08(РАДИАНЫ($В$2))*А5;

•
в ячейку С5 формулу =$В$1*8Ш(РАДИАНЫ($В$2))*А5-4,9*А5*А5

В
электронных таблицах аргументы функций COS() и SIN() задаются
в радианах, поэтому необходимо преобразовать значения углов из градусов в
радианы с помощью функции РАДИАНЫ().

3. Скопировать введенные формулы в ячейки В6:В18 и С6:С18 соответственно.

Получим
в столбце В значения координаты мячика по оси X, а
в столбце С — координаты по оси Y, вычисленные для
определенных моментов времени.

Координаты мячика в заданные моменты времени

Визуализируем
модель, построив график зависимости координаты y от
координаты х (траекторию движения тела). Для построения
траектории движения мячика используем диаграмму типа График.

4. При построении графика в качестве категорий
использовать диапазон ячеек В5:В18, а в качестве значений —
диапазон ячеек С5:С18.

Траектория движения мячика

5. По полученному графику (траектории движения
мячика) можно качественно судить, попадет ли он в площадку при заданных
начальных условиях (расстоянии до площадки и ее длины).

Уроки 40 — 41
Практическая работа 2.1
«Разработка проекта «Бросание мячика в площадку»»

Содержание урока

Проект «Бросание мячика в площадку» в электронных таблицах Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc

Проект «Бросание мячика в площадку» в электронных таблицах Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc

Аппаратное и программное обеспечение. Компьютер с установленной операционной системой Windows или Linux.

Цель работы. Научиться создавать компьютерные модели движения в электронных таблицах и на языке объектно-ориентированного программирования Visual Basic.

Задание. Разработать проект, в котором визуализируется траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту, и выясняется, попадет ли тело в площадку определенной длины, находящуюся на заданном расстоянии.

Задание. Проект «Бросание мячика в площадку» в электронных таблицах Microsoft Excel и OpenOffice.org Calc

1. В операционной системе Windows запустить электронные таблицы Microsoft Excel командой [Пуск — Все программы — Microsoft Office — Microsoft Excel] или электронные таблицы OpenOffice.org Calc командой [Пуск — Все программы — OperiOffice — OpenOffice Calc].

в операционной системе Linux запустить электронные таблицы OpenOffice.org Calc командой [Пуск — Офис — OpenOffice Calc].

Построение траектории движения мячика.

Для ввода начальной скорости и0 бросания мячика будем использовать ячейку В1, а для ввода угла бросания — ячейку В2.

Введем в ячейки А5:А18 значения времени t с интервалом 0,2 с, и вычислим по формулам (2.1) значения координат тела х и y для заданных значений времени.

2. Ввести:

• в ячейку В5 формулу
=$В$1*С08(РАДИАНЫ($В$2))*А5;

• в ячейку С5 формулу
=$В$1*8Ш(РАДИАНЫ($В$2))*А5-4,9*А5*А5

В электронных таблицах аргументы функций COS() и SIN() задаются в радианах, поэтому необходимо преобразовать значения углов из градусов в радианы с помощью функции РАДИАНЫ().

3. Скопировать введенные формулы в ячейки В6:В18 и С6:С18 соответственно.

Получим в столбце В значения координаты мячика по оси X, а в столбце С — координаты по оси Y, вычисленные для определенных моментов времени.

Координаты мячика в заданные моменты времени

Визуализируем модель, построив график зависимости координаты y от координаты х (траекторию движения тела). Для построения траектории движения мячика используем диаграмму типа График.

4. При построении графика в качестве категорий использовать диапазон ячеек В5:В18, а в качестве значений — диапазон ячеек С5:С18.

Траектория движения мячика

5. По полученному графику (траектории движения мячика) можно качественно судить, попадет ли он в площадку при заданных начальных условиях (расстоянии до площадки и ее длины).

Cкачать материалы урока

Движение тела, брошенного под углом к горизонту!

Опубликовано 22 Апр 2014
Рубрика: О жизни | 9 комментариев

До конца финального матча баскетбольного турнира Олимпиады в Мюнхене 1972-ого года оставалось 3 секунды. Американцы – сборная США — уже во всю праздновали победу! Наша команда – сборная СССР – выигрывала около 10-и очков у великой dream Team.

. за несколько минут до окончания матча. Но, растеряв в концовке все преимущество, уже уступала одно очко 49:50. Дальше произошло невероятное! Иван Едешко бросает мяч из-за лицевой линии через всю площадку под кольцо американцев, где наш центровой Александр Белов принимает мяч в окружении двух соперников и вкладывает его в корзину. 51:50 – мы олимпийские чемпионы.

Я, будучи тогда ребенком, испытал сильнейшие эмоции – сначала разочарование и обиду, затем сумасшедший восторг! Эмоциональная память об этом эпизоде врезалась в мое сознание на всю жизнь! Посмотрите видео в Интернете по запросу «золотой бросок Александра Белова», не пожалеете.

Американцы тогда не признали поражения и отказались от получения серебряных медалей. Возможно ли за три секунды сделать то, что совершили наши игроки? Вспомним физику!

В этой статье мы рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту, составим в Excel программу решения этой задачи при различных сочетаниях исходных данных и попытаемся ответить на поставленный выше вопрос.

