Построить график плотности нормального распределения в excel - Word и Excel

Рассмотрим Нормальное распределение. С помощью функции

MS EXCEL

НОРМ.РАСП()

построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел, распределенных по нормальному закону, произведем оценку параметров распределения, среднего значения и стандартного отклонения

.

Нормальное распределение

(также называется распределением Гаусса) является самым важным как в теории, так в приложениях системы контроля качества. Важность значения

Нормального распределения

(англ.

Normal

distribution

)

во многих областях науки вытекает из

Центральной предельной теоремы

теории вероятностей.

Определение

: Случайная величина

x

распределена по

нормальному закону

, если она имеет

плотность распределения

СОВЕТ

: Подробнее о

Функции распределения

и

Плотности вероятности

см. статью

Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL

Нормальное распределение

зависит от двух параметров: μ

(мю)

— является

математическим ожиданием (средним значением случайной величины)

, и σ (

сигма)

— является

стандартным отклонением

(среднеквадратичным отклонением). Параметр μ определяет положение центра

плотности вероятности

нормального распределения

, а σ — разброс относительно центра (среднего).

Примечание

: О влиянии параметров μ и σ на форму распределения изложено в статье про

Гауссову кривую

, а в

файле примера на листе Влияние параметров

можно с помощью

элементов управления Счетчик

понаблюдать за изменением формы кривой.

Нормальное распределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, начиная с версии 2010, для

Нормального распределения

имеется функция

НОРМ.РАСП()

, английское название — NORM.DIST(), которая позволяет вычислить

плотность вероятности

(см. формулу выше) и

интегральную функцию распределения

(вероятность, что случайная величина X, распределенная по

нормальному закону

, примет значение меньше или равное x). Вычисления в последнем случае производятся по следующей формуле:

Вышеуказанное распределение имеет обозначение

N

(μ; σ).

Так же часто используют обозначение через

дисперсию

N

(μ; σ
²
).

Примечание

: До MS EXCEL 2010 в EXCEL была только функция

НОРМРАСП()

, которая также позволяет вычислить функцию распределения и плотность вероятности.

НОРМРАСП()

оставлена в MS EXCEL 2010 для совместимости.

Стандартное нормальное распределение

Стандартным нормальным распределением

называется

нормальное распределение

с

математическим ожиданием

μ=0 и

дисперсией

σ=1. Вышеуказанное распределение имеет обозначение

N

(0;1).

Примечание

: В литературе для случайной величины, распределенной по

стандартному

нормальному закону,

закреплено специальное обозначение z.

Любое

нормальное распределение

можно преобразовать в стандартное через замену переменной

z

=(

x

-μ)/σ

. Этот процесс преобразования называется

стандартизацией

.

Примечание

: В MS EXCEL имеется функция

НОРМАЛИЗАЦИЯ()

, которая выполняет вышеуказанное преобразование. Хотя в MS EXCEL это преобразование называется почему-то

нормализацией

. Формулы

=(x-μ)/σ

и

=НОРМАЛИЗАЦИЯ(х;μ;σ)

вернут одинаковый результат.

В MS EXCEL 2010 для

стандартного нормального распределения

имеется специальная функция

НОРМ.СТ.РАСП()

и ее устаревший вариант

НОРМСТРАСП()

, выполняющий аналогичные вычисления.

Продемонстрируем, как в MS EXCEL осуществляется процесс стандартизации

нормального распределения

N

(1,5; 2).

Для этого вычислим вероятность, что случайная величина, распределенная по

нормальному закону

N(1,5; 2)

, меньше или равна 2,5. Формула выглядит так:

=НОРМ.РАСП(2,5; 1,5; 2; ИСТИНА)

=0,691462. Сделав замену переменной

z

=(2,5-1,5)/2=0,5

, запишем формулу для вычисления

Стандартного нормального распределения:

=НОРМ.СТ.РАСП(0,5; ИСТИНА)

=0,691462.

Естественно, обе формулы дают одинаковые результаты (см.

файл примера лист Пример

).

Обратите внимание, что

стандартизация

относится только к

интегральной функции распределения

(аргумент

интегральная

равен ИСТИНА), а не к

плотности вероятности

.

Примечание

: В литературе для функции, вычисляющей вероятности случайной величины, распределенной по

стандартному

нормальному закону,

закреплено специальное обозначение Ф(z). В MS EXCEL эта функция вычисляется по формуле

=НОРМ.СТ.РАСП(z;ИСТИНА)

. Вычисления производятся по формуле

В силу четности функции

плотности стандартного нормального

распределения f(x), а именно f(x)=f(-х), функция

стандартного нормального распределения

обладает свойством Ф(-x)=1-Ф(x).

Обратные функции

Функция

НОРМ.СТ.РАСП(x;ИСТИНА)

вычисляет вероятность P, что случайная величина Х примет значение меньше или равное х. Но часто требуется провести обратное вычисление: зная вероятность P, требуется вычислить значение х. Вычисленное значение х называется

квантилем

стандартного

нормального распределения

.

В MS EXCEL для вычисления

квантилей

используют функцию

НОРМ.СТ.ОБР()

и

НОРМ.ОБР()

.

Графики функций

В

файле примера

приведены

графики плотности распределения

вероятности и

интегральной функции распределения

.

Как известно, около 68% значений, выбранных из совокупности, имеющей

нормальное распределение

, находятся в пределах 1 стандартного отклонения (σ) от μ(среднего или математического ожидания); около 95% — в пределах 2-х σ, а в пределах 3-х σ находятся уже 99% значений. Убедиться в этом для

стандартного нормального распределения

можно записав формулу:

=

НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-НОРМ.СТ.РАСП(-1;ИСТИНА)

которая вернет значение 68,2689% — именно такой процент значений находятся в пределах +/-1 стандартного отклонения от

среднего

(см.

лист График в файле примера

).

В силу четности функции

плотности стандартного нормального

распределения:

f

(

x

)=

f

(-х)

, функция

стандартного нормального распределения

обладает свойством F(-x)=1-F(x). Поэтому, вышеуказанную формулу можно упростить:

=

2*НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА)-1

Для произвольной

функции нормального распределения

N(μ; σ) аналогичные вычисления нужно производить по формуле:

=2* НОРМ.РАСП(μ+1*σ;μ;σ;ИСТИНА)-1

Вышеуказанные расчеты вероятности требуются для

построения доверительных интервалов

Примечание

: Для построения

функции распределения

и

плотности вероятности

можно использовать диаграмму типа

График

или

Точечная

(со сглаженными линиями и без точек). Подробнее о построении

диаграмм

читайте статью

Основные типы диаграмм

Примечание

: Для удобства написания формул в

файле примера

созданы

Имена

для параметров распределения: μ и σ.

Генерация случайных чисел

С помощью надстройки

Пакет анализа

можно сгенерировать случайные числа, распределенные по

нормальному закону

.

СОВЕТ

: О надстройке

Пакет анализа

можно прочитать в статье

Надстройка Пакет анализа MS EXCEL

Сгенерируем 3 массива по 100 чисел с различными μ и σ. Для этого в окне

Генерация

случайных чисел

установим следующие значения для каждой пары параметров:

Примечание

: Если установить опцию

Случайное рассеивание

(

Random Seed

), то можно выбрать определенный случайный набор сгенерированных чисел. Например, установив эту опцию равной 25, можно сгенерировать на разных компьютерах одни и те же наборы случайных чисел (если, конечно, другие параметры распределения совпадают). Значение опции может принимать целые значения от 1 до 32 767. Название опции

Случайное рассеивание

может запутать. Лучше было бы ее перевести как

Номер набора со случайными числами

.

В итоге будем иметь 3 столбца чисел, на основании которых можно, оценить параметры распределения, из которого была произведена выборка: μ и σ

.

Оценку для μ можно сделать с использованием функции

СРЗНАЧ()

, а для σ – с использованием функции

СТАНДОТКЛОН.В()

, см.

файл примера лист Генерация

.

Примечание

: Для генерирования массива чисел, распределенных по

нормальному закону

, можно использовать формулу

=НОРМ.ОБР(СЛЧИС();μ;σ)

. Функция

СЛЧИС()

генерирует

непрерывное равномерное распределение

от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см.

файл примера лист Генерация

).

