Построить полином лагранжа в excel

Для нахождения промежуточного итога используют математический метод интерполяции. В Excel тоже имеется возможность его применения.

Использование интерполяции

Главное условие, при котором можно применять интерполяцию – это то, что искомое значение должно быть внутри массива данных, а не выходить за его предел. Например, если мы имеем набор аргументов 15, 21 и 29, то при нахождении функции для аргумента 25 мы можем использовать интерполяцию. А для поиска соответствующего значения для аргумента 30 – уже нет. В этом и является главное отличие этой процедуры от экстраполяции.

Источник: http://lumpics.ru/interpolation-in-excel/

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

• 1-й способ с помощью графика;
• 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН;
• 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

1-й способ расчета полинома — с помощью графика

Выделяем ряд со значениями и строим график временного ряда.

На график добавляем полином 6-й степени.

Затем в формате линии тренда ставим галочку «показать уравнение на диаграмме»

После этого уравнение выводится на график y = 3,7066×6 — 234,94×5 + 4973,6×4 — 35930×3 — 7576,8×2 + 645515x + 5E+06. Для того чтобы последний коэффициент сделать читаемым, мы зажимаем левую кнопку мыши и выделяем уравнение полинома

Нажимаем правой кнопкой и выбираем «формат подписи линии тренда»

В настройках подписи линии тренда выбираем число и в числовых форматах выбираем «Числовой».

 

Получаем уравнение полинома в читаемом формате:

 y = 3,71×6 — 234,94×5 + 4 973,59×4 — 35 929,91×3 — 7 576,79×2 + 645 514,77x + 4 693 169,35

Из этого уравнения берем коэффициенты a, b, c, d, g, m, v, и вводим в соответствующие ячейки Excel

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение вместо X.

Рассчитаем значения полинома для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома y = 3,71×6 — 234,94×5 + 4 973,59×4 — 35 929,91×3 — 7 576,79×2 + 645 514,77x + 4 693 169,35 в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см. статью как зафиксировать ссылки)

Получаем формулу следующего вида:

=R2C8*RC[-3]^6+R3C8*RC[-3]^5+R4C8*RC[-3]^4+R5C8*RC[-3]^3+R6C8*RC[-3]^2+R7C8*RC[-3]+R8C8 

в которой коэффициенты тренда зафиксированы и вместо «x» мы подставляем ссылку на номер текущего временного ряда (для первого значение 1, для второго 2 и т.д.)

Также «X» возводим в соответствующую степень (значок в Excel «^» означает возведение в степень)

=R2C8*RC[-3]^6+R3C8*RC[-3]^5+R4C8*RC[-3]^4+R5C8*RC[-3]^3+R6C8*RC[-3]^2+R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода. 

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

2-й способ расчета полинома в Excel — функция ЛИНЕЙН()

 Рассчитаем коэффициенты линейного тренда с помощью стандартной функции Excel =ЛИНЕЙН()

Для расчета коэффициентов в формулу =ЛИНЕЙН(известные значения y, известные значения x, константа, статистика) вводим:

• «известные значения y» (объёмы продаж за периоды),
• «известные значения x» (порядковый номер временного ряда),
• в константу ставим «1»,
• в статистику «0»

Получаем следующего вида формулу:

=ЛИНЕЙН(R[-4]C:R[-4]C[24];R[-5]C:R[-5]C[24];1;0),

Теперь, чтобы формула Линейн() рассчитала коэффициенты полинома, нам в неё надо дописать степень полинома, коэффициенты которого мы хотим рассчитать.

