Полулогарифмическая модель регрессии в excel

---

Полулогарифмический график — это тип графика, в котором используется логарифмическая шкала по оси Y и линейная шкала по оси X.

Этот тип графика часто используется, когда значения переменной y имеют гораздо большую изменчивость по сравнению со значениями переменной x.

Это часто происходит в наборах данных в области финансов, экономики, биологии и астрономии среди других областей.

В следующем пошаговом примере показано, как создать полулогарифмический график в Excel для заданного набора данных.

Шаг 1: введите данные

Во-первых, давайте введем значения для поддельного набора данных:

Шаг 2: Создайте диаграмму рассеяния

Затем выделите значения данных:

На верхней ленте нажмите « Вставить ».Затем щелкните первый вариант в разделе «График рассеяния »:

Автоматически отобразится следующая диаграмма рассеяния:

Из графика видно, что значения переменной y имеют гораздо более высокую изменчивость, чем значения переменной x.

Это означает, что рекомендуется преобразовать ось Y в логарифмическую шкалу, чтобы более эффективно визуализировать значения Y.

Шаг 3: Измените шкалу оси Y

Затем щелкните правой кнопкой мыши ось Y. В появившемся раскрывающемся меню нажмите « Формат оси» :

В появившемся окне в правой части экрана поставьте галочку рядом с Логарифмическая шкала :

Ось Y будет автоматически преобразована в логарифмическую шкалу:

Ось x остается на линейной шкале, но ось y была преобразована в логарифмическую шкалу.

Обратите внимание, насколько проще интерпретировать значения y на этом графике по сравнению с предыдущим графиком.

Дополнительные ресурсы

Как создать логарифмический график в Excel
Как преобразовать данные в Excel (логарифм, квадратный корень, кубический корень)
Как выполнить преобразование Бокса-Кокса в Excel

Регрессионный анализ является одним из самых востребованных методов статистического исследования. С его помощью можно установить степень влияния независимых величин на зависимую переменную. В функционале Microsoft Excel имеются инструменты, предназначенные для проведения подобного вида анализа. Давайте разберем, что они собой представляют и как ими пользоваться.

Подключение пакета анализа

Но, для того, чтобы использовать функцию, позволяющую провести регрессионный анализ, прежде всего, нужно активировать Пакет анализа. Только тогда необходимые для этой процедуры инструменты появятся на ленте Эксель.

1. Перемещаемся во вкладку «Файл».



2. Переходим в раздел «Параметры».



3. Открывается окно параметров Excel. Переходим в подраздел «Надстройки».



4. В самой нижней части открывшегося окна переставляем переключатель в блоке «Управление» в позицию «Надстройки Excel», если он находится в другом положении. Жмем на кнопку «Перейти».



5. Открывается окно доступных надстроек Эксель. Ставим галочку около пункта «Пакет анализа». Жмем на кнопку «OK».

Теперь, когда мы перейдем во вкладку «Данные», на ленте в блоке инструментов «Анализ» мы увидим новую кнопку – «Анализ данных».

Виды регрессионного анализа

Существует несколько видов регрессий:

• параболическая;
• степенная;
• логарифмическая;
• экспоненциальная;
• показательная;
• гиперболическая;
• линейная регрессия.

О выполнении последнего вида регрессионного анализа в Экселе мы подробнее поговорим далее.

Внизу, в качестве примера, представлена таблица, в которой указана среднесуточная температура воздуха на улице, и количество покупателей магазина за соответствующий рабочий день. Давайте выясним при помощи регрессионного анализа, как именно погодные условия в виде температуры воздуха могут повлиять на посещаемость торгового заведения.

Общее уравнение регрессии линейного вида выглядит следующим образом: У = а0 + а1х1 +…+акхк. В этой формуле Y означает переменную, влияние факторов на которую мы пытаемся изучить. В нашем случае, это количество покупателей. Значение x – это различные факторы, влияющие на переменную. Параметры a являются коэффициентами регрессии. То есть, именно они определяют значимость того или иного фактора. Индекс k обозначает общее количество этих самых факторов.

1. Кликаем по кнопке «Анализ данных». Она размещена во вкладке «Главная» в блоке инструментов «Анализ».





2. Открывается небольшое окошко. В нём выбираем пункт «Регрессия». Жмем на кнопку «OK».



