Пример решения в excel задач по теории вероятности - Word и Excel

Формула Бернулли в Excel

В этой статье я расскажу о том, как решать задачи на применение формулы Бернулли в Эксель. Разберем формулу, типовые задачи — решим их вручную и в Excel. Вы разберетесь со схемой независимых ипытаний и сможете использовать расчетный файл эксель) для решения своих задач. Удачи!

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Схема независимых испытаний

В общем виде схема повторных независимых испытаний записывается в виде задачи:

Пусть производится $n$ опытов, вероятность наступления события $A$ в каждом из которых (вероятность успеха) равна $p$, вероятность ненаступления (неуспеха) — соответственно $q=1-p$. Найти вероятность, что событие $A$ наступит в точности $k$ раз в $n$ опытах.

Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли:

$$
P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k}=C_n^k cdot p^k cdot q^{n-k}. qquad(1)
$$

Здесь $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Еще: онлайн калькуляторы для формулы Бернулли.

Данная схема описывает большой пласт задач по теории вероятностей (от игры в лотерею до испытания приборов на надежность), главное, выделить несколько характерных моментов:

Опыт повторяется в одинаковых условиях несколько раз. Например, кубик кидается 5 раз, монета подбрасывается 10 раз, проверяется 20 деталей из одной партии, покупается 8 однотипных лотерейных билетов.
Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова. Этот пункт связан с предыдущим, рассматриваются детали, которые могут оказаться с одинаковой вероятностью бракованными или билеты, которые выигрывают с одной и той же вероятностью.
События в каждом опыте наступают или нет независимо от результатов предыдущих опытов. Кубик падает случайно вне зависимости от того, как упал предыдущий и т.п.

Если эти условия выполнены — мы в условиях схемы Бернулли и можем применять одноименную формулу. Если нет — ищем дальше, ведь классов задач в теории вероятностей существенно больше (и о решении некоторых написано тут): классическая и геометрическая вероятность, формула полной вероятности, сложение и умножение вероятностей, условная вероятность и т.д.

Подробнее про формулу Бернулли и примеры ее применения можно почитать в онлайн-учебнике. Мы же перейдем к вычислению с помощью программы MS Excel.

Формула Бернулли в Эксель

Для вычислений с помощью формулы Бернулли в Excel есть специальная функция =БИНОМ.РАСП(), выдающая определенную вероятность биномиального распределения.

Чтобы найти вероятность $P_n(k)$ в формуле (1) используйте следующий текст =БИНОМ.РАСП($k$;$n$;$p$;0).

Покажем на примере. На листе подкрашены ячейки (серые), куда можно ввести параметры задачи $n, k, p$ и получить искомую вероятность (текст полностью виден в строке формул вверху).

Пример применения формулы на конкретных задачах мы рассмотрим ниже, а пока введем в лист Excel другие нужные формулы, которые пригодятся в решении:

Выше на скриншоте введены формулы для вычисления следующих вероятностей (помимо самих формул для Excel ниже записаны и исходные формулы теории вероятностей):

Событие произойдет в точности $k$ раз из $n$:
=БИНОМ.РАСП(k;n;p;0)
$$P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot q^{n-k}$$
Событие произойдет от $k_1$ до $k_2$ раз:
=БИНОМ.РАСП(k_2;n;p;1) — БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;0)
$$P_n(k_1le X le k_2)=sum_{i=k_1}^{k_2} C_n^i cdot p^i cdot q^{n-i}$$
Событие произойдет не более $k_3$ раз:
=БИНОМ.РАСП(k_3;n;p;1)
$$P_n(0le X le k_3)=sum_{i=0}^{k_3} C_n^i cdot p^i cdot q^{n-i}$$
Событие произойдет не менее $k_4$ раз:
=1 — БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;0)
$$P_n(k_4le X le n)=sum_{i=k_4}^{n} C_n^i cdot p^i cdot q^{n-i}$$
Событие произойдет хотя бы один раз:
=1-БИНОМ.РАСП(0;n;p;0)
$$P_n( X ge 1)=1-P_n(0)=1-q^{n}$$
Наивероятнейшее число наступлений события $m$:
=ОКРУГЛВВЕРХ(n*p-q;0)
$$np-q le m le np+p$$

Вы видите, что в задачах, где нужно складывать несколько вероятностей, мы уже используем функцию вида =БИНОМ.РАСП(k;n;p;1) — так называемая интегральная функция вероятности, которая дает сумму всех вероятностей от 0 до $k$ включительно.

Полезное: расчетный файл по формуле Бернулли

Нужна помощь в решении задач по теории вероятностей?

Примеры решений задач

Рассмотрим решение типовых задач.

Пример 1. Произвели 7 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 5 попаданий; от 6 до 7 попаданий в цель.

Решение. Получаем, что в задаче идет речь о повторных независимых испытаниях (выстрелах), всего их $n=7$, вероятность попадания при каждом одинакова и равна $p=0,75$, вероятность промаха $q=1-p=1-0,75=0,25$. Нужно найти, что будет ровно $k=5$ попаданий. Подставляем все в формулу (1) и получаем:

$$
P_7(5)=C_{7}^5 cdot 0,75^5 cdot 0,25^2 = 21cdot 0,75^5 cdot 0,25^2= 0,31146.
$$

Для вероятности 6 или 7 попаданий суммируем:

$$
P_7(6)+P_7(7)=C_{7}^6 cdot 0,75^6 cdot 0,25^1+C_{7}^7 cdot 0,75^7 cdot 0,25^0= \
= 7cdot 0,75^6 cdot 0,25+0,75^7=0,44495.
$$

А вот это решение в файле эксель:

Пример 2. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными между собой, определить вероятность того, что в данной семье:
1. Ровно 2 мальчика
2. От 4 до 5 мальчиков
3. Не более 2 мальчиков
4. Не менее 7 мальчиков
5. Хотя бы один мальчик
Каково наиболее вероятное число мальчиков и девочек в семье?