Это достаточно широко известная задача в физике. В нашем случае тело, брошенное под углом к горизонту – это баскетбольный мяч. Мы рассчитаем начальную скорость, время и траекторию полета мяча, брошенного через всю площадку Иваном Едешко и попавшего в руки Александра Белова.

Математика и физика полета баскетбольного мяча.

Представленные ниже формулы и расчет в excel являются универсальными для широкого круга задач о телах, брошенных под углом к горизонту и летящих по параболической траектории без учета влияния трения о воздух.

Расчетная схема представлена на рисунке, расположенном ниже. Запускаем программу MS Excel или OOo Calc.

Исходные данные:

1. Так как мы находимся на планете Земля и рассматриваем баллистическую задачу – движение тел в поле тяжести Земли, то первым делом запишем основную характеристику гравитационного поля – ускорение свободного падения g в м/с 2

в ячейку D3: 9,81

2. Размеры баскетбольной площадки – 28 метров длина и 15 метров ширина. Расстояние полета мяча почти через всю площадку до кольца от противоположной лицевой линии по горизонтали x в метрах впишем

в ячейку D4: 27,000

3. Если принять, что бросок Едешко совершил с высоты около двух метров, а Белов поймал мяч как раз где-то на уровне кольца, то при высоте баскетбольного кольца 3,05 метра расстояние между точками вылета и прилета мяча составит по вертикали 1 метр. Запишем вертикальное перемещение y в метрах

в ячейку D5: 1,000

4. По моим замерам на видеозаписи угол вылета мяча α₀ из рук Едешко не превышал 20°. Введем это значение

в ячейку D6: 20,000

Результаты расчетов:

Основные уравнения, описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту без учета сопротивления воздуха:

x = v₀ *cos α₀ * t

y = v₀ *sin α₀ * t — g * t 2 /2

5. Выразим время t из первого уравнения, подставим во второе и вычислим начальную скорость полета мяча v₀ в м/с

в ячейке D8: =(D3*D4^2/2/COS (РАДИАНЫ(D6))^2/(D4*TAN (РАДИАНЫ (D6)) -D5))^0,5 =21,418

v₀ =( g * x 2 /(2*(cos α₀ ) 2 *( x *tg α₀ — y )) 0,5

6. Время полета мяча от рук Едешко до рук Белова t в секундах рассчитаем, зная теперь v₀ , из первого уравнения

в ячейке D9: =D4/D8/COS (РАДИАНЫ(D6)) =1,342

t = x /( v₀ *cos α₀ )

7. Найдем угол направления скорости полета мяча α_i в интересующей нас точке траектории. Для этого исходную пару уравнений запишем в следующем виде:

y = x *tg α₀ — g * x 2 /(2* v₀ 2 *(cos α₀ ) 2 )

Это уравнение параболы – траектории полета.

Нам необходимо найти угол наклона касательной к параболе в интересующей нас точке – это и будет угол α_i . Для этого возьмем производную, которая представляет собой тангенс угла наклона касательной:

y’ =tg α₀ — g * x /( v₀ 2 *(cos α₀ ) 2 )

Рассчитаем угол прилета мяча в руки Белова α_i в градусах

в ячейке D10: =ATAN (TAN (РАДИАНЫ(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (РАДИАНЫ (D6))^2)/ПИ()*180 =-16,167

α_i = arctg y ’ =arctg(tg α₀ — g * x /( v₀ 2 *(cos α₀ ) 2 ))

Расчет в excel, в принципе, закончен.

Иные варианты расчетов:

Используя написанную программу, можно быстро и просто при других сочетаниях исходных данных произвести вычисления.

Пусть, даны горизонтальная x =27 метров, вертикальная y =1 метр дальности полета и начальная скорость v₀ =25 м/с.

Требуется найти время полета t и углы вылета α₀ и прилета α_i

Воспользуемся сервисом MS Excel «Подбор параметра». Я неоднократно в нескольких статьях блога подробно рассказывал, как им пользоваться. Детальнее об использовании этого сервиса можно почитать здесь.

Устанавливаем в ячейке D8 значение 25,000 за счет изменения подбором значения в ячейке D6. Результат на рисунке внизу.

Исходные данные в этом варианте расчета в excel (как, впрочем, и в предыдущем) выделены синими рамками, а результаты обведены красными прямоугольными рамками!

Устанавливая в таблице Excel некоторое интересующее значение в одной из ячеек со светло-желтой заливкой за счет подбора измененного значения в одной из ячеек со светло-бирюзовой заливкой, можно получить в общем случае десять различных вариантов решения задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту при десяти разных наборах исходных данных.

Ответ на вопрос:

Ответим на вопрос, поставленный в начале статьи. Мяч, посланный Иваном Едешко, долетел до Белова по нашим расчетам за 1,342с. Александр Белов поймал мяч, приземлился, подпрыгнул и бросил. На все это у него было «море» времени – 1,658с! Это действительно достаточное с запасом количество времени! Детальный просмотр по кадрам видеозаписи подтверждает вышесказанное. Нашим игрокам хватило трех секунд, чтобы доставить мяч от своей лицевой линии до щита соперников и забросить его в кольцо, вписав золотом свои имена в историю баскетбола!

Прошу уважающих труд автора скачивать файл после подписки на анонсы статей!