Содержание
- Расчет ошибки средней арифметической
- Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
- Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
- Вопросы и ответы
Стандартная ошибка или, как часто называют, ошибка средней арифметической, является одним из важных статистических показателей. С помощью данного показателя можно определить неоднородность выборки. Он также довольно важен при прогнозировании. Давайте узнаем, какими способами можно рассчитать величину стандартной ошибки с помощью инструментов Microsoft Excel.
Расчет ошибки средней арифметической
Одним из показателей, которые характеризуют цельность и однородность выборки, является стандартная ошибка. Эта величина представляет собой корень квадратный из дисперсии. Сама дисперсия является средним квадратном от средней арифметической. Средняя арифметическая вычисляется делением суммарной величины объектов выборки на их общее количество.
В Экселе существуют два способа вычисления стандартной ошибки: используя набор функций и при помощи инструментов Пакета анализа. Давайте подробно рассмотрим каждый из этих вариантов.
Способ 1: расчет с помощью комбинации функций
Прежде всего, давайте составим алгоритм действий на конкретном примере по расчету ошибки средней арифметической, используя для этих целей комбинацию функций. Для выполнения задачи нам понадобятся операторы СТАНДОТКЛОН.В, КОРЕНЬ и СЧЁТ.
Для примера нами будет использована выборка из двенадцати чисел, представленных в таблице.
- Выделяем ячейку, в которой будет выводиться итоговое значение стандартной ошибки, и клацаем по иконке «Вставить функцию».
- Открывается Мастер функций. Производим перемещение в блок «Статистические». В представленном перечне наименований выбираем название «СТАНДОТКЛОН.В».
- Запускается окно аргументов вышеуказанного оператора. СТАНДОТКЛОН.В предназначен для оценивания стандартного отклонения при выборке. Данный оператор имеет следующий синтаксис:
=СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)«Число1» и последующие аргументы являются числовыми значениями или ссылками на ячейки и диапазоны листа, в которых они расположены. Всего может насчитываться до 255 аргументов этого типа. Обязательным является только первый аргумент.
Итак, устанавливаем курсор в поле «Число1». Далее, обязательно произведя зажим левой кнопки мыши, выделяем курсором весь диапазон выборки на листе. Координаты данного массива тут же отображаются в поле окна. После этого клацаем по кнопке «OK».
- В ячейку на листе выводится результат расчета оператора СТАНДОТКЛОН.В. Но это ещё не ошибка средней арифметической. Для того, чтобы получить искомое значение, нужно стандартное отклонение разделить на квадратный корень от количества элементов выборки. Для того, чтобы продолжить вычисления, выделяем ячейку, содержащую функцию СТАНДОТКЛОН.В. После этого устанавливаем курсор в строку формул и дописываем после уже существующего выражения знак деления (/). Вслед за этим клацаем по пиктограмме перевернутого вниз углом треугольника, которая располагается слева от строки формул. Открывается список недавно использованных функций. Если вы в нем найдете наименование оператора «КОРЕНЬ», то переходите по данному наименованию. В обратном случае жмите по пункту «Другие функции…».
- Снова происходит запуск Мастера функций. На этот раз нам следует посетить категорию «Математические». В представленном перечне выделяем название «КОРЕНЬ» и жмем на кнопку «OK».
- Открывается окно аргументов функции КОРЕНЬ. Единственной задачей данного оператора является вычисление квадратного корня из заданного числа. Его синтаксис предельно простой:
=КОРЕНЬ(число)
Как видим, функция имеет всего один аргумент «Число». Он может быть представлен числовым значением, ссылкой на ячейку, в которой оно содержится или другой функцией, вычисляющей это число. Последний вариант как раз и будет представлен в нашем примере.
Устанавливаем курсор в поле «Число» и кликаем по знакомому нам треугольнику, который вызывает список последних использованных функций. Ищем в нем наименование «СЧЁТ». Если находим, то кликаем по нему. В обратном случае, опять же, переходим по наименованию «Другие функции…».
- В раскрывшемся окне Мастера функций производим перемещение в группу «Статистические». Там выделяем наименование «СЧЁТ» и выполняем клик по кнопке «OK».