3. Открывается окно настроек регрессии. В нём обязательными для заполнения полями являются «Входной интервал Y» и «Входной интервал X». Все остальные настройки можно оставить по умолчанию.

   В поле «Входной интервал Y» указываем адрес диапазона ячеек, где расположены переменные данные, влияние факторов на которые мы пытаемся установить. В нашем случае это будут ячейки столбца «Количество покупателей». Адрес можно вписать вручную с клавиатуры, а можно, просто выделить требуемый столбец. Последний вариант намного проще и удобнее.

   В поле «Входной интервал X» вводим адрес диапазона ячеек, где находятся данные того фактора, влияние которого на переменную мы хотим установить. Как говорилось выше, нам нужно установить влияние температуры на количество покупателей магазина, а поэтому вводим адрес ячеек в столбце «Температура». Это можно сделать теми же способами, что и в поле «Количество покупателей».

   

   С помощью других настроек можно установить метки, уровень надёжности, константу-ноль, отобразить график нормальной вероятности, и выполнить другие действия. Но, в большинстве случаев, эти настройки изменять не нужно. Единственное на что следует обратить внимание, так это на параметры вывода. По умолчанию вывод результатов анализа осуществляется на другом листе, но переставив переключатель, вы можете установить вывод в указанном диапазоне на том же листе, где расположена таблица с исходными данными, или в отдельной книге, то есть в новом файле.

   

   После того, как все настройки установлены, жмем на кнопку «OK».

Разбор результатов анализа

Результаты регрессионного анализа выводятся в виде таблицы в том месте, которое указано в настройках.

Одним из основных показателей является R-квадрат. В нем указывается качество модели. В нашем случае данный коэффициент равен 0,705 или около 70,5%. Это приемлемый уровень качества. Зависимость менее 0,5 является плохой.

Ещё один важный показатель расположен в ячейке на пересечении строки «Y-пересечение» и столбца «Коэффициенты». Тут указывается какое значение будет у Y, а в нашем случае, это количество покупателей, при всех остальных факторах равных нулю. В этой таблице данное значение равно 58,04.

Значение на пересечении граф «Переменная X1» и «Коэффициенты» показывает уровень зависимости Y от X. В нашем случае — это уровень зависимости количества клиентов магазина от температуры. Коэффициент 1,31 считается довольно высоким показателем влияния.

Как видим, с помощью программы Microsoft Excel довольно просто составить таблицу регрессионного анализа. Но, работать с полученными на выходе данными, и понимать их суть, сможет только подготовленный человек.

Уравнение нелинейной регрессии

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии

Виды нелинейной регрессии

Здесь ε — случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.

Уравнению регрессии первого порядка — это уравнение парной линейной регрессии.

Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .

Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .

Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):

1. Замена переменных.
2. Логарифмирование обеих частей уравнения.
3. Комбинированный.

y = f(x)	Преобразование	Метод линеаризации
y = b x a	Y = ln(y); X = ln(x)	Логарифмирование
y = b e ax	Y = ln(y); X = x	Комбинированный
y = 1/(ax+b)	Y = 1/y; X = x	Замена переменных
y = x/(ax+b)	Y = x/y; X = x	Замена переменных. Пример
y = aln(x)+b	Y = y; X = ln(x)	Комбинированный
y = a + bx + cx 2	x1 = x; x2 = x 2	Замена переменных
y = a + bx + cx 2 + dx 3	x1 = x; x2 = x 2 ; x3 = x 3	Замена переменных
y = a + b/x	x1 = 1/x	Замена переменных
y = a + sqrt(x)b	x1 = sqrt(x)	Замена переменных

Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
2. Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
3. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
6. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
8. Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.

Год	Фактическое конечное потребление домашних хозяйств (в текущих ценах), млрд. руб. (1995 г. — трлн. руб.), y	Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), руб. (1995 г. — тыс. руб.), х
1995	872	515,9
2000	3813	2281,1
2001	5014	3062
2002	6400	3947,2
2003	7708	5170,4
2004	9848	6410,3
2005	12455	8111,9
2006	15284	10196
2007	18928	12602,7
2008	23695	14940,6
2009	25151	16856,9

Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии. Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) — 49694.9535

Задача №3. Расчёт параметров регрессии и корреляции с помощью Excel

По территориям региона приводятся данные за 200Х г.

