Построить график полинома в excel

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

• 1-й способ с помощью графика;
• 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН();
• 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

Подробнее о полиноме и способе его расчета в Excel далее в нашей статье.

Полиномиальный тренд применяется для описания значений временных рядов, попеременно возрастающих и убывающих. Полином отлично подходит для анализа большого набора данных нестабильной величины (например, продажи сезонных товаров).

Что такое полином? Полином — это степенная функция y=ax²+bx+c (полином второй степени) и y=ax³+bx²+cx+d (полином третей степени) и т.д.  Степень полинома определяет количество экстремумов (пиков), т.е. максимальных и минимальных значений на анализируемом промежутке времени.

У полинома второй степени y=ax²+bx+c один экстремум (на графике ниже 1 максимум).

У Полинома третьей степени y=ax³+bx²+cx+d может быть один или два экстремума.

Один экстремум

Два экстремума

У Полинома четвертой степени не более трех экстремумов и т.д.

Как рассчитать значения полинома в Excel?

Есть 3 способа расчета значений полинома в Excel:

• 1-й способ с помощью графика;
• 2-й способ с помощью функции Excel =ЛИНЕЙН;
• 3-й способ с помощью Forecast4AC PRO;

1-й способ расчета полинома — с помощью графика

Выделяем ряд со значениями и строим график временного ряда.

На график добавляем полином 6-й степени.

Затем в формате линии тренда ставим галочку «показать уравнение на диаграмме»

После этого уравнение выводится на график y = 3,7066x⁶ — 234,94x⁵ + 4973,6x⁴ — 35930x³ — 7576,8x² + 645515x + 5E+06. Для того чтобы последний коэффициент сделать читаемым, мы зажимаем левую кнопку мыши и выделяем уравнение полинома

Нажимаем правой кнопкой и выбираем «формат подписи линии тренда»

В настройках подписи линии тренда выбираем число и в числовых форматах выбираем «Числовой».

 

Получаем уравнение полинома в читаемом формате:

 y = 3,71x⁶ — 234,94x⁵ + 4 973,59x⁴ — 35 929,91x³ — 7 576,79x² + 645 514,77x + 4 693 169,35

Из этого уравнения берем коэффициенты a, b, c, d, g, m, v, и вводим в соответствующие ячейки Excel

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение вместо X.

Рассчитаем значения полинома для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома y = 3,71x⁶ — 234,94x⁵ + 4 973,59x⁴ — 35 929,91x³ — 7 576,79x² + 645 514,77x + 4 693 169,35 в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см. статью как зафиксировать ссылки)

Получаем формулу следующего вида:

=R2C8*RC[-3]^6+R3C8*RC[-3]^5+R4C8*RC[-3]^4+R5C8*RC[-3]^3+R6C8*RC[-3]^2+R7C8*RC[-3]+R8C8 

в которой коэффициенты тренда зафиксированы и вместо «x» мы подставляем ссылку на номер текущего временного ряда (для первого значение 1, для второго 2 и т.д.)

Также «X» возводим в соответствующую степень (значок в Excel «^» означает возведение в степень)

=R2C8*RC[-3]^6+R3C8*RC[-3]^5+R4C8*RC[-3]^4+R5C8*RC[-3]^3+R6C8*RC[-3]^2+R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода. 

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

2-й способ расчета полинома в Excel — функция ЛИНЕЙН()

 Рассчитаем коэффициенты линейного тренда с помощью стандартной функции Excel =ЛИНЕЙН()

Для расчета коэффициентов в формулу =ЛИНЕЙН(известные значения y, известные значения x, константа, статистика) вводим:

• «известные значения y» (объёмы продаж за периоды),
• «известные значения x» (порядковый номер временного ряда),
• в константу ставим «1»,
• в статистику «0»

Получаем следующего вида формулу:

=ЛИНЕЙН(R[-4]C:R[-4]C[24];R[-5]C:R[-5]C[24];1;0),

Теперь, чтобы формула Линейн() рассчитала коэффициенты полинома, нам в неё надо дописать степень полинома, коэффициенты которого мы хотим рассчитать.

Для этого в часть формулы с «известными значениями x» вписываем степень полинома:

• ^{1:2:3:4:5:6} — для расчета коэффициентов полинома 6-й степени
• ^{1:2:3:4:5} — для расчета коэффициентов полинома 5-й степени
• ^{1:2} — для расчета коэффициентов полинома 2-й степени

Получаем формулу следующего вида:

=ЛИНЕЙН(R[-4]C:R[-4]C[24]; R[-5]C:R[-5]C[24]^{1:2:3:4:5:6}; 1; 0)

Вводим формулу в ячейку, получаем 3,71 —- значение (a) для полинома 6-й степени y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v

Для того, чтобы Excel рассчитал все 7 коэффициентов полинома 6-й степени y=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+gx^2+mx+v, необходимо:

1. Установить курсор в ячейку с формулой и выделить 7 соседних ячеек справа, как на рисунке:

2. Нажать на клавишу F2

 3. Затем одновременно — клавиши CTRL + SHIFT + ВВОД (т.е. ввести формулу массива, как это сделать читайте подробно в статье «Как ввести формулу массива»)

Получаем 7 коэффициентов полиномиального тренда 6-й степени.