Задачи

Задача1

. Компания изготавливает нейлоновые нити со средней прочностью 41 МПа и стандартным отклонением 2 МПа. Потребитель хочет приобрести нити с прочностью не менее 36 МПа. Рассчитайте вероятность, что партии нити, изготовленные компанией для потребителя, будут соответствовать требованиям или превышать их.

Решение1

: =

1-НОРМ.РАСП(36;41;2;ИСТИНА)

Задача2

. Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Согласно техническим условиям, трубы признаются годными, если диаметр находится в пределах 20,00+/- 0,40 мм. Какая доля изготовленных труб соответствует ТУ?

Решение2

: =

НОРМ.РАСП(20,00+0,40;20,20;0,25;ИСТИНА)- НОРМ.РАСП(20,00-0,40;20,20;0,25)

На рисунке ниже, выделена область значений диаметров, которая удовлетворяет требованиям спецификации.

Решение приведено в

файле примера лист Задачи

.

Задача3

. Предприятие изготавливает трубы, средний внешний диаметр которых равен 20,20 мм, а стандартное отклонение равно 0,25мм. Внешний диаметр не должен превышать определенное значение (предполагается, что нижняя граница не важна). Какую верхнюю границу в технических условиях необходимо установить, чтобы ей соответствовало 97,5% всех изготавливаемых изделий?

Решение3

: =

НОРМ.ОБР(0,975; 20,20; 0,25)

=20,6899 или =

НОРМ.СТ.ОБР(0,975)*0,25+20,2

(произведена «дестандартизация», см. выше)

Задача 4

. Нахождение параметров

нормального распределения

по значениям 2-х

квантилей

(или

процентилей

). Предположим, известно, что случайная величина имеет нормальное распределение, но не известны его параметры, а только 2-я

процентиля

(например, 0,5-

процентиль

, т.е. медиана и 0,95-я

процентиль

). Т.к. известна

медиана

, то мы знаем

среднее

, т.е. μ. Чтобы найти

стандартное отклонение

нужно использовать

Поиск решения

. Решение приведено в

файле примера лист Задачи

.

Примечание

: До MS EXCEL 2010 в EXCEL были функции

НОРМОБР()

и

НОРМСТОБР()

, которые эквивалентны

НОРМ.ОБР()

и

НОРМ.СТ.ОБР()

.

НОРМОБР()

и

НОРМСТОБР()

оставлены в MS EXCEL 2010 и выше только для совместимости.

Линейные комбинации нормально распределенных случайных величин

Известно, что линейная комбинация нормально распределённых случайных величин

x

(

i

)

с параметрами μ

(

i

)

и σ

(

i

)

также распределена нормально. Например, если случайная величина Y=x(1)+x(2), то Y будет иметь распределение с параметрами μ

(1)+ μ(2)

и

КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2).

Убедимся в этом с помощью MS EXCEL.

С помощью надстройки

Пакет анализа

сгенерируем 2 массива по 100 чисел с различными μ и σ.

Теперь сформируем массив, каждый элемент которого является суммой 2-х значений, взятых из каждого массива.

С помощью функций

СРЗНАЧ()

и

СТАНДОТКЛОН.В()

вычислим

среднее

дисперсию

получившейся

выборки

и сравним их с расчетными.

Кроме того, построим

График проверки распределения на нормальность

(

Normal

Probability

Plot

), чтобы убедиться, что наш массив соответствует выборке из

нормального распределения

.

Прямая линия, аппроксимирующая полученный график, имеет уравнение y=ax+b. Наклон кривой (параметр а) может служить оценкой

стандартного отклонения

, а пересечение с осью y (параметр b) –

среднего

значения.

Для сравнения сгенерируем массив напрямую из распределения

N

(μ(1)+ μ(2); КОРЕНЬ(σ(1)^2+ σ(2)^2)

).

Как видно на рисунке ниже, обе аппроксимирующие кривые достаточно близки.

В качестве примера можно провести следующую задачу.

Задача

. Завод изготавливает болты и гайки, которые упаковываются в ящики парами. Пусть известно, что вес каждого из изделий является нормальной случайной величиной. Для болтов средний вес составляет 50г, стандартное отклонение 1,5г, а для гаек 20г и 1,2г. В ящик фасуется 100 пар болтов и гаек. Вычислить какой процент ящиков будет тяжелее 7,2 кг.

Решение

. Сначала переформулируем вопрос задачи: Вычислить какой процент пар болт-гайка будет тяжелее 7,2кг/100=72г. Учитывая, что вес пары представляет собой случайную величину = Вес(болта) + Вес(гайки) со средним весом (50+20)г, и

стандартным отклонением

=КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2))

, запишем решение =

1-НОРМ.РАСП(72; 50+20; КОРЕНЬ(СУММКВ(1,5;1,2));ИСТИНА)

Ответ

: 15% (см.

файл примера лист Линейн.комбинация

)

Аппроксимация Биномиального распределения Нормальным распределением

Если параметры

Биномиального распределения

B(n;p) находятся в пределах 0,1<=p<=0,9 и n*p>10, то

Биномиальное распределение

можно аппроксимировать

Нормальным распределением

.

При значениях

λ

>15

,

Распределение Пуассона

хорошо аппроксимируется

Нормальным распределением

с параметрами: μ

=λ

, σ
²
=

λ

.

Подробнее о связи этих распределений, можно прочитать в статье

Взаимосвязь некоторых распределений друг с другом в MS EXCEL

. Там же приведены примеры аппроксимации, и пояснены условия, когда она возможна и с какой точностью.

СОВЕТ

: О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье

Распределения случайной величины в MS EXCEL

Источник

Функция ФИ в Excel предназначена для определения значения плотности вероятности величины, описанной законом стандартного нормального распределения, и возвращает соответствующее число.

Значения функции плотности стандартного нормального распределения в Excel

Если случайная величина распределена непрерывно, она может иметь любое значение, взятое из интервала, в котором она определена. Такое число значений стремится к бесконечности, следовательно, вероятность попадания в какую-либо определенную точку из данного интервала стремится к нулю (сумма вероятностей должна соответствовать числу 1). Поэтому, является возможным только определение вероятности нахождения некоторой величины в заданном интервале значений. С этой целью было введено понятие плотности вероятности – производная функции распределения. Для вычисления вероятности определяют площадь, образованную кривой графика, осью абсцисс и двумя вертикальными линиями, проведенными от точек, соответствующих граничным значениям исследуемого интервала.

Рассматриваемая функции вычисляет то же значение, которое возвращает функция НОРМ.СТ.РАСП, у которой второй аргумент принимает значение ЛОЖЬ.

Пример 1. Построить график плотности вероятности для известных значений x, которые внесены в таблицу Excel.

Вид таблицы данных:

Для построения графика определим значения плотности для известных значений x. Используем формулу, предварительно выделив ячейки в диапазоне B2:B22:

=ФИ(A2)

Полученные значения:

Используем полученные данные для построения графика:

Значение плотности вероятности имеет смысл при определении вероятности нахождения величины в некотором диапазоне. Ее используют для вычисления интеграла с указанными граничными значениями некоторой величины, в результате чего получают вероятность нахождения некоторого значения в диапазоне, заданного этими граничными значениями.

В Excel функция плотности используется преимущественно для построения графиков. Вероятность определяется функцией НОРМ.СТ.РАСП (для стандартного нормального распределение) с последним аргументом, принимающим значение ИСТИНА.

Пример расчета плотности стандартного нормального распределения в Excel

Пример 2. Определить максимальное значение плотности вероятности для ряда значений двумя различными способами.

Вид таблицы данных:

Максимальное значение плотности вероятности для некоторой величины, распределенной по стандартному нормальному закону, можно определить с помощью функции МАКС, исследуя массив значений, возвращаемых функцией ФИ в формуле массива CTRL+SHIFT+Enter:

=МАКС(ФИ(A2:A9))

Полученный результат:

Другой способ – нахождение значения плотности для среднего значения известных величин. Однако, для начала необходимо стандартизировать имеющийся ряд значений с помощью функции НОРМАЛИЗАЦИЯ. Для нахождения используем формулу (вводить как формулу массива CTRL+SHIFT+Enter):

Полученное значение:

Небольшая разница в полученных значениях свидетельствует о том, что исследуемый ряд значений можно рассматривать как нормальное стандартное распределение некоторой величины.

Правила использования функции ФИ в Excel

Функция ФИ имеет следующую синтаксическую запись:

=ФИ(x)

x – обязательный, принимает число для некоторой величины, распределенной по стандартному нормальному закону, для которой необходимо определить значение плотности распределения.

