Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью линейной функции
y
=
a
x
+
b
.
Метод наименьших квадратов
(англ.
Ordinary
Least
Squares
,
OLS
) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров
регрессионных моделей
по выборочным данным.
Рассмотрим приближение функциями, зависящими только от одной переменной:
- Линейная: y=ax+b (эта статья)
-
Логарифмическая
: y=a*Ln(x)+b
-
Степенная
: y=a*x
m
-
Экспоненциальная
: y=a*EXP(b*x)+с
-
Квадратичная
: y=ax
2
+bx+c
Примечание
: Случаи приближения полиномом с 3-й до 6-й степени рассмотрены в этой статье. Приближение тригонометрическим полиномом рассмотрено здесь.
Линейная зависимость
Нас интересует связь 2-х переменных
х
и
y
. Имеется предположение, что
y
зависит от
х
по линейному закону
y
=
ax
+
b
. Чтобы определить параметры этой взаимосвязи исследователь провел наблюдения: для каждого значения х
i
произведено измерение y
i
(см.
файл примера
). Соответственно, пусть имеется 20 пар значений (х
i
; y
i
).
Для наглядности рекомендуется построить диаграмму рассеяния.
Примечание:
Если шаг изменения по
х
постоянен, то для построения
диаграммы рассеяния
можно использовать
тип График
, если нет, то необходимо использовать тип диаграммы
Точечная
.
Из диаграммы очевидно, что связь между переменными близка к линейной. Чтобы понять какая из множества прямых линий наиболее «правильно» описывает зависимость между переменными, необходимо определить критерий, по которому будут сравниваться линии.
В качестве такого критерия используем выражение:
где
ŷ
i
=
a
*
x
i
+
b
;
n – число пар значений (в нашем случае n=20)
Вышеуказанное выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями y
i
и ŷ
i
и часто обозначается как SSE (
Sum
of
Squared
Errors
(
Residuals
), сумма квадратов ошибок (остатков)
)
.
Метод наименьших квадратов
заключается в подборе такой линии
ŷ
=
ax
+
b
, для которой вышеуказанное выражение принимает минимальное значение.
Примечание:
Любая линия в двухмерном пространстве однозначно определяется значениями 2-х параметров:
a
(наклон) и
b
(сдвиг).
Считается, что чем меньше сумма квадратов расстояний, тем соответствующая линия лучше аппроксимирует имеющиеся данные и может быть в дальнейшем использована для прогнозирования значений y от переменной х. Понятно, что даже если в действительности никакой взаимосвязи между переменными нет или связь нелинейная, то МНК все равно подберет «наилучшую» линию. Таким образом, МНК ничего не говорит о наличии реальной взаимосвязи переменных, метод просто позволяет подобрать такие параметры функции
a
и
b
, для которых вышеуказанное выражение минимально.
Проделав не очень сложные математические операции (подробнее см.
статью про квадратичную зависимость
), можно вычислить параметры
a
и
b
:
Как видно из формулы, параметр
a
представляет собой отношение ковариации и
дисперсии
, поэтому в MS EXCEL для вычисления параметра
а
можно использовать следующие формулы (см.
файл примера лист Линейная
):
=
КОВАР(B26:B45;C26:C45)/ ДИСП.Г(B26:B45)
или
=
КОВАРИАЦИЯ.В(B26:B45;C26:C45)/ДИСП.В(B26:B45)
Также для вычисления параметра
а
можно использовать формулу =
НАКЛОН(C26:C45;B26:B45)
. Для параметра
b
используйте формулу =
ОТРЕЗОК(C26:C45;B26:B45)
.
И наконец, функция
ЛИНЕЙН()
позволяет вычислить сразу оба параметра. Для ввода формулы
ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45)
необходимо выделить в строке 2 ячейки и нажать
CTRL
+
SHIFT
+
ENTER
(см. статью про
формулы массива, возвращающими несколько значений
). В левой ячейке будет возвращено значение
а
, в правой –
b
.
