Построение графика трехмерной функции excel

Как построить график в трехмерной системе координат

Трехмерные диаграммы (поверхности и изолинии) в EXCEL

Для начинающих пользователей EXCEL советуем прочитать статью Основы построения диаграмм в MS EXCEL , в которой рассказывается о базовых настройках диаграмм, а также статью об основных типах диаграмм .

При попытке построить диаграмму типа Поверхность на основе одного ряда данных, MS EXCEL может сказать, что ему требуется как минимум 2 ряда. На самом деле, для более или менее наглядной поверхности потребуется как минимум 10 рядов (лучше 20 – для сложных поверхностей). К счастью, ряды не нужно создавать в ручную – достаточно правильно сформировать таблицу с исходными данными.

Построим график функции z=-sin(x*х+y*y)+1 (см. файл примера ).

В качестве источника данных используем таблицу, в которой в верхней строке указаны значения Х, а в левом столбце Y. В остальных ячейках – значения Z для всех пар (Х,Y)

Чтобы значения Z были более информативны — можно использовать Условное форматирование .

Условное форматирование показывает некий вариант изолиний (см. ниже): близкие значения Z выделены одним цветом. Это также позволяет предварительно оценить вид создаваемой диаграммы.

Теперь выделите любую ячейку таблицы и постройте диаграмму типа Поверхность (вкладка Вставка , группа Диаграммы , Кнопка Другие ).

Полученную фигуру можно повращать (кнопка Поворот объемной фигуры на вкладке Макет ).

Для построения диаграммы используется 3 оси: горизонтальная ось (категорий), вертикальная ось (значений), ось Z (рядов значений). Все 3 названия осей требуют пояснения.

Во-первых, ось Z на самом деле является нашей осью Х и отображает имена рядов. Если имена рядов убрать, то изменятся и подписи оси (убрать имена рядов можно нажав кнопку Изменить в окне Выбор источника данных , которое доступно через вкладку Конструктор ).

Этот факт роднит диаграмму Поверхность с Диаграммой График , где по Х отображаются лишь подписи. Т.е. при попытке построить поверхность с неравномерным шагом по Х (например, 1, 2, 5, 9, 77, 103, ..) получим искажения масштаба: значения по Х будут откладываться последовательно 1, 2, 3, … (конечно, Z будет рассчитаны правильно). Интересно, что формат подписей по оси Z можно настроить только изменяя формат ячеек, на которые ссылаются имена рядов (изменение формата на вкладке Число (в окне Формат Оси) ни к чему не приводит).

Во-вторых, по вертикальной оси (значений) на самом деле откладываются значения Z (это очевидно из рисунка).

И, наконец, в-третьих, горизонтальная ось (категорий) – это значения Y (на самом деле опять только подписи). Подписи, как и для Графика можно удалить или изменить нажав кнопку Изменить в окне Выбор источника данных , которое доступно через вкладку Конструктор (на этот раз нужно нажать кнопку расположенную справа).

Так как диаграмма Поверхность – это по сути трехмерный График , в котором одному Х соответствует один Y, то некоторые объемные фигуры отобразить на диаграмме Поверхность не удастся. Например, не удастся отобразить гиперболоид, т.к. каждой паре (Х;Y) на диаграмме Поверхность соответствует только один Z, а для гиперболоида это не так (каждой паре соответствует 2 значения Z). Поэтому, в MS EXCEL придется довольствоваться только половиной гиперболоида.

Как видно из диаграммы, близкие значения Z выделены одним цветом, которые указаны в Легенде. К сожалению, в MS EXCEL невозможно управлять этими уровнями (даже при повороте фигуры количество уровней и диапазоны значений существенно изменяются). Это приводит к тому, что построение изолиний ( линии уровня, контурный график, англ. Contour plot ) реализовано в MS EXCEL в достаточно ограниченном виде: невозможно указать на диаграмме значение изолинии (диапазоны цветов указаны на Легенде), разбиение на диапазоны по Z производится MS EXCEL автоматически и нет возможности на это повлиять. Ниже приведены изолинии для упомянутого выше гиперболоида. Это особый вид диаграммы – Проволочная контурная .

Практически такой же картинки можно добиться простым поворотом фигуры на диаграмме Поверхность .