Примечания:

В качестве аргумента функции можно передавать ссылку на ячейку с числовыми данными или само число. Функция ФИ автоматические преобразует логические значения и текстовые строки, содержащие числа, к числовым значениям.
Если аргумент функции принимает данные, не преобразуемые к числовым значениям, результатом выполнения ФИ будет код ошибки #ЗНАЧ!
Для больших значений, значение плотности вероятности которых стремится к нулю, функция возвращает число 0. Например, =ФИ(100) вернет число 0.

Источник

В статье подробно показано, что такое нормальный закон распределения случайной величины и как им пользоваться при решении практически задач.

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Формула состоит из двух математических констант:

π – число пи 3,142;

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

σ² – дисперсия;

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии (σ²). Кратко обозначается N(m, σ²) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ² характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:

Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как

P(a ≤ X < b) = Ф(b) – Ф(a)

Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение зависит от параметров средней и дисперсии, из-за чего плохо видны его свойства. Хорошо бы иметь некоторый эталон распределения, не зависящий от масштаба данных. И он существует. Называется стандартным нормальным распределением. На самом деле это обычное нормальное нормальное распределение, только с параметрами математического ожидания 0, а дисперсией – 1, кратко записывается N(0, 1).

Любое нормальное распределение легко превращается в стандартное путем нормирования:

где z – новая переменная, которая используется вместо x;
m – математическое ожидание;
σ – стандартное отклонение.

Для выборочных данных берутся оценки:

Среднее арифметическое и дисперсия новой переменной z теперь также равны 0 и 1 соответственно. В этом легко убедиться с помощью элементарных алгебраических преобразований.

В литературе встречается название z-оценка. Это оно самое – нормированные данные. Z-оценку можно напрямую сравнивать с теоретическими вероятностями, т.к. ее масштаб совпадает с эталоном.

Посмотрим теперь, как выглядит плотность стандартного нормального распределения (для z-оценок). Напомню, что функция Гаусса имеет вид:

Подставим вместо (x-m)/σ букву z, а вместо σ – единицу, получим функцию плотности стандартного нормального распределения:

График плотности:

Центр, как и ожидалось, находится в точке 0. В этой же точке функция Гаусса достигает своего максимума, что соответствует принятию случайной величиной своего среднего значения (т.е. x-m=0). Плотность в этой точке равна 0,3989, что можно посчитать даже в уме, т.к. e⁰=1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.

Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже. Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения. Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные. Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.

Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.

Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.

Таблица нормального распределения

Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:

— таблица плотности;

— таблица функции (интеграла от плотности).

Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1, т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы.

В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец 0, т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен).

Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z), т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1, что отчетливо видно на рисунке.

Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.

На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z.

В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения.

Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:

Это факт показан на картинке:

Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z). Получится равенство, указанное чуть выше.

Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z), то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:

Для наглядности можно взглянуть на рисунок.

На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z.

Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:

Рисунок ниже.

Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.

Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу.

Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:

Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.

Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z: 1,64, 1,96 и 3.

Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64, для которого табличное значение составляет 0,4495. Проще всего пояснить смысл на рисунке.

То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от 0 до 1,64, равна 0,4495. При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.

Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64, т.к. окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для проверки статистических гипотез и расчета доверительных интервалов. Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).

Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).

Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.

Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3, оно равно по нашей таблице 0,4986. Умножим на 2 и получим 0,997. Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.

Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.

С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.

В Excel есть несколько функций для подсчета вероятностей или обратных значений нормального распределения.

Функция НОРМ.СТ.РАСП

Функция НОРМ.СТ.РАСП предназначена для расчета плотности ϕ(z) или вероятности Φ(z) по нормированным данным (z).

=НОРМ.СТ.РАСП(z;интегральная)

z – значение стандартизованной переменной

интегральная – если 0, то рассчитывается плотность ϕ(z), если 1 – значение функции Ф(z), т.е. вероятность P(Z<z).

Рассчитаем плотность и значение функции для различных z: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (их укажем в ячейке А2).

Для расчета плотности потребуется формула =НОРМ.СТ.РАСП(A2;0). На диаграмме ниже – это красная точка.

Для расчета значения функции =НОРМ.СТ.РАСП(A2;1). На диаграмме – закрашенная площадь под нормальной кривой.

В реальности чаще приходится рассчитывать вероятность того, что случайная величина не выйдет за некоторые пределы от средней (в среднеквадратичных отклонениях, соответствующих переменной z), т.е. P(|Z|<z).

Определим, чему равна вероятность попадания случайной величины в пределы ±1z, ±2z и ±3z от нуля. Потребуется формула 2Ф(z)-1, в Excel =2*НОРМ.СТ.РАСП(A2;1)-1.

На диаграмме отлично видны основные основные свойства нормального распределения, включая правило трех сигм. Функция НОРМ.СТ.РАСП – это автоматическая таблица значений функции нормального распределения в Excel.

Может стоять и обратная задача: по имеющейся вероятности P(Z<z) найти стандартизованную величину z ,то есть квантиль стандартного нормального распределения.

Функция НОРМ.СТ.ОБР

НОРМ.СТ.ОБР рассчитывает обратное значение функции стандартного нормального распределения. Синтаксис состоит из одного параметра:

=НОРМ.СТ.ОБР(вероятность)

вероятность – это вероятность.

Данная формула используется так же часто, как и предыдущая, ведь по тем же таблицам искать приходится не только вероятности, но и квантили.

Например, при расчете доверительных интервалов задается доверительная вероятность, по которой нужно рассчитать величину z.

Учитывая то, что доверительный интервал состоит из верхней и нижней границы и то, что нормальное распределение симметрично относительно нуля, достаточно получить верхнюю границу (положительное отклонение). Нижняя граница берется с отрицательным знаком. Обозначим доверительную вероятность как γ (гамма), тогда верхняя граница доверительного интервала рассчитывается по следующей формуле.

Рассчитаем в Excel значения z (что соответствует отклонению от средней в сигмах) для нескольких вероятностей, включая те, которые наизусть знает любой статистик: 90%, 95% и 99%. В ячейке B2 укажем формулу: =НОРМ.СТ.ОБР((1+A2)/2). Меняя значение переменной (вероятности в ячейке А2) получим различные границы интервалов.

Доверительный интервал для 95% равен 1,96, то есть почти 2 среднеквадратичных отклонения. Отсюда легко даже в уме оценить возможный разброс нормальной случайной величины. В общем, доверительным вероятностям 90%, 95% и 99% соответствуют доверительные интервалы ±1,64, ±1,96 и ±2,58 σ.

В целом функции НОРМ.СТ.РАСП и НОРМ.СТ.ОБР позволяют произвести любой расчет, связанный с нормальным распределением. Но, чтобы облегчить и уменьшить количество действий, в Excel есть несколько других функций. Например, для расчета доверительных интервалов средней можно использовать ДОВЕРИТ.НОРМ. Для проверки статистической гипотезы о средней арифметической есть формула Z.ТЕСТ.

Рассмотрим еще пару полезных формул с примерами.

Функция НОРМ.РАСП

Функция НОРМ.РАСП отличается от НОРМ.СТ.РАСП лишь тем, что ее используют для обработки данных любого масштаба, а не только нормированных. Параметры нормального распределения указываются в синтаксисе.

=НОРМ.РАСП(x;среднее;стандартное_откл;интегральная)

x – значение (или ссылка на ячейку), для которого рассчитывается плотность или значение функции нормального распределения

среднее – математическое ожидание, используемое в качестве первого параметра модели нормального распределения

стандартное_откл – среднеквадратичное отклонение – второй параметр модели

интегральная – если 0, то рассчитывается плотность, если 1 – то значение функции, т.е. P(X<x).

Например, плотность для значения 15, которое извлекли из нормальной выборки с матожиданием 10, стандартным отклонением 3, рассчитывается так:

Если последний параметр поставить 1, то получим вероятность того, что нормальная случайная величина окажется меньше 15 при заданных параметрах распределения. Таким образом, вероятности можно рассчитывать напрямую по исходным данным.

Функция НОРМ.ОБР

Это квантиль нормального распределения, т.е. значение обратной функции. Синтаксис следующий.

=НОРМ.ОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл)

вероятность – вероятность

среднее – матожидание

стандартное_откл – среднеквадратичное отклонение

Назначение то же, что и у НОРМ.СТ.ОБР, только функция работает с данными любого масштаба.