Примечание
: Чтобы не связываться с вводом
формул массива
потребуется дополнительно использовать функцию
ИНДЕКС()
. Формула =
ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);1)
или просто =
ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45)
вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е.
а
. Формула =
ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);2)
вернет параметр, отвечающий за пересечение линии с осью Y, т.е.
b
.
Вычислив параметры, на
диаграмме рассеяния
можно построить соответствующую линию.
Инструмент диаграммы Линия тренда
Еще одним способом построения прямой линии по методу наименьших квадратов является инструмент диаграммы
Линия тренда
. Для этого выделите диаграмму, в меню выберите
вкладку Макет
, в
группе Анализ
нажмите
Линия тренда
, затем
Линейное приближение
.
Поставив в диалоговом окне галочку в поле «показывать уравнение на диаграмме» можно убедиться, что найденные выше параметры совпадают со значениями на диаграмме.
Примечание
: Для того, чтобы параметры совпадали необходимо, чтобы тип у диаграммы был
Точечная, а не График
. Дело в том, что при построении диаграммы
График
значения по оси Х не могут быть заданы пользователем (пользователь может указать только подписи, которые не влияют на расположение точек). Вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … (для нумерации категорий). Поэтому, если строить
линию тренда
на диаграмме типа
График
, то вместо фактических значений Х будут использованы значения этой последовательности, что приведет к неверному результату (если, конечно, фактические значения Х не совпадают с последовательностью 1; 2; 3; …).
СОВЕТ
: Подробнее о построении диаграмм см. статьи
Основы построения диаграмм
и
Основные типы диаграмм
.
17 авг. 2022 г.
читать 2 мин
Метод наименьших квадратов — это метод, который мы можем использовать для поиска линии регрессии, которая лучше всего соответствует заданному набору данных.
В следующем видео представлено краткое объяснение этого метода:
Чтобы использовать метод наименьших квадратов для подбора линии регрессии в Excel, мы можем использовать функцию =ЛИНЕЙН() .
В следующем пошаговом примере показано, как использовать эту функцию на практике.
Шаг 1: Создайте набор данных
Во-первых, давайте создадим следующий набор данных в Excel:
Шаг 2: Используйте метод наименьших квадратов для подбора линии регрессии
Мы можем использовать функцию =LINEST(known_ys, known_xs) , чтобы использовать метод наименьших квадратов, чтобы подобрать линию регрессии к этому набору данных:
Как только мы нажмем ENTER , появятся коэффициенты регрессионной модели:
Шаг 3: интерпретируйте результаты
Используя коэффициенты из функции =LINEST() , мы можем написать следующую подобранную линию регрессии:
у = 11,55211 + 1,07949(х)
Мы можем использовать это уравнение для оценки значения y на основе значения x.
Например, если x = 10, то мы оценили бы, что y будет равно 22,347 :
у = 11,55211 + 1,07949(10) = 22,347
Шаг 4: Нанесите результаты на график
Наконец, мы можем использовать следующие шаги для построения набора данных вместе с подобранной линией регрессии:
- Выделите ячейки A2:B16 .
- Щелкните вкладку « Вставка » на верхней ленте. Затем щелкните первый параметр диаграммы под названием « Вставить точечную (X, Y)» или «Пузырьковую диаграмму » в группе «Диаграммы».
- После того, как диаграмма появится, нажмите знак плюс «+» в правом верхнем углу. В раскрывающемся меню установите флажок рядом с линией тренда , чтобы добавить на график подобранную линию регрессии.