Решение. Сначала запишем данные задачи: $n=10$ (число детей), $p=0,5$ (вероятность рождения мальчика). Формула Бернулли принимает вид: $$P_{10}(k)=C_{10}^k cdot 0,5^kcdot 0,5^{10-k}=C_{10}^k cdot 0,5^{10}$$
Приступим к вычислениям:

$$1. P_{10}(2)=C_{10}^2 cdot 0,5^{10} = frac{10!}{2!8!}cdot 0,5^{10} approx 0,044.$$

$$2. P_{10}(4)+P_{10}(5)=C_{10}^4 cdot 0,5^{10} + C_{10}^5 cdot 0,5^{10}=left( frac{10!}{4!6!} + frac{10!}{5!5!} right)cdot 0,5^{10} approx 0,451.$$

$$3. P_{10}(0)+P_{10}(1)+P_{10}(2)=C_{10}^0 cdot 0,5^{10} + C_{10}^1 cdot 0,5^{10}+ C_{10}^2 cdot 0,5^{10}=left( 1+10+ frac{10!}{2!8!} right)cdot 0,5^{10} approx 0,055.$$

$$4. P_{10}(7)+P_{10}(8)+P_{10}(9)+P_{10}(10)=\ = C_{10}^7 cdot 0,5^{10} + C_{10}^8 cdot 0,5^{10}+ C_{10}^9 cdot 0,5^{10}+ C_{10}^10 cdot 0,5^{10} =\=left(frac{10!}{3!7!}+ frac{10!}{2!8!} + 10 +1right)cdot 0,5^{10} approx 0,172.$$

$$5. P_{10}(ge 1)=1-P_{10}(0)=1-C_{10}^0 cdot 0,5^{10} = 1- 0,5^{10} approx 0,999.$$

Наивероятнейшее число мальчиков найдем из неравенства:

$$
10 cdot 0,5 — 0,5 le m le 10 cdot 0,5 + 0,5, \
4,5 le m le 5,5,\
m=5.
$$

Наивероятнейшее число — это 5 мальчиков и соответственно 5 девочек (что очевидно и по здравому смыслу, раз их рождения вероятность одинакова).

Проведем эти же расчеты в нашем шаблоне эксель, вводя данные задачи в серые ячейки:

Видно, что ответы совпадают.

Пример 3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,3. Куплено 8 билетов. Найти вероятность того, что а) хотя бы один билет выигрышный; б) менее трех билетов выигрышные. Какое наиболее вероятное число выигрышных билетов?

Решение. Полное решение этой задачи можно найти тут, а мы сразу введем данные в Эксель и получим ответы: а) 0,94235; б) 0,55177; в) 2 билета. И они совпадут (с точностью до округления) с ответами ручного решения.

Решайте свои задачи и советуйте наш сайт друзьям. Удачи!

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Полезные ссылки

Расчетный файл эксель для расчетов по формуле Бернулли

Калькуляторы на формулу Бернулли
Примеры решений задач

Как решать задачи по теории вероятностей?
Решение заданий на заказ

Решебник задач по вероятности

Источник

Содержание

Формула Бернулли в Excel
Схема независимых испытаний
Формула Бернулли в Эксель
Примеры решений задач
Функция ВЕРОЯТНОСТЬ для расчета вероятности событий в Excel
Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel
Вычисление процента вероятности события в Excel
Функция ВЕРОЯТНОСТЬ при нескольких условиях интервалов
Решение задач на вычисление вероятности в Excel

Формула Бернулли в Excel

Схема независимых испытаний

В общем виде схема повторных независимых испытаний записывается в виде задачи:

Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли:

$$ P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^=C_n^k cdot p^k cdot q^. qquad(1) $$

Опыт повторяется в одинаковых условиях несколько раз. Например, кубик кидается 5 раз, монета подбрасывается 10 раз, проверяется 20 деталей из одной партии, покупается 8 однотипных лотерейных билетов.
Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова. Этот пункт связан с предыдущим, рассматриваются детали, которые могут оказаться с одинаковой вероятностью бракованными или билеты, которые выигрывают с одной и той же вероятностью.
События в каждом опыте наступают или нет независимо от результатов предыдущих опытов. Кубик падает случайно вне зависимости от того, как упал предыдущий и т.п.

Формула Бернулли в Эксель

Для вычислений с помощью формулы Бернулли в Excel есть специальная функция =БИНОМ.РАСП() , выдающая определенную вероятность биномиального распределения.

Чтобы найти вероятность $P_n(k)$ в формуле (1) используйте следующий текст =БИНОМ.РАСП($k$;$n$;$p$;0) .

Событие произойдет в точности $k$ раз из $n$:
=БИНОМ.РАСП(k;n;p;0)
$$P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot q^$$
Событие произойдет от $k_1$ до $k_2$ раз:
=БИНОМ.РАСП(k_2;n;p;1) — БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;0)
$$P_n(k_1le X le k_2)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
Событие произойдет не более $k_3$ раз:
=БИНОМ.РАСП(k_3;n;p;1)
$$P_n(0le X le k_3)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
Событие произойдет не менее $k_4$ раз:
=1 — БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;0)
$$P_n(k_4le X le n)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
Событие произойдет хотя бы один раз:
=1-БИНОМ.РАСП(0;n;p;0)
$$P_n( X ge 1)=1-P_n(0)=1-q^$$
Наивероятнейшее число наступлений события $m$:
=ОКРУГЛВВЕРХ(n*p-q;0)
$$np-q le m le np+p$$

Примеры решений задач

Рассмотрим решение типовых задач.

$$ P_7(5)=C_<7>^5 cdot 0,75^5 cdot 0,25^2 = 21cdot 0,75^5 cdot 0,25^2= 0,31146. $$

Для вероятности 6 или 7 попаданий суммируем:

$$ P_7(6)+P_7(7)=C_<7>^6 cdot 0,75^6 cdot 0,25^1+C_<7>^7 cdot 0,75^7 cdot 0,25^0= \ = 7cdot 0,75^6 cdot 0,25+0,75^7=0,44495. $$

А вот это решение в файле эксель:

Решение. Сначала запишем данные задачи: $n=10$ (число детей), $p=0,5$ (вероятность рождения мальчика). Формула Бернулли принимает вид: $$P_<10>(k)=C_<10>^k cdot 0,5^kcdot 0,5^<10-k>=C_<10>^k cdot 0,5^<10>$$ Приступим к вычислениям:

$$1. P_<10>(2)=C_<10>^2 cdot 0,5^ <10>= frac<10!><2!8!>cdot 0,5^ <10>approx 0,044.$$ $$2. P_<10>(4)+P_<10>(5)=C_<10>^4 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^5 cdot 0,5^<10>=left( frac<10!> <4!6!>+ frac<10!> <5!5!>right)cdot 0,5^ <10>approx 0,451.$$ $$3. P_<10>(0)+P_<10>(1)+P_<10>(2)=C_<10>^0 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^1 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^2 cdot 0,5^<10>=left( 1+10+ frac<10!> <2!8!>right)cdot 0,5^ <10>approx 0,055.$$ $$4. P_<10>(7)+P_<10>(8)+P_<10>(9)+P_<10>(10)=\ = C_<10>^7 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^8 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^9 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^10 cdot 0,5^ <10>=\=left(frac<10!><3!7!>+ frac<10!> <2!8!>+ 10 +1right)cdot 0,5^ <10>approx 0,172.$$ $$5. P_<10>(ge 1)=1-P_<10>(0)=1-C_<10>^0 cdot 0,5^ <10>= 1- 0,5^ <10>approx 0,999.$$

Наивероятнейшее число мальчиков найдем из неравенства:

$$ 10 cdot 0,5 — 0,5 le m le 10 cdot 0,5 + 0,5, \ 4,5 le m le 5,5,\ m=5. $$

Проведем эти же расчеты в нашем шаблоне эксель, вводя данные задачи в серые ячейки:

Видно, что ответы совпадают.