Для этого в часть формулы с «известными значениями x» вписываем степень полинома:

• ^{1:2:3:4:5:6} — для расчета коэффициентов полинома 6-й степени
• ^{1:2:3:4:5} — для расчета коэффициентов полинома 5-й степени
• ^{1:2} — для расчета коэффициентов полинома 2-й степени

Получаем формулу следующего вида:

=ЛИНЕЙН(R[-4]C:R[-4]C[24]; R[-5]C:R[-5]C[24]^{1:2:3:4:5:6}; 1; 0)

Вводим формулу в ячейку, получаем 3,71 —- значение (a) для полинома 6-й степени y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v

Для того, чтобы Excel рассчитал все 7 коэффициентов полинома 6-й степени y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v, необходимо:

1. Установить курсор в ячейку с формулой и выделить 7 соседних ячеек справа, как на рисунке:

2. Нажать на клавишу F2

 3. Затем одновременно — клавиши CTRL + SHIFT + ВВОД (т.е. ввести формулу массива, как это сделать читайте подробно в статье «Как ввести формулу массива»)

Получаем 7 коэффициентов полиномиального тренда 6-й степени.

Рассчитаем значения полиномиального тренда с помощью полученных коэффициентов. Подставляем в уравнение y=3,7* x ^ 6 -234,9* x ^ 5 +4973,5* x ^ 4 -35929,9 * x^3 -7576,7 * x^2 +645514,7* x +4693169,3 номера периодов X, для которых хотим рассчитать значения полинома.

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение полинома вместо X.

Рассчитаем значения полиномиального тренда для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см. статью как зафиксировать ссылки)

Получаем формулу следующего вида:

=R2C8*RC[-3]^6+R3C8*RC[-3]^5+R4C8*RC[-3]^4+R5C8*RC[-3]^3+R6C8*RC[-3]^2+R7C8*RC[-3]+R8C8 

в которой коэффициенты тренда зафиксированы и вместо «x» мы подставляем ссылку на номер текущего временного ряда (для первого значение 1, для второго 2 и т.д.)

Также «X» возводим в соответствующую степень (значок в Excel «^» означает возведение в степень)

=R2C8*RC[-3]^6+R3C8*RC[-3]^5+R4C8*RC[-3]^4+R5C8*RC[-3]^3+R6C8*RC[-3]^2+R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода. 

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

2-й способ точнее, чем первый, т.к. коэффициенты тренда мы получаем без округления, а также этот расчет быстрее.

3-й способ расчета значений полиномиальных трендов  — Forecast4AC PRO

Устанавливаем курсор в начало временного ряда

Заходим в настройки Forecast4AC PRO, выбираем «Прогноз с ростом и сезонностью», «Полином 6-й степени», нажимаем кнопку «Рассчитать».

Заходим в лист с пошаговым расчетом «ForPol6», находим строку «Сложившийся тренд»:

Копируем значения в наш лист.

Получаем значения полинома 6-й степени, рассчитанные 3 способами с помощью:

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

1. Коэффициентов полиномиального тренда выведенных на график;
2. Коэффициентов полинома рассчитанных с помощью функцию Excel =ЛИНЕЙН
3. и с помощью Forecast4AC PRO одним нажатием клавиши, легко и быстро.

Статья полезная? Поделитесь с друзьями

Источник: http://4analytics.ru/trendi/3-sposoba-rascheta-polinoma-v-excel.html

2.4.2. Реализация алгоритма интерполяции по формулам Лагранжа в среде программы Microsoft Excel

Реализация алгоритма интерполяции начинается, как и при ручных вычислениях с записи формул для вычисления коэффициентов qi На рис. 9 приведена столбцы таблицы с заданными значениями аргумента, интерполируемой функции и коэффициентов qi. Справа от этой таблицы приведены формулы, записываемые в ячейки столбца С для вычисления значений коэффициентов qi.

в С2: «=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))» Æ q0 в С3: «=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))» Æ q1 в С4: «=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))» Æ q2 в С5: «=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))» Æ q3

Рис. 9 Таблица коэффициентов qi и вычислительные формулы

После ввода формулы q0 в ячейку С2 она протягивается по ячейкам от С3 до С5. После чего формулы в этих ячейках корректируются в соответствии с (16) к виду, приведённому на рис. 9.

