Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников excel - Word и Excel

Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии — 60 изделий, второй линии — 75 изделий. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй мо¬дели — 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй моделей равна 30 и 20 долларов, соответственно. Определить оптимальный суточный объем производства первой и второй моделей. Спокойно могу сделать с помощью формул и команд, но понятие не имею как сделать с помощью оптимизации, подскажите, пожалуйста

Источник

Лабораторная работа 3. Поиск решения в Microsoft Excel

Целью лабораторной работы является
изучение возможностей средства Поиск решения MS Excel для решения
оптимизационных задач.

К защите лабораторной работы студент
должен предоставить файл ЛР3_ФамилияИО.xlsx с решенными задачами
на листах: Задача1, Задача2, Задача3, Задача4.

Сохраните рабочую книгу MS Excel в своей папке под именем
ЛР3_ФамилияИО.xlsx.

Задача 1. Транспортная задача
	Постановка задачи

Некоторая
фирма имеет 4 фабрики и пять центров распределения товаров. Фабрики
располагаются в Витебске, Гомеле, Могилеве и Полоцке и имеют производственные
мощности для выпуска соответственно 200, 150, 225 и 175 единиц продукции
ежедневно. Центры распределения товаров располагаются в Минске, Бресте, Пинске,
Гродно и Лиде и имеют ежедневные потребности в продукции 100, 200, 50, 250 и
150 единиц соответственно. Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в
пункты распределения приведена в таблице 1.

Таблица 1 – Транспортные расходы

Стоимость перевозок

Фабрики Склады

Минск Брест Пинск Гродно Лида

Витебск $2,00 $2,00 $1,75 $2,25 $2,25

Гомель $2,50 $0,50 $1,50 $1,00 $1,50

Могилев $1,50 $1,50 $1,75 $1,75 $1,75

Полоцк $2,00 $2,00 $1,75 $1,75 $1,75

Необходимо так
спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Оценка информации. Данная модель
сбалансирована, т.е. суммарный объем произведенной продукции (750) равен суммарному
объему потребностей в ней (750).

Введем обозначения:

•
x_ij – объем перевозок с i-й фабрики в j-й
центр распределения;

•
c_ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-й
фабрики в j-й центр распределения;  a_i – объем
производства на i-й фабрике;

•
b_j – спрос в j-м центре распределения.

Математическая модель этой задачи состоит из трех
ограничений:

4 5


x_ij
b_j, j 1,5;

x_ij
a_i, i 1,4;
x_ij
0, i 1,4,
j 1,5

i1 j1

4 5

и целевой функции, минимизирующей транспортные расходы: c_ijx_ij
min .

i 1 j 1

Порядок выполнения:

Переименуйте Лист1 рабочей книги,
новое имя листа – Задача1. Сохраните файл. Выполните следующую подготовительную
работу для решения транспортной задачи с помощью средства Поиск решения
(рисунок 1).

Рисунок
1 – Исходные данные транспортной задачи

В ячейки диапазона G12:G15 введите
формулы, вычисляющие суммарный объем товаров по каждой фабрике, а в ячейки B16:F16
– формулы, вычисляющие объемы доставляемой продукции в пункты распределения. В целевую
ячейку G8 введите формулу, вычисляющую суммарные транспортные расходы.

При создании вычислительной модели используем
инструмент Поиск решения и заполняем диалоговое окно, как показано на рисунке
2. Нажмите кнопку Параметры диалогового окна Поиск решения. Откроется
диалоговое окно Параметры поиска решения, в котором необходимо установить
Линейность модели (рисунок 3).

После нажатия кнопки Найти
решение будут найдены оптимальный план поставок продукции и соответствующие
ему транспортные расходы (рисунок 4). Сохраните найденное решение.

Рисунок
2 – Окно Поиск решения после заполнения для транспортной задачи

Рисунок
3 – Окно Параметры поиска решения после заполнения для транспортной задачи

Рисунок 4 – Решенная транспортная задача

Задача 2. О планировании производства
	Постановка задачи

Предприятие электронной
промышленности выпускает две модели радиоприемников, причем каждая модель
производится на отдельной технической линии. Суточный объем производства первой
линии – 60 изделий, второй линии – 75 изделий. На радиоприемник первой модели
расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприемник второй
модели – 8 таких элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов
равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй
модели равна 30 и 20 у.е. соответственно. Определите оптимальный суточный объем
производства первой и второй моделей.

Оценка информации. Предприятию
необходимо спланировать объем выпуска радиоприемников так, чтобы максимизировать
прибыль.

