Примеры решения математических задач в excel

Пользователи Excel давно и успешно применяют программу для решения различных типов задач в разных областях.

Excel – это самая популярная программа в каждом офисе во всем мире. Ее возможности позволяют быстро находить эффективные решения в самых разных сферах деятельности. Программа способна решать различного рода задачи: финансовые, экономические, математические, логические, оптимизационные и многие другие. Для наглядности мы каждое из выше описанных решение задач в Excel и примеры его выполнения.

Решение задач оптимизации в Excel

Оптимизационные модели применяются в экономической и технической сфере. Их цель – подобрать сбалансированное решение, оптимальное в конкретных условиях (количество продаж для получения определенной выручки, лучшее меню, число рейсов и т.п.).

В Excel для решения задач оптимизации используются следующие команды:

Для решения простейших задач применяется команда «Подбор параметра». Самых сложных – «Диспетчер сценариев». Рассмотрим пример решения оптимизационной задачи с помощью надстройки «Поиск решения».

Условие. Фирма производит несколько сортов йогурта. Условно – «1», «2» и «3». Реализовав 100 баночек йогурта «1», предприятие получает 200 рублей. «2» — 250 рублей. «3» — 300 рублей. Сбыт, налажен, но количество имеющегося сырья ограничено. Нужно найти, какой йогурт и в каком объеме необходимо делать, чтобы получить максимальный доход от продаж.

Известные данные (в т.ч. нормы расхода сырья) занесем в таблицу:

На основании этих данных составим рабочую таблицу:

1. Количество изделий нам пока неизвестно. Это переменные.
2. В столбец «Прибыль» внесены формулы: =200*B11, =250*В12, =300*В13.
3. Расход сырья ограничен (это ограничения). В ячейки внесены формулы: =16*B11+13*B12+10*B13 («молоко»); =3*B11+3*B12+3*B13 («закваска»); =0*B11+5*B12+3*B13 («амортизатор») и =0*B11+8*B12+6*B13 («сахар»). То есть мы норму расхода умножили на количество.
4. Цель – найти максимально возможную прибыль. Это ячейка С14.

Активизируем команду «Поиск решения» и вносим параметры.

После нажатия кнопки «Выполнить» программа выдает свое решение.

Оптимальный вариант – сконцентрироваться на выпуске йогурта «3» и «1». Йогурт «2» производить не стоит.



Решение финансовых задач в Excel

Чаще всего для этой цели применяются финансовые функции. Рассмотрим пример.

Условие. Рассчитать, какую сумму положить на вклад, чтобы через четыре года образовалось 400 000 рублей. Процентная ставка – 20% годовых. Проценты начисляются ежеквартально.

Оформим исходные данные в виде таблицы:

Так как процентная ставка не меняется в течение всего периода, используем функцию ПС (СТАВКА, КПЕР, ПЛТ, БС, ТИП).

Заполнение аргументов:

1. Ставка – 20%/4, т.к. проценты начисляются ежеквартально.
2. Кпер – 4*4 (общий срок вклада * число периодов начисления в год).
3. Плт – 0. Ничего не пишем, т.к. депозит пополняться не будет.
4. Тип – 0.
5. БС – сумма, которую мы хотим получить в конце срока вклада.

Вкладчику необходимо вложить эти деньги, поэтому результат отрицательный.

Для проверки правильности решения воспользуемся формулой: ПС = БС / (1 + ставка)^кпер. Подставим значения: ПС = 400 000 / (1 + 0,05)¹⁶ = 183245.

Решение эконометрики в Excel

Для установления количественных и качественных взаимосвязей применяются математические и статистические методы и модели.

Дано 2 диапазона значений:

Значения Х будут играть роль факторного признака, Y – результативного. Задача – найти коэффициент корреляции.

Для решения этой задачи предусмотрена функция КОРРЕЛ (массив 1; массив 2).

Решение логических задач в Excel

В табличном процессоре есть встроенные логические функции. Любая из них должна содержать хотя бы один оператор сравнения, который определит отношение между элементами (=, >, <, >=, <=). Результат логического выражения – логическое значение ИСТИНА или логическое значение ЛОЖЬ.