Рассчитаем значения полиномиального тренда с помощью полученных коэффициентов. Подставляем в уравнение y=3,7* x ^ 6 -234,9* x ^ 5 +4973,5* x ^ 4 -35929,9 * x^3 -7576,7 * x^2 +645514,7* x +4693169,3 номера периодов X, для которых хотим рассчитать значения полинома.

Каждому периоду во временном ряду присваиваем порядковый номер, который будем подставлять в уравнение полинома вместо X.

Рассчитаем значения полиномиального тренда для каждого периода. Для этого вводим формулу полинома в первую ячейку и фиксируем ссылки на коэффициенты тренда (см. статью как зафиксировать ссылки)

Получаем формулу следующего вида:

=R2C8*RC[-3]^6+R3C8*RC[-3]^5+R4C8*RC[-3]^4+R5C8*RC[-3]^3+R6C8*RC[-3]^2+R7C8*RC[-3]+R8C8 

в которой коэффициенты тренда зафиксированы и вместо «x» мы подставляем ссылку на номер текущего временного ряда (для первого значение 1, для второго 2 и т.д.)

Также «X» возводим в соответствующую степень (значок в Excel «^» означает возведение в степень)

=R2C8*RC[-3]^6+R3C8*RC[-3]^5+R4C8*RC[-3]^4+R5C8*RC[-3]^3+R6C8*RC[-3]^2+R7C8*RC[-3]+R8C8

Теперь протягиваем формулу до конца временного ряда и получаем рассчитанные значения полиномиального тренда для каждого периода. 

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

2-й способ точнее, чем первый, т.к. коэффициенты тренда мы получаем без округления, а также этот расчет быстрее.

3-й способ расчета значений полиномиальных трендов  — Forecast4AC PRO

Устанавливаем курсор в начало временного ряда

Заходим в настройки Forecast4AC PRO, выбираем «Прогноз с ростом и сезонностью», «Полином 6-й степени», нажимаем кнопку «Рассчитать».

Заходим в лист с пошаговым расчетом «ForPol6», находим строку «Сложившийся тренд»:

Копируем значения в наш лист.

Получаем значения полинома 6-й степени, рассчитанные 3 способами с помощью:

Скачать файл с примером расчета значений полинома.

1. Коэффициентов полиномиального тренда выведенных на график;
2. Коэффициентов полинома рассчитанных с помощью функцию Excel =ЛИНЕЙН
3. и с помощью Forecast4AC PRO одним нажатием клавиши, легко и быстро.

Статья полезная? Поделитесь с друзьями

• 

=LINEST( known_ys , known_xs ^{1, 2, 3})

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Выполнение аппроксимации

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

• Линейной;
• Экспоненциальной;
• Логарифмической;
• Полиномиальной;
• Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Урок: Как построить линию тренда в Excel

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

1. Для построения графика, прежде всего, выделяем столбцы «Себестоимость единицы продукции» и «Прибыль». После этого перемещаемся во вкладку «Вставка». Далее на ленте в блоке инструментов «Диаграммы» щелкаем по кнопке «Точечная». В открывшемся списке выбираем наименование «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Именно данный вид диаграмм наиболее подходит для работы с линией тренда, а значит, и для применения метода аппроксимации в Excel.



2. График построен.



3. Для добавления линии тренда выделяем его кликом правой кнопки мыши. Появляется контекстное меню. Выбираем в нем пункт «Добавить линию тренда…».
   

   Существует ещё один вариант её добавления. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» перемещаемся во вкладку «Макет». Далее в блоке инструментов «Анализ» щелкаем по кнопке «Линия тренда». Открывается список. Так как нам нужно применить линейную аппроксимацию, то из представленных позиций выбираем «Линейное приближение».



4. Если же вы выбрали все-таки первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то откроется окно формата.

   В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» устанавливаем переключатель в позицию «Линейная».
   При желании можно установить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После этого на диаграмме будет отображаться уравнение сглаживающей функции.

   Также в нашем случае для сравнения различных вариантов аппроксимации важно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Данный показатель может варьироваться от 0 до 1. Чем он выше, тем аппроксимация качественнее (достовернее). Считается, что при величине данного показателя 0,85 и выше сглаживание можно считать достоверным, а если показатель ниже, то – нет.

   

   После того, как провели все вышеуказанные настройки. Жмем на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна.