Дополнительные ресурсы
Как выполнить множественную линейную регрессию в Excel
Как выполнить квадратичную регрессию в Excel
Как выполнить полиномиальную регрессию в Excel
Подбор кривой в Excel (с примерами)
Содержание
- Использование метода в Экселе
- Включение надстройки «Поиск решения»
- Условия задачи
- Решение
- Вопросы и ответы
Метод наименьших квадратов представляет собой математическую процедуру построения линейного уравнения, которое бы наиболее точно соответствовало набору двух рядов чисел. Целью применения данного способа является минимизация общей квадратичной ошибки. В программе Excel имеются инструменты, с помощью которых можно применять данный метод при вычислениях. Давайте разберемся, как это делается.
Использование метода в Экселе
Метод наименьших квадратов (МНК) является математическим описанием зависимости одной переменной от второй. Его можно использовать при прогнозировании.
Включение надстройки «Поиск решения»
Для того, чтобы использовать МНК в Экселе, нужно включить надстройку «Поиск решения», которая по умолчанию отключена.
- Переходим во вкладку «Файл».
- Кликаем по наименованию раздела «Параметры».
- В открывшемся окне останавливаем выбор на подразделе «Надстройки».
- В блоке «Управление», который расположен в нижней части окна, устанавливаем переключатель в позицию «Надстройки Excel» (если в нём выставлено другое значение) и жмем на кнопку «Перейти…».
- Открывается небольшое окошко. Ставим в нём галочку около параметра «Поиск решения». Жмем на кнопку «OK».
Теперь функция Поиск решения в Excel активирована, а её инструменты появились на ленте.
Урок: Поиск решения в Экселе
Условия задачи
Опишем применение МНК на конкретном примере. Имеем два ряда чисел x и y, последовательность которых представлена на изображении ниже.
Наиболее точно данную зависимость может описать функция:
y=a+nx
При этом, известно что при x=0 y тоже равно 0. Поэтому данное уравнение можно описать зависимостью y=nx.
Нам предстоит найти минимальную сумму квадратов разности.
Решение
Перейдем к описанию непосредственного применения метода.
- Слева от первого значения x ставим цифру 1. Это будет приближенная величина первого значения коэффициента n.
- Справа от столбца y добавляем ещё одну колонку – nx. В первую ячейку данного столбца записываем формулу умножения коэффициента n на ячейку первой переменной x. При этом, ссылку на поле с коэффициентом делаем абсолютной, так как это значение меняться не будет. Кликаем по кнопке Enter.
- Используя маркер заполнения, копируем данную формулу на весь диапазон таблицы в столбце ниже.
- В отдельной ячейке высчитываем сумму разностей квадратов значений y и nx. Для этого кликаем по кнопке «Вставить функцию».
- В открывшемся «Мастере функций» ищем запись «СУММКВРАЗН». Выбираем её и жмем на кнопку «OK».
- Открывается окно аргументов. В поле «Массив_x» вводим диапазон ячеек столбца y. В поле «Массив_y» вводим диапазон ячеек столбца nx. Для того, чтобы ввести значения, просто устанавливаем курсор в поле и выделяем соответствующий диапазон на листе. После ввода жмем на кнопку «OK».
- Переходим во вкладку «Данные». На ленте в блоке инструментов «Анализ» жмем на кнопку «Поиск решения».
- Открывается окно параметров данного инструмента. В поле «Оптимизировать целевую функцию» указываем адрес ячейки с формулой «СУММКВРАЗН». В параметре «До» обязательно выставляем переключатель в позицию «Минимум». В поле «Изменяя ячейки» указываем адрес со значением коэффициента n. Жмем на кнопку «Найти решение».
- Решение будет отображаться в ячейке коэффициента n. Именно это значение будет являться наименьшим квадратом функции. Если результат удовлетворяет пользователя, то следует нажать на кнопку «OK» в дополнительном окне.
Как видим, применение метода наименьших квадратов довольно сложная математическая процедура. Мы показали её в действии на простейшем примере, а существуют гораздо более сложные случаи. Впрочем, инструментарий Microsoft Excel призван максимально упростить производимые вычисления.
Еще статьи по данной теме:
Помогла ли Вам статья?