Пример задачи. Ученики сдавали зачет. Каждый из них получил отметку. Если больше 4 баллов – зачет сдан. Менее – не сдан.

1. Ставим курсор в ячейку С1. Нажимаем значок функций. Выбираем «ЕСЛИ».
2. Заполняем аргументы. Логическое выражение – B1>=4. Это условие, при котором логическое значение – ИСТИНА.
3. Если ИСТИНА – «Зачет сдал». ЛОЖЬ – «Зачет не сдал».

Решение математических задач в Excel

Средствами программы можно решать как простейшие математические задачки, так и более сложные (операции с функциями, матрицами, линейными уравнениями и т.п.).

Условие учебной задачи. Найти обратную матрицу В для матрицы А.

1. Делаем таблицу со значениями матрицы А.
2. Выделяем на этом же листе область для обратной матрицы.
3. Нажимаем кнопку «Вставить функцию». Категория – «Математические». Тип – «МОБР».
4. В поле аргумента «Массив» вписываем диапазон матрицы А.
5. Нажимаем одновременно Shift+Ctrl+Enter — это обязательное условие для ввода массивов.

Скачать примеры

Возможности Excel не безграничны. Но множество задач программе «под силу». Тем более здесь не описаны возможности которые можно расширить с помощью макросов и пользовательских настроек.

Решение различных
математических задач, используя надстройки
«Подбор параметра» и «Поиск решения» в MS Excel.

Цель работы. Изучить:

·      надстройку «Подбор параметра» для нахождения корней нелинейных
уравнений;

·      надстройку «Поиск решения» для нахождения корней систем уравнений.

Пользуясь приемами выполнения простейших
расчетов и построения графиков функций в Excel, можно
находить решение различных математических задач. Рассмотрим это на примере
наиболее часто встречающихся задач нахождения корней нелинейных уравнений и
решения систем линейных уравнений. Указанные математические задачи легко
решаются с помощью надстроек Excel Поиск решения и Подбор параметра.

Подбор параметра

Надстройка Microsoft Excel Подбор параметра служит для нахождения
оптимального желаемого решения за счет изменения одного из параметров. С
формальной точки зрения такие задачи описываются уравнением с одной переменной,
которое в общем случае можно представить в следующем каноническом виде:

F(x) = 0,

где функция F(x) определена и непрерывна на интервале [a, b]. Таким образом, можно сказать, что
инструмент Подбор параметра служит для нахождения корня уравнения x. В этой надстройке реализован алгоритм метода
половинного деления.

Пример 1. Решим
уравнение x² – 3 =
0, используя надстройку Подбор параметра.

В ячейку А1 вводится начальное приближение
для поиска одного из корней уравнения. Лучше найти его графически, хотя можно подставить и произвольное значение (например,
ноль). В ячейку В2 записывается в виде формулы левая часть решаемого уравнения.
Диалоговое окно данного инструмента вызывается через меню Данные
/ Что-если / Подбор параметра и имеет
следующий вид (рис. 2.7.1, 2.7.2):

Рис. 2.7.1. Надстройка Подбор параметра

В поле Установить в ячейке вводится
ссылка на ячейку, содержащую левую часть уравнения. В поле Значение
непосредственно (т.е. без ссылок на ячейки) вводится правая часть уравнения.
Причем правая часть уравнения должна обязательно представлять собой конкретное
числовое значение. Если правая часть уравнения содержит переменную или
какое-либо выражение, то такое уравнение должно быть предварительно
преобразовано к равносильному виду (в общем случае, к каноническому виду F(x) = 0). Нажав кнопку ОК, получаем в
ячейке А1 значение искомого корня: 1,731856.

Рис. 2.7.2. Надстройка Подбор параметра

Поиск решения

Нелинейные
уравнения также можно решать, используя надстройку Поиск решения. Для
того чтобы ее подключить, следует в меню Office (рис. 2.7.3) выбрать пункт Параметры Excel (рис. 2.7.4) и в раскрывшемся списке войти в меню Надстройки,
далее активировать Поиск решения, установив флажок против пункта Поиск
решения (рис. 2.7.5).

Рис. 2.7.3 Кнопка Office

Рис. 2.7.4. Меню Office

Рис. 2.7.5. Надстройки

После нажатия кнопки ОК
соответствующий значок появится во вкладке Данные (рис. 2.7.6).