Трехмерные графики функций в MathСad

Графики, которые включают две переменные, в Mathcad схожи с 2D-графиками, но есть отличия, которые необходимо знать. В Mathcad существует два вида таких графиков: контурный и 3D-график поверхности в трех осях.

Контурный график

Контурный график показывает изменения поверхности по высоте. Он являет собой линии равных высот. Для интеграции контурного графика нужно выбрать в Графики -> Кривые -> Вставить график -> Контурный график.

Давайте пропишем построение графика параболоида:

Такая функция имеет минимум в начале осей координат и возрастает при отходе от начала осей. Цвет нашего графика будет зависим от величины z.

По стандарту в наших уроках используем диапазоны от -10 до 10 для x и у. Для оси z подбор диапазона будет автоматизирован. Изменение диапазонов возможно с изменением величины первой и последней меток, а изменение расстояния — изменением величины второй метки. Также можно выбирать одну из представленных в программе цветовых схем оформления или добавлять величины к контурным линиям.

3D-график

Давайте вначале выясним, какие есть элементы у 3D-графика.

График имеет три оси: X, Y, Z. Обычно ось зет имеет вертикальное направление. Сам график, который изображен розовой сеткой на примере выше, ограничен прямоугольной областью, сторонами которой являются оси координат. Если в 2D-графиках были места для заполнения как для оси X, так и для оси Y, то здесь есть только одно место заполнения для оси Z.

Если вы посмотрите на правый верхний угол, то увидите кнопку выбора осей. При нажатии на нужную ось, она подсветится как на кнопке, так и на графике. Вы можете менять для каждой оси значение первой, второй и последней метки. Все это справедливо настолько же, насколько и для 2D-графика. Кроме того, можно изменять диапазоны как по осям, так и по числу меток.

Вам будет доступно расширение, перемещение и сжатие области, где размещен график. Для этого существуют специальные кнопки, которые размещены на границе области. Кнопки слева сверху предназначены для перемещения, вращения или масштабирования графика. А также есть кнопка «Сбросить график», которая оп своим функциям напоминает кнопку «Отменить».

Параболоид

Попробуем построить график заданного параболоида. Разместите курсор на любое место рабочей области и нажмите Графики -> Кривые -> Вставить график -> 3D-график. В местозаполнитель введите [z(x,y] и нажмите на любое пустое место. Построится вот такой график:

Поэкспериментируйте с кнопками управления видом графика, а когда получите достаточно опыта, нажмите на кнопку «Сброс вида».

Нажмите на ось Z справа сверху на кнопке выбора оси. Поменяйте обозначение последней метки с 200 на 400, а потом нажмите на любое пустое место вне графика, чтобы изменения применились. Если вам нужно будет вернуться в исходную позицию, то придется заново вручную поменять значение на 200, так как кнопка вида здесь работать не будет.

На следующей картинке вы видите тот же график, но с изменением цвета и заливки поверхности. Это можно сделать, воспользовавшись меню Графики -> Стили:

Две функции

Для добавления еще одной функции на график, нужно выбрать местозаполнитель с легендой и в меню перейти Графики -> Кривые -> Добавить кривую. На примере вы можете видеть функции параболоида и плоскости на одном координатной сетке.

Для графиков лучше использовать отличные друг от друга цвета, чтобы их пересечение было более заметно. Вы можете повращать график, чтобы разобраться в форме этого пересечения.

Использование вектора

Мы производили построение 2D-графиков с использованием вектора. Что-то подобное можно использовать и для 3D-графиков, но нам потребуется вектор с осями X, Y, Z. Изобразим примером функцию, которая известна среди математиков под названием «мексиканская шляпа».

Сфера

Построение параметрической поверхности требует более серьезного подхода, чем 2D-графика. Все из-за того, что значение Z можно добавлять только непосредственно на графике. Расскажем, как это выполнить, используя пример построения графика сферы с помощью функции CreateMesh. Параметрические уравнения сферы выглядят так:

У параметра φ есть название — азимутальный угол. Параметр θ называется зенитным углом. Пропишем нужные нам диапазоны изменения параметров:

При использовании функции CreateMesh нам понадобится такая матрица:

Пропишите имя переменной матрицы в метозаполнитель 3D-графика и нажмите на любую пустую область вне его.