Программа Excel – мощный табличный редактор, позволяющий выполнять огромное количество различных операций и задач. В данной статье мы разберем, как можно применить метод наименьших квадратов (МНК), который используется для решения различных задач с минимизацией суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.
Содержание
- Подготовительный этап: активируем надстройку “Поиск Решения”
- Этап 1: исходные данные
- Этап 2: решаем задачу с применением МНК
- Заключение
Подготовительный этап: активируем надстройку “Поиск Решения”
Прежде, чем приступить к решению основной задачи, потребуется активировать надстройку “Поиск решения” в программе.
- Идем в меню “Файл”.
- В перечне слева выбираем пункт “Параметры”.
- В правой части подраздела “Надстройки” выбираем для параметра “Управление” вариант “Надстройки Excel” и жмем “Перейти”.
- Появится окно для выбора нужных надстроек. Устанавливаем галочку напротив пункта “Поиск решения” и щелкаем OK.
Этап 1: исходные данные
Давайте разберем применение метода наименьших квадратов, решив конкретный пример. Допустим, у нас есть два ряда числовых значений – X и Y.
Данная зависимость может быть описана уравнением ниже:
Y=A+NX
Также, мы знаем, что если X=0, то и Y=0. А значит, данное уравнение можно записать так:
Y=NX
Приступим к выполнению нашей задачи, которая заключается в нахождении суммы квадратов разности.
Этап 2: решаем задачу с применением МНК
- Столбцу, находящемся слева от X, задаем имя N пишем число “1” (примерное значение первого коэф. N) напротив первого значения ряда X.
- Столбцу с правой стороны от Y задаем название NX. Затем в самой верхней ячейке (напротив первых значений рядов X и Y) пишем формулу произведения коэф. N на соответствующее ему значение из столбца X. При этом адрес ячейки с коэффициентом нужно сделать абсолютным, чтобы он не менялся при копировании формулы. По готовности жмем Enter.
- Наводим указатель мыши на ячейку с полученным результатом. Как только появится черный плюсик (маркер заполнения), зажав левую кнопку мыши тянем его вниз до последней строки таблицы.
- Получаем результаты расчетов в каждой ячейке столбца NX.
- Теперь нужно посчитать сумму разностей квадратов значений Y и NX. Встаем в самую верхнюю ячейку столбца справа от NX (не считая шапки таблицы) и щелкаем по значку “Вставить функцию” (fx).
- В окне вставки функции выбираем категорию “Математические”, находим оператор “СУММКВРАЗН” и щелкаем OK.
- Теперь нужно заполнить аргументы функции:
- в поле “Массив_x” указываем координаты диапазона ячеек столбца Y (без шапки). Адреса ячеек можно указать как вручную, напечатав их с клавиатуры, так и путем выделения с помощью зажатой левой кнопки мыши в самой таблице.
- в поле “Массив_y” указываем диапазон ячеек столбца NX.
- жмем Enter, когда все готово.
- Переключаемся во вкладку “Данные”. В группе “Анализ” щелкаем по функции “Поиск решения”.
- Нам предстоит заполнить параметры поиска решения:
- в поле “Оптимизировать целевую функцию” следует указать ссылку на ячейку с функцией “СУММКВРАЗН”. Сделать это можно вручную или выбрав элемент в таблице.
- для опции “До” выбираем вариант – “Минимум”.
- в поле “Изменяя ячейки переменных” нужно указать координаты ячейки, в которой находится соответствующее значение коэф. N.
- по готовности нажимаем “Найти решение”.
- После выполнения функции появится окно с результатами поиска решения и произойдет замена значения в столбце N. Найденная величина является наименьшим квадратом функции. Нажимаем OK, если полученный результат удовлетворителен.
Заключение
Итак, мы только что разобрали на практическом примере, каким образом можно применить метод наименьших квадратов в Эксель. На практике могут встречаться более сложные задачи, однако, в целом логика действий схожа с той, что мы описали.