- Запускается окно аргументов функции СЧЁТ. Указанный оператор предназначен для вычисления количества ячеек, которые заполнены числовыми значениями. В нашем случае он будет подсчитывать количество элементов выборки и сообщать результат «материнскому» оператору КОРЕНЬ. Синтаксис функции следующий:
=СЧЁТ(значение1;значение2;…)В качестве аргументов «Значение», которых может насчитываться до 255 штук, выступают ссылки на диапазоны ячеек. Ставим курсор в поле «Значение1», зажимаем левую кнопку мыши и выделяем весь диапазон выборки. После того, как его координаты отобразились в поле, жмем на кнопку «OK».
- После выполнения последнего действия будет не только рассчитано количество ячеек заполненных числами, но и вычислена ошибка средней арифметической, так как это был последний штрих в работе над данной формулой. Величина стандартной ошибки выведена в ту ячейку, где размещена сложная формула, общий вид которой в нашем случае следующий:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13))Результат вычисления ошибки средней арифметической составил 0,505793. Запомним это число и сравним с тем, которое получим при решении поставленной задачи следующим способом.
Но дело в том, что для малых выборок (до 30 единиц) для большей точности лучше применять немного измененную формулу. В ней величина стандартного отклонения делится не на квадратный корень от количества элементов выборки, а на квадратный корень от количества элементов выборки минус один. Таким образом, с учетом нюансов малой выборки наша формула приобретет следующий вид:
=СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)-1)
Урок: Статистические функции в Экселе
Способ 2: применение инструмента «Описательная статистика»
Вторым вариантом, с помощью которого можно вычислить стандартную ошибку в Экселе, является применение инструмента «Описательная статистика», входящего в набор инструментов «Анализ данных» («Пакет анализа»). «Описательная статистика» проводит комплексный анализ выборки по различным критериям. Одним из них как раз и является нахождение ошибки средней арифметической.
Но чтобы воспользоваться данной возможностью, нужно сразу активировать «Пакет анализа», так как по умолчанию в Экселе он отключен.
- После того, как открыт документ с выборкой, переходим во вкладку «Файл».
- Далее, воспользовавшись левым вертикальным меню, перемещаемся через его пункт в раздел «Параметры».
- Запускается окно параметров Эксель. В левой части данного окна размещено меню, через которое перемещаемся в подраздел «Надстройки».
- В самой нижней части появившегося окна расположено поле «Управление». Выставляем в нем параметр «Надстройки Excel» и жмем на кнопку «Перейти…» справа от него.
- Запускается окно надстроек с перечнем доступных скриптов. Отмечаем галочкой наименование «Пакет анализа» и щелкаем по кнопке «OK» в правой части окошка.
- После выполнения последнего действия на ленте появится новая группа инструментов, которая имеет наименование «Анализ». Чтобы перейти к ней, щелкаем по названию вкладки «Данные».
- После перехода жмем на кнопку «Анализ данных» в блоке инструментов «Анализ», который расположен в самом конце ленты.
- Запускается окошко выбора инструмента анализа. Выделяем наименование «Описательная статистика» и жмем на кнопку «OK» справа.
- Запускается окно настроек инструмента комплексного статистического анализа «Описательная статистика».
В поле «Входной интервал» необходимо указать диапазон ячеек таблицы, в которых находится анализируемая выборка. Вручную это делать неудобно, хотя и можно, поэтому ставим курсор в указанное поле и при зажатой левой кнопке мыши выделяем соответствующий массив данных на листе. Его координаты тут же отобразятся в поле окна.
В блоке «Группирование» оставляем настройки по умолчанию. То есть, переключатель должен стоять около пункта «По столбцам». Если это не так, то его следует переставить.
Галочку «Метки в первой строке» можно не устанавливать. Для решения нашего вопроса это не важно.
Далее переходим к блоку настроек «Параметры вывода». Здесь следует указать, куда именно будет выводиться результат расчета инструмента «Описательная статистика»:
- На новый лист;
- В новую книгу (другой файл);
- В указанный диапазон текущего листа.
Давайте выберем последний из этих вариантов. Для этого переставляем переключатель в позицию «Выходной интервал» и устанавливаем курсор в поле напротив данного параметра. После этого клацаем на листе по ячейке, которая станет верхним левым элементом массива вывода данных. Её координаты должны отобразиться в поле, в котором мы до этого устанавливали курсор.
Далее следует блок настроек определяющий, какие именно данные нужно вводить:
- Итоговая статистика;
- К-ый наибольший;
- К-ый наименьший;
- Уровень надежности.
Для определения стандартной ошибки обязательно нужно установить галочку около параметра «Итоговая статистика». Напротив остальных пунктов выставляем галочки на свое усмотрение. На решение нашей основной задачи это никак не повлияет.