Решайте свои задачи и советуйте наш сайт друзьям. Удачи!

Источник

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ для расчета вероятности событий в Excel

Очень часто при работе в Excel необходимо использовать вычисления вероятности появления некоторого события. Для этого используется статистическая функция ВЕРОЯТНОСТЬ.

Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel

Стоит отметить, что используются часто в Excel и другие статистические функции, к примеру:

Функция выполняет вычисление вероятности того, что значения с интервала находятся в заданных пределах. В случае, если верхний предел не будет задан, то будет возвращена вероятность того, что значения аргумента x_интервал будет равно значению аргумента под названием нижний_предел.

Вычисление процента вероятности события в Excel

Пример 1. Дана таблица диапазона числовых значений, а также вероятностей, которые им соответствуют:

Необходимо при использовании данной статистической функции вычислить вероятность события, что значение с указанного интервала входит в интервал [1;4].

Для этого введем функцию со следующими аргументами:

х_интервал – это начальные данные (0, …, 4);
интервал вероятностей является множеством вероятностей для начальных данных (0,15; 0,1; 0,15; 0,2; 0,4);
нижний предел равен значению 1;
верхний предел равен 4.

В результате выполненных вычислений получим:

Пример 2. В условии предыдущего примера нужно вычислить вероятность события «значение х равно 4».

Введем в ячейку С3 введем функцию с такими аргументами:

х_интервал – начальные параметры (0, …, 4);
интервал вероятностей – совокупность вероятностей для параметров (0,1; 0,15; 0,2; 0,15; 0,4);
нижний предел – 4;

В данном примере верхний предел не указан, поскольку необходимо конкретное значение вероятности, а именно для значения 4.

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ при нескольких условиях интервалов

Пример 3. В условии примера 1 нужно вычислить вероятность того, что значения интервала [0; 4] будут находится находятся внутри интервалов [0;1] и [3;4].

Описание формул аналогичные предыдущим примерам.

В результате выполненных вычислений получим:

Таким образом составив формулу можно с помощью данной функции вычислить процент вероятности при нескольких условиях.

Источник

Решение задач на вычисление вероятности в Excel

Пример 4. В партии 20 изделий, из них 5 бракованных. Найти вероятность того, что в выборке из 4 изделий ровно одно бракованное.

Решение. В данной задаче, прежде всего, определим значения параметров: число_успехов_ в_ выборке = 1; размер_ выборки = 4; число_ успехов_ в_ совокупности = 5; размер_ совокупности = 20.

Искомую вероятность можно рассчитать с помощью функции = ГИПЕРГЕОМЕТ (1; 4; 5; 20), которая дает значение 0,4696.

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 – р.

Вероятность того, что при n повторных независимых испытаниях событие А осуществится ровно k раз вычисляется по формуле Бернулли: .

Для нахождения наиболее вероятного числа успехов k ₀ по заданным n и р можно воспользоваться неравенствами np – q £ k ₀£ np + p или правилом: если число np + p не целое, то k ₀ равно целой части этого числа.

В случае, если n велико, р мало, а , используют асимптотическую формулу Пуассона вычисления вероятности наступления события А ровно k раз при n повторных независимых испытаниях: .

Пример 5. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии на протяжении каждых из 6 суток постоянна и равна p = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1- р = 1 — 0,75 = 0,25. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна = 0,297. Для вычисления в Excel используем формулу = БИНОМРАСП(4; 6; 0,75; 0), которая дает значение 0,297. При этом определены следующие значения параметров: число_ успехов = 4; число_ испытаний = 6; вероятность_ успеха = 0,75; интегральная = 0. Подробно с синтаксисом функции БИНОМРАСП можно ознакомиться с помощью справки.

Пример 6. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найти вероятность, что в течение часа ровно 5 абонентов позвонят на станцию.

Решение. Так как р = 0,01 мало и n = 400 велико, то будем пользоваться приближенной формулой Пуассона при l = 400 × 0,01 = 4. Тогда Р ₄₀₀(5)» » 0,156293. Для вычисления в Excel используем формулу = ПУАССОН (5; 4; 0), которая дает значение 0,156293. При этом определены следующие значения параметров: количество_ событий = 5; среднее (λ) = 4; интегральная = 0. Подробно с синтаксисом функции ПУАССОН можно ознакомиться в справке.

В случае, когда число повторных испытаний большое и формула Бернулли неприменима, используют формулы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции , где .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции .

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу:

, где .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами для интеграла , тогда .

Пример 7. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 0,8. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа: , , . Для вычисления в Excel используем формулу = НОРМРАСП (80; 80; 8; 0), которая дает значение 0,04986. При этом определены следующие значения параметров: k = 80; среднее = np = 80; стандартное_откл = = = 8, интегральная = 0. Подробно с синтаксисом функции НОРМРАСП можно ознакомиться с помощью справки.

Пример 8. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа: n = 400; k ₁ = 70; k ₂ = 100; р = 0,2; q = 0,8; . Так как функция является нечетной, то P₄₀₀(70; 100) = Ф(2,5)+ + Ф(1,25) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

Для вычисления в Excel используем формулу нормального распределения = НОРМРАСП(100; 80; 8; 1) — НОРМРАСП(70; 80; 8; 1), которая дает значение 0,8882. При этом параметр интегральная = 1, остальные значения параметров определяются аналогично примеру, рассмотренному выше.

Источник

Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel

Стоит отметить, что используются часто в Excel и другие статистические функции, к примеру:

ДИСП;
ГИПЕРГЕОМ.РАСП;
СРЗНАЧ и другие.