Пример показан в ролике в конце статьи.

Моделирование нормального распределения

Для некоторых задач требуется генерация нормальных случайных чисел. Готовой функции для этого нет. Однако В Excel есть две функции, которые возвращают случайные числа: СЛУЧМЕЖДУ и СЛЧИС. Первая выдает случайные равномерно распределенные целые числа в указанных пределах. Вторая функция генерирует равномерно распределенные случайные числа между 0 и 1. Чтобы сделать искусственную выборку с любым заданным распределением, нужна функция СЛЧИС.

Допустим, для проведения эксперимента необходимо получить выборку из нормально распределенной генеральной совокупности с матожиданием 10 и стандартным отклонением 3. Для одного случайного значения напишем формулу в Excel.

=НОРМ.ОБР(СЛЧИС();10;3)

Протянем ее на необходимое количество ячеек и нормальная выборка готова.

Для моделирования стандартизованных данных следует воспользоваться НОРМ.СТ.ОБР.

Процесс преобразования равномерных чисел в нормальные можно показать на следующей диаграмме. От равномерных вероятностей, которые генерируются формулой СЛЧИС, проведены горизонтальные линии до графика функции нормального распределения. Затем от точек пересечения вероятностей с графиком опущены проекции на горизонтальную ось.

На выходе получаются значения с характерной концентрацией около центра. Вот так обратный прогон через функцию нормального распределения превращает равномерные числа в нормальные. Excel позволяет за несколько секунд воспроизвести любое количество выборок любого размера.

Как обычно, прилагаю ролик, где все вышеописанное показывается в действии.

Скачать файл с примером.

Поделиться в социальных сетях:

Источник

Функция распределения и плотность вероятности в MS EXCEL

Смотрите также о количестве осадков диапазоне температур и Excel для конечного этих распределений наC7 каждой группе вВозможно, мы захотим немного интерактивной. этой точки. Абсцисса равна F(0)=0,5. вероятностной меры» (см.

Но, при этом р(х) представляет собой от 1 до кривая, см. файл

Генеральная совокупность и случайная величина

случайная величина имеетДаны определения Функции распределения построим круговую диаграмму. минимальное. числа измерений принято практике.. Так, изменяя состояние

заданном столбце. В изменить детализацию картиныУровень сложности: точки =0, т.е. вероятность,

В MS EXCEL для функцию БИНОМ.РАСП()). можно убедиться, что производную функции распределения 6. Вероятность каждого примера): функцию распределения, которая случайной величины иДоля «каждого месяца» вЧтобы найти интервал карманов, строить гистограмму.Также в статьях рассмотрены

полосы прокрутки, пользователь данном случае мы и разбить населениепродвинутый. того что случайная нахождения этой вероятности

Понятно, что чтобы вычислить вероятность на любом F(x), т.е. р(х) исхода равна 1/6.В справке MS EXCEL Функцию обычно обозначается F(x). Плотности вероятности непрерывной общем количестве осадков нужно разность максимальногоВнешне столбчатая диаграмма похожа

Функция распределения

вопросы генерации случайных управляет формулами. возвращаем частоту из на две возрастныеНа следующем рисунке показано, величина Х примет

используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)

плотность вероятности для интервале будет, как = F’(x). Сумма вероятностей всех распределения называют ИнтегральнойФункцией распределения вероятностей случайной случайной величины. Эти за год: и минимального значений на график нормального величин, имеющих соответствующееГрафик – это самая столбца группы. Это покажет как выглядит готовая значение =0,5. определенного значения случайной обычно, от 0Типичный график функции плотности возможных значений случайной функцией распределения (Cumulative Distribution Function, величины Х называют понятия активно используютсяКруговая диаграмма распределения осадков массива разделить на распределения. Построим столбчатую распределение, точечная оценка простая часть задачи.Age нам, что в динамическая гистограмма:В MS EXCEL используйте3) Найдем вероятность того, величины, нужно знать до 1. распределения для непрерывной величины равна 1.

CDF). функцию F(x), значение в статьях о по сезонам года количество интервалов. Получим диаграмму распределения осадков

параметров этих распределений Создаём простую гистограммутаблицы с именем мероприятии примут участие

Гистограмма распределения разбивает по формулу =НОРМ.СТ.ОБР(0,5)=0.

что случайная величина, ее распределение.Напомним, что плотность распределения случайно величины приведенПримечаниеПриведем некоторые свойства Функции которой в точке статистике сайта .
лучше смотрится, если «ширину кармана».
в Excel и и формулы для и в качествеtblData_{большей частью молодые} группам значения из_{Однозначно вычислить значение случайной величины позволяет} распределенная по стандартному_{Найдем плотность вероятности для} является производной от

на картинке ниже: В MS EXCEL имеется распределения:

Дискретные распределения

х равно вероятности Рассмотрены примеры вычисления данных меньше. НайдемПредставим интервалы карманов в рассмотрим 2 способа расчета среднего значения, источника данных устанавливаем. люди: набора данных и свойство монотонности функции распределения. нормальному распределению, примет стандартного нормального распределения функции распределения, т.е. (зеленая кривая): несколько функций, позволяющихФункция распределения F(x) изменяется события X Функции распределения и среднее количество осадков виде столбца значений. ее построения. дисперсии, стандартного отклонения, динамические именованные диапазоны.=ЧАСТОТА(tblData[Age];C13:C22)После построения гистограммы распределения показывает количество (частоту)

Обратите внимание, что для значение, заключенное в N(0;1) при x=2. «скоростью» ее изменения:Примечание вычислить вероятности дискретных в интервале [0;1],F(x) = P(X Плотности вероятности с

Непрерывные распределения и плотность вероятности

в каждом сезоне, Сначала ширину карманаИмеются следующие данные о моды, медианы иЧто ж, это был=FREQUENCY(tblData[Age],C13:C22) частот иногда возникает чисел в каждой вычисления обратной функции интервале (0; 1). Для этого необходимо p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx: В MS EXCEL имеется случайных величин. Перечень т.к. ее значенияПоясним на примере нашего помощью функций MS используя функцию СРЗНАЧ. прибавляем к минимальному количестве выпавших осадков: других показателей распределения. лишь краткий обзорФункция
необходимость изменить размер группе. Такую гистограмму мы использовали именно функцию Вероятность равна F(1)-F(0), записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ)=0,054 стремящемся к 0, несколько функций, позволяющих этих функций приведен равны вероятностям соответствующих станка. Хотя предполагается, EXCEL. На основании полученных

значению массива данных.Первый способ. Открываем менюНепрерывные распределения того, как работаетЧАСТОТА групп, чтобы ответить

также называют графиком распределения, а не т.е. из вероятности или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ). где Dx=x2-x1. Т.е.

 вычислить вероятности непрерывных в статье Распределения событий (по определению что наш станокВведем базовые понятия статистики, данных построим диаграмму: В следующей ячейке инструмента «Анализ данных»Нормальное распределение: функции НОРМ.РАСП(), НОРМ.СТ.РАСП(),

динамическая гистограмма.(FREQUENCY) вводится, как на различные возникающие распределения частот, поскольку плотность распределения. Поэтому, выбрать Х из

Напомним, что тот факт, что случайных величин. Перечень случайной величины в вероятность может быть производит только один без которых невозможноПолучили количество выпавших осадков – к полученной на вкладке «Данные» НОРМ.ОБР() и др.

Да, это не самая формула массива, нажатием вопросы. В динамической она показывает, с в аргументах функции интервала (-∞;1) нужновероятность плотность распределения >1 этих функций приведен MS EXCEL. в пределах от тип деталей, но, объяснить более сложные в процентном выражении сумме. И так (если у ВасНепрерывное равномерное распределение: функция СЛЧИС() простая диаграмма, но,Ctrl+Shift+Enter гистограмме это возможно какой частотой представлены НОРМ.СТ.ОБР() отсутствует параметр вычесть вероятность выбрать

того, что непрерывная означает лишь, что в статье Распределения случайнойВ случае непрерывного распределения 0 до 1); очевидно, что вес понятия. по сезонам. далее, пока не не подключен данныйЭкспоненциальное распределение: функция ЭКСП.РАСП() полагаю, пользователям понравится. сделать благодаря полосе

 значения.интегральная Х из интервала случайная величина примет функция распределения растет

 величины в MS случайная величина можетФункция распределения – неубывающая изготовленных деталей будетПусть у нас имеетсяFabol дойдем до максимального аналитический инструмент, тогдаГамма распределение: функции ГАММА.РАСП() и ГАММА.ОБР() с ней работать.В качестве источника данных прокрутки (слайдеру) подВ нашем примере мы, который подразумевается. Подробнее (-∞;0). В MS конкретное значение x достаточно быстро (это EXCEL.