Введем обозначения:

•
x₁ – суточный объем выпуска радиоприемников
первой модели;

•
x₂ – суточный объем выпуска радиоприемников
второй модели.

Математическая модель этой задачи состоит из ограничений:

x₁60

 x
_j
0, j
1,2

x₂75

^10x₁8x₂800

Кроме того, на ^x₁ и ^x₂ налагаются
условия целочисленности, т.е. полученные в результате расчетов значения объемов
выпуска должны быть целыми числами.

Целевая функция 30x₁20x₂max .

Порядок выполнения:

Выполните следующую подготовительную
работу для решения задачи о планировании производства с помощью средства Поиск
решения (рисунок 5).

Рисунок
5 — Таблица с исходными данными и формулами

Введите в ячейки С4 и С5
данные об объемах выпуска радиоприемников, удовлетворяющие условиям задачи (допустимый
план задачи), равные 40 единицам. Просмотрите полученные результаты.

При создании вычислительной модели используем
инструмент Поиск решения и заполняем диалоговое окно, как показано на рисунке
6.

Рисунок
6 — Окно Поиск решения для задачи о планировании производства

После нажатия кнопки Найти
решение будут найдены оптимальный план производства. Проанализируйте изменения
в таблице.

Переименуйте Лист2 с решенной задачей,
новое имя листа – Задача2. Сохраните файл. (Впоследствии каждую задачу необходимо
решать на новом листе рабочей книги, листы называть соответственно задачам).

Задача 3. О снабжении
	Постановка задачи

Некоторое
учреждение приняло решение одеть своих сотрудников в фирменные костюмы. Оно
получило предложения от фирм f1, f2 и f3 на поставку фирменных костюмов трех
размеров: s1, s2 и s3. Стоимость костюмов приведена в таблице 2.

Таблица 2 – Стоимость костюмов

	s1	s2	s3
фирма f1	110	115	126
фирма f2	107	115	130
фирма f3	104	109	116

Будут заключены
контракты на покупку 1000 костюмов размера s1, 1500 костюмов размера s2 и 1200
костюмов размера s3. Производственные мощности фирм позволяют выпускать 1000
костюмов разных размеров фирме f1, 1500 костюмов фирме f2 и 2500 костюмов фирме
f3.

Как следует распределить заказы, чтобы
контракты были заключены с минимизацией общей стоимости?

Оценка информации. Заметим,
что общее предложение (5000) превосходит общий спрос (3700), т.е. налицо некоторая
избыточная производственная мощность. Мы понимаем, что учреждение должно получить
ровно столько костюмов, сколько работников оно собирается ими обеспечить. А вот
с какой фирмы и сколько будет взято костюмов, выяснится в результате решения задачи.
Введем обозначения:

•
a1, a2, a3 – количество костюмов размера s1, выпускаемых соответственно
фирмами f1, f2 и f3;

•
b1, b2, b3 – количество костюмов размера s2, выпускаемых соответственно
фирмами f1, f2 и f3;  c1, c2, c3 – количество костюмов
размера s3, выпускаемых соответственно фирмами f1, f2 и f3. Математическая
модель этой задачи состоит из шести ограничений:

a1 + a2
+ a3 = 1000, b1 + b2 + b3 = 1500, c1 + c2 + c3 = 1200, a1 + b1 + c1 <= 1000,
a2 + b2 + c2 <= 1500, a3 + b3 + c3 <= 2500

и целевой функции, минимизирующей общую стоимость:

110a1 + 107a2
+ 104a3 + 115b1 + 115b2 + 109b3 + 126c1 + 130c2 + 116c3 → min.

Порядок выполнения:

Выполните следующую подготовительную работу для решения
задачи (рисунок 7).

Рисунок
7 – Исходные данные для задачи о снабжении

В ячейки J4:J6 введите формулы
для расчета общего объема поставок от фирм f1, f2 и f3 соответственно, используя
функцию СУММ. В ячейки G7:I7 введите формулы, подсчитывающие общее
количество костюмов s1, s2 и s3. В целевой ячейке D8 подсчитайте общую стоимость
костюмов.

При создании вычислительной модели используем
инструмент Поиск решения, т.к. задача имеет достаточно много переменных
(9). При этом для изменяемых ячеек (переменных) необходимо будет добавить два ограничения.
Значения их должны быть целочисленными и неотрицательными (рисунок 8). Всего должно
быть 8 ограничений.