После того, как все настройки в окне «Описательная статистика» установлены, щелкаем по кнопке «OK» в его правой части.
- После этого инструмент «Описательная статистика» выводит результаты обработки выборки на текущий лист. Как видим, это довольно много разноплановых статистических показателей, но среди них есть и нужный нам – «Стандартная ошибка». Он равен числу 0,505793. Это в точности тот же результат, который мы достигли путем применения сложной формулы при описании предыдущего способа.
Урок: Описательная статистика в Экселе
Как видим, в Экселе можно произвести расчет стандартной ошибки двумя способами: применив набор функций и воспользовавшись инструментом пакета анализа «Описательная статистика». Итоговый результат будет абсолютно одинаковый. Поэтому выбор метода зависит от удобства пользователя и поставленной конкретной задачи. Например, если ошибка средней арифметической является только одним из многих статистических показателей выборки, которые нужно рассчитать, то удобнее воспользоваться инструментом «Описательная статистика». Но если вам нужно вычислить исключительно этот показатель, то во избежание нагромождения лишних данных лучше прибегнуть к сложной формуле. В этом случае результат расчета уместится в одной ячейке листа.
17 авг. 2022 г.
читать 2 мин
Стандартная ошибка среднего — это способ измерить, насколько разбросаны значения в наборе данных. Он рассчитывается как:
Стандартная ошибка = с / √n
куда:
- s : стандартное отклонение выборки
- n : размер выборки
Вы можете рассчитать стандартную ошибку среднего для любого набора данных в Excel, используя следующую формулу:
= СТАНДОТКЛОН (диапазон значений) / КОРЕНЬ ( СЧЁТ (диапазон значений))
В следующем примере показано, как использовать эту формулу.
Пример: Стандартная ошибка в Excel
Предположим, у нас есть следующий набор данных:
На следующем снимке экрана показано, как рассчитать стандартную ошибку среднего значения для этого набора данных:
Стандартная ошибка оказывается равной 2,0014 .
Обратите внимание, что функция =СТАНДОТКЛОН() вычисляет выборочное среднее, что эквивалентно функции =СТАНДОТКЛОН.С() в Excel.
Таким образом, мы могли бы использовать следующую формулу для получения тех же результатов:
И снова стандартная ошибка оказывается равной 2,0014 .
Как интерпретировать стандартную ошибку среднего
Стандартная ошибка среднего — это просто мера того, насколько разбросаны значения вокруг среднего. При интерпретации стандартной ошибки среднего следует помнить о двух вещах:
1. Чем больше стандартная ошибка среднего, тем более разбросаны значения вокруг среднего в наборе данных.
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим, изменим ли мы последнее значение в предыдущем наборе данных на гораздо большее число:
Обратите внимание на скачок стандартной ошибки с 2,0014 до 6,9783.Это указывает на то, что значения в этом наборе данных более разбросаны вокруг среднего значения по сравнению с предыдущим набором данных.
2. По мере увеличения размера выборки стандартная ошибка среднего имеет тенденцию к уменьшению.
Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим стандартную ошибку среднего для следующих двух наборов данных:
Второй набор данных — это просто первый набор данных, повторенный дважды. Таким образом, два набора данных имеют одинаковое среднее значение, но второй набор данных имеет больший размер выборки, поэтому стандартная ошибка меньше.
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Еще…Меньше
Если ячейки, содержащие #VALUE, ссылаются на ячейки с #VALUE! в формулах будет #VALUE! ошибку «#ВЫЧИС!».
Чтобы не учитывать ошибки, мы создадим формулу, пропускающую ошибочные значения в диапазоне и рассчитывающую среднее для остальных значений.
Чтобы решить эту проблему, мы используем функцию СРЗНАЧ в сочетании с функциями ЕСЛИ и ЕОШИБКА для определения наличия ошибок в указанном диапазоне. В данном конкретном случае требуется формула массива:
=СРЗНАЧ(ЕСЛИ(ЕОШИБКА(B2:D2);»»;B2:D2))
Это формула массива. Поэтому вам нужно нажать ввод (только если вы используете Microsoft 365 ) или CTRL+SHIFT+ВВОД в формуле.
Примечание: Если у вас есть текущая версия Microsoft 365 ,можно просто ввести формулу в ячейку вывода, а затем нажать ввод, чтобы подтвердить формулу как формулу динамического массива. В противном случае формулу необходимо ввести как формулу массива устаревшей. Для этого сначала выберем выходную ячейку, введите формулу в нее и нажимая для подтверждения CTRL+SHIFT+ВВОД. Excel автоматически вставляет фигурные скобки в начале и конце формулы. Дополнительные сведения о формулах массива см. в статье Использование формул массива: рекомендации и примеры.