Вычисление процента вероятности события в Excel

Пример 1. Дана таблица диапазона числовых значений, а также вероятностей, которые им соответствуют:

Для этого введем функцию со следующими аргументами:

тут:

х_интервал – это начальные данные (0, …, 4);
интервал вероятностей является множеством вероятностей для начальных данных (0,15; 0,1; 0,15; 0,2; 0,4);
нижний предел равен значению 1;
верхний предел равен 4.

В результате выполненных вычислений получим:

Пример 2. В условии предыдущего примера нужно вычислить вероятность события «значение х равно 4».

Введем в ячейку С3 введем функцию с такими аргументами:

тут:

х_интервал – начальные параметры (0, …, 4);
интервал вероятностей – совокупность вероятностей для параметров (0,1; 0,15; 0,2; 0,15; 0,4);
нижний предел – 4;

Получим:

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ при нескольких условиях интервалов

Введем формулу:

Описание формул аналогичные предыдущим примерам.

В результате выполненных вычислений получим:

Скачать примеры функции ВЕРОЯТНОСТЬ в Excel

Источник

17 авг. 2022 г.
читать 2 мин

Вероятность описывает вероятность того, что некоторое событие произойдет.

Мы можем рассчитать вероятности в Excel, используя функцию PROB , которая использует следующий синтаксис:

ПРОБ(x_диапазон, вероятностный_диапазон, нижний_предел, [верхний_предел])

куда:

x_range: диапазон числовых значений x.
prob_range: диапазон вероятностей, связанных с каждым значением x.
нижний_предел: нижний предел значения, для которого вы хотите получить вероятность.
upper_limit: Верхний предел значения, для которого вы хотите получить вероятность. По желанию.

В этом руководстве представлено несколько примеров использования этой функции на практике.

Пример 1: Вероятность игры в кости

На следующем изображении показана вероятность выпадения кубика с определенным значением при данном броске:

Поскольку кости с одинаковой вероятностью выпадут на каждом значении, вероятность одинакова для каждого значения.

На следующем рисунке показано, как найти вероятность того, что кубик выпадет на число от 3 до 6:

Вероятность оказывается равной 0,5 .

Обратите внимание, что аргумент верхнего предела является необязательным. Таким образом, мы могли бы использовать следующий синтаксис, чтобы найти вероятность того, что кости приземлятся только на 4:

Вероятность оказывается равной 0,166667 .

Пример 2: Вероятность продаж

На следующем изображении показана вероятность того, что компания продаст определенное количество товаров в предстоящем квартале:

На следующем рисунке показано, как найти вероятность того, что компания совершит 3 или 4 продажи:

Вероятность оказывается равной 0,7 .

Дополнительные ресурсы

Как рассчитать относительную частоту в Excel
Как рассчитать кумулятивную частоту в Excel
Как создать частотное распределение в Excel

Написано

Замечательно! Вы успешно подписались.

Добро пожаловать обратно! Вы успешно вошли

Вы успешно подписались на кодкамп.

Срок действия вашей ссылки истек.

Ура! Проверьте свою электронную почту на наличие волшебной ссылки для входа.

Успех! Ваша платежная информация обновлена.

Ваша платежная информация не была обновлена.

Источник

Probability describes the likelihood that some event occurs.

We can calculate probabilities in Excel by using the PROB function, which uses the following syntax:

PROB(x_range, prob_range, lower_limit, [upper_limit])

where:

x_range: The range of numeric x values.
prob_range: The range of probabilities associated with each x value.
lower_limit: The lower limit on the value for which you want a probability.
upper_limit: The upper limit on the value for which you want a probability. Optional.

This tutorial provides several examples of how to use this function in practice.

Example 1: Dice Probabilities

The following image shows the probability of a dice landing on a certain value on a given roll:

Since the dice is equally likely to land on each value, the probability is the same for each value.

The following image shows how to find the probability that the dice lands on a number between 3 and 6:

The probability turns out to be 0.5.

Note that the upper limit argument is optional. So, we could use the following syntax to find the probability that the dice lands on just 4:

The probability turns out to be 0.166667.

Example 2: Sales Probabilities

The following image shows the probability of a company selling a certain number of products in the upcoming quarter:

The following image shows how to find the probability that the company makes either 3 or 4 sales:

The probability turns out to be 0.7.

Additional Resources

How to Calculate Relative Frequency in Excel
How to Calculate Cumulative Frequency in Excel
How to Create a Frequency Distribution in Excel

Источник

Элементы
теории вероятностей

Цели
задания:

Повторение
основных приемов создания и форматирования
таблиц средствами MS
Excel.
Изучение
новых математических функций, входящих
в MS
Excel.
Решение
задач по теме «Элементы теории
вероятностей. Классическое определение
вероятности».

Подготовка
к заданию:

Повторить
тему «Элементы
теории вероятностей»
по электронному конспекту, расположенному
на сервере по адресу «F:Методические
материалы Информационные технологии
Математика и информатика для юристов».
Познакомиться
с помощью справочной системы MS Excel с
математическими функциями ФАКТР
и ЧИСЛОКОМБ.

Состав
задания:

Решить
задачи по теории вероятностей и оформить
их решение средствами MS Excel
в виде таблиц в соответствии с
предложенными ниже образцами. Для
вычисления числа вариантов по формулам
комбинаторики использовать соответствующие
математические функции MS
Excel.

Задачи:

Назовём
игральной костью кубик из однородного
материала с гранями, занумерованными
цифрами от 1 до 6. Бросаются 2 игральных
кости. Какова вероятность того, что
сумма очков, выпавших на 2 костях,
окажется равной 8?

Юная
студентка юрфака наивно верит, что
если она соберет 20 разных крышек от
«Pepsi» и отошлет их по указанному адресу,
то добрые дяди и тети предоставят ей
путевку в «DisneyLand».
Какова вероятность того, что удастся
собрать 20 разных крышек, купив 20
бутылок?

В
соревнованиях по стрельбе на огневом
рубеже размещаются 8 стрелков. Какова
вероятность того, что два определенных
участника окажутся рядом?

Колода
карт содержит 36 различных карт (9 карт
пиковой масти, 9 треф, 9 бубен и 9 червей).
Сдача карт одному игроку состоит из 6
карт, порядок которых не важен. Какова
вероятность того, что:

в
сдаче все карты будут трефовой масти?
в
сдаче все карты будут одной масти?
в
сдаче будет 4 туза?
в
сдаче будет точно 2 дамы?