Содержание
- Как использовать метод наименьших квадратов в Excel
- Шаг 1: Создайте набор данных
- Шаг 2: Используйте метод наименьших квадратов для подбора линии регрессии
- Шаг 3: интерпретируйте результаты
- Шаг 4: Нанесите результаты на график
- МНК: Метод Наименьших Квадратов в EXCEL
- Линейная зависимость
- Инструмент диаграммы Линия тренда
- МНК: Квадратичная зависимость в EXCEL
- МНК: Экспоненциальная зависимость в EXCEL
- Функция РОСТ()
- Функция ЛГРФПРИБЛ()
Как использовать метод наименьших квадратов в Excel
Метод наименьших квадратов — это метод, который мы можем использовать для поиска линии регрессии, которая лучше всего соответствует заданному набору данных.
В следующем видео представлено краткое объяснение этого метода:
Чтобы использовать метод наименьших квадратов для подбора линии регрессии в Excel, мы можем использовать функцию =ЛИНЕЙН() .
В следующем пошаговом примере показано, как использовать эту функцию на практике.
Шаг 1: Создайте набор данных
Во-первых, давайте создадим следующий набор данных в Excel:
Шаг 2: Используйте метод наименьших квадратов для подбора линии регрессии
Мы можем использовать функцию =LINEST(known_ys, known_xs) , чтобы использовать метод наименьших квадратов, чтобы подобрать линию регрессии к этому набору данных:
Как только мы нажмем ENTER , появятся коэффициенты регрессионной модели:
Шаг 3: интерпретируйте результаты
Используя коэффициенты из функции =LINEST() , мы можем написать следующую подобранную линию регрессии:
у = 11,55211 + 1,07949(х)
Мы можем использовать это уравнение для оценки значения y на основе значения x.
Например, если x = 10, то мы оценили бы, что y будет равно 22,347 :
у = 11,55211 + 1,07949(10) = 22,347
Шаг 4: Нанесите результаты на график
Наконец, мы можем использовать следующие шаги для построения набора данных вместе с подобранной линией регрессии:
- Выделите ячейки A2:B16 .
- Щелкните вкладку « Вставка » на верхней ленте. Затем щелкните первый параметр диаграммы под названием « Вставить точечную (X, Y)» или «Пузырьковую диаграмму » в группе «Диаграммы».
- После того, как диаграмма появится, нажмите знак плюс «+» в правом верхнем углу. В раскрывающемся меню установите флажок рядом с линией тренда , чтобы добавить на график подобранную линию регрессии.
Источник
МНК: Метод Наименьших Квадратов в EXCEL
history 11 ноября 2018 г.
Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью линейной функции y = a x + b .
Метод наименьших квадратов (англ. Ordinary Least Squares , OLS ) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным.
Рассмотрим приближение функциями, зависящими только от одной переменной:
Примечание : Случаи приближения полиномом с 3-й до 6-й степени рассмотрены в этой статье. Приближение тригонометрическим полиномом рассмотрено здесь.
Линейная зависимость
Нас интересует связь 2-х переменных х и y . Имеется предположение, что y зависит от х по линейному закону y = ax + b . Чтобы определить параметры этой взаимосвязи исследователь провел наблюдения: для каждого значения х i произведено измерение y i (см. файл примера ). Соответственно, пусть имеется 20 пар значений (х i ; y i ).
Для наглядности рекомендуется построить диаграмму рассеяния.
Примечание: Если шаг изменения по х постоянен, то для построения диаграммы рассеяния можно использовать тип График , если нет, то необходимо использовать тип диаграммы Точечная .
Из диаграммы очевидно, что связь между переменными близка к линейной. Чтобы понять какая из множества прямых линий наиболее «правильно» описывает зависимость между переменными, необходимо определить критерий, по которому будут сравниваться линии.