Примечание: Приведенная выше формула будет работать не только в случае ошибок #ЗНАЧ!, но и в случае ошибок #Н/Д, #ПУСТО!, #ДЕЛ/0! и других.
Таким же образом можно использовать функцию СУММ:
=СУММ(ЕСЛИ(ЕОШИБКА(B2:D2);»»;B2:D2))
У вас есть вопрос об определенной функции?
Задать вопрос на форуме сообщества, посвященном Excel
Дополнительные сведения
Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.
См. также
Исправление ошибки #ЗНАЧ! #BUSY!
СРЗНАЧ
СУММ
Полные сведения о формулах в Excel
Обнаружение ошибок в формулах
Все функции Excel (по алфавиту)
Функции Excel (по категориям)
Нужна дополнительная помощь?
Загрузить PDF
Загрузить PDF
В этой статье мы расскажем вам, как в Excel вычислить стандартную ошибку среднего. Для этого стандартное отклонение (σ) нужно разделить на квадратный корень (√) из размера выборки (N).
Шаги
-
1
Запустите Excel. Нажмите на значок в виде белой буквы «Х» на зеленом фоне.
-
2
Откройте или создайте таблицу Excel. Чтобы открыть готовую таблицу с данными, нажмите «Открыть» на левой панели. Чтобы создать таблицу, нажмите «Создать» и введите данные.
-
3
Вычислите стандартное отклонение. Чтобы сделать это, нужно выполнить несколько действий, но в Excel можно просто ввести следующую формулу: =СТАНДОТКЛОН.В(''диапазон ячеек'').
- Например, если данные находятся в ячейках с A1 по A20, в пустой ячейке введите =СТАНДОТКЛОН.В(A1:A20), чтобы вычислить стандартное отклонение.
-
4
Введите формулу для вычисления стандартной ошибки среднего в пустой ячейке. Формула выглядит так:=СТАНДОТКЛОН.В(''диапазон ячеек'')/КОРЕНЬ(СЧЁТ("диапазон ячеек")).
- Например, если данные находятся в ячейках с A1 по A20, в пустой ячейке введите формулу =СТАНДОТКЛОН.В(A1:A20)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(A1:A20)). Так вы вычислите стандартную ошибку среднего.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 31 569 раз.
Была ли эта статья полезной?
Функция СРЗНАЧЕСЛИ
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование СРЗНАЧЕСЛИ функция в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает среднее значение (среднее арифметическое) всех ячеек в диапазоне, которые соответствуют данному условию.
Синтаксис
СРЗНАЧЕСЛИ(диапазон, условия, [диапазон_усреднения])
Аргументы функции СРЗНАЧЕСЛИ указаны ниже.
Диапазон. Обязательный. Одна или несколько ячеек для вычисления среднего, включающих числа или имена, массивы или ссылки, содержащие числа.
Условие. Обязательный. Условие в форме числа, выражения, ссылки на ячейку или текста, которое определяет ячейки, используемые при вычислении среднего. Например, условие может быть выражено следующим образом: 32, «32», «>32», «яблоки» или B4.
Диапазон_усреднения. Необязательный. Фактическое множество ячеек для вычисления среднего. Если этот параметр не указан, используется диапазон.
Замечания
Ячейки в диапазоне, которые содержат значения ИСТИНА или ЛОЖЬ, игнорируются.
Если ячейка в «диапазоне_усреднения» пустая, функция СРЗНАЧЕСЛИ игнорирует ее.
Если диапазон является пустым или текстовым значением, СРЗНАЧЕСЛИ Возвращает #DIV0! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если ячейка в условии пустая, «СРЗНАЧЕСЛИ» обрабатывает ее как ячейки со значением 0.
Если ни одна из ячеек в диапазоне не удовлетворяет критерию, СРЗНАЧЕСЛИ Возвращает #DIV/0! значение ошибки #ДЕЛ/0!.