 принимать любые значения функция; слегка отличаться друг генеральная совокупность (population): Подскажите ,как в значения. читайте как егоЛогнормальное распределение: функции ЛОГНОРМ.РАСП() и ЛОГНОРМ.ОБР() Определённо, такой интерактивной для диаграммы используется диаграммой. Пользователь может

Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL

делим людей, которые про функцию НОРМ.СТ.ОБР() EXCEL используйте формулу равна 0. Для очевидно на примере

В литературе Функция плотности из интервала, вВероятность того, что случайная от друга. Это из N объектов, Excel на графике

Для определения частоты делаем подключить в настройкахРаспределение Вейбулла: функция ВЕЙБУЛЛ.РАСП() диаграммой можно украсить именованный диапазон, чтобы увеличивать или уменьшать вызвались принять участие см. статью про =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) — НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА). непрерывной случайной величины экспоненциального распределения). распределения непрерывной случайной величины

Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL

котором она определена. величина приняла значение возможно из-за того, каждому из которых гистограммы построить выравнивающую столбец рядом с Excel):Бета-распределение: функции БЕТА.РАСП() и БЕТА.ОБР()

любой отчёт. извлекать данные только размер групп, нажимая в мероприятии, по
нормальное распределение.Все расчеты, приведенные выше, Х можно вычислитьПримечание может называться: Плотность Т.к. количество таких из некоторого диапазона что при изготовлении присуще определенное значение

нормальную кривую? интервалами карманов. ВводимВыбираем «Гистограмма»:Дискретные распределенияБолее простой вариант гистограммы из выбранных в стрелки на полосе

возрастным группам. ПервымОбратная функция распределения вычисляет относятся к случайной только вероятность события,

: Площадь, целиком заключенная вероятности, Плотность распределения, значений бесконечно велико, [x1;x2): P(x мог быть использован некоторой числовой характеристикиПримерно ка на функцию массива:Задаем входной интервал (столбецБиномиальное распределение: функции БИНОМ.РАСП(), БИНОМ.ОБР() можно создать, используя текущий момент групп. прокрутки. делом, создадим возрастные квантили распределения, которые

величине, распределенной по что Х примет под всей кривой, англ. Probability Density то мы не1 разный материал, а Х. рисунке..Вычислим относительные частоты (как с числовыми значениями).Распределение Пуассона: функция ПУАССОН.РАСП() сводные таблицы.Когда пользователь перемещает ползунок

Обратная функция распределения (Inverse Distribution Function)

Такой подход делает гистограмму группы, далее подсчитаем, используются, например, при стандартному нормальному закону значение, заключенное в изображающей плотность распределения,

Function (PDF). можем, как в

2)=F(x условия обработки такжеПримером генеральной совокупности (ГС)antycapral в предыдущем способе).

Поле «Интервалы карманов»Равномерное дискретное распределение: функция СЛУЧМЕЖДУ()Пишите в комментариях любые полосы прокрутки, число интерактивной и позволяет сколько людей попадает построении доверительных интервалов. N(0;1). Понятно, что интервале (а; b). равна 1.

Чтобы все усложнить, термин случае дискретной величины,

2 могли слегка различаться

может служить совокупность: Так ?Построим столбчатую диаграмму распределения оставляем пустым: ExcelГеометрическое распределение: функция ОТРБИНОМ.РАСП() вопросы и предложения. строк в динамическом пользователю масштабировать ее, в каждую из Т.е. в нашем значения вероятностей зависят1) Найдем вероятность, что

Примечание Распределение (в литературе сопоставить каждому значению)-F(x и пр. Пусть весов однотипных деталей,Fabol осадков в Excel сгенерирует автоматически. СтавимГипергеометрическое распределение: функция ГИПЕРГЕОМ.РАСП() Спасибо! диапазоне изменяется так,

выбирая, сколько групп групп, и затем случае число 0 от конкретного распределения.

 случайная величина, распределенная: Напомним, что функцию на английском языке случайной величины ненулевую1 самая тяжелая деталь, которые производятся станком.: с помощью стандартного

excel2.ru

Динамическая гистограмма или график распределения частот в Excel

 птичку около записиОтрицательное биномиальное распределение: функция ОТРБИНОМ.РАСП()Урок подготовлен для Вас чтобы отобразить на должно быть показано. покажем все это является 0,5-квантилем нормального

 В статье Распределения по стандартному нормальному

распределения F(x) называют — Probability Distribution вероятность (т.е. вероятность

Что такое гистограмма или график распределения частот?

). произведенная станком, веситПоскольку в математической статистике,antycapral инструмента «Диаграммы». «Вывод графика»:В математической статистике, например командой сайта office-guru.ru графике только нужные Это отличное дополнение на гистограмме.

распределения. В файле случайной величины в распределению (см. картинку в функциях MS Function или просто попадания в любуюСуществует 2 типа распределений: 200 г, а любой вывод делается, нет, нужно чтоЧастота распределения заданных значений:После нажатия ОК получаем

На какие вопросы отвечает гистограмма распределения?

для проверки гипотезИсточник: https://www.excelcampus.com/charts/dynamic-histogram/ данные. В нашем к любому дашборду!Гистограмма – это один примера можно вычислить

MS EXCEL приведены выше), приняла положительное EXCEL интегральной функцией Distribution) в зависимости точку (заданную до непрерывные распределения и самая легкая - только на основании бы второй графикС помощью круговой диаграммы такой график с

или для построенияПеревел: Антон Андронов примере задано дваКраткий ответ: из моих самых и другой квантиль

распределения, для которых значение. Согласно свойству распределения. Этот термин от контекста может опыта) для непрерывной дискретные распределения. 190 г. Вероятность характеристики Х (абстрагируясь был похож на

Динамическая гистограмма

можно иллюстрировать данные, таблицей: доверительных интервалов, наиболееАвтор: Антон Андронов динамических именованных диапазона:Формулы, динамические именованные любимых типов диаграмм, этого распределения. Например, в MS EXCEL Функции распределения вероятность присутствует в параметрах относиться как Интегральной случайной величины равнаЕсли случайная величина может

того, что случайно от самих объектов), нормальное распределение. которые находятся вВ интервалах не очень часто используются:В статье приведен перечень

Как это работает?

 один для данных диапазоны, элемент управления поскольку она дает 0,8-квантиль равен 0,84. имеются соответствующие функции,

Формулы

равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5. функций, например в функции распределения, так нулю). Т.к. в принимать только определенные выбранная деталь Х

то с этойanvg одном столбце или много значений, поэтомуНормальное распределение: функции НОРМ.РАСП(), НОРМ.СТ.РАСП(), НОРМ.ОБР() и др. распределений вероятности, имеющихся —

«Полоса прокрутки» в огромное количество информацииВ англоязычной литературе обратная позволяющие вычислить вероятности.В MS EXCEL для НОРМ.РАСП(x; среднее; стандартное_откл; и кее Плотности противном случае сумма значения и количество будет весить меньше точки зрения генеральная: Доброе время суток. одной строке. Сегмент

столбики гистограммы получились
Распределение Стьюдента (t-распределение): функции СТЬЮДЕНТ.РАСП(), СТЬЮДЕНТ.ОБР() и

в MS EXCELrngGroups сочетании с гистограммой. о данных. функция распределения частоВспомним задачу из предыдущего

Динамический именованный диапазон

нахождения этой вероятностиинтегральная распределения. вероятностей всех возможных таких значений конечно, 200 г равна

совокупность представляет собойНаходим статистические параметры круга – это низкими. др. 2010 и в(столбец Frequency) иЧтобы всё работало, первымВ данном случае мы называется как Percent раздела: Найдем вероятность, используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА)). Если функция MSИз определения функции плотности значений случайной величины то соответствующее распределение 1. Вероятность того,

Элемент управления «Полоса прокрутки»

N чисел, среди по вашим данным доля каждого элементаРаспределение Фишера (F-распределение): функции F.РАСП(), F.ОБР() и др. более ранних версиях. Даны второй для подписей

делом нужно при хотим знать, как Point Function (PPF). что случайная величина, -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =1-0,5. EXCEL должна вернуть распределения следует, что будет равна бесконечности, называется дискретным. Например,

Гистограмма

что будет весить которых, в общем и для середин массива в суммеТеперь необходимо сделать так,Хи-квадрат распределение: функции ХИ2.РАСП(), ХИ2.ОБР() и др.