В
урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны
одновременно вынимают два шара. Какова
вероятность, что оба шара белые?

Образцы
решения и оформления задач:

Задача
1.
Из урны, в которой находятся 8 синих,
3 красных,
6 чёрных
и 7 белых
шаров, наудачу вынимается один. Какова
вероятность того, что вынутый шар
окажется а)
белым;
б) зеленым?

Решение.
Это испытание имеет 24 равновозможных
исхода. Каждый исход означает выбор
одного шара. Пусть событие А означает
выбор
белого шара,
а событие В – выбор
зеленого шара.
Число исходов, благоприятных событию
А , равно 7, а исходов, благоприятных
событию В, нет (оно является невозможным).

Оформление
этой задачи в среде MS
Excel
приведено ниже.

Задача
2.
На зачёте по Истории студенту предлагается
ответить на 2 вопроса из 36. Студент
подготовил ответы на 19 вопросов. Какова
вероятность, что на зачёте ему предложат
два вопроса, на которые он подготовил
ответ?

Решение.
Рассмотрим
испытание, состоящее в выборе двух из
36 вопросов. Исходом испытания является
пара вопросов. Поскольку порядок выбора
вопросов несущественен,
то число всех n
исходов
равно числу
сочетаний из 36 по 2.
Для определения числа сочетаний
воспользуемся функцией ЧИСЛОКОМБ(36;2).

Пусть
событие А состоит в том, что студенту
достаются два подготовленных вопроса.
Число исходов, благоприятных этому
событию определяется как число сочетаний
из 19 по 2. Применим вышеуказанную функцию
ЧИСЛОКОМБ(19;2).

Оформление
решения задачи в среде MS
Excel
приведено ниже

Задача
3.
Десять
различных книг расставлены наудачу на
одной полке. Найти вероятность того,
что три определенные книги окажутся
поставлены рядом.

Решение.
Условимся,
что три определенные книги как бы
находятся в одной упаковке. Тогда число
возможных способов расположения книг
на полке равно числу
перестановок из 8
элементов (одна упаковка плюс остальные
7 книг), т. е. Р₈=8!.
Внутри упаковки три книги можно
переставить Р₃=3!
способами. По правилу умножения m(A)=
Р₈
х Р₃.
Число возможных вариантов расстановки
10 книг n=Р₁₀=10!.
Для вычисления факториалов чисел
воспользуемся функцией ФАКТР.

Оформление
решения задачи в среде MS
Excel
приведено ниже

Соседние файлы в папке MS Excel

Источник

Цели и задачи:

Образовательные: закрепить такие
понятия теории вероятности как: среднее
арифметическое, размах, мода и медиана рядов
чисел; систематизировать знания по пройденной
теме, формировать умение учащихся применять
знания к решению практических задач, контроль,
оценка и проверка знаний учащихся, закрепить
знание способов ввода данных в ячейки и порядок
создания формул с использованием встроенных
функций в табличном процессоре MS Excel. Показать
важность межпредметных связей

Развивающие: развитие
познавательной активности, творческих
способностей учащихся, умения сопоставлять,
анализировать, развить навыки ввода данных в
ячейки с использованием автозаполнения и
вычисления итоговых значений с помощью
статистических функций табличного процессора MS
Excel;

Воспитательные: способствовать
воспитанию у учащихся аккуратности, усидчивости,
навыков учебного труда, интереса к предмету.

Ход урока

Организационный момент.
Актуализация опорных знаний. Опрос.

Как определить среднее арифметическое ряда?
Что называется модой ряда?
Как определить размах ряда?
Что называется медианой ряда?
Что такое адрес ячейки и из чего он состоит?
Чем абсолютный адрес отличается от
относительного?
Что такое автозаполнение и как им пользоваться?
Что такое функция Excel?

Решить задачу:

Администрация школы решила проверить
математическую подготовку учащихся 8 класса. С
этой целью был составлен тест, содержащий 9
заданий. Работу выполняли 40 учащихся школы. При
проверке каждой работы учитель отмечал число
верно выполненных заданий. В результате был
составлен такой ряд чисел:

6,5,4,0,4,5,7,9,1,6,8,7,9,5,8,6,7,2,5,7,6,3,4,4,5,6,8,6.7,7,4,3.5,9,6,7,8,6,9,8.

Определить сколько заданий в среднем выполнил
каждый ученик верно?
Найти разницу в числе верно выполненных заданий
между учащимися.
Чему равна мода и медиана данного ряда?

Задача разбирается вместе с учителем
для постановки проблемной ситуации, в разрешении
которой помогает использование электронных
таблиц.

Чтобы ответить на вопросы задачи
необходимо упорядочить ряд данных, а при
нахождении статистических характеристик ряда
нам помогут на доске записанные статистические
функции Excel, которые используются для нахождения
среднего арифметического, размаха, моды и
медианы рядов чисел:

=МЕДИАНА(аргументы) – медиана
ряда;

=СРЗНАЧ(аргументы) – среднее
арифметическое ряда;

=МОДА(аргументы) – мода ряда;

=МАКС(аргументы)-МИН(аргументы)
– размах ряда.

Закрепление материала

Учащиеся получают листки с задачами,
рассаживаются за компьютеры и решают их с
помощью Excel. Для решения задач необходим файл
(Приложение1)

Задачи для закрепления

Найдите среднее арифметическое, размах, моду и
медиану рядов чисел;
За четверть Люда получила по алгебре пять двоек,
четыре четверки и две пятерки. Ее мама считает,
что за четверть Люде надо ставить двойку, папа
считает, что надо ставить тройку, а сама Люда
считает, что надо ставить четверку. Попробуйте
привести аргументы в пользу каждой точки зрения
(какие статистические характеристики вычисляет
каждый член семьи?). Какую бы оценку вы поставили
Люде?
В таблице представлены результаты опроса 100
человек.

Количество опрошенных	Зарплата
10	500
30	1000
50	1500
10	3000

а) сколько денег, в среднем, получает один
человек из этой группы (найдите среднее
арифметическое ряда данных)?

б) сколько денег получает ежемесячно
“средний” человек из этой группы (найдите
медиану этих данных)?

в) какой заработок наиболее распространен у
членов этой группы (найдите моду этих данных)?

Света, Люда и Женя договорились в течение трех
дней по-очереди поливать в классе цветы. Сколько
у них есть способов установить порядок
дежурства?
8 детей делят пирожки. Все пирожки имеют разную
начинку. Один из них с морковью. Сколько
существует способов разделить пирожки (каждому
по штуке) так, чтобы пирожок с морковью не
достался ребенку, который не любит такую начинку?