В этом аргументе можно использовать подстановочные знаки: вопросительный знак (?) и звездочку (*). Вопросительный знак соответствует любому одиночному символу; звездочка — любой последовательности символов. Если нужно найти сам вопросительный знак или звездочку, то перед ними следует поставить знак тильды (
Значение «диапазон_усреднения» не обязательно должно совпадать по размеру и форме с диапазоном. При определении фактических ячеек, для которых вычисляется среднее, в качестве начальной используется верхняя левая ячейка в «диапазоне_усреднения», а затем добавляются ячейки с совпадающим размером и формой. Например:
Если диапазон равен
Примечание: Функция СРЗНАЧЕСЛИ измеряет среднее значение, то есть центр набора чисел в статистическом распределении. Существует три наиболее распространенных способа определения среднего значения: :
Среднее значение — это среднее арифметическое, которое вычисляется путем сложения набора чисел с последующим делением полученной суммы на их количество. Например, средним значением для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 5, которое является результатом деления их суммы, равной 30, на их количество, равное 6.
Медиана — это число, которое является серединой множества чисел, то есть половина чисел имеют значения большие, чем медиана, а половина чисел имеют значения меньшие, чем медиана. Например, медианой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 4.
Мода — это число, наиболее часто встречающееся в данном наборе чисел. Например, модой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 3.
При симметричном распределении множества чисел все три значения центральной тенденции будут совпадать. При смещенном распределении множества чисел значения могут быть разными.
Примеры
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
How to dou
Анализ НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ | АНАЛИЗ ДАННЫХ #4
Table of Contents:
Когда вы создаете граф в Excel и ваши данные являются средствами, рекомендуется включить стандартную ошибку каждого значения на вашем графике. Это дает зрителю представление о распространении баллов вокруг каждого среднего.
Вот пример ситуации, когда это возникает. Данные являются (вымышленными) результатами тестов для четырех групп людей. Каждый заголовок столбца указывает количество времени подготовки для восьми человек в группе. Вы можете использовать графические возможности Excel для рисования графика. Поскольку независимая переменная является количественной, граф линии является подходящим.
Четыре группы, их средства, стандартные отклонения и стандартные ошибки. На графике показаны групповые средства.
Для каждой группы вы можете использовать AVERAGE для вычисления среднего и STDEV. S для вычисления стандартного отклонения. Вы можете рассчитать стандартную ошибку каждого среднего. Выберите ячейку B12, поэтому в поле формулы показано, что вы вычислили стандартную ошибку для столбца B по этой формуле:
= B11 / SQRT (COUNT (B2: B9))
Фокус в том, чтобы получить каждую стандартную ошибку в графике. В Excel 2016 это легко сделать, и оно отличается от предыдущих версий Excel. Начните с выбора графика. Это приведет к появлению вкладок Design and Format. Выберите
Дизайн | Добавить элемент диаграммы | Ошибка баров | Дополнительные параметры ошибок.
Путь к вставке баров ошибок.
В меню «Бары ошибок» вы должны быть осторожны. Один из вариантов — стандартная ошибка. Избегай это. Если вы считаете, что этот выбор указывает Excel на стандартную ошибку каждого значения на графике, будьте уверены, что Excel не имеет абсолютно никакого представления о том, о чем вы говорите. Для этого выбора Excel вычисляет стандартную ошибку набора из четырех средств — не стандартную ошибку в каждой группе.
Дополнительные параметры панели ошибок являются подходящим выбором. Откроется панель «Формат ошибок».
Панель «Ошибки формата».
В области «Направление» панели выберите переключатель рядом с «Оба», а в области «Стиль конца» выберите переключатель рядом с «Кап».
Один выбор в области «Сумма ошибки» — это стандартная ошибка. Избегайте этого. Это не означает, что Excel помещает стандартную ошибку каждого среднего на график.
Прокрутите вниз до области «Сумма ошибки» и выберите переключатель рядом с «Пользовательский». Это активирует кнопку «Укажите значение». Нажмите эту кнопку, чтобы открыть диалоговое окно «Пользовательские ошибки». С помощью курсора в поле «Положительное значение ошибки» выберите диапазон ячеек, который содержит стандартные ошибки ($ B $ 12: $ E $ 12). Вставьте вкладку «Отрицательная ошибка» и сделайте то же самое.
Диалоговое окно «Нестандартные ошибки».
Это поле Negative Error Value может дать вам небольшую проблему. Перед тем, как вводить диапазон ячеек, убедитесь, что он очищен от значений по умолчанию.
Нажмите «ОК» в диалоговом окне «Нестандартные ошибки» и закройте диалоговое окно «Формат ошибок», и график будет выглядеть следующим образом.
График группы означает, включая стандартную ошибку каждого среднего.