Есть вопросы?

ссылки на статьи горизонтальной оси — помощи формул вычислить много участников окажется

Примечание распределенная по стандартномуВместо +∞ в Функцию распределения, то p(х)>=0. Следовательно, плотность а не 1. при бросании монеты,

меньше 190 г случае, могут быть интервалов рассчитываем по

всех элементов. чтобы по вертикальнойВсе эти распределения связаны

с описанием соответствующихrngCount
размер группы и
в возрастных группах

: При вычислении квантилей в MS

office-guru.ru

Распределения случайной величины в MS EXCEL

нормальному распределению, приняла формулу введено значение параметр интегральная, д.б. вероятности для непрерывнойВыходом из этой имеется только 2 равна 0. Промежуточные и одинаковые.

первой формуле.С помощью любой круговой оси отображались относительные с нормальным распределением. функций MS EXCEL.(столбец Bin Name). количество элементов в 20-ти, 30-ти, 40-ка EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР(), ЛОГНОРМ.ОБР(), ХИ2.ОБР(), ГАММА.ОБР() и т.д. отрицательное значение. 9,999E+307= 9,999*10^307, которое установлен ИСТИНА. Если величины может быть, ситуации является введение

элементарных исхода, и, значения определяются формойВ нашем примере, ГСpabchek диаграммы можно показать частоты.Построим диаграмму распределения вПриведенные ниже распределения случайнойЭлемент управления каждой группе.

Распределения MS EXCEL для моделирования поведения случайных величин, встречающихся на практике

лет и так

Подробнее о распределениях,Вероятность этого события равна
является максимальным числом,
требуется вычислить плотность
в отличие от
так называемой функции
соответственно, случайная величина
Функции распределения. Например,

— это просто

: Здравствуйте!
распределение в том
Найдем сумму всех абсолютных
Excel. А также
величины часто встречаются
Полоса прокрутки

Распределения MS EXCEL для целей математической статистики

Чтобы вычислить размер группы, далее. Гистограмма наглядно представленных в MS 0,5. которое можно ввести

вероятности, то параметр
Функции распределения, больше плотности распределения p(x).
может принимать только
если процесс настроен

числовой массив значенийЕсли правильно понял,

excel2.ru

Диаграмма распределения осадков в Excel

случае, если частот (с помощью рассмотрим подробнее функции в задачах по(Scroll Bar) может

Как построить диаграмму распределения в Excel

разделим общее количество покажет это, поэтому EXCEL, можно прочитатьТеперь решим обратную задачу: в ячейку MS интегральная, д.б. ЛОЖЬ. 1. Например, для Чтобы найти вероятность 2 значения. Например, на изготовление деталей

весов деталей. Х смотрите пример.имеется только один ряд функции СУММ). Сделаем круговых диаграмм, их статистике. Ниже даны быть вставлен с

(80-10) на количество определить закономерности и

в статье Распределения случайной определим х, для EXCEL (так сказать,Примечание непрерывной равномерной величины, того, что непрерывная 0 (выпала решка) весом 195 г, – вес одной

=НОРМРАСП(O2;СРЗНАЧ($A$1:$J$10);СТАНДОТКЛОН($A$1:$J$10);0)

данных; дополнительный столбец «Относительная создание. ссылки на статьи вкладки групп. Количество групп отклонения будет довольно

величины в MS которого вероятность, того наиболее близкое к

: Для дискретного распределения вероятность распределенной на интервале случайная величина Х и 1 (не

то разумно предположить,

из деталей.Там можно поиграться,все значения положительные; частота». В первую

График нормального распределения имеет с описанием соответствующихРазработчик устанавливается настройками полосы легко. EXCEL.

что случайная величина +∞). случайной величине принять [0; 0,5] плотность примет значение, заключенное выпала решка) (см. что вероятность выбрать

Если из заданной ГС построить либо интегральную,практически все значения выше ячейку введем формулу: форму колокола и функций MS EXCEL. В

(Developer). прокрутки. Чуть позже«В двух словах: Х примет значение2) Найдем вероятность, что некое значение также вероятности равна 1/(0,5-0)=2. в интервале (а; схему Бернулли). Если деталь легче 195

мы выбираем случайным либо весовую функцию. нуля;Способ второй. Вернемся к

симметричен относительно среднего этих статьях построены

На рисунке ниже видно, разъясним это подробнее.Неужели наше мероприятие неДобавляем полосу прокрутки

Для этого необходимо на

Круговые диаграммы для иллюстрации распределения

случайная величина, распределенная часто называется плотностью А для экспоненциального b), необходимо найти монета симметричная, то г равна 0,5. образом один объект, Ну и, конечно,не более семи категорий;

таблице с исходными значения. Получить такое графики плотности вероятности как я настроил

Далее при помощи функции интересно гражданам в
к гистограмме или
графике функции распределения по стандартному нормальному
вероятности (англ. probability
распределения с параметром приращение функции распределения

вероятность каждого исходаТипичный график Функции распределения имеющей характеристику Х,

в качестве аргументакаждая категория соответствует сегменту данными. Вычислим интервалы

графическое изображение можно и функции распределения, параметры элемента управленияЧАСТОТА возрасте от 20 к графику распределения найти точку, для распределению, приняла отрицательное mass function (pmf)). В справке

лямбда=5, значение плотности на этом интервале: равна 1/2. При

exceltable.com

Диаграмма нормального распределения (Формулы/Formulas)

 для непрерывной случайной то величина Х наверно нужно взять круга. карманов. Сначала найдем
только при огромном приведены примеры решения

 и привязал его(FREQUENCY) я рассчитываю

 до 29 лет? частот, чтобы сделать которой F(х)=0,5, а значение. Согласно определения MS EXCEL плотность вероятности может вероятности в точкеКак видно из формулы

 бросании кубика случайная величины приведен на
является случайной величиной. середину диапазона. Осилите?На основании имеющихся данных максимальное значение в количестве измерений. В

 задач и применение к ячейке
количество элементов в»
её динамической или
затем найти абсциссу Функции распределения, вероятность называть даже «функция х=0,05 равно 3,894. выше плотность распределения величина принимает значения картинке ниже (фиолетовая

excelworld.ru

По определению, любая

Источник

Блог о программе Microsoft Excel: приемы, хитрости, секреты, трюки

Как построить график с нормальным распределением в Excel

Так как я часто имею дело с большим количеством данных, у меня время от времени возникает необходимость генерировать массивы значений для проверки моделей в Excel. К примеру, если я хочу увидеть распределение веса продукта с определенным стандартным отклонением, потребуются некоторые усилия, чтобы привести результат работы формулы СЛУЧМЕЖДУ() в нормальный вид. Дело в том, что формула СЛУЧМЕЖДУ() выдает числа с единым распределением, т.е. любое число с одинаковой долей вероятности может оказаться как у нижней, так и у верхней границы запрашиваемого диапазона. Такое положение дел не соответствует действительности, так как вероятность возникновения продукта уменьшается по мере отклонения от целевого значения. Т.е. если я произвожу продукт весом 100 грамм, вероятность, что я произведу 97-ми или 103-граммовый продукт меньше, чем 100 грамм. Вес большей части произведенной продукции будет сосредоточен рядом с целевым значением. Такое распределение называется нормальным. Если построить график, где по оси Y отложить вес продукта, а по оси X – количество произведенного продукта, график будет иметь колоколообразный вид, где наивысшая точка будет соответствовать целевому значению.

Таким образом, чтобы привести массив, выданный формулой СЛУЧМЕЖДУ(), в нормальный вид, мне приходилось ручками исправлять пограничные значения на близкие к целевым. Такое положение дел меня, естественно, не устраивало, поэтому, покопавшись в интернете, открыл интересный способ создания массива данных с нормальным распределением. В сегодняшней статье описан способ генерации массива и построения графика с нормальным распределением.