В качестве такого критерия используем выражение:
Вышеуказанное выражение представляет собой сумму квадратов расстояний между наблюденными значениями y i и ŷ i и часто обозначается как SSE ( Sum of Squared Errors ( Residuals ), сумма квадратов ошибок (остатков) ) .
Метод наименьших квадратов заключается в подборе такой линии ŷ = ax + b , для которой вышеуказанное выражение принимает минимальное значение.
Примечание: Любая линия в двухмерном пространстве однозначно определяется значениями 2-х параметров: a (наклон) и b (сдвиг).
Считается, что чем меньше сумма квадратов расстояний, тем соответствующая линия лучше аппроксимирует имеющиеся данные и может быть в дальнейшем использована для прогнозирования значений y от переменной х. Понятно, что даже если в действительности никакой взаимосвязи между переменными нет или связь нелинейная, то МНК все равно подберет «наилучшую» линию. Таким образом, МНК ничего не говорит о наличии реальной взаимосвязи переменных, метод просто позволяет подобрать такие параметры функции a и b , для которых вышеуказанное выражение минимально.
Проделав не очень сложные математические операции (подробнее см. статью про квадратичную зависимость ), можно вычислить параметры a и b :
Как видно из формулы, параметр a представляет собой отношение ковариации и дисперсии , поэтому в MS EXCEL для вычисления параметра а можно использовать следующие формулы (см. файл примера лист Линейная ):
= КОВАР(B26:B45;C26:C45)/ ДИСП.Г(B26:B45) или
Также для вычисления параметра а можно использовать формулу = НАКЛОН(C26:C45;B26:B45) . Для параметра b используйте формулу = ОТРЕЗОК(C26:C45;B26:B45) .
И наконец, функция ЛИНЕЙН() позволяет вычислить сразу оба параметра. Для ввода формулы ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45) необходимо выделить в строке 2 ячейки и нажать CTRL + SHIFT + ENTER (см. статью про формулы массива, возвращающими несколько значений ). В левой ячейке будет возвращено значение а , в правой – b .
Примечание : Чтобы не связываться с вводом формул массива потребуется дополнительно использовать функцию ИНДЕКС() . Формула = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);1) или просто = ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45) вернет параметр, отвечающий за наклон линии, т.е. а . Формула = ИНДЕКС(ЛИНЕЙН(C26:C45;B26:B45);2) вернет параметр, отвечающий за пересечение линии с осью Y, т.е. b .
Вычислив параметры, на диаграмме рассеяния можно построить соответствующую линию.
Инструмент диаграммы Линия тренда
Еще одним способом построения прямой линии по методу наименьших квадратов является инструмент диаграммы Линия тренда . Для этого выделите диаграмму, в меню выберите вкладку Макет , в группе Анализ нажмите Линия тренда , затем Линейное приближение .
Поставив в диалоговом окне галочку в поле «показывать уравнение на диаграмме» можно убедиться, что найденные выше параметры совпадают со значениями на диаграмме.
Примечание : Для того, чтобы параметры совпадали необходимо, чтобы тип у диаграммы был Точечная, а не График . Дело в том, что при построении диаграммы График значения по оси Х не могут быть заданы пользователем (пользователь может указать только подписи, которые не влияют на расположение точек). Вместо значений Х используется последовательность 1; 2; 3; … (для нумерации категорий). Поэтому, если строить линию тренда на диаграмме типа График , то вместо фактических значений Х будут использованы значения этой последовательности, что приведет к неверному результату (если, конечно, фактические значения Х не совпадают с последовательностью 1; 2; 3; …).
СОВЕТ : Подробнее о построении диаграмм см. статьи Основы построения диаграмм и Основные типы диаграмм .
Источник
МНК: Квадратичная зависимость в EXCEL
history 24 ноября 2018 г.
Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью квадратичной функции y=ax 2 +bx+с .