Стандартная ошибка средней арифметической
Среднее арифметическое, как известно, используется для получения обобщающей характеристики некоторого набора данных. Если данные более-менее однородны и в них нет аномальных наблюдений (выбросов), то среднее хорошо обобщает данные, сведя к минимуму влияние случайных факторов (они взаимопогашаются при сложении).
Когда анализируемые данные представляют собой выборку (которая состоит из случайных значений), то среднее арифметическое часто (но не всегда) выступает в роли приближенной оценки математического ожидания. Почему приближенной? Потому что среднее арифметическое – это величина, которая зависит от набора случайных чисел, и, следовательно, сама является случайной величиной. При повторных экспериментах (даже в одних и тех же условиях) средние будут отличаться друг от друга.
Для того, чтобы на основе статистического анализа данных делать корректные выводы, необходимо оценить возможный разброс полученного результата. Для этого рассчитываются различные показатели вариации. Но то исходные данные. И как мы только что установили, среднее арифметическое также обладает разбросом, который необходимо оценить и учитывать в дальнейшем (в выводах, в выборе метода анализа и т.д.).
Интуитивно понятно, что разброс средней должен быть как-то связан с разбросом исходных данных. Основной характеристикой разброса средней выступает та же дисперсия.
Дисперсия выборочных данных – это средний квадрат отклонения от средней, и рассчитать ее по исходным данным не составляет труда, например, в Excel предусмотрены специальные функции. Однако, как же рассчитать дисперсию средней, если в распоряжении есть только одна выборка и одно среднее арифметическое?
Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней арифметической
Чтобы получить дисперсию средней арифметической нет необходимости проводить множество экспериментов, достаточно иметь только одну выборку. Это легко доказать. Для начала вспомним, что средняя арифметическая (простая) рассчитывается по формуле:
где xi – значения переменной,
n – количество значений.
Теперь учтем два свойства дисперсии, согласно которым, 1) — постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат и 2) — дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме соответствующих дисперсий. Предполагается, что каждое случайное значение xi обладает одинаковым разбросом, поэтому несложно вывести формулу дисперсии средней арифметической:
Используя более привычные обозначения, формулу записывают как:
где σ 2 – это дисперсия, случайной величины, причем генеральная.
На практике же, генеральная дисперсия известна далеко не всегда, точнее совсем редко, поэтому в качестве оной используют выборочную дисперсию:
Стандартное отклонение средней арифметической называется стандартной ошибкой средней и рассчитывается, как квадратный корень из дисперсии.
Формула стандартной ошибки средней при использовании генеральной дисперсии
Формула стандартной ошибки средней при использовании выборочной дисперсии
Последняя формула на практике используется чаще всего, т.к. генеральная дисперсия обычно не известна. Чтобы не вводить новые обозначения, стандартную ошибку средней обычно записывают в виде соотношения стандартного отклонения выборки и корня объема выборки.
Назначение и свойство стандартной ошибки средней арифметической
Стандартная ошибка средней много, где используется. И очень полезно понимать ее свойства. Посмотрим еще раз на формулу стандартной ошибки средней:
Числитель – это стандартное отклонение выборки и здесь все понятно. Чем больше разброс данных, тем больше стандартная ошибка средней – прямо пропорциональная зависимость.
Посмотрим на знаменатель. Здесь находится квадратный корень из объема выборки. Соответственно, чем больше объем выборки, тем меньше стандартная ошибка средней. Для наглядности изобразим на одной диаграмме график нормально распределенной переменной со средней равной 10, сигмой – 3, и второй график – распределение средней арифметической этой же переменной, полученной по 16-ти наблюдениям (которое также будет нормальным).
Судя по формуле, разброс стандартной ошибки средней должен быть в 4 раза (корень из 16) меньше, чем разброс исходных данных, что и видно на рисунке выше. Чем больше наблюдений, тем меньше разброс средней.
Казалось бы, что для получения наиболее точной средней достаточно использовать максимально большую выборку и тогда стандартная ошибка средней будет стремиться к нулю, а сама средняя, соответственно, к математическому ожиданию. Однако квадратный корень объема выборки в знаменателе говорит о том, что связь между точностью выборочной средней и размером выборки не является линейной. Например, увеличение выборки с 20-ти до 50-ти наблюдений, то есть на 30 значений или в 2,5 раза, уменьшает стандартную ошибку средней только на 36%, а со 100-а до 130-ти наблюдений (на те же 30 значений), снижает разброс данных лишь на 12%.