5. Как видим, на графике линия тренда построена. При линейной аппроксимации она обозначается черной прямой полосой. Указанный вид сглаживания можно применять в наиболее простых случаях, когда данные изменяются довольно быстро и зависимость значения функции от аргумента очевидна.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

y=ax+b

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

y=-0,1156x+72,255

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

1. Для того, чтобы изменить тип линии тренда, выделяем её кликом правой кнопки мыши и в раскрывшемся меню выбираем пункт «Формат линии тренда…».



2. После этого запускается уже знакомое нам окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации устанавливаем переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки оставим такими же, как и в первом случае. Щелкаем по кнопке «Закрыть».



3. После этого линия тренда будет построена на графике. Как видим, при использовании данного метода она имеет несколько изогнутую форму. При этом уровень достоверности равен 0,9592, что выше, чем при использовании линейной аппроксимации. Экспоненциальный метод лучше всего использовать в том случае, когда сначала значения быстро изменяются, а потом принимают сбалансированную форму.

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

y=be^x

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

1. Тем же способом, что и в предыдущий раз через контекстное меню запускаем окно формата линии тренда. Устанавливаем переключатель в позицию «Логарифмическая» и жмем на кнопку «Закрыть».



2. Происходит процедура построения линии тренда с логарифмической аппроксимацией. Как и в предыдущем случае, такой вариант лучше использовать тогда, когда изначально данные быстро изменяются, а потом принимают сбалансированный вид. Как видим, уровень достоверности равен 0,946. Это выше, чем при использовании линейного метода, но ниже, чем качество линии тренда при экспоненциальном сглаживании.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

y=a*ln(x)+b

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

y=-62,81ln(x)+404,96

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

1. Переходим в окно формата линии тренда, как уже делали не раз. В блоке «Построение линии тренда» устанавливаем переключатель в позицию «Полиномиальная». Справа от данного пункта расположено поле «Степень». При выборе значения «Полиномиальная» оно становится активным. Здесь можно указать любое степенное значение от 2 (установлено по умолчанию) до 6. Данный показатель определяет число максимумов и минимумов функции. При установке полинома второй степени описывается только один максимум, а при установке полинома шестой степени может быть описано до пяти максимумов. Для начала оставим настройки по умолчанию, то есть, укажем вторую степень. Остальные настройки оставляем такими же, какими мы выставляли их в предыдущих способах. Жмем на кнопку «Закрыть».



2. Линия тренда с использованием данного метода построена. Как видим, она ещё более изогнута, чем при использовании экспоненциальной аппроксимации. Уровень достоверности выше, чем при любом из использованных ранее способов, и составляет 0,9724.
   

   Данный метод наиболее успешно можно применять в том случае, если данные носят постоянно изменчивый характер. Функция, описывающая данный вид сглаживания, выглядит таким образом:

   y=a1+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n

   В нашем случае формула приняла такой вид:

   y=0,0015*x^2-1,7202*x+507,01

3. Теперь давайте изменим степень полиномов, чтобы увидеть, будет ли отличаться результат. Возвращаемся в окно формата. Тип аппроксимации оставляем полиномиальным, но напротив него в окне степени устанавливаем максимально возможное значение – 6.



4. Как видим, после этого наша линия тренда приняла форму ярко выраженной кривой, у которой число максимумов равно шести. Уровень достоверности повысился ещё больше, составив 0,9844.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

1. Перемещаемся в окно «Формат линии тренда». Устанавливаем переключатель вида сглаживания в позицию «Степенная». Показ уравнения и уровня достоверности, как всегда, оставляем включенными. Жмем на кнопку «Закрыть».



2. Программа формирует линию тренда. Как видим, в нашем случае она представляет собой линию с небольшим изгибом. Уровень достоверности равен 0,9618, что является довольно высоким показателем. Из всех вышеописанных способов уровень достоверности был выше только при использовании полиномиального метода.

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

y=bx^n

В конкретно нашем случае она выглядит так:

y = 6E+18x^(-6,512)

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.

Excel: как построить степенной полином функцией ЛИНЕЙН

Мы уже строили аналогичный интерполирующий полином в Excel, и в Mathcad «вручную», и стандартными функциями Mathcad тоже можно это сделать.

Сейчас мы хотим, во-первых, построить в Excel интерполирующий полином тоже стандартной функцией, во-вторых, не вдаваясь в детали теории, понять смысл этой простой задачи — как построить кривую, проходящую через несколько известных точек на плоскости.

Итак, по известному набору из N значений функции f(xi)=yi, заданному парой векторов xi, yi=f(xi), i=1, 2, ..., N, нужно построить кривую, проходящую через все точки.