Реализуя формулы (17), запишем формулы для вычисления значений li(x) (i=0,1,2,3) в ячейки столбцов D, E, F и G. В ячейку D2 для вычисления значения l0(x0) запишем формулу:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

здесь $C$2 — абсолютная ссылка на ячейку со значением q0, $A2 — ссылка на ячейку, в которую записано значение x0. Протянув эту формулу по столбцу, получим значения l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Формат ссылки $A2 позволяет протянуть формулу по столбцам E, F, G для формирования вычислительных формул для вычисления li(x0) (i=1,2,3). При протягивании формулы по строке индекс столбца аргумента х не меняется. Для вычисления li(x0) (i=1,2,3) после протягивания формулы l0(x0) необходимо выполнить их корректировку по формулам (17).

Источник: http://studfile.net/preview/2630292/page:4/

3.1. Задача интерполяции

Пусть функция  задана набором точек  наинтервале :

, ,           (3.1)

Задача интерполяции – найти функцию ,принимающую в точках  теже значения . Тогда, условие интерполяции:

          (3.2)

При этом предполагается, что среди значений  нетодинаковых. Точки  называют узлами интерполяции.

Если  ищется только на отрезке  – то это задача интерполяции, а если за пределами первоначального отрезка, то это задача экстраполяции.

Задача нахождения интерполяционной функции  имеет много решений, так как через заданные точки  можно провести бесконечно много кривых, каждаяиз которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Для практики важен случай интерполяции функции многочленами:

,           (3.3)

При этом искомый полином называется интерполяционным полиномом.

При построении одного многочлена для всего рассматриваемого интервала  для нахождения коэффициентов многочлена необходимо решить систему уравнений, построенную на основе полинома (3.3). Данная система содержит  уравнение, следовательно, с ее помощью можно определить  коэффициент. Поэтому максимальная степень интерполяционного многочлена , и многочлен принимает вид

,           (3.4)

Источник: http://aco.ifmo.ru/el_books/numerical_methods/lectures/glava3.html

Microsoft Excel 5.0 Отчет по устойчивости

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 5837 ; Нарушение авторских прав

Изменяемые ячейки

Microsoft Excel 5.0 Отчет по устойчивоcти

Окончательный вид решения нелинейной модели

Отчеты по пределам практически ничем не отличаются от соответствующих отчетов по пределам, выдаваемых для линейных задач. В случае отчетов по устойчивости имеются некоторые различия, которые мы рассмотрим на примере сравнения двух отчетов по решению линейной задачи, приведенной нами выше в Табл. 7.13. Один из этих отчетов по устойчивости, изображенный на Рис. 7.16, получен при решении данной задачи симплекс методом (включаемым кнопкой Линейная модельв диалоговом окне Параметры поиска решения). Второй — получен при решении данной задачи методами нелинейного программирования (см. Рис. 7.17).

Рис. 7. 16. Отчет об устойчивости для линейных задач

Рис. 7.17. Отчет об устойчивости для нелинейных задач

Как видно из сравниваемых отчетов, они иллюстрируют одно и тоже полученное решение. Это значит, что использование обоих методов оптимизации (линейного и нелинейного) привело к получению одного и того же решения. Здесь нет ничего удивительного, поскольку данная задача имеет единственное решение. Однако, в случае, если рассматриваемая задача имеет несколько решений, нет никаких гарантий того, что оба метода оптимизации выберут одно и тоже решение.