Лучше всего изобразить эту мысль в виде графика зависимости стандартной ошибки средней от размера выборки. Пусть стандартное отклонение равно 10 (на форму графика это не влияет).
Видно, что примерно после 50-ти значений, уменьшение стандартной ошибки средней резко замедляется, после 100-а – наклон постепенно становится почти нулевым.
Таким образом, при достижении некоторого размера выборки ее дальнейшее увеличение уже почти не сказывается на точности средней. Этот факт имеет далеко идущие последствия. Например, при проведении выборочного обследования населения (опроса) чрезмерное увеличение выборки ведет к неоправданным затратам, т.к. точность почти не меняется. Именно поэтому количество опрошенных редко превышает 1,5 тысячи человек. Точность при таком размере выборки часто является достаточной, а дальнейшее увеличение выборки – нецелесообразным.
Подведем итог. Расчет дисперсии и стандартной ошибки средней имеет довольно простую формулу и обладает полезным свойством, связанным с тем, что относительно хорошая точность средней достигается уже при 100 наблюдениях (в этом случае стандартная ошибка средней становится в 10 раз меньше, чем стандартное отклонение выборки). Больше, конечно, лучше, но бесконечно увеличивать объем выборки не имеет практического смысла. Хотя, все зависит от поставленных задач и цены ошибки. В некоторых опросах участие принимают десятки тысяч людей.
Дисперсия и стандартная ошибка средней имеют большое практическое значение. Они используются в проверке гипотез и расчете доверительных интервалов.
Стандартная ошибка в Excel
Расчет с помощью комбинаций функций
На примере рассмотрим составленный алгоритм действий по расчету ошибки средней арифметической с использованием комбинаций функций. Для того чтобы выполнить задачу, нужно использовать операторы СТАНДОТКЛОН.В, КОРЕНЬ и СЧЁТ. Выборка будет использоваться из 12 чисел, которые представлены в таблице.
Выделите ячейку, в которой отобразится итоговое значение стандартной ошибки. Кликаете на иконку «Вставить функцию».
Появится Мастер функций, в котором нужно произвести перемещение в блок «Статистические». Появится список наименований, выбираете «СТАНДОТКЛОН.В».
Запустится окно аргументов выбранного оператора, предназначенного для оценивания стандартного отклонения при выборке. У него такой синтаксис — =СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…). Устанавливаете курсор в полу «Число1». Далее, зажав левую кнопку мыши, выделяете курсором весь диапазон выборки, чтобы координаты этого массива отобразились там же в поле окна. Кликаете на ОК.
В ячейке появится проделанный результат, но это еще не то, что мы хотим получить в итоге. Теперь нужно стандартное отклонение разделить на квадратный корень от числа элементов выборки. Выделяете ячейку с нужной функцией и устанавливаете курсор мышки в строку формул. Дописываете выражение, которое там уже существует, знаком деления (/). Далее нажимаете на пиктограмму перевернутого вниз углом треугольника (находится слева от строки формул). Должен открыться список недавно использованных функций. Находите оператора «КОРЕНЬ» и нажимаете на него. Если его нет в списке, то кликайте на «Другие функции…».
Должен снова запуститься Мастер функций, в котором нужно перейти в категорию «Математические». Выделяете там «КОРЕНЬ» и кликаете ОК.
Далее должно открыться окно аргументов функции КОРЕНЬ. Его синтаксис простой — =КОРЕНЬ(число). Устанавливаете курсор в поле «Число» и нажимаете на уже знакомый треугольник, чтобы показался список последних использованных функций. Находите «СЧЕТ» и нажимаете на него. Если в списке его нет, тогда нажимаете на «Другие функции…».
Появится раскрывшееся окно Мастера функций, в котором нужно переместиться в группу «Статистические». В ней выделяете «СЧЕТ» и кликаете ОК.
Должно запуститься окно аргументов функции СЧЕТ. Синтаксис функции будет таким — =СЧЁТ(значение1;значение2;…). Ставите курсор в строку «Значение1» и зажимаете левую кнопку мыши, чтобы выделить весь диапазон выборки. Когда координаты отобразятся, жмите ОК.
Когда будет выполнено последнее действие, то не только произведется расчет количества ячеек, которые заполнены числами, но и вычисляется ошибка средней арифметической. Величина будет выведена в ячейку с размещенной сложной формулой, вид которой таков — =СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)).
Если выборка до 30 единиц, тогда лучше применять немного другую формулу — =СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13)/КОРЕНЬ(СЧЁТ(B2:B13)-1).