Рис. 2.7.6. значок Поиск решения

Пример 2. Решим
уравнение x² – 3 =
0, используя надстройку Поиск решения.

В ячейку А1
заносится начальное приближение корня, в ячейку В1 – левая
часть уравнения в виде формулы. Для предыдущего примера она имеет вид =А1*А1-3.

Далее из вкладки меню Данные
запускается надстройка Поиск решения.

В открывшемся диалоговом окне Поиск
решения устанавливается целевая ячейка $B$1, равная
нулевому значению. В текстовом поле Изменяя ячейки устанавливается адрес
$А$1 и нажимается кнопка Выполнить (рис. 2.7.7).

Рис. 2.7.7. Надстройка Поиск
решения

В ячейке А1 получается значение корня
1,732051 (рис. 2.7.8).

Рис. 2.7.8. Результаты работы
надстройки Поиск решения

Как видим, оно совпало с точностью до 0,001
с найденным ранее значением.

Обращает на
себя внимание неточность решения. Мы получаем очень близко приближающиеся к
точным, но все же неточные корни уравнения. Это происходит потому, что решение
уравнений на вычислительной технике происходит не аналитическими методами, как
это делает человек, а специально разработанными методами, получившими название
численных. В отличие от аналитических (точных) методов численные методы
обладают определенной погрешностью. В Excel с целью повышения точности решения
пользователь может уменьшить погрешность вычислений, но при этом может
потребоваться увеличение количества итераций. При этом надо помнить, что тем
самым увеличивается время на поиск решения. Установленные по умолчанию значения подходят для большинства практических задач, относительная
погрешность вычислений составляет 0,001 (рис. 2.7.9).

Рис. 2.7.9. Изменение
погрешности

Следует отметить, что найден только один из
двух корней данного уравнения. Для нахождения второго корня, следует в ячейку
А1 ввести новое приближение, близкое ко второму корню, и повторить поиск
решения.

Пример 3. Решим
систему уравнений, используя надстройку Поиск решения.

Для того, чтобы использовать рассматриваемую
надстройку Поиск решения для нахождения решения системы линейных
алгебраических уравнений, следует ввести в
столбец А начальное приближение для значений всех неизвестных. Пусть это будут
нули. В столбец В ввести формулы, описывающие левые части уравнений. В столбец
С вводят значения правых частей уравнений. Курсор ставят на ячейку В1 и
запускают надстройку Поиск решения. Значение целевой ячейки $B$1устанавливают равным значению ячейки С1. Изменяют значения ячеек
столбца А. К ограничениям добавляют все уравнения, кроме первого. Для системы
уравнений:

настроенный на
показ формул лист Excel с диалоговым окном Поиск решения
будут выглядеть так, как это показано на рисунках 2.7.10, 2.7.11.

Рис. 2.7.10. добавление ограничения

Рис. 2.7.11. Поиск решения
системы уравнений

Нажав кнопку Выполнить, получается в
столбце А значение неизвестных (рис. 2.7.12):

Как видно, надстройка Поиск решения
очень удобна для решения рассмотренных задач. Однако следует помнить, что
алгоритмы, реализованные в ней, предназначались не для них, а для решения задач
оптимизации. Поэтому возможны сбои в работе надстройки, и к полученным
результатам необходимо подходить критически.

.

Рис. 2.7.12. Результаты
работы с надстройкой Поиск решения

Задания для выполнения

Варианты заданий для работы приведены в
таблице 2.7.1, 2.7.2.

Задание1.

1.                 
Используя надстройку «Подбор параметра», найти все
корни уравнения (по вариантам) на отрезке [-2; +2] (табл. 2.7.1).

Таблица 2.7.1

Варианты заданий

Задание 2.

1.                 
Используя надстройку «Поиск решения», решить
систему линейных уравнений AX = B (по вариантам) (табл. 2.7.2)
и проверить правильность решения в Excel, подставив найденные значения неизвестных в систему уравнений. A – матрица коэффициентов при x1, x2, x3, x4. В- матрица свободных членов уравнений.