Подведение итогов (выставление оценок)

Приложение

Источник

Схема независимых испытаний

В общем виде схема повторных независимых испытаний записывается в виде задачи:

Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли:

$$ P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^=C_n^k cdot p^k cdot q^. qquad(1) $$

Опыт повторяется в одинаковых условиях несколько раз. Например, кубик кидается 5 раз, монета подбрасывается 10 раз, проверяется 20 деталей из одной партии, покупается 8 однотипных лотерейных билетов.
Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова. Этот пункт связан с предыдущим, рассматриваются детали, которые могут оказаться с одинаковой вероятностью бракованными или билеты, которые выигрывают с одной и той же вероятностью.
События в каждом опыте наступают или нет независимо от результатов предыдущих опытов. Кубик падает случайно вне зависимости от того, как упал предыдущий и т.п.

Формула Бернулли в Эксель

Для вычислений с помощью формулы Бернулли в Excel есть специальная функция =БИНОМ.РАСП() , выдающая определенную вероятность биномиального распределения.

Чтобы найти вероятность $P_n(k)$ в формуле (1) используйте следующий текст =БИНОМ.РАСП($k$;$n$;$p$;0) .

Событие произойдет в точности $k$ раз из $n$:
=БИНОМ.РАСП(k;n;p;0)
$$P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot q^$$
Событие произойдет от $k_1$ до $k_2$ раз:
=БИНОМ.РАСП(k_2;n;p;1) — БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_1;n;p;0)
$$P_n(k_1le X le k_2)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
Событие произойдет не более $k_3$ раз:
=БИНОМ.РАСП(k_3;n;p;1)
$$P_n(0le X le k_3)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
Событие произойдет не менее $k_4$ раз:
=1 — БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;1) + БИНОМ.РАСП(k_4;n;p;0)
$$P_n(k_4le X le n)=sum_^ C_n^i cdot p^i cdot q^$$
Событие произойдет хотя бы один раз:
=1-БИНОМ.РАСП(0;n;p;0)
$$P_n( X ge 1)=1-P_n(0)=1-q^$$
Наивероятнейшее число наступлений события $m$:
=ОКРУГЛВВЕРХ(n*p-q;0)
$$np-q le m le np+p$$

Примеры решений задач

Рассмотрим решение типовых задач.

$$ P_7(5)=C_<7>^5 cdot 0,75^5 cdot 0,25^2 = 21cdot 0,75^5 cdot 0,25^2= 0,31146. $$

Для вероятности 6 или 7 попаданий суммируем:

$$ P_7(6)+P_7(7)=C_<7>^6 cdot 0,75^6 cdot 0,25^1+C_<7>^7 cdot 0,75^7 cdot 0,25^0= = 7cdot 0,75^6 cdot 0,25+0,75^7=0,44495. $$

А вот это решение в файле эксель:

$$1. P_<10>(2)=C_<10>^2 cdot 0,5^ <10>= frac<10!><2!8!>cdot 0,5^ <10>approx 0,044.$$ $$2. P_<10>(4)+P_<10>(5)=C_<10>^4 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^5 cdot 0,5^<10>=left( frac<10!> <4!6!>+ frac<10!> <5!5!>
ight)cdot 0,5^ <10>approx 0,451.$$ $$3. P_<10>(0)+P_<10>(1)+P_<10>(2)=C_<10>^0 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^1 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^2 cdot 0,5^<10>=left( 1+10+ frac<10!> <2!8!>
ight)cdot 0,5^ <10>approx 0,055.$$ $$4. P_<10>(7)+P_<10>(8)+P_<10>(9)+P_<10>(10)= = C_<10>^7 cdot 0,5^ <10>+ C_<10>^8 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^9 cdot 0,5^<10>+ C_<10>^10 cdot 0,5^ <10>==left(frac<10!><3!7!>+ frac<10!> <2!8!>+ 10 +1
ight)cdot 0,5^ <10>approx 0,172.$$ $$5. P_<10>(ge 1)=1-P_<10>(0)=1-C_<10>^0 cdot 0,5^ <10>= 1- 0,5^ <10>approx 0,999.$$

Наивероятнейшее число мальчиков найдем из неравенства:

$$ 10 cdot 0,5 — 0,5 le m le 10 cdot 0,5 + 0,5, 4,5 le m le 5,5, m=5. $$

Проведем эти же расчеты в нашем шаблоне эксель, вводя данные задачи в серые ячейки:

Видно, что ответы совпадают.

Решайте свои задачи и советуйте наш сайт друзьям. Удачи!

Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта ]]> www.excel2.ru ]]> . Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL.

Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.

Генеральная совокупность и случайная величина

Пусть у нас имеется генеральная совокупность (population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х.

Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.

Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.

В нашем примере, ГС — это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.

Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной. По определению, любая случайная величина имеет функцию распределения, которая обычно обозначается F(x).

Функция распределения

Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X файл примера ):

В справке MS EXCEL Функцию распределения называют Интегральной функцией распределения (Cumulative Distribution Function, CDF).

Приведем некоторые свойства Функции распределения:

Функция распределения F(x) изменяется в интервале [0;1], т.к. ее значения равны вероятностям соответствующих событий (по определению вероятность может быть в пределах от 0 до 1);
Функция распределения – неубывающая функция;
Вероятность того, что случайная величина приняла значение из некоторого диапазона [x1;x2): P(x₁ Примечание: В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности дискретных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

Непрерывные распределения и плотность вероятности

В случае непрерывного распределения случайная величина может принимать любые значения из интервала, в котором она определена. Т.к. количество таких значений бесконечно велико, то мы не можем, как в случае дискретной величины, сопоставить каждому значению случайной величины ненулевую вероятность (т.е. вероятность попадания в любую точку (заданную до опыта) для непрерывной случайной величины равна нулю). Т.к. в противном случае сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины будет равна бесконечности, а не 1.
Выходом из этой ситуации является введение так называемой функции плотности распределения p(x). Чтобы найти вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а; b), необходимо найти приращение функции распределения на этом интервале:

Как видно из формулы выше плотность распределения р(х) представляет собой производную функции распределения F(x), т.е. р(х) = F’(x).

Типичный график функции плотности распределения для непрерывной случайно величины приведен на картинке ниже (зеленая кривая):

Примечание: В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности непрерывных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

В литературе Функция плотности распределения непрерывной случайной величины может называться: Плотность вероятности, Плотность распределения, англ. Probability Density Function (PDF).