Резюме

3D-графики имеют некоторые отличия от двухмерных графиков, которые мы уже рассматривали:

Рисование сеточных графиков трехмерных функций и изолиний к ним

Статья представляет собой нечто вроде “практического руководства” для построения весьма интересных трехмерных графиков функций вида z=f(x,y), с примером реализации на C#.

Рисовать будем в компоненте Chart, разумеется, можно использовать любой canvas-подобный элемент. При большом количестве точек будут наблюдаться задержки в рисовании, но этот компонент легко использовать и для демонстрации он вполне сгодится.

Строим график

Для этого нам понадобится сетка или поле, каждый узел которой будет иметь координаты x, y и содержать значение z. Эту сетку можно заполнять любым способом, раз мы строим график функции, то будем заполнять ее значениями этой функции (z=f(x,y)). Шаг между двумя последовательными значениями x или y выберем равный одному, для более простой и наглядной демонстрации, размерность сетки N x N. Значения в узлах сетки достаточно считать один раз. Для преобразования трехмерных координат в двухмерные и для поворота графика будем использовать матрицу поворота и углы Эйлера.

Обозначим углы α, β и γ углами a, b и c соответственно и будем использовать их значения в градусах. Запишем матрицу через коэффициенты:

Запишем итоговое преобразование из трехмерных координат в двухмерные:
X=l₁x+l₂y+l₃z
Y=m₁x+m₂y+m₃z
x,y,z –это “внутренние” координаты для графика, X,Y – итоговые экранные координаты. Коэффициенты n1,n2 и n3 нам для этой задачи не понадобятся.

Добавим события, при которых будут меняться углы и будет происходить вращение графика. Например, это будет движение курсора при зажатой левой кнопке мышки и изменение углов b и с:

Проверим на тестовой функции z=x 2 +y 2 :

Вид сверху на функцию где видно ту самую сетку и показаны значения в узлах.

Вид на функцию под углом.
Возможно, стоит по-другому изменять углы, при вращении используя все 3 угла и использовать сетку с шагом меньше 1, но мы упростили ситуацию.

Строим изолинии

Воспользуемся алгоритмом Движущихся квадратов (“Marching squares”), в Википедии дано достаточно подробное описание. Гугл также выдает очень хорошую статью, где описывается этот алгоритм и реализовывается на C#.
Суть кратко:
1. Требуется найти начальную позицию — откуда пойдет изолиния.
2. Затем сравнить значения в соседних узлах сетки, которые образуют квадрат с вершинами: (x_i,y_j), (x_i-1,y_j), (x_i,y_j-1), (x_i-1,y_j-1).

3. Выбрать дальнейшее направление обхода, в зависимости от полученного значения на шаге 2, и перейти в следующую точку, в которой опять проделать шаг 2.
4. Выполнять до тех пор, пока не попадем обратно в начальную позицию или не достигнем края сетки.
Всего может быть 16 вариантов:

Не будем писать весь код заново, возьмем часть кода из той статьи и изменим под нашу задачу:

Попробуем опять же на нашей тестовой функции z=x 2 +y 2 :

Как видно на картинке алгоритм довольно успешно справился и отделил точки где значение функции выше 5, но немного правее и выше. Изолиния получилась угловатой, поэтому проведем интерполяцию. Смысл интерполяции в том, что мы на основании значениях z в соседних узлах сетки вычисляем более близкое значение x, или y, к реальной изолинии, что делает изолинию более правдоподобной.
Будем использовать формулу линейной интерполяции:
x=(Z-f(x_i-1,y_j)/(f(x_i,y_j)-f(x_i-1,y_j))+x_i-1,
y=(Z-f(x_i,y_j-1)/(f(x_i,y_j)-f(x_i,y_j-1))+y_j-1,
где Z- значение, на котором нужно провести изолинию.
Интерполирование по координате x, или по координате y, выбирается в зависимости от направления движения для предыдущего и следующего шагов.
Напишем для этого такой, не очень хороший код:

И получаем результат, который нас уже более устраивает:


Пример «ненужных точек», которые мы исключили.
Из возможных улучшений следует отметить, что наша реализация будет строить все изолинии только для монотонно возрастающих (для убывающих следует поменять знак на “>”) функций. Для функций периодически возрастающих и убывающих следует изменить, например функцию поиска начальной позиции и выполнять её несколько раз.

Пример работы итоговой программы.
На практике это можно применять для анализа карт, или для поиска контура на изображении.

Источник