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии

.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

Решим данную задачу с помощью Excel.

1. Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.

Чтобы построить поле корреляции можно воспользоваться ППП Excel. Введите исходные данные в последовательности: сначала х, затем у.

Выделите область ячеек, содержащую данные.

Затем выберете: Вставка / Точечная диаграмма / Точечная с маркерами как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 Построение поля корреляции

Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

2. Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии
воспользуемся встроенной статистической функцией ЛИНЕЙН.

1) Откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
2) Выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики.
3) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.
4) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ЛИНЕЙН. Щёлкните по кнопке ОК как показано на Рисунке 2;

Рисунок 2 Диалоговое окно «Мастер функций»

5) Заполните аргументы функции:

Известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения х – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щёлкните по кнопке ОК;

Рисунок 3 Диалоговое окно аргументов функции ЛИНЕЙН

6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу , а затем на комбинацию клавиш + + .

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента b	Значение коэффициента a
Стандартная ошибка b	Стандартная ошибка a
Коэффициент детерминации R 2	Стандартная ошибка y
F-статистика	Число степеней свободы df
Регрессионная сумма квадратов

Остаточная сумма квадратов

Рисунок 4 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Получили уровнение регрессии:

Делаем вывод: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

3. Коэффициент детерминации означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума, а 48% — действием других факторов, не включённых в модель.

По вычисленному коэффициенту детерминации можно рассчитать коэффициент корреляции: .

Связь оценивается как тесная.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результат.

Для уравнения прямой средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:

Средние значения найдём, выделив область ячеек со значениями х, и выберем Формулы / Автосумма / Среднее, и то же самое произведём со значениями у.

Рисунок 5 Расчёт средних значений функции и аргумент

Таким образом, при изменении среднедушевого прожиточного минимума на 1% от своего среднего значения среднедневная заработная плата изменится в среднем на 0,51%.

С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить:
— результаты регрессионной статистики,
— результаты дисперсионного анализа,
— результаты доверительных интервалов,
— остатки и графики подбора линии регрессии,
— остатки и нормальную вероятность.

Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к Пакету анализа. В главном меню последовательно выберите: Файл/Параметры/Надстройки.

2) В раскрывающемся списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.

3) В окне Надстройки установите флажок Пакет анализа, а затем нажмите кнопку ОК.

• Если Пакет анализа отсутствует в списке поля Доступные надстройки, нажмите кнопку Обзор, чтобы выполнить поиск.

• Если выводится сообщение о том, что пакет анализа не установлен на компьютере, нажмите кнопку Да, чтобы установить его.

4) В главном меню последовательно выберите: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия, а затем нажмите кнопку ОК.

5) Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X – диапазон, содержащий данные факторного признака;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

6) Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Затем нажмите кнопку ОК.

Рисунок 6 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 7.

Рисунок 7 Результат применения инструмента регрессия

5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Воспользуемся результатами регрессионного анализа представленного на Рисунке 8.

Рисунок 8 Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»

Составим новую таблицу как показано на рисунке 9. В графе С рассчитаем относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Рисунок 9 Расчёт средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 – 10%.

6. Из таблицы с регрессионной статистикой (Рисунок 4) выпишем фактическое значение F-критерия Фишера:

Поскольку при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

8. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

.

для числа степеней свободы

На рисунке 7 имеются фактические значения t-статистики:

t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:

I способ:

где – случайная ошибка коэффициента корреляции.

Данные для расчёта возьмём из таблицы на Рисунке 7.

II способ:

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

Поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Доверительный интервал для параметра a определяется как

Для параметра a 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как

Для коэффициента регрессии b 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:

где

Дисперсию посчитаем также с помощью ППП Excel. Для этого:

1) Активизируйте Мастер функций: в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию.

2) В окне Категория выберете Статистические, в окне функция – ДИСП.Г. Щёлкните по кнопке ОК.

3) Заполните диапазон, содержащий числовые данные факторного признака. Нажмите ОК.

Рисунок 10 Расчёт дисперсии

Получили значение дисперсии

Для подсчёта остаточной дисперсии на одну степень свободы воспользуемся результатами дисперсионного анализа как показано на Рисунке 7.

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при с вероятностью 0,95 определяются выражением:

Интервал достаточно широк, прежде всего, за счёт малого объёма наблюдений. В целом выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надёжным.