 Таблица 2.7.2

Варианты заданий

Использование Excel при решении математических задач

       Любому человеку в ходе практической деятельности приходится совершать операции над количественными данными, которые осуществляются в соответствии с математическими законами. Поэтому для человека, который не свяжет дальнейшую жизнь с математикой, наиболее важным является практический аспект математики. Для него это — прикладная наука, близкая к технологии. Здесь наиболее важным является умение провести необходимые вычисления. Математическая теория изменяется сравнительно медленно, однако технология применения математических методов претерпела значительно более существенные изменения. Буквально за последние десятилетия пройден путь от расчетов в уме и на бумаге к применению счетов, арифмометров, калькуляторов и далее — к расчетам на компьютере. Поэтому в настоящее время специалист, даже хорошо знающий математику, но не умеющий применять математические методы на компьютере, не может считаться специалистом современного уровня.

       Использование компьютера при проведении расчетов сдвигает акценты в математической подготовке специалиста. Если раньше основное внимание было сосредоточено на математических методах, которые предусматривали проведение расчетов вручную, то теперь, с появлением специализированных математических программ, необходимо научиться проводить требуемые вычисления на компьютере.

      Для решения задач на компьютерах чаще всего применяется метод решения «в лоб», опирающийся на основное определение и использующий самый общий подход. Снижается значение частных случаев, различных свойств описываемых математических объектов, ориентированных на облегчение решений вручную.

      Например, при решении вручную квадратного уравнения ax2+bx+c=0 помимо общего решения требовалось знать решения для частых случаев: когда квадратное уравнение разлагается на множители, когда b —четное, когда а = 1, по формулам Виета. При этом было принято считать, что решение «рационально», если для него используется, подходящая частная формула. В настоящее время при применении компьютера, по-видимому, рациональным следует считать решение с использованием общих подходов, по общей формуле. В то же время традиционное преподавание классической математики все еще ориентировано на дальнейшую работу с карандашом и бумагой.

      Наиболее важной отличительной особенностью предлагаемого материала должно являться рассмотрение основных разделов курса математики не в традиционном изложении, а с перспективой дальнейшего применения компьютера. Причем, в отличие от курсов информатики, изложение материала должно вестись не «от пакетов программ и их возможностей», а «от математических задач к способам их решения на компьютере». При этом основное внимание должно быть сосредоточено на реализации способов решения математических задач, на том, как решать типовые задачи.

     Компьютерный математический анализ данных предполагает некоторое математическое преобразование данных с помощью определенных программных средств. Следовательно, необходимо иметь представление как о математических методах обработки данных, так и о соответствующих программных средствах, то есть необходимо опираться на определенный программный пакет.

     Существует значительное количество специализированных математических пакетов, таких как MatLab, MatbCad, Math, Mathematica, Maple и др. Все они охватывают основные разделы математики и позволяют производить подавляющее большинство необходимых. математических расчетов. Однако освоение этих пакетов самостоятельно — достаточно трудоемкая задача. В то же время в курс информатики в большинстве вузов включено изучение электронной таблицы Excel. Поэтому представляется оправданным реализовать в старших классах подход, основанный на применении математических методов именно с помощью пакета Excel. Конечно, Excel сильно уступает специализированным математическим пакетам. Тем не менее. большое количество математических задач может быть решено с его помощью.

     Изложение учебного материала в 10-11-х классах может осуществляться в следующей последовательности (из расчета 1час в неделю – факультативный или элективный курс)^

1. Основные операции в Excel — 12 часов.

Запуск Excel, окно Excel, открытие таблицы, создание новой рабочей книги, ввод данных, выделение блока ячеек, построение диаграмм, редактирование диаграмм, копирование, автозаполнение, автосуммирование, ввод математических формул, копирование формул, печать результатов, форматирование рамки таблицы, работа с простейшими базами данных, отмена действий, сохранение результатов, закрытие рабочей книги, завершение работы, получение справочной информации, сообщение об ошибках.

2. Построение графиков функций — 4 часа.

Линейная, квадратичная, кубическая, обратная пропорциональность, со знаком корня, модуля, дробно-рациональная, тригонометрическая, логарифмическая, показательная функции.

3. Построение кривых 2 порядка — 2 часа.