Чтобы все усложнить, термин Распределение (в литературе на английском языке — Probability Distribution Function или просто Distribution) в зависимости от контекста может относиться как Интегральной функции распределения, так и кее Плотности распределения.

Из определения функции плотности распределения следует, что p(х)>=0. Следовательно, плотность вероятности для непрерывной величины может быть, в отличие от Функции распределения, больше 1. Например, для непрерывной равномерной величины, распределенной на интервале [0; 0,5] плотность вероятности равна 1/(0,5-0)=2. А для экспоненциального распределения с параметром лямбда=5, значение плотности вероятности в точке х=0,05 равно 3,894. Но, при этом можно убедиться, что вероятность на любом интервале будет, как обычно, от 0 до 1.

Напомним, что плотность распределения является производной от функции распределения, т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что плотность распределения >1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере экспоненциального распределения).

Примечание: Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения, равна 1.

Примечание: Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения. Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП (x; среднее; стандартное_откл; интегральная). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения, то параметр интегральная, д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности, то параметр интегральная, д.б. ЛОЖЬ.

Примечание: Для дискретного распределения вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности может называть даже «функция вероятностной меры» (см. функцию БИНОМ.РАСП() ).

Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL

Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение.

Найдем плотность вероятности для стандартного нормального распределения N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ) =0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ) .

Напомним, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b).

Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL

1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению (см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.

В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =1-0,5.
Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).

2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения, вероятность равна F(0)=0,5.

В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =0,5.

3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) — НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) .

Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье Распределения случайной величины в MS EXCEL приведены распределения, для которых в MS EXCEL имеются соответствующие функции, позволяющие вычислить вероятности.

Обратная функция распределения (Inverse Distribution Function)

Вспомним задачу из предыдущего раздела: Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, приняла отрицательное значение.

Вероятность этого события равна 0,5.

Теперь решим обратную задачу: определим х, для которого вероятность, того что случайная величина Х примет значение =НОРМ.СТ.ОБР(0,5) =0.

Однозначно вычислить значение случайной величины позволяет свойство монотонности функции распределения.

Обратите внимание, что для вычисления обратной функции мы использовали именно функцию распределения, а не плотность распределения. Поэтому, в аргументах функции НОРМ.СТ.ОБР() отсутствует параметр интегральная, который подразумевается. Подробнее про функцию НОРМ.СТ.ОБР() см. статью про нормальное распределение.

Обратная функция распределения вычисляет квантили распределения, которые используются, например, при построении доверительных интервалов. Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем нормального распределения. В файле примера можно вычислить и другой квантиль этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84.

В англоязычной литературе обратная функция распределения часто называется как Percent Point Function (PPF).

Примечание: При вычислении квантилей в MS EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР() , ЛОГНОРМ.ОБР() , ХИ2.ОБР(), ГАММА.ОБР() и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье Распределения случайной величины в MS EXCEL.

События, характеризующие данные, могут носить случайный характер и появляться с разной вероятностью.

Вероятность события p есть отношение числа благоприятных исходов m к числу всех возможных исходов n этого события: p=m/n. Например, вероятность появления туза в наугад выбранной карте из колоды в 52 карты равна 4/52=0.0769, так как m=4, а n=52.

Если известно соответствие между появлениями (величинами) x₁, x₂, …, x_n случайного события (переменной) X и соответствующими вероятностями их реализации p₁, p₂, …, p_n, то говорят, что известен закон распределения случайной величины F(x). Большинство встречающихся на практике распределений вероятностей реализовано в Excel.

Распределения вероятностей имеют числовые характеристики.

Функции Excel для вычисления числовых характеристик распределения вероятностей. Они входят в группу Статистические. При вычислении функций в качестве случайных величин используйте следующие значения:

Математическое ожидание случайной величины (среднее арифметическое), характеризующее центр распределения вероятностей, вычисляется функцией СРЗНАЧ. СРЗНАЧ(A1:A7) = 9.

Дисперсия, характеризует разброс случайной величины относительно центра распределения вероятностей и вычисляется функцией ДИСПР. ДИСПР(A1:A7) = 4.857.

Среднеквадратичное отклонение есть квадратный корень из дисперсии, характеризует разброс случайной величины в единицах случайной величины и вычисляется функцией СТАНДОТКЛОНП. СТАНДОТКЛОНП(A1:A7) = 2.203893.

Квантиль случайной величины с законом распределения F(x) есть значение случайной величины x при заданной вероятности p., т.е. есть решение уравнения F(x)=p. Медиана есть квантиль с вероятностью p=0.5.

Excel, вместо квантилей содержит функции вычисления х для определенных уровней р: квартили (кварта – четверть), децили (дециль – десятая часть), персентили (персент – процент). Различают нижний квартиль с вероятностью p=0.25 и верхний квартиль с вероятностью p=0.75. Децили это квантили с вероятностью 0.1, 0.2, …, 0.9.

Функцию КВАРТИЛЬ используют, чтобы разбить данные на группы. В качестве второго аргумента указывают уровень (четверть), для которого нужно вернуть решение: 0 – минимальное значение распределения, 1 – первый, нижний квартиль, 2 – медиана, 3 – третий, верхний квартиль, 4 – максимальное значение. Например, КВАРТИЛЬ(A1:A7;3) = 10, т.е. 75% всех значений меньше 10, КВАРТИЛЬ(A1:A7;2) = 9.

Функция ПЕРСЕНТИЛЬ вычисляет квантиль указанного уровня вероятности и используется для определения порога приемлемости значений. В качестве второго аргумента указывают уровень 0.1, 0.2, …, 0.9. ПЕРСЕНТИЛЬ(A1:A7;0,9) = 11.8, т.е. 90% всех значений меньше 11.8.

Excel содержит инструмент Ранг и персентиль, который на основе набора данных формирует выходную таблицу, содержащую порядковый и процентный ранги для каждого значения в наборе данных. См. справку по F1. Ниже приведен пример установки надстройки Пактет анализа

Распределения вероятностей, реализованные в Excel.