Нетрудно также заметить, сравнивая данные отчеты, что значения, указанные в колонках «Редуцированная стоимость» и «Теневая цена» на Рис. 7.16 частично совпадают с величинами, содержащимися в столбцах «Нормир. Градиент» и «Множитель Лагранжа» на Рис. 7.17. При рассмотрении отчетов задач, решаемых симплекс методом, мы определили, что теневые цены ограничений вычисляют предельную стоимость дополнительной единицы ресурса, выражаемого данным ограничением, или величину улучшения целевой функции, при уменьшении имеющегося объема ресурсов данного вида на единицу. Подобная интерпретация может быть отнесена также и к множителям Лагранжа. Главное отличие теневых цен от множителей Лагранжа связано с наличием у первых из них диапазона изменения объемов имеющихся ресурсов, в пределах которого этот показатель сохраняют своё значение. Таким образом, используя симплекс метод, мы могли определить допустимое увеличение или уменьшение объема имеющихся ресурсов, в пределах которых теневая цена ограничения сохраняет своё значение. Мы смогли делать это, поскольку целевая функция и ограничения задачи были линейны, что облегчало расчет изменения целевой функции при изменении объемов имеющихся ресурсов. При использовании нелинейных методов возможности определения допустимых изменений объемов имеющихся ресурсов отсутствуют. Поэтому в таких случаях мы не можем указать диапазон изменения объемов имеющихся ресурсов, в пределах которого множители Лагранжа для каждого ограничения сохраняют своё значение. Множители Лагранжа, таким образом, могут использоваться только для приблизительной оценки влияния на целевую функцию единичных изменений объема имеющихся ресурсов по каждому из ограничений.

Как уже было замечено при решении линейных задач, редуцированная стоимость переменной, показывающая расположение решения относительно верхней и нижней границ, определяет прирост (сокращение) целевой функции при допустимом увеличении этой переменной на единицу. Подобная интерпретация, но в несколько более приближенном смысле, может быть дана показателю «Нормир. градиент» (Reduced gradient). Действительно, ненулевое значение нормированного градиента выражает влияние на целевую функцию малых изменений данной переменной. Так, например, увеличение объема производства продукции второго вида П2 на единицу уменьшает значение целевой функции на две единицы, о чем говорит соответствующее значение редуцированных затрат (Рис. 7.12) и нормированного градиента (Рис. 7.13).

На Рис. 7.18 и 7.19 приведены отчеты по пределам и устойчивости для полученного оптимального решения нелинейной задачи определения цен на производимую продукцию (см. Табл. 7.24).

Источник: http://oc-windows.ru/excel/mnozhitel-lagranzha-v-excel.html

Способ 1: интерполяция для табличных данных

Прежде всего, рассмотрим применения интерполяции для данных, которые расположены в таблице. Для примера возьмем массив аргументов и соответствующих им значений функции, соотношение которых можно описать линейным уравнением. Эти данные размещены в таблице ниже. Нам нужно найти соответствующую функцию для аргумента 28. Сделать это проще всего с помощью оператора ПРЕДСКАЗ.

1. Выделяем любую пустую ячейку на листе, куда пользователь планирует выводить результат от проведенных действий. Далее следует щелкнуть по кнопке «Вставить функцию», которая размещена слева от строки формул.

Активируется окошко Мастера функций. В категории «Математические» или «Полный алфавитный перечень» ищем наименование «ПРЕДСКАЗ». После того, как соответствующее значение найдено, выделяем его и щелкаем по кнопке «OK».

Запускается окно аргументов функции ПРЕДСКАЗ. В нем имеется три поля:

• X;
• Известные значения y;
• Известные значения x.

В первое поле нам просто нужно вручную с клавиатуры вбить значения аргумента, функцию которого следует отыскать. В нашем случае это 28.

В поле «Известные значения y» нужно указать координаты диапазона таблицы, в котором содержатся значения функции. Это можно сделать вручную, но гораздо проще и удобнее установить курсор в поле и выделить соответствующую область на листе.

Аналогичным образом устанавливаем в поле «Известные значения x» координаты диапазона с аргументами.

После того, как все нужные данные введены, жмем на кнопку «OK».

Искомое значение функции будет отображено в той ячейке, которую мы выделили ещё в первом шаге данного способа. В результате получилось число 176. Именно оно и будет итогом проведения процедуры интерполяции.