Характеристики нормального распределения

Непрерывная случайная переменная, которая подчиняется нормальному распределению вероятностей, обладает некоторыми особыми свойствами. Предположим, что вся производимая продукция подчиняется нормальному распределению со средним значением 100 грамм и стандартным отклонением 3 грамма. Распределение вероятностей для такой случайной переменной представлено на рисунке.

Из этого рисунка мы можем сделать следующие наблюдения относительно нормального распределения — оно имеет форму колокола и симметрично относительно среднего значения.

Стандартное отклонение имеет немаловажную роль в форме изгиба. Если посмотреть на предыдущий рисунок, то можно заметить, что практически все измерения веса продукта попадают в интервал от 95 до 105 граммов. Давайте рассмотрим следующий рисунок, на котором представлено нормальное распределение с той же средней – 100 грамм, но со стандартным отклонением всего 1,5 грамма

Здесь вы видите, что измерения значительно плотней прилегают к среднему значению. Почти все производимые продукты попадают в интервал от 97 до 102 грамм.

Небольшое значение стандартного отклонения выражается в более «тощей и высокой кривой, плотно прижимающейся к среднему значению. Чем больше стандартное, тем «толще», ниже и растянутее получается кривая.

Создание массива с нормальным распределением

Итак, чтобы сгенерировать массив данных с нормальным распределением, нам понадобится функция НОРМ.ОБР() – это обратная функция от НОРМ.РАСП(), которая возвращает нормально распределенную переменную для заданной вероятности для определенного среднего значения и стандартного отклонения. Синтаксис формулы выглядит следующим образом:

=НОРМ.ОБР(вероятность; среднее_значение; стандартное_отклонение)

Другими словами, я прошу Excel посчитать, какая переменная будет находится в вероятностном промежутке от 0 до 1. И так как вероятность возникновения продукта с весом в 100 грамм максимальная и будет уменьшаться по мере отдаления от этого значения, то формула будет выдавать значения близких к 100 чаще, чем остальных.

Давайте попробуем разобрать на примере. Выстроим график распределения вероятностей от 0 до 1 с шагом 0,01 для среднего значения равным 100 и стандартным отклонением 1,5.

Как видим из графика точки максимально сконцентрированы у переменной 100 и вероятности 0,5.

Этот фокус мы используем для генерирования случайного массива данных с нормальным распределением. Формула будет выглядеть следующим образом:

=НОРМ.ОБР(СЛЧИС(); среднее_значение; стандартное_отклонение)

Создадим массив данных для нашего примера со средним значением 100 грамм и стандартным отклонением 1,5 грамма и протянем нашу формулу вниз.

Теперь, когда массив данных готов, мы можем выстроить график с нормальным распределением.

Построение графика нормального распределения

Прежде всего необходимо разбить наш массив на периоды. Для этого определяем минимальное и максимальное значение, размер каждого периода или шаг, с которым будет увеличиваться период.

Далее строим таблицу с категориями. Нижняя граница (B11) равняется округленному вниз ближайшему кратному числу. Остальные категории увеличиваются на значение шага. Формула в ячейке B12 и последующих будет выглядеть:

В столбце X будет производится подсчет количества переменных в заданном промежутке. Для этого воспользуемся формулой ЧАСТОТА(), которая имеет два аргумента: массив данных и массив интервалов. Выглядеть формула будет следующим образом =ЧАСТОТА(Data!A1:A175;B11:B20). Также стоит отметить, что в таком варианте данная функция будет работать как формула массива, поэтому по окончании ввода необходимо нажать сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Таким образом у нас получилась таблица с данными, с помощью которой мы сможем построить диаграмму с нормальным распределением. Воспользуемся диаграммой вида Гистограмма с группировкой, где по оси значений будет отложено количество переменных в данном промежутке, а по оси категорий – периоды.

Осталось отформатировать диаграмму и наш график с нормальным распределением готов.

Итак, мы познакомились с вами с нормальным распределением, узнали, что Excel позволяет генерировать массив данных с помощью формулы НОРМ.ОБР() для определенного среднего значения и стандартного отклонения и научились приводить данный массив в графический вид.

Вам также могут быть интересны следующие статьи

12 комментариев

Ренат, добрый день.
Все несколько проще:
Данные->Анализ данных->Генерация случайных чисел (Распределение=Нормальное)
+
Данные->Анализ данных->Гистограмма->Галка на «вывод графика» («Карманы» можно даже не задавать)

Диаграмма нормального распределения (Гаусса) в Excel

Требуется построить диаграмму стандартного нормального распределения Гаусса (стандартное нормальное распределение имеет М = 0 и = 1), используя функцию НОРМСТРАСП.

1. В ячейку A3 введем символ х, а в ячейку ВЗ — символ функции плотности вероятности f(x).

2. Вычислим нижнюю М — За границу диапазона значений х, для чего установим курсор в ячейку С2 и введем формулу =0-3*1, а также верхнюю границу — в ячейку Е2 введем формулу =0+3*1.

3. Скопируем формулу из ячейки С2 в ячейку А4, полученное в ячейке А4 значение нижней границы будет началом последовательности арифметической прогрессии.

4. Создадим последовательность значений х в требуемом диапазоне, для чего установим курсор в ячейку А4 и выполним команду меню Правка/Заполнить/Прогрессия.

5. В открывшемся окне диалога Прогрессия установим переключатели арифметическая, по столбцам, в поле Шаг введем значение 0,5, а в поле Предельное значение — число, равное верхней границе диапазона.

Функция НОРМРАСПР в EXCEL

6. Щелкнем на кнопке ОК. В диапазоне А4:А16 будет сформирована последовательность значений х.

7. Установим курсор в ячейку В4 и выполним команду меню Вставка/Функция. В открывшемся окне Мастер функций выберем категорию Статистические, а в списке функций — НОРМРАСП.

8. Установим значения параметров функции НОРМРАСП: для параметра х установим ссылку на ячейку А4, для параметра Среднее — введем число 0, для параметра Стандартное_откл — число 1, для параметра Интегральное — число 0 (весовая).

Диаграмма нормального интегрального распределения в EXCEL

9. Используя маркер буксировки, скопируем полученную формулу в диапазон ячеек В5:В16.

10. Выделим диапазон полученных табличных значений функции f(х) (ВЗ:В16) и выполним команду меню Вставка/Диаграмма. В окне Мастер диаграмм во вкладке Стандартные выберем График, а в поле Вид — вид графика, щелкнем на кнопке Далее.

11. В окне Мастер диаграмм (шаг 2) выберем закладку Ряд. В поле Подписи оси х укажем ссылку на диапазон, содержащий значения х (А4:А16). Щелкнем на кнопке Далее.
В окне Мастер диаграмм (шаг 3) введем подписи: Название диаграммы, Ось х, Ось у. Щелкнем на кнопке Готово. На рабочий лист будет выведена диаграмма плотности вероятности .

НОРМРАСП (функция НОРМРАСП)

Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения. Эта функция очень широко применяется в статистике, в том числе при проверке гипотез.

Важно: Эта функция была заменена одной или несколькими новыми функциями, которые обеспечивают более высокую точность и имеют имена, лучше отражающие их назначение. Хотя эта функция все еще используется для обеспечения обратной совместимости, она может стать недоступной в последующих версиях Excel, поэтому мы рекомендуем использовать новые функции.

Дополнительные сведения о новом варианте этой функции см. в статье Функция НОРМ.РАСП.

Аргументы функции НОРМРАСП описаны ниже.

x Обязательный. Значение, для которого строится распределение.

Среднее Обязательный. Среднее арифметическое распределения.

Стандартное_откл Обязательный. Стандартное отклонение распределения.

Интегральная Обязательный. Логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается весовая функция распределения.

Если аргумент «среднее» или «стандартное_откл» не является числом, функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

Если аргумент «стандартное_откл» меньше или равен 0, то функция НОРМРАСП возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

Если среднее = 0, стандартное_откл = 1 и интегральная = ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, т. е. НОРМСТРАСП.

Уравнение для плотности нормального распределения (аргумент «интегральная» содержит значение ЛОЖЬ) имеет следующий вид:

Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, формула описывает интеграл с пределами от минус бесконечности до x.

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Нормальное распределение. Построение графика в Excel. Концепция шести сигм

Наверное, не все знают, что в Excel есть встроенная функция для построения нормального распределения. Графики нормального распределения часто используются для демонстрации идей статистической обработки данных.