Метод наименьших квадратов (англ. Ordinary Least Squares , OLS ) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Основная статья про МНК — МНК: Метод Наименьших Квадратов в MS EXCEL .
Для построения графика квадратичной зависимости y=ax 2 +bx+с вспомним исходный критерий МНК, который необходимо минимизировать:
Теперь ŷ i = a*x i 2 +b*x i +с и мы имеем зависимость от 3-х параметров полинома второй степени: a , b и с .
Вышеуказанное выражение примет минимальное значение при таких параметрах a , b и с , при которых соответствующие 3 частные производные функции F равны нулю, т.е.:
В результате вычислений и преобразований получим систему из 3-х линейных уравнений:
Сначала вычислим выражения со знаком суммирования. Для этого возьмем исходные данные таблицы и произведем с ними арифметические действия (см. файл примера ).
Затем получившуюся систему линейных уравнений нужно решить относительно параметров a , b и с. Для этого можно использовать, например метод обратной матрицы или функцию ЛИНЕЙН() (эти подходы реализованы в файле примера ).
В результате вычислений будут найдены три параметра квадратичного полинома a , b и с, а также построена соответствующая парабола.
Примечание : Три параметра можно также найти с помощью замены переменных – это сделано в более общем случае для полинома .
Источник
МНК: Экспоненциальная зависимость в EXCEL
history 11 ноября 2018 г.
Метод наименьших квадратов (МНК) основан на минимизации суммы квадратов отклонений выбранной функции от исследуемых данных. В этой статье аппроксимируем имеющиеся данные с помощью экспоненциальной функции.
Метод наименьших квадратов (англ. Ordinary Least Squares , OLS ) является одним из базовых методов регрессионного анализа в части оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Основная статья про МНК — МНК: Метод Наименьших Квадратов в MS EXCEL .
В этой статье рассмотрена только экспоненциальная зависимость, но ее выводы можно применить и к показательной зависимости, т.к. любую показательную функцию можно свести к экспоненциальной:
y=a*m x =a*(e ln(m) ) x = a*e x*ln(m) =a*e bx , где b= ln(m))
В свою очередь экспоненциальную зависимость y=a*EXP(b*x) при a>0 можно свести к случаю линейной зависимости с помощью замены переменных (см. файл примера ).
После замены переменных Y=ln(y) и A=ln(a) вычисления полностью аналогичны линейному случаю Y=b*x+A. Для нахождения коэффициента a необходимо выполнить обратное преобразование a= EXP(A) .
Примечание : Построить линию тренда по методу наименьших квадратов можно также с помощью инструмента диаграммы Линия тренда ( Экспоненциальная линия тренда ). Поставив в диалоговом окне галочку в поле «показывать уравнение на диаграмме» можно убедиться, что найденные выше параметры совпадают со значениями на диаграмме. Подробнее о диаграммах см. статью Основы построения диаграмм в MS EXCEL .
Следствием замены Y=ln(y) и A=ln(a) являются дополнительные ограничения: a>0 и y>0. При уменьшении х (в сторону больш и х по модулю отрицательных чисел) соответствующее значение y асимптотически стремится к 0. Именно такую линию тренда и строит инструмент диаграммы Линия тренда. Если среди значений y есть отрицательные, то с помощью инструмента Линия тренда экспоненциальную линию тренда построить не удастся.
Чтобы обойти это ограничение используем другое уравнение экспоненциальной зависимости y=a*EXP(b*x)+с, где по прежнему a>0, т.е. при росте х значения y также будут увеличиваться. В качестве с можно взять некую заранее известную нижнюю границу для y , ниже которой у не может опускаться, т.е. у>с. Далее заменой переменных Y=ln(y-c) и A=ln(a) опять сведем задачу к линейному случаю (см. файл примера лист Экспонента2 ).
Если при росте х значения y уменьшаются по экспоненциальной кривой, т.е. a файл примера лист Экспонента3 ).