Рисунок
8 – Окно Поиск решения после заполнения для задачи о снабжении

После нажатия кнопки Найти
решение получим оптимальный план распределения заказов (рисунок 9). Сохраните
файл.

Рисунок
9 – Решенная задача о снабжении

Задача 4. О назначениях
	Постановка задачи

Имеются
четыре рабочих и четыре вида работ. Стоимости c_ij выполнения i-м рабочим j-й работы
приведены в таблице 3, где под строкой понимается рабочий, а под столбцом –
работа

Таблица 3 – Стоимость выполнения работ

1	4	6	3
9	10	7	9
4	5	11	7
8	7	8	5

Рабочие

Виды
работ

Необходимо
составить план выполнения работ так, чтобы все работы оказались выполненными,
каждый рабочий был загружен только на одной работе, а суммарная стоимость
выполнения всех работ была минимальной.

Оценка информации. Данная задача
является сбалансированной, т.е. число работ совпадает с числом рабочих. Если задача
не сбалансирована, то перед началом решения ее необходимо сбалансировать, введя
недостающее число фиктивных строчек или столбцов с достаточно большими штрафными
стоимостями работ. Введем обозначения:

•
x_ij
– переменная, имеющая только два допустимых значения: 0 или 1 (такие
переменные называются двоичными);  x_ij=1, если i—м рабочим выполняется j-я работа;

•
x_ij=0,
если i—м рабочим не
выполняется j-я работа.

Математическая модель этой задачи состоит из ограничений:

4 4

 x_ij1, j 1,4;

i1

x_ij1, i 1,4;

j1

x_ij{0,1},i 1,4, j 1,4

4 4

и целевой функции, минимизирующей суммарную стоимость выполнения
всех работ: c_ijx_ij
min .

i
1 j 1 Порядок выполнения:

Выполните следующую подготовительную
работу для решения задачи о назначениях с помощью средства Поиск решения
(рисунок 10).

Рисунок
10 – Исходные данные задачи о назначениях

В ячейки диапазона B14:E14 и F10:F13 введите следующие
формулы, задающие левые части ограничений:

Ячейка	Формула	Ячейка	Формула
B14	=СУММ(B10:B13)	F10	=СУММ(B10:E10)
C14	=СУММ(C10:C13)	F11	=СУММ(B11:E11)
D14	=СУММ(D10:D13)	F12	=СУММ(B12:E12)
E14	=СУММ(E10:E13)	F13	=СУММ(B13:E13)

В целевую ячейку F9 введите формулу, вычисляющую
суммарную стоимость выполнения работ.

При создании вычислительной модели используем
инструмент Поиск решения и заполняем диалоговое окно, как показано на рисунке
11.

Рисунок
11 – Окно Поиск решения после заполнения для задачи о назначениях

После нажатия кнопки Найти решение получим оптимальный
план выполнения работ. Сохраните файл.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задача 5. Транспортная задача
	Постановка задачи

Имеются n пунктов производства
и m пунктов распределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции
с i-го пункта производства в j-й центр распределения c_ij
приведена в таблице, где под строкой понимается пункт производства, а под столбцом
– пункт распределения. Кроме того, в этой таблице в i-й строке указан объем
производства в i-м пункте производства, а в j-м столбце указан спрос
в j-м центре распределения. Необходимо составить план перевозок продукции
в пункты распределения, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

Задача 6. Транспортная задача
	Постановка задачи

На складах w1, w2, w3 хранятся соответственно
15, 25, 20 кроватей, которые должны быть распределены по четырем магазинам ml,
m2, mЗ, m4, где требуется 20, 12, 5 и 9 кроватей. Пусть стоимость перевозки одной
кровати со склада в магазин задается следующей таблицей в условных единицах:

Склад	Магазин
ml	m2	m3	m4
w1	2	2	2	4
w2	3	1	1	3
w3	3	6	3	4

Как следует планировать перевозку для минимизации стоимости?

Задача 7. Транспортная задача
	Постановка задачи

Компания владеет тремя заводами А, В,
С. Объем их производства равен соответственно 6000, 3000 и 3000 единиц. Компания
обязалась поставлять соответственно 1500, 2500, 2700 и 3300 единиц продукции в города
W, X, Y, Z. При заданных стоимостях перевозок составьте оптимальный план распределения.

Задача 8. Задача о назначениях
	Постановка задачи

Имеются n рабочих мест и m
видов работ. Стоимость c_ij выполнения i-м рабочим j-й
работы приведена в таблице, где под строкой понимается рабочий, а под столбцом
– работа. Необходимо составить план работ так, чтобы все работы были выполнены,
каждый рабочий был занят только на одной работе, а суммарная стоимость работ была
минимальной.