Условие задачи взято из: Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 192 с.: ил.

Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессий.

· Рассчитаем параметры уравнений линейной парной регрессии. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

По исходным данным рассчитываем ∑y, ∑x, ∑yx, ∑x 2 , ∑y 2 (табл. 2):

№ региона	X	Y	XY	X^2	Y^2	Y^cp	Y-Y^cp	Ai
1	2,800	28,000	78,400	7,840	784,000	25,719	2,281	0,081
2	2,400	21,300	51,120	5,760	453,690	22,870	-1,570	0,074
3	2,100	21,000	44,100	4,410	441,000	20,734	0,266	0,013
4	2,600	23,300	60,580	6,760	542,890	24,295	-0,995	0,043
5	1,700	15,800	26,860	2,890	249,640	17,885	-2,085	0,132
6	2,500	21,900	54,750	6,250	479,610	23,582	-1,682	0,077
7	2,400	20,000	48,000	5,760	400,000	22,870	-2,870	0,144
8	2,600	22,000	57,200	6,760	484,000	24,295	-2,295	0,104
9	2,800	23,900	66,920	7,840	571,210	25,719	-1,819	0,076
10	2,600	26,000	67,600	6,760	676,000	24,295	1,705	0,066
11	2,600	24,600	63,960	6,760	605,160	24,295	0,305	0,012
12	2,500	21,000	52,500	6,250	441,000	23,582	-2,582	0,123
13	2,900	27,000	78,300	8,410	729,000	26,431	0,569	0,021
14	2,600	21,000	54,600	6,760	441,000	24,295	-3,295	0,157
15	2,200	24,000	52,800	4,840	576,000	21,446	2,554	0,106
16	2,600	34,000	88,400	6,760	1156,000	24,295	9,705	0,285
17	3,300	31,900	105,270	10,890	1017,610	29,280	2,620	0,082
19	3,900	33,000	128,700	15,210	1089,000	33,553	-0,553	0,017
20	4,600	35,400	162,840	21,160	1253,160	38,539	-3,139	0,089
21	3,700	34,000	125,800	13,690	1156,000	32,129	1,871	0,055
22	3,400	31,000	105,400	11,560	961,000	29,992	1,008	0,033
Итого	58,800	540,100	1574,100	173,320	14506,970	540,100	0,000
сред значение	2,800	25,719	74,957	8,253	690,808	0,085
станд. откл	0,643	5,417

Система нормальных уравнений составит:

Ур-ие регрессии: = 5,777+7,122∙x. Данное уравнение показывает, что с увеличением среднедушевого денежного дохода в месяц на 1 тыс. руб. доля розничных продаж телевизоров повышается в среднем на 7,12%.

· Рассчитаем параметры уравнений степенной парной регрессии. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные табл. 3:

№ рег	X	Y	XY	X^2	Y^2	Yp^cp	y^cp
1	1,030	3,332	3,431	1,060	11,104	3,245	25,67072
2	0,875	3,059	2,678	0,766	9,356	3,116	22,56102
3	0,742	3,045	2,259	0,550	9,269	3,004	20,17348
4	0,956	3,148	3,008	0,913	9,913	3,183	24,12559
5	0,531	2,760	1,465	0,282	7,618	2,827	16,90081
6	0,916	3,086	2,828	0,840	9,526	3,150	23,34585
7	0,875	2,996	2,623	0,766	8,974	3,116	22,56102
8	0,956	3,091	2,954	0,913	9,555	3,183	24,12559
9	1,030	3,174	3,268	1,060	10,074	3,245	25,67072
10	0,956	3,258	3,113	0,913	10,615	3,183	24,12559
11	0,956	3,203	3,060	0,913	10,258	3,183	24,12559
12	0,916	3,045	2,790	0,840	9,269	3,150	23,34585
13	1,065	3,296	3,509	1,134	10,863	3,275	26,4365
14	0,956	3,045	2,909	0,913	9,269	3,183	24,12559
15	0,788	3,178	2,506	0,622	10,100	3,043	20,97512
16	0,956	3,526	3,369	0,913	12,435	3,183	24,12559
17	1,194	3,463	4,134	1,425	11,990	3,383	29,4585
19	1,361	3,497	4,759	1,852	12,226	3,523	33,88317
20	1,526	3,567	5,443	2,329	12,721	3,661	38,90802
21	1,308	3,526	4,614	1,712	12,435	3,479	32,42145
22	1,224	3,434	4,202	1,498	11,792	3,408	30,20445
итого	21,115	67,727	68,921	22,214	219,361	67,727	537,270
сред зн	1,005	3,225	3,282	1,058	10,446	3,225
стан откл	0,216	0,211

Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата y.