Применение инструмента «Описательная статистика»
Когда будет открыт документ с выборкой, нужно перейти во вкладку «Файл».
В левом вертикальном меню заходите в раздел «Параметры».
Должно запуститься окно параметров Excel, в левой части которого нужно перейти в «Надстройки».
В самом низу окна находите «Управление» в выставляете в нем параметр «Надстройки Excel». Кликаете на «Перейти…» справа от него.
В окне надстроек появится список скриптов, которые доступны и нужно отметить галочкой «Пакет анализа», а затем нажать ОК.
Теперь на странице должна появиться новая группа инструментов «Анализ». Для перехода к ней кликаете на вкладку «Данные».
Кликаете на «Анализ данных» в блоке инструментов «Анализ» в самом конце.
Запустится окно выбора инструмента анализа, в котором необходимо выделить «Описательная статистика» и нажать справа на ОК.
Далее запустится окно настроек инструмента комплексного статистического анализа «Описательная статистика». Здесь нужно установить все так, в зависимости от того, что именно вы хотите получить в итоге.
После всех совершенных манипуляций, инструмент «Описательная статистика» должен отобразить результаты обработки выборки на текущем листе. Разноплановых статистических показателей будет немало, но среди них находится и тот, который нам нужен – «Стандартная ошибка».
Функция СРЗНАЧЕСЛИ
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование СРЗНАЧЕСЛИ функция в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает среднее значение (среднее арифметическое) всех ячеек в диапазоне, которые соответствуют данному условию.
Синтаксис
СРЗНАЧЕСЛИ(диапазон, условия, [диапазон_усреднения])
Аргументы функции СРЗНАЧЕСЛИ указаны ниже.
Диапазон. Обязательный. Одна или несколько ячеек для вычисления среднего, включающих числа или имена, массивы или ссылки, содержащие числа.
Условие. Обязательный. Условие в форме числа, выражения, ссылки на ячейку или текста, которое определяет ячейки, используемые при вычислении среднего. Например, условие может быть выражено следующим образом: 32, «32», «>32», «яблоки» или B4.
Диапазон_усреднения. Необязательный. Фактическое множество ячеек для вычисления среднего. Если этот параметр не указан, используется диапазон.
Замечания
Ячейки в диапазоне, которые содержат значения ИСТИНА или ЛОЖЬ, игнорируются.
Если ячейка в «диапазоне_усреднения» пустая, функция СРЗНАЧЕСЛИ игнорирует ее.
Если диапазон является пустым или текстовым значением, СРЗНАЧЕСЛИ Возвращает #DIV0! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если ячейка в условии пустая, «СРЗНАЧЕСЛИ» обрабатывает ее как ячейки со значением 0.
Если ни одна из ячеек в диапазоне не удовлетворяет критерию, СРЗНАЧЕСЛИ Возвращает #DIV/0! значение ошибки #ДЕЛ/0!.
В этом аргументе можно использовать подстановочные знаки: вопросительный знак (?) и звездочку (*). Вопросительный знак соответствует любому одиночному символу; звездочка — любой последовательности символов. Если нужно найти сам вопросительный знак или звездочку, то перед ними следует поставить знак тильды (
Значение «диапазон_усреднения» не обязательно должно совпадать по размеру и форме с диапазоном. При определении фактических ячеек, для которых вычисляется среднее, в качестве начальной используется верхняя левая ячейка в «диапазоне_усреднения», а затем добавляются ячейки с совпадающим размером и формой. Например:
Если диапазон равен
Примечание: Функция СРЗНАЧЕСЛИ измеряет среднее значение, то есть центр набора чисел в статистическом распределении. Существует три наиболее распространенных способа определения среднего значения: :
Среднее значение — это среднее арифметическое, которое вычисляется путем сложения набора чисел с последующим делением полученной суммы на их количество. Например, средним значением для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 5, которое является результатом деления их суммы, равной 30, на их количество, равное 6.
Медиана — это число, которое является серединой множества чисел, то есть половина чисел имеют значения большие, чем медиана, а половина чисел имеют значения меньшие, чем медиана. Например, медианой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 4.
Мода — это число, наиболее часто встречающееся в данном наборе чисел. Например, модой для чисел 2, 3, 3, 5, 7 и 10 будет 3.
При симметричном распределении множества чисел все три значения центральной тенденции будут совпадать. При смещенном распределении множества чисел значения могут быть разными.
Примеры
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.