Вариант 1.

	Стоимость выполнения работ
3	6	2	5
1	2	7	11
5	12	11	9
2	4	2	10

Рабочие

Виды
работ

Вариант 2.

	Стоимость выполнения работ
1	3	6	5
5	2	7	8
3	5	1	9
6	4	2	10

Рабочие

Виды
работ

Задача 9. Производственная задача
	Постановка задачи

Фирма производит две модели А и В сборных
книжных полок. Их производство ограничено наличием сырья (высококачественных досок)
и временем машинной обработки. Для каждого изделия модели А требуется 3м²
досок, а для изделия модели В – 4м². Фирма может получать до 1700м²
досок в неделю. Для каждого изделия модели А требуется 12 минут машинного времени,
а для изделия модели В – 30 минут. В неделю можно использовать 160 часов
машинного времени.

Сколько изделий каждой модели следует
фирме выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль, если каждое изделие
модели А приносит 2 условные единицы прибыли, а каждое изделие модели В – 4 условные
единицы прибыли?

Задача 10. Производственная задача
	Постановка задачи

Фирма производит два продукта А и В,
рынок сбыта которых неограничен. Каждый продукт должен быть обработан каждой из
машин I, II, III. Время обработки в часах для каждого из продуктов А и В приведено
в таблице. Время работы машин I, II, III соответственно равно 40, 36 и 36 часов
в неделю. Прибыль от изделий А и В составляет соответственно 5 и 5 условных единиц.
Фирме надо определить недельные нормы выпуска продуктов А и В, максимизирующие прибыль.

Машины

III

продукт А

продукт В

0,5

0,25

0,4

0,3

0,2

0,4

Задача 11. Производственная задача
	Постановка задачи

Процесс изготовления изделий двух видов
А и В некоторым заводом требует, во-первых, последовательной обработки на токарных
и фрезерных станках, во-вторых, затрат двух видов сырья: стали и цветных металлов.
В таблице приводятся данные о потребности каждого ресурса на единицу выпускаемого
изделия, общие запасы ресурсов и прибыль от реализации каждой единицы изделия. Определить
такой план выпуска продукции, который обеспечивает максимальную прибыль при условии,
что время работы фрезерных станков должно быть использовано полностью.

Задача 12. Производственная задача
	Постановка задачи

Производитель безалкогольных напитков
располагает двумя разливочными машинами А и В. Машина А спроектирована для пол-литровых
бутылок, а машина В — для литровых, но каждая из них может использоваться для обоих
типов бутылок с некоторой потерей эффективности в соответствии с приведенными в
таблице сведениями о работе машин, каждая из машин работает ежедневно по 6 часов
при пятидневной рабочей неделе. Прибыль от поллитровой бутылки составляет 4 цента,
а от литровой — 10 центов. Недельная продукция не может превосходить 50000 л; рынок
принимает не более 44000 пол-литровых бутылок и 30000 литровых. Требуется максимизировать
прибыль.

Машина

Количество бутылок,
производимых в 1 мин.

пол-литровые

литровые

50 40

20 30

Источник

во втором поле выбрать оператор ограничения (>, Поиск решения).

Найденные решения (значения изменяемых ячеек) можно сохранить в качестве сценария. Для этого нужно:

В диалоговом окне Результаты поиска решения выбрать Сохранить сценарий.
В поле Название сценария ввести имя сценария. Просмотреть сценарии можно с помощью команды Данные > Работа с данными > Анализ что-если > Диспетчер сценариев > Сценарии.

С помощью программы Поиск решения можно создать три типа отчетов по результатам, полученным при успешном завершении процедуры решения.

Каждый отчет создается на отдельном листе текущей рабочей книги.

Для создания отчета надо в диалоговом окне Результаты поиска решения выбрать нужный тип отчета в поле Тип отчета. Можно выбрать сразу несколько типов (при выделении нескольких строк используется клавиша ).

Результаты – отчет содержит целевую ячейку, список изменяемых ячеек, их исходные и конечные значения, ограничения и сведения о них.
Устойчивость – отчет содержит сведения о степени зависимости модели от изменений величин, входящих в формулы, применяемые в задаче (формулы модели и формулы ограничений).
Пределы – выводится целевая ячейка и ее значение, а также список изменяемых ячеек, их значений, нижних и верхних пределов и целевых результатов.