· Рассчитаем параметры уравнений экспоненциальной парной регрессии. Построению экспоненциальной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные табл. 4:

№ региона	X	Y	XY	X^2	Y^2	Yp	y^cp
1	2,800	3,332	9,330	7,840	11,104	3,225	25,156
2	2,400	3,059	7,341	5,760	9,356	3,116	22,552
3	2,100	3,045	6,393	4,410	9,269	3,034	20,777
4	2,600	3,148	8,186	6,760	9,913	3,170	23,818
5	1,700	2,760	4,692	2,890	7,618	2,925	18,625
6	2,500	3,086	7,716	6,250	9,526	3,143	23,176
7	2,400	2,996	7,190	5,760	8,974	3,116	22,552
8	2,600	3,091	8,037	6,760	9,555	3,170	23,818
9	2,800	3,174	8,887	7,840	10,074	3,225	25,156
10	2,600	3,258	8,471	6,760	10,615	3,170	23,818
11	2,600	3,203	8,327	6,760	10,258	3,170	23,818
12	2,500	3,045	7,611	6,250	9,269	3,143	23,176
13	2,900	3,296	9,558	8,410	10,863	3,252	25,853
14	2,600	3,045	7,916	6,760	9,269	3,170	23,818
15	2,200	3,178	6,992	4,840	10,100	3,061	21,352
16	2,600	3,526	9,169	6,760	12,435	3,170	23,818
17	3,300	3,463	11,427	10,890	11,990	3,362	28,839
19	3,900	3,497	13,636	15,210	12,226	3,526	33,978
20	4,600	3,567	16,407	21,160	12,721	3,717	41,140
21	3,700	3,526	13,048	13,690	12,435	3,471	32,170
22	3,400	3,434	11,676	11,560	11,792	3,389	29,638
Итого	58,800	67,727	192,008	173,320	219,361	67,727	537,053
сред зн	2,800	3,225	9,143	8,253	10,446
стан откл	0,643	0,211

Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:

Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение значения x.

· Рассчитаем параметры уравнений полулогарифмической парной регрессии. Построению полулогарифмической модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем замены:

где

Для расчетов используем данные табл. 5:

№ региона	X	Y	XY	X^2	Y^2	y^cp
1	1,030	28,000	28,829	1,060	784,000	26,238
2	0,875	21,300	18,647	0,766	453,690	22,928
3	0,742	21,000	15,581	0,550	441,000	20,062
4	0,956	23,300	22,263	0,913	542,890	24,647
5	0,531	15,800	8,384	0,282	249,640	15,525
6	0,916	21,900	20,067	0,840	479,610	23,805
7	0,875	20,000	17,509	0,766	400,000	22,928
8	0,956	22,000	21,021	0,913	484,000	24,647
9	1,030	23,900	24,608	1,060	571,210	26,238
10	0,956	26,000	24,843	0,913	676,000	24,647
11	0,956	24,600	23,506	0,913	605,160	24,647
12	0,916	21,000	19,242	0,840	441,000	23,805
13	1,065	27,000	28,747	1,134	729,000	26,991
14	0,956	21,000	20,066	0,913	441,000	24,647
15	0,788	24,000	18,923	0,622	576,000	21,060
16	0,956	34,000	32,487	0,913	1156,000	24,647
17	1,194	31,900	38,086	1,425	1017,610	29,765
19	1,361	33,000	44,912	1,852	1089,000	33,351
20	1,526	35,400	54,022	2,329	1253,160	36,895
21	1,308	34,000	44,483	1,712	1156,000	32,221
22	1,224	31,000	37,937	1,498	961,000	30,406
Итого	21,115	540,100	564,166	22,214	14506,970	540,100
сред зн	1,005	25,719	26,865	1,058	690,808
стан откл	0,216	5,417

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение: .