Функция НОРМРАСП имеет следующий синтаксис:

НОРМРАСП (Х; среднее; стандартное_откл; интегральная)

Х — аргумент функции; фактически НОРМРАСП можно трактовать как y=f(x); при этом функция возвращает вероятность реализации события Х

Среднее (µ) — среднее арифметическое распределения; чем дальше Х от среднего, тем ниже вероятность реализации такого события

Стандартное_откл (σ) — стандартное отклонение распределения; мера кучности; чем меньше σ, тем выше вероятность у тех Х, которые расположены ближе к среднему

Интегральная — логическое значение, определяющее форму функции. Если «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения, тот есть суммарную вероятность всех событий для аргументов от -∞ до Х; если «интегральная» имеет значение ЛОЖЬ, возвращается вероятность реализации события Х, точнее говоря, вероятность событий находящихся в некотором диапазоне вокруг Х

Например, для µ=0 имеем:

Скачать заметку в формате Word, пример в формате Excel

Здесь по оси абсцисс единица измерения – σ, или (что то же самое), можно сказать, что график построен для σ = 1. То есть, «-2» на графике означает -2σ. По оси ординат шкала убрана умышленно, так как она лишена смысла. Точнее говоря, высота кривой зависит от плотности точек на оси абсцисс, по которым мы строим график. Например, если на интервал от 0 до 1σ приходится 10 точек, то высота в максимуме составит 4%, а если 20 точек – 2%. Здесь проценты означают вероятность попадания случайной величины в узкий диапазон окрестности точки на оси абсцисс. Зато имеет смысл площадь под кривой на определенном интервале. И эта площадь не зависит от плотности точек. Так, например, площадь под кривой на интервале от 0 до 1σ составляет 34,13%. Это значение можно интерпретировать следующим образом: с вероятностью 68,26% случайная величина Х попадет в диапазон µ ± σ.

Теперь, наверное, вам будет лучше понятен смысл выражения «качество шести сигм». Оно означает, что производство налажено таким образом, что случайная величина Х (например, диаметр вала) находясь в диапазон µ ± 6σ, всё еще удовлетворяет техническим условиям (допускам). Это достигается за счет значительного уменьшения сигмы, то есть случайная величина Х очень близка к нормативному значению µ. На графике ниже представлено три ситуации, когда границы допуска остаются неизменными, а благодаря повышению качества (уменьшению вариабельности, сужению сигма) доля брака сокращается:

На первом рисунке только 1,5σ попадают в границы допуска, то есть только 86,6% деталей являются годными. На втором рисунке уже 3σ попадают в границы допуска, то есть 99,75% являются годными. Но всё еще 25 деталей из каждых 10 000 произведенных являются браком. На третьем рисунке целых 6σ попадают в границы допуска, то есть в брак попадут только две детали на миллиард изготовленных!

Вообще-то говоря, измерение качества в терминах сигм использует не совсем нормальное распределение. Вот что пишет на эту тему Википедия:

Опыт показывает, что показатели процессов имеют тенденцию изменяться с течением времени. В результате со временем в промежуток между границами поля допуска будет входить меньше, чем было установлено первоначально. Опытным путём было установлено, что изменение параметров во времени можно учесть с помощью смещения в 1,5 сигма. Другими словами, с течением времени длина промежутка между границами поля допуска под кривой нормального распределения уменьшается до 4,5 сигма вследствие того, что среднее процесса с течением времени смещается и/или среднеквадратическое отклонение увеличивается.

Широко распространённое представление о «процессе шесть сигма» заключается в том, что такой процесс позволяет получить уровень качества 3,4 дефектных единиц на миллион готовых изделий при условии, что длина под кривой слева или справа от среднего будет соответствовать 4,5 сигма (без учёта левого или правого конца кривой за границей поля допуска). Таким образом, уровень качества 3,4 дефектных единиц на миллион готовых изделий соответствует длине промежутка 4,5 сигма, получаемых разницей между 6 сигма и сдвигом в 1,5 сигма, которое было введено, чтобы учесть изменение показателей с течением времени. Такая поправка создана для того, чтобы предупредить неправильною оценку уровня дефектности, встречающееся в реальных условиях.

С моей точки зрения, не вполне внятное объяснение. Тем не менее, во всем мире принята следующая таблица соответствия числа дефектов и уровня качества в сигмах:

НОРМСТРАСП функция стандартного нормального распределения в Excel

Функция НОРМСТРАСП в Excel используется для нахождения значения статистической функции стандартного нормального распределения. Рассмотрим примеры использования данной функции и самостоятельно составим таблицу нормального закона.

Алгоритм функции нормального стандартного распределения чисел в Excel

В новых версиях Microsoft Office была введена более универсальная функция =НОРМ.СТ.РАСП(), содержащая дополнительный аргумент, который принимает два возможных значения:

ИСТИНА – для получения интегральной функции распределения;
ЛОЖЬ – для получения весовой функции распределения.

Стандартное нормальное распределение (СНР) – специальная форма распределения, используемая в качестве эталона для оценки данных любого вида. Данный тип распределения по причине неудобства использования формулы общего нормального распределения на практике.

Главные особенности функции:

Площадь участка, ограниченного кривой и осью абсцисс принята за 1.
Стандартное отклонение считается равным 1.
Среднее арифметическое значение принято равным 0.
В функцию f(x) общего теоретического нормального распределения введена переменная z (стандартная нормальная).

Переменная z рассчитывается по формуле:

X – значение некоторой случайной величины;
µ — среднее значение;
ó — значение стандартного отклонения.

Смысл переменной z – число стандартных отклонений, на которые отличается значение случайной величины от среднего значения.

Функция НОРМСТРАСП возвращает результат, рассчитанный на основе следующей формулы:

Именно так и выглядит алгоритм вычисления функции НОРМСТРАСП в Excel

Таблица стандартного нормального распределения в Excel

Пример 1. Найти стандартные нормальные распределения для числовых данных, указанных в таблице.

Вид таблицы данных:

Для расчетов используем следующую формулу:

A2:A11 – диапазон ячеек, содержащих значения переменной z.

С принципом действия функции мы ознакомились. Теперь ничто нам не мешает составить свою таблицу стандартного распределения в Excel. Для этого построим шаблон таблицы нормального закона и заполним ее ячейки формулой со смешанными ссылками:

Таким образом мы самостоятельно составили таблицу стандартного нормального распределения в Excel.

Расчет вероятности стандартным нормальным распределением в Excel

Пример 2. На заводе изготавливают лампочки. Средний период бесперебойной работы каждой лампы составляет 1000 ч. Стандартное отклонение от срока службы составляет 50 ч. Определить вероятность для каждого из указанных случаев:

Купленная лампа будет работать не более 1200 ч.
Срок службы составит менее 800 ч.
Количество ламп в партии из 500 шт., которые проработают от 900 до 1100 часов.

Вид таблицы данных:

Для расчета вероятности срока службы менее 1200 ч используем следующую формулу:

(1200-B2)/B3 – выражение для расчета переменной z.

В результате вычислений получим следующее значение вероятности:

Аналогично рассчитаем вероятность того, что срок службы составит менее 800 часов:

Результат вычислений (получена слишком маленькая вероятность, поэтому для наглядности был установлен формат Проценты):

Нормальное распределение является симметричным относительно оси ординат, поэтому функция НОРМСТРАСП может вычислить значение даже для отрицательного z.

Для определения числа ламп, которые проработают 900-1100 часов, используем формулу:

То есть, была вычислена разность вероятностей двух событий: есть лампы, которые проработают менее 1100 часов, а также лампы, которые проработают менее 900 часов. Результат произведения полученной вероятности и общего числа ламп в партии является искомым значением.

Описание параметров функции НОРМСТРАСП в Excel

Функция НОРМСТРАСП имеет следующую синтаксическую запись:

z – единственный аргумент, обязательный для заполнения, принимающий числовое значение стандартной нормальной переменной.

В качестве аргумента z может быть передано числовое значение, преобразуемый в число текст, логическое значение (например, результат выполнения функции =НОРМСТРАСП(ИСТИНА) будет число 0,841, поскольку данная функция выполняет промежуточное преобразование логического ИСТИНА в число 1), ссылка на ячейку с числовыми данными.
Если функция НОРМСТРАСП получила в качестве аргумента текст, не преобразуемый в числовые данные, она вернет код ошибки #ЗНАЧ!.

Источник