Функция РОСТ()
Еще одним способом построить линию экспоненциального тренда является использование функции РОСТ() , английское название GROWTH.
Синтаксис функции следующий:
РОСТ( известные_значения_y; [известные_значения_x]; [новые_значения_x]; [конст] )
Для работы функции нужно просто ввести ссылки на массив значений переменной Y (аргумент известные_значения_y ) и на массив значений переменной Х (аргумент известные_значения_x ). Функция рассчитает прогнозные значения Y для Х, указанных в аргументе новые_значения_x . Если требуется, чтобы экспоненциальная кривая y=a*EXP(b*x) имела a=1, т.е. проходила бы через точку (0;1), то необязательный аргумент конст должен быть установлен равным ЛОЖЬ (или 0).
Если среди значений y есть отрицательные, то с помощью функции РОСТ() аппроксимирующую кривую построить не удастся.
Безусловно, использование функции РОСТ() часто удобно, т.к. не требуется делать замену переменных и сводить задачу к линейному случаю.
Наконец, покажем как с помощью функции РОСТ() вычислить коэффициенты уравнения y= a *EXP( b *x).
Примечание : В MS EXCEL имеется специальная функция ЛГРФПРИБЛ() , которая позволяет вычислить коэффициенты уравнения y=a*EXP(b*x). Об этой функции см. ниже.
Чтобы вычислить коэффициент a (значение Y в точке Х=0) используйте формулу =РОСТ(C26:C45;B26:B45;0) . В диапазонах C26:C45 и B26:B45 должны находиться массивы значений переменной Y и X соответственно.
Чтобы вычислить коэффициент b используйте формулу:
= LN(РОСТ(C26:C45;B26:B45;МИН(B26:B45))/ РОСТ(C26:C45;B26:B45;МАКС(B26:B45)))/ (МИН(B26:B45)-МАКС(B26:B45))
Функция ЛГРФПРИБЛ()
Функция ЛГРФПРИБЛ() на основе имеющихся значений переменных Х и Y подбирает методом наименьших квадратов коэффициенты а и m уравнения y= a * m ^x.
Используя свойство степеней a mn =(a m ) n приведем уравнение экспоненциального тренда y= a *EXP( b *x)= a *e b *x = a *(e b ) x к виду y= a * m ^x, сделав замену переменной m= e b =EXP( b ).
Чтобы вычислить коэффициенты уравнения y= a *EXP( b *x) используйте следующие формулы:
= LN(ЛГРФПРИБЛ(C26:C45;B26:B45)) — коэффициент b
= ИНДЕКС(ЛГРФПРИБЛ(C26:C45;B26:B45);;2) — коэффициент a
Примечание : Функция ЛГРФПРИБЛ() , английское название LOGEST, является формулой массива, возвращающей несколько значений . Поэтому, например, для вывода коэффициентов уравнения необходимо выделить 2 ячейки в одной строке, в Строке формул ввести = ЛГРФПРИБЛ(C26:C45;B26:B45) , затем для ввода формулы вместо обычного ENTER нажать CTRL + SHIFT + ENTER .
Функция ЛГРФПРИБЛ() имеет линейный аналог – функцию ЛИНЕЙН() , которая рассмотрена в статье про простую линейную регрессию. Если 4-й аргумент этой функции ( статистика ) установлен ИСТИНА, то ЛГРФПРИБЛ() возвращает регрессионную статистику: стандартные ошибки для оценок коэффициентов регрессии, коэффициент детерминации, суммы квадратов: SSR , SSE и др.
Примечание : Особой нужды в функции ЛГРФПРИБЛ() нет, т.к. с помощью логарифмирования и замены переменной показательную функцию y= a * m ^x можно свести к линейной ln(y)=ln(a)+x*ln(m)=> Y=A+bx. То же справедливо и для экспоненциальной функции y= a *EXP( b *x).
Источник