Через N различных между собой по оси x точек всегда можно построить кривую, зависящую от xN-1, её уравнение будет иметь общий вид

f(x)=c₀+c₁*x+c₂*x²+…+с_N-1*x^N-1 (1)

В этом уравнении нам неизвестны коэффициенты сi. Из условия, что кривая проходит через все заданные в постановке задачи точки, можно записать систему линейных алгебраических уравнений:

c0 +c1x1 +c2x12 +...+cN-1x1N-1 =y1

c0 +c1x2 +c2x22 +...+cN-1x2N-1 =y2

...

c0 +c1xN +c2xN2 +...+cN-1xNN-1 =yN

или, в матричном виде

Система линейных алгебраических уравнений, записанная в матричном виде

Решив эту систему уравнений, то есть, найдя обратную к матрице Вандермонда матрицу и умножив её на вектор y, найдём коэффициенты сi. Теперь, подставив их в уравнение (1), мы можем аналитически оценить значение функции в произвольной точке x.

Ниже показано «ручное» решение в Excel и решение с помощью стандартной функции ЛИНЕЙН.

Скриншот файла Excel с решением

Вот пояснения к формулам:

• C2 — формируем матрицу из степеней значений x; избегаем при этом возведения нуля в нулевую степень, заменяя любое число, возводимое в нулевую степень, единицей; ввести формулу в ячейку C2; затем растягиваем формулу на ячейки C2:C5, отпускаем левую кнопку мыши и, не снимая выделения, растягиваем на столбцы D:F (см. Пояснение 1 ниже);
• G2:G5 — вычисляем коэффициенты полинома ci «вручную», обратив матрицу и умножив её на вектор значений yi; выделить диапазон G2:G5; не снимая выделения, ввести формулу в ячейку G2; не снимая выделения, нажать комбинацию клавиш Crl+Shift+Enter (см. Пояснение 2 ниже);
• I2 — вычисляем полином третьей степени в точках, не обязательно совпадающих с исходными; по выделенным жирным шрифтом значениям полинома видно, что он прошёл через исходные точки; ввести формулу в ячейку I2, растянуть за уголок до I8;
• J2:J5 — вычисляем коэффициенты полинома c_i с помощью функции ЛИНЕЙН, пример в справке (пример 2), к сожалению, прямо ошибочен, плюс не показывает вычисление нескольких коэффициентов полинома; выделить диапазон J2:J5; не снимая выделения, ввести формулу в ячейку G2; не снимая выделения, нажать комбинацию клавиш Crl+Shift+Enter; коэффициенты возвращаются в «перевёрнутом» по отношению к нашему ручному расчёту виде;
• K2 — для единообразия расчёта переворачиваем массив коэффициентов, готовой функции для этого нет, показан образец, как перевернуть диапазон в Excel; ввести формулу в ячейку K2, растянуть за уголок до K5;
• L2 — вычисляем полином третьей степени в тех же точках H2:H8, в которых вычисляли его значения первым способом; ввести формулу в ячейку L2, растянуть за уголок до L8; видно, что кривая также прошла через исходные точки данных.

 Скачать файл Excel (2007 и выше, делался в Excel 2016) в архиве .zip (13 Кб)

Пояснение 1. Как растянуть формулу на матрицу значений

1. Введите требуемую формулу и нажмите Enter, на рисунке показан вид экрана перед нажатием:

Ввод «матричной» формулы со смешанными ссылками

2. Подведите курсор мыши к нижнему правому уголку ячейки C2, уголок превратился в чёрный крестик, зажмите левую кнопку мыши и растяните формулу вниз до ячейки C5.

Курсор для растягивания в Excel, «чёрный крестик»

Формула растянута вниз

3. Отпустите кнопку мыши, снова так же подведите курсор к уголку ячейки C5 (опять чёрный крестик) и при зажатой левой кнопке мыши растяните выделение вправо до столбца F.

Заполнение таблицы формулой в Excel

Пояснение 2. Как ввести формулу массива

1. Выделить диапазон ячеек, в которые будет помещён результат матричной или векторной операции (мышкой при зажатой левой кнопке за любое место, на котором курсор имеет вид по умолчанию или при зажатой Shift клавишами со стрелками):

Вид курсора по умолчанию в Excel

Мы сами отвечаем за правильность выделения ячеек диапазона результата, например, Excel не обязан знать, что в результате обращения матрицы размерностью 3x3 получится тоже матрица размерностью 3x3:

Выделение диапазона ячеек результата в Excel

2. Не снимая выделения, ввести формулу массива в первую ячейку выделенного диапазона, это можно сделать «вручную», просто нажав клавишу F2 и начав набирать формулу со знака «=«, или с помощью Мастера Функций (см. п.3 документа по Excel здесь).

Ввод формулы массива в первую ячейку выделенного диапазона

3. При зажатых клавишах Ctrl и Shift, нажать клавишу Enter, то есть, ввести комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

22.02.2020, 18:58 [4263 просмотра]

---

К этой статье пока нет комментариев, Ваш будет первым