Каждый закон распределения описывает процессы разной вероятностной природы и характеризуется специфическими параметрами:

равномерное распределение – n случайных чисел выпадает с одной и той же вероятностью p=1/n; характеризуется нижней и верхней границей; примером является появление чисел 1, 2, …, 6 при бросании игральной кости (p=1/6);

биномиальное распределение моделирует взаимосвязь числа успешных испытаний m и вероятностей успеха каждого испытания p при общем количестве испытаний n — функции БИНОМРАСП и КРИТБИНОМ;

нормальное (гауссово) распределение описывает процессы, в которых на результат воздействует большое число независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся – функции НОРМРАСП, НОРМСТРАСП, НОРМОБР, НОРМСТОБР и НОРМАЛИЗАЦИЯ;

распределение Пуассона, предсказывает число случайных событий на определенном отрезке времени или на определенном пространстве, позволяет аппроксимировать биномиальное распределение – функция ПУАССОН;

экспоненциальное (показательное) распределение, моделирует временные задержки между событиями, описывает процессы в задачах массового обслуживания и в задачах с «временем жизни» — ЭКСПРАСП;

распределение хи-квадрат, связано с нормальным, возвращает одностороннюю вероятность распределения и используется для сравнения предполагаемых и наблюдаемых значений – функция ХИ2РАСП;

распределение Стьюдента, связано с нормальным, возвращает вероятность для t-распределения Стьюдента и используется для проверки гипотез при малом объеме выборки – функция СТЬЮДРАСП;

F-распределение (Фишера), связано с нормальным и может быть использовано в F-тесте, который сравнивает степени разброса двух множеств данных – fраспобр;

гамма-распределение используется для изучения случайных величин, имеющих асимметричное распределение, в теории очередей – функция ГАММАРАСП;

а также другие распределения – функции БЕТАРАСП, ВЕЙБУЛЛ, ОТРБИНОМРАСП, ГИПЕРГЕОМЕТ, ЛОГНОРМРАСП и др.

Биномиальное распределение характеризуется числом успешных испытаний m, вероятностью успеха каждого испытания p и общим количеством испытаний n. Классическим примером использования биномиального распределения является выборочный контроль качества больших партий товара, изделий в торговле, на производстве, когда сплошная проверка невозможна. Из партии выбирают n образцов и регистрируют число бракованных m. Бракованными могут быть 1, 2, … , n образцов, но вероятности реального числа бракованных будут различными. Если контрольная вероятность брака ниже допустимой вероятности, то можно гарантировать достаточное качество всей партии.

В Excel функция БИНОМРАСП вычисляет вероятность отдельного значения распределения по заданным m, n и р, а функция КРИТБИНОМ – случайное число по заданной вероятности. Обычно функция КРИТБИНОМ используется для определения наибольшего допустимого числа брака.

В качестве примера построим график плотности вероятности биномиального распределения для n=10 (1, 2, …, 10) и p=0.2. Введите исходные данные, как показано на рисунке:

Далее в ячейку В4 введите статистическую функцию БИНОМРАСП и заполните ее параметры как показано на рисунке:

Здесь параметр Число_s есть число успешных испытаний m, Испытания – число независимых испытаний n, Вероятность_s – вероятность успеха каждого испытания p. Параметр Интегральный равен 0, если требуется получить плотность распределения (вероятность для значения m), и равен 1, если требуется получить вероятность с накоплением (вероятность того, что число успешных испытаний не меньше значения аргумента Число_s).

Формулу из В4 размножьте в ячейки В5:В13. Ниже показан результат:

В колонке В вычислены вероятности успешных испытаний m=1, 2, …, 10. Теперь по диапазону В4:В13 постройте график или гистограмму биномиальной функции плотности распределения – результат на рисунке. Поэкспериментируйте, изменяя значение вероятности в ячейке В1: 0.3, 0.4, 0.8, проследите за изменениями формы графика.

Для иллюстрации функции КРИТБИНОМ используем предыдущий пример – необходимо найти число m, для которого вероятность интегрального распределения больше или равна 0.75. Вызовите функцию КРИТБИНОМ и заполните параметры. Вы должны получить значение 3. Это означает, что при вероятности интегрального распределения >= 0.75 будет не менее трех (m>=3) успешных испытаний.

Нормальное распределение характеризуется средним арифметическим (математическим ожиданием) m и стандартным (среднеквадратичным) отклонением r. Дисперсия равна r 2 . Краткое обозначение распределения N(m,r 2 ). График нормального распределения симметричен относительно центра распределения (точки m), чем меньше r, тем больше вероятность появления случайной величины. В пределы [m—r,m+r] нормально распределенная случайная величина попадает с вероятностью 0,683 в пределы [m-2r,m+2r] — с вероятностью 0,955 и т.д.

При m=0 и r=1 нормальное распределение называется стандартным или нормированным – N(0,1).

Нормальное распределение имеет очень широкий круг приложений. В качестве примера построим график плотности вероятностей нормального распределения при m=15 и r=1,5 в диапазоне [m-3r,m+3r] c шагом 0,5. Результат показан на рисунке.

Выполните следующие действия:

в ячейку А4 введите формулу =B1-3*B2, в ячейку А5 формулу =A4+B$3 и размножьте ее по ячейку А22;

в ячейку В4 введите функцию НОРМРАСП из группы Статистические – параметры заполните как на рисунке;

размножьте формулу из ячейки В4 по ячейку В22 и по диапазону В4:В22 постройте график; на 2-ом шаге мастера диаграмм в закладке Ряд введите подписи к оси х из диапазона А4:А22.

Источник

Формула Бернулли в Excel

Схема независимых испытаний

Формула Бернулли в Эксель

Примеры решений задач

Полезные ссылки

Решебник задач по вероятности

Формула Бернулли в Excel

Схема независимых испытаний

Формула Бернулли в Эксель

Примеры решений задач

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ для расчета вероятности событий в Excel

Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel

Вычисление процента вероятности события в Excel

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ при нескольких условиях интервалов

Решение задач на вычисление вероятности в Excel

Примеры использования функции вероятность для расчетов в Excel

Вычисление процента вероятности события в Excel

Функция ВЕРОЯТНОСТЬ при нескольких условиях интервалов

Пример 1: Вероятность игры в кости

Пример 2: Вероятность продаж

Дополнительные ресурсы

Example 1: Dice Probabilities

Example 2: Sales Probabilities

Additional Resources

Элементы теории вероятностей

Ход урока

Организационный момент.

Актуализация опорных знаний. Опрос.

Решить задачу:

Закрепление материала

Подведение итогов (выставление оценок)

Схема независимых испытаний

Формула Бернулли в Эксель

Примеры решений задач

Генеральная совокупность и случайная величина

Функция распределения

Непрерывные распределения и плотность вероятности

Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL

Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL

Обратная функция распределения (Inverse Distribution Function)

Элементы
теории вероятностей