Урок: Мастер функций в Экселе

Источник: http://lumpics.ru/interpolation-in-excel/

Экстраполяция в excel как сделать

Существуют случаи, когда требуется узнать результаты вычисления функции за пределами известной области. Особенно актуален данный вопрос для процедуры прогнозирования. В Экселе есть несколько способов, с помощью которых можно совершить данную операцию. Давайте рассмотрим их на конкретных примерах.

Источник: http://turbocomputer.ru/excel/primenenie-interpolyatsii-v-microsoft-excel

Лабораторная работа №12: Нахождение решения задач нелинейного программирования (метод множителей Лагранжа)

Цель работы:

Научиться решать задачи нелинейного программирования.

Рекомендации по решению:

1. При решении задач нелинейного программирования средствами Microsoft Excel используется надстройка Поиск решения, которая позволяет найти оптимальные решения.

2. При решении задач линейного программирования средствами MathCad с помощью встроенной функции Maximize (в случае поиска максимума функции) или Minimize (в случае поиска минимума функции).

Задание к лабораторной работе:

Составить математическую модель задачи. Для расчёта модели использовать метод множителей Лагранжа.

Мукомольный комбинат реализует муку двумя способами: в розницу через магазин и оптом через торговых агентов. При продаже х кг муки через магазин расходы на реализацию составляют ден. ед., а при продаже x2 кг муки посредством торговых агентов — ден. ед. Определить, сколько кг муки следует продавать каждым способом, чтобы затраты на реализацию были минимальными, если в сутки для продажи выделяется 5000 кг муки.

Решение. Составим математическую модель задачи. Найдем минимум суммарных расходов

Для расчета модели используем метод множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа.

Найдем частные производные функции F по х1, х2 и λ, приравняем к нулю, получим систему уравнений:

Из первого и второго уравнений имеем x1 – x2 =0.

Решая это уравнение совместно с третьим, имеем λ = -5000, х1 = 2500, х2 = 2500, L=12 500 тыс. ден. ед. Давая х1 значения больше и меньше 2500 находим L и из определения экстремума функции получаем, что L при х1 = х2 = 2500 достигает ми­нимума.

Ответ. Для получения минимальных расходов необходимо расходо­вать в сутки через магазин и торговых агентов по 2500 кг муки, при этом расходы на реализацию составят 12 500 тыс. ден. ед.

I вариант решения в Exsel

Переменные:	x1	x2	Значение ЦФ
Значения переменных
Коэффициенты Ц.Ф.	Значения огр-ний
Коэффициенты ограничений:

II вариант решения в Exsel

Варианты заданий:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 9278 — | 7854 — или читать все.

Источник: http://oc-windows.ru/excel/mnozhitel-lagranzha-v-excel.html

3.6. Многочлен Ньютона

Другая форма записи интерполяционного многочлена – интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями.Пусть функция  задана с произвольным шагом, и точки таблицы значений пронумерованы в произвольномпорядке.

Разделенные разности нулевого порядка совпадают со значениями функции в узлах. Разделенные разности первого порядка определяются через разделенные разности нулевого порядка:

          (3.14)

Разделенные разности второго порядка определяются через разделенные разности первого порядка:

          (3.15)

Разделенные разности k-го порядка определяются через разделенные разности порядка :

          (3.16)

Используя понятие разделенной разности интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в следующем виде:

          (3.17)

За точностью расчета можно следить по убыванию членов суммы (3.17). Если функция достаточно гладкая, то справедливо приближенное равенство . Это приближенное равенство можно использовать для практической оценки погрешностиинтерполяции: .

Источник: http://aco.ifmo.ru/el_books/numerical_methods/lectures/glava3.html

Линейная интерполяция в Excel

В самом известном табличном процессоре от Microsoft присутствует крайне полезный оператор «ПРЕДСКАЗ».

Рассмотрим данные, размещенные в в таблице, представленной ниже.

Источник: http://turbocomputer.ru/excel/primenenie-interpolyatsii-v-microsoft-excel