Рассмотрим применение процессора Excel для решения ЗЛП на примерах.

Задача 1. Планирование производства

Модель линейного программирования дает возможность определить наиболее выгодную производственную программу выпуска нескольких видов продукции при заданных ограничениях на ресурсы.

МП выпускает товары х₁,х₂,х₃,х₄, получая от реализации каждого прибыль в 60,70,120,130 руб. соответственно. Затраты на производство приведены в таблице.

Затраты	х₁	х₂	x₃	х₄	Всего
Трудовые	1	1	1	1	16
Сырьевые	6	5	4	1	110
Финансы	4	6	10	13	100

Максимум прибыли в зависимости от оптимального распределения затрат.
Минимум ресурсов, необходимых для получения максимальной прибыли.

Решение задачи средствами Excel состоит из 4 этапов:

Создание математической модели задачи ЛП.
Создание формы для ввода условий задачи, ввод в неё исходных данных и зависимостей из математической модели.
Ввод данных из формы в окно Excel Поиск решения из меню Данные.
Задание параметров поиска и решение задачи.

Создание математической модели задачи

Составим математическую модель процесса по описанию задачи:

— целевая функция прибыли.

— граничные условия модели, так как количество производимых товаров не может быть отрицательной величиной.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее первого рабочего листа на Задача о производстве.

Создание формы

Составление формы в виде:

A	B	C	D	E	F	G	H
1	Переменная	х₇	х₂	x₃	х₄	Формула	Знак	Св.член
2	Значение
3	Коэф. ЦФ	60	70	120	130	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В3:Е3)	Max
4	Трудовые	1	1	1	1	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В4:Е4)		16
5	Сырьевые	6	5	4	1	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В5:Е5)		110
6	Финансы	4	6	10	13	=СУММПРОИЗВ(В$2:Е$2;В6:Е6)		100

Запись в ячейки В3:Е3 коэффициентов целевой функции F (1), в В4:Е6 коэффициентов из системы ограничений (2) и в ячейки Н4:Н6 – свободных членов из системы (2).
Ввод формул с помощью f_x – Мастера функций.

Для ввода формулы в целевую ячейку (целевой функции): щелкнуть левой клавишей мыши по ячейке F3 , затем по значку Мастера функций f_x на панели инструментов, в появившемся окне «Мастер функций, Шаг 1» выбрать категорию «Математические», далее выбрать функцию СУММПРОИЗВ, нажать клавишу ОК, в окне «Мастер функций Шаг 2» в поле Массив 1 ввести с клавиатуры В2:Е2 (ячейки, в которых будут варьироваться х₁..х₄), в поле Массив 2 ввести В3:Е3 (коэффициенты целевой функции ЦФ).

Примечание. Можно вводить В2:Е2 не с клавиатуры, а поставить курсор в окно Массив 1, а затем протащить курсор при нажатой левой клавише мыши по ячейкам В2:Е2, имена ячеек сами запишутся в окно. Аналогично поступить с полем Массив 2.

Нажать клавишу ОК, в ячейку F3 запишется формула 60х₁+70х₂+120х₃+ 130х₄ в виде СУММПРОИЗВ(В2:Е2;В3:Е3).

Чтобы не вводить формулы в другие ячейки, необходимо изменить тип адресации для ячеек В2:Е2 с относительной на абсолютную $B$2:$E$2 , установив курсор перед нужным адресом B2 и нажав функциональную клавишу F4 , затем повторить эти действия для адреса E2 . Формула примет следующий вид:

После внесенных изменений необходимо скопировать формулу в ячейки F4:F6 c помощью маркера заполнения. Для этого необходимо выделить ячейку F3 , содержащую нужную формулу, установить указатель мыши на черный квадратик в правом нижнем углу ячейки (он примет форму черного крестика) и протащить с помощью левой кнопки мыши на весь требуемый диапазон.

В результате копирования мы увидим следующие формулы:

в ячейке F4 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В4:Е4),
в ячейке F5 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В5:Е5),
в ячейке F6 – СУММПРОИЗВ($В$2:$Е$2;В6:Е6).

Заполнение окна Поиск решения

Выбрать в пункте меню Данные команду Поиск решения, поставить курсор в поле целевой функции, выделить ячейку F3 в форме (или ввести F3 с клавиатуры), поставить переключатель в положение «Максимальному значению» (см. рис. 12.1 рис. 12.1). В поле «Изменяя ячейки» ввести $В$2:$Е$2(с клавиатуры или протащив мышью).