· Рассчитаем параметры уравнений обратной парной регрессии. Для оценки параметров приведем обратную модель к линейному виду, заменив , тогда

Для расчетов используем данные табл. 6:

№ региона	X	Y	XY	X^2	Y^2	Y^cp
1	2,800	0,036	0,100	7,840	0,001	24,605
2	2,400	0,047	0,113	5,760	0,002	22,230
3	2,100	0,048	0,100	4,410	0,002	20,729
4	2,600	0,043	0,112	6,760	0,002	23,357
5	1,700	0,063	0,108	2,890	0,004	19,017
6	2,500	0,046	0,114	6,250	0,002	22,780
7	2,400	0,050	0,120	5,760	0,003	22,230
8	2,600	0,045	0,118	6,760	0,002	23,357
9	2,800	0,042	0,117	7,840	0,002	24,605
10	2,600	0,038	0,100	6,760	0,001	23,357
11	2,600	0,041	0,106	6,760	0,002	23,357
12	2,500	0,048	0,119	6,250	0,002	22,780
13	2,900	0,037	0,107	8,410	0,001	25,280
14	2,600	0,048	0,124	6,760	0,002	23,357
15	2,200	0,042	0,092	4,840	0,002	21,206
16	2,600	0,029	0,076	6,760	0,001	23,357
17	3,300	0,031	0,103	10,890	0,001	28,398
19	3,900	0,030	0,118	15,210	0,001	34,844
20	4,600	0,028	0,130	21,160	0,001	47,393
21	3,700	0,029	0,109	13,690	0,001	32,393
22	3,400	0,032	0,110	11,560	0,001	29,301
Итого	58,800	0,853	2,296	173,320	0,036	537,933
сред знач	2,800	0,041	0,109	8,253	0,002
стан отклон	0,643	0,009

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение: . Выполнив его потенцирование, получим:

Для расчета теоретических значений y подставим в уравнение значения x.

· Рассчитаем параметры уравнений равносторонней гиперболы парной регрессии. Для оценки параметров приведем модель равносторонней гиперболы к линейному виду, заменив , тогда

Для расчетов используем данные табл. 7:

№ региона	X=1/z	Y	XY	X^2	Y^2	Y^cp
1	0,357	28,000	10,000	0,128	784,000	26,715
2	0,417	21,300	8,875	0,174	453,690	23,259
3	0,476	21,000	10,000	0,227	441,000	19,804
4	0,385	23,300	8,962	0,148	542,890	25,120
5	0,588	15,800	9,294	0,346	249,640	13,298
6	0,400	21,900	8,760	0,160	479,610	24,227
7	0,417	20,000	8,333	0,174	400,000	23,259
8	0,385	22,000	8,462	0,148	484,000	25,120
9	0,357	23,900	8,536	0,128	571,210	26,715
10	0,385	26,000	10,000	0,148	676,000	25,120
11	0,385	24,600	9,462	0,148	605,160	25,120
12	0,400	21,000	8,400	0,160	441,000	24,227
13	0,345	27,000	9,310	0,119	729,000	27,430
14	0,385	21,000	8,077	0,148	441,000	25,120
15	0,455	24,000	10,909	0,207	576,000	21,060
16	0,385	34,000	13,077	0,148	1156,000	25,120
17	0,303	31,900	9,667	0,092	1017,610	29,857
19	0,256	33,000	8,462	0,066	1089,000	32,564
20	0,217	35,400	7,696	0,047	1253,160	34,829
21	0,270	34,000	9,189	0,073	1156,000	31,759
22	0,294	31,000	9,118	0,087	961,000	30,374
Итого	7,860	540,100	194,587	3,073	14506,970	540,100
сред знач	0,374	25,719	9,266	0,146	1318,815
стан отклон	0,079	25,639

Рассчитаем a и b:

Получим линейное уравнение: . Получим уравнение регрессии: .

3. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации:

· Линейная модель. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции. Был получен следующий коэффициент корреляции r_xy=b=7,122*, что говорит о прямой сильной связи фактора и результата. Коэффициент детерминации r²_xy=(0,845)²=0,715. Это означает, что 71,5% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Степенная модель. Тесноту нелинейной связи оценит индекс корреляции. Был получен следующий индекс корреляции =, что говорит о очень сильной тесной связи, но немного больше чем в линейной модели. Коэффициент детерминации r²_xy=0,7175. Это означает, что 71,75% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Экспоненциальная модель. Был получен следующий индекс корреляции ρ_xy=0,8124, что говорит о том, что связь прямая и очень сильная, но немного слабее, чем в линейной и степенной моделях. Коэффициент детерминации r²_xy=0,66. Это означает, что 66% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Полулогарифмическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ρ_xy=0,8578, что говорит о том, что связь прямая и очень сильная, но немного больше чем в предыдущих моделях. Коэффициент детерминации r²_xy=0,7358. Это означает, что 73,58% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Гиперболическая модель. Был получен следующий индекс корреляции ρ_xy=0,8448 и коэффициент корреляции r_xy=-0,1784 что говорит о том, что связь обратная очень сильная. Коэффициент детерминации r²_xy=0,7358. Это означает, что 73,5% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

· Обратная модель. Был получен следующий индекс корреляции ρ_xy=0,8114 и коэффициент корреляции r_xy=-0,8120, что говорит о том, что связь обратная очень сильная. Коэффициент детерминации r²_xy=0,6584. Это означает, что 65,84% вариации результативного признака (розничная продажа телевизоров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.

Вывод: по полулогарифмическому уравнению получена наибольшая оценка тесноты связи: ρ_xy=0,8578 (по сравнению с линейной, степенной, экспоненциальной, гиперболической, обратной регрессиями).

If you are graphing data with exponential growth, such as the data describing the growth of a bacterial colony, using the typical Cartesian axes might result in your being unable to easily see trends, such as increases and decreases, on the graph. In these cases, graphing with semi-log axes is helpful. Once you have used Excel to create a set of regular axes, converting the axes to semi-logarithmic axes in Excel is far from difficult.

Type the name of your independent variable at the beginning of the «A» column in Excel. For instance, if you are graphing time versus bacterial growth, type «Time» at the top of the first column. Likewise, type «Bacterial Growth» at the top of the second column (the «B» column).

Use the «Chart» tool to create a graph that plots the independent variable, on the x-axis, versus the dependent variable, on the y-axis.

Decide which axis you would like to make logarithmic: a logarithmic graph makes both axes logarithmic, while a semi-log graph makes only one of the axes logarithmic.

Double-click that axis. Click on the «Scale» tab, then check the box corresponding to «Logarithmic Scale.» Your graph will now become semi-logarithmic.

Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.

Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.

Регрессионный анализ в Excel

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

• линейной (у = а + bx);
• параболической (y = a + bx + cx²);
• экспоненциальной (y = a * exp(bx));
• степенной (y = a*x^b);
• гиперболической (y = b/x + a);
• логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
• показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а₀ + а₁х₁ +…+а_кх_к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

1. Нажимаем кнопку «Офис» и переходим на вкладку «Параметры Excel». «Надстройки».



2. Внизу, под выпадающим списком, в поле «Управление» будет надпись «Надстройки Excel» (если ее нет, нажмите на флажок справа и выберите). И кнопка «Перейти». Жмем.



3. Открывается список доступных надстроек. Выбираем «Пакет анализа» и нажимаем ОК.

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

1. Открываем меню инструмента «Анализ данных». Выбираем «Регрессия».



2. Откроется меню для выбора входных значений и параметров вывода (где отобразить результат). В полях для исходных данных указываем диапазон описываемого параметра (У) и влияющего на него фактора (Х). Остальное можно и не заполнять.



3. После нажатия ОК, программа отобразит расчеты на новом листе (можно выбрать интервал для отображения на текущем листе или назначить вывод в новую книгу).

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.



Корреляционный анализ в Excel

Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.

Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.

Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.

Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.

Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.

Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.

Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.

1. В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
2. Аргумент «Массив 1» — первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
3. Аргумент «Массив 2» — второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.

Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).

Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.

Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:

Корреляционно-регрессионный анализ

На практике эти две методики часто применяются вместе.

Пример:

1. Строим корреляционное поле: «Вставка» — «Диаграмма» — «Точечная диаграмма» (дает сравнивать пары). Диапазон значений – все числовые данные таблицы.



2. Щелкаем левой кнопкой мыши по любой точке на диаграмме. Потом правой. В открывшемся меню выбираем «Добавить линию тренда».



3. Назначаем параметры для линии. Тип – «Линейная». Внизу – «Показать уравнение на диаграмме».



4. Жмем «Закрыть».

Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.