Построение окружности, эллипса.

4. Графическое решение систем уравнений — 2 часа.

5 Построение плоскости — 1 час.

6. Построение поверхностей второго порядка в пространстве — 3 часа.

Построение эллипсоида, гиперболоида, параболоида, конуса.

7. Решение уравнений с одним неизвестным —2 часа.

8. Элементы линейной алгебры — 10 часов.

Операции с матрицами, решение систем линейных уравнений.

9. Элементы математического анализа — 8 часов.

Производная, определенный интеграл, числовые и функциональные ряды.

10. Элементы теории вероятности — 10 часов.

Понятие случайного события, вероятности события, условная вероятность, перестановка, сочетания, размещение.

11. Элементы статистики — 10 часов.

Понятие математической статистики, выборочный метод, выборочная функция распределения, выборочная характеристика, проверка статистических гипотез.

Итого — 64 часа.

В старших классах нашей школы на уроках информатики меньше времени уделяют программированию, больше – Word, Excel , с 2007 года проводится элективный курс по следующей программе (из расчета 1час в неделю во втором полугодии 10 класса и в первом полугодии 11 класса):

1. Основные операции в Excel — 6 часов.

Запуск Excel, окно Excel, открытие таблицы, создание новой рабочей книги, ввод данных, выделение блока ячеек, построение диаграмм, редактирование диаграмм, копирование, автозаполнение, автосуммирование, ввод математических формул, копирование формул, печать результатов, форматирование рамки таблицы, работа с простейшими базами данных, отмена действий, сохранение — результатов, закрытие рабочей книги, завершение работы, получение справочной информации, сообщение об ошибках

2. Построение графиков функций — 4 часа

Линейная, квадратичная, кубическая, обратная пропорциональность, со знаком корня, модуля, дробно-рациональная, тригонометрическая, логарифмическая, показательная функции.

3. Построение кривых 2 порядка — 2 часа.

Построение окружности, эллипса.

4. Элементы теории вероятности — 10 часов.

Понятие случайного событии, вероятности события,  условная вероятность, перестановка, сочетания, размещение

5. Элементы статистики — 10 часов.

Понятие математической статистики, выборочный метод, выборочная функция распределения, выборочная характеристика, проверка статистических гипотез.

Итого — 32 часа.

К этим курсам имеется приложение, где подробно описаны задания и их решения.

Приведу лишь некоторые из них.

Для лучшего восприятия материала, все названия клавиш, кнопок, диалоговых окон и их полей, команды меню в приложении выделены специальным стилем.

Приложение см

Цель урока: продолжить формирование
навыков работы с электронными таблицами.

Задачи:

• обучающие: формировать умения создания,
  редактирования, форматирования и выполнения
  простейших вычислений в электронных таблицах.




• развивающие: расширить представления
  учащихся о возможных сферах применения
  электронных таблиц; развивать навыки
  аналитического мышления, речи и внимания.




• воспитательные: формировать и воспитывать
  познавательный интерес; прививать навыки
  самостоятельности в работе.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Проверка домашнего задания.
4. Решение задач.
5. Самостоятельное решение задачи.
6. Подведение итогов. Оценки.
7. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели и
задачи урока.

Сегодня мы вновь окажемся в гостях у маленького
великана Васи в Сказочной стране. Ему, как всегда,
требуется ваша помощь, ребята.

Сможете ли вы помочь Васе? Сейчас проверим!

2. Актуализация знаний учащихся.

1) Устно ответить на вопросы.

• Что такое электронная таблица?
• Какие основные элементы электронной таблицы
  вам известны?
• Как задается имя ячейки (строки, столбца) в
  электронной таблице?
• Что может быть содержимым ячейки?
• Число 1 находится в столбце …, в строке …, в
  ячейке с адресом …
• Число 4 находится в ячейке с адресом …
• Каковы правила записи формул в ячейках?
• Чему равно значение, вычисляемое по формуле, в
  ячейке С1?
• Чему равно значение, вычисляемое по формуле, в
  ячейке D2?

2) Какой результат будет получен в ячейках с
формулами?