Нажать клавишу «Добавить», в окне «Добавление ограничения» в поле «Ссылка на ячейку» ввести F4 , выбрать через «стрелка вниз» знак ««, в поле справа ввести Н4 (рис. 12. рис. 12.2).

Аналогично через «Добавить» ввести , для системы ограничений (2), а также , , и .

Также необходимо добавить ограничения для получения целочисленных величин по количеству товаров: B2=цел, C2=цел, D2=цел и Е2=цел.

После ввода последнего граничного условия вместо «Добавить» нажать клавишу ОК, появится окно «Поиск решения».

Для изменения или удаления ограничений и граничных условий используются клавиши Изменить, Удалить.

Параметры поиска

В окне «Поиск решения» нажать клавишу «Параметры», выбрать по умолчанию Максимальное время – 100 с, число итераций – 100 (для большинства задач это количество просчётов подходит с большим запасом), установить флажок в строке «Линейная модель», нажать ОК, в появившемся окне Поиск Решения нажать Выполнить (рис. 12. рис. 12.3).

Результаты поиска решения с таблицей результатов:

A	B	C	D	E	F	G	H
1	Переменная	X1	X₂	X₃	X₄	Формула	Знак	Св.член
2	Значение	10	0	6	0
3	Коэф. ЦФ	60	70	120	130	1320	Max
4	Трудовые	1	1	1	1	16		16
5	Сырьевые	6	5	4	1	84		110
6	Финансы	4	6	10	13	100		100

Таким образом оптимальный план Х(Х₁,Х₂,Х₃,Х₄)=(10,0,6,0) при минимальном использовании ресурсов

Трудовые – 16 (У₁)
Сырьевые – 84 (У₂)
Финансы – 100 (У₃)

даёт максимум прибыли F в 1320 руб.

_Вывод: Максимальная прибыль F в 1320 руб. получается при выпуске только товаров Х₁ и Х₃ в количестве 10 и 6 штук соответственно, товары Х₃ и Х₄ выпускать не нужно (это приведёт к снижению прибыли). Трудовые (У₁) и финансовые (У₃) ресурсы используются полностью, по сырьевым ресурсам (У₂) есть запас в 110-84=26 ед.

Кроме того, это означает, что изменение трудовых ( y₁ ) и финансовых ( y₃ ) ресурсов приведёт к изменению прибыли F , а изменение сырьевых ресурсов ( y₂ ) – нет.

Разности между плановыми ресурсами и использованными являются двойственными переменными y₁, y₂ и y₃ сопряжённой задачи линейного программирования. В данном случае y₁=y₃=0 , а y₂=26 ед. Таким образом, ресурс y₂ можно уменьшить на 26 ед., тогда план по сырью тоже будет оптимальным.

Задача 2. Задача об оптимальной диете

Требуется определить оптимальный состав рациона продуктов, такой, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необходимом количестве, обеспечивающем суточную потребность человека, и при этом суммарная калорийность рациона была минимальной.

Ведем в рассмотрение следующие переменные: х – весовое количество продукта питания i-го типа в суточном рационе.

Тогда в общем случае математическая постановка задачи об оптимальной диете может быть сформулирована следующим образом:

где множество допустимых альтернатив формируется следующей системой ограничений типа неравенств:

Для решения задачи об оптимальной диете с помощью программы MS Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной задачи.

Для определенности предположим, что в качестве исходных типов продуктов рассматриваются: хлеб, мясо, сыр, бананы, огурцы, помидоры, виноград ( n = 7), а в качестве питательных веществ рассматриваются белки, жиры, углеводы ( m = 3).

Калорийность одной весовой единицы каждого из продуктов следующая:с₁ = 2060,с₂= 2430,с₃= 3600,с₄= 890,с₅= 140,с₆= 230, с₇ = 650. Содержание питательных веществ в каждом из продуктов может быть задано в форме нижеприведенной таблицы.

Минимальная суточная потребность в питательных веществах следующая: в белках b ₁ = 100, в жирах b ₂= 70, в углеводах b3 = 400.

Для решения данной задачи c помощью программы MS Excel создадим новую книгу с именем Линейное программирование и изменим имя ее второго рабочего листа на Задача о диете.

Таблица 1. Содержание питательных веществ в продуктах питания

Продукты/питательные вещества	Хлеб ржаной	Мясо баранина	Сыр «Российский»	Банан	Огурцы	Помидоры	Виноград
Белки	61	220	230	15	8	11	6
Жиры	12	172	290	1	1	2	2
Углеводы	420	0	0	212	26	38	155