Ответ: 25*4/2=50

• Что означает запись =СУММ(В1:D3)?
• Сколько элементов содержит блок В1:D3? Ответ: 9.
• Содержимое ячейки D3? Ответ: 5+2+1+6+8+3+8+3+4= 40

3) Проверка домашнего задания

Результаты соревнований по плаванию

Один ученик рассказывает, как он выполнил
домашнее задание (через проектор).

• Среднее время для каждого спортсмена находится
  как среднее арифметическое трех его заплывов.
• В ячейку «Лучшее время» записывается
  минимальный результат из 3 заплывов.
• В ячейку «Лучший результат соревнований»
  записывается минимальное время из столбца.
• В столбец «Отклонение» записывается
  разность между лучшим временем спортсмена и
  лучшим результатом соревнований.
• В ячейку «Максимальное отклонение»
  записывается максимальное значение столбца.

4) Решение простых задач.

Маленький великан Вася решил отремонтировать
забор вокруг своего огорода и вскопать его под
посадку овощей (наступила очередная весна),
разметить грядки прямоугольной формы. Для работы
ему потребовалось найти длину забора и площадь
участка. Но ведь в школе он никогда не учился.
Поможем Васе.

№ 1. Вычислить периметр и площадь
прямоугольника со сторонами:

а) 3 и 5; б) 6 и 8; в) 10 и 7.

Эту задачу обсуждаем совместно с детьми:

• Как оформить таблицу?
• Какие формулы использовать?
• Как использовать уже записанные формулы для
  следующего прямоугольника?

Оформление таблицы – на доске и в тетрадях.

В то же время другой ученик самостоятельно
решает следующую задачу и представляет свое
решение учащимся (через проектор).

№ 2. Маленький великан Вася решил
подсчитать, через сколько дней в его копилке
будет 100 руб., если ежедневно он стал класть туда
на 5 руб. больше, чем в предыдущий день. Помогите
Васе. Сейчас в его копилке 2,02 руб.

Обсудив решение задачи № 2, переходим к решению
следующей.

Один ученик показывает, как работать с
формулами, другой – как использовать функцию
суммирования, числовой формат (общий, денежный) и
т.д. (Таблица уже готова, ученикам предстоит
ввести формулы, использовать суммирование и
получить ответ).

№ 3. Посчитайте, используя ЭТ, хватит ли
Васе 150 рублей, чтобы купить все продукты, которые
ему заказала мама, и хватит ли на чипсы за 10
рублей? Сдачу мама разрешила положить в копилку.
Сколько рублей попадет в копилку?

Предполагаемое решение:

5) Самостоятельное решение задачи.

Маленький великан Вася часто бывал в гостях у
жителей Цветочного города.

Собираясь на пляж, веселые человечки решили
запастись прохладительными напитками. Незнайка
взял с собой 2 литра кваса, 1 литр газировки и 1
литр малинового сиропа, Пончик – 3 литра
газировки и 2 литра малинового сиропа, Торопыжка
– 2 литра газировки, доктор Пилюлькин – 1 литр
кваса и 1 литр касторки.

• Сколько литров напитков каждого вида взяли все
  человечки вместе?
• Сколько всего литров напитков взял с собой
  каждый из человечков?
• Сколько всего литров напитков взяли все
  человечки вместе?

Оформите таблицу произвольно и сохраните в
своей личной папке.

Результат работы.

7) Подведение итогов. Оценки.

Домашнее задание.

Подумайте и решите эту задачу, если известны
еще следующие величины.

Как изменится таблица? Какие формулы появятся?

Известно, что 1 литр кваса в Цветочном городе
стоит 1 монету, 1 литр газировки – 3 монеты, 1 литр
малинового сиропа – 6 монет, 1 литр касторки – 2
монеты.

• Сколько монет истратил на покупку напитков
  каждый человечек?
• Сколько монет затрачено на покупку напитков
  каждого вида?
• Сколько потрачено денег всеми человечками
  вместе?

Литература

1. Информатика. Задачник-практикум в 2 т. /Под ред.
   И.Г.Семакина, Е.К.Хеннера – М.: Лаборатория
   Базовых Знаний, 2010.
2. Ефимова О. Курс компьютерной технологии с
   основами информатики. – М.: ООО “издательство
   АСТ”; АВF, 2005.

Презентация